Некоторые динамические контактные задачи для многосвязных областей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО НАШ!, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ

■ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НАУЧНО-ИССЛВДОВАТЕШЖИЙ ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

Специализированный совет К 063.5^.03 по физико-математическим наукам

На правах рукописи РУМЯНЦЕВА. Татьяна Григорьевна

УДК 539.3

НЕКОТОРЫЕ ЩШШШШЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ' ДЛЯ ШОГОСШЗНЫХ ОШСТЕЙ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела •

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-иатематических наук

0 Ростов-на-Дон^ 1992

Г"

Работа вшголнена в НШ шханики ж прикладной мате атшеи Ростовского ордена Трудового Красного Знамени государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук,, ст. вдуч. сотр. ■. Щ Селезнев М.Г. ! ;

Офжцгальные' оппоненты: доктор -физико-математическшс

наук, профессор Ефимов Л.Б., : кащвдат физико-математических наук» доцент Ватульян А.О.

• Ведущая организация: . Кубанский государственный университет

Защита состоится " 4Л " 1.992 в ^ часов

на заседании Специализированного совета К 063.52.03 по физико-математическим наукам в Ростовском госуниверситете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 5, механико-мг-ематический факультет, ауд. 239.

С диссертацией мокко ознакомиться в научной библиотеке РТУ, /ул. Пушкинская, 148 /.

Автореферат разослан:

Ученый секретарь специализированного совета доцент

3 " ОмАьмЯ 1992 г.

/i

Гетман И.П;

.у ■ ' 3

I

-1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

; Актуальность теми. Теоретическое исследование процес-

сов возбуждения и распространения волн в областях сланной структуры и свойств представляет значительный научный и практический интерес, связанный о проблемами виброзащиты и сейсмостойкости наземных сооружений, создания мощных поверхностных вибраторов для целей вибрационного просвечивания Зе«ли п вибровоздействия на нефтяные пасты с целью повышения нартеотда-' чи, расчетом фундаментов сооружений ответственного назначения в регионах с выраненными карсгозши проявлениями и повышенной сейсмичностью. Актуальность таких исследований- подтверкда- _ ется постоянно возрастающим вниманием исследователей к перечисленным проблемам и значительным количеством . действовавших и действующих научных программ различного уровня, нацеленных на их решение {Постановление ГКИТ СССР по проблеме • 0.74.03 - 1981 - 1990 г.Г., ЦКЕ ГКНТ СССР 0.50.03 1986-1990 г.г» и другие научные и технические программы министерств й • . .ведомств). • ■

. 'Анализ опубликованных матариатон показывает практичес- • кое отсутствие исследований, направленных на изучение процес- , сов возбуждения и распространения волн при воздействии штампа на слоистое полупространство, содержащее загубленные неодно- . родности. В то же время именно эти ьадачи наиболее полно моделируют реальные структуры, встречашщеся в отмеченных приложениях. Наличие теоретических результатов, моделирующих ' проецебо возбужгэния ж распространения вола в слоистых много» овязянх областях, позволяет получил информгтдаю, пс ¡учение которой другими сн^обадо чрезвычайно сложно .или практически невозможно.

Цель исследования. Развитие и практическая реализация аналитико-численннх методов исследования динамических контактных задач теории упругости, моделирующих процесс возбуждения колебаний в слоистом полупространстве с заглубленными неодно-родностями канонической форлы вибрацией штампа на его поверхности. Исследование особенностей формируемых в среде полей напряжений и перемещений.

Научная новизна и практическая значимость. Развг" метод решения ранее не исследованных смешанных задач динамической теории упругости для двуслойного полупространства с заглубленной цилиндрической полостью ш включением. Получены эффективные приближенные решения ряда динамических т ^нтактных задач для рассматриваемых областей. Создан комплекс прикладных программ, реализующих эти решения на ЭВМ. Проведен численный анализ влияния полости на контактные напряжения и волновые поля перемещений в среде.

Результаты исследований включены в научные отчеты НИШ и 1Ши использованы в ИГ и Г СО АН СССР, ®3 АН СССР, НПО "Нефтегеофизика". • ' .

Достоверность результатов..полученных в диссертации, определяется строгостью и обоснованностью применения математического аппарата, проверкой в некоторых контрольных случаях степени удовлетворения граничным условиям и сопоставлением промежуточных результатов в частных случаях с решениями, по- ,

1 I

лученными другими методами. . . .

На защиту заносится: развитие метода исследования динг. • мических контактных задач об установившихся колебишях дву- ■ слойного упругого полупространства с полостью или включением; построение на его основе приближенных решений ряда конкретных

задач, связаншх о проблемами практики; проведение численного анализа, надаленаого на исследование особенностей распределения контактных напряжений и волновых полей в среде, обусловленных наличием заглубленной неоднородности или нарушением условий сцешгэния штампа со средой.

Апробация работу и публикации. Результаты исследования, проведенного в работе, изложена в 25 публикациях и докладывались на Международном симпозиуме "Прочность материалов и' элементов конструкций при звуковых частотах нагружения" (Клев, 1984); II Всесоюзной шзфоршадай по механике неоднородных структур (Львов, IS37); Всесоюзном научно-техническом совещании СЭО-88 (Нарва, 1988); til Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Харьков, 1985); II и III Региональных-конференциях "Динамические задачи механики сплошной среды" (Краснодар, 1988, 1990); а такке на семинарах ОБП и ОФМС НИШ и ПМ РГ7, кафедры теории упругости РТУ.

Объем работа. Диссертация объемом 137 машинописных страниц состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 109 наименований; в приложение вынесено 85 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность поставленных задач, дан краткий обзор исследований, связанных с изучением динамических контактных задач, излагается структура работы и основные полученные результаты.

Разработкой и обоснованием методов исследования динамических контактных задач и возникающих при этом интегральных уравнений занижались В.М.Александров, В.А.Бабешко, А.В.Бело-конь, Н.М.Бородачев, А.О.Ватульян, И.И.Ворович, Я.А.Галин, Е.В.Глушков, В.Т.Головчан, В„Т.Гргагаешсо, А.Н.Гузь, А.Б.Бфи-

мов, В.Л.Ильичев, В.В.Калинчук, В. Ц.Купрадзе, В.И.Моссаков-екий, Б.М.Нуллер, Г.Я.Попов, О.Д.Пряхина, ВЛ.Рвачев В.М. Сеймов, А.В.Смирнова, М.Г.Селезнев, Б.И.Сметанин, А.Н.Трофим-чук, А.З.Улитко, 'Ю.А.Устинов, Я.С.Уашянд и другие авторы.

Реальные структуры .асто являются слоистыми и содержат локализованные неоднородности типа полостей или упругих включений различной конфигурации. Учет этих факторов, особенно заглубленных локализованных неоднородностей, приводит к существенному возрастанию сложности исследования динамических контактных задач для соответствующих областей.

Первая глаза состоит из пяти параграфов. В первом параграфе приводится постановка динамических контактных задач теории упругости для слоистого полупространства с заглубленными полостями или упругими включениями в форме цилиндра кругового или. эллиптического поперечного сечения. Во втором параграфе рассматривается, задача возбуждения антиплоских колебаний вибрацией штампа на поверхности двуслойного полупространства с заглубленной эллиптической полостью (оси'эллшса ориентированы произвольно относительно плоской поверхности). Приводится -алгоритм сведения контактной задачи к системе интегральных уравнений, через решение которой описывается напряженно-деформированное состояние составной упругой области. При использовании принципа суперпозиции, корректном удовлетворении уело-

а

вий излучения и граничных условий, кривая задача сводится к следующей системе интегральных уравнений

■ 'Щ+ЦШ*.()№•?()) ю

.иг

гае

— ©о

р(^) - закон распределения нагрузки, действующей на границу эллиптической полоста I* $о . записанной в координатах эллиптического цилиндра | » 1 » 2 , связанных с осью полости,

- смещения подошвы штампа, - закон распределения контактных напряжений ОС. е [ос.0~ ¿г хг + £]~) , Х (х),

У^)- неизвестные функции напряжений, определенные на границах соответственно однородного упругого полупространства и пространства с эллиптической полостью, через суперпозицию которых описывается поле смещений л напряжений в полупространстве с заглубленной эллиптической полостью. Функции 1/)»

, ¿л . имеют достато^го громоздкий вид, .

поэтому приведем только одну из них для иллюстрации структуры.

Зцесч у) , М*,^, § - периодические функции Матье, Мкмода^ищфованные функции Матаё третьего рода (удовлетворявдие условиям излучения), ! г 1~ координаты

а

точки на повержоста. полупространства»

После реаения систеш'ште1фаиьнах уравнений доле смеще-. ний в упругой срс -е опредедааг'м следующими соотношениями:

- для области " Н < у * О ';.х' ■

- для полупространства с цишщрнческой подссгью еллиптичэс-1 кого поперечного оечен- э смещение записывается равенством

1ДО

сМьк^

м

л

I О}

с*

Тр;

Щ ] XI

шШШШШШ

/ ХГ Ы " и

. о

: сдвига материала я подсишаодех

плотность а могтуэяь,... подстилающего полупространства

, й - большая подуооь адздюз,.-'* - ого эксцентриситет. Контур Г выбираэ!рсй в соответствии с принципом предельного поглощения и обходит отрицательные особенности под-' интегральной функции сверху, положительные ~ снизу, совпадая на остальной ласти о вещественной осью«

В третьем параграфе (аналогично изложенному; рассматривается динамическая контактная задача для двуслойного голу-пространства с заглубленной эллиптической полостью в плоской постановке. Построена система шести интегральных уравнений, через решение которой описывается" нэдряз^енно-деформирозанное состояние упругой области. '■ :

Четвертый параграф, посвящен исследованию контактной за-• дачи для упругого полупространства с. заглубленным упругим включением в вида пдлиндра'злйштаческого и 'кругового поперечного сечения, сплошного и полсЦ-о. Вдоль границы раздела упругих параметров рассматриваются условия жесткого сцепле-'ния. Краевая задача сведена к еноты«© интегральных уравнений, структура кото^Я близка к структуре системы (I).

¡В пятом параграфа исследуются основные общие свойства • систем интегральных уравнений, к которш све; зш рассматриваемые контактные зада® дш олоистнх шогосвязнцх областей. Системы интегральных уравнений являются щотоаараметрачными, • что определяет сложность ш асояедованг-л. Однако выявлен ряд общих свойств, позволяющих при некоторых ограничениях на параметра строить реяенш скигеи о машшальнш использованием аналитических мэтров. А щэшо, в случаз, 1сохда граница поде .та (упругого вкгзтедас) наперееекаатся о пЛэокой границей (заглубление дег» ;ра полоота к> 1 , 8>а/к), операторы * ' *

& » Ц& , М являотся вполно непрэрнвшаг в проотранот-

ве суммируемых функций, а при << I они достаточно малы по норме, что определяет целесообразность использования при решении систем, в этом случае метода последовательных приближений. На примере исследования динамической контактной задачи для двуслойного полупространства с заглубленной круговой цилиндрической полостью при введенных ограничениях на параметры иллюстрируется алгоритм построения ее решения. Следует отметить, что при рассмотрении круговой полости система интегральных уравнений имеет структуру (I), но опера.оры описы- • ваются значительно более простыми выражениями, зависящими от функций Ханкели первого рода и угловой координаты V . В первом прибликении из первых двух уравнений системы следует:

X е , УМ'рМ . Подставляя эти значения в

третье интегральное уравнение, получаем с соответствующей степенью точности для опгэделения закона распределения контактных напряжений следующее интегральное уравнение первого •

Это уравнение тождественно интегральному уравнении дина- • мической контактной задач» длядвуолойного полупространства без подооти. Подынтегральная фунщкя ядра /(имеет на вещественной оси четыре (в еатиплоском случае - две) точки ветвления, В случае сдое,' ue^''jteoii^,; .'чем ждогалавдев 'полупространство, подннтвхрадьяая фуякря вакеадой фиксированной еде тот© мсиет теп конечное чиодо вещественных однокриг- , ных полюсов z чередующихся, о нгди вудвй, В случае более аеот-кого слоя подынтегральная- функция ярее? два симметрично расположенных вещественных полоса » югайочал.то^Ном диапазоне,

1А

близких к полюсу Релея для подстилающего полупространства. С ростом частоты указанные полюса становятся комплексными.

Методы построения решения.этих интегральных уравнений достаточно хорошо разработаны. В данной работе использован метод приближенной факторизации функций и матриц-функций, раз- . витый и обоснованный в работах В.А.Бабешко и И.й.Воровича. Получив -деленное значение функции (ж) в области контакта, маяно ввести ее аппроксимацию с требуемой точностью, напри-

1а1

мер, в виде • м

Это делается для построения аналитических представлений решения системы во втором приближении.

* . -

Подставляя полученное выражение в систему (I), после асимптотического вкгёисления интегралов, мскно получить еле- • дующие представления '

. функция Бвоовля»

Подставляя полученные выражения X (об) и У(^) в правую часть последнего уравнения системы (I) и вычисляя с соответствующей степенью точности интеграла, для определения закона распределения контактных напряжений получаем интегральное • уравнение ы

»'-Л/

операторная часть которого не претерпела изменений, а . свобод-вый член получил поправочное слагаемое, в котором

Изложенная схема построенияяоследовательн^х приблике-ний макет быть продолжена, Существенно, что операторная часть уравнения от приближения к прибликонио не претерпевает изменения, изменяется только свободный член, лолучая поправочные слагаемые возрастающего порядка дадостн. ; .

. . Важным вопросом визлскекпой схеме построения решения системы интегральных уравнений являет вопрос построения ращения интегрального уравнения (спсзша)'первого рода (2). Этоцу вопросу, представляющему бекостоятельпое значение, посвящена вторая глава диссертации.:

Во второй главе, состоящей нз трог параграфов, цзлозена схема и алгоритм применения метода фактораэащш функций и шг-риц-функций к решению интегральный" уравнений в систем перво-, го рс ;а. При исследовании задач одннамзачеоксм контакте жаот-кого штампа с шгаоюш основанием в антшвооаой г плоской (при отсутствии тгенш в обдаота донг ^кта) постановках, прихода к необходимости решения интегрального уравнения первого рода (капршер, (2)1 , В атом случае Еопольеуе-юя схемамзтода

прйблитшой факторизации функций. При рассмотрении плоской . контактной задачи с несткш сцеплением основания штампа по всей его поверхности или ее частя ' приходим к системе интегральных уравнений первого рода, решение которой проводится методом приближенной факторизации функций в случае внутреннего расположения зоны. полного сцепления и матршй&ункций при выходе этой зоны на границу области контакта. Дано краткое из*-лс&лше схемы практического использования, этих методов применительно к кошсраткш задачам.'. ■'

В третьей глазе диссертации приводятся результаты чис-' ленного анализа рада конкретных задач. Изложенная методика реализована применительно к пх решены) прикладными программа- ' мз на ЭШ.

В первом параграф проведен анализ закона распределения: контактных напряжений, Анатаз нацелен на выявление основных закономерностей, обусловленная наличие?.! и расположением за-глублейной полости шш условиями контакта основания штампа со средой (отсутствий трения зшшлноа сцепление: по всей облас-.тн контакта шш ее части). Выявлена существенная количественная и качественная заБНСШосчь кошштшх напрянений от рас-полоиения полости дане при стюсзотэяьно большом ее заглублении. Пример» рашрэдшгошя шшщщ иошгактннх н„ лряаейий приведен на рис.1, с^еоь сплошной линией . нанесен модуль амшгату-; да контавтншс напршбняйлрн отсутствии. полости в ереде, штри-; ховоя ЛИНИЯ 'СООТЕЭТСТВуеТ одтчэю,.. кода, цешрн полости и ШТШ-■ па расположены на сдаой вертикали (параметр, с , определяя- ' .дай отклонение центра подаоти от центра штампа по горизонта- , ли, равен нуло). • Цуиктирная. линия соответствует случаи с =3,. ;. птрах-иунктирная- - " С=5. Приведенная частота колебаний .5

А*

i-tl \ IV \\ \ м п ti J' /

у\ .....-.......— \\ \ 4 — '■•................. jj

X, хА

JUI 'v А "А t • i i / , rt.

. • é : Г"'' ts ' <?í и ' ^ 1 1 I I IOS

РисЛ . Рио.2

штампа Xit =1. . полуширина штампа I =1.

Во втором параграфе изложена результаты исследования задачи Еозбуздения антишюскйх колебаний в однородном упругом полупространстве с заглубленной яшшндрической полостью зл-лжшгческого поперечного сечения с произвольно ориентированным? относительно плоской гранвдылолуосями. Предполагается, что колебания возбундаютея поверхностным источником шш системой распределенных по границе -полости усилий« Исследована зависимость втштг, дко-частотных и ашлижудно-пространствен-ных характеристик смещения точек упругой области от величина : эксцентриситета эллипса, ориентации его полуосей и взаимного расположения поверхностного источника и полости. На рис, 2 приведена характерная зависимость распределения амплитуда

IU/I ш л\;Л

\ \ \ YJ/^y • «J * -ФА Л:> " VI 1\ • . . V М i

т i л í ¡ м \' \

■Í- V i ■ ■ — ^ ■ у 1 N. ^ ' .._■ """ "V 4' .. ■ -•.. 2

V \ .... - " Щ , „ , , i-1T

Рис.3.

;-,V, РИС.4

смещения вдоль луча, проходящего через центр полости и центр области приложения нагрузки, при возбуждении колебаний с поверхности полупространства. Приведенная частота колебаний =3, глубина залегания центра полости А =100; сплошная линия соответствует эксцентриситету г =0.1, штрих-пунктирная -I =0.5.

На рис. 3 приведено распределение амплитуды смещения цдс.гь луча, перпендикулярного плоской поверхности и проходящего через центр полости, при возбуждении колебаний равнорас-пределенной нагрузкой, действующей на границу полости, при различных углах поворота ^ большой полуоси эллипса к поверхности полупространства. Линия I соответствует р =0, линия 2 - = Ж /А, линия 3 - ^ - 5^/2. Приведенная частота колебаний е^гг, =3, величина заглубления центра полости А-10, ¿5=0.5.

Третий параграф посвящен исследованию задачи возбуждения антиплоских колебаний в полупространстве с заглубленным круговым цилиндрическим включением (сплошным шш полым). Выявлена существенная зависимость амплитуд смещения от соотношения упругая параметров полупространства и включения, особенно при возбуждении колебаний нагрузкой, распределенной по внутренней границе полого включения-. На рис.4 представлено распределение амплитуд смещения вдоль прямой параллельно^ плоской границе, при нагрузке, равнораспределенной по внутренней границе включения, при различных соотношениях , где рх -модуль сдвига включения, - модуль сдвига окружающего полупространства. Евден выраженный рост амплитуд смещения в среде при увеличении параметра § . Линия I соответствует ^=0.1, линия 2 - ^=1, линия 3 - <р =10. Приведенная частота колебаний З^м ¿3, внутренний радиус упругого включения

$ =0.6, внешний <2=1. При возбуждений колебаний поверхностным источником влияние, механических параметров, характеризующих материал включения, выражен более слабо и проявляется в амплитуде отраженного .г включения поля, которая имеет более высокий порядок малости, чем. прямое поле источника.

В параграфах 4 и 5 рассматриваются задачи для полостей или включений сферической формы. Рассмотрена пространственная задача о вынуэденных установившихся колебаниях полупространства с заглубленной сферической полостью поверхностным источником, расположенным нецентрально по отношению к полости. Алгоритм исследования задачи.реализован на ЭВМ и проведены расчеты, представленные в виде графиков.

В заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные автором.

В приложение вынесены графики, полученные при проведений численного анализа рассмотренных задач.

основные вывода

. I. Развит метод исследования ранее не изученных динамических контактных задач для упругого слоистого полупространства с заглубленными полостями или упругими включениями канонической формы.

* 2, Построены приближенные решения контакта задач об установившихся колебаниях штампа на поверхности двуслойного полупространства с заглубленной полостью или упругим включением в взде кругового или эллиптического цшшщра.

■ 3. На основе составленных прикладных программ проведено численное исследование влияния условий контакта (наличие или отсутствие сцепления) или наличия и расположения заглубленной неоднородности (полости или включения) на распределение кон-

J.Y

тактных напряжений.

4. Проведен численный анализ поведения полей смещений в упругой многосвязной области при заданных на ее границах сис- . темах усилий, в том числе полученных из решения контактной задачи. Изучено влияние геометрии области, соотношения механических параметров задач на характер волнового движения в среде.

5. Результаты исследования использованы пр.; выполнении госбюджетных и хоздоговорных НИР НШ механики и прикладной математики РТУ и включены в отчета по НИР и использованы в ИГ и Г СО АН СССР, И§3 АН СССР, НП7- "Нефтегеофизяка".

СПИСОК

основных работ автора, содержащих результаты диссертации:

1. Румянцев А.Н., Румянцева Т.Г. Динамическая задача для полупространства с цилиндрической лолостыэ.- Ростов н/Д, 1986, • - Деп. в ВИНИТИ, JS 8507 - B8S деп.

2. Румянцев А.Н., Румянцева Т.Г. колебания штампа на двуслойном полупрост: листве с полостью в виде эллиптического цилиндра. Тез. докл. ,111 регион, конф. "Динамические задачи механики сплошной среды", Краснодар, 1990. ■■ '

3.- Румянцев A.ÏÏ., Румянцева Т.Г; Контактные задачи с разнородными условиями в области контакта. В кн. : "Статические и дина-мич. задачи теории упругости", Ростог н/Д, 19оЗ.-С. 173-193.4. Румянцев А.Н., Румянцева Т.Г., Селезнев М.Г. Колебания полупространства с полостью или включением в ввде эллиптическо-'го цшшндра//Изв. СКЕЦ ВШ. Сер. Естеств. науки. - 1990. - J23.

С. 63-69.

5. Румянцева Т.Г. Л'элебанкя полупространства с полым упругим включением. Тез. докл. II регион, конф. "Динамич. задачи ме

ханики сплошной среды", Краснодар, 1988. - С. 140.

6. Румянцева Т.Г., Селезнев М.Г. К расчету динамики подкрепленных полостей в упругом слоистом полупрост]: нотве. Тез.докл Всес. науч-техн. совещ. СЭО-88, Нарва, 1988,

7. Румянцева Т.Г., Селезнева Т.Н., Селезнев М.Г. Пространственная задача об установившихся колебаниях упругого полупространства со сферической полостью//1МЛ.-1986.-50,^4.-С.651-656.

8. Румянцева Т.Г., Селезнев М.Г., Чепиль М.В. Динамическая контактная задача для двуслойного полупространства о полостью //ПММ. - 1989. - 53, ]£. - С. 348-351.

9. Солезнг- М.Г., Румянцева Т.Г., Румянцев А.Н. Колебания полупространства, содержащего упругое включение 1. виде полого цилиндра. - Тез, докл. 21 Всес. конф. по мех. неодрод. струк- . тур. - Львов, 1987. - Т.2. - С.246.

10. Селезнев М.Г., Селезнева Т.Н., Румят,зва Т.Г. Анализ на-прявенно-дефоршрованного состояния упругого полупространства с заглубленной цилиндрической или сферической полостью. Тез. докл. междунар. симп. "Прочность материалов и элементов конструкций при звуковых частотах нагружеНия", Киев, 1984. •,