Некоторые классы конфликтно управляемых процессов с неопределенностью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

9И

Академия наук Украины Ордена Ленина Институт кибернетики имени В. М. Глушкова

На правах рукописи ГРИЦЕВСКИЙ Андрей Эдуардович

УДК 519.8

НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ КОНФЛИКТНО УПРАВЛЯЕМЫХ ПРОЦЕССОВ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ

01.01.09 — математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Киев 1991

Работа выполнена в ордена Ленина Институте кибернетики имени В. М. Глушкова АН Украины.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

ЧИКРИИ А. А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

ЧЕНЦОВ А. Г.,

кандидат физико-математических наук ЧИСТЯКОВ С. В.

Ведущая организация: Институт проблем механики АН СССР.

Защита состоится «:-*--19 г. в-

часов на заседании специализированного совета Д 016.45.01 при Институте кибернетики имени В. М. Глушкова АН Украины по адресу:

252207 Киев 207, проспект Академика Глушкова, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-техническом архиве института.

Автореферат разослан « »-19 г.

Ученый секретарь специализированного совета СИНЯВСКИЙ В. Ф.

/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. В настоящее время активно развивается новое направленна в области теории конфликтно управляем« процессов - теория игровых задач с разливши шопрэделенностяъш, имеющими стохастический характер, как относительно управляемых объектов , так -V относительно управлений этйли объектом.;!. Связано ого о одной сторош с тем, что у таких, задач ияеются ваши о практические пря.кжешш, например, в задачах поиска движущихся объектов, так и с наличием определенного прогресса в создании иовнх оптимизационных: методов, которые могут .быть использованы при реиении тякик задач.

Рассмагривазшэ в диссертационной работе' проблот исторически восходят к ердачш теории поиска и к задачам теории дйф^реящшшшх игр с неполной информацией. В конце 60-л; годов появилась первне рабом, й которых рассматривались простейшие игровые модели Евдач поискового тшэ. Опубликованное к настоящему вроМэни работы посвящены в основном исследованию конкретных кроссов игрових задач поиска или я®, как в случае с дкффареццлалышпи играми о нэполной информацией, .либо конкретны!! игр-овн?* постановкам задач, лпбо классам задач, в которых неоирэДвлзшоогь играет роль "шумовых" по'дох.

Изучением подобных конфликтно управляемых тгроцессов с' различными гшгч»«й неопределенности занижались Н.К.Красовский, А.Н.Колмогоров, А.Б.Курганский, Е.П.Мполов, Е.С&.Кгаценко, Ю.С.Осипов, ■ Л.А.Пвгросян, Л.С.Поятрягий, Б Л{. Пшеничный, И.Г.ЧбНЦов, ®.Л Лэрноусько, А.А.ЧикриЙ.

Среди зарубежных авторов следует отметить в перзуш очерздь С.Гола, Да.ДоббЯ, Б.КутмвЯа, М.Дгану, М.Мангала, С.Поллокз, Л.Стоуна, О.Хэдлмана.

Однако на явотошШ момент зге созданы единые подхода даже к постановкам к задачам типа поиска, а «шеленше метода, которые могла бы бить взята за основу при создании практических алгоритмов, известна лишь для отдельных Модельных примеров. Поэтому попытка рассмотреть некоторый достаточно широкий класс конфликтно управляем« процессов с единой точки' зрения и предложить численные метода для возникающих оптимизационных задач

- г -

представляется весьма актуальной.

Оекоьной целью рабпты является рассмотрение достаточно широкого класса- конфликтно управляемых процессов с неопределенностью, описывающих модельное представления игровых • задач типа поиска движущихся объектов. Рассмотрение различных классов допустимых управлений и соответствующих им дар представления управляемы! объект-управление. Рассмотрение для введенных; классов; объектов и управлений минимаксных оптимизационных задач'и свойств их точных и приближении, реиений. Разработка численных: методов решенья подобных задач для достаточно йшроких классов управляемых объектов и допустимых управлений и изучение их сходимостоЛ.

Методы, исследования, использованные в данной работе, относятся к теории ; управляемых случайных процессов, теории динамической и стохастической оптимизации,„теории игр.

Научная новизна и практическая ценность. В работе цредлокеп ебщий подход к рассмотрению широкого класса конфликтно управляемых процессов типа игрових задач поиска. Предложен 'математический аппарат ' для решения вознккакщп сложных оптимизационных задач, На рассматриваемые классы конфликтно управляемых объектов перенесены' метода исследования, разработанные для управ^яс-мах случайных процессов с непрерывным временем. Получены теоремы о существований представлений для рассматриваемых классов управляемых объектов и допустимых классов управлений. Доказаны теоремы о существовании ревекий, полученных оптимизационных задач, при достаточно естественных предположениях, и указаны классы допустимых управлений, на которых могут быть получены е-оптималъные управления. Получены свойства оптимальных и е-опгишлышх управлений. Для достаточно .широких классоЬ управлений и некоторых классов управляемых объектов пол-учены два численных метода вычисления приближенных решений оптимизационных задач и доказаны теоремы о их сходимости.

Полученные в диссертации результаты могут быть использованы для дальнейших'теоретических исследований конфликтно управляемых процессов, функционирующих в условиях неполной информации о состоянии, для игровых .задач типа задач поиска движущихся объектов и чрч разработке методов построения решений антагонистически)? игр в сменянных стратегиях. Предложенные

. - з -

часлетшв метода нахождения приближенных решений соответствуй;',и оптимизационных задач могут послукить основой для создания практически полезши алгоритмов и программ.

Апробация работа. Результаты диссертационной работа докладывались на научном семинарэ ИК АН Украина "Управление г. условиях конфликта и 'неопределенности", на республиканском семинаре по проблеме "Кибернетика" "Моделирование и оптимизация конфликтно управляемых процессов в различных физических средах" п Киевском государственном университете икона Т.Г.Шевченко, нп X Всесоюзном совещании по проблемам управления (Алма-Ата, 193ьг.)? на семинарэ Института математики и механики Уральского отделения ЛИ СССР (руководитель профессор Чекцов А.Г.), на семинаре Института проблем механики ЛН СССР (руководитель д.ф.-м.н. Пашков А.Г.).

Публикации. По теме диссертационной работа опубликовано 6 работ .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав г списка литературы. Объем работы 106 стр. Список ляторатурц содержт 132 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РЛСОТЫ

Во введении дается краткий обзор исследований, примыкеищ'.х ¡с тема диссертационной работа, и приводится анализ результате;!) диссертации по параграфам.

Первая глаза посвящена изучению кшшна:«мшх задач для стохастических конфликтно управляемых проинсюз. 3 ней приведен необходимый математический аппарат, доказаны теирет, ягрсвда анналогкчную роль теоремам о. существовании реаекий для управляемых систем, получены условна для суиис-твовадил оптимальных рошзний сптшзапиошшх задач и изучен; классы с-оптимальшх решений.

В первом параграфе вводами олределелия управляемого объекта и управления для рассматриваемых конфликтно управляемо; процессов.

. Пусть (х,ЧГ) к - два полных сепарабелышх метрически;;

пространства о ооогсвготвувдиш о-алгебршь Первое пространство будем рассматривать в качества фазового пространства состояний, а второе - в качзотвэ фазового пространства упра£Лоти\. Вси

t . с'гркваемне в дальнейшем процессы будут определяться над ' ' ; .всм Ж = LO.T] с к1.

Ьудем обозначать чэрез «I0'T1 и ч!°'Т1 пространства всех 1>уг.тíuiiit, определенных на [0,Т] и принимающих значения из я и v соответственно. Через Кш,т1 и В10'71 обозначим минимальные а-алгебры, содержащие все цилиндрические множества вида

Ot(A) = { *(■): х(-)е *,0'Т\ x(t)s А ] , teS , Aell

0t(B) = £ !(■)! *(■)« «t0'T1, x(t)e В | , teX , Be®

соответственно. Будем обозначать через lf и !51 - а-алгебры, оодэркащиэ цилиндрические множества с основаниями на [0,t] , а

через 1Г°= U tf и U S°n.

o<e<t 0<в<1

Onpede.iение I.I. Семейство вероятностных мер (i(A/u(- )), Aelf°'T1, u( -) е i/OT1 будем называть управляемы, объектом, если выполнено следующее условие:

V teto,!] и А<М p(A/u(-)) - S$l~"-измеримая функция u(-).

Определение 1.2. Семейство вероятностных мер v(B/z(■)), BgS10'". х(- ) е «IU,T) будем называть управ'лениел, если выполнено оле думце е условие :

V tero.T] и Ее81 v(B/x(-)) - <Ц1-измеримая функция х(-).

Определение 1.6. Управление v{-/-) назовем ступенчотьи, если мэра гЧ-/х(')) для всех х (■ сосредоточена на множестве

ступенчатых функций.

Пусть {£),©,?} - некоторое вероятностное пространство. Будем говорить, что случайный составной процесс (|(t,o)),T](t,u)), tetO.i'3, (¿rXl, является представлением управляемого случайного процесса с управляемым объектом }!(•/•) и управлением v(-/-), если выполнены следующие условия:

• • для всех Aetfe'T5a B€ÍB,0'T1

р{ (С(-,Ь)),Л('..Ш))еАх{и(-)} / Т)(-,Ш)=и(-) } = р(А/и(- )),

fí (?(■ ,ш))е{х(-))xB / |(.,Ш)=Х(-) } = V(B/X(.)).

Пусть заданы ц(-,') и v(-,-) - управляемый объект и '71{.')рдпнцр. В обшем случае, вообще говоря, может но существовать

такого случайного составного процесса (£(Ю.Т)и)) е « х с заданными объектом управления и управлением, не говоря уже о его единственности. В случае же ступенчатых управлений такое представление при достаточно естественных предположениях существует, причем оно единственно в смысле стохастически! эквивалентности. 1 .

В теореме 1.1 сформулированы условия на рассматриваемы?, объект управле1шя и допустимую ступенчатую функцию управления , которые гарантируют для этого объекта и управления существование представления ).

Рассмотрим теперь управление тЧ-Л), для которого у(Б[°'т>)/х(. )) = X для всех х(• )е*10'Т!, где -

пространство функций и<-Ь), не имеющих разрывов второго рода, непрерывных справа и в точке t=a,. Обозначим через ро метрику в введем в в1°'т'(1ч) семейство операторов 8е:

[Seu](t) = и(\) при г.^^, (I)

где то<,с><..'. - точки, рекурренгно определяемые соотношением

а = 1п£ [Ът , р <и.(1;),и(т; ) )>е]; воли кв вир р (и(*),и(т ) )<е,

I >т.

I

то полагаем и(Т)=и(х.+1). По определению [Зси](';) верно

неравенство

вир Рв ( ^з^и] ) < е.

Будем обазначать через Ч?°,Т'(П) а-алтебру борелевских шюкеств в ТГЛ\ Отображение [3£иШ) измеримо отображает всс'т' в о'"'1'. Обозначим далее чорэз Уе.(в/х(-)) управление, задаваемое равенством

"1»£(В/х(- )) = [Яеи]{. )еВ>/х(-)) . (2)

Эта мера действительно является управлением, так как для любого цилиндрического множества В с основанием над ЮД] множество

18еи-](.)еВ} 6 ^(В), где и'(п) - о-алгебра в ЧГ'"'тЧи), порождаемая цилиндрическими множествами с основшшсм над [ОД].

Обозначим через (£е(+,).т)е()) представление управляемого процесса с объектом управления •/•) и управлением Приведем условия, когда существует предел птого представления при е-»0 и являющийся представлением объекта управления ц(-л ) управлением !'(•/•).

Теорема 1.2. Пусть у - локально компактное пространство и пусть управление для управляемого объекта р(■/•) удовлетворяет

следующим условиям:

Л. Для всех )еП'°'Т,(М) г(Б'0/"(<и)/х(-))=1!

2. Существуют такие представления (££(1;),т7с(-1;)) объекта ц(-/-) с управлением )■ что£яШ стохастически непрерывна

го ^[О.т], Т|а(1;) с вероятностью I но имеет разрывов, второго рода и равномерно непрерывны по е.

С. Для представления объекта ц(-/-) с детерминированным управлением и(- )еВ1°'Т1(ч) функция £ )) стохастически непрерывна по совокупности переменных, равномерна по е и разномерно ограничена на 1*=[0,1Ь

4. Функция т|е(- ,х(-)), определяемая соотношением для всех Б,-!В10'Т1 И х(-)ей°'т>(*) Р(т;£(. ))еВ} = Уе(В/х(-))>

с вероятностью I не имеет разрывов второго рода и равномерно непрерывна по е.

5. Для произвольного а>0 и ио(- (и) существует п>0,

что для всех (и) \ {и(-)!pI>(u(t),u(t))<R}

/%[•)) <с.

Тогда существует представление объекта (!(•/•) о управлением V(• /■) что стохастически непрерывна по ъ, а

т)(1) с вероятностью I не имеет разрывов второго рода.

Во втором параграфе рассматриваются общие минимаксные формулировки оптимизационных задач, изучаемые в данной .диссертации.

Пусть (К,У) и с*,®) - два полных сепарабельных метрических пространства с соответствующими с-алгебр&ш. Пусть (<и,й>) и - компактные метрические пространства о о-алгеорэми на них. Пусть

Р': о'°'гз )>-101С''Г](1и)хс'о'т1 (\7 )хй"3,т'(V)-» к - такая ограниченная

функция, что функции 14-, • ,у(- )•?(•)) и )«и(-)• »•)

непрерывны по совокупности . аргументов )е0,ОЛ5(к)»

и у(-)еО,от,СV (• ) соответственно.

Пусть на ларах (^,55) и (»,£>) задвны

управляемые объекты -с соответствующими управлениями

).Vе(• /•) и (■ /■ ),-/(■/•), для которых выполнены условия теоремы 1.2. Следовательно, существуют представления

(E'(t)fT}E(t)) и (tP{t).Tir(t)). Эти представления порождают пп

пространствах (V) и с [°'T1(v)xl>"vn(V)

регулярные вероятностные меры, которые будем обозначать как це(-А )evE(./-) и fip(./-)mi'p(-/.)) соответственно. Существует единственная регулярная вероятностная мера ц(0 на топологическом произведения пространств c,0'TI («)xx/O Ti (ч )xCto'T) (>?)хе!ОЛ' ("'), являющаяся произведением мер цс(-А )«г>Е(-/-) и up(-/- )).

Й, следовательно, верна следующая теорема.

Теорема 1.3. При , приведенных внее предположениях об управляемых объектах цЕ( ■/•) и цр(-/-) с соответствующими управлениями иЕ(•/•) и vp(•/■) и функции F{•,•,-,•,) существует

функция S ! rpm(C,0'T1(^)xDlo'T1 (4J))xrpm(Oco'T1 {У )xDIO'T1 (V) )-♦ R, где грт>(•) - множество вероятностных регулярных мер но соответствующем пространстве, однозначно определяемая соотношением

= | Р(х(-),и(-),у(-),v(• )) [X(d((r{-),u(-).у(. ),v(-)), (3)

где ц( •) = (цЕ(-/- )®vE(-/-) * \xri-/-Ye>vp (■/■)).

Пусть выполнены предположения теоремы 1.3. Тогда можно сформулировать следующую игровую постановку основной проблены.

По заданным объектам управления |хЕ(• /■ ) и цР (• /■ ) и функционалу платы S игрокам р и Е нужно найти такие управления vE(./. )е31 и )eW из классов допустимых управлений К 'и ж,

подмнояесгв классов управлений с вероятностью I, не содержащих разрывов второго рода, чтобы игроку Р минимизировать, а .игроку Е максимизировать значение ' функции

З(ц*(-Л ).>*(•/• )®г/(•/■ )).

Интересующие нас проблемы могут быть формально записаны как:

максимизировать rro vE(• /■ )GJl функцию е^е н(£е(- ),rf (■ )), где

Й(х(.},и(.))= Inf Г V F(£E(-),Tf(-).?'!■ ),т)р(. )) ],• (4) v*em

минимизировать по i/(V- функция) Q(iT(-) )), гдо

Qiy(;),v(-))= вир [ E^ (■),Tf(0,iPl').Tf(->) ]. (Б) " VE€'Jt •

Теореыа 1.4. Пусть выполнены предположения теоремы 1.3. Пусть также множества Ш и 31 таковы, что для всех

::(• )eDto,T1(K) И у(■ )eD[°'"(V)

I ■ vE(Bu5'T,(uo)/x(.))=I,

VP(DIO'T,(W o)/y(.))=I,

где 4.'0£4J.k wocv компактные множества, тогда, существуют такие регулярные вероятностные меры v^fil и i^eSt, что

Si|ic(r/-),М-Р(•/■ )) <

< S((iK(./-)®ve(-/-),M.''(-/-W(■/■)) <

< Б(р.Е (•/■ ) ))

для всех г^еШ и Л=5П и ••

Inf E^fsup [ Е^ Р(£к(. ),Т1Е(-)ДН('),Г)Р(- )) )) = v'eJR vEeSi __ ' ..

- sup ЕуЕ[ Inf [EvF PU'CO.TfM.fM.Tf(•)) ]] = VEegl г>РеЙ

= е-ё e-r p(e"(.).tl"(- ).£■■(• (6)

В третьем параграфе доказанн теоремы 1.4 и 1.Бо существовании решений - минимаксной задачи (6) для параметризованного класса допустимых управлений и для класса управлений с простыми ограничениями.

Во второй главе излагается численный • метод решения минимаксной задачи (6) в том случае, когда класс допустимых управлений одного из игроков является параметризуемым«

В первом параграфе дана формальная постановка рассматриваемой задачи. '

Рассмотрим следующую минимаксную задачу: найти Еектор х, на котором достигается минимум функции

Т(х) = max Г v(x,y)dH(y) . (7)

НеК J .

при условии

KelcE", (8>

где yeYcEm.a к - множество таких функций распределения н, которчо удовлетворяют сотношениям

Qk (II) = Kyqk(y) = J qk(y)dH(y) < О, к=Т7Г, (9)

Y

»

J dH(y) = I. (Ю!

T

qk (y), k=T7I, - заданные фуншии.

Возможные методы минимизации т(х) зависят от процедуры нахождения решения "внутренней" моксимизационной задачи: пойти такую функция распределения н, которая максимизирует

Q°(H) = Е>л°(у) = J q° (y)dH(y) * (II)

Y

при ограничениях

Qk(H) = Eyqk(y) = J qk(y)dH(y) S 0. k=I7I, (121

Y

J my) = I, • (i3)

Y

где q , k=DTT, - заданные функции e^e*.

Решение задачи (II)-(13) wokho свести к решению' следующей задачи линейного программирования :

найти точки jH с Y, j = T7i. t < 1+1 и действительные) числа Pj, i = ГЛ. такие, что

i

J q° (У )р. = max (14)

j

при условии

2 qk(y,)PJ í o. í-TTi; (15)

j=» t

2 Pj = i, Pj > o. j=irt. cíe)

i

Лалее в этой параграфе описана основная идея численного алгоритма решения задачи (П.)-(13).

Б параграфе два рассмотрена двойственная к задаче СП)-(13) следующая задача:

г

min mas q (у) > ОД'(У) > (I?)

J J'fiY L kE"! J

if

ugU гдз • , .

= u : u = (U!»u2« ■ ■ )» i=l.m j.

Доказана следующая теорема 2.1. Теорема 2.1. Пусть

1. Y компакт и qv (у), v = OTT, непрерывны.

2. Int со z /О-

Тогда

1. Решение -обеих задач (II)-(13) и (17) существует и оптимальные значения для обеих функций совпадают.

2. Для любого решения и* задачи (II)-(I3) существует uW, т.чкой, что .

■ йога Н* £ Y(u"). Дулее б параграфе рассмотрена задача

глах£°(Н); (18)

gl(H) < 0, i-TTmj (19)

J«JH<

У) = I. (20)

' У

гцо е'(Н), 1=Т7т, - заданные нелинейные функции, зависящие от Функция распределения Н, определенной на множестве У. В Теореме 2.Р. указаны условия на функция что существует реиениэ задачи (18)-(20), и монаю указать двойственную задачу, вид которой

эквивалентен (17).

Теорема 2.3. (Условия оптимальности). Пусть выполнены предположения теоремы 2 Л и пусть р - решение задачи (14)-(16} при фиксированных у = (у'.у7,... ,у"Ь усЩ1"^- Тогда у,р будут решением задачи (П)-(13), осли для заданного у существует решение (и,и.....и) задачи (17), такое, что

I

Ч°(у) ~ ^Г ¡\Чк(у) - < о для всех уеУ. (21)

к = 4

Теорема 2.4 дополняет георему 2.1 и позволяет свести рзаетгио задачи (II)-(13) к решении двойственной задачи (17).

В третьем параграфе дан численный алгоритм решения задачи (П)-(13) и доказана теорема 2.Б о его сходимости. Рассмотрим функций

I

ф3(и) = шах Г а°(у^) - У ^(у""') 1,

Где Су*'1 .у'• • • ,увЛп} - приближенное решение по у на в-той итерации, а рэ определяется через решение и* '=* (и°,и°,.. .и"<5) двойственной задачи (17).

Теорема З.б. Пусть выполнены условия теорвми 2.1 и ьерни следующие дополнительные условия:

1. Существует неубывающая функция х(Ю, <;е(0,с»), т(0)=0, т(1; )>0 для t>0, что

73 < -х(ф(и* НДи">).

2. 5 > 0, 6 -»О ДЛЯ в -»'со.

8 *

Тогда каждая сходящаяся подпоследовательность последовательности {ув'1.у"'2г....уа'и,}.р" сходится к решению задачи (11)--(13).

Далее приведена модификация численного алгоритма, упрощающая его, но для него приближенные решения стремятся к оптимальногу только по функционалу. Доказана следующая теорема. Тэорэыа 2.6. Пусть виполнекн условия тбореми 2.1 и верны следующие дополнительные условия: _

ю

I еа > 0, £в -> О ДЛЯ о ОО, 2 ^а = Ю'

в =0 °

2.г, /и О.

а ' з

Тог,-;а у > = и стремится к решению (II)-(13).

В третьей плаве рассматривается модификация задачи (II)-(13) для случая, когда "внешняя" задача имеет вид: найти такой вектор параметров управления х, хся:™, который максимизирует

С!°(к) = = | 4° и,зОбЦ^у) (22)

У

при ограничении

х е Б»

где - семойстьо мер, соответствующих некоторому множеству марковских однородных процессов с функциями переходов Рх.

В нервом параграфе даны математическая постановка рассматриваомоЯ задачи и принятые ограничения. Основная олокность & использовании идеи алгоритма из второй главы заключается в нахождении стохастического субградиента функции (к). Предлагаотся следующая его оцв1ша:

О"' (и)-0~' (и)

у _ X 4 С Х- С

го

где <С=(и).о;!с№) - Функции от случайной величины и, равномерно распределенной на [0,1], и имеющие функщм распределения и-^и о, соответственно.

—х-с

Во втором параграфе предложены численный мотод решения задачи (11)-(13) к теорема о сходимости метода.

В третьем параграфе приведены доказательства те >роим 3.1, 3.2 и'вспомогательной теоремы 3.3.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ I. Для введенных объектов управления к■ управлений без разрывов второго рода доказана теорема о представлении в виде случайного процесса.

¡3..Для поставленных минимаксных задач получены ряд теорем о существовании решений.

3. Получены свойства оптимальных решений и их е-приближений.

4. Для параметризированного класса управлений одного' из

игроков предложен численный метод нахождения решения и доказаны теоремы о его сходимости.

5. В случае, когда допустимое множество управлений одного из игроков соответствует некоторому марковскому процессу, получен модифицированный численный метод решения и доказана его сходимость.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Чикрий Л. А., Гриневский А. Э. Непрерывная задача поиска с дискретным распределением состояния // Докл. ЛН УССР Сер. А. — 1985. — №9. — С. 70—73.

2. Грицевский А. Э., Хомин А. В., Чикрий А. А. О дискретной задаче поиска // Исследование методов решения экстремальных задач. — Киев : Ин-т кибернетики им. В. М. Глушкова АН УССР, 1986. — С. 21—24.

3. Грицевский А. Э., Чикрий А. А., Хомин А. В. Игровые задачи для управляемых процессов с распределенным начальным состоянием // 10-е Всесоюз. совещ. по проблемам управления. Тез докл., Кн. I, Алма-Ата, 1986. — Москва, 1986. — С. 43—47.

4. Грицевский А. Э. Об одном способе поиска движущегося объекта // Методы решения экстремальных задач и смежные вопросы. — Киев : Ин-т кибернетики им. В. М. Глушкова АН УССР, 1989. — С. 30—34.

5. Грицевский А. Э., Клименко Е. В. О поиске движущейся цели // Исследование методов решения экстремальных :'пдач. — Киев : Ин-т кибернетики им. В. М. Глушкова АН УССР, 1990. — С. 80—84.

6. Грицевский А. Э., Клименко Е. В., Чикрий А. А. Стохастические модели для конфликтно-управляемых систем с дискретным временем // Кибернетика и вычисл. техника. — Киев, 1991. — Вып. 89. — С. 47—52.

ГТодп. в пс-ч. 04.11.91. Формат 00X84/16. Бум. гшеч. цв. Офе. псч. Усл. печ. Л. 1,05. Усл. кр.-отт. 1,0.3. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 1695. Бесплатно.

Редакцношго-издательскнй отдел с полиграфическим участком Института кибернетики имени В. М. Глушкова АН Украины 252207 Киев 207, проспект Академика Глушкова, 40