Некоторые математические проблемы теории упругих и вязкоупругих конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГ6 од 1 АЬК 199В

На правах рукописи

ЛЕБЕДЕВ ЛЕОНИД ПЕТРОВИЧ

НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ УПРУГИХ И ВЯЗКОУПРУГИХ КОНСТРУКЦИЙ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ростов-на-Дону 1998

Работа выполнена на кафедре теория упругости Ростовского государственного университета.

НАУЧНЫЙ КОНСУЛЬТАНТ - доктор физико-математических наук,

профессор, академик РАН ВоровичИ.И. ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физико-математических наук,

профессор, академик РАН Бабешко В А. доктор физико-математических наук, профессор Победря Б.Е. доктор физико-математических, старший научный сотрудник Сумбатян М.А. ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Санкт-Петербургский государственный

университет

Защита диссертации состоится, II укШэА_1998 г.

в 1522 часов на заседании диссертационного совета Д 063.52.07 по физико-математическим наукам в Ростовском государственном университете во адресу:

г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 5, РГУ, механико-математический фаукультет, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ (ул. Пушкинская, 148).

Автореферат разослан ) т- Яй и>УД_ 1998 г.

Ученый секретарь м

диссертационного совета Боев Н.В.

Актуальность исследований. Математическое исследование задач теории упругости и вообще механики сплошной среды имеет столь продолжительную и насыщенную событиями историю, что для ее написания потребовалось бы много томов. Дополнительная проблема здесь заключается в том, что зачастую решение частной задачи механики сплошной среды является прорывом в области качественного математического исследования общих задач. Достаточно вспомнить классические исследования устойчивости стержня Эйлером или исследования Сен-Венана. Поэтому в данной работе, в качестве исторической справки, уместно упомянуть лишь одну ветвь математических исследований задач механики сплошной среды, основанную на общей современной теории уравнений в частных производных и методах функционального анализа и объединенную, в основном, методами и аппаратом исследования. Общепризнанным родоначальником этого направления является выдающийся отечественный математик С.Л. Соболев, с классических работ которого в обиходе исследователей появились понятия обобщенных производных, соболевских пространств и теорем вложения. Упомянем здесь его классическую книгу "Приложения функционального анализа в математической физике (1951) и его раннюю работу по механике 1939 г. Впрочем, корни этого аппарата прослеживаются в работах выдающихся математиков прошлого века. Ограничимся этой более частной областью методов исследований механики.

В дальнейшем исследовании математических проблем механики сплошной среды приняли участие как отечественные, так и зарубежные специалисты. Под термином "математические проблемы механики", которое здесь поневоле приходится сузить, мы будем понимать исследование математической постановки задач механики сплошной среды, их разрешимость в различных классах, единственность и неединственность решетам, качественные свойства решений такие, как их дифференциальные

свойства, поведение решений в определенных условиях, в частности, неисчерпаемая проблема устойчивости решений и состояний объекта исследований. С этим кругом вопросов неразрывно связана теория приближенных методов решения соответствующих задач механики сплошной среды. Здесь возникают вопросы сходимости приближенных методов, решение которых часто дает ответ на чисто математические проблемы, такие как проблема разрешимости задачи или качественного поведения ее решения. Проблема математического исследования приближенных методов, как, впрочем, и вся общая математическая теория механики сплошной среды, весьма далека от своего завершения.

Основой современного подхода к изучению математических вопросов механики является метод обобщенных решений. Существуют различные подходы к введению этого понятая в конкретных задачах. В западной литературе, в основном, отправной точкой для техники обобщенных решений являются чисто формальные математические преобразования и теория распределений Л. Шварца. В данной диссертации используется один из наибопее последовательных подходов к обобщенной постановке задач, который был разработан И.И. Воровичем в серии работ по теории оболочек. Он характеризуется тесной привязкой постановки задачи к её механическому содержанию, к вариационным принципам механики, а также использованием в качестве пространств, в которых рассматривается соответствующая задача, так называемых энергетических пространств, нормы которых образованы путем выделения из функционала внутренней энергии его квадратичной части. Данный подход удачно сочетается с методами функционального анализа, в частности теорией соболевских пространств. Получаемые результаты, как правило, имеют очевидную механическую трактовку и наглядность. Топологический подход, развитый в докторской диссертации Воровича, позволяет, практически не меняя средств исследования качественных вопросов

соответствующих краевых задач, рассматривать вопросы сходимости лирохого круга вычислительных методов, применяемых в механике сплошной среды.

Целью работы является математическое исследование постановки задач /других и вязкоупругих нелинейных оболочек: определяющие соотношения геории, обобщенная постановка задач, теоремы разрешимости, обоснование триближенных методов решения данных задач, а также некоторые проблемы устойчивости решений.

Научную новизну составляют следующие результаты, полученные автором:

1. Необходимые и достаточные условия устойчивости решении начально-краевых задач линейной вязкоупругости с определяющими соотношениями в дифференциальной форме (динамика и квазистатика). Введение понятия устойчивости вязкоупругого материала.

2. Полная обобщенная постановка задач для вязкоупругих пологих н непологих оболочек при: дифференциальной форме определяющих соотношениях. Теоремы разрешимости для нескольких вариантов данной теории в задачах динамики и квазистатики. Теоремы единственности для задач динамики при некоторых дополнительных ограничениях. Обоснование проекционных методов решения данного класса задач, в том числе метода конечного элемента.

3. Теорема разрешимости для случая упругой пологой оболочки с устранимой особенностью координатной системы на срединной поверхности при общих краевых условиях.

4. Достаточные условия устойчивости решения для упругих нелинейных оболочек. Отмечена зависимость устойчивости решении упругих задач от термодинамических режимов нагружения оболочек.

5. Доказанная корректность постановки задач нелинейной теории упругих оболочек по отношению к слабым изменениям формы оболочки и

типа ее краевых условий.

б. Обобщенная постановка задач для нелинейной пластины с подкрепляющими ребрами и теорема разрешимости соотвнствующих задач в общем случае.

Методика исследований. В работе использован традиционный аппарат нелинейной теории дифференциальных уравнений частных производных в модификации, разработанной в трудах И.И. Воровича. Основой методики служит введение понятия обобщенных решений, основывающееся на вариационных принципах механики. В дальнейшем обобщенное решение задач и некоторые численные метода его нахождения исследуются с использованием вариационной и топологической техники. Практическое значение диссертации. Дается строгое обоснование возможности применения различных моделей теории упругих и вязкоупругих оболочек в теоретических и практических исследованиях. Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на семинаре кафедры теории упругости РГУ, руководимой академиком И.И. Воровичем, семинаре, руководимом проф. Н.Ф. Морозовым (ЛГУ), а также на следующих конференциях и семинарах: 11-й Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин, Харьков, 1977; Семинар по некл. пробл. теории пластин и оболочек, Ивано-Франковск, 1980;

Всесоюзн. семинар "Проблемы нелин. механики сплошной среды", 1987; 5th National Congress on Mechanics, Greece, Ioannina, 1998; Восьмая межвузовская научная конференция Математическое Моделирование и Краевые Задачи", 1998.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в публикациях 1-19.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка основной используемой литературы, содержащего 131

гаименование. Полный объем диссертации - 296 стр. машинописного екста.

Содержание работы

В диссертации рассматриваются различные вопросы .^тематической теории упругих и вязкоупругих оболочек, связанные с гроблемами разрешимости задач, с понятием устойчивости и обоснованием меленных методов решения. ,

При исследовании тех или иных проблем механики центральная юль отводится проблеме определяющих соотношений. В данной работе осматриваются упругие и вязкоупруггее оболочки. Несмотря на то, что еория вязкоупругости уже достаточно установившаяся наука, в ней меется довольно большое число открытых вопросов, касаюпщхся >пределяющих соотношений. Существуют несколько типов моделей !язкоупругой среды, из которых можно выделить интегральную форму Представления определяющих соотношений и дифференциальную. Дифференциальная форма соотношений вязкоупругости в определенных условиях может быть сведена к интегральной. Поэтому, в основном, юследования общих вопросов вязкоупругости касались именно штегральной формы представления определяющих соотношений. Имеет :мысл отметить, что интегральная форма определяющих соотношений, >'удучи более общей, однако вносит существенные и неустранимые рудности при численном решении задач. Поэтому при практическом >ешении задач в основном используется дифференциальная модель.

Начальный период развития теории вязкоупругих задач связан с менами Максвелла, Кельвина, Фойхга. Современный подход к теории был >азработан в трудах B.D. Coleman, W. Noll, С. Truesdell. Различные аспекта еории и практики решения задач вязкоупругости были рассмотрены в рудах и монографиях A.A. Ильюшина, Б.Е. Победри, Ю.Н. Работноваи др.

Для исследования вопроса динамической устойчивости

вязкоупрутих оболочек в геометрически нелинейной теории необходимо предварительно изучить понятие устойчивости поведения самого вязкоупругого материала. Этому вопросу и посвящается первая глава диссертации.

C(d!dt) <si} = A(d/dt) ъкк 5 v +2B(d!dt) ву (1)

где а - компоненты тензора напряжений; - компоненты тензора деформаций, связанные с компонентами вектора перемещений и = и2, ы3) соотношением ец = \l7(dujdxj + ди^дх{)', А(р), В(р), С(р) -некоторые многочлены переменной р = dldt с постоянными коэффициентами; 5у - символ Кронекера; (i,j, k) е {1, 2, 3}. Здесь и всюду далее используется правило суммирования по повторяющемуся индексу.

Уравнения движения вязкоупругого тела в перемещениях имеют

вид

B(d!dt) Ли + (A(dldt) +B(d/dt))VV ■ и =

= р (ô/Sr)2C(a/ôi) и - C(d/dt) F.

Здесь также рассматриваются уравнения квазистатики

В(д/д() Ди + (A(dfdt) +5(ô/Sr))VV • и = -C{dfdt) F.

Постановка краевых задач для этих уравнений требует задания краевых и начальных условий. В смешанной форме краевые условия имеют вид

где dV-i и dV2 - взаимодополняемые части границы области, занимаемой вязкоулрупш телом. Начальные данные имеют вид

и|!=0 = u0 du/dt\t=0 = U| , 5"+1 u/5ie+1|t-0 = u я+1 где n определяется порядком дифференциальных операторов А, В, С.

В первой главе рассматривается одна общая проблема теории линейной вязкоупругости, тесно связанная с проблемой устойчивости тривиального решения соответствующих краевых задач. Вопросы

устойчивости решений задач линеГмон вязкоупругости были впервые рассмотрены теоретсгчески в работах С.М. ОаГеппо5. В данной диссертации исследуется понятие устойчивости вязкоупругого материала, основашюе на известном принципе устойчивости естественного ненапряженно-недеформированного состояния вязкоупругих тел. Такой класс вязкоупрушх материалов существует на практике. Грубо говоря, вязкоупрупш материал называется устойчивым, есш! для всех разумно поставленных краевых задач для любой формы области и любых краевых условиях вязкоупругах тел тривиальное решение является (асимптотически) устойчивым по Ляпунову. Естествешю, краевые условия должны быть такими, чтобы за их счет не происходила "подпитка" энерпш во время релаксации. Для качественного исследования данного класса материалов исследуется проблема устойчивости для дифференциальной модели вязкоупругости. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости тривиального решения для ограниченных тел и различных типов краевых условий. Математический аппарат использует как теорию собственных функций Коссера, так и теорию преобразования Лапласа в пространствах функций со значением в гильбертовом пространстве. Получены следующие качественные выводы:

1) Устойчивость вязкоупругого материала - понятие, тесно связанное с естественной постановкой начально-паевых задач линейной вязкоупругости.

2) Устойчивость однородных состояний конкретного вязкоупругого тепа, вообще говоря, не гарантирует устойчивости вязкоупругого материала.

3) Из (аашптотической) устойчивости по Ляпунову тривиального решения задачи квазистатики вязкоупругого тела, вообще говоря, не вытекает такая же устойчивость в динамике.

4) Из (аашптотической) устойчивости по Ляпунову тривиального

решения для первой основной задачи линейной вяз коупру гости не вытекает, вообще говоря, такая же устойчивость в рамках второй или смешанной задачи.

5) Достаточные условия устойчивости по Ляпунову тривиального решения трехмерных динамических задач вязкоупругости не являются достаточными для подобной устойчивости в задаче о плоском напряженном состоянии.

Дальнейшая часть диссертации посвящена непосредственно математическим вопросам нелинейной теории оболочек. В развтии этой части теории оболочек принимали участие как отечественные, так и зарубежные специалисты. Следует подчеркнуть существенный вклад в теорию работ И.И. Воровича, определивших и сформировавших современные представления в этом круге вопросов, в частности, в теории упругих пологих оболочек. В данной диссертации существенно используются идеи и методы, развитые в указанных работах. Весьма важный круг задач качественной теории пластин и оболочек был рассмотрен в работах Н.Ф. Морозова и его учеников. В исследовании различных аспектов линейной и нелинейной математической теории оболочек принимали участие Б.Д. Аннин, Н.И. Векуа, ЮА. Дубинский, A.C. Кравчук, В.А. Крысько, С.Г. Михлин, В.И. Седенко, U.C. Срубщик, А.М. Хлуднев, ИШ. Шлафман, Б.А. Шойхет. Список зарубежных исследователей также не слишком велик. Здесь можно упомянуть J.-L. Lions, M.Bemadou, P.G.Ciailet, S.S.Antman, M S.Berger, G. Fichera, P. C.Fife, W.T. Koiter, J. Wolkowisky.

Вторая глава посвящена различным математическим вопросам динамики вязкоупругих оболочек. В данной главе рассматриваются некоторые общие вопросы нелинейной теории вязкоупругих оболочек среднего изгиба, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява. Кинематические соотношения теории впервые были предложены в работах Койтера, они

ущественно используют аппарат дифференциальной геометрии, реформация оболочки описывается тензором деформаций срединной

ар

юверхнсюти у = уара а и тензором изменения кривизн срединнои юверхностир = рарааар, компоненты которых имеют вид:

у = 9 „ +■ 1/2 © ф0, р =1/2 (ф , + ©., ),

'а? ар гар ^а|Р

де 9^ - компоненты линеаризованного тензора деформации срединной говерхности, а фа - углы поворота нормали к срединной поверхности. В еории непологих оболочек эти величины берутся как

* . = -ir О* I. + и.. ) - ^ . Ф = w + Ь мХ = w + Ъх и,.

ар 2 а|р ар ' ^а .а аХ ,а а X

!десь wзи3зыз.

Соотношения теории пологих оболочек имеют вид: у =9 „+ 1/2 w w „ в 1/2(м + ii ) -Ъ aw + 1/2 >v w „,

ар ар ,а ,р 4 а|р р|а' ар ,а ,р'

Р =w, „= W 1 „ W ф =VC .

гар ¡сср ,аР ар .а

Определяющие соотношения теории базируются на линейной еории вязкоупругости (частный случай соотношений (1)), которые на юнове гипотез теории оболочек Кирхгофа-Лява сводятся к [ифференцкальным соотношениям между компонентами тензоров [еформации у, р и моментами m и тангенциальными напряжениями п в »болочке. Дальнейшее интегрирование по времени приводит соотношения утя компонент к интегральной форме

ли = яу¿СО * С^1ук1 г) YMJZ,

rav((0 + h2/l2 с»»рк1 -h2/l2f03,J"(t, z) рkl(x)dx

:оторая позволяет ввести обобщенное решение начально-краевых задач в ерминах вектора перемещений. В последних соотношениях компоненты t'Jo(t)> т'\(0 ~ известные функции, определяемые начальными

данными для тензоров напряжений и деформаций.

На базе принципа возможных перемещений с учетом динамики (принцип Даламбера) вводятся уравнения динамики оболочки. Данные уравнения служат базой для естественного введения понятая обобщенного решения задач динамики вязкоупругих оболочек.

e \1 L {F 1 5и+рА duldz d5ujdx)da dx +Jpftii1,5a,dQ| _„ (2)

• О * ' О *

где 5uf - виртуальные перемещения (SwJ^rO), 5уар, Spap- вариации тензоров деформаций, и - начальные значения 8и'/д(\1=а. Задаются краевые условия (сначала рассматривается оболочка с жестко защемленным краем, а затем и другие виды краевых условий uj^ = 0, dujdn^ ~ и начальное условие для вектора перемещений и' | (=0.

Изучается постановка основных краевых задач динамики как пологих, так и непологих оболочек.

Каждый из рассматриваемых вариантов теории вязкоупругих оболочек требует отдельного исследования вследствие наличия особенностей, присущих каждому из них. Внутри каждого из вариантов теорий полошх и непологих оболочек имеются подварианга постановки задач динамики: инерция движения может вводиться как с учетом инерции вращения элемента, так и без учета. Помимо этого, в рамках задач для пологих оболочек часто бывает можно пренебречь инерцией продольных колебаний. Этот класс задач также требует отдельного рассмотрения. Строгая математическая постановка соответствующих задач требует введения так называемых энергетических пространств. Свойства элементов и норм в этих пространствах исследованы и сформулированы. Введение обобщенной постановки задач проводится единообразно, но для каждого типа задач используется ему соответствующие энергетические пространства. Обобщенная постановка вводится таким образом, чтобы классические

>ешения задач были бы и обобщенными решениями этих же задач. Обобщенное решение задачи принадлежит определенному энергетическому гространству и удовлетворяет уравнению (2) для всех возможных геремещений из того же энергетического пространства. Кроме того, должно )ыть выполнено отдельно начальное условие для вектора перемещений и. Начальное значение для скоростей перемещений входит в уравнение [вижения, как и силовые граничные условия (в (1) не показаны).

Далее проводится исследование разрешимости обобщенной юстановки задач. Доказаны теоремы о существовании решения в рамках юех рассматриваемых задач на любом конечном отрезке времени. Метод (оказательства использует метод Бубнова-Галеркина приближенного >ешения задач. Таким образом, доказательство теоремы о существовании >ешения служит одновременно обоснованием применимости метода >убнова-Галеркина, а значит и метода конечных элементов, в рамках этих адач. Выписаны уравнения Бубнова-Галеркина для всех рассматриваемых адач динамики, доказана разрешимость этих задач в каждом приближении и любом конечном интервале времени. Затем показана сходимость юследовательноспг приближенных решений к решению основных задан и □учается характер этой сходимости. Затрагивается вопрос разрешимости адач с неоднородными граничными условиями. Здесь удается включить в »ассмотрение некоторые типы нагрузки, действующей на граничном гогауре. Для варианта пологах оболочек без учета инерции продольных галебаний, в более узком, чем класс функций с конечной энергией, получена еорема единственности. Таким образом, принципиальная возможность гешения задач теории пологих и непологах оболочек среднего изгиба )боснована в достаточно широкой области.

При исследовании движения вязкоупругих оболочек часто жазывается возможным вообще пренебречь инерционными членами. В аком случае получается так называемая задача квазистатики вязкоупругой

ободочки. Формально она получается из уравнения (2) при р=0. Задача квазистатики имеет аналогом задачи статики упругих оболочек, однако она описывает медленные, безинерционные изменения решения во времени. Естественно, что эти уравнения описывают лишь медленные движения и не всегда справедливы. Как показали численные расчеты, проведенные на каф. теории упругости РГУ, такой приблизительный характер описания движения, приводит к тому, что имеются нагрузки (медленно меняющиеся или даже стационарные), при которых в некоторый момент времени решение может обрываться (производная по времени перемещений обращается в бесконечность).

В рамках задачи квазистатики также введено понятие обобщенного решения задачи. Получены достаточные условна, когда решение задачи может быть продолжено на больший интервал времени. Нарушение этого условия является условием обрыва гладкой ветви решения задачи. Эти условия трактуются как условия потери устойчивости вязкоупругой оболочки. Следует отметить, что начало исследованиям в области устойчивости вязкоулругих оболочек положено в работах Э.И. Григопюка. Как и ранее, рассматриваются как пологие, так и непологие вязкоупругие оболочки. Обсуждаются некоторые качественные аспекты квазистатического поведения вязхоупругих оболочек, в частности, проблема устойчивости решения на конечном промежутке времени при малых постоянно действующих возмущениях нагрузки.

Следующим вопросом является соответствие между решениями задач квазистатики и динамики. Выводятся достаточные условия близости на конечном отрезке времени решений квазистагической и динамической задач под одной и той же нагрузкой и при близких начальных условиях. Получить глобальный результат не удалось: соответствующий результат, показывающий устойчивость квазистатического решения доказан лишь для "малых" решений. Данный результат свидетельствует одновременно о

•сорректности самой теории вязкоупрупк оболочек. Как и выше, рассматриваются два варианта теорш! вязкоупрупк оболочек, пологих и кпологих.

Метод, которым исследуются движения под малой нагрузкой, тереносится на случай упрупк оболочек. Тот же метод рассуждений позволяет установить для пологих и непологих упрупк оболочек эффективное достаточное условие устойчивости по Ляпунову состояния равновесия. Приводится исследование самого условия и его трактовка. Нарушение данного условия соответствует нагрузке, вызывающей потерю устойчивости оболочки. Близкий результат в других термшах был ранее получен в работах Л.С. Срубщика и В.И. Юдовича для пологах оболочек в простейшем варианте теории, когда для срединной поверхности выбирается метрика плоскости.

В последнем, третьем параграфе третьей главы рассматривается простая модельная задача устойчивости фермы Мизеса с учетом температурного фактора. Указывается, что учет температурных процессов может коренным образом влиять на характер устойчивости конструкщш. В рамках основных термодинамических процессов, для которых построены термодинамические потенциалы, показано, что устойчивость положения равновесия в смысле Гиббса эквивалентна устойчивости этого же состояния в смысле Ляпунова. Такое утверждение хорошо известно в теории упрупк систем в изотермическом случае. Более интересно, что состояния равновесия фермы, устойчивые в рамках одного процесса, могут оказаться неустойчивыми в условиях другого типа процесса. Подобное поведение должно иметь место и в оболочечных конструкциях. Кажется вероятным, что тепловые процессы могут существенным образом влиять на характер деформирования, в частности, на возможность реализации в эксперименте форм равновесия, ответвляющих от основной формы.

В четвертой главе обсуждаются некоторые математические

проблемы станки упругих пологих оболочек. В данной области осталось не слишком много открытых вопросов в теоремах о разрешимости задачи. Первый параграф данной главы рассматривает проблему обобщенной разрешимости задачи, когда тангенциальные краевые условия являются смешанными, а именно, когда некоторая часть границы закреплена в тангенциальном направлении, а на другой части задаются нагрузки. Здесь рассматривается старешпш вариант теории пологих полочек, когда геометрия срединной поверхности оболочки отождествляется с плоской, хотя в компонентах тензора деформаций остаются кривизны. Этот вариант теории по-прежнему используется практически, и нам хотелось, помимо всего прочего, продемонстрировать, как переносятся результаты, полученные в общей теории, на данный частный вариант.

Уравнешм равновесия в данном случае имеют вид: DV*w + N(k-w ) + NJk-w - Р =0,

1 хх' 24 2 уу' 12 ху 3 '

+ и- и» + м' >с + Р,=0,

у х/ х уу 1

1 Ц 1 ц.

+ у н> +- V и; + Р =0.

хх у у хх 2

При достаточно обпцк краевых условиях и условии малости внешних тангенциальных нагрузок доказывается теорема об обобщенной разрешимости задачи в энергетическом пространстве, а также обосновывается применение метода конечного элемента в рамках данной задачи. Здесь применяется вариационный подход к доказательству.

Далее вдет обсуждение проблемы замены координат в рамках обобщенной постановки задач механики сплошной среды. Обычно в западных источниках все рассуждения ведутся в декартовых координатах.

Тоскольку применяется аппарат теории распределений, то возможность амены координат не является очевидной. Эта проблема решается в рамках •нергетического подхода к обобщенной постановке задач. Здесь замена »ординат проводится достаточно легко. Основная трудность при замене :оординаг приходится на случай, когда внутри области, занимаемой телом, смеются особые точки координатной системы. В таком случае зормулировки классических теорем вложения Соболева должны заменяться и другие, содержащие весовые нормы, которые также получаются путем [ростой замены переменных. Такой подход позволяет включить в (ассмотрение нелинейные задачи теории пологих оболочек с ырождающимнся метрическими коэффициентами срединной поверхности, :огда срединная поверхность может быть разбита на конечное число >бластей с независимой координатной сеткой, не имеющей точек порождения. В этом случае будем говорить, что область имеет устранимую юобенность координатной системы.

Применению результатов предыдущего параграфа к общей задаче еории пологих оболочек в общих криволинейных координатах с странимой особенностью рассмотрены в двух следующих параграфах.

Уравнения равновесия в перемещениях упругой оболочки задаются помощью принципа возможных перемещений:

Г {п--5у+т--5р}г?£2 = Г Г (Г 5м + М"д5и./дп)/1я

В третьем параграфе рассматривается вариационная постановка адачи при общих краевых условиях. Обобщенное решение задачи здесь пределяется как результат минимизации функционала энергии

(/' и + Ы'ди!дп)й$ во ' 3

Здесь результаты в какой-то степени повторяют результат первого параграфа данной главы, но в общих координатах срединной поверхности оболочки, которые могут иметь устранимые особые точки. Таким образом, в данном параграфе получена теорема разрешимости при малых тангенциальных нагрузках и обоснование применимости метода конечного элемента к решению данной задачи.

Четвертый параграф главы посвящен исследованию тех же задач, что и в третьем параграфе, но уже с применением топологических методов. Срединная поверхность оболочки по-прежнему может иметь устранимую особенность координатной системы. Топологический подход, а именно, получение значения важной топологической характеристики задачи, вращения вполне непрерывного векторного поля, связанного с уравнениями задачи в энергетическом пространстве, позволяет доказывать теоремы о разрешимости и обосновывать применимость численных методов в едином ключе. Кроме того, он дает знание важной характеристики решения задач. Топологический и вариационный подходы доставляют взаимно дополняющую друг друга информацию о решениях задачи. В данном случае, при условии закрепления всей границы в тангенциальном направлении, "снимаются" требования малости внешней тангенциальной нагрузки. Получено, что все обобщенные решения задачи равновесия лежат внутри некоторой сферы конечного радиуса энергетического пространства, что вращение соответствующего поля на этой сфере есть +1. Тем самым обоснована разрешимость данной задачи. Обсуждается возможность расширения постановки относительно краевых условий, когда результаты остаются по-прежнему справедливыми.

Пятый параграф четвертой главы посвящен обоснованию применимости метода конечного элемента к задачам, рассмотренным в четвертом параграфе. Мы рассматриваем конформный вариант теории, когда конечные элементы принадлежат энергетическому пространству.

Исследуется также характер сходимости приближенных решений, [ля неособого обобщенного решения указывается, что сходимость риближений соразмерна со сходимостью наилучшего приближения онечными элементами решения задачи в энергетической норме. Последнее тверждение позволяет перенести все уже классические результаты тносительно скорости сходимости МКЭ в энергетическом пространстве в амках линейных задач на данный случай.

Рассмотрен вопрос, как влияют малые изменения формы оболочки, эторые не вызывают изменения области изменения координат срединной оверхности и частей границ, где заданы различные типы краевых условий, а изменение неособого решения задачи. Показана непрерывность данной шисимости, т.е. корректность задачи по отношению к подобным эзмущениям. Вопрос о характере зависимости неособого решения к табому возмущению размеров и формы оболочки, которые приводят к зменению области О, на которую отображается срединная поверхность болочки (например, увеличению или уменьшению угла раствора пологого |>ерического купола), а так же к малым изменениям размера частей эаницы, вдоль которой осуществляется тот или иной вид краевых условий, алрнмер, какая-то часть жестко закрепленной по отношению к переменной I границы становится свободной, рассматривается в шестом параграфе гавы 4. Важность этого вопроса становится особо понятной в связи с тем, го большая часть теорем сходимости метода конечного элемента в шейных задачах (которые непосредственно переносятся на случай гособых решений рассматриваемых нами нелинейных задач) доказана для 5ластей многоугольной формы. В случае криволинейной границы области 1 желательно иметь качественные результаты относительно зависимости пления от формы области с тем, чтобы и здесь можно было судить о содимости МКЭ. Здесь показано, что достаточно малое изменение 53меров оболочки, ее формы, а также характера краевых условий влечет за

собой "устойчивость" неособого решения, т.е. измененная оболочка в некоторой малой окрестности основного неособого решения имеет единственное неособое решение,

В седьмом параграфе главы четыре рассматривается более частная, но весьма важная в практических приложениях задача о равновесии нелинейной пластины, подкрепленной ребрами. Математически данная нелинейная задача характеризуется тем, что подкрепляющие ребра фактически образуют дополнительную часть границы, на которой заданы некоторые краевые условия. Характерной особенностью этих условий служит то обстоятельство, что дифференциальный порядок уравнений, определяемый соотношениями для самих ребер, для которых принимаются справедливыми классические гипотезы Бернулли для балок, подвергаемых одновременному растяжению, изгибу и кручению, здесь выше, нежели обычный порядок краевых условий в теории пластин. Тем не менее, вариационный подход позволяет легко перенести все результаты относительно разрешимости задачи и сходимости конечно-элементного метода, полученные для пластин без подкрепления, на этот класс задач.

Основные результаты и выводы

1. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости решений начально-краевых задач линейной вязкоупруго ста с определяющими соотношениями в дифференциальной форме (динамика и квазистатика). Введено понятие устойчивости вязкоупругого материала.

2. Введена и исследована полная обобщенная постановка задач для вязкоупругих пологих и непологих оболочек при дифференциальной форме определяющих соотношениях. Доказаны теоремы разрешимости для нескольких вариантов данной теории в задачах динамики и квазистатики. Получены теоремы единственности для задач динамики при некоторых дополнительных ограничениях. Обоснованы проекционные методы решения данного класса задач, в том числе метода конечного элемента.

3. Для упругих пологах оболочек доказаны теорема разрешимости цля случая оболочек с устранимой особенностью координатной системы на срединной поверхности при общих краевых условиях.

4. Получены достаточные условия устойчивости решения для упругих нелинейных оболочек. Отмечена зависимость устойчивости решений упругих задач от термодинамических режимов нагружения эболочек.

5. Доказана корректность постановки задач нелинейной теории лтругих оболочек по отношению к слабым изменениям формы оболочки и гипа ее краевых условий.

6. Дается обобщенная постановка задач для пластины с юдкрепляющими ребрами и получена теорема разрешимости задачи в >бщем случае.

Основные результаты диссертации представлены в следующих губликаииях:

. Лебедев Л.П "Об устойчивости естественного ненапряженного состояния вязкоупругих тел";

Прикладная математика и механика, 1975, вып. б, с. 1110-1117 :. Ворович И.И., Лебедев Л.П, Минакова Н.И., Царюк Л.Б. "Некоторые вопросы устойчивости тонкостенных конструкций из материалов, обладающих вязкоуггругостью и текучестью";

Тез. докл. 11-йВсесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин, Харьков, 1977

. Лебедев Л.П, Семигук В.М. "О некоторых свойствах операторов термовязкоупругости";

Известия СКНЦВШ, сер. естесте. наук, 1978, №4, с. 27-28 . Лебедев Л.П "О равновесии свободной нелинейной пластины"; Прикладная математика и механика, 1980, вып. 1, с. 161-165

5. Лебедев Л.П, Семигук В.М. "О поведении решения задачи линейной

вязкоупругости";

Известия СКНЦВШ, сер. естеств. наук, 1980, №2,20-22

6. Лебедев Л.П. "О поведении вязкоупругой пластины"; Тез. докл. семинара

по некл. пробл. теории пластин и оболочек, Ивано-Франковск, 1980

7. Лебедев Л.П. "О решении динамической задачи вязкоупругих оболочек"; ДАН СССР, 1982, т. 267, №1, с. 62-64

8. Лебедев Л.П "Устойчивость и эффект многомерности в теории

вязкоупругости"; Тез. докл. Всесоюзн. семинара Проблемы нелин. механики сплошной среды, ежурн. Известия СКНЦВШ, сер. естеств. наук, 1988, Ш

9. Лебедев Л.П. "О свойствах решений нелинейной задачи квазистатики

вязкоупругих оболочек";

Известия СКНЦВШ, сер. естеств. наук, 1983, №2,36-37

10. Ворович И.И., Лебедев Л.П. "О разрешимости нелинейной задачи равновесия пологой оболочки;

Прикладная математика и механика, 1988, вып.5, с. 814-820 П.Еремеев В.А., Лебедев Л.П. "Об устойчивости пологой фермы Мизеса при термосиповом нагружении";

Известия СКНЦВШ, сер. естеств. наук, 1991 №3, с. 22-26

12. Лебедев Л.П. "К термодинамике и устойчивости фермы Мизеса"; Изв. АН СССР, Механика те. тела, 1991, №2, с. 177-178

13. Ворович И.И., Лебедев Л.П. "О методе конечных элементов в нелинейной теории оболочек";

Russian Jourmal of Computational Mechanics, 1993, т. 1,№1,с. 1-21

14. Lebedev, L.P., Gladwell, G.M.L. "Spatial effects of modeling in linear viscoelasticity";

Journal of Elasticity, 1997, T.47, № 3, с. 241-250

15. Ворович И.И., Лебедев Л.П. "О корректности задачи статики нелинейной теории упругих пологих оболочек",

Прикладная математика и механика 1998, т. 62, вып. 4, 678-682

16. Лебедев Л.П. "О разрешимости нелинейных задач динамики вязкоупругих оболочек",

Доклады Академии Наук, 1998, т. 361, №2,201-203

17. Arango, J.M., Lebedev L.P., Vorovich I.I. "Some boundary value problems and models for coupled elastic bodies", Quarterly of Applied Mathematics (Providence, USA), 1998, том LVI, № l,c. 157-172

[8. Lebedev, L.P., KalpaMdes, V.K., Foutsitzi, G."On Existence in Non-Linear Theory of Viscoelastic Shells",

in "Proceedings of the 5th National Congress on Mechanics", Ioannina, August, 1998, Vol. 2, 1101-1111, Editors:P.S. Theocharis, D. I. Fotiadis, C.V. Massalas, "Printing Centre of the University of Ioannina" .9. Лебедев Л.П. "О некоторых математических вопросах нелинейной теории пологих оболочек", Тезисы докл. "Восьмая межвузовская научная конференция Математическое Моделирование и Краевые Задачи", 1998

Я) ,'15-01.36-с{ ъч1о5

РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

л к

и

■

На правах рукописи

о

ЛЕБЕДЕВ ЛЕОНИД ПЕТРОВИЧ

НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ УПРУГИХ И ВЯЗКОУПРУГИХ КОНСТРУКЦИЙ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ВАК Рссс

^ ** Научный консультант:

/у 19 Й . ^ /¿I /Д ^окт°Р физико-математических наук

д , академик РАН

«у* < * ** Ли < -IО ♦>. «|рофессор и.и. Ворович

ШЛШЦ/Х

Ростов-на-Дону 1998

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 4

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОУПРУГОГО МАТЕРИАЛА 21

1.1. Уравнения состояния линейной вязкоупругости 21

1.2. Понятие устойчивого материала 26

1.3. Механизмы релаксации 30

1.4. Устойчивость материала в рамках задачи квазистатики 34

1.5. Спектр динамических задач линейной вязкоупругости и устойчивость вязкоупрогого материала 40

1.6. Некоторые функциональные пространства 44

1.7. Обобщенные решения в линейной вязкоупругости и некоторые функциональные пространства 49

1.8. Достаточные условия устойчивости в динамических задачах вязкоупругости 53

1.9. Об устойчивости вязкоупругих материалов 65

ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ

ВЯЗКОУПРУГИХ ОБОЛОЧЕК 72

2.1. Основные соотношения нелинейной теории

вязкоупругих оболочек 72

2.2. Обобщенная постановка задачи динамики непологих вязкоупругих оболочек; некоторые функциональные пространства 82

2.3. Другие краевые задачи динамики непологих оболочек 109

2.4. Обобщенная постановка задачи динамики пологих вязкоупругих оболочек 117

2.5. Пологие вязкоупругие оболочки (без учета инерции

продольных колебаний) 123

ГЛАВА 3. НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ ВЯЗКОУПРУГОГО

ПОВЕДЕНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ ОБОЛОЧЕК 151

3.1. Задача квазистатики вязкоупругой оболочки 151

3.2. Динамическая устойчивость решения задач квазистатики вязкоупругих оболочек 171

3.3. Приложения термодинамики к проблеме устойчивости

упругих конструкций на примере фермы Мизеса 187

ГЛАВА 4. НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ СТАТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ

УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК; МЕТОД КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА 198

4.1. Нелинейная задача статики в теории упругих пологих

оболочек (декартовы координаты); вариационный подход 198

4.2. Энергетические нормы в криволинейных координатах; теоремы вложения; обобщенная постановка некоторых линейных задач 211

4.3. Задача статики пологих упругих оболочек в криволинейных координатах; метод конечного элемента 228

4.4. Задача статики пологих упругих оболочек в криволинейных координатах; топологический подход 240

4.5. Метод конечного элемента в задаче статики пологих упругих оболочек в общих криволинейных координатах 255

4.6. К вопросу о корректности задачи статики нелинейной

теории упругих пологих оболочек 266

4.7. Задача о равновесии пластины, подкрепленной

ребрами жесткости 274

ЛИТЕРАТУРА 285

Введение

Актуальность исследований. Математическое исследование задач теории упругости и вообще механики сплошной среды имеет столь продолжительную и насыщенную событиями историю, что для ее написания потребовалось бы много томов. Дополнительная проблема здесь заключается в том, что зачастую решение частной задачи механики сплошной среды является прорывом в области качественного математического исследования общих задач. Достаточно вспомнить классические исследования устойчивости стержня Эйлером или исследования Сен-Венана. Поэтому в данной работе, в качестве исторической справки, уместно упомянуть лишь одну ветвь математических исследований задач механики сплошной среды, основанную на общей современной теории уравнений в частных производных и методах функционального анализа и объединенную, в основном, методами и аппаратом исследования. Общепризнанным родоначальником этого направления является выдающийся отечественный математик С.Л. Соболев, с классических работ которого в обиходе исследователей появились понятия обобщенных производных, соболевских пространств и теорем вложения. Упомянем здесь его классическую книгу "Приложения функционального анализа в математической физике" (1951) и его раннюю работу по механике 1939 г. Впрочем, корни этого аппарата прослеживаются в работах выдающихся математиков прошлого века. Ограничимся этой более частной областью методов исследований механики.

В дальнейшем исследовании математических проблем механики сплошной среды приняли участие как отечественные, так и зарубежные специалисты. Под термином "математические проблемы механики", которое здесь поневоле приходится сузить, мы будем понимать исследование математической постановки задач механики сплошной среды, их

разрешимость в различных классах, единственность и неединственность решения, качественные свойства решений такие, как их дифференциальные свойства, поведение решений в определенных условиях, в частности, неисчерпаемая проблема устойчивости решений и состояний объекта исследований. С этим кругом вопросов неразрывно связана теория приближенных методов решения соответствующих задач механики сплошной среды. Здесь возникают вопросы сходимости приближенных методов, решение которых часто дает ответ на чисто математические проблемы, такие как проблема разрешимости задачи или качественного поведения ее решения. Проблема математического исследования приближенных методов, как, впрочем, и вся общая математическая теория механики сплошной среды, весьма далека от своего завершения.

Основой современного подхода к изучению математических вопросов механики является метод обобщенных решений. Существуют различные способы введения этого понятия в конкретных задачах. В западной литературе отправной точкой для техники обобщенных решений являются чисто формальные математические преобразования и теория распределений Л. Шварца. В данной диссертации используется один из наиболее последовательных подходов к обобщенной постановке задач, который был разработан И.И. Воровичем в серии работ по теории оболочек [17, 18]. Он характеризуется тесной привязкой постановки задачи к её механическому содержанию, к вариационным принципам механики, а также использованием в качестве пространств, в которых рассматривается соответствующая задача, так называемых энергетических пространств, нормы которых образованы путем выделения из функционала внутренней энергии его квадратичной части. Данный подход удачно сочетается с методами функционального анализа, в частности теорией соболевских пространств. Получаемые результаты, как правило, имеют очевидную

механическую трактовку и наглядность. Топологический подход, развитый в [17, 18], позволяет, практически не меняя средств исследования качественных вопросов соответствующих краевых задач, рассматривать вопросы сходимости широкого круга вычислительных методов, применяемых в механике сплошной среды.

Целью работы является математическое исследование постановки задач динамики и статики упругих и вязкоупругих нелинейных оболочек, а именно, исследование определяющих соотношений теории и обобщенной постановки задач, доказательство теорем разрешимости, обоснование приближенных методов решения данных задач, а также изучение некоторых аспектов проблемы устойчивости решений.

Научную новизну составляют следующие результаты, полученные автором:

1. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости решений начально-краевых задач линейной вязкоупругости с определяющими соотношениями в дифференциальной форме (динамика и квазистатика). Введение понятия устойчивости вязкоупругого материала.

2. Дается полная обобщенная постановка задач для вязкоупругих пологих и непологих оболочек при дифференциальной форме определяющих соотношениях. Доказаны теоремы разрешимости для нескольких вариантов данной теории в задачах динамики и квазистатики. Получены теоремы единственности для задач динамики при некоторых дополнительных ограничениях. Обоснованы проекционные методы решения данного класса задач, в том числе метода конечного элемента.

3. Для упругих пологих оболочек доказаны теорема разрешимости для случая оболочек с устранимой особенностью координатной системы на срединной поверхности при общих краевых условиях.

4. Получены достаточные условия устойчивости решения для упругих нелинейных оболочек. Отмечена зависимость устойчивости решений упругих задач от термодинамических режимов нагружения оболочек.

5. Доказана корректность постановки задач нелинейной теории упругих оболочек по отношению к слабым изменениям формы оболочки и типа ее краевых условий.

6. Дается обобщенная постановка задач для пластины с подкрепляющими ребрами и получена теорема разрешимости задачи в общем случае.

Методика исследований. В работе использован традиционный аппарат нелинейной теории дифференциальных уравнений частных производных в модификации, разработанной, в основном, в [17, 18]. Основой методики служит введение понятия обобщенных решений, основывающееся на вариационных принципах механики. В дальнейшем обобщенное решение задач и некоторые численные методы его нахождения исследуются с использованием вариационной и топологической техники.

Практическое значение диссертации. Дается строгое обоснование возможности применения различных моделей теории упругих и вязкоупругих оболочек в теоретических и практических исследованиях.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на семинаре кафедры теории упругости Ростовского госуниверситета, руководимой академиком И.И. Воровичем, семинаре, руководимом проф. Н.Ф. Морозовым (Ленинградский государственный университет),

а также на следующих конференциях и семинарах:

11-й Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин, Харьков, 1977;

Семинар по некл. пробл. теории пластин и оболочек, Ивано-Франковск,

1980;

Всесоюзн. семинар "Проблемы нелин. механики сплошной среды", 1987; 5th National Congress on Mechanics, Greece, Ioannina, 1998; Восьмая межвузовская научная конференция Математическое Моделирование и Краевые Задачи", 1998.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы отражено в 19 работах, из которых 10 опубликовано в центральной печати.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка используемой литературы, содержащего 131 наименование. Полный объем диссертации - 296 стр. машинописного текста.

Содержание работы

В диссертации рассматриваются различные вопросы математической теории упругих и вязкоупругих оболочек, связанные с проблемой разрешимости задач, с понятием устойчивости и обоснованием численных методов решения.

При исследовании задач механики центральная роль отводится проблеме определяющих соотношений. В данной работе рассматриваются упругие и вязкоупругие оболочки. Несмотря на то, что теория вязкоупругости уже достаточно установившаяся наука, в ней имеется довольно большое число открытых вопросов, касающихся определяющих соотношений. Существуют различные типы моделей вязкоупругой среды, из которых можно выделить интегральную форму представления определяющих соотношений и дифференциальную. Дифференциальная форма соотношений вязкоупругости в определенных условиях может быть сведена к интегральной. Поэтому, в основном, теоретические исследования общих вопросов вязкоупругости касались именно интегральной формы представления определяющих соотношений. Имеет смысл отметить, что интегральная форма определяющих соотношений, будучи более общей, однако вносит существенные и неустранимые трудности при численном

решении задач. Поэтому при практическом решении задач в основном используется дифференциальная модель.

Начальный период развития теории вязкоупругих задач связан с именами Максвелла, Кельвина, Фойхта. Современный подход к теории был разработан в трудах B.D. Coleman, W. Noll, С. Truesdell. Различные аспекты теории и практики решения задач вязкоупругости были рассмотрены в трудах и монографиях А.А. Ильюшина, Б.Е. Победри, Ю.Н. Работнова и др.

Для исследования вопроса устойчивости вязкоупругих оболочек в геометрически нелинейной теории необходимо предварительно изучить понятие устойчивости поведения самого вязкоупругого материала. Этому вопросу и посвящается первая глава диссертации. Здесь рассматривается одна общая проблема теории линейной вязкоупругости, тесно связанная с проблемой устойчивости тривиального решения краевых задач. Первые теоретические результаты по устойчивости решений задач линейной вязкоупругости были получены в работах С.М. Dafermos. В данной диссертации исследуется понятие устойчивости вязкоупругого материала, основанное на предложенном в [16] принципе устойчивости естественного ненапряженно-недеформированного состояния вязкоупругих тел. Вязкоупругий материал называется устойчивым, если для всех "разумно поставленных" краевых задач для любой формы области и любых краевых условиях вязкоупругих тел тривиальное решение является (асимптотически) устойчивым по Ляпунову. Естественно, краевые условия для этого класса задач должны быть такими, чтобы за их счет не происходила "подпитка" энергии во время релаксации. Такие устойчивые вязкоупругие материалы существуют. Для качественного исследования данного класса материалов исследуется проблема устойчивости решений для дифференциальной модели вязкоупругости. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости тривиального решения для ограниченных тел и различных

типов краевых условий. Математический аппарат использует как теорию собственных функций Коссера, так и теорию преобразования Лапласа в пространствах функций, принимающих значения в некотором гильбертовом пространстве. Получены следующие качественные выводы:

1) Устойчивость вязкоупругого материала - понятие, тесно связанное с естественной постановкой начально-краевых задач линейной вязкоупругости.

2) Устойчивость однородных состояний конкретного вязкоупругого тела, вообще говоря, не гарантирует устойчивости вязкоупругого материала.

3) Из (асимптотической) устойчивости по Ляпунову тривиального решения задачи квазистатики вязкоупругого тела, вообще говоря, не вытекает такая же устойчивость в динамике.

4) Из (асимптотической) устойчивости по Ляпунову тривиального решения для первой основной задачи линейной вязкоупругости не вытекает, вообще говоря, такая же устойчивость в рамках второй или смешанной задачи.

5) Достаточные условия устойчивости по Ляпунову тривиального решения трехмерных динамических задач вязкоупругости не являются достаточными для подобной устойчивости в задаче о плоском напряженном состоянии.

Дальнейшая часть диссертации посвящена непосредственно математическим вопросам нелинейной теории оболочек. В развитии этой части теории оболочек принимали участие как отечественные, так и зарубежные специалисты. Следует подчеркнуть существенный вклад в теорию работ И.И. Воровича [17, 18], определивших и сформировавших современные представления в этом круге вопросов, в частности, в теории упругих пологих оболочек. Весьма важный круг задач качественной теории пластин и оболочек был рассмотрен в работах Н.Ф. Морозова и его

учеников. Среди работ, посвященных проблеме устойчивости вязкоупругих оболочек, следует отметить работы Э.И. Григолюка, Ю.В. Липовцева [35, 36].В исследовании различных аспектов линейной и нелинейной математической теории оболочек принимали участие Б.Д. Аннин, Н.И. Векуа, Ю.А. Дубинский, A.C. Кравчук, В.А. Крысько, С.Г. Михлин,

B.И. Седенко, JI.C. Срубщик, А.М. Хлуднев, Ш.М. Шлафман, Б.А. Шойхет. Список зарубежных исследователей также не слишком велик. Здесь можно упомянуть S.S. Antman, M S. Berger, M.Bernadou, P.G. Ciarlet, G. Fichera, P.

C. Fife, W.T. Koiter, J.-L. Lions, J. Wolkowisky.

Вторая глава посвящена различным математическим вопросам динамики вязкоупругих оболочек. В данной главе рассматриваются некоторые общие вопросы нелинейной теории вязкоупругих оболочек среднего изгиба, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява. Кинематические соотношения теории впервые были предложены в [126, 18], они существенно используют аппарат дифференциальной геометрии. Изучается постановка основных краевых задач динамики как пологих, так и непологих оболочек.

Построение определяющих соотношений начинается с соотношений теории трехмерной линейной вязкоупругости дифференциального типа. В конечном итоге определяющие соотношения для оболочки сводятся к интегральным соотношениям, учитывающим начальное состояние оболочки. На базе принципа возможных перемещений с учетом динамики (принцип Даламбера) вводятся уравнения динамики оболочки. Данные уравнения служат базой для естественного введения понятия обобщенного решения задач динамики вязкоупругих оболочек. Впервые такой подход был предложен в [13] для решения задач динамики упругих оболочек.

Каждый из рассматриваемых вариантов теории вязкоупругих оболочек тре�