Некоторые оптимальные оценки собственных значений задач Штурма-Лиувилля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГб од

1 ] Ц(Мр<Ш$§ВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. М.В.Ломоносова

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

НЕКОТОРЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЗАДАЧ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи УДК 917.5

КУРАЛБАЕВА Карлыгаш Зауытбековна

Москва 1996 г.

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений мех; нико-математического факультета Московского государственного уш верситета им.М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор В. А. Кондратьев

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор А. С. Братусь

доктор физико-математических наук, профессор А. П. Буслаев

Ведущая организация - Институт проблем механики РАН.

Защита состоится 15 ноября 1996 г. в 16 час. 05 мш на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Москов( ком государственном университете им. М. В. Ломоносова по адрес; 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический ф; культет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-матем; тического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан 15 октября 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ

профессор Т. П. Лукашенк

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

В диссертации приводятся оценки наименьшего собственного значе-1ия задач Штурма-Лиувилля

у"(х)+ХР(х)у(х) = 0, (1)

2/(0) = 2/(1) = 0, (2)

ipn различных предположениях относительно функции Р{х). Уравнение вида (1) было предметом изучения многих авторов. Так, задача (1)-(2) рассматривалась Ю.В. Егоровым и В.А. Кон-фатьевым1'2 при условии

1

Р{х)> 0, jpy{x)dx = \ (3)

о

Точные оценки снизу наименьшего собственного значения задачи (1)-(3) фи 7=1 были получены также и И.М. Рапопортом3.

Такого типа оценки получил и А.Ю. Левин4, изучая проблему устой-швости, которая тесно связана с рассматриваемыми здесь задачами.

1 Ю.В. Егоров, В.А. Кондратьев. // Об оценках первого собственного значения за-1ачи Штурма-Лиувилля. Успехи матем. наук. 1984, Т.39, вып. 2, с. 151-152.

2 Ю.В. Егоров, В.А. Кондратьев. // Об оценке главного собственного знамения опе->атора Штурма-Лиувилля. Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1, Матем. Мех., 1991, № 6, :. 5-11.

3 И.М. Рапопорт. //Об одной вариационной задаче в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с краевыми условиями. Докл. АН СССР. 1950, т. 73, № 5, :. 889-890.

4 А.Ю. Левин. // Неосцилляция решений уравнения х'"' -\-----1-p„(t)x =: 0.

/спехи матем. наук. 1969, т. 24, № 2, с. 43-96.

Подобные оценки первого собственного значения Xi(P) могут быт получены и для других задач, например для задачи:

(Р(х)у")" + \у"(х) = О, 2/(0) = 2/'(0) = 2/(1) = 2/'(1) = 0,

которая была изучена авторами многих статей5'6,7. Эта задача част встречается в приложениях и известна как задача Лагранжа или задач о наиболее прочной колонне заданного объема.

Интерес представляет также изучение Лi(P,Q) задачи

y"{x)-Q{x)y{x)+XP{x)y{x)=0, 2/(0) = 2/(1) = 0,

где функции Q(x) и Р(х) измеримые, неотрицательные и такие, чт выполнено

1 1 jQ0dx=l, Jpadx = 1, a£l, /3 6 R. о о

Цель работы — оценить наименьшее собственное значение з; дач Штурма-Лиувилля при различных предположениях относителы: функции Р(х).

5 А.С. Братусь. // Кратные собственные значения в задачах оптимизации. Спе тральные свойства систем с конечным числом степеней свободы. Журнал Вычис Матем. и Мат. Физики 1986. Т. 26, с. 1-7.

s А.С. Братусь, А.П. Сейранян. // Бимодальные решения в задачах оптимизац! собственного значения. Прикл. Мат. Мех. 1983, Т. 47, с. 451-457.

7 S.J. Сох. // The shape of ideal column. The Mathematical Intelligencer. 1992. v. 1 p. 16-24.

Методы исследования. В диссертации используется вариационный метод нахождения первого собственного значения краевой задачи. Для получения оценок Лi(P) широко применяется обобщенное неравенство Харди, теорема о сжимающем отображении.

Научная новизна. 1. Для некоторых классов уравнений (1), а также для уравнений вида

y"(x)+Q(x)yk(x) = О,

где к > 1, доказаны новые теоремы существования и единственности в случае, когда Q(x) может иметь особенности. Также установлены некоторые свойства решений уравнений класса (1), в случае когда Q(x) имеет особенности.

2. Найдено минимальное достаточное условие на функцию Р{х), при котором выполняется вариационный принцип.

3. Получены оценки наименьшего собственного значения задачи (1), (2) при различных условиях на функцию Р(х). Рассмотрен вопрос о достижимости экстремальных значений Ai(Р).

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит те-эретический характер и может представлять интерес для специалистов в области обыкновенных дифференциальных уравнений и спектральной теории дифференциальных операторов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в МГУ (рук. проф. В. А. Кондратьев, проф. В. М. Миллионщиков, проф. Н. X. Розов), на конференции молодых ученых в МГУ, на конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" в Самаре.

Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре научные работы. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения и двух глав включающих в себя восемь параграфов. Работа изложена на 116 страницах. Библиографический список содержит 29 наименований.

Содержание работы. Во введении дан краткий обзор работ, связанных с темой диссертации и сформулированы результаты диссертации.

В первой главе диссертации устанавливаются некоторые свойстве решений линейных и нелинейных уравнений второго порядка, которые используются в дальнейшем. В первой главе также рассмотрена задаче Штурма-Лиувилля и получены оценки первого собственного значения этой задачи.

В § 1 первой главы рассматриваются следующие уравнения второгс порядка:

у"{х)+Я(х)у = о, (1;

где <2(х) измеримая неотрицательная функция, такая что

1

/ 41-*»(,) «,<+«, (2;

О

и уравнение

у"(х)+Р(х)ук(х) = 0, (з;

где к > 1 и Р(х) — измеримая неотрицательная функция, такая что

1

/^<^<+00. «

о

Приведем некоторые результаты § 1.

Теорема 1. Пусть выполнено (2). Тогда существует единственное па [0,1) решение у(х) уравнения (1), такое что у(0) = 0, i/(0) = 1. При этом у'{х) функция непрерывная на [0,1).

Замечание. Заметим, что в литературе можно найти теорему существования и единственности для уравнения (1) в случае суммируемой Q(x).

Теорема 2. Пусть выполнено (4) и задано ß > 0. Тогда существует единственное на [0,1) решение у(х) уравнения (3), удовлетворяющее условию у(0) = 0, у'(0) = ß. При этом функция у'{х) непрерывна на [0,1).

В § 2 настоящей главы рассматривается следующая задача Штурма* Лиувилля

у"(х) + ХР(х)у(х) = 0

(5)

у(0) = 7/(1) = 0,

где Р(х) — измеримая неотрицательная функция, такая что

1

J х{1 ~ х)Р(х) dx < +оо (6)

о

и

1

Jpixadx = 1, (7)

о

где 7 6 1, 7 ^ 0, а G 1,

В работе доказывается, что при выполнении условия (6) существует Ai (Р) > 0 собственное значение задачи (5), которому соответствует положительная на (0,1) собственная функция yi(x), такая что 1

f у[ dx < +оо. Причем о

\l(P) = j[p,yi]= inf 4P, у\.

УбЯ'(ОД)

И если ц другое собственное значение задачи (5), то Лi(P) < ц.

Условие (6) оказывается минимальным достаточным условием на функцию Р(х), при которой выполняется вариационный принцип. В работе построен пример, показывающий, что вариационный принцип может не иметь места, если не выполнено (6).

Заметим, что при Р(х) суммируемой это есть классический результат.

Множество функций Р(х), удовлетворяющих условиям (6) и (7), обозначим через Та,7. Тогда верна

Теорема 3. Если 7 < 0, а < 27 — 1, то множество Таа пусто, в остальных случаях оно непусто.

Обозначим через

где функция Р(х) еТа>7.

Теорема 4. 1. Если 7 > 1, а < 27 — 1, то гпаг, > 0, иначе гпа<у = 0. 2. Если 7 < а > 27 — 1, то Ма<у < +оо, иначе Мап = +оо.

В § 3 настоящей главы рассматривается вопрос о достижимости экстремальных значений Ах(Р) краевой задачи (5)-(7). Приведем некоторые результаты этого параграфа.

Теорема 5. Пусть 7 > 1, а < 27 - 1

mQi7 = inf Aj(P), MQi7 = sup Xi (P)

h — inf

0

Тогда:

1°. 1г достигается на некоторой функции и(х) € 1). Функция

и(х) положительная на (0,1), удовлетворяет уравнению

-у-}. 1 л

и"(х) + Ни т-1 х~ = О

и условию

1

Г п

/ П1-1 X йх = 1. о

Такая функция и(х) единственная.

2°. Существует единственная функция Р(х) £ такая что

тГ J[P, у] = «7[Р, и] = та 7 = Н. уен1 (о,1)

Теорема 6. Если 7 = 1, а = 1, то т1т1 = 1 я не существует функции Р(х) 6 Та,7, такой что Х\{Р) = тХд.

В случае а — 0 удается найти точные значения для т7 и М7:

Теорема 7. Если-у > 1, тогда

(1,1-1) и Л/7 = со, 7 7(27- 1)- \2 2 27/

1

где В — Бета-функция Эйлера: В(а, Ь) = / жа_1(1 — а;)6-1 с/х.

о

Если 7 = 1, тогда тх - 4, М\ — со. Если 0 < 7 < тогда

а^в2/1 IX

7 7(1-27)' \22т)

Если 7 < 0, тогда

7(1-27)* \2' 2 27 1

Если | < 7 < 1, тогда тп1 — 0 и М1 = оо.

Необходимо отметить, что различные функционалы типа (8) часто встречаются в литературе. Так, в работе А.П. Буслаева8 рассматриваются функционалы Релея:

IWU-,'

где

М-р

1М1р(ш0)

/ 1 \ 1 [j]x(t)\Pw0(t)dt)

р < оо

max |a;(i)|, р = оо

te[o,i]

В § 4 первой главы рассматривается краевая задача (5), (6) при условии, что Р(х) удовлетворяет условию

о

где 7 ф 0, 7 6 К, а 6 К, (3 6 К- Множество функции Р(х), удовлетворяющих условиям (6) и (9), обозначим через

Теорема 8. Если а < 2-у - 1, ¡3 е К, 7 < 0 и а £ Е, (3 < 2-у - 1, 7 < О, то множество пусто, в остальных случаях — непусто.

Обозначим

ma,ß,y = infAi(P), Ma<ßn =supA i(P), p p

где P(x) € Taßn.

8 А.П. Буслаев. //О некоторых свойствах спектра нелинейных уравнений штурм-лнувиллевского тппа. Матем. сбор. 1993, т. 184, № 9, с. 3-20.

Теорема 9. 1. Если 7 > 1, а < 27 - 1, (3 < 2у - 1, то л > 0, в остальных случаях = 0.

2. Если 7 < 1, а > 27 — 1, /3 > 27 — 1, то Ма>/э,7 > 0, в остальных-случаях = 0.

Теорема 10. Если 7 = 1, ог = /? = 1, то т^д = 1 и не существует функции Р(х) € такой что Л^Р) = тхдд.

В § 5 рассматривается вопрос о достижимости экстремальных значений \\(Р) краевой задачи (о), (0), (9). Приведем один из результатов этого параграфа.

Теорема 11. Пусть 7<0, а > 0, /? > 0

1

/ У' ¿х

¡г = ¡„г -2-

0,1) /1. Лх. ,-1- , N 7

И г'-т (1 — х) ' ах]

^о '

Тогда

1°. Н достигается на некоторой функции ь(х) 6 Н1(0,1), положительной на (0,1), и такой что

у"{х) + - = 0,

1

/2у г, /3

V-1 X '-т (1 — х) (1х = 1.

О

2°. Существует функция <3(х) £ такая что

ЛЯ, У] = ЛЯ,= ^с.,/3,7 = Ь-

уея'(од)

Во второй главе диссертации рассматриваются задачи Штурма-Лиу-вилля при других предположениях на функцию Р(х). Так, в § 1 второй главы диссертации рассматривается задача (5), (6) при условии, что

1

J p-*(x)\x-c\adx=l,

о

где 7 £ R, 7 ф 0, а G К, 0 < с < 1.

Основной результат этого параграфа.

Теорема 12. 1. Если 7 > 1, а < 7 - 1 и 7 = 1, а < 0, то та>1 > О, иначе mQi7 = 0.

2. Если 7<|,а>7 — 1, то Ма<1 < +оо, иначе Ма<1 = +оо.

В § 2 задача (5), (6) рассматривается в случае финитного потенциала:

ь

Р{х)= 0, х £ [0,а], Р{х)= 0, х е [6,1], Jp~>(x)dx = l,

а

где 0 < а < Ь < 1.

Основным результатом этого параграфа является

Теорема 13. 1. Если 7 < 1, то М7 < +оо, иначе М1 = +оо. 2. Если 7 > 1, то ш7 > 0, иначе т1 = 0.

В § 3 второй главы устанавливается связь результатов оценок первого собственного значения задачи Штурма-Лиувилля с задачами на устойчивость и колеблемость решений дифференциальных уравнений второго порядка.

Приведем некоторые результаты § 3. Рассмотрим уравнение

у"{х) + Р(х)у(х) = 0, 10

(ю;

-де Р{х) непрерывная на [0,1], неотрицательная функция. Из класси-1еской теоремы Штурма о чередовании нулей решения уравнения (10) :ледует, что если первое собственное значение Ai (Р) краевой задачи

у"{х) + А Ру{х) = О 3/(0) = 2/(1) = 0

Зольше 1, то любое нетривиальное решение уравнения (10) может иметь :амое большее один нуль на [0,1]. Наоборот, если А\(Р) < 1, то всякое решение уравнения (10) имеет нуль на [0,1] и существует решение (10), имеющее больше одного нуля на [0,1]. Исходя из этого можно получить достаточные условия колеблемости или неколеблемости решений уравнения (10).

Например, справедлива

Теорема 14. Пусть 7 > 1, тогда если

то любое решение (11) имеет не больше одного нуля на [0, оо).

Замечание. Если в (11) перейти к пределу при 7 оо, то получим известный результат Кнезера9:

если, начиная с некоторого х, имеем

то решение уравнения (11) имеет не больше одного нуля на (0, оо).

9 В.В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений. И. ФИЗМАТ. Л. 1958.

(Н)

Теперь установим связь оценок собственных значений задачи Штурма-Лиувилля с задачей на устойчивость решения дифференциального уравнения второго порядка. Рассмотрим уравнение:

где Р(х) непрерывная, неотрицательная, периодическая функция:

больше 1, то нулевое решение уравнения (12) устойчиво по Ляпунову Таким образом, можно утверждать, что оценки снизу Ах(Р) краевой задачи (13) приводят к критериям устойчивости.

Теперь несколько общих замечаний.

Очевидно, что изучение задач Штурма-Лиувилля на отрезке [0,1] ш является существенным ограничением, ибо можно от х £ [а, 6] перейт! заменой £ = к £ 6 [0,1]. Также не является существенным то, чтс в равенствах, например (7) и (9), стоит в правой части 1. Если вместс единицы стоит некоторая константа А > 0, то заменой <2 = можш

нормировать равенства (7) и (9).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководи телю, профессору В.А. Кондратьеву за постановку задачи и постоянно' внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации

у"{х) + Р{х)у = 0,

(12)

Р(х + 1) = Р(х), -со < X < +оо.

(13)

1. К.З. Куралбаева. //Об оценке первого собственного значения ¡адачи Штурма-Лиувилля. Тезисы докладов. Дифференц. уравнен, и -IX приложения. Самара, 1995, с. 15.

2. К.З. Куралбаева. // Об оценке первого собственного значения з одной задаче Штурма-Лиувилля. Тезисы докладов. Дифференц. сравнен, и их приложения. Самара, 1996, с. 15.

3. К.З. Куралбаева. // Об оценке наименьшего собственного значения задачи Штурма-Лиувилля. Москва, МГУ, 1996, 17 с. (Рукопись цеп. в ВИНИТИ 22.05.96, N-1658-696.)

4. К.З. Куралбаева. // Об оценке первого собственного значения эператора Штурма-Лиувилля. Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, V! 6. с. 852-853.

Введение.

Глава 1. Об оценках первого собственного значения одной задачи

Штурма-Л иувилля.

§ 1. Некоторые свойства решений линейного дифференциального уравнения второго порядка.

§ 2. Об оценках первого собственного значения в одной задаче Штурма-Лиувилля.

§ 3. Достижимость экстремальных значений первого собственного значения краевой задачи.

§ 4. О более общей задаче Штурма-Лиувилля.

§ 5. Достижимость экстремальных значений первого собственного значения в задаче Штурма-Лиувилля.

Глава 2. Об оценках наименьшего собственного значения в задачах Штурма-Лиувилля при особенностях потенциала внутри интервала.

§ 1. Об оценках первого собственного значения в случае потенциала с точечной особенностью.

§ 2. Оценки наименьшего собственного значения в случае финитного потенциала.

§ 3. Связь задачи об оценке первого собственного значения с задачами на устойчивость и колеблемость решений дифференциальных уравнений второго порядка.

В работе приводятся оценки наименьшего собственного значения задач Штурма-Лиувилля у"{х) + ХР{х)у(х)=0, (1) у(0) = у( 1) = 0, (2) при различных предположениях относительно функции Р(х). Уравнение вида (1) было предметом изучения многих авторов. Так, задача (1)-(2) рассматривалась Ю.В. Егоровым и В.А. Кондратьевым ([6], [7]) при условии 1

Р(х)> 0, Jp^(x)dx = 1 (3) о

Точные оценки снизу наименьшего собственного значения задачи (1)-(3) при 7=1 были получены также и И.М. Рапопортом ([13]).

Такого типа оценки получил и А.Ю. Левин [11], изучая проблему устойчивости, которая тесно связана с рассматриваемыми здесь задачами.

Подобные оценки первого собственного значения Х\(Р) могут быть получены и для других задач, например для задачи:

P(*)yT + V(*) = o, у(0) = у'(0) = 2/(1) = 2/'(1) = 0, которая была изучена авторами многих статей, например [3], [4], [15], [19], [20]. Эта задача часто встречается в приложениях и известна как задача Лагранжа или задача о наиболее прочной колонне заданного объема.

Интерес представляет также изучение Ai (Р, Q) задачи у"(х) - Q(x)y(x) + ЛР(х)у(х) = О, 2/(0) = ?/(1) = О, где функции Q{x) и Р(х) измеримые неотрицательные и такие, что вы

Одним из первых эту проблему поставил А. Ramm ([24]). Его формулировка задачи дана в случае Q(x) = 1 и а = 1. В этом частном случае задача была решена G. Talenti ([25]) и М. Essen ([22]). В общем случае задача решена J.V. Egorov и S. Кагаа ([21], [23]).

В первой главе диссертации устанавливаются некоторые свойства решений линейных и нелинейных уравнений второго порядка, которые используются в дальнейшем. В первой главе также рассмотрена задача Штурма-Лиувилля и получены оценки первого собственного значения этой задачи.

В § 1 первой главы рассматриваются следующие уравнения второго порядка: полнено

1 1 о о у"{х) + Q(x)y = 0,

4) где Q(x) измеримая неотрицательная функция, такая что 1

5) о и уравнение у"{х) + Р(х)ук{х) = 0

6) где к > 1 и Р(х) — измеримая неотрицательная функция, такая что 1 ixkp(x)ix <<7» о

Приведем некоторые результаты § 1.

Теорема 1. Пусть выполнено (5). Тогда существует единственное на [0,1) решение у(х) уравнения (4), такое что у(0) = 0, у'(0) = 1. При этом j/(x) функция непрерывная на [0,1).

Замечание. Заметим, что в литературе можно найти теорему существования и единственности для уравнения (4) в случае суммируемой Q(x).

Теорема 2. Пусть выполнено (7) и задано (3 > 0. Тогда сушеству-ет единственное на [0,1) решение у(х) уравнения (6), удовлетворяющее условию 2/(0) = 0, у'(0) = /3. При этом функция yf(x) непрерывна на [0,1).

Во § 2 настоящей главы рассматривается следующая задача Штурма-Лиувилля у"(х) + А Р(х)у{х) = 0

8)

2/(0) = 1/(1) = 0, где Р(х) —- измеримая неотрицательная функция, такая что 1 х{1 - х)Р(х) dx < +оо (9) о и I

J P^xadx = 1, (Ю) о где 7 G К, 7 Ф 0, се Е R.

В работе доказывается, что при выполнении условия (9) существует Ах(Р) > 0 собственное значение задачи (8), которому соответствует поло

И если ¡1 другое собственное значение задачи (8), то Х\(Р) < ¡л.

Условие (9) оказывается минимальным достаточным условием на функцию Р(х), при которой выполняется вариационный принцип. В работе построен пример, показывающий, что вариационный принцип может не иметь места, если не выполнено (9).

Заметим, что при Р(х) суммируемой это есть классический результат.

Множество функций Р(ж), удовлетворяющих условиям (9) и (10), обозначим через TQ)7. Тогда верна

Теорема 3. Если 7 < 0, а < — 1, то множество Та?7 пусто, в остальных случаях оно непусто.

Обозначим через где функция Р(х) Е TQj7.

Teopeivfa 4. 1. Если у > 1, а < 27 — 1, то mQ)7 > 0, иначе ша>7 = 0. 2. Если 7 < a > — 1, то Ма/У < +00, иначе MQj7 = +00.

Результат теоремы 4 легко описать на плоскости с координатами а, 7. уелч од) гаа>7 — infAi(P), Ma ,7 = sup Ai(P) p

4 <-■ I uy.

Hl ( ( С t f I (l tut iL L(A

TT

В § 3 настоящей главы рассматривается вопрос о достижимости экстремальных значений \\(Р) краевой задачи (8)-(10). Приведем некоторые результаты этого параграфа.

Теорема 5. Пусть 7 > 1, а < 27 — 1 1 f У'2 dx к = Ы —-5-^ (11)

Тогда:

1°. к достигается на некоторой функции и(х) Е 1). Функция и(х) положительная на (0,1), удовлетворяет ур¿ишемию и"{х) + киу^х1^ = О и условию 1

Г -е- ,

I и-*-1 х ах — 1. о

Такая функция и(х) единственная.

2°. Существует единственная функция Р(х) Е Та/У, такая что inf J[P, у] = J[P, u] ~ rn(y у = h. У€НЦ од)

Теорема 6. Если 7 = 1, a = 1, то ra^i = 1 и не существует функции Р{х) Е Taj7, такой что Ai(P) = Ш1д.

В случае а = 0 удается найти точные значения для т7 и М7:

Теорема 7. Если 7 > 1, тогда где В — Бета-функция Эйлера: В(а, Ь) = / ха1(1 — х)6"^1 оЬ. о

Если 7 = 1, тогда Ш! = 4, М1 — оо. Если 0 < 7 < ^, тогда

1-7)1+^2Л 1 7(1-27)± \2' 27 В2 -,— и т7 = 0.

Если 7 < 0, тогда

1 п

7(1-27)* V2 2 7

Если | < 7 < 1, тогда гп1 = 0 и М1 — оо.

Необходимо отметить, что различные функционалы типа (11) часто встречаются в литературе. Так, в работе А.П. Буслаева ([5]) рассматриваются функционалы Релея: ч N«(«4») ,, „ / Р<ОС

-' ВДе = 1

11 »'рС^г1) шах |ж(£)|, р—оо

V ¿€[0,1] ' 1

В § 4 первой главы рассматривается краевая задача (8), (9) при условии, что Р(х) удовлетворяет 1 о где 7 ф 0, 7 Е R, a Е R, ß Е BL Множество функций Р(ж), удовлетворяющих условиям (9) и (12), обозначим через

Теорема 8. Если а < 2-у - 1, /3 Е К, 7 < 0 и а Е К, (3 < 2^ - 1, 7 < О, то множество пусто, в остальных случаях — непусто.

Обозначим где Р(ж) Е Та|/3|7.

Теорема 9. 1. Если 7 > 1, а < 27 - 1, ¡3 < 27 - 1, то > 0, в остальных случаях = 0.

2. Если 7 < 1, а > 27 - 1, /3 > 27 - 1, то Ма)/3?7 > 0, в остальных случаях = 0.

Теорема 10. Если 7 = 1, а = [3 = 1, то Шхдд = 1 и не существует функции Р(х) Е Та>/такой что Ах(Р) = тхдд.

В § 5 рассматривается вопрос о достижимости экстремальных значений Ах(Р) краевой задачи (8), (9), (12). Приведем один из результатов этого параграфа.

Теорема 11. Пусть 7 <0, а > 0, /3 >0

Ша,/?,7 Ах(Р), Ма^7 = вир Ах (Р),

У Р Р 1 У'2 г = Ш о 1

1 •

Тогда

1°. к достигается на некоторой функции у(х) Е Ях(0, 1), положитель ной на (0,1), и такой что г;"(я) + Ли**-* ^1-7 (1 - 1-7 = 0, и 1

2 ^ ^ уу-1 х—(1 — :г) '-т (1х — 1. О

2°. Существует функция (¿(х) Е Та?/зл, такая что

Ш у] = Дф, V] - = Л. уеячод)

Во второй главе диссертации рассматриваются задачи Штурма-Лиу-вилля при других предположениях на функцию Р(х). Так, в § 1 второй главы диссертации рассматривается задача (8), (9) при условии, что 1

-«Г*-!, где 7 е К, 7 ф 0, а Е К, 0 < с < 1.

Основной результат этого параграфа.

Теорема 12. 1. Если 7>1, а<7 — 1и7 = 1, а<0, то ша?7 > О, иначе ша>7 = 0.

2. Если 7 < а > 7 — 17 то Ма>7 < +оо, иначе Ма>7 = +оо.

В § 2 задича (8), (9) рассматривается в случае финитного потенциала: ь

РМ.о, *е[о,«], р„)5., ,61М], /р-И*-, а где 0 < а < Ь < 1.

Основным результатом этого параграфа является

Теорема 13. 1. Если 7 < 1, то М7 < +оо, иначе М7 = +оо.

2. Если 7 > 17 то га7 > 0, иначе т7 = О.

В § 3 второй главы устанавливается связь результатов оценок первого собственного значения задачи Штурма-Лиувилля с задачами на устойчивость и колеблемость решений дифференциальных уравнений второго порядка.

Приведем некоторые результаты § 3.

Рассмотрим уравнение где Р(х) непрерывная на [0,1], неотрицательная функция. Из классической теоремы Штурма о чередовании нулей решения уравнения (13) следует, что если первое собственное значение А}(Р) краевой задачи больше 1, то любое нетривиальное решение уравнения (13) может иметь самое большее один нуль на [0,1]. Наоборот, если А^Р) < 1, то всякое решение уравнения (13) имеет нуль на [0,1] и существует решение (13), имеющее больше одного нуля на [0,1]. Исходя из этого можно получить достаточные условия колеблемости или неколеблемости решений уравнения (13).

Например, справедлива

Теорема 14. Пусть у > 1, тогда если у"(х)+Р(х)у(х) = 0,

13) у" + А р(х)у = 0 у(0) - 1/(1) - О то любое решение (14) имеет не больше одного нуля на [0, оо).

Замечание. Если в (14) перейти к пределу при 7 —> оо, то получим известный результат Кнезера ([16]): если, начиная с некоторого х, имеем

О < Р(х) < 1

Ах2' то решение уравнения (14) имеет не больше одного нуля на (0,оо).

Теперь установим связь оценок собственных значений задачи Штур-ма-Лиувилля с задачей на устойчивость решения дифференциального уравнения второго порядка. Рассмотрим уравнение: у"{х) + Р(х)у = 0, (15) где Р(х) непрерывная, неотрицательная, периодическая функция:

Р(х + 1) = Р(х), -оо < х < со.

Если первое собственное значение Х\{Р) краевой задачи у" + \Р(х)у = О,

16)

2/(0) = 2/(1) - 0 больше 1, то нулевое решение уравнения (15) устойчиво по Ляпунову. Таким образом, можно утверждать, что оценки снизу Ai(P) краевой задачи (16) приводят к критериям устойчивости. Теперь несколько общих замечаний.

Очевидно, что изучение задач Штурма-Лиувилля на отрезке [0,1] не является существенным ограничением, ибо можно от х Е [а, Ь] перейти заменой t = f^f к t Е [0,1]. Также не является существенным то, что в равенствах, например (10) и (12), стоит в правой части 1. Если вместо единицы стоит некоторая константа А > 0, то заменой Q = можно

Л 7 нормировать равенства (10) и (12).

Список обозначений

1. у(х) € АС[а,1] — функция у(х) абсолютно непрерывная на отрезке М

2. у(х) Е Нх(О,1) — Н1(0,1) — это замыкание пространства С°°(0,1) г 2 \1/2 по метрике ЦуЦн1 = [] У' ¿х) 0

3. С°°(0,1) — это пространство бесконечно дифференцируемых на [0,1] функций, равных нулю в окрестности 0 и 1.

4. Р(х) 6 — измеримая неотрицательная функция, такая 1 1 что / Рх(1 - х) йх < +оо и / Р7ха( 1 - х)^ ¿Я = 1.

0 о

5. Р(х) 6 5а>7 — Р(х) измеримая неотрицательная функция, такая

1 1 что / Рх{ 1 — ж) ¿X < +00 и / Р7|х — с\а йх = 1. о о

6. к оо — последовательность функций ^(ж) равномерно сходится к ?/(ж).

1. Р. Беллман. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М. И.Л., 1954.

2. О.В. Бесов, В.П. Ильин, С.М. Никольский. Интегральное представление функций и теоремы вложения. М. Наука, 1975.

3. A.C. Братусь. // Кратные собственные значения в задачах оптимизации. Спектральные свойства систем с конечным числом степеней свободы. Журнал Вычисл. Матем. и Мат. Физики 1986. Т. 26, с. 1-7.

4. A.C. Братусь, А.П. Сейранян. // Бимодальные решения в задачах оптимизации собственного значения. Прикл. Мат. Мех. 1983, Т. 47, с. 451-457.

5. А.П. Буслаев.// О некоторых свойствах спектра нелинейных уравнений штурм-лиувиллевского типа. Матем. сбор. 1993, т. 184, № 9, с. 3-20.

6. Ю.В. Егоров, В.А. Кондратьев. // Об оценках первого собственного значения задачи Штурма-Лиувилля. Успехи матем. наук. 1984, Т.39, вып. 2, с. 151-152.

7. Ю.В. Егоров, В.А. Кондратьев. //Об оценке главного собственного значения оператора Штурма-Лиувилля. Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1, Матем. Мех., 1991, № 6, с. 5-11.

8. Н.Е. Жуковский. // Условие конечности интегралов уравнения 0 + Р(х)у(х) = 0. Матем. сборник, 1892. Т. 16, вып. 3, с. 582-591.

9. А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М. Наука, 1972.

10. А. Куфнер, С. Фучик. Нелинейные дифференциальные уравнения. М. Наука, 1988.

11. А.Ю. Левин // Неосцилляция решений уравнения х^ + ^-----\~Pn(t)x = 0. Успехи матем. наук. 1969, т. 24, № 2, с. 43-96.

12. М.А. Наймарк. Линейные дифференциальные операторы. М. Наука, 1969.

13. И.М. Рапопорт. //Об одной вариационной задаче в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с краевыми условиями. Докл. АН СССР 1950, Т. 73, № 5, с. 889-890.

14. Ф. Рисс, Б. Секефальви-Надь. Лекции по функциональному анализу. И. Мир, 1979.

15. А.П. Сейранян. // Об одной задаче Лагранжа. Инж. Журнал, Механика твердого тела. 1984. Т. 19, с. 101-111.

16. В.В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений. И. ФИЗМАТ. Л. 1958.

17. Г.Г. Харди, Д.Е. Литтлвуд, Г. Полиа. Неравенства. М. И.Л., 1948.

18. G. Borg. //On a Liapounoff criterion of stability. Amer. J. Math. 71(1949), p. 67-70.

19. S.J. Cox. // The shape of ideal column. The Mathematical Intelligencer. 1992. v. 14, p. 16-24.

20. S.J. Cox, M.L. Overton. // On optimal design of columns against buckling. SIAM J. Math. Anal. 1992. Vol. 23, p. 287-325.

21. J.V. Egorov, S. Karaa. // Optimization of the first eigenvalue of Sturm-Lioville operator. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 319. Serie I, 1994, p. 793-798.

22. M. Essen. // On estimating eigenvalues of a second order linear difer-ential operator, ISNM, 80, Birkhauser, 1987, p. 347-366.

23. S. Karaa. // Extremal Eigenvalues in some Strum-Liouville problems. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 321, Serie I, 1995, p. 265-270.

24. A.G. Ramm. // Question 5 (Part 2). Notices Amer. Math. Soc., 29, 1982, p. 328-329.

25. G. Talenti. // Estimates for eigenvalues of Sturm-Liouville problems. General inequalities, 4, in W. Walter ed., Birkhauser, Boston, 1984, p. 341-350.

26. К.З. Куралбаева. //Об оценке первого собственного значения задачи Штурма-Лиувилля. Тезисы докладов. Дифференц. уравнен, и их приложения. Самара, 1995.

27. К.З. Куралбаева. //Об оценке первого собственного значения в одной задаче Штурма-Лиувилля. Тезисы докладов. Дифференц. уравнен, и их приложения. Самара, 1996.

28. К.З. Куралбаева. //Об оценке наименьшего собственного значения задачи Штурма-Лиувилля. Москва, МГУ, 1996, 17 с. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 22.05.96, N-1658-B96).

29. К.З. Куралбаева. //Об оценке первого собственного значения оператора Штурма-Лиувилля. Диффер. уравнения. 1996. Т. 32, № 6. с. 852-853.