Некоторые применения операторных методов в предельных теоремах для сумм случайных величин тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

А |'| у

' БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

,га правах р„когш< и.

Чан Лок Хунг

„ДД 519.24

НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ МЕТОДОВ В ПРЕДЕЛЬНЫХ ТЕОРЕМАХ ДЛЯ СУШ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

01.0I.u5 - Теория вероятностей и математическая статистика.

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степеш: кандидата физико-математических наук

Научный руководитель, кандидат физиго-математических наук доцент ТРУП! II.Н.

К' ник,К32

Работа выполнена на кафедре информационного и irporj'.-эм мно-математичзского обеспечения автоматизировшшнг. производств Белорусского государственного университет

Научный руководитель." - кандидат физико-математических наук

доцент Труш H.H.

Официальны" откя.энтн:- док эр физико - математических наук

. профессор Берник В.И. - кандидат физико-математических наук доцент Зуев Н.М.

" Ведущая организация Шгвский государственный университет

имени Т.Г. ШЕВЧЕНКО

Защита состоится 1992 г. в 10 час. на заседании

специализирован}-iro ссзета К 056.03.17 ipn Белорусском государственном университете . *го адресу : 220080, Республика БЕЛАРУСЬ", г. Минск, проспект , Ф.Скорины 4 , главный 'корпус , 'ауд. 20G С диссертацией можно • ознакомиться в научной библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан......35.........'.августа 1992 года.

Учёный секретарь специализированного совета

доцент

к

Актуальность тени. ОДНИМ ИЗ ОСНОВНЫХ НвПраВЛвНИЙ ИССЛвДОВаНИЯ В

теории вероятностей и математической статистике являются .предельные теоремы для сумм независимых случайных величин - закон больших чисел и центральная предельная теорема.

- Хорошо известны многие методы доказательства предельных теорем,такие как метод анализа фунуций распределения , метод неравенства Чебышева , метод моментов и метод характеристических функций. Этому направлению исследования посвящены работы

C.Н. Бернштейна . П.Биллингсли. Б.В. Гнадэнко , А.Н. Колмогорова, Дж. Дуба, В.М. Золотарёва,И.А. Ибрагимова, Ю.В.Линника, М.Лоева, В.В.Петрова.А.Н.Ширяева .....

В 1959 году я. р.Trctter [1] ввЭл новый метод доказательства' центральной предельной теоремы для сумм независимых случайных величин.Метод Троттера (метод характеристических операторов) также применим к случайным величинам весьма общей природы . В последнее время появилось значительное число работ,использующих метод Троттера в исследовании теории предельных теорем. В частности, задача нахождения ас имптотического поведения сумм ( со случайным числом) независимых (зависимых) случайных величин методом оператора Троттера изучалась М.В. Мухановым, A.Renyï. р-L.Bu.tzer.

D.Bhulz.L.Hahn.Z. Rychlik. D.Szyna.1 .8 ОЦвНКИ СКОрОСТИ СХОДИМОСТИ

в предельных теоремах под термином нормы оператора Троттера установлены В.сакалаускасом.р. Raa. F.L.Butzeг. V.Shulz. L.Ilahn,

Z.Rychlik,D.Szynal.К.Kubackl.

В данной работе,использдя метод характеристических операторов, доказываются предельные теоремы общего вида,из которых полученные ранее результаты вытекают как частные случаи.

[11.Trotter H.F. An element лгу proof of the oentral limit theorem // Arch.Math.1959.v.Q. p.226-234.

Цель работы СОСТОИТ В ПрИМ9Н9НШ МвТОДЭ ХПрОКТОрИСТИЧОСКИХ

операторов Троттера-в теоршх предельных теорем для сумм случайных величин , сумм случайного числа случайных величин и сумм многомерых случайных величин.

Методы исследования. В работе применяются современные метода теории вероятностей и математической статистики, теории функций, функционального анализа и теории приближений.

Основные результаты.Выносимые на защиту. ИсП(5ЛЬЗуЯ М0ТОД ХЭ-

рактеристических операторов Троттера:

а/ доказаны закон больших.чисел и общая предельная теорема для сумгл случайного числа независимых случайных величин,

б/ доказаны общая предельная теорема для сумм случайных наблюдений и сумм случайного числа случайных наблюдений ,

в/ доказаны общая предельная теорема для сумм независимых случайных векторов и сумм случайного числа независимых случайных векторов,

г/ установлены оценки скорости сходимости в доказанных теоремах. Научная новизна. Полученные результаты диссертации являются

новыми и впервые опубликованы в работах, список которых приведён в

/

конце автореферата. • .

Практическая значимость. ДиССвртаЦШННаЯ работа НОСИТ

теоретический характер. Еб результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении предельных теорем для сумм ( со случайным числом) независимых (зависимых) случайных величин ( векторов ) с оценками скорости.сходимости.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладыва-лись на научных семинарах Ханойского института математики ( СРВ ) (Ханой 1ЭЭ0-1ЭЭ1),на семинаре кафедры ШМОАП.БГУ(Минск 1991-199?), на четвертой конференции математиков СРВ(Ханой Т?50),на мчяресиуб-

ликанской научно - ¡фактической конференции ■ творческой , молодбки (Минск 1991),на конференции математиков Беларуси (Гродно 1992).

публикация. Основные результаты диссертации ,опубликованы в 7-ми работах, список которых приведбн конце автореферата.

Структура и ortppi-i работи. ДИССврТаЦИЯ СОСТОИТ ИЗ ВВ9Д9Ш1Я,

трбх глав, списка литературы, содержащего 81 наименование и изложена на 105 страницах машинописного текста..

Краткое содержание работы.

Настоящая . диссертация состоит из трёх глав.Первая глава содержит пять параграфов посвящЭнных применению метода характеристических операторов Троттера в,теории предельных теорем для сумм независимых случвйнчх величин,

В первом параграфе излагаются некоторые . сведения о характеристическом операторе Троттера v f , где х - случайная

величина, а ? - некоторая функция.Приводятся '

i

доказательства свойств этого оператора.на• которых основываютоя результаты первой главы. . .

Во втором параграфе.используя метод характеристических операторов Троттера,доказываются теоремы вида классического, закона больших чисел. Изучается ассимптотическое поведение сумм.

i п

независимых случайных величин п-1^ при п-т и . оценка скорости

i = i

"■сходимости норм

»1=1 и .

к нулю при п-*» для любой функции тео*(К)-Главные результаты . этого параграфа выражаются следующими теоремами. • • '.

Теорема 1. ПуСТЬ з^.з^____ - ПОСЛвДОВвТвЛЬНООТЬ.НвЗаВИСИМЫХ ,

1

одинаково распределенных случайных величин с м и M|sJ «*> , 1=1, г.... ,1=1,2.....Тогда для любой функции fec^(K) имеем при п-» «

П.2Л

1=1

Теорема 3. ПуСТЬ х , а?2, . . . - Последовательность НеЗЭВИСИШХ

случайных величин с м*4=о.о£,к*,<=г .2.....1=7,2.....и М|®1|\» »

{=? ,2,... ,1=1,2,...Тогда для любой функции ^ (К) имеем оценку

л 1,-1 > - »

.¿1.1. Лп

где,

шгЛ'л^ зир_( |/ ^ ~ 1 ' (у+п)-/'^1' (у )\ - модуль непрерыв . г I ьI<п

ности. функции г"1-1', а

лСО^ихКМ!* (I)

Кроме того .если г'^"«=£<ра,о<а<* .то при п-**

• г»

Ассимптотическое поведение сумм п''^ при п->.» и оценка ско-

I -1.

рости сходимости в закона больших чисел бшш изучеш мн-чгоми

авторами (А.Н.Колмогоров , Б.В'.Гнеденко ,Ю.П.Прохоров,В.В.

помощью методов характеристических функций

Третий параграф посвящается вопросу нахождения

ас. имптотического поведения распределения сумм со случайним числом

независимых случайных величин (х^... +.я?м ; при X ••» ,!'де

X

л, ,Х=1,2,... -последовательность положительных целочнсл^нннх

Р

случайных, величин с н^ > <*,,причем иА.иа.... шзаьисшн от

... Нолученн доказательства некоторпх пр /долиш". теорем классического закона больших чисел для сумм со сл.уч'<йннм '.¡иолом

независимых случайных величин :

А' А 1 »«.•*'»»

и оценка скорости сходимости

IV -4 Г -Т

к нулю при Л.-*» .Сформулируем основные результаты параграфа.

теорема з. Пусть ^. хг,... - последовательность независимых

одинаково распределенных случайных величин с М ^=0 и М|^|2<« ,

тогда имеет место соотношение (2).

Теорема 4. -ПуСТЬ х ,х. , . . . - ПОСЛОДОВаТвЛЫЮСТЬ НеЗЗВИСИМЫХ , . 1 2 1 одинаково распределбнных случайных величин с м о, о< ъ и

М|®1|л'«» тогда для ^сЧЖ) при имеем

."Л

теорема з. Пусть - последовательность НвЗаВЙСгШ*

одинаково распредвлЗнных случайных величин о н о, ,1*1 .я.....

Oíj<'^, И М!*^«» ,1 = 1,2.....12:1, ТОГДа ДЛЯ ЛЮбОЙ ФУНКЦИИ

справедлива оценка

1 чч--*/"

если ,то при Я.-»«»

\/ г -1

^-»00

где т.^«-) ,1=1,2.....г= 1,2,... заданы равенством (I) ''"Л'л"'; -

модуль непрерывности функции • г'^1'. Аналогичные, результаты ;

долученнно методом- характеристических функций , можно найти 'в работах Д.С.Сакса,у.^.лпасатЪе^моеуогоаIа....

В четвертом параграфе .используя понятие <р - разложимой случайной величины в работе, [г],доказана общая предельная теорема для

[?]Р. 1| .Bu.terz ,Ь.Н\гЬп ЬНеогетя оп .ЬНе гаЬе о/ сопоег^енсе

<п (Не ЬП but 1ои о/ г-стекут ызг1аЫв.// J .ЫиИ lvarlclteAndl. 1978. V. 9 Р. №1-201 • '

сумм -независимых случайных величин методом характеристических операторов. Изучено асимптотическое поведение сумм ф (ппх^.. .+хп) при п-«« к ф-разложимой случайной величине 2,где фог;=°о; при и,-» <■>. ■ * в этом параграфе введено условие Линдоберга порядка а.Говорят, что последовательность .<=г,г....} удовлетворяет условию Линдебэрга порядка л.если для любого В>0

лт --_--= о (3)

Г» * 4 '

п-ко

где 1(д) - индикатор множества л,а фгто определена выше .

• Главные результаты этого параграфа выражаются в следующих теоремах.

теорема е. Пусть х ,хг.... - последовательность независимых

случайных величин с Мх.^дгСкс^Мх^оЫс^«, для .....с1,с2-

положительные ' константы,г является ф-разложимой случайной

величиной с разложимыми компонентами.^, 1=1,г.....п .такими , что

(4)

для ,2, <=» ,г.....п и для положительной убивающей функции ф выполняется соотношение4

ф ) ,п "о .' . • (5)

Тогда,если . обе последовательности xi.xz,... и . удовлетворяют условию Линдебэрга (3) при -г=2,то при п -♦ « имеем соотношение

где —> обозначает.слабую сходимость.

Теорема 7. Пус'ТЬ х ,х ... . - ПОСЛОДОВВТеЛЬНОСГЬ НвЭЗВИСИМЫХ

случайных величин с Мг1=о,о<с1<м|х. |^<сгс<ю, 1=1,2,... ,«>1 ,cJ,

|>

V

положительные константы есть ф-разложкмая случайная величина райлохимыми компонентами я , е=?.п,такими,что Г'-^с^

t=77n.*5i,H выполняется соотношение (4) для j=i .-г. Тогда , если обе последовательности xl.x .... и z4. z2.. .удовлетворяют условию Линдеберга порядка i.,i>2,to при tv»»

' |vг*+■■•+* / - vl =

для( любой функции

творена а. Пусть . х2,... - последовательность независимых

• случайных В9ЛИЧИН С м|х. |\ео. 1 = 1.2.....f . Z 0 сть ер-разложимая

случайная величина с разложимыми компонентами z. , i - TTn , удовлетворяющими соотношению (4) для j-1,1-1' , тогда для любой функции feC^'flR;

I II I = i

где ыс )- модуль непрерывности функции i<n_i),a ■

п. j^J , (6) .

Полученные результаты этого параграфа .являются обобщением для второго параграфа и для работ А.И.Даугасвета.р.ь. Butzer.L.Hahn, и.\v&3tph.ai, так как центральная предельная теорема и слабый закон больших чисел могага рассматривать как частные случаи общей предельной теоремы .

Цель пятого параграфа состоит в том .чтобы доказать общую предельную теорему для сумм со случайным числом независимых случайных величин с оценкой скорости сходимости.Изучено предельное

СОО'ШОШНШТО

ФГ^Кх.^..^;-^-^ , (7)

где х меть •(>■-разложимая случайная величина,^ определена как в

iia;i;ii ¡ifiif'o . Пуп ь

а™ м

\~ю>

1 = 1

= О (8)

для любого 5>0,где (^-положительная убывающая функция с

) "Р11 ^-*».1'огда (В), будем нызывать случайным условием . Л»щдеберга порядка '< . Доказана следующая теорема.

Теорема 9. Пусть а^.а^,... И Я -Случайные ЁвЛИЧИНЫ , ОПрвДв-лбнныв как в теорема 8. Допустим,что при А.-.^

ф0(Я^г ) . (9)

»

Если обе последовательности х1,хг,...и ... удовлетворяют

условию Лшдеберга (8),то при справедливо (7). Получены также оценки скорости сходимости

^фИ^*...^/ " V

к нулю при

Теорема 10. ПуСТЬ х ,хг, . . , И Ъ - СЛуЧНЙНЫв ВОЛИЧИНЫ ,

определённые, как в теореме 7. Допустим, что выполняется условие МI* |%М|г х,I\МК IЪ)}.

ЕСЛИ 11,з;г...И •• удовлетворяют (8),'ГО ДЛЯ 1ес\К,) при X. - оо

- VI» «{м^Ф^фмк .

/А.

Теорема 11. ПУСТЬ г ,аг2....И 2 - СЛуЧайИЫО Ь9ЛИЧИНЫ , определённые,как в теореме 10.Тогда для любой функции г с^1 (К; ^ имеем соотношение .

А»

где ыст -модуль непрерывности функции г ,а и (и, .....1-1,г,... -заданы равенством (С).

Из полученных результатов этого параграфа следу«т центральная

предельная теорема и закон больших чисел для сумм со случайным числом слагаемых,которые изучены в работах В.М.Круглова.М.Б.Мухано-

ВВ .АпвсотЪ ,А.Непу1, Н .ПаЪЫпв . Z . Яус1г1 IЪ , П. 3гупа1} ... .

Вторая глава диссертации посвящается применению операторных методов в задачах,связанных с зависимыми случайными наблюдениями за процессом лт.ЫМ.

В тестом параграфе введено определение условного характеристического оператора Троттера кок в работе ¿3 ] .Перечисляются основные свойства условного оператора Троттера , на которых основывается доказательство теорем данной главы.

В седьмом параграфе,используя условный характеристический оператор V®, исследуется асимптотическое поведение статистики

н11 4=1 ■

к предельной ф - разложимой случайной величине г , когда т->» ,где

х(1),х(2).....т(т)-случайные наблюдения за процессом и

((^положительная убывающая функция с ф(т)=о(1) при т-*л.Устшгоа"0'щ

ОЦеНКИ СКОрОСТИ СХОДИМОСТИ Норм ЦУ/^ f-Vгf | К НУЛЮ При Т-* со.

Главные результаты этого параграфа выраясаются следующими теоремой.

троренд 13. Пусть х(1),х(2),... -последовательность случайных

наблюдений,для которых выполняются о<с г;|г5с <«> .....

и < > - ноубивягагая последовательность о- плгобр , порождбнных

.гс;),.т(.г,).....по , а г есть ф-разложимая случайная величина.

Допустл/! ,-п'о

Мрг^;!-^ ^ ^ (го)

где (.-/,;•,. . ;.и т, ,я .... '-разложи?,1ше компоненты случайной

f 3 ]Г. Ь. , 1). .4(1 и Iг, . Ап от1епп1ап о? .Ыи^сЬеге-ТгоНег аряга-

^г-^Мч'гг-,^ I с >> li-m.it Таг1 dt?p<?rulвnt гаткЗото

аЫе-а г'*.. 1 V . 4Я. р .37-5 I .

величины z.Предположим,что при г-« t(i(T)-o(T'iy2)

Если обе последовательности (х( i ),х(2>,... У и (zi,z2....) удовлетворяют условию Линдеберга (3),то для.т справедливо соотношение

iiS '

теорема i э. Пусть x(t),х(2).... -случайные наблюдения за процессом x(t), te(N, имеющие Msftj=o и o<ca^M\x(t для i > г.

t=t,2,... Пусть выполняются соотношение (9) для j = ТТ*,* > г и

условие (3) для последовательностей x(i), х(2\„... и z ,z2.....

тогда при т-ю имеем оценку

r>,Tf~vi=oi:r£ipfr;ja

ДЛЯ любой функции fee'1 (К).

Теорема 14. ПуСТЬ х(1),х(2),... И Z ОПрвДеЛвШ K3K В ТворвМв

13,тогда для любой функции fee'1''"1 (К) имеем оценку

где ^'".(рст)) -модуль" непрерывности функции Л"1, а

dt(*.)=C*viax(M\x(t )\'LsM\x(t)\Jl~i )+max(M\Zl\JljM\Zl\'l~i ). (II)

с*-положительная константа.

Центральная предельная теорема и закон больших чисел с оценкой скорости сходимости для последовательности x(i),хсг).... также получены как частные случаи общей предельной теоремы. Подобные результаты в случае х(i),x(2).... -мартингал-разности были изучены в работе [¿].

В восьмом параграфе обобщаются результаты предыдущего параграфа,когда число слагаемых в рассматриваемой сумме есть последовательность случайных величин w^,A.=I,2,... .Изучено асимптотическое поведение статистики, зависящей от параметра А.,

А,—

к ф-разлокимой случайной величине z при А,->оо,где ф-положительная

убывают и функция с при Х-т.Главные результаты этого параграфа доказаны в следующих теоремах.

Теорема 1В. ПуСТЬ х ( 1 ) . х (2 ) . . . . И Z ОПрЭДвЛвШ КЭ1С В ТвОрвМв 12 . Если выполняются условия (8) и ' (9) для -г = 2 , то справедливо соотношение

JUS p{>.A/T}=F(ZC:r}- ^

Теорема 16. ПуСТЬ х( 1 ) . х(2 ). . . . ( ^ , telN >И Z ОПрвДЭЛеНЫ KDK В

геореме 13.Допустим,что для последовательностей xd), х(2).... и z ,z .... выполняется условие (8) . Если справедливо соотношение

[гф(NX) (М | X (t; I \м I Zt IА;• о|м [fф(NX) ]^fМ | *< t; | \м | zJ *;]} где с- некоторая константа , то имеем оценку для fee'1 (К) при А,-.™ I Утф ^ f" V I -"°{М (f<P'^ j^M | * Г t J | %М | Z, Г^) } .

теорема 17. Пусть все условия теоремы 14 выполняются, тогда при для i^c""' (IRj имеем оценку •

и,если ('"""'-ыра.сча-?; ,то при А.-«

где ^(г.), t-;,,?..... г > 2 -определены в равенстве (II).

В третьей главе диссертации результаты параграфов четвертого и пятого первой главы переносятся на случай многомерного пространства.

Г> девятом параграфе введены определение , свойства хпряк горисгичвсксц*о опчратора Троттера в К-мерном • евклидовом

пространстве и нужные понятия для доказательства К-мерной предельной теоремы.Определены также понятия модуля непрерывности,класса Липшица и условия Линдеберга для К-мерного случая.

В десятом параграфе изучается общая К-мерная предельная теорема для сумм независимых: случайных векторов с . оценками скорости сходимости.Получены также К-мерная центральная предельная теорема и закон больших чисел для суш независимых случайных векторов, как следствие общей к-мерной предельной теоремы.

Одиннадцатый параграф посвящЭн общей к-мерной предельной теореме для сумм со случайным числом к-мерных векторов с оценкой скорости сходимости.Полученные результаты данного параграфа являются обобщением результатов первого.второго,-третьего , пятого параграфов первой главы.

СПНССЖ РАБОТ ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1 .Trail Loo Hung.The operator viethocl in the limit theorems // J. 3ci. Infor. Hue unlvereity . 19в2.V.I,N3.P.20-27.

2.Tran Lac Hung. Applications of the operator method in the lean of large numbers // J. Uath.Vietnam.1983.V. 1 I.P.20-24.

3.Тгап Loo Hung. The Trotters operator method in the law of larger numbers with random index // J. Math.Vietnam.19BB.V.2 P.4-9. '

4.Tran Loo Hung. On the rate of approx(mation. in the limit theorems for randomly' Indexed sum.a of к - dimensional random liar labia©// Prep .91 /2. Xnatitut of mathematics National center for Solent Ifio reeearoh of Vietnam.1991.V.2.P1-11.

ь.Труш H.K. , Чан JIok Хунт. Свойства статистик > зависящих от случайного параметра. // Тезисы докладов на межреспубликанской

научно - практической конференции творческой молодбки . Минсг ,

ТЭГ"? г.

е.Труш Н.Н.,Чан Лок Хунг.Оценки скорости сходимости в 1гредельных теоремах для с.>»1М со случайным индексом случайных Еекторов . // Тезисы докладов , . конференции математиков Республик»! Беларусь, Гродно 1992 г.

т.Труш II.Н.,Чан Лок Хунг. Ас имптотические поведения распределения < гптнстики временного среднего.//Вестник БГУД992 (в печати/.