Некоторые проблемы квантовой теории гравитации и космологии в подходе эффективного действия тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Физический институт им. П. Н. Лебедева Российской академии наук

На правах рукописи

НЕСТЕРОВ Дмитрий Владиславович

НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ И КОСМОЛОГИИ В ПОДХОДЕ ЭФФЕКТИВНОГО ДЕЙСТВИЯ

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2004

Работа выполнена в Отделении теоретической физики им. И.Е. Тамма Физического института им. П.Н. Лебедева РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Барвинский Андрей Олегович

(Физический институт им. П.Н.Лебедева РАН, г. Москва) Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Гальцов Дмитрий Владимирович (Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова)

доктор физико-математических наук Фурсаев Дмитрий Владимирович (Объединенный институт ядерных исследований, г. Дубна)

Ведущая организация:

Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН, г. Черноголовка

им. П.Н. Лебедева РАН (119991, Москва, Ленинский пр., 53).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физического института им. П.Н. Лебедева РАН.

Защита состоится "( & " &-усТ заседании Диссертационного Сове

5_ 2004 г. в _ часов на

,023.02 в Физическом институте

часов на

Автореферат разослан " " ¿Д-У-Х _ 2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного Совета К002.023.02 доктор физико-математических наук

¿е

2005-4 Общая характеристика работы

12728

-Актуальность темы. Формализм эффективного действия и эффективных

уравнений широко и успешно применяется в различных областях теоретической физики. В наиболее общей постановке, эффективное действие r[ip\ - это производящий функционал одночастично-неприводимых функций Грина. Г[ч>\ есть функционал матричного элемента ф = <ф> операторов полевых наблюдаемых ф, полный набор которых включает все локальные поля системы, в том числе метрику пространства-времени. Описание в терминах этого функционала справедливо, по крайней мере, в пределах субпланковской физики или длинноволнового приближения, в рамках которого остается адекватным описание в терминах наблюдаемых - переменных классической теории, обобщенных на квантовый уровень в виде локальных полевых операторов. В частности, знание эффективного действия позволяет построить 5-матрицу в теории рассеяния, вычислить поляризацию вакуума квантовых полей внешними классическими полями, поставить динамическую краевую задачу для среднего поля <ф> и его корреляционных функций и т.д.

Вычисление точного эффективного действие для реалистичных физических полевых моделей встречает непреодолимые технические трудности. Поэтому особую важность приобретает разработка приближенных методов его вычисления. Характер приближения и соответствующие им пертурбативные методы определяются характерными значениями параметров рассматриваемой модели или областью спектра теории, генерирующей интересующий физический эффект. Чаще всего в физических приложениях применяется петлевое разложение по малым квантовым возмущениям полей над некоторой классической конфигурацией, разложение по малой константе связи в теории, низкоэнергетические разложения по производным полей или различные их комбинации.

Последовательное применение методов эффективного действия к космологии сопряжено с серьезными проблемами, прежде всего, из-за отсутствия последовательной квантовой теории гравитации. В настоящее время представляется невозможным ее построение в рамках локальной квантовой теории поля и основные надежды возлагаются на теорию суперструн (J.Polchinski, String Theory, Cambridge University Prese, 1999) или петлевую квантовую гравитацию (Т. Thiemann, Lect. Notes Phys. 631 (2003) 41-135). Соответственно, методы локальной теории поля, при наличие динамической гравитации, следует применять с особой осторожностью. Также, определенные затруднения возникают из-за недостаточной разработанности методов квантования полей и теории перенормировок в искривленном пространстве.

Для рассмотренной в диссертации задач^^^^дщ^^^^д^вий в инфля-

БИБЛИОТЕКА i

ционных моделях ранней вселенной часть указанных трудностей удается обойти, рассматривая гравитацию при характерных энергетических масштабах много меньших планковских, где применение квачиклагсических методов локальной квантовой теории поля к теории гравитации обосновано.

Энергетический масштаб в теории инфляции является свободным параметром, и его сложно фиксировать, не привлекая идей квантовой космологии. Задача последней в том, чтобы на квантовом уровне приготовить необходимые начальные данные, путем выбора соответствующего квантового состояния Вселенной. Для рассматриваемых моделей это квантовое состояние порождает ансамбль инфляционных вселенных. Оно же позволяет найти функцию распределения величин, характеризующих этот ансамбль, и проинтерпретировать ее вероятностный максимум (если такой имеется), как генерирующий начальные данные, и, в частности, энергетический масштаб инфляции. Таким образом решается одна из центральных проблем космологии ранней вселенной - определение начальных условий для ее эволюции. Развивая идеи, предложенные в работах (A.O.Barvinsky, A.Yu.Kamenshchik, Class. Quantum Grav. 7 (1990) 181; Phys. Rev. D 50 (1994) 5093), в диссертации рассматриваются модели хаотической инфляции с большой отрицательной неминимальной связью инфлатона с кривизной. В этих моделях, при учете квантовых поправок, удается построить пикообразные функции распределения начальных значений полей такие, что энергетический масштаб оказывается много меньше планковского.

Плодотворным оказывается исследование динамики с помощью эффективных уравнений средних полей В диссертации, в частности, построены и вычислены однопетлевые эффективные уравнения для квантовых средних космологического масштабного фактора и поля инфлатона в рассматриваемой космологической задаче.

Решение задачи квантового происхождения и инфляционной эволюции вселенной приобретает особую ценность ввиду достижений наблюдательной астрономии последнего десятилетия и признанием инфляционных сценариев в качестве адекватных кандидатов на описание развития нашей вселенной на раннем этапе. Полученные новые данные по спектру анизотропии микроволнового излучения и по взрывам сверхновых убедительно свидетельствуют в пользу космологических моделей с положительной эффективной космологической постоянной и наличием продолжительной квазидеситтеровской (инфляционной) стадии на раннем этапе. Поэтому исследование инфляционных сценариев, в которых внутренним образом определяются начальные данные, и разработка математических методов для подобных задач являются актуальными.

В последнее десятилетие бурно развивается физика бран, открывшая качественно новые возможности длц космологии. Актуальность изучения бранных

космологических моделей, в частности, заключается в том, что они открывают вовые подходы к решению проблемы иерархии, проблемы космологической постоянной и новые инфляционные механизмы, претендующие на объяснение крупномасштабной структуры вселенной. Вторая часть диссертации посвящена нахождению эффективного действия для моделей бранной космологии.

Враны возникают как непертурбативные объекты в теории струн. Это поверхности, на которых заканчивается открытая струна, вложенные в пространство большего числа измерений, называемое балком, в котором распространяются физические степени свободы струны.

С другой стороны, браны возникают в классических решениях теорий супергравитаций, которые описывают низкоэнергетический предел струнных теорий. Это поверхности меньшего числа измерений, обладающие внутренними характеристиками, такими как затравочная космологическая постоянная (натяжение), при переходе через которые метрика ведет себя негладго.

При вычислении эффективного действия в квантовополевых моделях с бра-нами возникают новые специфические особенности, прежде всего связанные с наличием особенностей на границах - бранах. Вранное эффективное действие, с одной стороны, должно неявно учитывать динамику полей в объемлющем пространстве (балке), а с другой стороны, должно явно зависеть только от полей, имеющих непосредственный физический смысл на бранах. Такое действие определяется интегрированием по всевозможным конфигурациям полей в балке, при фиксированных значениях на бранах. Будучи функционалом только полей на бранах, оно описывает их эффективную динамику.

Основной результат, представленный во второй главе диссертации, относится к реализации этого голографического алгоритма построения нелокального эффективного действия для двухбранных моделей типа Рандапл-Сундрума с искривленными бравами.

Сценарии с искривленными бранами рассматривались во многих работах, например, в статьях (J.Garriga, M.Sasaki, Phys. Rev. D62 (2000) 043523; S. W.Hawking, T.Hertog, H.S.Reall, Phys. Rev. D62 (2000) 043501; Phys. Rev. D63 (2001) 083504; M.K.Parikh, S.N.Solodukhin, Phys. Lett. В 503 (2001) 384-393.). В отличие от результатов изложенных в них, в диссертации рассматриваются модели с независимыми метриками на бранах. Также, в отличие от этих работ, представленные результаты выходят за рамки низкоэнергетического приближения. Интерес к подобным конструкциям вызван попытками выйти за пределы массовой оболочки в бранной физике, разрешить проблему иерархии взаимодействий, а также построить новые инфляционные сценарии (G.Dvali, S-H.H.Tye, Phys. Lett. В 450 (1999) 72).

В настоящее время широко признана важная роль нелокальных процессов

в квантовой физике. В отличие от поляризационных -эффектов в вакууме при низких энергиях они характеризуют высокоэнергетические квантовые эффекты в массивных теориях и/ш инфракрасное поведение в безмассовых теориях. Даже в моделях с хорошим низкоэнергетическим поведением, таких как эйнштейновская гравитация, нелокальные явления вызывают возрастающий интерес в связи с попытками разрешения проблем космологической постоянной и наблюдаемого космологического ускорения с помощью нелокальных модификаций теории на больших расстояниях. Эти модификации обычно требуют выхода за рамки теории возмущений ввиду непертурбативных аспектов проблемы Захарова-Ван Дамма-Велтмана (Д. van Damm, M.J.Veltman, Nucí. Phys. D22 (1970) 397; V.I.Zakharov, JETP Lett. 12 (1970) 312) и наличия скрытого непертурба-тивного масштаба длины в гравитационных моделях с дополнительными измерениями (M.A.Luty, M.Porrati, R.Ratazzi, JHEP 0309 (2003) 029; V.A.Rubakov, hep-th /0303125).

С другой стороны, нелокальности возникают в силу фундаментальных квантовых эффектов материальных полей или петлевых гравитационных эффектов, которые, например, могут играть важную роль в теории гравитационного излучения (V.F.Mukhanov, A.Wipf, A.I.Zelnikov, Phys. Lett. В 332 (1994) 283; A.G.Mtrzabektan, G.A.Vtlkovisky, Class. Quant. Grav. 12 (1995) 2173) и космологии (N.C.Tsamis, R.P. Woodard, Nucl. Phys. 474 (1996); Ann. Phys. 253 (1997) 1). Таким образом, они могут с успехом соперничать с феноменологическими механизмами инфракрасных модификаций теорий, индуцированными, к примеру, бранными сценариями с дополнительными измерениями (R. Gregory, V.A.Rubakov, S.M.Stbtryakov, Phys Rev. Lett. 84 (2000) 5928; G R.Dvah, G.Gabadadze, M Porrati, Phys. Lett. B485 (2000) 208) или другими моделями (M.Soussa, R. Woodard, astro-ph/0302030) Это делает непертурбатив-ный анализ нелокальных петлевых эффектов интересным и многообещающим

Основным инструментом для описания таких эффектов является формализм квантового эффективного действия и техника его вычисления с помощью ядра (уравнения) теплопроводности. Однако, в настоящее время хорошо развиты лить методы вычисления асимптотики малого собственного времени ядра теплопроводности, основанные на различных модификациях метода Швингера-ДеВитта (A.O.Barvinsky, G A.Vilkovisky, Phys. Rep. 119 (1985) 1; D.V.Vassilevich, Phys.Rep. 388 (2003) 279-360). Эта асимптотика описывает ультрафиолетовое поведение эффективного действия и позволяет вычислять, в частности, однопетле-вые расходимости, аномалии, лидирующие сингулярности пропагатора теории. Вклад инфракрасной части спектра оказывается вычислимым только для массивных полей, пертурбативно по обратным степеням массы, когда кривизны и их ковариантные производные, а также производные потенциалов малы по срав-

нению с массой поля (A.O.Bamnsky, G.A. Vilkovüky. Nucí. Phys. ВЗЗЗ (1990) 471) Для безмассовых теорий во внешних полях подобные методы оказываются неприменимыми.

Выйти за рамки ультрафиолетового предела или массивных теорий позволяет разработанная в восьмидесятых годах в работах Барвинского и Вилковыского ковариантная теория возмущений (A.O.Barvinsky, G А.Vilkovisky, Nucí Phys. ВЗЗЗ (1990) 471) для вычисления ядра теплопроводности и его следа. В ковари-антной теории возмущений сам потенциал, а также пространственно-временные и калибровочные кривизны, рассматриваются как возмущения, и решение уравнения теплопроводности ищется в виде ряда по степеням потенциала и кривизн. С точки зрения разложения Швингера-ДеВитта, такое рассмотрение соответствует бесконечному пересуммированию всех слагаемых с данной степенью потенциала и кривизны и произвольным количеством производных.

Ковариантная теория возмущений применима для d > 3 и достаточно малого потенциала V. Таким образом, серьезный недостаток такого подхода в том, что он не позволяет преодолеть рамки теории возмущений, и, в частности, не позволяет установить неаналитические по потенциалу структуры в действии.

В данной диссертации представлен новый метод вычисления инфракрасной асимптотики ядра теплопроводности и его следа. Представляемые в диссертации результаты являются непертурбативными по кривизнам, и, таким образом, являются принципиально новыми. Нетривиальным результатом является, также, обобщение на случай искривленного пространства.

Полученные результаты применяются к построению нового эффективного действия для теории безмассового скалярного поля во внешнем поле, в котором учтен вклад как ультрафиолетовой, так и инфракрасной частей спектра.

Проведенная частичная проверка через пересуммирование бесконечных рядов ковариантной теории возмущений подтверждает правильность постановки задачи и полученных результатов.

Целью работы является постановка задачи Коти в квантовой космологии ранней вселенной и ее приложения к широкому классу моделей, описывающих квантовое происхождение и инфляционную эволюцию вселенной, построение эффективного бранного действия для моделей типа Рандалл-Сундрума в топографическом формализме, обобщение результатов на случай искривленных брад. В контексте разработки методов вычисления эффективного действия в диссертации представлена новая техника вычисления асимптотики позднего времени ядра теплопроводности в плоском и искривленном пространствах, а также ее приложение к вычислению непертурбативного эффективного действия Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются оригинальными и получены впервые.

Научная и практическая ценность дж сертационной работы обусловлена непосредственным применением полученных в ней результатов в теории эволюции ранней Вселенной, при исследовании космологических сценариев с бранами, а также разработкой новых методов вычисления эффективного действия. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах Отделения теоретической физики ФИ АН, семинаре им. Зельманова по гравитации и космологии в Государственном астрономическом институте им. П.К.Штернберга МГУ, а также на Международной конференции "Квантование, калибровочная теория и струны" памяти Е.С.Фрадкина (Москва. 5 10 июня 2000 г.) и III международной Сахаровской конференции по физике (Москва, 22-29 июля 2002 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 статьи в научных журналах, 1 препринт и 2 статьи в трудах конференций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, объединяющих 34 раздела и подразделов, заключения, семи приложений и списка цитируемой литературы, включающего 106 наименований. Общий объем работы 134 страницы.

Краткое содержание работы

Во введении описаны объекты исследований, дан краткий исторический обзор и сформулированы цели диссертации. Введение содержит три раздела с предвари! ельными сведениями и обсуждением актуальности и мотивации проводимых исследований В первом разделе дается обзор общей концепции построения моделей ранней вселенной, генерирующих инфляционную стадию в ее эволюции, а также применение проскрипций квантовой космологии да я получения начальных данных. Во втором разделе дается краткий исторический обзор развития физики бран и содержится введение в бранную космологию. Третий раздел содержит основы техники расчета эффективного действия с помощью ядра теплопроводности. Все эти сведения дают введение в задачи, решаемые в основной части диссертации Приведена общая структура диссертации.

В первой главе рассматривается задача квантового происхождения и эволюции вселенной.

Целью главы является вывод и решение в одноиетлевом приближении эффективных уравнений для средних полей, определяющих инфляционную эволюцию Вселенной. Для получения начальных данных для эволюционных уравнений реализована схема постановки квантовой задачи Коши в космологии ранней вселенной, предложенная в работах (A O.Barvinsky, Phys. Rep. 230 (1993) 237; A O.Barvinsky, A Yu.Kamemhchik, Phys Lett B332 (1994) 270).

В разделе 1.1 ставится задачи Коти. Поясняется метод расчета функции распределения для начального значения инфлатона из космологических волновых функций, являющихся решениями уравнений Уилера-ДеВитта квантовой гравитации. Задача решается для двух различных космологических состояний, описываемых волновой функцией Хартла-Хокинга (NB) и туннелирующей волновой функцией (Т). Основная проблема состоит в том, что на классическом уровне функции распределения, являющиеся квадратами волновых функций, не подавляют вкладов сверхпланковских энергий, ненормируемы в пределе больших значений поля инфлатона и не обладают пикообразным поведением, необходимым для определения начальных данных. Ситуация исправляется при учете квантовых вкладов от всех полей присутствующих в теории, когда функция распределения для инфлатона ip есть интеграл от квадрата волновых функций по вкладам всех остальных степеней свободы, кроме пространственно-однородного поля инфлатона. Как было показано в работах (A.O.Barvinsky, А. Yu.Kamenshchik, Class. Quantum Grav. 7 (1990) 1°1, 71ys. Rev. D 50 (1994) 5093), в однопетлевом приближении функция распределения представима в виде

PNB,T(V) ~ ехр[т/М - Г1-100Р(¥>)], (1)

где Т(<р) ~ классическое действие, вычисленное на евклидовом инстантоне, а A-loop есть однопетлевое евклидово эффективное действие. Такая функция распределения нормируема и обладает острым вероятностным пиком при некотором значении инфлатона ipi, что дает начальные данные для инфляционной модели.

Раздел 1.2 посвящен построению эффективных уравнений для квантовых средних космологического масштабного фактора и поля инфлатона. Эти уравнения в однопетлевом приближении схематически представимы в виде

+ Jq (t) + J« (í) = 0, Q = (a, v) (2)

где Q(t) - минисуперпространственный сектор модели, состоящий из пространственно-однородны х мод поля инфлатона <р и масштабного фактора метрики а, S[Q] - классическое действие, а Jq(í) и Jg(t) одноиетлевые квантовые вклады (токи) пространственно-неоднородного и минисупериространственного секторов соответственно. Квантовые вклады этих секторов разделяются и, следовательно, могут быть посчитаны независимо.

Квантовые состояния для мод f{x) пространственно-неоднородного сектора являются гауссовыми и, как было показано в работе (Я. Laflamme, Phys. Lett. В 198 (1987) 156), представляют собой (квази)деситтеровский вакуум. Согласно работе (А.О. Barvinsky, A.Yu. Kamenshchik, Nucí. Phys. В 532 (1998) 339), это

позволяет применить для вычисления однопетлевых квантовых вкладов в эффективные уравнения (2) технику евклидова эффективного действия. Подобная техника для пространственно-однородного сектора оказывается неприменимой в силу отсутствия деситтеровски-инвариантного вакуума для эффективно безмассовых квантовых возмущений этого сектора. Учет квантового вклада необходимо производить квантовомеханически, осуществляя вычисление .7д(<) в эффективных уравнениях (2) путем усреднения квадратичных комбинаций (корреляторов) гейзенберговских операторов возмущений ¿0(4) по квантовому состоянию системы.

В разделах 1.3 и 1.4 определяются начальные значения для средних полей минисуперпространственного сектора и находятся гейзенберговские операторы квантовых возмущений &2(£) пространственно-однородных мод, с использованием техники гамильтоповой редукции к физическому сектору

В разделе 1.5 разработанные схемы постановки задачи Коши и решения эффективных уравнений реализованы для модели хаотической инфляции с большой отрицательной неминимальной связью £ инфлатона <р с кривизной

Наблюдательным данным по анизотропии СМВЯ, ДТ/Т ~ Ю-5, соответствует следующий выбор значений констант: ~ Ю-5. Модель (3) удобна тем, что за счет большой величины |£[, в приемлемом диапазоне значений остальных параметров, обеспечивается острый вероятностный пик функции распределения начального значения инфлатона (1)

«"М-зяг-РЗ*]- м

с характерными параметрами

*>/~тяКГ1/2, (5)

Тем же обстоятельством генерируется субпланковский энергетический масштаб инфляционной вселенной, определяемый постоянной Хаббла Я ~ тр^щ, много меньшей планковской массы тр.

Для данной модели в разделах 1.6 и 1.7 приводятся явные выражения для квантовых вкладов (7д(4) и в уравнение эволюции среднего значения поля

инфлатона для обоих рассматриваемых квантовых состояний (туннелирующего и Хартла-Хокинга).

Схематически это уравнение представимо в следующем виде

ф + 3^ф-Р(<р,а)-0, (6)

где точки есть производные по времени, и эффективная скатывающая сила

FNB,T(<P, а) ~ <р (l т g) + *"(«, <р) (7)

в лидирующем приближении является суммой классической силы Fci!L№ (первое, единичное, слагаемое в скобках) и вкладов от неоднородного (второе слагаемое) и минисуперпространственного (F9) секторов.

Вклад F4 в полную скатывающую силу выражается через линейную комбинацию радиационных токов .Jq (t) и их производных по времени и различается на начальной и поздней стадии инфляции, в отличие от остальных вкладов, приблизительно постоянных в силу медленного скатывания инфлатона. В начале инфляции F® по порядку величины оказывается подавленной по сравнению с классическим вкладом в скатывающую силу и вкладом неоднородных мод

(8)

которые как видно из (7), сопоставимы по величине при <р — ipi. Следовательно, учет вклада минисуперпространственного сектора не оказывает принципиального влияния на эволюцию вселенной на ранней стадии. На поздней стадии инфляции этот вклад оказывается еще меньше из-за сокращения в лидирующем порядке вкладов однопетлевых радиационных токов.

Заметим, однако, что этот результат модельно зависим и для других инфляционных моделей вклад минисуперпространственного сектора может быть существенным.

Таким образом из (6-8) следует, что в рассматриваемой модели (3) в состоянии с волновой функцией Хартла-Хоукинга, реализуется режим вечной инфляции, так как скатывающая сила (7) запирает инфлатон около начального значения <pi. Для туннелирующего состояния получается продолжительная конечная стадия инфляции, выход из которой обеспечивается постепенным скатыванием инфлатона от начального значения в сторону меньшего значения потенциала.

Глава 2 посвящена построению эффективного действия в физических моделях с брагами.

Определение и общая схема построения эффективного действия, подробно описанные в разделе 2.1, выглядят следующим образом. Пусть Ф - набор фундаментальных динамических полей на (d + 1)-мерном пространстве-времени М (объем, бал к) с границей дЛ4. Обычно в бранных моделях в качестве полей в объеме рассматривают гравитационные степени свободы - метрику в объемном пространстве-времени, потому что в мотивированных из теории струн бранных сценариях всегда присутствует поле гравитона (J.Polchinski, Phys. Rev. Lett.

75 (1995) 4724; Р.НоГаяа, Е.ЖШеп, Мчс1 РЬук. В 460 (1996) 506). В понятие границы, дЛЛ, включаются не только "внешние" границы (асимптотические области М), но также и браны времепиподобные ¿-мерные поверхности, вложенные в М. Их мы будем нумеровать прописными латинскими индексами: ВАЛ = Уг дМг Граничные значения полей Ф на бранах дМ обозначим ф1, Ф|9Л/1 = ф,, и будем называть индуцированными полями

Бранное эффективное действие является результатом интегрирования по всем полевым конфигурациям в объеме, при заданных фиксированных значениях полей Ф на бранах

ехр^!^]) = /~Г>Фсхр(г8[Ф,£])| (9)

4 ' 4 ' 1ф (вМ)=ф

Полное (<I+ 1)-мерное действие в общем случае представимо в виде

8[Ф,£] = 8(<т)[Ф] + 5та'[4>,£], (10)

где первое слагаемое определяет объемную часть действия, зависящую только от Ф, в то время как второе представляет действие полей материи, зависящее только от полей материи £ и индуцированных полей ф.

Поскольку действие материальных полей входит в выражение (10) аддитивно и по его аргументам интегрирование не производится, оно также аддитивно входит и в БеЯ\ф, £]. Остальная часть последнего в высшей степени нетривиальна, так как содержит в себе результат функционального интегрирования. Разлагая результат интегрирования по степеням Л, получим

где древесная часть эффективного действия

ЯМ-в^ФМ] (12)

есть результат подстановки в классическое объемное действие решения Ф[ф\ следующей краевой задачи Дирихле

\ 5Ф - (13)

I «и = Ф-

Часть эффективного действия, обозначенная 51оор[^], представляет собой вклад петлевых диаграмм, который как минимум порядка Н. В диссертации мы ограничиваемся рассмотрением древесной части, как дающей основной вклад.

'Для краткости, иногда будем опускать индекс г, нумерующий бранные индуцированные и материальные поля относящиеся к конкретной бране, так, что (ф, £) обозначает весь набор полей £,), ассоциированных с различными браяами.

Если теория (10) нелинейна, то в общем случае оказывается невозможно выразить явно древесную часть (12) как функционал индуцированных полей ф. В этом случае можно развить теорию возмущений для (12) по степеням возмущения значений граничных полей на фоне некоторой вакуумной конфигурации ф°, для которой древесная часть эффективного действия вычислима в явном виде.

В разделе 2.2 подобная вычислительная схема применяется к двухбранной модели типа Рандалл-Сундрума с действием

S[G,y>] = jd^+'Xy/G{R{G)~2K)J dxy/d[K}

м 1 ам,

/ d"x^gfft + 52 J d'xy/gL^fabdS). (14)

' ам, ' ам,

где первые два слагаемых есть обычное гравитационное действие Гильберта-Эйнштейна с космологической постоянной Л и поверхностным слагаемым Гиб-бонса-Хокинга, третье слагаемое, зависящее от натяжений брал сг,, описывает затравочные космологические постоянные, а последнее представляет собой действие бранных материальных полей, явный вид которого не существенен.

Фундаментальным полем Ф в объеме является метрика в балке, Gab(X). Роль известных классических решений, соответствующих фоновым граничным полям фо(х), в модели с отрицательной космологической постоянной Л играют решения типа Рандалл-Сундрума, где две параллельные браны (г = ±) являются погруженными в AdSd+1 максимально симметричными гиперповерхностями dSd, AdSd или Я**-1'1 (в зависимости от значений натяжений бран <т,), фоновая индуцированная метрика на которых пропорциональна д»„(х).

Во втором порядке по возмущениям индуцированной метрики, ~

Sg'pvix), древесное приближение эффективного действия представимо в виде

ам '>j=±

(15)

тт

где у1„(х) = /ij,^ (х) - поперечно-бесследовая тензорная, а ф'(х) - конформная скалярная части возмущения метрики /г*. Поперечно-бесследовую часть = hlt„TT(x) можно отождествить с d-мерным гравитоном, а скалярную часть можно интерпретировать в терминах радиона - поля, характеризующего межбранное расстояние. Формфакторы в обоих секторах вычисляются явно.

Так, Кг_, (х, х') есть ядро диагонального локального бранного оператора

К,Ах, х') = 4(d - (□ + 5х')- <16>

где □ = 9°s(x)VoVi3 - rf-мерный бранный даламбертиан, R(g) - скаляр кривизны

метрики да0(х), а' - масштабный фактор, соответствующий г-ой бране.

Формфактор в гравитонном секторе гораздо нетривиальнее. Это нелокальный бранный оператор, перемешивающий гравитоны -у, с разных б ран. Его ядро выражается через функцию Грина краевой задачи Дирихле для дифференциального оператора малых возмущений в объеме-

[УС.УК*,*') = [*<**х,х'уг]хшх(ш)х,шх(кп, (17)

где X есть координаты многообразия балка, х - координаты на бране, а Х(х) соответствующее им функции погружения. Подействовав на функцию Грина Со(Х.Х') производными вдоль нормальных направлений к бранам и, затем, ограничив аргументы этого выражения на браны получим ядро матричного бранного операюра Для случая классического решения с параллельными бранами, фоновая метрика которых связана масштабным преобразованием, это ядро соответствует квазилокальному оператору, [УСвУ](П), параметрически зависящему от бранного даламбертиана □:

[\7GoVKx,*') = [УС^](П) 8(х,х'). (18)

В разделе 2.3 эффективное действие в квадратичном приближении по возмущениям индуцированной метрики выводится другим способом - путем восстановления действия, генерирующего зависимость индуцированных полей от источников на бранах, полученную из анализа объемных уравнений Эйнштейна. Получается вид, аналогичный (15), с формфактором (—в]^1) (ж, х'), который есть ядро бранного оператора, обратного оператору с ядром Схн(х, х'), построенному с помощью функции Грина краевой задачи Неймана для того же дифференциального оператора малых возмущений в объеме.

В разделе 2.4 доказывается, что эти два выражения для эффективного действия эквивалентны в силу нетривиального соотношения дуальности между краевыми задачами Дирихле и Неймана. В достаточно общем случае, для произвольных конфигураций границ, верно следующее соотношение, связывающее функции Грива различных краевых ¿лдач:

i сгх"[УС0%1(х,х")с%(х",х') = 5!5(х,х'), (19)

' дМг -Я 1=г

откуда следует, что х') и -|УСс ядра обратных операторов

на бранах дМ.

В дополнение к общему доказательству, соотношение (19) проверяется явно для случая модели Рандалл-Сундрума с плоскими бранами

В разделе 2.5 анализируется ншкоэнергетический предел бранного эффективного действия и показывается, что этот предел совпадает с действием, полученным калуца-клейновским методом.

Глава 3 диссертации посвящена разработке новых методов расчета однопет-левого эффективного действия на основе использования асимптотики позднего времени ядра теплопроводности оператора малых возмущений полей Основные результаты в этой части состоят в построении непертурбативной асимптотики позднего времени ядра теплопроводности и его следа и в применении полученных результатов к вычислению непертурбативного эффективного действия для теорий в плоском и искривленном пространстве-времени

Для теории поля общего вида его классическое действие S[ip] порождает оператор F(V) линейных полевых возмущений над фоновым полем ¡р(х)

= (20)

Квантовое эффективное действие .Г^] следует из соответствующего классического действия, как петлевое разложение по степеням h

S[<p] Г = S[v?j + Л/1-loopМ + h2r2-iooPM + ..., (21)

первый порядок которого графически представим фейнмановской диаграммой

A_ioop=i'IVlnF(V) = i(^), (22)

проиагатор в которой есть функция Грина оператора (20).

Одноиетлевая часть выделена, в том смысле, что она не содержит явно вершин классического действия (до тех пор, пока она не раскладывается по степеням фонового поля <р), и представима в виде функционального следа логарифма оператора F(V).

В локальных теориях поля оператор (20), как правило, представим в виде

F(V) = □ - V(x), (23)

где V(x) - некоторый потенциал, а □ = д**" V,/ - ковариантный даламбертиан в искривленном пространстве-времени с метрикой

Весьма эффективный путь анализа диаграмм типа (22) на произвольном фоне, т. е. с произвольными метрикой и потенциалом, основан на использовании ядра теплопроводности

K(s\х, у) = exp(SjF(V)) 6(х, у). (24)

Оно удовлетворяет уравнению теплопроводности с единичным начальным условием при 5 = 0

= F(V) K(s), К{0) = I (25)

и, посредством интегрирования по собственному времени, позволяет вычислить

пропагатор оператора (20)

1 /"" G(x,y) = j^5(x,y) = - j ds K(s\x. y)

и, в замкнутой форме, однопетлевое эффективное действие

A -loop — -х

Г° — Тг K{s) , Тг К (а) = f dx K{s\х, х). (27)

Jo

Эффективность использования ядра теплопроводности и метода собственного времени основана на хорошо известном и универсальном поведении K(s\x, у) для операторов второго порядка по производным общего вида при s —> 0. Данный предел определяет ультрафиолетовые расходимости и аномалии в теории поля, перенормировку и разложение по степеням производных, лежащие в основе вакуумных поляризационных эффектов.

Наоборот, нелокальные члены возникают из вклада верхнего предела в интеграле по собственному времени (27), что делает асимптотику позднего времени TrK'(s) существенной для другого класса эффектов, включающих рождение частиц и рассеяние. Подынтегральное выражение - след ядра теплопроводности, включая его асимптотику позднего времени, ранее изучалось с помощью кова-риантного нелокального разложения по кривизнам в работах (A.O.Barvinsky, G.A. Vilkovisky, Nucí. Phys. B282 (1987) 163; Nucí. Phys. B333 (1990) 471). Этот метод кратко описан в разделе 3.1 диссертации.

В разделах 3 2 и 3.4 описывается новый метод непертурбативного по потенциалу вычисления асимптотики позднего времени ядра теплопроводности, основанный на рекуррентном нахождении коэффициентов 1 ¡s разложения ядра теплопроводности с последующим восстановлением коэффициентов разложения функционального следа путем решения его вариационных уравнений по потенциалу и метрике

Заметим, что в пределе больших з след ядра теплопроводности К(з) не удается восстановить путем взятия предела совпадения аргументов в К(з\х, у), у —> х с дальнейшим интегрированием по многообразию. Одним из следствий этого является тот факт, что, как это следует из вариационных уравнений и независимо показано в ковариантной теории возмущений, Тг К (я) = О ) при з —> оо и, соответственно, представим в виде

(29)

(28)

/""(V,, V„) = -V^V? + ~!ГП х + ÍÍTVÍV;

А

в то время как К(в\х,у)\у-*Х — О . и анзад для его 1/я разложения есть

П(в| ж, у) = По(®, 2/) + ^ п, (х, V) + о ^ ) , (31)

где ст(х, у) половина геодезического расстояния между точками. Объяснение этого заключается в неравномерности 1 /я-разложения по аргументам П(а| х, у).

В разделе 3 2 производится вычисление первых двух коэффициентов разложений (30) и (31) в плоском пространстве. Обсуждается выбор граничных условий, позволяющий единственным образом определить эти коэффициенты.

После нахождения явного вида Оо(х,у) и 01 (х, у) и решения вариационных уравнений по потенциалу (28) восстанавливаются выражения для первых двух порядков асимптотического разложения следа ядра теплопроводности

Wo

Wi

= -JdxV<t>(x), (32)

= Jdx (33)

где Ф(х) есть решение линейного однородного уравнения с оператором (23) с единичным граничным условием на бесконечности

Ф(х) = 1 + g^Y V4*) = 1+J dy G(X, y)V{y). (34)

Для случая скалярного поля в плоском пространстве было явно проверено, что выражения для ядра теплопроводности и его следа, полученные в ковариант-ной теории возмущений после суммирования бесконечных рядов по кривизнам сводятся к результатам, полученным с помощью новой техники.

В разделе 3.4 эти результаты обобщаются на случай скалярного поля в искривленном асимптотически-плоском пространстве. Наряду с вариационным уравнением относительно потенциала (28) приходится решать и вариационное уравнение по метрике (29).

Лидирующий порядок в асимптотическом разложении следа ядра теплопроводности оказывается тривиальной ковариантизацией выражения для плоского пространства (32), модифицированной поверхностным слагаемым Гиббонса-Хоукинга Я[доо], зависящего от асимптотического поведения метрики на пространственной бесконечности,

Wo = - J dxg1/2 V Ф(х) + i E[floo ]• (35)

С точностью до независящей от метрики константы, Е[роо] равно удвоенному интегралу от следа внешней кривизны бесконечно удаленной гиперповерхности.

Из сравнения с ковариантной теорией возмущений, найдено нелокальное представление интеграла Гиббояса-Хоукинга в виде разложения по степеням кривизны

= (4тг1уп /- (H^—Rg^R»" + О«]} (36) с точностью до поправок четвертого порядка по кривизне.

Это выражение может быть использовано для записи действия Эйнштейна-Гильберта в виде нелокального разложения по кривизнам, начинающемся с квадратичного порядка по кривизне Это наблюдение служит основой для последовательных ковариантных нелокальных модификаций эйнштейновской теории (A.O.Barvmsky, Phys Lett. В 572 (2003) 109), мотивированных проблемами космологической постоянной и космологического ускорения (N.Arkani-Hamed, S.Dimopottlos, G.Dvali, G.Gabadadze, hep-th/0209227).

Также, приведено обобщение сублидирующего порядка асимптотического разложения (30) для случал искривленного пространства.

В разделе 3.3 полученные в разделе 3.2 асимптотики позднего времени применяются к построению нового нелокального эффективного действия Г, которое учитывает вклад, инфракрасной части спектра теории. Это эффективное действие строится в кусочно-гладком приближении в плоском пространстве, когда оно представляется интегралом (27) от приближенной функции TV K(s)

= { (37)

полученной путем сшивки асимптотик малых и больших собственных времен (IV К< (■«) и Тг (я) соответственно) следа ядра теплопроводности. Точка сшивки, е., находится из требования совпадения ТгК<(л) и ТгКу(в) в этой точке, что гарантирует стационарность Г относительно выбора в», дГ/дз, = 0.

Таким образом, новое приближение для эффективного действия можно записать ввиде

' ' «• оо

Г=4/т ■»*<(»)*>(-). (38)

О з,

а его отклонение от точного _ 100р, пропорциональное Тг [К(я) - К(з)) можно рассматривать как возмущение.

Такая кусочно-гладкая аппроксимация эффективно работает только если области применимости двух асимптотических разложений (для малых и больших собственных времен) перекрываются и точка я. попадает в область перекрытия. В этом случае, поправки по отклонению IV К (я) от точного IV К(з) равномерно ограничены везде и можно ожидать, что (38) даст хорошее приближение к точному результату. Такое требование может выполняться по меньшей мере для двух

достаточно широких классов потенциалов У(.т). Предполагается, что потенциал обладает конечной амплитудой внутри компактного носителя характерного размера Я,

У(х) = 0, |х| > Я,

У(х) ~ У0, N < Я, (39)

и обладает свойством, что его производные не слишком большие и равномерно ограничены величиной порядка Х'о/Я.

Первому классу принадлежат потенциалы, малые в единицах обратного масштаба длины компактного носителя

УоЯ2 « 1. (40)

В четырехмерном пространстве, в, — 4, вычисления, представленные в приложении Ш.В, дают следующий ответ для конечной части действия, справедливый с точностью до поправок пропорциональных параметру малости (40)

Это выражение отличается от известного потенциала Коулмена-Вайнберга, который в произвольной размерности с1 есть

1 ЬЛ-^Ми^М

Леш =

(42)

У ^ (¿/2)! ш ^ ' ( ]

2(4тг)^2 } (¿/2)! качественно иной, нелокальной структурой. Эта делокализация, однако, исчезает при переходе к формальному пределу постоянного потенциала, когда аргумент Еторого логарифма стремится к ¡I2 f <1т V, а бесконечный объемный фактор (/ (1х) сокращается в разности двух логарифмов.

Для более высоких (четных) размерностей <1 > 4 логарифмическое слагаемое в действии оказывается сублидирующим и в ответе доминирует следующее, независящее от перенормировки, отрицательно определенное слагаемое

(\ <«/2-2

Другой класс потенциалов, для которых кусочно-гладкое приближение эффективно, соответствует противоположному пределу

КоЯ2 » 1, (44)

т.е. случаю больших потенциалов в единицах обратного характерного размера носителя В данном случае градиентные слагаемые уже не доминируют в сравнении с потенциальными слагаемыми и вычисления показывают, что эффективное

действие содержит слагаемое типа Коулмена-Вайнберга (42), модифицированное особой нелокальной поправкой

J dx (УФ)"/2 (45)

(4тг)^/2 d(d- 2)

1*1<я

Эта поправка содержит среднее значение функции VФ(х) по компактному носиТеЛЮ /

|x|<R

В Заключении приведены основные результаты, выносимые на защиту. В Приложениях собраны технический детали, использованные при выводе результатов, представленных в основных главах диссертации.

Основные результаты

1. Поставлена квантовая задача Коши для эффективных уравнений средних полей в модели инфляции с двумя тинами космологических квантовых состояний - туннелирующей волновой функции и волновой функции Хартла-Хоукиига.

2. Построены эффективные уравнения дня квантовых средних космологического масштабного фактора и поля инфлагона. Квантовые вклады однородных мод вычислены в однопетлевом приближении с использованием специальной методики, основанной на редукции к физическому сектору.

3. Эффективные уравнения применены к модели инфляции с большой неминимальной связью инфлатона, которая в квантовых состояниях Виленки-на и Хартла-Хоукинга может порождать, соответственно, конечную и бесконечную стадии инфляции с энергетическим масштабом порядка Теории великого объединения. Показано, что квантовые флуктуации в секторе однородных мод качественно не меняют это поведение.

4. В квадратичном приближении по гравитационным возмущениям построено эффективное ¿-мерное действие в 1)-мерной модели Рандалл-Суид- Л рума с искривленными бранами.

5. Установлено свойство дуальности краевых задач Дирихле и Неймана, заключающееся во взаимной обратности специальных интегродифференци-альных операторов, ассоциируемых с функциями Грина этих краевых задач. Показано, что это свойство лежит в основе эквивалентности двух различных выводов бранного эффективного действия в современных го-лографических сценариях с дополнительными измерениями.

6 Построеп базис калибровочных инвариантов (d х 1 )-мерных линейных гравитационных возмущений в рассмотренном классе моделей Показан общий механизм восстановления в низкоэнергетическом пределе d-мерной эйнштейновской теории гравитации на искривленных бранах.

7. Непертурбативная асимптотика позднего времени для ядра уравнения теплопроводности обобщена на случай искривленного асимптотически плоского пространства Это обобщение содержит вклад поверхностного интеграла Гиббонса-Хоукинга для которого построено ковариантяое нелокальное разложение по степеням кривизны.

8. В пространстве произвольной размерности d > 3 построено нелокальное непертурбативное по полям эффективное действие, генерируемое для скалярного поля асимптотикой позднего времени ядра теплопроводности. Показано, что в четырехмерном пространстве это действие представляет собой делокализацию логарифмического потенциала Коулмена-Вайнберга, в то время как в высших размерностях оно определяется нелокальной степенной структурой, не связанной с ультрафиолетовым поведением теории.

Список публикаций по теме диссертации

[1] А.О. Barvinsky, D.V. Nesterov, "Effective equations in quantum cosmology", Nucl.Phys. B608 (2001) 333-374, gr-qc/0008062.

[2] A.O.Barvinsky, D.V.Nesterov, "Duality of boundary value problems and braneworld action in curved hrane models", Nucl.Phys B654 (2003) 225-247, hep-th/0210005.

[3] A.O.Barvinsky, Yu.V.Gusev, V.F.Mukhanov, D.V.Nesterov, "Nonpertur-

bative late time asymptotics for heat kernel in gravity theory", Phys.Rev. D68 (2003) 105003, hep-th/0306052.

[4] A.O.Barvinsky, D.V.Nesterov, "Nonperturbative heat kernel and nonlocal effective action", препринт ESI-1444 Института математической физики им. Э.Шредингера, Вена, hep-th/0402043.

[5] A.O.Barvinsky, D.V.Nesterov, "Quantum Cauchy problem in cosmology", опубликованно в трудах Международной конференции памяти Е.С.Фрадкина, Scientific World, Moscow 2001, hep-th/0009170

[6] D.V.Nesterov, A.O.Barvinsky, "Duality of the Dirichlet and Neumann problems in braneworld physics", опубликованно в трудах 3-й международной Сахаровской конференции по физике, Научный мир, Москва 2003, hep-th/0211081.

Автор диссертации выражает благодарность сотрудникам ОТФ ФИАН и, в особенности, научному руководителю, д.ф.-м н. А.О.Барвинскому за поддержку и плодотворное сотрудничество, а также фонду РФФИ (грант № 02-02-17054) и фонду Ландау за финансовую поддержку проводимых исследований.

V

(

1

Г

Полппсано и почать 23.07.04 Форма! о\ м;п и 6<» 1>0 16 Б\ м. множит. Ус I. иеч I 1.5. Уч.-изл .1. 1.5 Гираж 70. Заказ № 44.1

РИЦ МПП. I15280. Москва. Автозаводская. 16 www izdat msiu iu. e-mail' i/daitf msiu.ru: тел : 277-2VI5

V 8 6 8 I

РНБ Русский фонд

2005-4 12728