Некоторые точно решаемые задачи в релятивистском конфигурационном пространстве и их применения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ БАКИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М. Э. РАСУЛЗАДЕ

На правах рукописи УДК 530.145./.145.6(043.2)

КАГРАМАНОВ ЭЛЬЧИН ДЖАНГИР ОГЛЫ

НЕКОТОРЫЕ ТОЧНО РЕШАЕМЫЕ ЗАДАЧИ В РЕЛЯТИВИСТСКОМ КОНФИГУРАЦИОННОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ.

01.04.02. -теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соисканиз ученой степени кандидата физико-математических наук

ВАКУ-1592

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики ОИНИ и Институте физики Академии наук Азербайджанской Республики.

Научные руководители: -Доктор физико-математических наук, чл.корр.АН Азербайджанской Республики

Р. М. №ф-Касимов

-Кандидат физико-математических неук, Старшй научный сотрудник

Ш.М.Нагиев

•Официальные оппоненты:

-Доктор физико-математических наук, профессор (МГУ им.М.В.Ломоносова) -Доктор физико-математических наук

0.А.Хрусталев Р.Х.Мурадов.

(БГУ им.М.Э.Расулзаде) Ведущая организация - Институт ядерных исследований РАН, г.Москва.

на заседании Специализированного совета К 054.03.03 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Бакинском государственном университете "ч.М.Э.Ра.сулзаде. (370145,Баку, ул.ак.3.Халилова,23).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке БГУ.

Защита состоится НС Л 1992 г. в 2.

часов

Ученый секретарь Специализированного совета кандидат физ.-мат.наук, доцент

/Ф.К.юсифов/

Актуальность тепы.

Описание релятивистских двухчастичных систем -одна из центральных проблем квантовой теории поля. Вашость и трудность этой проблемы была осознана давно. Сана постановка задачи об определении золновой функции, энергетического спектра и взаимодействиях релятивистских связанных состояний уточнялась и совершенствовалась по мере развитая квантовой теории поля. С открытием кварковой структуры адронов и квантовой хромодинамики в этой ключевой проблеме возникли новые акценты. Прежде всего это необходимость объяснить явление конфайнмента. Следует указать также исследования по составной структуре кварков и лептонов, а также в области релятивистской ядерной физики.

Среди различных формулировок двухчастичной задачи в квантовой теории поля имеются два основных направления. Первое основано на четырехмерном формализме, в котором кавдой частице отвечает свое время. Второе направление основано на трехмерных уравнениях. Базисным уравнением в первом направлении является уравнение Бете^алпетера. Вследствие явной ковариантности перенормировка и изучение аналитических свойств здесь не встречают затруднений. Однако важным дефектом четырехмерного подходе является присутствие в нем дополнительной временной переменной (относительного времени двух частиц). Вследствие этого затруднена формулировка граничных условий дня волновой функции и оказывается невозможной ее вероятностная интерпретация. Кроме того в данном подходе существуют - лишне- нефижческие решения и не всегда -ясно каков нерелятазистский предел теории.

трехмерный квазипотениц8льнкй подход свободен от вышеуказанных трудностей. сохраняя при этом главные преимущества (перенормируемость, аналитичность) полностью ковариантаого формализма. Квазипотенциальные уравнения для волновой функции и амплитуды рассеяния является релятивистскими аналогами уравнений Шредингера и Липпмана-Швингера, в которые они переходят в нерелятавистском пределе. Япро этого уравнения, квазипотенциал, играет здесь роль аналогичную роли потенциала в нсрелятшистской квантовой мзханике. Дня волновой функции-справедлива зероятностнвл

интерпретация. Формулировка граничных условий не встречает зятруднзкий. В результате мы можем пользоваться многими привычными квантовомехвническими представлениями и методами. Это делает трехмерный квазипотенциальный подход аффективной основой для построения конкретных моделей и интерпретации экспериментальных данных.

Квазипэтециальный по.оход был с успехом применен к решению многих задач,относящихся к области взаимодействия релятивистских частиц. Бьи:и вычислены поправки к уровням анергии связанных состояний в квантовой электродинамике, исследовано асмптстическое поведение амплитуды рассеяния при высоких энергиях, вычислены инклюзивные распределения в модели составных частиц. В работах недавнего времени релятивистские свойства квазипотеидиальных уравнений бы.™ использованы для объяснения узких резонансов в злектрон-позитронной системе .

Выше уж?. отмечалось, что трехмерный подход допускает широкий произвол. Многообразие трехмерных уравнений обусловлено даумя факторами. 5о-первых, можно по-разному выбирать переменную, по которой совершается выход за энергетическую поверхность. Во-вторых, сана процедура экстраполяции амплитуды рассеяния за анегетаческую поверхность является неоднозначной. Особое место занимает узкий класс квазипотенцнальных уравнений, вывод которых опирается непосредственно на диаграммную технику теории поля, не прибегая к уравнению Еете-С-алпетерэ . Эти уравнения выделены также в том смысле, что в них наиболее прозрачно выражены геометрические свойства квазипотенпдольного подхода. Данные геометрические свойства позволили ввести релятивистское конфигурационное представление и построить релятивистскую квантовую механику, основанную на дифференциально-разностном уравнении Иредивгера. Некоторые аспекта отой квантовой механики составляют предмет настоящей диссертации.

Научная новизна и практическая ценность.

1. Аналитическим продолжением в комплексной илокооти быстрот получено решение списывающее "свободное финитное движение" (1).

Основываясь на таком решении и принимая кзазипотенииальне уравнение в релятивистском конфигурационном представлении как основное, предложен механизм конфайнмента, который в -»этом случае является чисто релятивистским квантовым эффектом.

2. Построено обобщение метода факторизации, на случай конечно- разностного уравнения Шредингера (2). Для построения этого метода введено понятие обобщенного коммутатора. Найдены решения релятивистского уравнения Иредангера выражающиеся через •■релятивистские полиномы Эртгаг, для которых построено представление и выведены опредзляшие рекуррентае соотношения. Получены когерентные состояния с помощью которых минимизируются соотношения неопределенное™. Установлено, что динамическая симметрия данной задачи задается деформированной алгеброй Ли su(1,1), которая в нерелятивистском пределе переходит в обычную алгебру симметрии линейного осциллятора.

3. Рассмотрена модель релятивистского линейного осциллятора под действием постоянной внешней силы.(з,4). НаЯденн решеыин уравнений описывающих данную модель в импульсном и конфигурационном представлении, которые выражаются через полиномы Лагерра и Поллачекв соответственно. Пс-лроены данаиичвекая группа симметрии и когерентные состояния, получены явные пыражния для функций Грина данного уравнения.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладавались на семинарах ЛТФ ОИШ, Института физики АН Азерб.ССР, Мевдународного центра теоретической физики в Триесте, на Международном совещании по проблемам квантовой теории поля (Алушта,1987), на Международной конференция! "Haciron Structure" ( Слсленицв,ЧССР, 1989) , на Всесогеном семинаре •• Кварки-8G", (Тбилиси, 1986).

Объем и структура дессертаопи^

Диссертация состоит из введения, трех глав. заключения, приложения и списка дитвратуры. Главы раздельны на i? параграфов. Общий объем диссертации ies страниц.

СОДЕШШИЕ РАБОТЫ.

Во введении обосновывается актуальность теш, приводятся основные идеи и выражения дня ганильтоновой формулировки квазипотенциальной теории.

Первая" глава посвящена детальному рассмотрению квазипотенциальной теории в релятивистском конфигурационном представлении. Введены релятивистское относительное расстояния ? и канонически сопряженная ему величина - быстрота Приведены все основные уравнения и выражения для построения теории, в том числе все релятивистские аналоги соответствующих выражений нерелятивистской теории. В конфигурационном представлении аналогом дифференциального уравнения Шредингера является конечно-разностное уравнение типа Шредингера. Аналитическим продолжением релятивистских плоских волн <г|р> в комплексной плоскости быстрот

з(р,0)= 1п(Е^+ /Ер-1 ) ( 1 >

получены новые -плоские волны"

= е-25Сг<Р.Г1-1г е-25Сг<?|?> ( 2 )

описывающее •свободное финитное движение". Основываясь на таком решении и принимая квазипотенциальное уравнение в релятивистском конфигурационном представлении как основное, предложен механизм конфайнмента, который в атом случае является чисто релятивистским квантовым эффектом. Используя данный механизм конфайнмента для описания связанных состояний кварков, можно снять многие ограничения на кварковый потенциал. В завершении главы рассмотрены некоторые свойства релятивистского финитного движения.

Вторая глава посвящеча изучению ковариантного линейного осциллятора в релятивистском конфигурационном представлении.

Здесь, после рассмотрения обычного метода факторизации в квантовой механике, строится обобщенный метод применимый в случае релятивистского конечно-разностного уравнения Шредангера. Для построения этого метода введено понятие обобщенного коммутатора.

[ М~,М+ ]и=М"еа(х)М+-М+е"а(х)М" ( 3 )

где

м+= _ Ж) ерс*) ; в-р<*)= шша 4-е"Р(х) (4.3)

> ■ /—< с. их

V г V г

(4.6)

м"= 10Ц*> е-р(х) ь еР(х)= 21(Х(х) с-Р(х)дА 1 Рр(х) ' /—« 1 у—' 2 (1х

V 2 / 2

Ве ичины й(х) и а(х), входящие в выражения (4.а) и (4.6)

отсутствуют в нерелятавистском методе факторизации.. Они шляются

произвольными функциями, которые предстоит определить. Они

ограничены естественными условиями:

Я(х)

в нерелятавистском пределе

а(х; —* 1

В результате довольно громоздких расчетов получим

С Б )

а(х)=2сЛ-§- -^Р(х)-2Р(Х)= 4зЬ2-д^Р(х)

( в )

1

В денном случае Р(Х)= ^ «(*> = —

Гамильтониан релятивистского линейного осциллятора имеет вид

2 2 ЬГ _

}ы="Г{е 4 м+м"+е 4

2 2 0) ОТ

=е 4 М+М"+е0=е 4 М~М+-е0= ( 7 )

~2(—Г5ПГ ^Т-Е» -2сЛТ" 2

где

„ , Ц)

ео=2зЛ —

Найдены решения релятивистского уравнения Шредингерв выражащиеся через "релятивистские полиномы Эрмита".

Ьп(х) = (--)ПеШх2 & е""*2 ( 8 )

Ьп+1(*)= е^2 Г е-^2 -.,П(Х) ( 9 )

у со

Ь0=1 . (10)

Полиномы Ьп(х) удовлетворяют следующим рекуррентным соотношениям-

Ьп(-х)=(-1)"Ъп(х) (11)

nfaj ,

/¡Г ahn(x)=8e 4 sh -^-h^tx) (12)

n+l ц

hn+1(x)-—e 4 si* fb hn(x) + V u

n+l ц

+ 4 hn_1íx)=0 (13)

a 4 hn(x)-^-|- -4-Vxmtíf-rtf (И)

0) CO nil)

hn+i(x>=—<T—fe 4 chir 4 - Vi(x!

(15)

n+l

- 4 -Ш Jd. nCJ

hn+i<*>= --{e 4 ltgíl 3hlT "S e 4 -

ch

ntü

>V1(X)

(16)

J_ И

п+г

h IX):

-sh^-tù hn+2(x)-

ш

4

. . „ Wx . i i tg-x- яЛ-я-

Ti hn+2(x)

(17)

[ s h

n+l

sä-1—« ]e

n+2 4

h (x):

= сл-^а,-ьп+2(х) - сй-§" 4 ьп4г(х) (18)

Получены когерентные состояния и построена динамическая группа симметрии .40(1,1) ДОЯ которой получены соотношения -двформированной алгебры ■• .•

где

--¡3-йг-17г-(м+н~)1/гм+

Ь"= -П-,, , ,,, М"(М+Ю1/2

4(яй

Ь3-- -

Аналога?™ обычных соотношений симметрии и тождеств Якоби являются следаппие соотношения:

1

I А,В " Г 3-А ■

[С А.Е ]Ш,С Зш + [[ В,С ]ц.Л + 1[ С,А ]Ш,В +

(9.3)

+ ГС А,В ]а,,С].ш++ [С в,С ]Щ.А ]_и +■ £[ С.А ]Ы.В ]_„= 0

В третьей главе рассмотрена модель релятивистского линейного осциллятора под действием постоянной внешней силы.

Уравнение описывающее релятивистский линейный осциллятор при наличии внешней силы ( Гг=т=с=1 ) имеет вид:

г 1

Н(х)ф(х)г [ сЬ 1 + Х(2)е + вх ] (19)

Где х(2!=х(х+1)

Найдены решения уравнений описывавших данную модель в импульсном и конфигурационном представлении, которые вырежется через полиномы Лагерра ьл(е£) и Поллачека ру(х-ф) соответственно.

Ф (Е^с'^е

п

(20)

где

2Т-1 (2У)

I. (СБ)=—г— Ф(-п,2У;5£)

П П I

(21 )

(2у-1) = Г(2У-ип) п Г(2У-1)

Г<п+2) (23>

Волновые функции в х-представлении

ф (х)=С (0 Г(У+1х)е с Р (х;ф), С--— (24)

1*1 п п ^ п /—'

/ 2%

Здесь

(21>)

РУ(х;ф)=-¡-й-е1^ К(-п,г>+1х;2г>;1-е""21ф) (25)

П 11!

Построены динамическая группа симметрии и когерентные состояния, получены явные выражения для функций Грина данного уравнения. Также получены производящие функции для полиномов Поллачека и приведен ряд соотношений мещду полиномами Поллачека и Лагерра.

В приложении приведен пример точного решения в КТП, где с помощью метода Фолдо-Ваутхойзена производится предельный переход от уравнений содержащих фундаментальную длину к обычным свободным уравнениям Клейна-Гордона и Дирака.

Список опубликованных работ.

1.P.M.№1р-Касимов,Э.Д.Каграманов,Ш.М.Нагаев, Комплексная плоскость быстрот и проблема удержания кварков. Материалы Всесоюзного совещания "Лв8рки-88", Москва, 1987г., стр.343-348.

2.E.D.Kagramanov,H.M.Mir-Kaaimov,Sh.M.Nagiyev. On confining aspect

of a relativistic configuration space. Proceedings of "Hadron

stucture'89", Smolenice Caatle, Czechoslovakia, p.366-376. i

3.E.D.Kagramanov.R.M.Mir-Kasiraov,Sh.M.Nagiyev. Can we treat confinement аз a pure relativistic effect? Phys.bett.A, v.140, N1,2, p.1-4,1989.

4.Э.Д.Каграманов,P.M.Мир-Касимов,Ш.М.Нагаев. Модель линейного осциллятора в релятивистском конфигурационном представлении. Труды vii Международного совещания по проблемам квантовой теории поля. Дубна 1987, стр.256-257.

5.E;D.Kagramanov,R.M.Mir-Kasimov,Sh.M.Nagiyev. The covariant linear oscillator and generalized realisation of . the dynamical SU(1, ) symmetry algebra. J.Math.Fhys.,v.31,N7,p.1733-1733,1990.

6.P.М.№1р-Касимов,Ш.М.Катаев,Э.Д.Каграманов. . Релятивистский линейный осциллятор под действием постоянной внешней силы и билинейные производящие функции для полиномов Поллачека. Известия АН Азерб.ССР, серия физико-технических и математических наук, 1990, N3 ' •

7.P.M.Мир-Касимов,Ш.М.Нагиев.Э.Д.Кагрэманов. Некоторые полезные соотношения для полиномов Поллачека. Известия АН Азерб.ССР, серия физико-технических и математических наук, 1990, цЗ

8.Э.Д.Каграманов. Предельный переход в уравненииях Клейна-Гордона и Дирака в квантовой теории поля с фундаментальной длиной. Известия АН Азерб.ССР, серия физико-технических и математических наук, 1983, n3, стр.81-83.

Hait. I2.G Чир. 100 i, Иоч.лкит ¿.0 1'кп.АэЛУ им.М.АэизСекова Баку-ГСП, проспект Ленине 20