Некоторые вопросы теории диофантовых уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. М.В. Ломоносова.

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ._

На правах рукописи. УДК 511.343, 511.56.

Устинов Алексей Владимирович.

Некоторые вопросы теории диофантовых

уравнений.

01.01.06 — математическая логика, алгебра, теория чисел.

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Н.М. Коробов.

Москва, 1998 год.

Оглавление

Введение. 2

1. Проблема Варинга. 9

§ 1.1 Свойства вспомогательных систем уравнений..................10

§ 1.2 Уравнение Харди-Литтлвуда....................................16

§ 1.3 Системы уравнений Виноградовского типа..........24

2. Об одном диофантовом неравенстве. 30

§ 2.1 Рекуррентые неравенства......... .....................31

§ 2.2 Асимптотическая формула...................41

Приложение. 49

§ 3.1 О свойствах коэффициентов Фурье некоторых функций. . 49

§ 3.2 Асимптотическая формула в проблеме Варинга.......53

§ 3.3 Лемма „о попаданиях"............................................59

Литература. 63

Введение.

Лагранж [27] в 1770 году доказал, что всякое целое неотрицательное число N можно представить в виде

х\ + х22 + Ж3 + х\ = N, хг > 0, х2 > 0, хц >0,х4> 0,

(здесь и в дальнейшем все переменные, участвующие в уравнениях, принимают только целые значения).

Варинг [33] в том же году высказал гипотезу, что при всяком п > 2 существует такое к = к(п), при котором уравнение

++ = N, хг >0,...,хк > 0, (0.1)

разрешимо для всех натуральных N. Это утверждение получило название пр°блемы Варинга.

Первое общее (при всех п) решение прблемы Варинга было дано Гильбертом [26] в 1909 году с очень большим числом слагаемых к в зависимости от п.

В 1920 году Харди и Литтлвуд [25] опубликовали новое решение проблемы Варинга с помощью метода, который в последствии получил название кругового. Они установили для G(n) верхнюю границу

G(n) = n2n~2h(n), Jim h(n) = 1,

(через G{n) обозначается наименьшее к, при котором уравнение (0.1) разрешимо для достаточно больших N). Кроме того при

к > (п — 2)2n_1 + 5

они вывели асимптотическую формулу для I(N) — числа решений уравнения (0.1):

I(N) = ^aN«-1 + 0{N^~l~c °), (0.2)

где 7 = ' со > 0 и «г — особый ряд, сумма которого оценивается

снизу положительной константой.

В своих исследованиях Харди и Литтлвуд применяли метод производящих функций и оценивали некоторые суммы, пользуясь методом Г. Вейля [34].

В последствии Хуа Ло-Ген [31], видоизменив вывод Харди и Литтл-вуда, установил справедливость формулы (0.2) при

к>2п + 1.

В 1934 году И.М. Виноградов нашел новый метод оценки тригонометрических сумм, который позволил получить значительные продвижения в различных вопросах теории чисел. Пользуясь этим методом в работе [6], И.М. Виноградов получил оценку

<?(«) < 6п(1пп + 10).

Ряд статей И.М. Виноградова был посвящен асимптотической формуле для /(А7"). Так в его работе 1935 года [3] доказана справедливость формулы (0.2) при

п > 20, к > 91п8(1п п + I)2, а в работе 1936 года [7] при

п> 20, к > 131п5(1пп)2.

В 1947 году вышла книга [17], в которой Хуа Ло-Ген значительно упростил метод Виноградова. Хуа Ло-Геном была выделена теорема, которую он назвал теоремой Виноградова о среднем значении. Там же была доказана справедливость формулы (0.2) при

п > 14, к > п3(1пп + 2.21п1пга).

В 1942 году Ю.В. Линник в [15], [16] и И.М. Виноградов в [9], [10] получили более точные оценки тригонометрических сумм. Пользуясь новыми оценками в 1947 году в работе [5] И.М. Виноградов доказал формулу (0.2) при

п > 12, к > 10п21пп.

В 1949 году в работе [29] Хуа Ло-Ген уточнил оценку теоремы Виноградова о среднем и показал справедливость формулы (0.2) при

п > 12, к > 4п2(1п п + 0.51п 1п п + 8).

В главе 1 настоящей диссертации формула (0.2) доказывается при п> 4, к > 2[п2(1пп + 1п1пп + 6)]. (0.3)

При выводе асимптотической формулы для числа решений уравнения Варинга необходимо уметь оценивать величину 1к(Р) — число решений уравнения Харди-Литтлвуда

+ + у?= О, 0 <хъ...,ук<Р. (0.4)

В работах И.М. Виноградова и Хуа Ло-Гена для оценки 1к(Р) применялась теорема Виноградова о среднем, которая утверждает, что величина Ик(Р), равная количеству решений системы

' х± + ... - ук = 0,

< ..............................0<хг,...,ук <Р, (0.5)

+ • • • " У1 = о,

при т > 1, к > пт удовлетворяет оценке

мк(Р)« ры-^+^У. (0.6)

При выводе соотношения (0.6) используется лемма „о сдвиге", которая утверждает равносильность систем

( хх + ...-ук = 0,

( х" + ... — ук = 0,

и

{(х1 + а) + ... - (ук + а) = 0,

{х1 + а)п + ...- (ук + а)п = 0,

для любого целого а. При оценке числа решений уравнения Харди-Литтлвуда возникает трудность, связанная с тем, что равенство (0.4) перестает быть верным, если все переменные одновременно изменить на некоторое число а. В главе 1 уравнение (0.4) дополняется до системы, для которой существует аналог леммы „о сдвиге". Благодаря этому удается применить известные методы к оценке 1к{Р) и доказать, что при п > 3, т > п/2, к >п(п — 1) + пт выполняется соотношение

1к(Р) (0.7)

Кроме проблемы Варинга в аддитивной теории чисел рассматривается вопрос об одновременном представлении нескольких натуральных чисел в виде сумм степеней целых неотрицательных чисел

< ...................... 0 < жь...,0 < хк, (0.8)

в которой

1 < П\ < . . . < flf—i < nt = п.

Такие системы рассматривались в работах И.М. Виноградова [8], К.К. Марджанишвили [IS]—[20] и др. При выводе асимптотической формулы для числа решений системы (0.8) необходимо уметь оценивать величину Ik-niy..,nt (Р), равную числу решений системы

х? + ...-ур= 0,

...................... 0<хи...,ук<Р,

[хт + ...-ут = 0,

1 < щ < ... < nt-i = m < nt = п.

В главе 1 тем же путем, что и для h(P), для величины 1к-,П1,...,щ(Р) правильная по порядку оценка получена при

п > 3, к > 2[n2(lnn + In In п + 5) + тп ln m].

Существуют различные обобщения проблемы Варинга. В работах Хуа JIo-Гена [32], [30] рассматривался вопрос о представлении чисел в виде

/(Ж1) + ... + /Ы = iV, (0.9)

где f(x) — многочлен степени п с целыми коэффициентами. Хуа JIo-Ген доказал справедливость асимтотической формулы для числа таких представлений при

к >2п + 1.

Позднее в [28] он доказал это утверждение при

п > 13, к > 2n2(21nn + lnlnn + 2.5).

Хуа Ло-Ген изучал также вопрос о представлении чисел в виде (0.9), когда многочлен f(x) имеет вид

f(z) = an(^j + ■ ■ ■ (On,---= 1-

Им в работах [32], [30] для G(f) (наименьшего к, при котором уравнение (0.9) разрешимо для достаточно больших n) были получены оценки

2п — 1 < maxG(f) < (п - 1)2п+1.

S{x)

В 1951 году В.И. Нечаев в [21] доказал неравенство

G

х

< 4п Inn + 8п In In п.

Обобщение системы уравнений Виноградова (0.5) на случай сравнений рассматривалось Н.М. Коробовым в [13] и A.A. Карацубой в [11]. В статье [11] для некоторых натуральных q < Рп для числа решений системы

хх + ... - ук = 0 (mod <?),

х™ + ... — у% = 0 (mod q), была получена правильная по порядку оценка числа решений при

п> 2, к > 6гп\пп, (0.10)

где г определяется равенством q = Рг. Эта оценка позволяет получать следствия для обобщений на случай сравнений уравнения Харди-Литтлвуда

х1 + ... + xl - у1 - ... - yl = 0 (mod q), 0 < хъ ..., ук < Р, и уравнения Варинга ^

х" + . - - + xl = N (mod q), (j) < хи ..., хк < Р.

!

В работе В.А. Быковского [2] было рассмотрено обобщение системы (0.5) на случай неравенств. В этой статье при

2 < г < п, к> -п2 + lOOrnlnr, - - - 4

(0.11)

была получена правильная по порядку оценка числа решений системы ' хг + ... + хк - уг - ... - ук = 0,

xi + ■ ■ • + хк ~ Уг ~ • • • - Ук =

\xr1+1 + ... + xl+1-f1+1-...-yl+1\<P,

в которой

0 < хи..., Ук < Р-

Доказанная оценка позволила исследовать обобщение уравнения Харди-Литтлвуда на случай неравенств

\хп1+... + хпк-у?-.,.-у«\<Рп-г, О <хи...,ук<Р. (0.12)

В статье В.А. Быковского для величины /¿ДР), равной числу решений неравенства (0.12) при ограничениях (0.11) была получена правильная по порядку оценка

Д>Г(Р) « Р2к-Г, (0.13)

и при

1 11 п>3, -х<г<п--, к > -п2 1000гп1п(г + 1), (0.14)

£ ^ ~с

асимптотическая формула

1к>г{Р) = 2 ^(к,п)Р2к~г + (0.15)

где

оо 1

7(*,п)= I |У е2™х" (1х\2к(1г.

—оо О

В главе 2 настоящей диссертации оценка (0.13) получена при п > г > 4, к > 5то + 70г21п г, а асимптотическая формула (0.15) при

и > 3, \<г <п~\, к > 40гп + 800г21п(г + 1). £ £

Видно, что оба последних условия являются более слабыми ограничениями на к, чем соответствующие границы (0.11), (0.14) из работы [2].

В настоящей диссертации используются различные леммы и теоремы, которые носят вспомогательный характер или являются вариантами известных утверждений. Их доказательства помещены в приложение.

§ 3.1 содержит леммы о коэффициентах Фурье неотрицательных функций, все коэффициенты которых также являются неотрицательными числами.

В § 3.2 с помощью оценки (0.7) доказывается асимптотическая формула для числа решений уравнения Варинга при ограничениях (0.3).

§ 3.3 содержит доказательство леммы Виноградова „о попаданиях"с незначительно измененной формулировкой.

Результаты диссертации докладывались на семинаре проф. Н.М. Коробова „Тригонометрические суммы и их приложения", на семинаре проф. A.A. Карацубы „Аналитическая теория чисел и приложения"и на научно-исследовательском семинаре по теории чисел, руководителями которого являются проф. A.B. Шидловский, проф. Ю.В. Нестеренко, проф. В.И. Нечаев, доц. А.И. Галочкин.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [22]- [24].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Н.М. Коробову за поставленные задачи, внимательное руководство и многочисленные советы. Автор также выражает благодарность В.А. Быковскому за постановку задачи, решенной в главе 2.

Глава 1.

Проблема Варинга.

Будем использовать следующие обозначения: /(-/V) — число решений уравнения Варинга

х\ + ■. ■ + х1 = N, 0 < хъ .. .,хк <

1к{Р) — число решений уравнения Харди-Литтлвуда

х^ + + у\ - ... - упк = 0, 0 < ягх,. .., ук < Р;

(А1?..., Ап) число решений канонической системы уравнений Виноградова

XI + .. • - ук = Аь

..............................О < хъ... ,ук < Р,

+ • • • ~ Ук = Хп,

(в дальнейшем вместо (0,..., 0) будем писать А'к(Р)): 1к-,т,...,т(Р) — число решений системы

х?+...+х?-у?-...-у?= 0,

+ + = о,

0 < хг,..., Ук < Р, 1 < щ < ... < = т < пг = п.

В данной главе при п > 3, т > 1, к > п{п — 1) + пг доказывается оценка

1к(Р)« (1.1)

из которой при п > 4 и к > 2[п2(1п п + 1п 1п п + 6)]следует справедливость асимптотической формулы для /(./V):

/(ТУ) + (1.2)

где 7 = (Г(1 + 1/п))к(Г{к/п))~\ a(N) > с0(п, к) > 0.

Кроме этого, тот же метод применяется к величине Ik-,ni,...,nt{P)- Для нее соответсвующая асимптотическая формула получается при

к > п2(\пп + In Inn + 5) + тп In п.

В § 1.1 вводятся вспомогательные системы уравнений и устанавливаются их различные свойсва.

В § 1.2 для числа решений вспомогательных систем уравнений устанавливается рекуррентное неравенство, и с помощью рекуррентного процесса доказывается оценка (1.1).

В § 1.3 при п > 3, 1 < т < п — 2, к > п(п + mlnm + г) получена оценка

h;nu...,nt{P) « P^-.-^d-ir,

из которой при к > п2 (In п + In In п + 5) + тп In п следует справедливость соответсвующей асимптотической формулы для h-,m,...,nt(P)-

§1.1. Свойства вспомогательных систем уравнений.

Интеграл по единичному n-мерному кубу Еп = [0,1]та будем обозначать следующим образом

i i

J ... J F{a!,..., an)da.i... dan = J ..., an)dá.

0 0 E„

В дальнейших рассуждениях нам понадобится следующее утверждение.

Лемма 1.1. Для любых целых aljl5 а1)2,..., bj,... ,Ьп и натуральных qi,... ,qn, положим

п п

= X] = (^ = о,..., п).

j=i j=i

Предположим далее, что Mi,...,Mn — неотрицательные вещественные числа, и F(ai,... ,ап) — неотрицательная вещественная функция, представимая конечным рядом Фурье с неотрицательными коэффициентами с(Аь ..., Ап). Тогда справедливы оценки

]Г ... £ с(/1+61,...,/п + Ьп)<

|AÍ|<Mi |A„|<JWn

< 4^!.. .<?„ J Р(аг,... ,а„)Ф<1аи ... ,йап <

Еп

(1.3)

<4 пд1...дп £

|Лп[<Мпдп 1

ф= Е

|Л1|<М1д"

1

£

-11 п

1 -

|Аа

[М^г1]/'"

Доказательство леммы 1.1 в сущности повторяет рассуждения из работы [2] и, поэтому, помещено в § 3.1 приложения.

Следствие. Пусть выполняются условия леммы 1.1 и ^^¿ду1 = 0(1) при некотором у, 1 < ] < п. Тогда, если вычисления проводятся с точностью до констант, то можно считать, что в правой части соотношения (1.3) Xj принимает только нулевое значение.

Пусть п > 2, к > 1, 0 < г < п. Определим Т^;Г(Й, <5) как число решений системы

+ • • • - Ук = О,

х[ + ...-угк = О, + • • •

сгп+2(х[+2 + ...- угк+2) + ,лг+1г =

Ук+1) =

(1.4)

сгЧх! +■■■- Ук) + = ^п(Х1 + • • • — Ук) + = О,

О < < Я, 0<г<д.

Если г = 0, то считаем, что первая группа однородных уравнений в системе (1.4) отсутствует. Если же г = п — 1, то будем предполагать, что система (1.4) состоит только из однородных уравнений и не содержит в явном виде переменную г.

Переменные ¡лг+ъ • • •, Цп-\ однозначно определяются при известных значениях х1у..., ук, 2. Поэтому можно считать, что число решений системы (1.4) — это количество наборов (хг,..., у к, г) для которых равенства (1.4) возможны хотя бы при некоторых цг+1, ■ • ■, 1- Формально

переменные /иг+1,..., Цп-х могут принимать любые значения. Но так как при ] = г + 1,... ,п — 1 справедливы равенства

+сг1^'-г'2фг1 + • • • - уГ1) + • • • + + ...- угк+1\

то выполняютя оценки

1^1 < и = г+1,...,п-1). (1.5)

Для Д » 1 определим Тк^(Я. А) как число решений системы (1.4), в которой величины цг+1,..., удовлетворяют дополнительным условиям

<2пкК^-1А~1 и = г + 1,...,п-1). (1.6)

Через Ук,г{Щ обозначим число решений системы

' х1 + ...-ук= О,

< х;'+'."'.'-У1 = о, 0<*и...,ук<я (1.7)

I *? + ...-!£ = О,

Лемма 1.2. Справедливы следующие соотношения

a) Тк,п_1{11,(Э,А) = дМк{11),

b) Гк,г(Д,1) = 7л,г(Д),

c) Тк)0(Д,1) = 4(Д),

а) Т*(Г(Д,<Э, А) « Т*,Г+1(Д,<Э, А), при яг+1« дд,

е) т*,г(д,д)« дя-г-1г4,г(л,д,д).

Доказательство.

а) Первое свойство следует из того, что (5, А) — число ре-

шений системы уравнений Виноградова

{®1 + • • • - ук = о,

..............................О < хг,...,ук < Р,

х? + ... - упк = О,

в которой чисто формально участвует переменная г.

Ь) При (3 = 1 переменная г может принимать только нулевое значение. Поэтому система (1.4) примет вид

' хх + ... - ук = О,

х[ + ...-угк = О,

сг^хг1 +. ■ ■ - УГ1) = ^п-ъ . + ...-#) = О,

с прежними ограничениями на переменные. Так как ..., могут принимать всевозможные значения, то количество решений последней системы в точности равно

с) Третье свойство доказывается полностью аналогично второму. (1) Воспользуемся равенством

Тк,г(Я, Я) = <3-1

г=0 Мг-+1 Мп-1

Из условия Лг+1 -С <5А и оценок (1.6) следует, что величина /лг+1 принимает конечное число значений. Применяя следствие леммы 1.1 получим, что ¡лг+1 можно считать равным нулю.

е) Пятое свойство непосредственно вытекает из леммы 1.1. Лемма доказана.

Лемма 1.3. (Лемма „о сдвиге") Пусть 1 <г<п, г' = г — аф. Тогда система

' Хх + ... - ук = О,

яГ' + .-.-УГ^О,

сгп(хг1 + ... -у1) = цгЯ, п 8ч

Сгп+\х\+1 + ...- угк+1) + ^ = Цг+хЯ, [ Ь)

СГЧ^Г1 + ■■■- УГ1) + = Рп-

, Сп(Х1 +----Ук)+ Рп-1* = V»»

равносильна следующей системе (хх + а) + ... — (ук + а) = О,

(хх + а)г_1 + ... — (ук + а)г_1 = О, Crn((x1 + aY + ...-(yk + aY) = KQ,

+ «)r+1 + • • ■ " (Ук + a)r+1) + № =

СГ\{хг + «Г1 + • • • - (Ук + а)-1) + ¡i'n_2z' = ^Q,

+ <0П + • • • - Ы + <0П) + ¿Ci^' =

где

i

Hi = J2 Cln-j-ial~JLij, (/ = г,..., n - 1), ¡л'п = ¡in. (1.10)

j = r

Доказательство. Первые г — 1 уравнение системы (1.9) непосредственно следуют из системы (1.8). Будем считать, что цг-\ = 0.

Пусть г < I <п — 1. Докажем справедливость 1-го уравнения системы (1.9). Положим

L = СЩх, + а)1+ ...-{ук + а)1) + ¡.i'^z' - /¿¡Q = = Cln ¿ C¡a!~>(4 + ...-у{) + ^z' - ¿Q.

j = r

Подставляя в последнее равенство представление величин ¡х'г из формул (1.10), получим равенство

j=r

+(z - aQ) ¿ CtJ-Ла1^'1^ -Q¿ СЦ^^ =

j=r j=r

= - Cti-a'-^i-i) +

j = r

+Q ¿ а^^СЦ - Cl~J-_\ - ClnZU) = 0.

3=r

При l = n и в обратную сторону доказательство проводится аналогично.

Замечание. Пусть >1, I, а Я и в системе (1.8) величины ¡иг,..., цп-1 удовлетворяют оценкам

« д'д^д-1

(у = г,...,п- 1).

Тогда из соотношений (1.10) следует, что величины ¡л'г,..., /л'п_г удовлетворяют аналогичным оценкам

В* О-1 А-1 (У = г, ...,п-1).

Лемма 1.4. Пусть 1 < г < п, 0 < 0 < г+1, р — простое, (<3,р) = 1, 2 = раг0, {г0,р) — 1, 6 = ют(1, а) и а[3 = 0. Тогда система

„г-1

- + ...- УГ = о,

С1рг{х\ + ...-у1) = цгОрР,

Сппр\х\ + ... - У1) + ¡хп_ггр? = 0, равносильна следующей системе

' хг + ... - ук = 0,

(1.11)

ХГ' + .-.-УГ1^ О,

С:(х[ + ...-у1) = КЯр1-*, с:(хпг +... _ у») + л п^Р-5

(1.12)

о,

причем величины цг,..., и Хг,..., Ап_! связаны между собой равенствами

цг = р(г+1)-/»-«Аг,..., /4я_1 = Аи_2. (1.13)

Доказательство. Из предположения а/3 — 0 следует, что возможны два варианта. Либо выполнено условия а = 0, 0 < /3 < г + 1, либо /3 = 0, а > 1.

В первом случае (г,р) = 1. При этом условии из последнего уравнения системы (1.11) следует, что величина цп-1 представима в виде

№п-1 = рп ^и-ъ

Аналогично из остальных уравнений системы получаем представления Цп-2 = К-2, . . . , /¿г = рГ+1_/3Аг.

Подставляя эти выражения в систему (1.11) и проводя сокращения, приходим к равенствам

+ • • ■ - Ук = О,

Сгп{х\ + ...~У1) = ArQp,

. Спп{х\ + ... - уЦ) + Xn_lZ = 0.

Так как <5 = 0, то последняя система совпадает с системой (1.12).

Рассмотрим теперь случай, когда = 0, а > 1. Поскольку (Q,p) = 1, то из r-го уравнеия системы (1.11) следует, что величина ¡лг пред ставима в виде

¡лг = ргХг.

Аналогично из следующих уравнений системы получаем представления

A^+i = • • •) fJ'n-i — Рп

Подставляя эти выражения в систему (1.11) и проводя сокращения, приходим к равенствам

' х1 + ...-ук = 0,

, хГ' + .-.-УГ^О, C:(x[ + ...-yl) = XrQ,

. C»(z? + ...-tf) + An_1*p = 0.

Так как теперь 8 — 1, то последняя система и в этом случае совпадает с системой (1.12).

Поскольку все переходы были равносильными, то в обоих случаях системы (1.11) и (1.12) будут эквивалентны. Лемма доказана.

§1.2. Уравнение Харди-Литтлвуда.

Лемма 1.5. Рассмотрим систему сравнений ' х± + ... - уп = Ai (mod р),

< х\ + ... - yrn = Xr (mod рг),

+ — = Хп (mod рг),

О < #1,..., уп < Ирг — 1, жДтос! р), 5 ф t, 1 < £ < та; р > 4п.

Если Т(А1,...,Аге) — число решений этой системы, то имеют место неравенства

4 о I г(г-1) , о . г(г-1)

—.]\[ ргп~^ 2 < Т = Т{О,..., 0) < пШ2пргп+ 2 . 9

Доказательство см. в [11].

Теорема 1.1. Пусть п >2, к > та2/2, 1 < г < та — 1, г < т < г + 1, р — простое, < р < 21?/™, = [Др"1] + 1, <За = р<2; А > 1.

Тогда справедлива оценка

Т^СЛ, д, А) « К2п Тк_п г_г{Къ ЯъАу

Доказательство. Проведем доказательство в случае, когда А = 1. При А > 1 рассуждения не изменятся. Только каждый раз после применения леммы 1.3 �