Некоторые задачи теории мультипликативного интеграла тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА II ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИ« ГОСУДАРСТВЕННЫ« УНИВЕРСИТЕТ имели П. И. ЛЕНИНА

Специализированный Совет К 053.01.02

На правах рукописи

МАРТЫШОК Алексом Николаевич

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО ИНТЕГРАЛА

01.01.04 — геометрия п топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1991

Работа выполдола в Московском ордена Трудового Красного Знамени областном педагогическом институте им. П. К. Крупской.

И а у ч н ы и |) у к о в о д и т (! л в:

доктор физико-математических наук, профессор О. В. МАНТУРОВ '

О (I) п ци а л ьп ы о оппоненты:

доктор физико-математических ишук, профессор А. В. ЧЕРНАВСКИЙ

кандидат фпзико-матем.'п'пческтх иаук, старший -препода в л тол в В. Т. ПЕТРОВА

Ведущая организация: ордена Дружбы Народов Университет дружбы народов имени II. Лумумбы.

па засодаашн .специализированного совета IV 053.01.02 по лри-суждешшо учмиш степени кандидата фшнгко-матоматичиокил: наук в Московском педагогическом государстиышом университете им. В. Я. Ленина по адресу: 107 МО, Москва, ул. Краснопрудная, д. 1*4, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИГУ им. В. II. Лишит. Адрес института: 110435, Москва, Малая Пироговская, дом 1, МПГУ им. В. И. Лсшша.

19^ г.

Ученый секр циалпзшроватпгюго совета

Г. А. КАРАСЕ В

ЕЙ".'-'

! ОЩЛЯ ХАРАКШКТРШ РАГСШ

Актуальность теки. Во всякое. ассоциативной топологической алгебре с единице" можно определить !.<ульгипликатирны!': ките град, которкй представляет собой предел произведения бесконечного числа сомножителей,' близких к единице.

Целые математические разделы представляют собой разливке интерпретации мультипликативного интеграла. Прикери - теория систем линейных дигМереншгалышх уравнений, теория сг'язл-остей, теория уравнений в частно:' производных нулепо:": кривизны, теория "хронологической .экспоненте", окспонениигль/гое отобрате;, ^.о и др. Однако ишорироваииз конструкции ».ультнпдккыквкого интеграла в вышеказванньэс раздело; существенно обедняет возттности" исследования .

Приложения мультипликативного интагрзла разнообразие и с каадьм годом расширяются. В настоящее время г.ультипликативн'й интеграл используется г. кггштовоГ механике, теории вероятностей, теории неликейнш: Ексосренцкальнюс уравнений в частных производных и др. При этом о"аг>.УБаетсл ваттной структура конструкции мультипликативного иктегрида как предела произведения определенного типа со}.;но;лИтело.:. Однако круг публикаций по данной тематике достаточно узок.

¡.'¡ы солидарны с автора!,'.и конограТии считавджи« что несмотря на то, что конструкция ыульткплккативного интеграла является од::оГ" из оскспнкх ?/атс!.:цтическкх конструкций, ока не занимает дольнего ей ь'еста б !:г.теиаткчос:гоу аппарате и мата/е-тическог обраг-ованип. На русском ?:экде практически нет ¡.таюг-р&$ир. по теории ^уль'гглликаткьного интеграла.

'¿жду тем си:а конструкция мультииликатквного интеграла позволяет от;:/.улиро1-ать ноше задели и в ряде случаев подсказывает подхода к их рецеиш.

I. ФоЫАГЛ. 17)., РП&Ьпан С1Л РгсЛьсё нШ а^/Л.

{с 1-ОП(1ся:М.-МРиК-Со., 1979.-Л 59р.

Рассмотрение'конструкции мультипликативного интеграла позволяет ставить содержательные классификационные задачи. Согласно ЗрланГенскоР програймы $.Клейна, задача классификации орбит в (у - пространстве является основной задачей геометрии. Задачи классификации объектов различных типов связаны с построением и изучение!.: инвариантов. Как известно, исчерпывающего метода описания инвариантов не найдено до сих пор. Поэтому интересно знать такте пространства X к группы О- , для которых классификационная задача мохет быть решена.

Вычисление шультапликативного интеграла в конечном виде связано с проблемой разрешимости в квадратурах систем дифференциальных уравнений,.которая не решена полностью до сих пор.

. Начиная с 1982 года на семинаре при кафедре геометрии и топологии 'нОШ!,им.Н.К.Крупской (руководитель - профессор О.В. ■Уантуров), было предпринято исследование ряда вопросов, связанных с мультипликативны: интегралом. Оказалось, что происходящие из понятии и конструкций мультипликативного интеграла за- . дачи имеют приложения к общепризнанным вопросам. Описание этих исследований, некоторые расширения точки зрения на мультипликативный интеграл, а также приложения мультипликативного интеграла, содержится в работе О.В.Мантурова которая является значительным дополнением к литературе по предмету.

Главная цель диссертации состоит в рассмотрении классификационных задач, связанных, с мультипликативным интегралом.

Научнач новизна предложенной работы состоит в рассмотрении различных задач, связанных с конструкцией мультипликативного интеграла, а также изучение приложений рассмотренных задач.

2. Мантуров О.В. Мультипликативный интеграл // йгоги науки.и техн. Сер. Пробл. геометрии / ВИНИТИ.-1690.-22.-С. 167-215..

_ г; _

В диссертации получены следующие новые результаты: I, Нахождение полиномиальных мультипликативных интсграиюэ от полиномиальных матричных функций (§3).

'¿. Классификация орбит пространства ¡¿(2, С(*3) относительно действия калибровочной группы $1,(2,СМ) (55) .

3. Вычисление-стационарных подгрупп элементов из ¡¿{я, <СС*1) Е $Ь(г>СШ) (§6) .

4. Классификация элементов из СМ) в явном виде !§§ 7,8) .

5. Классификация орбит некоторого подмножества в относительно действия калибровочной группы (*Г) .

6. Приложение алгоритмов, полученных в ££ 5,8 к различию« задачам дифференциальной алгебры (§§ 9-11) . Способ вычисления некоторых криволинейных мультипликативных интегралов (з 12) .

Методы исследования. Используются методы теории гультиплк-кативного интеграла, дифференциальной алгебры, теории матриц, теории дифференциальных уравнений.

Теоретическая и практическая значимость. Работа косит теоретический характер, ¡а результаты могут быть использовали в решении- различных задач теории дифференциальных уравнений, геометрии и дифференциальной алгебры.

Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре "Прикладные вопросы дифференцначьной геометрии" в 1.!СШ им.Н.К.Крупской, на семинаре "ТенэорншЧ анализ V. его приложения" при 1/ГУ им.Ч.Е.Ломоносова (1988 г.) , на научно-исследовательском семинаре-кагТедры геометрии МИЛ! км.В.И.Ленина (1990:г'.> .Публикации. Основные результаты диссертации отражены в шести опубликованных работах.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа выполнена на 137 страницах машинописного текста, состоит из введения, четырех,глав и списка литературы, насчитывавшего 64 наименования. ' _

КРЛТКСЕ СОДЖЛЖ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении кратко осведена история вопроса, обоснована актуальность тегы диссертации, .дан обзор литературы по проблеме, изложены основные результаты, полученные в работе.

Первая глава "Основные понятия, методы и приложения теории мультипликативного интеграла" (§§ 1,2) носит вводный характер. В ней в краткой г?орме приводятся необходимые для дальнейшего определения и свойства мультипликативного штеграла, а также приложения мультипликативного интеграла.

Во всякой ассоциативно!! топологической алгебре /4 с единицей £ кокно определить конструкции дультшликативного интеграла, Если - непрерывная функция вещественного переменного Ь , принимающая значения п алгебре А , £ - разбиение отрезка С«, .точками д = <= £ , 4-4-, , то^по определению

Существует ыультипликатлвныГ: интеграл с другим порядком уккоке-иия в (I) и обозначается ^ (

(2)

Пультипликативнке .члтегралк (I) и (2) называют соответственно прян»: к с братним.

Как в случае римшова интеграла, "так и г случае мультипликативного, речь идет о пределе произведения элементов, близких к единице, только в римоноБЖ случае произведение понижается в о.ксле групповой операции сложения б аддитивной группе Л , а в случае .\ультипликагивкого интеграла произведение поншдагат б с№слс операции в ассоциативной алгебре, С .-этой точки зрения вся специфика кульгиплжативного интеграла' связана с неперестановочностью со1л:о:клтелей в произведении, декелем в основе определения мультипликативного интеграла. Разумеется.важна структура ассог циативноГ: алгебры. При соответствующем выборе образующих ассоциативной алгебры, интеграл Ри.:ана будет частным случаем соответствующего гультилликативного. штеграла. .'

Аналогично криволинейному ршанову интегралу определяется

криволинеПииТ; мультипликативны!': интеграл. Гасскопда.: деггосшт

-»г".

где Рс ' Р{(*'> х'> ->х) - непрерывные функции * кжес'гвенцкл переменных со значениями в алгебре 4 , Параметризация кривой ]г : , , сводит выражение (3) к гиду (I) . Выражение (3) называется криволинейным мультипликативна:.: интегралом.

Вторая глава "О полиномиальных культкшпггсатиЕнгд: интегралах" С§ 3) посшщена задаче-нахождения табличных интегралов от полшгаоделышх йункций. Б вышеупомянуто!! иокогрс';:к Лолларда и йрвдмала ставится задача нахождения 'впреркв:!.:« мультипликативно интегрируем:* функции, которое шгут кг}пгь п ь-ткпликативном интегрировании роль полиномов б обычной т ор:ш риыанова интегрирования, Е 5 3 определяется условия, при которых подынтегральная функция и ее культипжкатиглая первообраз-нал - полиномиальные матрицы 2-го порядка. Получен алгоритм, с помощью которого дл;: любой полиномиально;* матрицк 2-го

порядка кото на/ти латеномиальную матрицу , с условием

либо показать, что гаиоГ' матрицы не существует.

Третья глава "Мультипликативны'! интеграл и классип:канил орбит" состоит из пяти параграфов. В § 4 показано, что рассмотрение конструкции мультипликативного интеграла позволяет ставить содержательные задачи классификации, -

Пусть К - июкество матричных <?ункцкЯ {(х) вещественного переменного, & - группа всех да£$эренцируеиых матричкмх функций С(х) Божественного переменного ( в качестве X и 6-можно брать объекты более общего вида ) . Пусть & действует на X по закону

Преобразование (4) называется' калибровочным. Это преобразование порождает преобразование обратного муль тюшжаттеного интеграла '

Р-СР, Р- \Bi-ftoebc.

о

Нетрудно проверить, что ни киее:^ представление группы 6- в пространстве X . [аюжество X делится на орбиты, определяете де!стЕкек группы & . Элементы, лежащие па одной орбите, называются &кшвалентшл:и. Введенное & - пространство X поз-ооллет стаъу.ть конкретную задачу классификации, а таете порождает шого новых задач, если рассматривать & - пространства Я , где £ с £ , £ с X .

Пусть X - шолесгво непрерывных матричных функций

к ве^ествеш-шх переменны?:, (у - подгруппа группы ессх ди-[ г/еренцируеккх матричных функций С(*\**г»**) к вещественных переменны::. Определи!.? действие группы 6- на X* следущш.1 образом:

Сф^с',., СКс'^С) (5)

Ето преобразование порождает преобразование криволинейного !.!уль-тшшикатквного интеграла:

Заметим, что если толковать кагриш-йункции -рк как коэффи- . циеиты аас^ннной связности (Т^' , то задачу классификации орбит пространства X мокно рассматривать как. задачу описания калкбровочно эквивалентных связностей.

Б 5 5 в качестве - пространства рассматривается алгебра Каца-Муди <С(лз) , на которой.действует группа ' $Ь(2,СС*-1) по закону (4) . Классификационная задача полностью решена. Основное прне« который здесь использовался - приведение элемента к каноническому веду ( элемент С[х1) име-

ет канонический вид в своей орбите, если *, где

) . Согласно теореме 2, регулярный матричный полином имеет канонический вид. В теореме 4 описан алгоритм приведения сингулярного матричного полинома к каноническому ввду. Показано (следствие 2}, что если . .. мкеег -

сингулярный канонический вид, то этот канонический вид определен однозначно (с точностью до подобия с. матрицей из £))• В случае когда канонический вид элемента /¡1х? представляет-со-бой регулярный матричный поляк к:, канонический вед определен'-' не однозначно. - •.

В теореме 5 описан алгоритм, с .помощью которого для любого регулярного матричного полинока /1(х) кото получить все эквивалентные ему регулярные матричные полиномы.с с точностью до подобия с матрицей из С)), Все регулярные матричные полиномы А к , эквивалентные А(*) , получаются следующим образом ^ их вообще говоря счетное тожество) :

причем Л|>«{г) получается из А{(К) калибровочные преобразованием с однозначно определенной треугольной матрицей С(*)£

С[*3) . Последовательность А; (■*) будет ограничена справа (слева), если для некоторого У , А]№ (Л) треугольная. Е этом яе параграфе показано, что если А(*) 1 В(*) " эквивалентные регулярные матричные полиномы и М1) = К « то

11 ¿следствие 4 > .

В § 6 для каждого элемента А(х) е £СХ3) найдена группа изотропии в £Ь(Я,-Ссхз) . с'точностью до сопряжения (теорема 6) . Здесь яе показано, что если СС*3), то

уравнение С (х) ~ С(х.) 3 имеет нетривиальное решение в -51,(2, С[*3) только в случае, когда канонический вид представляет собой нулевую или диагональную матрицу (следствие 5 ) . .

В § 7 рассматривается задача'класск> кк&цки элементов .из

См)

в явном веде ¿теоремы 7, 8, 9 ). Еусть га:еет

гид /л»-" Ях* \

ТбОрвМй, Зг Регулярный матричный поляне«.!

■1 тогда и только тогда, когда он имеет <с точностью до подобия С матрицей из £Ьи» С)} следующий, вид; .•- '

' * Н ' О ' '

где ¿г ( [ (*'?)),■ , причем для ' * - четное,-для 3, (х) , нечетное. •

Ь этом же параграфе в кольце многочленов вводится ■

. отношение эквивалентности' ^ . Два. многочлена и эк-

■ виваленткы, с ели '

о о

где £С*3) . Стандартным образом

См разбивается

на классы зкк'/Балентпости по отношению ^ . Рассматривается задача описания (теоремы 10, II, 12, 13 ) .

Ьадача класск,пкацин орбит пространства ¡^(2; €(*)) относительно калибровочной группы (и, £[х]) рассматривается в 5 о. Полная классификация орбит приводится для подмножества в С(х>) , состоящего из матриц, представимых в

■ виде (теоремы 14, 15,16, 17;. ¿дя некоторого класса матриц рассмотрена задача классификации б ньком виде (теорема 18) .

Гла^а 4 "Приложения" состоит иэ четырех параграфов. Б § 9 установлена связь мезгду мультипликативным интегралом и уравнением Риккати. Показано, что алгоритмы, полученные в §§ 5,8 , позволяют не только установить существование решений уравнения Риккати

~ -а3 , а; е £[х-], ^ а ± .

в воле С(х) , но- и пайти их в явном виде.

В § 10 дан ответ иа вопрос, когда уравнение А(х> У(х>, где /1 М - рациональная матрица 2-то порядка имеет хотя бы одно полиномиальное решение (теорема £0) . Алгоритмы, полученные в И 5,8 дают возможность не только установить существование таких решений, но и найти их в явном виде.

Рассматривается такхе связь ме.-кду мультипликативным интегрированием и полиномиальными решениями скалярных лшеПных дифференциальных уравнений*'2-го порядка (следствия II, 12 ) , в частности с ортогональными полиномами Зрмита и Лагерра.

В V II рассматривается приложение полученных алгоритмов • к проблеме разрешимости в квадратурах некоторых дифференциальных -уравнений, к задаче классификации расширений Пикара-Еессио поля С (я) , а такяе к проблеме линейной приводимости диффе- • ренциальных.уравнений. Разрешимость уравнения ¡?"+ в"* обобщенных квадратурах равносильна разрешимости его группы Галуа. Однако при исследовании конкретного уравнения, группу

Галуа обычно описать не удается.. В этом параграфе,в частности, доказана

Теорема 21. Группа Галуо уравнения

у" = a0-te

изоморфна $>L(A>£)

Ь 5 12 ¿^осматривается способ вычисления некотср!Гл криволинейных мультипликативных интегралоЕ е конечном гиде вдоль произвольно;; красой, который получается на iïjt:: обобщения задачи, рассмотренной в §

АГ-ТОГА КО TÏÏ/Z ДЮСТ-ТАЦК:

1. Калтуров О.В., Кпрйгигк А.Н. О .Торкуле Архимеда дея мультпп-лккитшюго интеграла // ГпБарноктнке тспзор.: на однородных, пространств;.:«: /' "..ocir. обл. вед. ин-т. M., If-87. - С.25-33.-

деп. в 2e.0r.c7,';;- гмг-Б87.

2. Монтуроо' C.B., !,:арткнуя А.И. Об од юг алгоритме в теории мультнплпгатигного -щтсгргла '// йзяесткя вузов, Иа?.- 1989.-К f.- C.2Ü-3I.

3. киртшм Д.Н. :.!ульгкйлккатиБНкЛ гатсграл и классификация С1лз1;ооте."; ¡J С,г.;Юрод!.1:с простронс.ч-и а мультипликативный интеграл / .ïock. сбл. ne/;. ;п:-т.- I9Ç0. - С.43-50.-£еп.

г. тптй ii.oi.vc, ; ks-ko.

4. .;,!ант;. pon О.Б., ;»аргкнюк А.П. Класса; ¡гкаии.ч орбит пространства Plx~i) Ii /.K'repeüu. rcov» и мультипликативный интеграл / i'ccK. сбл. под. и:;-т,- !.!., I9S9. - С.З-17.-Деп. в

17.05.s?,. !.• 3200-ве?.

5. ¡/.артшкк A.n. Сб одной задаче теории криволинейного нультип-лкх&тибного интеграла // Приложения дифференциальной геометрии,- Воронеж, I9C.9.- С.4Е-Е0. . ■ •

6. ь'Брткнюк A.n. лультчплккатквныП'-интеграл и элементарные решения некоторых ДП'Меренииатьнкх уравненлй II Алгебра, reo- .

..■ i/.етркя и дискретная математика в нелинейных -задачах,- К. :

■ :'зд-зо Моск. ун-та. '1991,-"0.£7-107. . -... . •-• •