Нелинейные квазипоперечные волны в слабоанизотропных упругих средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М В ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Свешникова Елена Ивановна

Нелинейные квазипоперечные волны в слабоанизотропных упругих средах

01 02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи

□□3448444

1 6 О ИТ 2008

Москва - 2008

003448444

Работа выполнена на кафедре гидромеханики механико-математического факультета Московского государственного университета им М В Ломоносова

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор В H Кукуджанов

доктор физико-математических наук, профессор А И Потапов

доктор технических наук, профессор Ю.А Демьянов

Ведущая организация Институт механики сплошных сред УрО РАН,

Защита состоится 7 ноября 2008 года в 16 часов 20 мин на заседании Диссертационного совета Д 501.001.91 по механике при Московском государственном университете им. М. В Ломоносова по адресу 119991 ГСП-2, Москва, Ленинские горы, Главное здание МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

г. Пермь

Автореферат разослан

Ученый секретарь Диссертационного совета доктор физико-математических наук

С В Шешенин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы В настоящее время во многих задачах науки и техники требуется знание свойств динамического поведения материалов, обладающих небольшой анизотропией, в том числе вызванной предварительными деформациями в процессе обработки Наличие анизотропии, хотя бы очень малой, характерно для всех реальных сред Особо важен учет анизотропии и вызываемых ею особенностей для процессов, в которых материалы обнаруживают нелинейное поведение Такими являются процессы, происходящие с большим изменением напряжений (например, при взрывных, ударных волнах) или нелинейные динамические процессы, протекающие длительное время (например, в сейсмологии) Даже если приобретенная или присущая материалу от природы анизотропия очень мала, она снимает симметрию свойств и вносит коррективы в поведение объектов Взаимное действие нелинейности и анизотропии во многих случаях приводит к заранее не предсказуемому динамическому поведению Это делает необходимым создание теоретической основы для расчета нелинейных динамических процессов в предварительно напряженных материалах или средах с малой естественной анизотропией

Изучению нелинейных плоских одномерных волн в упругих средах посвящены работы Д Бленда, А Г Куликовского, Э В Ленского, Г Я Галина А Ханыги, Ж Бейзера, А Н Гузя, А А Буренина, 3 Весоловского, Ж Можена и многих других В этих работах отмечалось, что более сложное нелинейное поведение обнаруживают поперечные волны, требующие более точных подходов и методов исследования

Как нелинейность, так и анизотропия (и они вместе) делают волны квазипродольными и квазипоперечными, каждая несет изменение всех компонент деформации и напряжения Скорости всех трех волн становятся различными, что снимает вырожденность, присущую изотропным средам, где вследствие свойств симметрии скорости двух линейных поперечных волн совпадают Изучение нелинейного поведения квазипродольных волн (в частности, в работах вышеназванных авторов) показало, что качественно оно повторяет свойства газодинамиче-

ских волн, которые достаточно хорошо исследованы В то же время изучение квазипоперечных волн оказалось много сложнее ввиду малого различия в их скоростях, что требует их исследования в совокупности, учитывая взаимодействие при движении Для этого потребовалась разработка новых подходов, чему и посвящена данная работа

Цель работы Основной целью работы является исследование распространения плоских одномерных волн в нелинейно упругих средах при наличии малой анизотропии начального состояния в плоскостях, параллельных фронту (волновой анизотропии) Исследование состоит в отыскании в рамках модели нелинейной теории упругости непрерывных решений в виде волн Римана и изучений возможных разрывов в виде ударных волн, а также в определении условий для их реализации При этом было необходимо выяснить влияние на полученные решения присутствия малой волновой анизотропии, а также влияние вида анизотропии и нелинейности при задании упругой среды ее упругим потенциалом Отобранные и исследованные непрерывные и ударные волны используются для построения решений классических автомодельных задач механики сплошной среды

Научная новизна Впервые выполнено полное исследование поведения нелинейных квазипоперечных волн в упругой среде с малой волновой анизотропией При этом обнаружен ряд качественных особенностей, которые не присущи изотропным средам

Показано, что поведение квазипоперечных волн небольшой интенсивности в случае анизотропии и уравнений состояния общего вида и в модели с тригональной симметрией свойств определяется двумя упругими постоянными х и д, из которых первая задает вид нелинейности, а вторая характеризует волновую анизотропию Выяснено, как знак упругой константы к качественным образом влияет на поведение всех нелинейных волн

Для моделей упругой среды с различными видами анизотропии и нелинейности найдены и исследованы непрерывные решения уравнений нелинейной теории упругости в виде волн Римана Найдены характеристические скорости и интегральные кривые Указаны условия, приводящие к опрокидыванию волн

Построены и исследованы ударные адиабаты для ударных волн в средах с различными нелинейностью и анизотропией Под ударной адиабатой понимается множество за разрывами, на которых выполнены соотношения, вытекающие из законов сохранения, если состояние среды перед ними фиксировано Выделены те ударные волны, которые удовлетворяют требованиям неубывания энтропии и эволюционности

Установлено, что для волн небольшой интенсивности условия эволюционности дают более строгие ограничения, чем условие неубывания энтропии

Для ударных волн небольшой интенсивности при разном виде волновой анизотропии решена задача о существовании стационарной структуры на базе модели вязко-упругой среды Установлено, что все эволюционные волны обладают структурой и никаких дополнительных соотношений из исследования структуры не возникает

Для всех исследованных моделей обнаружено, что на ударной адиабате кроме обычных ударных волн, которые при уменьшении интенсивности совпадают с непрерывными решениями, существуют такие ударные переходы, интенсивность которых не может быть сделана как угодно малой

Указана возможность существования сдвоенных скачков из быстрой и медленной ударных волн, движущихся с одинаковой скоростью

Показано, что все возникшие качественные особенности поведения как волн Римана, так и разрывных решений являются следствием присутствия малой волновой анизотропии

Для слабонелинейной среды с малой анизотропией общего вида построено решение двух классических автомодельных задач - о поршне и о распаде произвольного начального разрыва - в виде последовательностей центрированных волн Римана и эволюционных ударных волн

Обнаружено, что для обеих задач существуют целые конечного размера области задания граничных условий, для которых решение задачи о поршне оказывается неединственным (двузначным) Ответственным за такое, впервые встречающееся в классической теории упругости явление, опять оказывается присутствие анизотропии, причем как угодно малой Это свойство не пропадает при уменьшении анизотропии, но

вместе с ее исчезновением исчезает разница между решениями

Предложен некоторый способ, позволяющий предвидеть появление неединственности по конкретному виду условий эволюционное™, не проводя полного построения решения автомодельной задачи

Научная и практическая значимость Полученные результаты по изучению нелинейных квазипоперечных волн создают математическую основу для построения решений конкретных динамических задач в упругих средах с малой волновой анизотропией Подобная анизотропия присуща практически всем реальным материалам и должна учитываться при постановке задач, а нестандартное поведение ударных волн проявит себя в построении решений Полученное в работе решение для задачи о распаде произвольного начального разрыва и возможность появления неединственности должны учитываться при построении алгоритмов численных методов и программ численного моделирования Результаты исследования могут быть использованы как основа для изучения упругих характеристик среды по измерению параметров нелинейных волн

Методы исследования и достоверность результатов В работе использованы известные аналитические и качественные методы и исследованы зависимости результатов от всех входящих в постановку параметров Это определяет достоверность результатов

Апробация работы Результаты работы докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре кафедры гидромеханики механико-математического факультета МГУ им М В Ломоносова под руководством академика А Г Куликовского, проф В П Карликова и проф А А Бармина, на научном семинаре Института проблем механики РАН под руководством проф В Н Кукуджанова, акад А Г Куликовского и проф И В Симонова, на научных семинарах кафедры пластичности, кафедры волновой и газовой динамики, кафедры теории композитов и кафедры теории упругости механико-математического факультета МГУ им М В Ломоносова, на Международном симпозиуме ГОТАМ по нелинейным волнам деформа-ции(Таллин,1982), на V, VI, VII Всесоюзных съездах по теоретической и прикладной механике (Алма-Ата 1981, Ташкент 1986, Москва 1991), на

V, VI и VII Всесоюзных конференциях по механике полимерных и композитных материалов (Рига 1983, 1986, 1990), на Всесоюзном семинаре по нелинейной сейсмологии (Москва 1983),на I Всесоюзном симпозиуме по математическим методам в механике твердого деформируемого тела (Москва 1984),на Республиканской конференции "Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред"(Горис Арм ССР 1984), на Международном симпозиуме "Нелинейная сейсмология"(Суздаль 1986), на Международной конференции "Современные математические проблемы механики и их приложения "(Москва 1987), на Республиканской конференции "Проблемы электродинамики и механики сплошных сред (Рига 1988), на Третьей Международной конференции INRIA по математическим и численным аспектам распространения волн (Манделье Франция 1995), на 11-ой Зимней международной школе по механике сплошных сред (Пермь 1997), на 16-ом Международном Симпозиуме по нелинейной акустике (Москва 2002), на Всероссийской научной школе "Нелинейные волны - 2002"(Нижний Новгород 2002), на VIII, IX Всероссийских съездах по теоретической и прикладной механике (Пермь 2001, Нижний Новгород 2006), на Всероссийской конференции "Волновая динамика машин и конструкций "(Нижний Новгород 2004), на 14-ой Зимней школе по механике сплошной среды (Пермь 2005), на Всероссийской конференции "Современные проблемы механики сплошной среды (Москва 2007), на XVIII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды (Саратов 2007), на научной конференции "Ломоносовские чтения "(Москва, МГУ 2003, 2004, 2005, 2006, 2007)

Публикации По теме диссертации опубликовано более 35 работ, в том числе монография и ее вариант на английском языке в издании CRC Press Список основных публикаций приведен в конце Из совместных публикаций в диссертацию включены результаты, полученные непосредственно автором

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 74 названий и содержит 208 страниц

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дано описание исследуемого явления распространения нелинейных волн по упругой среде с предварительной деформацией Указана необходимость учета анизотропии деформационного фона, которая практически всегда сопровождает реальные среды Дан краткий обзор литературы по нелинейным упругим волнам, прежде всего в средах с анизотропией Перечислены основные вопросы, исследуемые в работе - построение моделей сред с разным видом анизотропии и характером нелинейности, исследование в этих средах волн Римана и ударных волн, построение решений классических автомодельных задач Указаны обнаруженные новые особенности поведения нелинейных упругих волн, вызванные учетом анизотропии Отмечено, что вся работа выполнена аналитическими и качественными методами

В Главе 1 дана постановка задачи о плоских одномерных нелинейных волнах в упругой среде Среда задается своим упругим потенциалом Ф = poll(его, S), где U - внутренняя энергия единицы массы, £у - компоненты тензора конечных деформаций, S - энтропия, ро -плотность среды в начальном состоянии Среда считается однородной ро = const и далее положено ро = 1 Рассмотрение ведется в лагран-жевых переменных в декартовой системе координат начального состояния Ось хз ортогональна фронту волны, оси х\, Х2 - в плоскости фронта

Вместо компонент тензора деформаций в лагранжевом подходе обычно используются компоненты тензора градиентов перемещения иг] = dwt/dxj При прохождении плоской волны вдоль оси = х претерпевают изменения только три компоненты dwjdx = иг(х, i), г = 1,2,3 Остальные компоненты деформации постоянны dwt/dxa = const, а — 1,2 и входят в задание предварительной деформации, определяющей фон, по которому идет волна При этом продольная компонента из характеризует сжимаемость среды, а компоненты щ и щ - деформации, вызванные сдвигом плоскостей, параллельных фронту Таким образом, упругий потенциал будет задаваться функцией Ф(иг, S) Предполагается, что среда обладает малой волновой анизотропией, те деформационное состояние фона в плоскостях, параллельных фронту,

в направлении осей Х\ и хч различно Эта анизотропия может иметь как естественное происхождение, так и вызвана предварительным деформированием в исходно изотропном материале

В диссертации проведено построение нескольких моделей упругих сред с различным видом анизотропии и характером нелинейности

Основная часть работы посвящена волнам небольшой интенсивности, для которых при исследовании можно пользоваться методом разложения по малым амплитудам деформаций, сохраняя в них столько членов, чтобы в поведении волн проявились свойства нелинейности и анизотропии среды Принятая при задании упругого потенциала степень точности соблюдается далее во всех выражениях Упругий потенциал изотропной среды представляется разложением по инвариантам тензора конечных деформаций (за начало отсчета деформаций принято ненапряженное состояние)

Ф = ~Xlf + /1/2 + Phh + lh + 5 If + (1)

+ 77/1/3 + tlih + + p0T0{S - S0) + const /1 = £,t, I2 — /3 = ij Ji к = 1,2,3

Нелинейность в поперечных упругих волнах проявляется в более слабой степени, чем в продольных, и, как показали предшествующие исследования [1], для обнаружения нелинейного поведения всех волн в разложении упругого потенциала следует удерживать члены, по крайней мере, до четвертого порядка по деформациям включительно Учет изменения энтропии в упругих волнах необходим только при изучении движений с разрывами Изменение же энтропии в ударных волнах согласно общей теории гиперболических систем [2] не менее, чем на два порядка меньше, чем амплитуд основных величин Это подтверждено и для упругой среды в работе [1] Это позволило в разложении упругого потенциала учесть изменение энтропии в виде линейного слагаемого Последующее прямое вычисление подтвердило справедливость такого действия Тем не менее в диссертации рассмотрена модель, содержащая в упругом потенциале перекрестные члены энтропия-деформация и квадратичные по изменению энтропии, а также модель, в которой разложение функции Ф проведено до членов шестого порядка по ам-

плитудам деформаций Как показало исследование как непрерывных решений, так и ударных волн, эти уточнения не привели к обнаружению новых качественных особенностей по сравнению с основной, принятой выше моделью Учет перекрестных членов лишь позволил вычислить изменение температуры при прохождении ударной волны

Следует заметить, что в разложении функции Ф присутствуют все компоненты тензора деформаций, в том числе и те, которые не претерпевают изменений при прохождении плоской волны При этом, если главные значения £1, с2 деформаций в плоскостях, параллельных фронту, различны (егх ф £2), то даже в исходно изотропной среде имеется волновая анизотропия Присутствие анизотропии такого рода можно ожидать в любом реальном материале В то же время, она может быть как угодно малой

Разложение упругого потенциала по можно пересчитать в разложение по иг Но можно сразу потенциал среды самого общего вида, заданный в виде Ф(иг, £), разложить в ряд по компонентам иг Будем считать, что компоненты деформаций и их начальные значения [/,, определяющие фон, имеют порядок малости е, и разложение вести до членов порядка е4 - первых, главных членов выявляющих анизотропию и нелинейность

Нелинейность для поперечных волн нужна четвертого порядка по е, и главный ее член является изотропным, а анизотропный член с коэффициентом д взят только как самый младший, квадратичный Для изотропной среды разложение (2) справедливо, если оси - в плоскости фронта выбраны так, что они служат главными осями для компонент тензора предварительной деформации в плоскости фронта, т е £12 = 0, £ц = £1, £22 = £2 - главные компоненты сжатия-растяжения в плоскости фронта При этом несложно установить связь новых коэф-

111 Ф = («? + иЪ) + 29 № ~ ^ + 2^3 + аиз+

Ь + и22)и3 + ^ {и\ 4- и\)2 + роЩБ - 50),

1

1

(2)

фициентов разложения с упругими модулями из представления (1) / = М + 0(е), ¿ = А + 2ц + 0(е), д = (е2 - £1) (р + + 0{е2)

Малые добавки у коэффициентов состоят из компонент е\ и £2

В линейной изотропной среде в положительном направлении оси х распространяются одна продольная волна со скоростью = ^fd — л/Л + 2/х и две поперечные с одинаковыми скоростями (те единым фронтом) с? 2 = у/У ~ л/Ц Очевидно, такая среда обладает определенной вырожденностью, которая может быть снята присутствием волновой анизотропии даже в линейном приближении При этом волны становятся квазипродольными и квазипоперечными Скорости с?,2 = \/Ттд становятся различными К такому же эффекту ведет и учет нелинейности среды Естественно, наиболее интересна для изучения ситуация, когда нелинейность и анизотропия присутствуют одновременно и имеют одинаковые степени своего проявления

Квазипродольные и квазипоперечные волны изучаются приближенно с оговоренной степенью точности отдельно друг от друга, учитывая, что изменение "чужой"компоненты деформации в волне, меньше, чем основной Для квазипродольных волн в разложении (2) достаточно ограничиться кубическими членами Как оказалось при исследовании квазипоперечных волн Римана и ударных волн, изменение компоненты из, характеризующей изменение объема, можно выразить через изменения компонент сдвига щ и иг

из -иг = --^-}{и\ + и1-и1-и1) (3)

Тогда вместо упругого потенциала (2) можно ввести его выражение через две компоненты деформации сдвига Для единообразия новый вид упругого потенциала будем по-прежнему обозначать буквой Ф

Ф(иьиг.5) = \/{и1+и^+^д(и22-и1)-^я(и21+и22)2+р0Т0(3-30) (4)

Строение полученной функции (4), показывает, что это есть упругий потенциал некоторой несжимаемой упругой среды, в которой из = const = 0 Будем называть ее эквивалентной несжимаемой средой, для которой можно провести исследование изменения в поперечных волнах двух деформаций сдвига и\ и «2, а затем с помощью формулы (3) найти изменение третьей компоненты

Выражение (4) для упругого потенциала содержит три постоянные, задающие упругие свойства среды Коэффициент /, как было видно выше, мало отличим от модуля сдвига /х и совпадает с квадратом скорости линейных изотропных волн Коэффициент >t выражается через упругие модули разложения (1) формулой

Ц Qx + fl-37/2)2

2 2(А + ¡1) ?

Этот коэффициент определяет характер нелинейности и может иметь любой знак Знак к определяет при д — О направление выпуклости графика зависимости касательного напряжения от модуля деформации сдвига г = \Jи{ + и\ Когда к > О, этот график обращен выпуклостью вверх, при х < О- вниз Замечателен тот факт, что параметр х включает в себя как динамическую, так и геометрическую нелинейность среды Из приведенного выражения для н видно, что и для динамически линейной среды Гука с двумя упругими модулями, и для пятиконстант-ной модели Мурнагана х ^ 0, и нелинейность поведения у поперечных волн проявляется из-за геометрической нелинейности Для этих моделей >г > О В диссертации рассмотрены среды с любым знаком к

Коэффициент д стоит при анизотропном слагаемом Можно назвать его параметром анизотропии В диссертации рассматривается наиболее интересная ситуация, когда анизотропия и нелинейность имеют одинаковые степени проявления Для этого следует положить, что коэффициент д имеет порядок е2 Для изотропных сред это означает, что анизотропия предварительной деформации в плоскости фронта мала е2—£\ ~ е2 Для сред с естественной анизотропией (например, волокнистых, слоистых, ортотропных и др ), обладающих свойствами симметрии, требование малости коэффициента д означает близость направления распространения волны к направлению оси симметрии

Среда с упругим потенциалом (4) является основной в данной работе, именно для нее в Главе 4 построены решения автомодельных задач

Однако может оказаться, что для среды самого общего вида в разложении упругого потенциала в ряд по иг квадратичных анизотропных слагаемых нет Тогда следует вести разложение до следующих, кубических членов В качестве примера такой модели рассмотрена среда со свойствами кубического кристалла, в которой направление распространения волн совпадает с направлением главной диагонали куба В этом случае упругий потенциал эквивалентной несжимаемой среды для изучения квазипоперечных волн имеет вид

f х

4u1,u2) = ^(u21 + ul) + g(3u1ul-ul)-j(u21 + u22)2, д~е (5)

Такая среда обладает свойствами тригональной симметрии, т е ее свойства инвариантны относительно поворота осей х\, х% на угол 120° В выражении упругого потенциала (5) второе слагаемое является носителем как свойств анизотропии, так и нелинейности В этом случае влияние члена с четвертыми степенями по е сказывается только на достаточном удалении от начала координат на плоскости переменных щ, щ Поэтому в диссертации рассматривается также более простая среда с малой нелинейностью и анизотропией одного порядка и потенциалом

Ф(иь «г) = £(и2 + и\) + д{Ъщи\ - и\) (6)

Кроме того рассмотрена модель, не использующая степенного разложения и пригодная для изучения волн конечной (не малой) амплитуды, но с малой анизотропией В этой модели предполагается, что среда несжимаема и U3 = const = 0 Упругий потенциал состоит из слагаемого с изотропной нелинейностью достаточно общего вида F(u2 + и2, S) и некоторой функции р{щ,и2), представляющей волновую анизотропию с малым коэффициентом д Для волн с наиболее интересным, нестандартным в присутствии волновой анизотропии поведением зависимость от энтропии может быть взята в виде аддитивного слагаемого

Ф = F{u\ + + др(щ, и2) + ф{£Г)

Функция p[ui,ii2), представляющая анизотропию, для конкретности взята в том же виде, что и для выше рассмотренных моделей р(щ, щ) =

у-2 — и^ Таким образом

Ф = Р{т) + д{и1-и\) + ф{8) (7)

Функция Р(г), очевидно, является четной функцией от г, а ее производная йР/йг = <р(г), имеющая механический смысл касательного напряжения, будет функцией нечетной Зависимость касательного напряжения от деформации сдвига, <р(г) взята в наиболее общем виде - в виде кривой с точкой перегиба при некотором г = г~ Для конкретности принято, что левее точки перегиба (при г < г~) выпуклость графика функции <р(г) направлена вверх, а правее (при г < г~) - вниз Для волн малой интенсивности участки левее точки перегиба г < г~ качественно соответствуют моделям слабонелинейной среды с я > 0, а участки правее точки перегиба г > г~ - средам с я < О С переходом через точку перегиба в процессе прохождения волн конечной (не малой интенсивности) как непрерывных, так и ударных, происходит изменение характера нелинейности, что отражается на свойствах таких волн В диссертации рассматриваются непрерывные и ударные волны в моделях упругой среды с упругим потенциалом, заданным выражениями (4), (5), (6), (7)

В Главе 2 для одномерных дифференциальных уравнений теории упругости в лагранжевых переменных

Ощ д2Ф ди3 дщ_дц. (Я)

т дщди:дх' ы дх' ы ~ ' 1,3 ' '

(где уг = ди]г/дЬ - компоненты скорости) для всех предложенных видов упругого потенциала Ф отыскивается и исследуется решение в виде волн Римана (простых волн) Найдены характеристические скорости и интегральные кривые для квазипродольных и квазипоперечных волн Поведение квазипродольных волн аналогично газодинамическим и далее не рассматривается Характеристические скорости двух пар квазипоперечных волн, идущих в каждую из сторон оси х, различны, и в соответствии с их величинами волны названы медленными (01) и быстрыми (сг) Различие в скоростях обусловлено двумя факторами нелинейностью и волновой анизотропией среды

Для волн небольшой интенсивности при анизотропии общего вида на основе упругого потенциала (4) получены характеристические скорости

Выражения показывают, что различие между характеристическими скоростями быстрой и медленной волн мало — с\ ~ е2, а это значит, что волны при движении могут взаимодействовать и их изучение должно проводиться совместно

Параметр анизотропии удобно использовать в виде безразмерной комбинации О = д/я Коэффициент х, выступающий в роли упругого модуля нелинейной среды, имеет конечную величину и любой знак Знаком параметра волновой анизотропии д можно распоряжаться, используя выбор нумерации осей Изменение знака равносильно повороту на угол 7г/2 вокруг оси щ в пространстве {иг} Всюду далее считается в = д/я > О

Интегральные линии волн Римана на фазовой плоскости компонент деформации сдвига щ, щ

(¿и2 йщ

2111112

0 = ?-

X

представлены двумя взаимно ортогональными семействами кривых, симметричных относительно осей щ, 112 Одно из семейств представляет собой овалы, стремящиеся на бесконечности к окружностям, другое семейство - линии, похожие на гиперболы, уходящие на бесконечность вдоль лучей Оба семейства огибают две особые точки в ко-

торых величины характеристических скоростей совпадают Вид интегральных кривых универсален, а принадлежность к семейству быстрых или медленных волн определяется знаком параметра нелинейности х При х > 0 овалы представляют семейство быстрых волн, при х < 0 -медленных

В изотропной среде одно из семейств интегральных кривых представлено лучами (плоскополяризованные волны), другое - концентрическими окружностями, вдоль которых модуль деформации сдвига не

Рис 1

меняется Эти вращательные волны имеют своим аналогом в магнитной гидродинамике волны Альфвена [3]

Зная характеристические скорости вдоль своих интегральных кривых, можно указать направления процесса изменения компонент щ, и2 в волне Римана, которые приведут к опрокидыванию профиля и образованию разрыва На рис 1 стрелками указаны направления, ведущие к опрокидыванию для сред с я> 0 При х < 0 указанные направления меняются на противоположные

Аналогичное исследование проведено для среды с тригональной симметрией и упругим потенциалом (5) Характеристические скорости двух квазипоперечных волн имеют вид

С?,2 = / - 2Ф1 + Ul) Т N\AU1 "" ^ + 2Gul)2 + 4u2K - Gf

а уравнения интегральных кривых

du2 _u\-ul- 2Gui ± y/(ul -uj + 2GUlf + 4u§(m - G)2 dui 2u2(m — G)

позволяют построить на фазовой плоскости щ, щ интегральные линии двух взаимно ортогональных семейств, которые, как и прежде, являются универсальными, а принадлежность к быстрому и медленному семейству определяется знаком ус Кривые огибают четыре особые точки, в которых характеристические скорости совпадают На бесконечности (что означает переход к изотропной среде) оба семейства превращаются в окружности и лучи

Одна из особых точек находится в начале координат Интегральные кривые в ее окрестности представляют волны Римана для среды с упрощенным упругим потенциалом (6) Они состоят из двух семейств линий, похожих на гиперболы с асимптотами под углом 120° Жирными

сплошными линиями изображены кривые быстрого семейства, штрихованными - медленного Тонкая линия, огибающая начало координат, - линия перемены знаков у производных от с^2 вдоль интегральных кривых Стрелками указаны направления, ведущие к опрокидыванию Волны Римана конечной амплитуды рассматриваются в среде с упругим потенциалом (7) Характеристические скорости в изотропной среде имеют вид <р' и р/г На графике зависимости 1р(г) имеется точка г — г», в которой направление касательной к графику совпадает с направлением секущей, проведенной в эту точку из начала координат В этой точке — <р/г, те характеристические скорости совпадают Левее точки г = г, характеристические скорости медленных и быстрых волн даются выражениями С1 = у/ц?, сг = \/<р/г соответственно, правее особой точки г» - наоборот, с\ — л/'р/г, — Добавки к характеристическим скоростям с малым коэффициентом д , вызванные анизотропией среды, имеются в полном тексте диссертации, но здесь не приводятся, так как носят довольно сложный характер (так же как и уравнения интегральных кривых)

Интегральные кривые на плоскости щ, щ симметричны относительно осей координат и имеют три пары особых точек, в которых С1 = с% Вблизи начала координат линии семейства быстрых волн имеют вид овалов, медленных - похожи на гиперболы и оба семейства огибают

Рис 2

особые точки (0, ±>/—2д/уэ"') В узкой области ~ д, прилежащей к критической окружности г = г*, они меняют свое направление на угол 7г/2 и на бесконечности интегральные кривые медленных волн приближаются к окружностям, быстрых - к лучам (рис 3) Направления

Рис 3

изменения и„ ведущие к опрокидыванию, определяются производными от с, вдоль своих интегральных кривых и меняются в точках экстремума с. Для медленных волн линия экстремумов близка к окружности г = г~, для быстрых волн это овал, близкий к критической окружности г — г* и целиком лежащий внутри нее, и отрезки осей координат от начала до указанного овала На рис 3 линии экстремумов изображены пунктиром, направления, ведущие к опрокидыванию, - стрелками

Опрокидывание волн Римана ведет к образованию разрывов, которые исследуются далее

В Главе 3 рассмотрены ударные волны во всех предложенных в Гл 1 моделях сред Предполагается, что на фронте скачка нет фазовых переходов и отсутствуют источники массы, импульса и энергии, а прохождение ударной волны сопровождается диссипативными процессами, ведущему к росту энтропии Исследование базируется на соотношениях на разрыве, полученных из интегральных законов сохранения

ЭФ'

дик

ЭФ

дик

ЭФЧ +

\ок] = ~Ш[ик]

:«*], [5] ^ о,

(9)

к = 1,2,3

здесь IV - скорость фронта разрыва Поведение квазипродольных удар-

ных волн качественно подобно газодинамическим В частности, изменение энтропии в квазипродольных упругих ударных волнах имеет порядок е3, как и в газодинамических Далее в диссертации рассматриваются только квазипоперечные ударные волны

Так же как и для волн Римана, при изучении разрывных решений в слабонелинейных средах удается ввести в рассмотрение эквивалентную несжимаемую среду с упругим потенциалом (4) в случае анизотропии общего вида и потенциалом (6) для среды с тригональной симметрией Все исследование ведется на фазовой плоскости двух переменных щ, щ компонент деформаций сдвига Можно сказать, что это есть проекция параметров ударных волн на плоскость щщ После решения этой задачи изменение продольной компоненты деформаций в ударной волне определяется по формуле (3) Для волн конечной амплитуды в качестве модели принята несжимаемая среда с упругим потенциалом (7), где все рассмотрение также ведется в зависимости от двух переменных щ,и2 Для заданного начального состояния (СД, (Уг) перед фронтом ударной волны найдено множество состояний за фронтом, в которые можно попасть скачком из начального с соблюдением законов сохранения (9) Это множество называется ударной адиабатой и на плоскости щщ имеет вид кривой, проходящей через точку А(11\, Щ), представляющую состояние перед фронтом В точке А кривая имеет самопересечение под прямым углом, где она касается интегральных кривых двух семейств волн Римана

Для слабонелинейной среды с анизотропией общего типа и упругим потенциалом (4) уравнение ударной адиабаты имеет вид

(и? + и\ - Те^хт-Щщ) + 2С?(и1-£/1)(«2-£72) - 0, (10)

где Л2 = VI + Щ

Возможные варианты вида этой кривой изображены на рис 4 Вычислено изменение энтропии при прохождении ударной волны

Т0(Б - 50) = -х ((^ - Щ)2 + («а - г/2)2) (и? + и\ - В?)

Оказалось, что для квазипоперечных волн оно имеет порядок е4 (как и в изотропной среде [1] Энтропия постоянна 5 = = 5(Л) на

Рис 4

окружности г = R, проходящей через начальную точку (энтропийная окружность). На рис 4 она изображена штриховой линией Для сред с х > 0 термодинамическому требованию неубывания энтропии на разрыве удовлетворяют состояния на тех частях ударной адиабаты, которые лежат внутри энтропийной окружности, а для сред с к < 0 -вне нее

В изотропной среде ударная адиабата имеет вид окружности и секущей, проходящей через начало координат и точку А На окружности не меняется модуль деформации сдвига и[ + щ — R2 = const и нет изменения энтропии [5] = 0 Это вращательный разрыв, совпадающий с вращательной волной Римана, и аналог вращательного разрыва в магнитной гидродинамике [4]

Кроме термодинамического требования [5*] > 0, ударные волны должны удовлетворять условиям эволюционности, те корректности выставления граничных условий в задаче о малых линейных возмущениях фронта разрыва при исследовании необходимых условий его устойчивости Для теории упругости условия эволюционнасти имеют вид двух систем неравенств, которые позволяют разделить эволюционные ударные волны на медленные (а) и быстрые (Ь)

(а) сГ <W<Cn, 0 < W < ct

1 - - 2' - - 1 (nj

(б) Су <w < сц, 4<w<4

Здесь с*, с~ - характеристические скорости по состоянию непосредственно за скачком (с^2) и перед ним (с^2) Для выполнения этих неравенств была найдена скорость ударного перехода W во все состояния

на ударной адиабате в виде функции некоторого параметра, монотонно меняющегося вдоль кривой (10) На концах неравенств эволюционности (И) скорость ударной волны \¥ совпадает с одной их характеристических скоростей перед или за фронтом По аналогии с теорией детонации такие ударные волны названы волнами Жуге На ударной адиабате (10) найдено положение точек Жуге и жирными сплошными линиями на рис 5 выделены участки эволюционных ударных волн для сред с к > 0 (а) и для сред с х < 0 (6) Положение эволюционных участ-

ков зависит достаточно сложным образом, описанным в полном тексте диссертации, от соотношения между величинами С/х, ^ начальной деформации перед фронтом и параметром анизотропии С? Оказалось, что они всегда расположены внутри области, где выполнено термодинамическое требование, т е требование эволюционности более жесткое Особенности использования условий эволюционности в средах с исчезающей анизотропией рассмотрены в [5]

Два участка эволюционных ударных волн всегда примыкают к начальной точке, как и положено по общей теории гиперболических систем [2] Изменение величин в этих ударных волнах при уменьшении их интенсивности мало отличаются от изменения величин в волнах Ри-мана того же типа На ударной адиабате имеются еще участки ЕК для среды с к > 0 и КН и ЬО для среды с х < 0, соответствующие эволюционным ударным волнам, интенсивность которых не может быть сделана как угодно малой Они отделены от начальной точки неэволюционными участками конечной величины. Эти волны в работе назва-

ны ударными волнами второго типа Подобная ситуация встречалась раньше в газовой динамике и теории продольных упругих волн [6-8], но там она возникала при специального вида уравнении состояния В классической теории упругости ударные волны такого типа обнаружены впервые Ответственной за их появление является малая волновая анизотропия

Для среды с тригональной симметрией и упругим потенциалом (6) ударная адиабата имеет вид, представленный на рис б Росту энтро-

Рис б

пии соответствуют заштрихованные области Жирной линией выделены эволюционные участки, два из которых прилежат к начальной точке, и имеются еще участки с ударными волнами второго типа

Для ударных волн конечной амплитуды в среде с упругим потенциалом (7) уравнение ударной адиабаты имеет вид

(? ~~ л)~ и2щ) = 9{и1 ~ ~ иг)

Вид этой кривой и расположение эволюционных участков на ней зависят от того, на каком участке графика <р(г) находится начальная точка (ро, представляющая состояние перед фронтом На рис 7 (а) начальная точка лежит левее точки перегиба (К < г~), на рис 7 (6) -правее (Л > г~) Как и прежде эволюционные участки выделены жирной линией и имеются ударные волны второго типа Заметим, что для

Рис 7

волн конечной интенсивности встречаются ситуации, когда на некоторых частях ударной адиабаты требование неубывания энтропии может оказаться более сильным, чем эволюционность Волны конечной интенсивности в сжимаемых упругих средах с малой анизотропией рассмотрены в [9]

Неединственность решений автомодельных задач, вызванная использованием ударных волн второго типа, в газовой динамике была устранена [8] с помощью исследования структуры ударных волн Поэтому и для упругих ударных волн проведено исследование их структуры Для этого в малой области, содержащей фронт скачка, разрыв заменяется непрерывной функцией с большими производными по х В этой области гиперболическая система теории упругости (8) была дополнена членами с производными более высокого порядка [10] Конечно, результат решения задачи о структуре зависит от выбора добавленных членов, те от вида усложненной модели Так как на фронте ударной волны предполагается рост энтропии, ведущий к необратимости, то усложненная модель должна содержать механизм диссипации В диссертации в качестве такого механизма выбрана вязкость, и структура изучается на базе модели вязкоупругой среды Кельвина-Фойхта, когда в уравнения импульсов добавляются вторые частные производных по пространству с постоянным скалярным коэффициентом вязкости и

дуа __ д_ д_ ^дг)а дУа _ диа а — 1 2 (12)

д1 дх диа дх дх ' дх дЬ ' '

Стационарной структурой называют решение этой системы в виде бегущей волны, скорость которой совпадает со скоростью исследуемого разрыва

Иа = Иа(0. «<* = «<»(£)> £ = Wt - X

Это переводит систему (12) в систему обыкновенных дифференциальных уравнений, для которой условия на ±оо представлены значениями функций иг впереди и сзади фронта скачка Для системы уравнений эти состояния служат стационарными точками Решение в виде стационарной структуры существует, если у системы найдутся такие интегральные линии, которые выходят из стационарной точки, представляющей состояние перед фронтом, и с ростом времени входят в другую стационарную точку, представляющую состояние за фронтом Для слабонелинейных сред с анизотропией общего типа (4) и с тригональ-ной симметрией (6) такому испытанию были подвергнуты все ударные волны, с любой скоростью W Оказалось, что для всех эволюционных ударных волн стационарная структура существует, и из задачи о структуре не возникает никаких дополнительных соотношений на разрыве, которые могли бы изменить картину эволюционноси Таким образом, исследование структуры подтвердило, что отобранные выше эволюционные ударные волны имеют право на реализацию

В Главе 4 для слабонелинейной среды с упругим потенциалом (4) и анизотропией общего вида дано решение двух классических автомодельных задач о внезапном изменении напряжений на границе предварительно деформированного упругого полупространства (аналог задачи "о поршне"в газовой динамике) и задачи о распаде произвольного начального разрыва Решения задач строятся из последовательностей плоских волн, идущих от границы в упругое полупространство в порядке убывания скоростей Последовательности состоят из автомодельных (центрированных) волн Римана и эволюционных ударных волн, между которыми имеются области однородных состояний

В задаче о поршне полупространство х > 0 при t < О обладает однородной деформацией Ux = const В момент t = 0 на границе х = О создается и далее остается постоянной при t ^ О новая деформация с компонентами и* — const От границы в область х > 0 первой идет ква-

зипродольная волна, которая уходит далеко вперед, так как ее скорость на конечную величину отличается от скоростей двух квазипоперечных волн. Состояние за квазипродольной волной легко определимо и далее служит фоном, от которого отсчитываются компоненты {Л, в задаче о квазипоперечных волнах. Для фиксированного начального состояния 111,1/2 строится решение задачи при любых граничных состояниях и*, которые можно представить фазовой плоскостью и\,иНачальное состояние на этой плоскости представлено точкой А{11\, С/г)-

Когда состояние и\ на границе полупространства находится на интегральной кривой неопрокидывающейся волны Римана, проходящей через точку А, или на эволюционном участке ударной адиабаты с начальной точкой А, то решение в области х > 0 состоит соответственно из одной волны Римана или одной ударной волны. Для всех прочих состояний и* строятся последовательности волн. Вся плоскость разбивается на области, точкам каждой из которых соответствует своя последовательность волн (рис. 8). Буквами и /?2 обозначены медлен-

1 я2Б1

2

3

4

5

6

1' ед 2'

3' б'

Рис. 8:

ные и быстрые волны Римана, буквами и - медленная и быстрая ударные волны, - быстрые ударные волны второго типа, -

ударные волны Жуге. Последовательности могут содержать от двух

до четырех различных волн Особая роль в построении решения принадлежит ударным волнам Жуге Их скорости совпадают с характеристическими скоростями перед или за фронтом, поэтому они могут примыкать спереди или сзади к волнам Римана того же типа, причем непосредственно, без промежутка с однородным состоянием

При построении решения важным является не только составление последовательностей волн, но и определение границ на плоскости и\, и*2 между областями с разными решениями Установлено, что все области точно примыкают одна к другой, не оставляя мест с отсутствием решения Обнаружено, что имеются области, которые перекрываются с соседними (5-5' и 6-6') На рис 8 зона перекрытия заштрихована Для значений и* из этой области решение автомодельной задачи неединственно (двузначно)

Аналогичное построение и разбиение плоскости на области с

разной формой решения проведено для среды с я < О В этом случае тоже обнаружена область неоднозначности

Конструкция решения может меняться в зависимости от соотношения между величинами начальной деформации ЕД, £/г и параметра анизотропии С? В средах с х > 0 при определенных соотношениях (когда С Я2) область неединственности пропадает В средах с х < 0 она присутствует всегда

Существование области неоднозначности автомодельного решения является совершенно новым фактом в классической теории упругости Ее появление обусловлено наличием у среды малой волновой анизотропии При этом анизотропия может быть как угодно малой С ее уменьшением форма всех границ областей с разными формами решения приближается к окружностям и лучам, но область неединственности не уменьшается Вершина сектора неединственности (и при н > 0, и при к < 0) приближается к началу координат, а угол раствора сектора остается конечным И только при полном отсутствии анизотропии оба решения в указанном секторе совпадают между собой и двузначность исчезает

В диссертации не стоял вопрос о выборе одного из двух решений при выходе на автомодельный режим Для этого требуется решение

нестационарной задачи Имеются работы [11,12], в которых численным образом решалась нестационарная задача с выходом при £ —► оо на автомодельный режим, принадлежащий области неоднозначности Исследование показало, что в зависимости от задания начальных условий возможен предельный выход и на одно и на другое автомодельное решение Но это исследование велось с выходом за пределы модели теории упругости, с использованием вязко-упругой среды, где вязкость затем устремлена к нулю В рамках классической теории упругости, без привлечения дополнительного усложнения модели провести отбор автомодельного решения нельзя и обнаруженная неоднозначность является неустранимой

Вторая классическая автомодельная задача - о распаде произвольного начального разрыва - состоит в том, что имеются два упругих полупространства с различными начальными однородными состояниями и, может быть, даже различными упругими модулями В начальный момент времени они приводятся в соприкосновение, и от плоскости контакта в оба полупространства идут системы плоских волн, которые и подлежат определению Сначала в более грубом (линейном) приближении решается задача в малой области контактного разрыва и находятся с достаточной точностью значения граничных параметров по обе стороны от него После этого задача сводится к двум задачам о поршне с последовательностями волн, идущих от плоскости контакта в оба полупространства по разные стороны от границы Решение обладает теми же особенностями в виде возможности появления областей неоднозначности Это свойство автомодельных решений необходимо учитывать при построении решений задач, содержащих взаимодействующие ударные волны, а также при создании алгоритмов вычислительных схем, базирующихся на принципе распада произвольного разрыва

В диссертации предлагается некоторый способ, который позволяет указать достаточные условия появления неединственности при решении автомодельных задач с заданным набором начально-граничных параметров, не проводя достаточного сложного полного исследования задачи, а опираясь на вид ударной адиабаты начального состояния и особенности расположения эволюционных участков на ней

В Заключении кратко изложены результаты и сформулированы Выводы

1 Построены упругие потенциалы для моделей сред, описывающих распространение одномерных плоских волн в разных ситуациях и при разных нелинейных и анизотропных свойствах среды Отмечено, что для нелинейных волн небольшой интенсивности нелинейность у поперечных упругих волн проявляется в более высоком приближении, чем у продольных и газодинамических,

2 Для гиперболической системы квазилинейных одномерных уравнений теории упругости получены решения в виде волн Римана Найдены характеристические скорости и отмечена их зависимость от нелинейности и анизотропии, в том числе вызванной предварительной деформацией Построены интегральные кривые быстрых и медленных квазипоперечных волн на фазовой плоскости деформаций сдвига Они представлены двумя семействами взаимно ортогональных линий с особыми точками, положение которых определяется анизотропией среды

3 Для движений с разрывами найдено множество состояний, в которые можно совершить переход скачком из фиксированного начального состояния с соблюдением законов сохранения (ударная адиабата) Для квазипоперечных ударных волн построена и исследована проекция ударной адиабаты на фазовую плоскость деформаций сдвига

На ударной адиабате выделены области, отвечающие соблюдению второго закона термодинамики - принципу неубывания энтропии на разрыве, и состояния, которые одновременно с термодинамическим требованием удовлетворяют условиям эволюционности (необходимым условиям устойчивости разрыва)

Показано, что для квазипродольных ударных ударных волн требование эволюционности и термодинамическое совпадают Для квазипоперечных ударных волн волн небольшой интенсивности условия эволюционности более строгие и целиком включают в себя термодинамическое

4 Введено понятие ударных волн Жуге (по аналогии с газовой динамикой), у которых скорость разрыва совпадает с характеристической скоростью перед или за фронтом разрыва Эти состояния служат границами эволюционных участков на ударной адиабате Соотношения

эволюционное™ делят все квазипоперечные ударные волны на быстрые и медленные

На ударной адиабате квазипоперечных волн указано количество и расположение участков, для которых выполнены условия эволюцион-ности (эволюционных участков ударной адиабаты) В соответствии с теорией гиперболических систем Лакса, к начальному состоянию всегда примыкают эволюционные участки быстрой и медленной ударных волн Изменения величин в этих волнах могут быть сделаны бесконечно малыми, и в пределе они совпадают с изменениями в волнах Римана Поэтому ударная адиабата в фазовом пространстве деформаций сдвига касается в начальной точке интегральных кривых волн Римана, имея в этой точке самопересечение

5 Обнаружено, что для всех рассмотренных моделей имеются еще эволюционные участки квазипоперечных ударных волн, не примыкающие к начальной точке Скачки в такие состояния имеют конечную величину и не могут быть сделаны как угодно малыми В классической теории упругости ударные волны такого типа обнаружены впервые Показано, что причиной указанного свойства квазипоперечных ударных волн является наличие у начального состояния анизотропии в плоскостях, параллельных фронту

6 Показано, что имеются квазипоперечные неэволюционные ударные волны, которые можно рассматривать как две слившиеся эволюционные быструю и медленную, идущие с одинаковыми скоростями

7 Для волн небольшой интенсивности (как в модели с анизотропией общего вида, так и для сред с тригональной симметрией) исследована задача о структуре всех квазипоперечных разрывов На основе модели вязкоупругой среды Кельвина-Фойхта показано, что все эволюционные разрывы обладают стационарной структурой

8 Построено решение автомодельной задачи о действии внезапного изменения нагрузки на границе однородного упругого предварительно деформированного полупространства Решение состоит из последовательности автомодельных волн Римана и эволюционных ударных волн, следующих одна за другой в порядке убывания скоростей При заданном фиксированном начальном состоянии фазовая плоскость заданных

на границе компонент сдвига разбита на области, для каждой из которых указана конструкция решения и положение границы области

9 На плоскости граничных деформаций обнаружены области, для которых решение автомодельной задачи оказалось неединственным Показано, что появление областей неединственности связано с наличием у начального состояния среды волновой анизотропии Области неединственности не исчезают и сохраняют конечные размеры, когда анизотропия становится как угодно малой, но отличной от нуля

Неединственность решений автомодельных задач в нелинейной теории упругости обнаружена впервые и ставит для дальнейшего вопрос о выборе реализующегося решения В работе этот вопрос не рассматривается Разрешить его невозможно без выхода за пределы модели упругого тела и усложнения системы гиперболических уравнений дополнительными членами В рамках теории упругости обнаруженная неоднозначность неустранима

10 Для волн небольшой интенсивности построено решение классической задачи о распаде произвольного начального разрыва Решение состоит из последовательностей простых и эволюционных ударных волн, идущих от границы раздела в каждое полупространство В решении также может появляться неединственность для некоторых областей условий на контакте

11 Предложен некоторый достаточный признак, по которому можно предвидеть возможность появления неединственности, не проводя полного построения решения автомодельной задачи, а по виду диаграммы эволюционности Указанное свойство может быть обобщено на другие гиперболические системы, полученные из законов сохранения

Я выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю и постоянному соавтору Андрею Геннадьевичу Куликовскому за доброе внимание и помощь в работе

Список литературы

[1] Bland D R Nonlinear Dmamic Elasticity Toronto etc Waltham, 1969 = Бленд Д Р Нелинейная динамическая теория упругости M Мир, 1972 183 с

[2] Lax, PD Hyperbolic systems of conservation laws II // Communs Pure Appl Math 1957 V 10 4 P 537-566

[3] Куликовский А Г О волнах Римана в магнитной гидродинамике // ДАН СССР 1958 т 121, № 6

[4] Куликовский А Г и Любимов Г А Магнитная гидродинамика M , Физматгиз 1962 246 с

[5] Куликовский А Г Особенности поведения нелинейных квазипоперечных волн в упругой среде при малой анизотропии // Тр МИАН СССР 1989 Т 186 С 132-139

[6] Галин Г Я О распространении возмущений в средах с нелинейной зависимостью напряжений от деформаций и температуры // Докл АН СССР 1958 Т120 N 4 С 730-733

[7] Галин Г Я Об ударных волнах в средах с произвольным уравнением состояния // Докл АН СССР 1958 Т119 N 6 С 1106-1109

[8] Галин Г Я К теории ударных волн // ДАН СССР 1959 Т 127, № 1 С 55-58

[9] Куликовский А Г Влияние малой анизотропии на свойства ударных волн в сжимаемой упругой среде // ПММ 1995, Т 59 вып 5, С 793-798

[10] Куликовский А Г Сильные разрывы в течениях сплошных сред и их структура // Тр МИАН СССР 1988 Т 182 С 261-291

[11] Чугайнова А П О формировании автомодельного решения в задаче о нелинейных волнах в упругом полупространстве // ПММ 1988 Т 52, вып 4 С 692-697

[12] Чугайнова А П О выходе нелинейных волн на автомодельный режим в задаче о действии внезапного изменения нагрузки на границу упругого полупространства // Изв АН СССР, МТТ1990 Т 25, №3 С 187-189

Основные публикации по теме диссертации

1 Куликовский А Г, Свешникова Е И Об ударных волнах, распространяющихся по напряженному состоянию в изотропных нелинейно-упругих средах // ПММ 1980 Т 44, вып 3, С 523-534

2 Свешникова Е И Простые волны в нелинейно-упругой среде // ПММ 1982 Т 46 Вып 4 С 642-646

3 Куликовский А Г, Свешникова Е И Исследование ударной адиабаты квазипоперечных ударных волн в предварительно напряженной упругой среде // ПММ 1982 т46 вып 5 с 831-840

4 Свешникова Е И Квазипопречные ударные волны в упругой среде при специальных видах начальной деформации //ПММ 1983 Т 47, вып 4, С 673-678

5 Куликовский А Г , Свешникова Е И О некоторых свойствах ударной адиабаты вазипоперечных упругих волн // ПММ 1984 т48 вып 5 с 793-798

6 Куликовский А Г, Свешникова Е И Автомодельная задача о действии внезапной нагрузки на границу упругого полупространства //ПММ 1985 т49 вып2 с284-291

7 Куликовский А Г, Свешникова Е И Нелинейные волны, возникающие при изменении напряжений на границе упругого полупространства Сб Вопросы нелинейной механики сплошной среды Таллинн Валгус 1985 с 133-145

8 Куликовский А Г, Свешникова Е И О структуре квазипоперечных упругих ударных волн//ПММ 1987 т51 вып 6 с 926-932

9 Куликовский А Г, Свешникова Е И Нелинейные волны в слабоанизотропных упругих средах//ПММ 1988 т52 вып 1 с 110-115

10 Куликовский А Г, Свешникова Е И О распаде произвольного начального разрыва в упругой среде // ПММ 1988 т52 вып 6 с 1007-1012

11 Куликовский А Г, Свешникова Е И Волны Римана в упругой среде при малой анизотропии // ПММ 1993 т57 вып 3. с 90-101

12 Свешникова Е И Ударные волны в слабоанизотропном упругом несжимаемом материале// ПММ 1994 т 58 вып 3 с 521-530

13 Куликовский А Г, Свешникова Е И О существовании и единственности автомодельных решений при наличии точек Жуге на ударной адиабате // ПММ 1996 т60 вып 1 с 66-71

14 Куликовский А Г, Свешникова Е И Ударные волны в упругих средах при исчезающее малой анизотропии Сб Материалы Между-нар конфер "Чебышевские чтения" М МГУ 1996 т2 с 405-408

15 Куликовский А Г, Свешникова Е И Нелинейные волны в упругих средах М Моек Лицей, 1998 412 с

16 Свешникова Е И Особенности эволюции упругих ударных волн при вырожденных начальных условиях // Труды МИАН 1998 т223 с 270-275

17 Куликовский А Г, Свешникова Е И Признак несуществования или неединственности решений автомодельных задач // ПММ 2001 т 65 вып 6 с 971- 982

18 Куликовский А Г, Свешникова Е.И , А П Чугайнова О неединственности решений нелинейной теории упругости // Труды математического центра им Лобачевского Казанское математическое общ-во 2002, т 16, с 6-25

19 Куликовский А Г , Свешникова Е И Влияние изменения энтропии на форму ударной адиабаты квазипоперечных упругих волн // ПММ 2003, т 67 вып 1, с 77-87 А Г Куликовским

20 Авдеева А Д , Свешникова Е И Квазипоперечные ударные волны в упругой среде с усложненным упругим потенциалом //Известия РАН, Механика твердого тела, 2004, № б, с 102 - 113

21 Свешникова Е И Волны Римана в упругой среде с малой кубической анизотропией // ПММ 2005, т69, вып 1, с 75 - 83

22 Куликовский А Г, Свешникова Е И , А П Чугайнова Некоторые проблемы нелинейной динамической теории упругости // Труды МИАН, 2005, т251, С 173-199

23 A G Kuhkovsku, А Р Chugamova, Е I Sveshnikova Nonumqueness of solution to nonlinear of the elasticity theory // Journal of Engineering Mathematics Springer 2006 Vol 55 No 1-4 P 97-110

24. Свешникова E И Ударные волны в упругой среде с кубической анизотропией//ПММ 2006 Т70 Вып 4 С 673-683

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова

Подписано в печать 0$ ¿7?, О В Формат 60x90 1/16 Уел печ л 2,0 Тираж /00 экз Заказ

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

Введение

1 Глава 1. Постановка задачи и описание среды

1.1 Дифференциальные уравнения плоских одномерных упругих волн.

1.1.1 Основные понятия модели упругого тела.

1.1.2 Уравнения для одномерных плоских волн.

1.2 Задание упругого потенциала среды.

1.2.1 Слабонелинейная изотропная среда с предварительной деформацией.

1.2.2 Уточненная модель изотропной упругой среды

1.2.3 Ортотропная и трансвельсально изотропная упругие среды с малыми деформациями.

1.2.4 Упругая среда с тригональной симметрией.

1.2.5 Упругий потенциал среды общего вида.

2 Глава 2. Волны Римана

2.1 Непрерывные движения. Волновые решения системы дифференциальных уравнений

2.1.1 Малые возмущения. Линейные волны.

2.1.2 Уравнения для волн Римана и некоторые их свойства

2.2 Волны Римана в слабонелинейной среде при малой анизотропии произвольного вида.

2.2.1 Квазипродольные волны Римана.

2.2.2 Квазипоперечные волны Римана. Характеристические скорости.

2.2.3 Интегральные кривые квазипоперечных волн Римана и эволюция возмущений.

2.2.4 Волны Римана в случае волновой изотропии

2.3 Волны Римана в среде с тригональной симметрией

2.4 Волны Римана в упругом кубическом кристалле.

2.5 Волны Римана конечной амплитуды.

3 Глава 3. Ударные волны

3.1 Общие правила описания упругих ударных волн.

3.1.1 Условия на разрыве. Ударная адиабата. Условие неубывания энтропии.

3.1.2 Условия эволюционности разрыва.

3.1.3 Структура ударной волны.

3.2 Ударные волны небольшой интенсивности в среде с малой анизотропией общего вида.

3.2.1 Квазипродольные ударные волны

3.2.2 Квазипоперечные ударные волны. Ударная адиабата

3.2.3 Условие неубывания энтропии на скачке.

3.2.4 Условия эволюционности скачка. Скорость фронта разрыва.

3.2.5 Диаграмма эволюционности. Эволюционные участки ударной адиабаты.

3.2.6 Положение участков эволюционности на ударной адиабате.

3.2.7 Представление некоторых неэволюционных разрывов двумя эволюционными, идущими с одинаковой скоростью.

3.2.8 Частные виды начальной деформации.

3.2.9 Квазипоперечные ударные волны при исчезающе малой анизотропии G/R

3.2.10 Влияние уточнения выражения для упругого потенциала на ударную адиабату.

3.2.11 Структура квазипоперечных ударных волн.

3.3 Ударные волны в среде с кубической анизотропией

3.3.1 Условия на разрыве. Ударная адиабата.

3.3.2 Условие неубывания энтропии на разрыве.

3.3.3 Условия эволюционности разрывов.

3.3.4 Исследование структуры ударных волн.

3.4 Ударные волны конечной амплитуды

3.4.1 Упругий потенциал. Условия на разрыве.

3.4.2 Ударные волны в изотропной среде

3.4.3 Ударные волны в среде с малой анизотропией

3.4.4 Ударные волны в среде с анизотропией частного вида

4 Глава 4. Построение решений автомодельных задач

4.1 Задача о внезапном изменении нагрузки на границе полупространства (Задача "о поршне").

4.1.1 Постановка задачи и схема решения.

4.1.2 Построение решения в средах с я: > 0.

4.1.3 Построение решения в средах с к < 0.

4.2 Задача о распаде произвольного начального разрыва

4.3 О неединственности решения автомодельных задач

4.3.1 Строение решений в областях неединственности

4.3.2 Достаточный признак появления неединственности

Диссертация посвящена изучению распространения плоских одномерных волн в слабоанизотропных упругих средах. При этом основная часть содержания и наиболее интересные результаты относятся к нелинейным волнам малой амплитуды.

Выбор волн малой амплитуды обусловлен двумя обстоятельствами. Во-первых, это общность подхода, связанная с использованием степенного разложения выражения для внутренней энергии среды по компонентам деформации и изменению энтропии. Последующее изучение зависимости поведения волн от коэффициентов разложения дает возможность получить результаты сразу для всех невырожденных моделей сред, допускающих указанное разложение.

Во-вторых, несмотря на очевидную простоту описания волн малой амплитуды, их изучение для упругих сред, близких к изотропным, содержало необходимость выработки новых подходов к подобным ситуациям и, соответственно, возможность получения новых неожиданных результатов. Дело в том, что подходы к изучению слабонелинейных волн, давно развиваемые в механике жидкости и газа, а также в нелинейной акустике, были приспособлены в основном для случая, когда изучаемые волны переносятся одним семейством характеристик. Для таких ситуаций были получены уравнения: при отсутствии диссипации и дисперсии - уравнение Хопфа, при наличии диссипации - уравнение Бюргерса, при наличии дисперсии - уравнение Кортевега-де Фриза. Решения этих уравнений хорошо изучены.

В упругой среде имеется три семейства характеристик, соответствующих трем типам волн, распространяющихся в среде в каждую сторону. Если среда изотропна, линейные волны делятся на продольные и поперечные. При этом продольные волны, распространяющиеся в любом направлении, связаны с одним семейством характеристик, а поперечные - с двумя семействами характеристик, имеющих одинаковые скорости. Когда среда обладает малой анизотропией, а волны имеют малую амплитуду, скорости характеристик, которые в изотропной среде совпадали, становятся различными, оставаясь близкими. Сами волны перестают быть чисто продольными и чисто поперечными, становясь квазипродольными и квазипоперечными. Квазипродольные волны малой амплитуды описываются упомянутыми выше уравнениями и хорошо развитыми методами и не представляют существенного интереса для дальнейшего исследования.

Поскольку скорости квазипоперечных волн близки между собой и на конечную величину отличаются от скоростей других волн, то это говорит о том, что квазипоперечные волны, относящиеся к обоим семействам характеристик с близкими скоростями, следует рассматривать совместно, и о том, что их можно рассматривать независимо от возмущений, связанных с другими семействами характеристик, если начальные и граничные условия обеспечивают малость этих возмущений.

Основным источником качественно новых свойств и нестандартного поведения нелинейных упругих волн служит присутствие анизотропии среды в плоскостях, параллельных фронту. Для нее можно ввести понятие волновой анизотропии. В диссертации всегда имеется ввиду именно волновая анизотропия. Она может быть естественным свойством материала (например, в слоистых или волокнистых средах), но может быть также вызвана предварительной деформацией среды в плоскостях, параллельных фронту. Эта деформация не меняется при прохождении плоской волны и является, таким образом, свойством фона, по которому идет волна. Главный интерес представляют волны, в которых анизотропия мала и вызывает в поведении волн эффекты того же порядка, что и нелинейность (или меньше). Именно в этом случае квазипоперечные волны имеют близкие характеристические скорости и требуют совместного рассмотрения. Очевидно, анизотропия, вызванная предварительной деформацией, может присутствовать практически во всех реальных материалах и в то же время может быть как угодно малой.

Уравнения нелинейной теории упругости представляют собой квазилинейную гиперболическую систему, однородную по порядку производных. Она обладает классом одномерных нестационарных решений, называемых простыми волнами, или волнами Римана. Наряду с непрерывными решениями для нее необходимо рассматривать также решения, содержащие сильные разрывы. В этом обнаруживается родство одномерных нелинейных задач теории упругости с аналогичными задачами из других областей механики сплошной среды, таких как газовая динамика и магнитная гидродинамика [1-3]. Диссертация содержит исследование волн Римана, разрывов и решений их содержащих.

Изучению плоских простых и ударных волн в изотропной упругой среде при отсутствии начальных деформаций или начальных деформациях специального вида, не нарушающих изотропии начального состояния, посвящены, например работы [4-10]. В монографии [4] в произвольной изотропной сжимаемой среде предполагается слабая нелинейность, что позволяет вести исследование разложением по малым деформациям. Волны разделяются на квазипродольные и квазипоперечные. Описаны волны Римана и указаны условия их опрокидывания. Одна из квазипоперечных волн в процессе движения не меняет своей формы и обладает круговой поляризацией, другая - плоскополяризованная. Описано множество состояний за ударной волной, распространяющейся по недефор-мированному состоянию, и скорости ударных волн. Вычислено изменение энтропии в ударных волнах небольшой интенсивности. Оказалось, что в квазипродольных волнах оно имеет третий порядок по амплитуде скачка, в поперечных плоскополяризованных - четвертый, а в поперечных волнах с круговой поляризацией изменение энтропии отсутствует. В зависимости от знака некоторой комбинации упругих констант ус квазипоперечные волны, распространяющиеся по изотропному начальному фону, могут быть либо только неопрокидывающимися волнами Римана (в средах с ус > 0), либо только ударными волнами (в средах с к < 0).

В работах [7-10] изучались нелинейные волны произвольной интенсивности в предварительно деформированных средах. Деформированное состояние, как начальное, так и текущее, характеризовалось двумя величинами - продольным сжатием в направлении, перпендикулярном фронту, и модулем деформации сдвига в направлениях, параллельных фронту. При подходящем выборе состояния, принимаемого за начальное, возникает изотропия в плоскости постоянной фазы волн. Поэтому оказалось, что одна из волн обладает круговой поляризацией, а две других - плоскополяризованные.

В работах [9-14] изучались нелинейные волны произвольной интенсивности в упругой среде некоторого специального вида, у которой упругий потенциал представлен суммой двух слагаемых, зависящих соответственно от первого и второго инвариантов тензора линейных деформаций. Даже в случае произвольных начальных деформаций упругий потенциал такой среды не зависит от направления вектора сдвиговых деформаций и является функцией только двух переменных - продольной деформации и модуля сдвиговых деформаций. Свойства нелинейных волн в такой среде похожи на те, которые были получены в [7-10]. В частности, одна из волн обладает круговой поляризацией.

Наличие круговой поляризации у одной из волн является следствием специального вида функции внутренней энергии. Внутренняя энергия зависит не от трех переменных, характеризующих деформацию, как это положено в общем случае, а только от двух - деформации сжатия в направлении нормали к фронту и модуля деформации сдвига. Подобным свойством обладает среда с вмороженным в нее магнитным полем в магнитной гидродинамике. Именно в магнитной гидродинамике впервые было обнаружено существование вращательной простой волны [15] и вращательного разрыва [16]. Нелинейные волны произвольной интенсивности в магнитной гидродинамике подробно описаны в [3]. Для них характерно разделение нелинейных волн на вращательные и плоскопо-ляризованные, независимость взаимодействия разрывов с плоскополяри-зованными и поперечно поляризованными возмущениями.

Зависимость упругого потенциала среды в общем случае от трех компонент деформации, которые меняются в плоских волнах, происходит в результате анизотропии начального фона: среда по-разному реагирует на сдвиги в различных направлениях, что не улавливается ни одной из моделей, описанных выше. Это снимает вырождение задачи, вызванное специальным видом симметрии в постановке задачи.

В работе [17] приведен обзор развития исследований волн в упругих средах с учетом квадратичной и кубической нелинейности. Отмечено, что волны в средах с квадратичной нелинейностью исследованы существенно больше. При изучении нелинейных, в том числе сдвиговых волн, в работах [18-20] использована пятиконстантная модель Мурнагана. Волны с кубической нелинейностью рассмотрены в [21]. Во всех этих работах среда принималась изотропной.

В [22] дано подробное обсуждение представления в общем виде условий на фронте ударных волн и фронтов фазовых переходов в сплошных средах, в том числе с учетом поверхностных источников и действия электрического и магнитного полей. Приведены для этих случаев уравнения адиабаты Гюгонию.

Во многих работах последних лет (в основном по линейным волнам, но и по нелинейным тоже) отмечается важность учета предварительных деформаций и анизотропии среды, в том числе вызванной начальными деформациями [23-26]. Наличие анизотропии среды, в том числе и вызванной произвольной начальной деформацией, приводит к тому, что уже в линеаризованной постановке обнаруживается различие в скоростях поперечных волн. Зависимость характеристических скоростей линеаризованных волн от состояния фона приведена, например, в известной монографии [23]. Монография [24] посвящена систематическому изложению теории распространения упругих волн в сжимаемых и несжимаемых материалах с начальными напряжениями. Указаны качественные и количественные эффекты влияния начальных напряжений на характер волновых процессов. Результаты получены в рамках линеаризованной теории. Распространение плоских нелинейных волн по предварительно деформированному состоянию в изотропной упругой среде при тех или иных условиях рассматривались в [27-30]. В работе [27] начальная деформация и вызванная ей анизотропия фона считается конечной, что позволило рассмотреть ударные волны очень слабой интенсивности (окрестность начального состояния на ударной адиабате). Указана возможность найти параметры состояния за скачком, скорость разрыва и изменение энтропии в виде ряда по интенсивности скачка. Показано, что условия эволюционности для изучаемых слабых волн выполняются одновременно с условиями роста энтропии.

В работах [28-30] с использованием разложений внутренней энергии среды в ряд по степеням деформации (аналогично [4]) исследовались выражения для скорости скачков при определенных специальных видах начальной деформации. Получен ряд частных результатов: найдены условия существования чисто продольных и чисто поперечных ударных волн, показано, что изменение энтропии в квазипродольных волнах имеет третий порядок и выяснен его знак, показано, что для квазипоперечных волн в третьем порядке по амплитуде скачка изменения энтропии не происходит. Эволюционность ударных волн не исследовалась. Впоследствии оказалось, что некоторые из найденных ударных волн, в частности, чисто поперечные неэволюционны.

В данной работе для изучения плоских нелинейных волн предлагается несколько моделей упругой среды. Их объединяет то, что во всех случаях у фона, по которому распространяются волны, предполагается наличие малой волновой анизотропии. Наиболее полно проведено исследование волн не слишком большой интенсивности, когда можно пользоваться разложением в ряды по степеням малой амплитуды всех интересующих характеристик движения, аналогично тому, как это было сделано в( [4]) в случае изотропной среды. Разложение ведется до первых (главных) членов, несущих нелинейность и анизотропию. Такое представление возможно для сред самого общего вида. При этом для изотропной среды с предварительными деформациями использован упругий потенциал в виде разложения по инвариантам тензора конечных деформаций с учетом большего числа членов, чем принято в модели Мурнагана, так чтобы в разложении были члены четвертого порядка по компонентам деформации. Предположение о малости начальных деформаций и анизотропных свойств позволяет провести исследование для всех возможных значений фазового пространства деформаций в пределах принятой точности. Указано, какие именно элементы предварительной деформации материала вносят вклад в волновую анизотропию фона.

Чтобы показать, как характер анизотропии разного рода влияет на поведение нелинейных волн, предложена модель упругой среды с анизотропией другого строения, а именно материал, обладающий свойствами симметрии кубического кристалла. Линейные волны в такой среде описаны в [31]

Для волн конечной (не малой) интенсивности предложено рассмотреть модель среды с изотропной нелинейностью произвольного общего вида и малой волновой анизотропией. При этом характер нелинейности может меняться при прохождении волны.

Для всех указанных сред проведено исследование нестационарных решений в виде волн Римана. Найдены характеристические скорости и указана в явном виде их зависимость как от интенсивности волн, так и от параметров анизотропии фона. Изменения деформаций при прохождении волн представлены в виде интегральных кривых в фазовом пространстве деформаций сдвига. Найдены условия опрокидывания волн Римана.

Изучение ударных волн базируется на интегральных законах сохранения массы, импульса и энергии и требовании второго закона термодинамики. Соотношения на разрыве позволяют найти множество состояний за скачком, в которые возможен ударный переход из заданного начального состояния с соблюдением законов сохранения. По аналогии с газовой динамикой это множество названо ударной адиабатой. В предполагаемом отсутствии выделения энергии на разрыве, состояния на ударной адиабате должны удовлетворять второму закону термодинамики в виде условия неубывания энтропии при переходе через фронт скачка.

Кроме того, ударные волны должны удовлетворять условиям эволю-ционности, которые представляют собой необходимые условия устойчивости фронта, т.е. условия корректности выставления граничных условий для линеаризованной задачи о взаимодействии ударной волны с малыми одномерными возмущениями. Для газовой динамики эти условия были предложены в [2], для произвольной гиперболической системы, выражающей законы сохранения в [32], а также [2], для магнитной гидродинамики в [33], а также [3].

Для всех предложенных моделей упругой среды найдена и исследована ударная адиабата квазипоперечных ударных волн. Ее проекция на фазовую плоскость двух компонент деформации сдвига представляет кривую, в виде петли с самопересечением в начальном состоянии. На ударной адиабате проведен отбор состояний, отвечающих условию неубывания энтропии, и выделены участки удовлетворяющие одновременно и требованиям эволюционности. При этом кроме эволюционных ударных волн, всегда существующих в области, примыкающей к начальному состоянию (согласно теореме Лакса), для всех моделей обнаружены ударные волны, амплитуды которых конечны и не могут быть сделаны как угодно малыми. На ударных адиабатах такие ударные волны представлены отрезками, отделенными от начального состояния конечными областями неэволюционных волн. Кроме того, оказалось, что существуют некоторые неэволюционные ударные волны, которые можно представить как две эволюционные, движущиеся с одинаковыми скоростями.

Важным критерием возможности реализации тех или иных ударных волн служит наличие у них структуры, внутри которой действуют дисси-пативные механизмы, ведущие к необратимости. Известно, что бывают случаи, когда решение автомодельных задач с использованием непрерывных волн и эволюционных (в указанном смысле) ударных волн оказывается неоднозначным [34-36]. Причиной может быть неправильное выделение реализующихся разрывов, входящих в решение. Требование существования структуры может в этих случаях дать дополнительные условия, что приведет к выделению разрывов, которые рассматриваются как реализующиеся [35-37]. В работе выполнено исследование структуры всех ударных волн с использованием диссипативного механизма на базе вязко-упругой среды Кельвина-Фойхта. Оказалось, что все ударные волны, отобранные по предыдущим правилам, обладают стационарной структурой и никаких новых реализуемых разрывов это исследование не выявило.

В работе проведено построение решения двух автомодельных задач - о действии внезапного изменения нагрузки на границе упругого полупространства (аналог задачи "о поршне"в газовой динамике) и задачи о распаде произвольного начального разрыва. В каждом случае решение состоит из последовательности неопрокидывающихся центрированных волн Римана и эволюционных ударных волн, следующих одна за другой в порядке убывания скоростей с однородными состояниями между волнами. В зависимости от начально-граничных параметров задачи последовательности могут содержать от одной до четырех различных волн.

При построении решений автомодельных задач обнаружено совершенно новое для классической нелинейной теории упругости явление. Оказалось, что при некоторых соотношениях между величинами, характеризующими начальную деформацию и анизотропию фона, имеются целые конечные области на фазовой плоскости деформаций сдвига, задающих граничные условия, для которых решение автомодельной задачи оказывается неединственным (двузначным). Наличие этого факта полностью обусловлено присутствием волновой анизотропии среды. При стремлении анизотропии к нулю размеры этих областей неединственности на фазовой плоскости остаются конечными. Однако на плоскости сектор, в котором имеющиеся решения существенно различаются, становится уже. При полном отсутствии анизотропии оба решения в указанных областях совпадают между собой. В данной работе не ставится вопрос о выборе решения, которое осуществляется в конкретных задачах. Этому посвящены работы других авторов [38-40].

Предложен некоторый достаточный признак, по которому можно судить о возможности появления неединственности для систем уравнений, выражающих законы сохранения, не проводя полного решения автомодельной задачи, только по виду свойств соотношений эволюционности.

Результаты данной работы получены аналитическими и качественными методами, и их справедливость не зависит от каких-либо дополнительных, не всегда хорошо контролируемых обстоятельств, которые всегда появляются в случаях использования численных методов.

Результаты диссертации охватывают целиком всю цепочку необходимых сведений об одномерных волнах малой амплитуды в слабоанизотропных упругих средах: построение моделей, исследование волн Римана и разрывов и, наконец, полное исследование решений классических автомодельных задач - задачи о поршне и задачи о распаде произвольного начального разрыва.

Выводы

1. Построены упругие потенциалы для моделей сред, описывающих распространение одномерных плоских волн в разных ситуациях и при разных нелинейных и анизотропных свойствах среды. Отмечено, что для нелинейных волн небольшой интенсивности нелинейность у поперечных упругих волн проявляется в более высоком приближении, чем у продольных и газодинамических.

2. Для гиперболической системы квазилинейных одномерных уравнений теории упругости получены решения в виде плоских волн Римана. Найдены характеристические скорости и отмечена их зависимость от нелинейности и анизотропии, в том числе вызванной предварительной деформацией. Построены интегральные кривые быстрых и медленных квазипоперечных волн на фазовой плоскости деформаций сдвига. Они представлены двумя семействами взаимно ортогональных линий с особыми точками, положение которых определяется анизотропией среды.

3. Для движений с разрывами найдено множество состояний, в которые можно совершить переход скачком из фиксированного начального состояния с соблюдением законов сохранения (ударная адиабата). Для квазипоперечных ударных волн построена и исследована проекция ударной адиабаты на фазовую плоскость деформаций сдвига.

На ударной адиабате выделены области, отвечающие соблюдению второго закона термодинамики - принципу неубывания энтропии на разрыве, и состояния, которые одновременно с термодинамическим требованием удовлетворяют условиям эволюционности (необходимым условиям устойчивости разрыва).

Показано, что для квазипродольных ударных ударных волн требование эволюционности и термодинамическое совпадают. Для квазипоперечных ударных волн волн небольшой интенсивности условия эволюционности более строгие и целиком включают в себя термодинамическое.

4. Введено понятие ударных волн Жуге (по аналогии с газовой динамикой), у которых скорость разрыва совпадает с характеристической скоростью перед или за фронтом разрыва. Эти состояния служат границами эволюционных участков на ударной адиабате. Соотношения эволюционности делят все квазипоперечные ударные волны на быстрые и медленные.

На ударной адиабате квазипоперечных волн указано количество и расположение участков, для которых выполнены условия эволюционности (эволюционных участков). В соответствии с теорией гиперболических систем Лакса, к начальному состоянию всегда примыкают эволюционные участки быстрой и медленной ударных волн. Интенсивность скачков в эти состояния может быть сделана бесконечно малой, и в пределе они совпадают с изменениями в волах Римана. Поэтому ударная адиабата в фазовом пространстве деформаций сдвига касается в начальной точке интегральных кривых волн Римана, имея в этой точке самопересечение.

5. Обнаружено, что для всех рассмотренных моделей имеются еще эволюционные участки квазипоперечных ударных волн, не примыкающие к начальной точке. Скачки в такие состояния имеют конечную величину и не могут быть сделаны как угодно малыми. В классической теории упругости ударные волны такого типа обнаружены впервые. Показано, что причиной указанного свойства квазипоперечных ударных волн является наличие у начального состояния анизотропии в плоскости фронта.

6. Показано, что имеются квазипоперечные неэволюционные ударные волны, которые можно рассматривать как две слившиеся эволюционные быструю и медленную, идущие с одинаковыми скоростями.

7. Для волн небольшой интенсивности (как в модели с анизотропией общего вида, так и для сред с тригональной симметрией) исследована задача о структуре всех квазипоперечных разрывов. На основе модели вязкоупругой среды Кельвина-Фойхта показано, что все эволюционные разрывы обладают стационарной структурой.

8. Построено решение автомодельной задачи о действии внезапного изменения нагрузки на границе однородного упругого предварительно деформированного полупространства. Решение состоит из последовательности автомодельных (центрированных) волн Римана и эволюционных ударных волн, следующих одна за другой в порядке убывания скоростей. При заданном фиксированном начальном состоянии фазовая плоскость заданных на границе компонент сдвига разбита на области, для каждой из которых указана конструкция решения и положение границы области.

9. На фазовой плоскости, представляющей граничные деформации, обнаружены области, для которых решение автомодельной задачи оказалось неединственным (двузначным). Показано, что появление областей неединственности связано с наличием у начального состояния среды волновой анизотропии. Области неоднозначности не исчезают с уменьшением анизотропии и сохраняют конечные размеры, когда анизотропия становится как угодно малой, но отличной от нуля. При полном отсутствии анизотропии оба решения в указанной области сливаются.

Неединственность решений автомодельных задач в нелинейной теории упругости обнаружена впервые и ставит для дальнейшего вопрос о выборе реализующегося решения. В работе этот вопрос не рассматривается. Разрешить его невозможно без выхода за пределы модели упругого тела и усложнения системы гиперболических уравнений дополнительными членами. В рамках теории упругости обнаруженная неоднозначность разумными подходами неустранима.

10. Для волн небольшой интенсивности построено решение классической задачи о распаде произвольного начального разрыва. Решение состоит из последовательностей простых и эволюционных ударных волн, идущих от границы раздела в каждое полупространство. В решении также может появляться неединственность для некоторых областей условий на контакте.

11. Предложен некоторый достаточный признак, по которому можно предвидеть возможность появления неединственности, не проводя полного построения решения автомодельной задачи, а по виду диаграммы эволюционности. Указанное свойство может быть обобщено на другие гиперболические системы, полученные из законов сохранения.

Я выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю и постоянному соавтору Андрею Геннадьевичу Куликовскому за доброе внимание и помощь в работе.

Заключение

В работе рассмотрены движения с одномерными плоскими нелинейными волнами в упругой среде. Предложено несколько моделей задания упругой среды, которые позволяют выявить особенности поведения нелинейных волн разных типов и в разных ситуациях. Модели задаются своей внутренней энергией единицы объема (упругим потенциалом) в виде функции компонент тензора деформаций и энтропии. Все исследования проводятся в переменных Лагранжа. Наиболее полное и подробное изучение выполнено для нелинейных волн небольшой интенсивности, когда применим метод разложения в ряды по малым амплитудам изменения деформаций. Произвольная функция компонент деформации и энтропии разложена в ряд по степеням амплитуд волн с удержанием такого количества членов разложения, которые позволяют отследть нелинейное поведение волн и влияние анизотропии в главных членах.

Оказалось удобным изучать нелинейное поведение квазипродольных и квазипоперечных волн отдельно. Для каждой из категорий многочлен, представляющий упругий потенциал, может быть упрощен. Для обнаружения нелинейного поведения квазипродольных волн в разложении достаточно ограничиться кубическими степенями по амплитудам, т.е. следующими после линейной модели. В этом квазипродольные волны аналогичны, в частности, слабонелинейным волнам в газовой динамике. И все их свойства качественно повторяют газодинамические. Поэтому в работе им внимания не уделяется.

Квазипоперечные волны, как на это уже указывалось в [4], в следующем после линейного приближении нелинейного поведения не обнаруживают. Необходимость вести разложение упругого потенциала до четвертых по амплитудам степеней указывает на то, что в зависимости касательных напряжений от деформаций сдвига нелинейность носит кубический характер, т.е. проявляется гораздо слабее, чем в волнах сжатия, и нужны более точные методы для ее изучения.

Полученная для упругого потенциала функция содержит всего три упругих постоянных, характеризующих среду. Одна из них - модуль сдвига /х, определяющий скорости линейных поперечных волн. Вторая упругая постоянная - коэффициент нелинейности х, который имеет конечную величину и может иметь любой знак в зависимости от направления выпуклости графика касательных напряжений от деформаций сдвига. Показано, что знак и качественным образом меняет все поведение нелинейных волн. Третья упругая постоянная д характеризует анизотропию среды, а вернее начального состояния фона, по которому распространяются волны.

В работе рассматривается анизотропия начального состояния в плоскостях, параллельных фронту, и поэтому не меняющаяся при прохождении плоских волн. Такая анизотропия названа волновой и только она фигурирует во всей работе. Она может присутствовать и в изотропной среде, вызванная предварительной деформацией состояния фона. В случае исходно изотропной среды получено выражение для коэффициента анизотропии д через компоненты е\ и е2 сжатия-растяжения вдоль главных осей тензора деформации в плоскостях, параллельных фронту волн, д = -(в! — е2). Чтобы эффекты анизотропии не подавляли проявление 2 нелинейности необходимо, чтобы коэффициент д при анизотропном слагаемом в разложении был мал, порядка квадрата амплитуды, а зависимость от текущих деформаций щ, щ представлена квадратичной зависимостью. Тогда нелинейные и анизотропные члены разложения будут иметь одинаковый порядок.

Проведена оценка достаточности точности принятого разложения путем добавления следующих членов в разложение упругого потенциала. Показано, что новых качественных эффектов в поведении нелинейных волн это не обнаруживает, и модель, содержащая только с главные члены разложения вполне улавливает все особенности поведения простых и ударных волн.

Для выяснения влияния вида анизотропии среды на поведение нелинейных волн рассмотрена модель некоторого специального вида, у которой в разложении упругого потенциала не оказалось анизотропных квадратичных по амплитудам слагаемых и, следовательно, нужно было учесть следующие - кубические - члены. Примером такого случая может служить среда с тригональной симметрией упругих свойств, в которой имеется симметрия относительно поворотов на углы 27г/3. Для такой среды выписан в явном виде упругий потенциал для описания квазипоперечных волн. Он характеризуется аналогичными тремя упругими постоянными. Представляет интерес частный случай, когда носителем нелинейности и анизотропии служит один и тот же член разложения.

Для изучения волн конечной интенсивности предложена среда с упругим потенциалом в виде суммы двух слагаемых - одно из них содержит изотропную нелинейность произвольного вида, второе - волновую анизотропию. Среда предполагается несжимаемой. Наиболее интересные эффекты поведения нелинейных волн связаны с предположением, что нелинейная зависимость напряжений от деформаций может иметь точку перегиба, а это значит, что при прохождении волны может меняться характер нелинейности, что для волн небольшой интенсивности соответствовало бы изменению знака коэффициента нелинейности ус. Исследование волн небольшой амплитуды показало, что это ведет к кардинальному изменению поведения волн.

Задание в явном виде упругого потенциала замыкает систему дифференциальных уравнений теории упругости. Для всех перечисленных моделей у этой гиперболической квазилинейной системы найдены и исследованы решения в виде простых волн (волн Римана). Для квазипоперечных волн найдены явные выражения характеристических скоростей двух пар волн, движущихся ортогонально фронту в обе стороны. Указана их зависимость от свойств среды и начальных деформаций сдвига. По величине характеристических скоростей они названы быстрыми и медленными. Различие скоростей обусловлено нелинейностью и анизотропией среды. Для волн небольшой интенсивности разность скоростей быстрых и медленных волн пропорциональна второй степени амплитуд. Это ведет к тому, что две квазипоперечные волны могут взаимодействовать между собой при движении, в то время как более быстрая квазипродольная со скоростью, отличной на конечную величину, всегда уходит вперед и не участвует во взаимодействиях. Это позволило рассматривать поведение квазипоперечных волн отдельно и независимо от квазипродольной.

Изменение величин в волнах Римана представлено на фазовой плоскости компонент сдвига щ и щ в виде интегральных кривых. Приведены уравнения для этих кривых и их изображение на указанной плоскости. Интегральные кривые представлены двумя семействами взаимно ортогональных линий, соответствующих быстрым и медленным волнам. Кривые имеют особые точки, в которых характеристические скорости быстрых и медленных волн совпадают. Для волн небольшой интенсивности особых точек две для среды с анизотропией общего типа и четыре в средах с тригональной симметрией; для модели, принятой здесь для волн конечной интенсивности особых точек три пары. Существование и положение особых точек определяется анизотропией среды, в изотропной среде все они сливаются в одну в начале координат на плоскости деформаций. В средах с волновой анизотропией решение в виде волн Римана у уравнений теории упругости существуют всегда (в отличие указанного в [4] ограничения). На интегральных кривых указаны направления изменения параметров, которые ведут к опрокидыванию волн и образованию разрывов. Эти направления существенно зависят от характера нелинейности. Отмечено, что невозможны волны Римана, ведущие к перемене знака деформаций щ и

Изучение ударных волн основано на использовании соотношений на разрывах, которые получены из законов сохранения массы, импульса, энергии. При заданном фиксированном деформированном состоянии перед разрывом эти соотношения позволяют найти множество состояний, в которые можно совершить переход скачком с соблюдением законов сохранения. Это множество в фазовом пространстве компонент деформации называют ударной адиабатой. Из-за большой разницы в скоростях движения квазипродольные и квазипоперечные волны при движении не взаимодействуют, квазипродольная всегда уходит вперед, создавая за собой легко определяемый фон, по которому затем движутся квазипоперечные волны. Далее обсуждаются только ударная адиабата квазипоперечных ударных волн и особенности их поведения.

Ударная адиабата квазипоперечных ударных волн найдена и изображена в виде проекции полной адиабаты на плоскость двух деформаций сдвига щ, щ (аналогично интегральным кривым волн Римана). Вследствие отсутствия источников массы, импульса, энергии на фронте скачка, ударная адиабата всегда проходит через начальную точку, представляющую состояние перед разрывом. Форма ее определяется видом упругого потенциала. Для слабонелинейной среды с анизотропией общего вида это кривая третьего порядка в виде петли с самопересечением в начальной точке и хвостами, уходящими в бесконечность вдоль асимптот. Для среды с тригональной симметрией ударная адиабата состоит из трех ветвей, тоже уходящих хвостами в бесконечность, две ветви имеют самопересечение в начальной точке, а третья ветвь через начальную точку не проходит. Для волн конечной интенсивности ударная адиабата может содержать несколько ветвей, в том числе изолированных и не проходящих через начальную точку. Во всех случаях в начальной точке имеется ортогональное самопересечение двух ветвей. Это отражает тот факт, что изменение параметров в бесконечно слабых скачках мало отличается от соответствующих изменений в непрерывных волнах Римана, поэтому в непосредственной близости начального состояния ветви ударной адиабаты касаются интегральных кривых волн Римана быстрого и медленного семейств.

На ударной адиабате квазипоперечных волн выделены те состояния за фронтам, которые подчиняются второму закону термодинамики, т.е. скачки происходят с неубыванием энтропии. Положение этих областей существенно зависит от нелинейных свойств среды. Для волн небольшой интенсивности - от знака коэффициента нелинейности х. Для волн конечной интенсивности - от графика зависимости модуля касательных напряжений от величины деформации сдвига.

Разрывы должны удовлетворять еще соотношениям эволюционности, которые представляют собой необходимые условия устойчивости разрыва по отношению к малым одномерным возмущениям. Это есть требование корректности выставления граничных условий на фронте разрыва для возможности однозначной разрешимости линеаризованной задачи для малых отраженных возмущений. Требование эволюционности приводит к соотношениям в виде неравенств между скоростью разрыва и характеристическими скоростями перед и за фронтом. Границы в этих соотношениях представлены равенствами, где скорость разрыва совпадает с одной из характеристических скоростей (быстрой или медленной) перед или за фронтом. Такие разрывы, по аналогии с теорией детонации, названы волнами Жуге. Скорость ударной волны Жуге совпадает с какой-либо характеристической скоростью, а это значит, что к ней непосредственно сзади или спереди может примыкать волна Римана того же типа. Это делает волны Жуге очень важными в процессе построения решений в виде последовательностей волн, что использовано в этой работе.

Соотношения эволюционности делят все квазипоперечные ударные волны на быстрые и медленные. Вычислив изменение скорости разрыва вдоль ударной адиабаты, можно указать на ней участки, соответствующие быстрым и медленным эволюционным ударным волнам (можно для краткости назвать их эволюционными участками ударной адиабаты). На ударной адиабате всегда имеются эволюционные участки быстрых и медленных волн, примыкающие к начальной точке ( [32]). Этим участкам принадлежат ударные переходы, интенсивность которых может быть как угодно малой, и изменения в них почти не отличаются от соответствующих изменений в опрокидывающихся волнах Римана того же типа. Кроме того, на ударной адиабате квазипоперечных упругих волн имеются еще эволюционные отрезки, не примыкающие к начальной точке, их интенсивность не может быть сделана как угодно малой. В работе они названы ударными волнами второго типа. Такие ситуации встречались ранее в задачах газовой динамики, но в средах с очень специальными уравнениями состояния [34]. Появление таких эволюционных ударных волн в классической теории упругости обнаружено впервые. Эволюционные ударные волны второго типа имеются во всех рассмотренных моделях. Появление эволюционных ударных волн второго типа - следствие наличия у среды малой волновой анизотропии (при большой анизотропии они отсутствуют). Количество и расположение на ударной адиабате эволюционных отрезков существенно зависит от двух факторов: во-первых от нелинейных свойств среды (для слабонелинейных сред от знака коэффициента к) и во-вторых от соотношения между величиной (модулем) начальной деформации сдвига и коэффициентом анизотропии.

Одновременное выполнение термодинамического требования неубывания энтропии и условий эволюционности показало, что для волн небольшой интенсивности (слабонелинейных сред) условия эволюционности для всех перечисленных моделей оказались более сильными.

Показано, что в упругой среде с предварительной деформацией могут существовать ударные волны при любом виде нелинейности (любом знаке х), в отличие от изотропной среды без начальных деформаций [4].

Установлено, что в любых нелинейных средах в отсутствии волновой анизотропии обязательно имеются ударные волны в виде вращательного разрыва. Эти волны являются чисто поперечными, соответствующий им участок ударной адиабаты имеет вид окружности, проходящей через начальную точку. На всей этой окружности энтропия постоянна, такая же как перед фронтом, а потому в таких разрывах диссипация отсутствует. Эта часть ударной адиабаты совпадает с одной из интегральных кривых волн Римана. Эти волны являются аналогом альфвеновских волн в магнитной гидродинамике.

Для слабонелинейной среды с анизотропией общего вида на ударной адиабате указаны неэволюционные ударные волны, каждая из которых может распадаться на две эволюционные (быструю и медленную), движущиеся с одинаковой скоростью.

Условия эволюционности, используемые в работе, основаны на том, что на фронте разрыва выполнены законы сохранения, а других каких-либо дополнительных условий нет. Однако дополнительные соотношения могут возникать при исследовании структуры разрывов с использованием более сложной диссипативной модели. Дополнительные соотношения, когда они появляются, кардинально меняют всю конфигурацию эволюционных участков на ударной адиабате и по количеству и по расположению. Поэтому в работе проведено исследование для выяснения существования стационарной структуры у всех разрывов в слабонелинейных средах, как с анизотропией общего вида, так и с тригональной. В качестве диссипативного механизма в усложненных моделях, действующих внутри структуры, принималась вязкость и использовалась модель вяз-коупругой среды Кельвина-Фойхта. Показано, что в этой постановке все эволюционные разрывы обладают стационарной структурой и дополнительных соотношений из исследования структуры не появляется.

Для квазипоперечных волн построено решение автомодельной задачи о действии внезапного изменения касательной нагрузки,приложенной на границе упругого полупространства (аналог задачи "о поршне"в газовой динамике). Упругое полупространство предполагается находящимся в состоянии однородной предварительной деформацией сдвига. В начальный момент времени на его границе приложено и далее остается постоянным новое однородное напряжение, которое вызывает новую граничную деформацию. В результате от границы в область полупространства идет серия плоских волн, которые переводят начальное состояние (перед первой волной) в граничное (сзади последней волны). Для фиксированного начального состояния рассмотрены все возможные состояния на границе, которые можно представить фазовой плоскостью двух компонент граничных деформаций сдвига. Решение строится в виде последовательности эволюционных ударных волн и автомодельных (центрированных) волн Римана, которые идут одна за другой в порядке убывания скоростей. Между волнами находятся однородные состояния с постоянными параметрами. Каждая следующая волна идет по новому фону, созданному впереди идущей. Особую роль в этих последовательностях играют ударные волны Жуге, которые примыкают непосредственно к переднему или заднему фронту волны Римана того же типа без промежуточных областей постоянных параметров. В результате вся фазовая плоскость граничных состояний оказалась разбитой на области с разным составом волн в последовательностях. Решение может содержать от одной до четырех различных волн. Найдены границы областей с разными конструкциями решения.

Возможность построения полного решения автомодельной задачи служит окончательным критерием правильности отбора реализуемых разрывных решений. Решение автомодельной задачи подтвердило, что отобранных по перечисленным ранее правилам ударных волн хватает, чтобы построить решение при любых граничных условиях, и в то же время все отобранные ударные волны оказались использованными при построении решения автомодельной задачи.

При решении автомодельной задачи обнаружено, что некоторые соседние области с разными конструкциями волн в решении могут перекрываться, создавая на общей территории неединственность (двузначность) решения. Для сред с я < 0 такие области есть всегда, для сред с я > 0 - при определенных соотношениях между величиной (модулем) начальной деформации сдвига и коэффициентом анизотропии. Причиной появления неединственности служит присутствие волновой анизотропии, даже очень малой. А присутствие такой анизотропии ожидаемо практически всегда, так как показано, что может быть вызвано предварительной деформацией, причем как угодно малой. Когда анизотропия стремится к нулю, области неединственности не исчезают, сохраняют конечные размеры, и только когда анизотропия отсутствует вовсе, оба решения совпадают между собой. Неединственность решений автомодельных задач в классической теории упругости обнаружена впервые. Это явление ставит вопрос о выборе решения, которое фактически реализуется. В данной работе этот вопрос не обсуждается. Без выхода за рамки теории упругости с привлечением более сложной модели, этого сделать нельзя.

Построено решение классической автомодельной задачи о распаде произвольного начального разрыва на базе модели для волн небольшой интенсивности (с принятой степенью точности). Процесс решения состоит из двух этапов. На первом в линеаризованной постановке находятся состояния по разные стороны от контактного разрыва на границе двух сред для моментов времени t > 0. Затем для каждого из полупространств по разные стороны от контактного разрыва строятся решения задач "о поршне "с полученными на первом этапе граничными условиями. Как следствие в решении этой задачи тоже могут появляться области неединственности, что очень важно знать при использовании решения этой задачи в численных схемах.

Показано, что о возможности появления неединственности в решениях автомодельных задач можно судить, не проводя полного построения решения, по виду соотношений эволюционности ударных волн, входящих в состав решения. Неравенства эволюционности можно геометрически изобразить на некоторой диаграмме эволюционности, дающей иллюстрацию соотношений между скоростью разрыва в точках ударной адиабаты и характеристическими скоростями за и перед фронтом. Вид следа ударной адиабаты и эволюционных участков на ней позволяют указать достаточный признак того, что в решении могут появиться области неединственности. Сравнивая указание этого достаточного признака с полным решением задачи о поршне в упругой среде, видно, что неединственность возникла именно в тех областях областях, на которые указывал признак.

1. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1994. т. 1,2 560 е.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

3. Куликовский А.Г. и Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. М.:, Физматгиз. 1962. 246 с.

4. Bland D.R. Nonlinear Dinamic Elasticity. Toronto; London; Waltham, 1969 = Бленд Д.P. Нелинейная динамическая теория упругости. М.: Мир, 1972. 183с.

5. Boa-Teh-Chu Transverse shock waves in incompressible elastic solid // J. Mech. Phys. Solids. 1967. No. 15, p. 1-14.

6. Галин Г.Я. О распространении возмущений в средах с нелинейной зависимостью напряжений от деформаций и температуры // Докл. АН СССР. 1958. Т. 120. N.4. С.730-733.

7. Duvaut G. Etude de certains problems d'ondes de deformation plane en elastisite non lineare //J. Mec. 1969. v.8, No4, p 565-603.

8. Bazer, J. and Ericson, W.B. Nonlinear wave motion in magnetoelasticity // Arch. Rat. Mech. Anal. 1974, V. 55, № 2, P. 124-192.

9. Hanyga A. Shear Waves // Polish Acad. Sci., Publications of Institute of Geophysics, Warszawa. 1975. № 98. 61 p.

10. Hanyga A. On the solution to the Riemann problem for arbitrary hyperbolic system of conservation laws // Polish Acad. Sci., Publications of Institute of Geophysics, 1976. A-l(98), Warszawa: Panstwowe wydanistwo naukowe.

11. И. Ленский Э.В. Об ударной адиабатеплоского продольно-сдвигового разрыва // Вест. МГУ. Сер. Математика, механика. 1981. № 1. С.94-96.

12. Ленский Э.В.Распространение плоских волн двухкомпонентного деформированного состояния в нелинейно-упругой сжимаемой среде // Вест. МГУ. Сер. Математика, механика. 1982. № 6. С. 101-106.

13. Ленский Э.В. Простые волны в нелинейно упругой среде // Вест. МГУ. Сер. Математика, механика. 1983. № 3. C.8Ü-86.

14. Ленский Э.В. Плоские волны сжатия-сдвига в нелинейноупругой несжимаемой среде // Известия АН СССР, МТТ.1983. Т. 18, № 6, С. 90-98.

15. Куликовский А.Г. О волнах Римана в магнитной гидродинамике // ДАН СССР. 1958. т. 121, № 6.

16. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.VIII Электродинамика сплошных сред М.: Наука. 1982. 620 с.

17. Cattani С., Rushchitsky J. Cubically nonlinear elastic waves versus quadratically ones. Main wave effects // Прикл. мех. Киев. 2003. т.39 № 10, с.3-37, № 12, с. 3-45.

18. Krylovas A., Ciegis R. On the interaction on elastic waves // J/Civ/Eng/and Manag. 2003. 9, № 3, p. 218-224.

19. Минасян M.M. Распространение нелинейных квазипоперечных возмущений в упругих проводящих средах // Изв. АН Армении. Мех. 2000, 53, №4, с.30-37.

20. Рушчицкий Я.Я., Савельева Е.В. О взаимодействии поперечных кубически нелиненых плоских волн в упругом материале // Прикл. мех. 2006. 42, №6, с.61-70.

21. Enflo В.О., Hedberg С.М., Rudenko O.V. Wave motion in a medium with a cubic nonlinearity // Межд. конф. по механике "4 Поляховские чтения". С-Пет. 2006. Тезисы докладов, с.34.

22. Maugin G.A. Nonlinear waves in elastic crystals. Oxford: Oxford University Press. 1999. 313 p.

23. Гузь A.H. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. Киев:, Наукова думка,1986, т. 1,2, т.1 372 е., т.2 535 с.

24. Гузь А.H. Упругие волны в телах с начальными (остаточными) напряжениями // Киев: A.C.K. 2004, 672 с.

25. Мартыненко М.Д., Фам Ши Винь, Нгуен Данк Вик Существование уединенных волн в нелинейной термоупругой среде с предварительными деформациями // Инж.-физ. ж. 1991. 61, №3, с.493-498, №4, с.685-689.

26. Caviglia Giacomo, Marro Angelo Reflection and transmission of transient waves in anisotropic elastic multilaers // Quart. J. Mech.and Appl. Math. 2003.56. №4, p.571-587/

27. Весоловский 3. Динамические задачи нелинейной теории упругости. Киев:, Наукова думка, 1981, 216 с.

28. Чернышов А.Д. О распространении ударных волн в упругом пространстве при конечных деформациях // ПММ. 1970. Т. 34, вып. 5.

29. Буренин A.A., Чернышов А.Д. Ударные волны в изотропном упругом пространстве // ПММ. 1978. Т. 42, вып. 4, С. 711-717.

30. Филатов Г.Ф. О распространении продольных и поперечных ударных волн в упругой среде // ПМТФ. 1972. № 3.

31. Ж.Можен Механика электромагнитных сплошных сред. М.: Мир. 1991. 560 с.

32. Lax, P.D. Hyperbolic systems of conservation laws. II // Communs. Pure Appl. Math. 1957. V. 10. 4. P. 537-566.

33. Ахиезер А.И., Любарский Г.Я., Половин P.B. Об устойчивости ударных волн в магнитной гидродинамике // ЖЭТФ. 1958. Т.35. N.3. С.731-737.

34. Галин Г.Я. Об ударных волнах в средах с произвольным уравнением состояния // Докл. АН СССР. 1958. Т.119. N.6. С.1106-1109.

35. Галин Г.Я. К теории ударных волн // ДАН СССР. 1959. Т. 127, № 1. С.55-58.

36. Олейник O.A. О единственности и устойчивости обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения // УМН. 1959. Т. 14. № 2(86). С. 159-164.

37. И.М.Гельфанд Некоторые задача теории квазилинейных уравнений // УМН. 1959. Т. 14. № 2(86). С. 87-158.

38. Чугайнова А.П. О формировании автомодельного решения в задаче о нелинейных волнах в упругом полупространстве // ПММ.1988. Т. 52, вып. 4. С. 692-697.

39. Чугайнова А.П. О выходе нелинейных волн на автомодельный режим в задаче о действии внезапного изменения нагрузки на границу упругого полупространства // Изв. АН СССР, МТТ.1990. Т. 25, № 3. С. 187-189.

40. Куликовский А.Г., Чугайнова А.П. Об условиях распада нелинейной волны в вязкоупругой среде // Ж. вычисл. математики и мат.физики. 1998. Т. 38, № 2. С. 315-323.

41. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в упругих средах. М.: Моск. Лицей, 1998. 412 с.

42. Куликовский А.Г. и Свешникова Е.И. Об ударных волнах, распространяющихся по напряженному состоянию в изотропных нелинейно-упругих средах // ПММ. 1980. Т. 44, вып. 3, С. 523-534.

43. Treloar L.R. The Physics of Rubber Elasticity. Oxford: Clarendon Press, 1949 = Трелоар Л. Физика упругости каучука. М: Изд. иностр. лит., 1953. 240 с.

44. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Влияние изменения энтропии на форму ударной адиабаты квазипоперечных упругих волн / / ПММ. 2003. Т. 67. Вып.1, С. 88-98

45. А.Д.Авдеева, Е.И.Свешникова Квазипоперечные ударные волны в упругой среде с усложненным упругим потенциалом // МТТ. 2004. № 6. С.102-113.

46. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в слабоанизотропных упругих средах // ПММ. 1988. Т. 52. Вып.1, С. 410-415.

47. Birch F. Finite elastic strain of cubic crystals // Phys. Rev. 1947. V.47. N.ll. P.809-824.

48. Domanski W. Asymptotic equations for weakly nonlinear elastic waves in a cubic crystal // Intern. Ser. Numeri. Math. 1999. V.129. P.233-241.

49. Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел, ч.2. М.: Наука, 1984.431 с.

50. Черных К.Ф., ЛитвиненковаЗ.Н. Теория больших упругих деформаций. Л.: Изд-во ЛГУ. 1988.254 с.

51. Свешникова Е.И. Простые волны в нелинейно-упругой среде // ПММ. 1982. Т. 46. Вып. 4. С. 642-646.

52. Свешникова Е.И. Волны Римана в упругой среде с малой кубической анизотропией // ПММ. 2005. Т.69. Вып.1. С.75-83.

53. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Волны Римана в упругой среде при малой анизотропии // ПММ. 1993. т.57. вып.З. с.90-101.

54. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Исследование ударной адиабаты квазипоперечных ударных волн в предварительно напряженной упругой среде // ПММ. 1982. т.46.вып.5. с.831-840.

55. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. О некоторых свойствах ударной адиабаты вазипоперечных упругих волн // ПММ. 1984. т.48. вып.5. с.793-798.

56. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Ударные волны в упругих средах при исчезающее малой анизотропии Сб. Материалы Междунар. конфер "Чебышевские чтения". М.: МГУ 1996. т.2 с.405-408.

57. Куликовский А.Г. О поверхностях разрыва, разделяющих идеальные среды с различными свойствами. Волны рекомбинации в магнитной гидродинамике // ПММ. 1968. Т. 32. Вып. 6. С. 1125-1131.

58. Куликовский А.Г. Сильные разрывы в течениях сплошных сред и их структура // Тр. МИАН СССР. 1988. Т. 182. С. 261-291.

59. Куликовский А.Г. О возможном влиянии колебаний в структуре разрыва на множество допустимых разрывов // ДАН СССР. 1984. т. 275, № 6, 1349-1352.

60. Куликовский А.Г. О свойствах ударных адиабат в окрестности точек Жуге // Изв. АН СССР. МЖГ. 1979. № 2. С. 184-186.

61. Свешникова Е.И. Квазипопречные ударные волны в упругой среде при специальных видах начальной деформации //ПММ. 1983. Т. 47, вып. 4, С. 673-678.

62. Свешникова Е.И. Особенности эволюционности упругих ударных волн привырожденных начальных условиях //Труды МИАН, 1998. т. 223, с.270-275.

63. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. О структуре квазипоперечных упругих ударных волн // ПММ. 1987. Т.51. Вып.6. С. 926-932.

64. Чугайнова А.П. Исследование структуры квазипоперечных ударных волн для определенного класса упругих сред // В сб.: Проблемы механики, экологии, технологии. М.: Наука. 1991.

65. Свешникова Е.И. Ударные волны в упругой среде с кубической анизотропией // ПММ. 2006. Т.70, вып.4, С.673-683.

66. Свешникова Е.И. Ударные волны в слабоанизотропном упругом несжимаемом материале // ПММ. 1994. Т.58, вып.З, С. 144-153.

67. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Автомодельная задача о действии внезапной нагрузки на границу упругого полупространства // ПММ. 1985. Т. 49. вып. 2, С. 284-291.

68. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны, возникающие при изменении напряжений на границе упругого полупространства — В кн. Вопросы нелинейной механики сплошной среды. Таллинн:, Валгус, 1985. С. 133-145.

69. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. О распаде произвольного начального разрыва в упругой среде // ПММ. 1988. т.52. вып.6. с.1007-1012.

70. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. О существовании и единственности автомодельных решений при наличии точек Жуге на ударной адиабате // ПММ. 1996. т.60. вып.1. с.66-71.

71. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Признак несуществования и неединственности решений автомодельных задач механики сплошной среды // ПММ. 2001. Т. 65, вып. 6. С. 971-982.

72. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И., А.П.Чугайнова О неединственности решений нелинейной теории упругости // Труды математического центра им.Лобачевского. Казанское математическое общ-во. 2002, т.16, с.6-25.

73. А.Г.Куликовский, Е.И.Свешникова, А.П.Чугайнова Некоторые проблемы нелинейной динамической теории упругости // Труды МИ-АН, 2005. т. 251, с. 173-199.

74. A.G.Kulikovskii, A.P.Chugainova, E.I.Sveshnikova Nonuniqueness of solution to nonlinear of the elasticity theory // Journal of Engineering Mathematics. Springer. 2006. Vol.55. No. 1-4. P.97-110.