Нелинейные преобразования и сходимость вероятностных распределений

Колесников, Александр Викторович

Нелинейные преобразования и сходимость вероятностных распределений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Колесников, Александр Викторович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Нелинейные преобразования и сходимость вероятностных распределений»

Автореферат диссертации на тему "Нелинейные преобразования и сходимость вероятностных распределений"

Математический институт РАН имени В.А. Стеклова

На правах рукописи

УДК 519 21

Колесников Александр Викторович

НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва, 2005

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им М В Ломоносова

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А А Гущин, доктор физико-математических наук, профессор В Н Судаков, доктор физико-математических наук, профессор В В Ульянов

Ведущая организация:

Владимирский педагогический государственный университет

Защита диссертации состоится 9 марта 2006 г в 14 чалов на заседании диссертационного совета Д 002 022 01 при Математическом институте им В А Стеклова по адресу 119991 Москва, ул Губкина, д 8, 9-й этаж, конференц-зал

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им В А Стеклова

Автореферат разослан " 9 " февраля_2006 г

Ученый секретарь диссертационного

совета Д 002 022 01 при Математическом институте им В А Стеклова, доктор физико-математических _____

наук, профессор бХк^Г^ В А Ватутин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Нелинейные преобразования и различного рода сходимость вероятностных распределений являются важнейшими объектами изучения в большинстве задач теории вероятностей и теории случайных процессов. Эти объекты связывают теорию вероятностей с теорией меры, функциональным анализом, дифференциальными уравнениями и теорией экстремальных задач. Такие связи, возникшие более чем полвека назад в классических трудах А.Н. Колмогорова, А.Д. Александрова, H.H." Боголюбова, Н.М. Крылова, Дж. фон Неймана, Л.В. Канторовича, Ю.В. Прохорова, A.B. Скорохода и других исследователей, в настоящее время продолжают расширяться, обогащая взаимодействующие области математики. Особенно здесь можно отметить работы1,2,3'4'5,6. Подробный историко-библиографический обзор дан в книге7. В более позднее время существенный вклад в изучение всего комплекса проблем, связанных с нелинейными преобразованиями вероятностных распределений и сходимостью нелинейных образов мер, внесли В.Н. Судаков, М. Тала-гран9, К. Ферник10, Я. Бренье и, Р. Маккэн12.

Основные результаты диссертации связаны с исследованием нелинейных преобразований вероятностных распределений, позволяющих меры из заданных классов представлять в виде образов каких-либо простых мер (например, гауссовских), причем требуется, чтобы эти представления обладали некоторыми дополнительными свойствами. В качестве таких дополнительных свойств в диссертации выступают свойства инвариантности (преобразования, заданные диффузионными полугруппами), оптимальности (оптимальные отображения), а также некоторые специ-

1 Александров А.Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел I -IV. Матем. сб.. 1937, т. 2(44),

в. 5, с. 947-972, в. 6, с. 1205-1238; 1938, т. 3(45), в. 1, с. 27-46, в. 2, с. 227-251.

3 Александров АД. О поверхностной функции выпуклого тела. Матем. сб., 1939, т. 6(48), в. 1, с. 167-174.

'Александров АД. Существование и единственность выпуклой поверхности с задавной интегральней кривизной. ДАН СССР, 1942, в. 35, 131-134.

'Канторович Л.В. О перемещении масс. ДАН СССР, 1942, т. 37, в. 7-8, с. 227-229.

"Прохоров Ю.В. Схсщимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, в. 2, с. 177-238.

•Скороход A.B. Предельные теоремы для случайных процессов. Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, в. 3, с. 289-319.

7Богачев В.И. Основы теории меры. Т. 1,2. Москва - Ижевск, РХД, 2003

8Судаков В.Н. Геометрические проблемы теории бесконечномерных вероятностных распределений. Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1976, т. 140, с. 1-190.

eTálagrand M. Transportation cost for Gaussian and other product measures. Geom. Funct. Anal., 1996, n. 6, p. 587-600.

10Femique X. Extension du théorème de Cameron-Martin aux translations aléatoires. II. Intégrabilité des densités. Progr. Probab., v. 55, p. 95-102, Birkhäuser, Basel, 2003.

"Brenier Y. Polar factorization and monotone rearrangement of vector valued functions. Comm. Pure Appl. Math., 1991, v. 44, p. 375-417.

uMcCaan R.J. Existence and uniqueness of monotone measure-preserving maps. Duke Math. J., 1995, v. 80, p. 309-323.

альные геометрические свойства (треугольные преобразования). Полученные результаты применяются к задачам теории вероятностей, бесконечномерного анализа, теории гауссовских мер, теории случайных процессов. Многие результаты диссертации тесно связаны с важными аналитическими неравенствами (логарифмическое неравенство Соболева и т.п.). Кроме того, в диссертации применяются методы слабой сходимости мер и вариационного исчисления к теории сходимости случайных процессов (сходимость Моско13).

В главе 1 рассмотрены преобразования мер, задаваемые стохастическими дифференциальными уравнениями. Этот вид преобразований в последнее время эффективно применяется для доказательства чисто аналитических неравенств. Здесь доказано, что свойство диффузионных полугрупп сохранять класс так называемых логарифмически вогнутых функций равносильно тому, что эти полугруппы имеют гауссовские переходные вероятности. Класс логарифмически вогнутых функций играет важную роль в бесконечномерном анализе, теории вероятностей, стохастике, теории гауссовских мер (см.14). Также изучен вопрос о сохране-ниии полугруппами так называемых функций Шермана, включающих все чётные логарифмически вогнутые функции. Мотивацией задачи послужила известная проблема, появившаяся на стыке теории гауссовских мер и теории выпуклых множеств, так называемое гауссовское корреляционное неравенство. Это неравенство — пока еще недоказанное в общем случае — состоит в том, что

7(АПВ)>7(Л)7(В) (1)

для произвольных выпуклых центрально-симметричных множеств А и В в Rn и всякой центрированной гауссовской меры 7. Основной к настоящему моменту прогресс был достигнут в работах15,16'17. Наиболее плодотворными методами исследования этого неравенства являются метод полугрупп и метод оптимальных отображений мер. В диссертации обсуждается применение обоих методов и доказываются некоторые частные случаи корреляционного неравенства. Применение метода оптимальных отображений мер к корреляционному неравенству было предложено в работе18..

"Mosco и. Composite media and Dirichlet forms. J. Rmc. Anal., 1994, v. 123, p. 368-421.

14 Богач ев В.И. Гауссовские ыеры-Москва: Наука, 1997.

"Pitt L.D. A Gaussian correlation inequality for symmetric convex sets. Ann. Probab., 1977, p. 470474.

"Schechtman G., Schlumprecht T., Zinn J. On the Gaussian measure of the intersection of the symmetric, convex set. Ann. Probab.. 1998, p. 346-357.

17Hargé G. A particular case of correlation inequality for the Gaussian measure. Ann. Probab., 1999, v. 27, p. 1939-1951.

leCaffarelli L.A, Monotonicity properties of optimal transportation and the FKG and related inequalities. Commun. Math. Phys., 2000, v. 214, n. 3, p. 547-563.

•ряют так называемому неравенству Талаграна для гауссовских (и более общих равномерно выпуклых) мер. Это наблюдение применяется к решению следующей известной проблемы теории гауссовских мер (см.21). Из классических результатов Ю.В. Прохорова, И.В. Гирсанова, A.B. Скорохода известно, что для заданной гауссовской меры 7 типичные преобразования, переводящие 7 в абсолютно непрерывную меру, имеют вид Т(х) = х + F(x), где F принимает значения в пространстве Камерона-Мартина Н. Преобразования такого вида — это абстрактные преобразования Гирсанова классического винеровского пространства; их исследованию посвящены многие работы (см. книги14,21,22 и библиографию в них). В случай классического винеровского пространства С[0,1] пространство Камерона-Мартина состоит из абсолютно непрерывных функций х с а:(0) = 0 и а/ G L2[0,1]. В работах Камерона и Мартина, Прохорова, Скорохода, Маруямы и Гирсанова было выяснено, что при весьма широких условиях отображение вида

T(w)(t) = w(t) + J a(s,w(-))ds 0

Я|преобразует меру Винера в эквивалентную, причем многие важные в ^^приложениях отображения, осуществляющие эквивалентные преобразования меры Винера, имеют указанную форму.

Долго оставался открытым вопрос о том, всегда ли можно перевести 7 в абсолютно непрерывную меру д • 7 преобразованием такого вида. При дополнительных ограничениях на д положительные результаты были получены Устюнелем, Закаем, Ферником. С помощью применения треугольных отображений в диссертации дано положительное решение задачи в общем случае. Также в работе были получены оценки энтропии f д logд £¿7 через функционалы от Т(х) — х. Полученные результаты

l9Kllothe Н. Contributions to the theory of convex bodies. Michigan Math. J., 1957, v. 4, p. 39-52.

a0Bobkov S.G. Large deviations via transference plans. Adv. Math. Research, 2003, v. 2, p. 151-175.

"Üstünel A.S., Zakai M. Transformation of measure on Wiener space. Springer, Berlin, 2000.

иЛипцер Р.Ш., Ширяев A.H. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

были применены к проблеме обоснования формулы замены переменной в бесконечномерных пространствах.

В главе 3 изучаются бесконечномерная задача Монжа-Канторовича и бесконечномерное уравнение Монжа-Ампера. Как и в ситуации с треугольными отображениями, нас интересуют преобразования мер вида Т(х) = X + F(x), где F(x) Е Н. Этим обусловлен специальный выбор функционала Монжа-Канторовича (минимизируется квадрат нормы Камерона-Мартина).

Важным аппаратом бесконечномерной теории Монжа-Канторовича являются различные геометрическо-аналитические неравенства (логарифмическое неравенство Соболева, транспортное неравенство Талагра-на, изопериметрические неравенства, неравенства концентрации). Этим вопросам посвящены недавние работы С. Бобкова, М. Леду, М. Талагра-на, К. Ферника, Л. Каффарелли, И. Жантиля, Ф. Отто, Ц. Виллани, Ф.-Ю. Ванга. Обширная библиография на эту тему имеется в23. Один из результатов главы 4 состоит в доказательстве новой серии неравенств этого типа, обобщающих транспортное неравенство Талаграна. В качестве следствия мы получаем существование такого преобразования Т меры 7 в меру 5-7, где g € 1^(7) при некотором р > 1, что Т(х) = где exp(c||F||^) 6 Ll(~f). Это заметно усиливает результат Ферника10. Другим важным результатом является вывод уравнения Монжа-Ампера в бесконечномерном случае.

Глава 4 посвящена сходимости квадратичных форм и слабой сходимости распределений ассоциированных случайных процессов. Основные результаты связаны со сходимостью Моско, впервые рассмотренной в работе13. Согласно этой работе, сходимость Моско квадратичных форм равносильна сильной сходимости ассоциированных полугрупп. В частности, отсюда следует слабая сходимость распределений ассоциированных случайных процессов. Сходимость Моско сильнее Г-сходимости, введенной Де Джорджи для задач вариационного исчисления (см.24,25). Слабая сходимость случайных процессов и сходимость ассоциированных полугрупп активно изучаются в связи со многими задачами стохастики и математической физики. См. по этой тематике работы28,27,28. В диссертации получены простые достаточные условия сходимости Моско. В част-

asLedoux M. The concentration of measure phenomenon. Amer. Math. Soc., Providence, 2001. а4Жиков B.B., Козлов C.M., Олейиик O.A. Усреднение дифференциальных операторов. M.: Наг ука, 1993.

25Dal Maso G. An introduction to Г-convergence. Birkhäuser Boston, Boston, 1993. авЖиков B.B. Весовые соболевские пространства. Матем. сб., 1998, т. 189, ». 8, с. 1139-1170. "Albeverio S., Kusuoka S., Streit L. Convergence of Dirichlet forms and associated Schrödinger operators. J. Funct. Anal., 1986. v. 68, p. 130-148.

a8Lyons T.J., Zhang T.S. Note on convergence of Dirichlet processes. Bull. London Math. Sei., 1993, v. 25, p. 353-356.

ности, получены приложения к некоторым моделям гиббсовских распределений. Также получены приложения к диффузионным процессам на винеровском пространстве.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Исследованы треугольные преобразования мер. Изучены общие свойства треугольных преобразований. Получено обобщение неравенства Талаграна для треугольных отображений.

2. Решена задача представления меры, абсолютно непрерывной относительно данной гауссовской меры, в виде образа этой гауссовской меры при нелинейном сдвиге вдоль пространства Камерона-Мартина.

3. Исследован бесконечномерный аналог задачи Монжа-Канторовича.

4. Выведено уравнение Монжа-Ампера в бесконечномерном случае.

5. Получены новые транспортные неравенства для мер, удовлетворяющих логарифмическому неравенству Соболева или неравенству Пуанкаре.

6. Исследована сходимость Моско конечномерных и бесконечномерных форм Дирихле. Получены простые достаточные условия сходимости форм Дирихле на винеровском пространстве и форм Дирихле, порожденных гиббсовскими мерами. В частности, получены достаточные условия сходимости форм в терминах сходимости соответствующих условных мер и логарифмических производных.

Методы исследования. В работе применяются методы теории меры (в частности, идеи и результаты теории слабой сходимости), функционального анализа, теории вероятностей, стохастического анализа, вариационного исчисления, выпуклой геометрии, теории дифференциальных уравнений в частных производных, бесконечномерного анализа, а также некоторые оригинальные конструкции.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в теории случайных процессов, теории вероятностей, теории меры, теории уравнений в частных производных, вариационном исчислении, бесконечномерном анализе.

дела теории вероятностей Петербургского отделения математического института РАН имени В.Д. Стеклова, на международной конференции „Stochastic calculus and mathematical physics" (Билефельд, Германия, 2000 г.), на международной конференции „Stochastic calculus and related topics" (Санкт-Петербург, 2001 г.), на международной конференции „Stochastic inequalities" (Барселона, 2002 г.), на семинаре по стохастическому анализу университета города Билефельда (Германия), на семинаре „Colloquium De Giorgi" Высшей нормальной школы города Пизы (Италия), а также на семинарах Владимирского педагогического государственного университета, университета города Лечче (Италия) и Пекинского нормального университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 170 наименования. Общий объем диссертации составляет 238 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава 1.

Исследования этой главы были мотивированы упомянутой выше гипотезой о корреляционном неравенстве (1). Корреляционное неравенство связано, с одной стороны, с неравенством Брунна-Минковского и изопе-риметрическими неравенствами, а с другой стороны, с аналитическими неравенствами типа логарифмического неравенства Соболева, неравенства Пуанкаре и неравенствами концентрации мер. Неравенства, близкие к нему, играют важную роль в математической физике.

Функция / называется логарифмически вогнутой, если она имеет вид f = где V — выпуклая функция.

Функция /: —+ [0, оо) называется функцией Шермана, если она является пределом функций вида > 0, по норме

таХ(Н/Цо01 ||/||£'(Н*))|

где каждое множество Л,- С выпукло, ограничено и симметрично относительно начала координат. Очевидно, любая четная интегрируемая функция с выпуклыми множествами уровня является функцией Шермана.

Нетрудно проверить, что неравенство для множеств (1) эквивалентно следующему неравенству для функций:

J/д<1'г> //¿7^дй7, И* и* м-<

где /, д — функции Шермана (например, логарифмически вогнутые четные функции).

Известные в настоящее время частные случаи корреляционного неравенства доказаны одним из следующих способов: 1) метод диффузионных полугрупп, 2) метод оптимальных отображений мер.

Метод оптимальных отображений обсуждается в главе 3 и основан на построении отображений, переводящих вероятностную меру /1 в вероятностную меру V и являющихся градиентами выпуклой функции. В случае, когда мера (г — гауссовская, оптимальное преобразование обладает особенно интересными свойствами. Например, если и обладает логарифмически вогнутой плотностью относительно /г то, согласно недавнему результату Каффарелли, оптимальное отображение <р глобально 1-липшицево, т.е. ||у?(х) — <р(у)|| < — у||.

Метод диффузионных полугрупп состоит в следующем. Пусть на К" дана вероятностная мера ц = е~у <1х. Рассмотрим решение стохастиче-

ского дифференциального уравнения

6(х) = х + - У V

где — п-мерный винеровский процесс, и соответствующую переходную полугруппу Т1: ■ф ь-> 'Еф{£1(х)). Генератором полугруппы {Т4} является оператор Ь = Л — (VV, V). Мера ¡л инвариантна относительно {7*}. Применение метода полугрупп к корреляционному неравенству основано на следующем тождестве:

оо

! ! fd^l! дац = J У"(У Тг1,Чд)йр. и' н* г о к'

В случае, когда у. — гауссовская мера, а функции /, д — логарифмически вогнуты, из известной теоремы Прекопы следует, что функция 7}/ логарифмически вогнута. В ряде случаев геометрические соображения позволяют доказать, что неравенство

выполнено для некоторых (логарифмически вогнутых) функций f,g и некоторой (гауссовской) меры р. В частности, Ж. Арже17 удалось доказать гауссовское корреляционное неравенство для случая, когда В — эллипсоид. При этом свойство гауссовских полугрупп сохранять логарифмическую вогнутость сыграло в его доказательстве ключевую роль.

Таким образом, возник естественный вопрос: какие диффузионные полугруппы сохраняют логарифмическую вогнутость или функции Шер-мана? Рассмотрим диффузионную полугруппу {71} на Rd, порожденную генератором

akldkd, + Гдт,

где подразумевается суммирование по индексам 1 < к,1,т < п, аы = а1к, ßт — некоторое функции. Мы обозначаем через C2+S(B^) пространство функций на шаре В^ с центром в нуле и радиуса R с конечной гельде-ровской 2 4- ¿-нормой. Для функции и на области Q С Md гельдерова норма Iwlfc+^n равна

M*+i;n = Мо;П + У"" max |£>аи|0;п + max[Dau]Ä;n,

^ |a|-j \а\=к

Мо.п = sup M, Da = (¿г)"' • • • (¿г)"". Ia| = «1 + • ■ • + «П,

г 1 "(s) -ц(у)

w i;fj = SUP -j-77-.

Теорема 1.1. 1) Пусть ак\ /?"' 6 C2+S(B%) для любого R > 0, к,1, m и пусть полугруппа {Tt}j>o переводит логарифмически вогнутые функции в логарифмически вогнутые. Тогда А — постоянное, а ¡3 — аффинное отображение.

В частности, только полугруппы с гауссовскими переходными вероятностями сохраняют логарифмически вогнутые функции.

2) Пусть d > 2 и пусть диффузионная полугруппа {Те} порождена оператором L = сД + Ь'-^-, где с — постоянная, Ьг — функция класса С2 для каждого г, глобально липшицева и Ьг(—г) = —Ь'(х). Если {7}} сохраняет функции Шермана, тогда Ъ1 линейно для каждого г. В частности, если {Tt} удовлетворяет всем условиям, кроме линейности Ъ', то линии уровня переходных вероятностей полугруппы {TJ} не являются выпуклыми.

Отметим в заключение, что существуют негауссовские полугруппы, сохраняющие функции Шермана. Этот факт позволяет построить примеры негауссовских мер, удовлетворяющих частным случаям корреляционного неравенства.

Глава 2.

Эта глава посвящена изучению так называемых треугольных отображений, т.е. таких отображений Т = (7\,... ,Тп): R" —* К", что Т\ есть функция ii, Тъ - функция (хьХг), Т3 - функция (хьж2,хз) и т.д.: Т{ является функцией от (Xi,X2,..., х{). Аналогично определяются треугольные отображения в К°° - счетном произведении прямых. Треугольное отображение называется возрастающим, если каждая его компонентаТ* является возрастающей по переменной xt. Ясно, что данное определение зависит от базиса. В дальнейшем мы фиксируем базис и будем называть треугольные отображения, связанные с ним, каноническими.

Предложение 2.1. 1) Для всякой пары вероятностных мер fi и и на Rn, где ц абсолютно непрерывна, существует борелевское возрастающее треугольное отображение переводящее ц в и.

2) Пусть последовательность абсолютно непрерывных вероятностных мер Vj на R" сходится по вариации к мере и и пусть ft - вероятностная мера на М™, эквивалентная мере Лебега. Тогда последовательность канонических треугольных отображений Тсходится по мере ц к отображению

3) Пусть ц, v - борелевские вероятностные меры на R°°. Если проекции мер ц и v на пространства R" абсолютно непрерывны, то существует каноническое треугольное отображение причем оно един-

стеенно с точностью до ^.-эквивалентности в классе возрастающих борелевских треугольных отображений, переводящих ¡л в и.

Для положительной функции ?/> на К" класса С2 и векторов г)2 6 М" введем оператор

Л[^,«1,^2] = J зОг[-\п.ф] ((1 — в)г>1 + аг^г) с1з. о

Пусть

ЕтЛт/ = J / 1п / dm — J / ¿т 1п J / ¿т. К"* № №

Основным результатом главы является следующее тождество, обобщающее известное неравенство Талаграна для гауссовских мер. Теорема 2.1. Пусть даны три вероятностные меры

ц = ехр(—Ф) йх, д • ц = ехр(—©) с£п, / • ц

на К" и канонические треугольные отображения Т/, Тэ: М" —+ К", переводящие меру ц в д-/л и /• (г соответственно. ПоложимТ/оТ~1 = Т

и det2DT := Д ехр(1 — дх/Д)дхД\. Предположим, что / > 0 п.в., меры 1=1

f•^i, и д-р, обладают конечными вторыми моментами, |Ув| е Ь^^д-ц), {1/9) Ь (//5) €Ьх(д-ц) и £>2Э > С-1, где С ей. Тогда справедливо равенство

Еп^= У <Л[е-0, Т>, Тд] (Г/ — Тд), Г/ — Тд) ёр. — J 1п Ае^ОТд йц.

К" К"

В частности,

Еп^ф> ](А.{е-*,Тг,Тд}{Т}-Тд),Т1-Тд)<1ц>С ¡\Т]-Т3\2йц.

К" к»

С помощью полученного неравенства решается положительно известная проблема теории гауссовских мер: верно ли, что для радоновой гаус-совской меры 7 с пространством Камерона-Мартина Н и любой вероятностной меры вида д-7 существует такое отображение Т, что д-у = 70Т-1 и Т(х) - хеЯ для 7-почти всех х?

Теорема 2.2. Пусть р. - произведение счетного числа экземпляров вероятностной меры а на прямой, равномерно выпуклой с константой С (например, невырожденной гауссовской меръ£), рассматриваемое на пространстве М°° всех вещественных последовательностей, и пусть V - борелевская вероятностная мера на К00, абсолютно непрерывная относительно /л. Тогда существует такое борелевское

треугольное отображение Т: К°° —» что Т(х) = х + Р{х), где Р: —> I2 и и = ц о Г-1. 2?сли при этом для / := ¿.и/йц имеем

/1п/ 6 "го

У < |у Пх)Ы/(х)^х). (2)

Также с помощью оценок такого типа доказаны новые результаты о замене переменной на винеровском пространстве.

Глава 3.

Эта глава посвящена хорошо известной в вариационном исчислении задаче Монжа-Канторовича и ее приложениям к теории меры. Напомним классическую формулировку. Пусть на метрическом пространстве X = У заданы две вероятностные меры ц и V, а на их произведении задана неотрицательная „функция стоимости" с: X х У —» К. Требуется найти вероятностную меру РнаХхУ, дающую решение экстремальной задачи

р- ы [ с{х,у)ар,

ХхУ

где Рц<и — множество вероятностных мер на X х У, проекции которых на первый и второй сомножители совпадают, соответственно, с ¿г и и. Приведенная формулировка принадлежит Л.В. Канторовичу4.

Помимо задачи Канторовича можно рассмотреть следующую задачу Монжа: найти такое отображение Т : X У , что и = ц о Т~1 и Т минимизирует функционал

Т-^ У с(х,Т(х))<1ц. х

Нетрудно видеть, что если решение задачи Канторовича сосредоточено на графике некоторого отображения Т, то решение задачи Канторовича автоматически дает решение задачи Монжа.

В конечномерной ситуации X = рассмотрим важный частный случай этой задачи: с(х, у) = ||аг — г/||2. Оказывается, что при весьма слабых ограничениях на меру ц решение Р является распределением случайного вектора (Х,У), причем существует такое отображение Т: М^ —► К*1, что У = Т(Х) д-п. в. и Т является градиентом выпуклой функции V": —> М /¿-п.в. В частности, решение задачи Канторовича дает решение задачи Монжа. В качестве весьма нетривиального следствия мы получаем, что мера V есть образ ¡1 при отображении, являющемся градиентом выпуклой функции. Этот результат был получен в работах11,12.

Если меры /х = р2 йх и V = р2 с1х абсолютно непрерывны, то, формально выполняя замену переменных, получаем следующее уравнение на V:

= рь

Это уравнение хорошо известно как уравнение Монжа-Ампера. Оно изучалось еще в классических работах А.Д. Александрова3 и имеет обширные приложения в дифференциальной геометрии29.

Для случая функции стоимости с(х, у) — ||х — 1/|| результат о существовании аналогичного отображения был получен В.Н. Судаковый. Известно, что это отображение не единственно и обладает весьма интересными и нетривиальными геометрическими свойствами. О развитии этой тематики см.30,31.

В последние годы обнаружились глубокие связи задачи Монжа-Кан-торовича с различными задачами теории уравнений в частных производных, теории вероятностей, теории информации, нелинейными преобразованиями мер и нелинейными функциональными неравенствами. Обширную библиографию на эти темы можно найти в книгах?2,33,34.

Одним из важных результатов в этом направлении является неравенство М. Талаграна9, доказанное им для стандартной гауссовской меры и впоследствии обобщенное на случай мер, удовлетворяющих логарифмическому неравенству Соболева.

Предположим, что ц — вероятностная мера на удовлетворяющая логарифмическому неравенству Соболева

Еп^/2 <2С ! |У/|2с^, (3)

где / — гладкая функция и

Е1Лмд := JдЫдйр - (Jдйц) 1п Jдйц.

к-*

Пусть Т = УК = х + УФ — квадратичное оптимальное отображение меры р в меру д • (х. Тогда

^2(7,<7"7) = J ] д\пдс1ц.

а* к*

3®Aubin T. Some nonlinear problems in Riemannian geometry. Springer, Berlin - Heidelberg, 1998. ^Ambrosio L., Pratelli A. Existence and stability results in the Ll theory of optimal transportation. Lecture Notes in Math., 2003, v. 1813, p. 123-160.

*lCaffarelli L., Feldmann R., McCann R.J. Constructing optimal maps for Monge'9 transport problem a5 a limit of strictly convex costs. J. Amer. Math. Soc., 2002, n. 15, p. 1-26.

3aAmbrosio L., Gigli N., Savax6 G. Gradient flows in metric spaces and in the Wasserstein spaces of probability measures. Lectures in Mathematics, ETH Zurich, Birkhauser, 2005. 33Rachev S.T., Ruschendorf L. Mass Transportation Problems. V I, II, Springer (1998). 34Villain C. Topics in optimal transportation. Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 2003.

Это неравенство называется неравенством Талаграна и имеет глубокие связи с другими геометрическими неравенствами (изопериметрические неравенства, неравенства концентрации). Важной особенностью неравенства Талаграна (как и логарифмического неравенства Соболева) является его независимость от размерности. Рассмотрим локально выпуклое пространство X и гауссовскую меру 7 на X. Пусть Н — пространство Камерона-Мартина меры 7 и v = д -7 — вероятностная мера. Пусть Р — вероятностная мера на X х Y, X = У дающая решение экстремальной задаче

\\x-y\\2HdP,

"'"xxY

где Рум — множество вероятностных мер на X х Y, проекции которых на первый и второй сомножители совпадают, соответственно, с 7 и и. Положим

^(7,^:= f \\x-yfHdP.

XxY

Согласно результатам Фейеля и Устюнеля35, если W22(7>и) < °°>т0 существует такое отображение Т, что v = 70T~l и Т(х) — УФ(ж) для некоторой 1-выпуклой функции. Последнее означает, что 11-* ~ + Ф(х + th) выпукло для любого h 6 Н с |/i|# = 1. Кроме того, выполнено бесконечномерное неравенство Талаграна

Щ2(7,*) = J |УФ&</7<2 Jglngdj.

х х

Введем некоторые обозначения. Пусть L2(7, Н) — гильбертово пространство //-злачных 7-измеримых отображений v с нормой

Норма Гильберта-Шмидта симметричного оператора А в Н задается равенством ||А||н = . где {е,} - любой ортонормиро-

ванный базис в Н. Всякий вектор h 6 Н соответствует 7-измеримому линейному функционалу h на X, такому, что (h, к)н = (Л, для

всех к € Н. Пространство гладких цилиндрических функций, обозначаемое через J-C00, состоит из всех функций вида C(xii ■ • ■.где ( € Cfr°(R") при некотором п. Класс Соболева W2,1(7) состоит из всех функций / е L2(7),

имеющих обобщенный градиент. V/ G L2(у,Н) вдоль Н,

35Feyel D., Ustunel A.S. Monge-Kantorovitch measure transportation and Monge-Amp^re equation on Wiener space. Probab. Theor. Relat. Fields, 2004, v. 128, p. 347-385.

такой, что

Jdh<pfdj = - J <p(Vf,h)Hd7 + J tpfhdr/

X X X

для всех h 6 H и ¡p e .FC00, где dh — частная производная вдоль h. Класс Соболева W2'1 (7, H) //-значных отображений и класс Соболева W2,2(if) дважды, дифференцируемых вдоль H функций со второй производной в пространстве операторов Гильберта-Шмидта, определяются аналогично.

В работе решена следующая задача: при каких условиях выполнен бесконечномерный аналог уравнения Монжа-Ампера? Напомним, что для мер, эквивалентных бесконечномерной гауссовской мере, эвристическая формула замены переменных имеет вид

= det2(J + DT) ехр(бТ - \\Т - х\%). (4)

Здесь Т — взаимно однозначное отображение, переводящее 7 в g • 7, DT — производная Т вдоль H, ST — бесконечномерная дивергенция Т, т.е. функция, определенная путем интегрирования по частям

J(V<p,T)Hd-y=- J tpSTd-y

и det2 — определитель Фредгольма-Карлемана. Определитель Фредголь-ма-Карлемана конечномерной матрицы А определяется следующим образом: det2^4 = |detj4|e-7VA. Путем предельного перехода функция det2 может быть распространена на операторы вида А = I + В, где В — оператор Гильберта-Шмидта.

В целом вопрос, при каких условиях верна формула (4), весьма сложен. Известные результаты на эту тему установлены при весьма существенных ограничениях на гладкость Т (см.21). Для случая, когда Т — квадратичное оптимальное отображение, формула (4) была доказана в работе36 при дополнительном предположении, что — In д — выпуклая функция вдоль Н, что, конечно, очень ограничительное условие. В диссертации доказан значительно более сильный результат. Заметим еще, что даже в конечномерном случае формула замены переменных для оптимального отображения Т = VV не является тривиальным результатом. Это. связано с тем, что вторые частные производные выпуклой функции V в общем случае определены только как неотрицательная меры, а не как функции. Тем не менее оказывается, что если обе меры

3eFeyel D., Üstünel A.S. Solution of the Monge-Ampfere equation on Wiener space for log-concave measures: general case. Preprint ArXiv.org.

абсолютно непрерывны, то формула замены переменных выполнена при весьма общих условиях и в нее входит только абсолютно непрерывная часть векторнозначной меры И2У.

Всюду ниже мы предполагаем, что <7-7 — вероятностная мера и 1п <7 € Ь'(7) и <71пд 6 ¿Чт)- Пусть Т: X —> X — оптимальная транспортировка, переводящая 7 в <7-7. Напомним, что тогда Т = I + УФ, где функция Ф входит в соболевский класс И'2,1 (7) и является 1-выпуклой (см. определение выше). Г обладает обратным отображением 5, т.е. Т о 5(х) = Б о Т(х) — х для 7-п.в. х. Кроме того, 5 осуществляет оптимальную транспортировку, переводящую 5-787, и й = / + УФ, где функция Ф 6 Ил2,1(7) является 1-выпуклой.

Полугруппа Орнштейна-Уленбека в Ьр('у), 1 < р < оо, задается формулой

г21

Пусть С. - генератор {Р(} оп Ь2(7). Напомним, что С является продолжением оператора

оо

А я/ - (х, Уя/>я := -

п=1

действующего на гладкие цилиндрические функции. Для заданной функции / 6 ¿'(т) с / 1п / е Ьх(7) определим £/ в смысле распределений как линейный функционал (р J /£<¿><¿7 на (заметим, что

/£(р € 1/1(7)). Известно, что СФ (как распределение на пространстве (X, 7)) является радоновской мерой, если д < С. Плотность ее абсолютно непрерывной части относительно 7 обозначим через С^Ф. Аналогично, если д > с > 0, то £Ф является радоновской мерой, а £МФ есть плотность ее абсолютно непрерывной части относительно 7.

В нашем случае Ф и Ф обладают первыми соболевскими производными УФ и УФ вдоль Н. Мы определим Ф*/,, где к, к е Н, как радоновскую меру, удовлетворяющую соотношению

Ус(*)ф*л(<*х) = - Jдhc(x)ekФ(x)^(dx) + у* аФкФ(хЩх)-г(ах).

X X X

Если функция дкФ дифференцируема в соболевском смысле, то согласно этому определению Ф^ = ЗдС^Ф • 7.

Плотность абсолютно непрерывной части Ф^д (относительно. 7) обозначим через В случае, когда существует Н-зпачная мера с матричными элементами Фе,ел, мы обозначаем эту меру символом И2Ф. Если

< оо 7-п.в., то И-значное отображение с матричными элементами Ф^ обозначается символом И^Ф (даже если £>2Ф не существует; если мера £>2Ф существует, то .Е^Ф есть плотность ее абсолютно непрерывной части относительно 7).

Теорема 3.1. (i) Предположим, что In<7 6 £'(7) и ging б L1^). Тогда существуют И-значные отображения D^.Ф и с матрич-

ными элементами « Ф^ и подпоследовательность {п*} такие, что 7-п.в. существует конечный предел

1 m

k—l i= 1

« аналогичный предел £оФ. При этом

g = det2(/ + ехр(£0Ф -\\УФ&),

~ = det2(I + DlФ)ехр(£0Ф -

Более того, (I + ^Ф)(7 + = (I + D^(S))(I + DlФ) = I.

(ii) Пусть 9 > с > 0 u ging € Ll(~f). Тогда £0Ф = £асФ «

g = det2(/ + ^Ф) ехр(£мФ - .

(iii) Пусть 0 <д <С и lug е Ьх{-у). Тогда £0Ф = £МФ и

- det2(1 + П^Ф) ехр (С^Ф - УФ&).

Все указанные равенства выполняются почти всюду.

Другой результат в этом направлении состоит в обобщении неравенства Талаграна. Согласно неравенству Талаграна, если ц удовлетворяет логарифмическому неравенству Соболева и ging 6 Z,1 (/j), то для соответствующего оптимального отображения Т(х) = х + УФ(ж) имеем f ||УФ||2 dp < С J g logg d/i. Рассмотрим более общую задачу, когда отображение Т = I -f F, где 1{х) = х, преобразует меру ß в меру g-p, а интерес представляет интегрируемость функций от |i-"| при подходящих предположениях интегрируемости д. Интересный результат в этом направлении принадлежит Фернику10, который рассматривал гауссовскую меру 7 на сепарабельном пространстве Фреше и такую вероятностную меру д - 7, что д 6 ^(7) Для некоторого р > 1. В цитированной работе было показано, что существует такое отображение Т = U + S, где отображение U сохраняет меру 7 и S — отображение со значениями в пространстве Камерона-Мартина Н меры 7, что функция ехр(ш|5|д-)

интегрируема при достаточно малых ш (однако отображение Т не обязательно является оптимальным переносом).

Следующий результат содержит неравенство Талаграна и оценку Фер-ника для оптимальных переносов как частные случаи.

Теорема 3.2. Предположим, что ц удовлетворяет логарифмическому неравенству Соболева (3). Рассмотрим оптимальное отображение = х + УФ(х), отображающее ц в g • ц и минимизирующее с(х) = Ц}. Пусть р > 1. Тогда

||expHV<í>|2)|U4íl) <

для достаточно малого ы = м(С, р) > О

Если g\ lng\v € Ь1{ц), то существуют такие константы А(С,р), В(С,р) > 0, что

J\V<!>\2pdn<A + B f g\lng\pd}M.

w w

Если ц удовлетворяет более слабому неравенству Пуанкаре

J(f~ J Ч> 2 dfj. < С J\V(p\2dn,

Rd RJ Rd

то условие g 6 L2(fi) влечет |\7Ф|2р G Ll(fi) для всехp > 1.

Глава 4.

В этой главе рассматриваются вопросы сходимости квадратичных форм Дирихле и слабой сходимости распределений ассоциированных диффузионных процессов. Всюду далее мы имеем дело со следующей ситуацией. Дана слабо сходящаяся последовательность мер уьп —* ц на локально выпуклом пространстве X. Рассматривается последовательность замкнутых квадратичных форм {£«}, где каждая форма £п определена на L2(/in) и имеет следующий вид на гладких функциях:

(5)

,е/ х

Здесь I — не более чем счетное множество индексов, е,- — вектор из X, a f,g е ^FCq'(X), где — линейная оболочка функций вида

C(Íi(íc), * • ■ С е Cg°(Rrt), li € X'. Через Т>(£п) обозначается

область определения £п. Если Ь2(цп) Э / Т>(£п), положим £„(/) '■=■ £„(f, f) = оо. Таким образом, можно считать, что £п определена на всем L2(fin) и

Ъ{£п) = {/ € L2(/x„), £„(/) < оо}.

Определение 4.1. Будем говорить, что /„ —> / сильно, где /„ € L2(/í„), если

J fn<P dß„ —> J ftp d/t

x x

для всех ip e FCf? и ||/„||^(Mn) -+ ||/||i>(í4).

Будем говорить, что /„ —* f слабо, если fx fngn dfin —► fx fg dß для любой сильно сходящейся последовательности д„ д.

Определение 4.2. Последовательность {£„ : L2(pn) —> R} квадратичных форм сходится по Моско к квадратичной форме £ на L2(p), если выполнены следующие условия:

(Ml) Для любой последовательности {/„} С L2(ßn), слабо сходящейся к /6 Ь2(м)> имеем £(/) < ]mn£„{fn)-

(М2) Для любой / 6 1?{ц) существует такая сильно сходящаяся последовательность /„ -> / с /„ £ L2{ßn), что £{}) — limn £„(fn).

В теории вариационного исчисления и уравнениях в частных производных широко применяется другой вид сходимости, введенный Де Джорджи и известный как Г-сходимость (24,25). Г-сходимость слабее сходимости Моско. Основное преимущество сходимости Моско состоит в следующем факте, доказанном в работах13,37. Пусть £п сходится к £ по Моско. Обозначим через £,„ генератор £„: £n(f, д) = — (£п/> и

через T„¿ = etCn соответствующую полугруппу. Тогда Tn¿fn —+ Ttf сильно для всех t > 0 и для любой сильно сходящейся последовательности /«-»/.

Пусть теперь Q = С([0, оо) —► X) — пространство всех непрерывных отображений из [0, оо) в X и Xt — координатная функция на íí, Xt(u>) = oj(t). Обозначим через Xt, Tu х 6 AT} диффузионный процесс, ассоциированный с (£,, £>(£,,)) (см.38). Положим

= JnPndi.

Если семейство мер {Viín} слабо компактно на ÍÍ, то при некоторых незначительных ограничениях на меры ßn сходимость Моско £п —► £ влечет слабую сходимость —► "Pp. Во многих случаях слабую компактность можно установить вероятностным методом.

Отметим, что предел Моско может не совпадать с ожидаемым. Например, пусть d = 1 и £n(f) = JR(f'(x))2pn(x)dx, где р„(х) = 1 /п при

s7Kuwae К., Shioya Т. Convergence of spectral structures: a functional analytic theory and its applications to spectral geometry. Comm. Anal. Geom., 2003, v, 11, n. 4, p. 599-673.

38Ma Z.-M-, Röckner M. Introduction to the theory of (non-symmetric) Dirichlet forms, Springer, 1992.

X g An и pn{x) = 1 при X £ An, где

An = \\[k + --^,k + -}, keZ, 1 <l<n. V: n n¿ n k,l

Ясно, что pn —» 1 почти всюду. Тем не менее, можно показать, что {£„} сходится к форме / —► | JR(f'(x))2dx.

Неожиданное явление в этом примере связано с тем, что

lim / — dx = 2 I tpdx n J Pn J

M R

для любой непрерывной функции <р с компактным носителем. В диссертации доказан следующий общий факт: последовательность форм Дирихле {£„}, где £■„(/) = /R(/')2Pn dx сходится к форме Дирихле, связанной специальным образом с мерой ß, которая является слабым пределом мер р^ху Мера /¿ может не быть, вообще говоря, абсолютно непрерывной. В работе39 было показано, что если d > 3, то любая форма Дирихле вида / »-+ fRj f2 dm, где m — некоторая борелевская мера, может быть получена как предел Моско градиентных форм / i-» fRd | V f\2pn dx.

Всюду далее, говоря о сходимости форм, мы имеем ввиду сходимость Моско. Основной целью этой главы является нахождение простых достаточных условия, при которых последовательность форм вида (5) сходится к форме вида

«/.»>-E/gt*"

,€/ X

где ¡i является слабым пределом /¿„.

Важным условием, которое мы всегда будем налагать на предельную форму, является требование „марковской единственности". В конечномерном случае это означаем, что весовые соболевские классы, т.е. классы слабо дифференцируемых функций с конечной нормой

/ -1' (ll/lli^dz) + \\Vf\\lHpdx)) ' (6)

совпадают при разных определениях. Существуют два определения:

1) „минимальный соболевский класс" получается пополнением по норме (6),

2) „максимальный соболевский класс" состоит из слабо дифференцируемых функций с конечной нормой (6). В общем случае они не совпадают (см.26). Похожим образом можно определить минимальные и максимальные соболевские классы и в бесконечномерном случае. Всюду далее

MCamar-Eddine M., Seppeeber P. Closure of the set of diffusion functional with respect to the Mosco- ■ convergence. Math. Models Methods Appl. Sei., 2002, v. 12, n 8, p. 1153-1176.

под Т>{£) мы имеем ввиду максимальный соболевский класс, связанный с формой £.

Рассмотрим суслинское локально выпуклое пространство X и конечную борелевскую меру тп на X с полным носителем. Пусть {е;} — не более чем счетный набор векторов из X. Для каждого е* зафиксируем такой вектор /,• 6 X*, что -ф 0. Обозначим через ТГ{ проекцию X на подпространство ^ = {а;: Ь{х) = 0}: щ{х) — х — ц^^г- Пусть тп( ■ т о — проекция тп на X,. Предположим, что тп представляется в виде прямого произведения тп( <1х) = р^з) йэ ■ т<( и условная плотность р*(в) — гладкая функция на прямой, локально отделенная от нуля.

Теорема 4.1 Пусть {()>„} — такая последовательность функций на X, что

1) 9п > 0 тп-п.в. и дп —+ д слабо в Ьх{т), причем д > 0 т-п.в.

2) для любой непрерывной функции компактным носителем и тп^почти всех х, € Х{

У 9п&+8е{) У д(х{ + Бе{) к к

Положим Цп = дп • т /х = д • т. Пусть {£п} — последовательность

форм Дирихле, где каждая£п — замыкание формы (£п, ТСо°) в Ь2 (цп) и

£„(/) = /х ¿Мп, / € ТС™. Предположим, что ТС™ плотно

в Т>{£) по норме

(или™+£(/))*, £(/)=I£(|£)V

Тогда £п -* £.

В качестве примера можно рассмотреть гауссовскую меру тп = 7 на локально выпуклом пространстве X и ортонормальный базис пространства Камерона-Мартина {е^}. Тогда £п(1) = fx 11^/11я5п ¿7-

В конечномерном случае условие конечности меры тп не так существенно и в качестве т можно взять меру Лебега на М"*, а в качестве {е<} стандартный ортонормированный базис. Тогда £п(/) = ||У/||2дп (1х.

Отметим, что метод изучения сходимости квадратичных форм, развитый в диссертации, применим не только к случаю, когда все меры в последовательности абсолютно непрерывны относительно некоторой фиксированной меры (как в предыдущей теореме). В качестве примера в работе рассмотрены так называемые гиббсовские распределения, широко применяемые в математической физике.

Наконец, получены результаты о сходимости для мер с логарифмическими частными производными.

Определение 4.3. Мера /г на локально выпуклом пространстве X обладает логарифмической частной производной Д 6 вдоль век-

тора е», если для любой функции <р 6 РС™ имеем

J deipdß=—J ßupdp.

Если ß — pdx — конечномерная мера, то ßi = Если ß — 7 — гауссовская мера, а е,- — единичный вектор из пространства Камерона-Мартина, то ßi — —ei — соответствующий измеримый линейный функционал. Если ft = р - 7 и р е И''1,1 (7), то ßi = —ei +

В конечномерном случае условие е L2(p dx) обеспечивает замыкае-мость формы f —* fx |V/|2p<ir. Более того, в этом случае минимальный и максимальный соболевские классы совпадают40. Имеется обобщение этого результата на бесконечномерный случай41. В частности, все формы из последующих теорем обладают свойством „марковской единственности".

Теорема 4.2 Пусть {р„} — последовательность положительных функций и каждая мера р„ dx — вероятностная. Пусть рп dx —> р dx слабо. Предположим, что р > 0 почти всюду и

тр f\Z*ldz<oo. п J Рп

Тогда £п - £, где £„(/) = JRd\Vf\2pndx, £(f) = JR,\Vf\2pdx.

Рассмотрим бесконечномерный аналог теоремы 4.2. Пусть 7 — гауссовская мера на локально выпуклом суслинском пространстве X. Мы фиксируем ортонормированный базис {ej} С Я в пространстве Камерона-Мартина Н. Через обозначается условное математическое ожидание относительно меры т и сигма-алгебры, порожденной {ei, • • ■ , ejv}.

Теорема 4.3 Пусть {рп} — последовательность вероятностных (относительно 7) плотностей. Положим р„ := рп • 7, ц := р • 7. Предположим, что {ßn} удовлетворяет следующим условиям:

1) рп(х) > 0, р(х) > 0 для у-почти всех х и р„—* р слабо в LJ( 7).

2) для всех п y/pü € W2,1(7) и для всех i

Г {deiPnf ,

sup I --— dy < 00

n J Pn X

40Rockner M., Zhang T. S. Uniqueness of generalized Schrodinger operators and applications. J. Funrt. Anal., 1992, n. 105, p. 187-231.

4lEberle A. Uniqueness and non-uniqueness of semigroups generated by singular diffusion operators. Lecture Notes in Math., v. 1718, 1999.

3) для всех i € IN

Тогда £п —* £, еде

£n(f) = Jw^HffHPndj, £(f) = JW^H/Wlpdy. x x

Если X — гильбертово пространство и supn Нд/РпЦи^-Нт) < °°> т0 распределения ассоциированных случайных процессов сходятся слабо:

Заметим, что условие 3) выполнено, если

ык Рп

Список основных работ автора по теме диссертации

[1] Kolesnikov A.V. On the diffusion semigroups preserving the log-concavity. J. Funct. Anal., 2001, v. 186, p. 196-205.

[2] Kolesnikov A.V. Correlation inequality and diffusion semigroups. Abstracts of the International Conference "Stochastic inequalities", Barcelona, 2002, p. 22-24.

[3] Колесников A.B. Неравенства выпуклости и нелинейные преобразования мер. Докл. РАН, 2004, т. 396, н. 3, с. 300-304.

[4] Kolesnikov A.V. Convexity inequalities and optimal transport of infinite-dimensional measures. J. Math. Pures Appl., 2004, v. 83, n. 11, p. 13731404.

[5] Богачев В.И., Колесников А.В., Медведев К.В. О треугольных преобразованиях мер: Докл. РАН, 2004, т. 396, н. 6, с. 727-732.

[6] Богачев В.И., Колесников А.В. Нелинейные преобразования выпуклых мер и энтропия плотностей Радона-Никодима. Докл. РАН, 2004, т. 397, н. 2, с. 155-159.

[7] Богачев В.И., Колесников А.В., Медведев К.В. Треугольные преобразования мер. Матем. сб., 2005, т. 196, н. 3, с. 3-30.

[8] Богачев В.И., Колесников А.В. Нелинейные преобразования выпуклых мер. Теория вероятн. и ее примен., 2005, т. 50, н. 1, с. 27-51.

[9] Kolesnikov A.V. Convergence of Dirichlet forms with changing speed measures on WLd. Forum. Math., 2005, n. 17, p. 225-259.

[10] Bogachev V.I, Kolesnikov A.V. On the Monge-Ampfere equation in infinite dimensions. Infin. Dimen. Anal. Quantum Probab., 2005, v. 8, n. 4, p. 1-26. .

[11] Богачев В.И., Колесников A.B. Интегрируемость абсолютно непрерывных преобразований мер и применения к оптимальному переносу масс. Теория вероятн. и ее примен., 2005, т. 50, п. 3, с. 3-25.

[12] Богачев В.И., Колесников A.B. Об уравнении Монжа-Ампера на винеровском пространстве. Докл. РАН., 2006, т. 406, н. 1, с. 1-5. — BiBoS Preprint N 05-01-175, Universität Bielefeld, 2005.

http://www .physik.uni- bielefeld.de/bibos/star t. ht ml

[13] Kolesnikov A.V. Mosco convergence of Dirichlet forms in infinite dimensions with changing reference measures. J. Funct. Anal., 2006, v. 230, n. 2, p. 382-418. — Preprint N 04-006, Universität Bielefeld, 2004.

http://www.math.uni-bielefeld.de/fgweb/preserv.html

[14] Kolesnikov A.V. Integrability of optimal mappings. SFB 701 Preprint N 05-1012, Universität Bielefeld, 2005, 11 p.

http://www.math.uni-bielefeld.de/sfb701/preprints/sfb05012.pdf

[15] Kolesnikov A.V. Weak convergence of diffusion processes on Wiener space. SFB 701 Preprint N 05-1013, Universität Bielefeld, 2005, 12 p.

http://www.math.uni-bielefeld.de/sfb701 / preprints / sfb05013.pdf

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Колесников, Александр Викторович

Введение и краткое содержание диссертации

Глава 1. Нелинейные преобразования мер и геометрические неравенства

1.1. Характеризация диффузионных полугрупп, сохраняющих логарифмически вогнутые функции

1.2. Другие классы функций

1.3. Замечания о гауссовском корреляционном неравенстве

Глава 2. Треугольные преобразования мер

2.1. Свойства треугольных преобразований мер

2.2. Оценки энтропии плотностей Радона-Никодима

2.3. Применения треугольных преобразований и оценок для энтропий

Глава 3. Оптимальные отображения

3.1. Конечномерные транспортные неравенства для выпуклых

3.2. Бесконечномерные оптимальные отображения ИЗ

3.3. Бесконечномерное уравнение Монжа-Ампера

3.4. Интегрируемость оптимальных отображений

Глава 4. Сходимость Моско

4.1. Сходимость гильбертовых пространств.

4.2. Условия компактности для сходимости Моско

4.3. Одномерный случай.

4.4. Сходимость бесконечномерных форм Дирихле

4.5. Сходимость Моско и логарифмические производные

Введение диссертация по математике, на тему "Нелинейные преобразования и сходимость вероятностных распределений"

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Нелинейные преобразования и различного рода сходимость вероятностных распределений являются важнейшими объектами изучения в большинстве задач теории вероятностей и теории случайных процессов. Эти объекты связывают теорию вероятностей с теорией меры, функциональным анализом, дифференциальными уравнениями и теорией экстремальных задач. Такие связи, возникшие более чем полвека назад в классических трудах А.Н. Колмогорова, А.Д. Александрова, H.H. Боголюбова, Н.М. Крылова, Дж. фон Неймана, JI.B. Канторовича, Ю.В. Прохорова, A.B. Скорохода и других исследователей, в настоящее время продолжают расширяться, обогащая взаимодействующие области математики. Особенно здесь можно отметить работы1'2'3'4'5,6. Подробный историко-библиографический обзор дан в книге7. В более позднее время существенный вклад в изучение всего комплекса проблем, связанных с нелинейными преобразованиями вероятностных распределений и сходимостью нелинейных образов мер, внесли В.Н. Судаков8, М. Талагран9, К. Ферник10, Я. Бренье и, Р. Маккэн12.

Основные результаты диссертации связаны с исследованием нелинейных преобразований вероятностных распределений, позволяющих меры

Александров А.Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел I—IV. Матем. сб., 1937, т. 2(44), в. 5, с. 947-972, в. 6, с. 1205-1238; 1938, т. 3(45), в. 1, с. 27-46, в. 2, с. 227-251.

Александров А.Д. О поверхностной функции выпуклого тела. Матем. сб., 1939, т. 6(48), в. 1, с. 167-174.

Александров А.Д. Существование и единственность выпуклой поверхности с заданной интегральной кривизной. ДАН СССР, 1942, в. 35, 131-134.

4Канторович JLB. О перемещении масс. ДАН СССР, 1942, т. 37, в. 7-8, с. 227-229.

Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, в. 2, с. 177-238.

Скороход A.B. Предельные теоремы для случайных процессов. Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, в. 3, с. 289-319.

Богачев В.И. Основы теории меры. Т. 1,2. Москва - Ижевск, РХД, 2003 Q

Судаков В.Н. Геометрические проблемы теории бесконечномерных вероятностных распределений. Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1976, т. 140, с. 1-190.

Talagrand M. Transportation cost for Gaussian and other product measures. Geom. Funct. Anal., 1996, n. 6, p. 587-600.

Fernique X. Extension du théorème de Cameron-Martin aux translations aléatoires. II. Intégrabilité des densités. Progr. Probab., v. 55, p. 95-102, Birkhäuser, Basel, 2003.

Brenier Y. Polar factorization and monotone rearrangement of vector valued functions. Comm. Pure Appl. Math., 1991, v. 44, p. 375-417.

McCann R.J. Existence and uniqueness of monotone measure-preserving maps. Duke Math. J., 1995, v. 80, p. 309-323. из заданных классов представлять в виде образов каких-либо простых мер (например, гауссовских), причем требуется, чтобы эти представления обладали некоторыми дополнительными свойствами. В качестве таких дополнительных свойств в диссертации выступают свойства инвариантности (преобразования, заданные диффузионными полугруппами), оптимальности (оптимальные отображения), а также некоторые специальные геометрические свойства (треугольные преобразования). Полученные результаты применяются к задачам теории вероятностей, бесконечномерного анализа, теории гауссовских мер, теории случайных процессов. Многие результаты диссертации тесно связаны с важными аналитическими неравенствами (логарифмическое неравенство Соболева и т.п.). Кроме того, в диссертации применяются методы слабой сходимости мер и вариационного исчисления к теории сходимости случайных процессов (сходимость Моско13).

0.0.1) 7(АП5) >7(Л)7(В) для произвольных выпуклых центрально-симметричных множеств А и 5в1пи всякой центрированной гауссовской меры 7. Основной к настоящему моменту прогресс был достигнут в работах15'16'17. Наиболее плодотворными методами исследования этого неравенства являются метод полугрупп и метод оптимальных отображений мер. В диссертации обсуждается применение обоих методов и доказываются некоторые частные

Mosco U. Composite media and Dirichlet forms. J. Funct. Anal., 1994, v. 123, p. 368-421.

Богачев В.И. Гауссовские меры.Москва: Наука, 1997.

Pitt L.D. A Gaussian correlation inequality for symmetric convex sets. Ann. Probab., 1977, p. 470474.

Schechtman G., Schlumprecht Т., Zinn J. On the Gaussian measure of the intersection of the symmetric, convex set. Ann. Probab., 1998, p. 346-357.

Hargé G. A particular case of correlation inequality for the Gaussian measure. Ann. Probab., 1999, v. 27, p. 1939-1951. случаи корреляционного неравенства. Применение метода оптимальных отображений мер к корреляционному неравенству было предложено в

Глава 2 посвящена изучению треугольных отображений мер. Треугольные отображения имеют ясную геометрическую структуру и находят многочисленные применения на стыке выпуклой геометрии и теории вероятностей (см.19'20). В диссертации исследованы фундаментальные свойства этих отображений. Интересно отметить, что треугольные отображения обладают многими свойствами, близкими к оптимальным, что, учитывая весьма сложную структуру последних, делает треугольные отображения полезным инструментом теории меры и геометрии. Например, как показано в главе 2, треугольные отображения удовлетворяют так называемому неравенству Талаграна для гауссовских (и более общих равномерно выпуклых) мер. Это наблюдение применяется к решению следующей известной проблемы теории гауссовских мер (см.21). Из классических результатов Ю.В. Прохорова, И.В. Гирсанова, A.B. Скорохода известно, что для заданной гауссовской меры 7 типичные преобразования, переводящие 7 в абсолютно непрерывную меру, имеют вид Т(х) = х + F(x), где F принимает значения в пространстве Камерона-Мартина Н. Преобразования такого вида — это абстрактные преобразования Гирсанова классического винеровского пространства; их исследованию посвящены многие работы (см. книги14'21'22 и библиографию в них). В случае классического винеровского пространства С[0,1] пространство Камерона-Мартина состоит из абсолютно непрерывных функций х с :г(0) = 0 и х' Е L2[0,1]. В работах Камерона и Мартина, Прохорова, Скорохода, Маруямы и Гирсанова было выяснено, что при весьма широких условиях отображение вида преобразует меру Винера в эквивалентную, причем многие важные в приложениях отображения, осуществляющие эквивалентные преобразования меры Винера, имеют указанную форму.

Долго оставался открытым вопрос о том, всегда ли можно перевести 7 в абсолютно непрерывную меру g • 7 преобразованием такого вида. При дополнительных ограничениях на g положительные результаты были получены Устюнелем, Закаем, Ферником. С помощью применения треугольных отображений в диссертации дано положительное решение

Caffarelli L.A. Monotonicity properties of optimal transportation and the FKG and related inequalities. Comm. Math. Phys., 2000, v. 214, n. 3, p. 547-563.

Knothe H. Contributions to the theory of convex bodies. Michigan Math. J., 1957, v. 4, p. 39-52.

20Bobkov S.G. Large deviations via transference plans. Adv. Math. Research, 2003, v. 2, p. 151-175. stiinel A.S., Zakai M. Transformation of measure on Wiener space. Springer, Berlin, 2000.

Липцер Р.Ш., Ширяев A.H. Статистика случайных процессов. M.: Наука, 1974. задачи в общем случае. Также в работе были получены оценки энтропии f glogg dj через функционалы от Т(х) — х. Полученные результаты были применены к проблеме обоснования формулы замены переменной в бесконечномерных пространствах.

В главе 3 изучаются бесконечномерная задача Монжа-Канторовича и бесконечномерное уравнение Монжа-Ампера. Как и в ситуации с треугольными отображениями, нас интересуют преобразования мер вида Т(х) = х + F(x), где F(x) G Н. Этим обусловлен специальный выбор функционала Монжа-Канторовича (минимизируется квадрат нормы Камерона-Мартина) .

Важным аппаратом бесконечномерной теории Монжа-Канторовича являются различные геометрическо-аналитические неравенства (логарифмическое неравенство Соболева, транспортное неравенство Талагра-на, изопериметрические неравенства, неравенства концентрации). Этим вопросам посвящены недавние работы С. Бобкова, М. Леду, М. Талагра-на, К. Ферника, JL Каффарелли, И. Жантиля, Ф. Отто, Ц. Виллани, Ф.-Ю. Ванга. Обширная библиография на эту тему имеется в23. Один из результатов главы 4 состоит в доказательстве новой серии неравенств этого типа, обобщающих транспортное неравенство Талаграна. В качестве следствия мы получаем существование такого преобразования Т меры 7 в меру д-7, где д 6 -£^(7) при некотором р > 1, что Т(х) = x+F(x), где exp(c||F||#) 6 L1^). Это заметно усиливает результат Ферника10. Другим важным результатом является вывод уравнения Монжа-Ампера в бесконечномерном случае.

Глава 4 посвящена сходимости квадратичных форм и слабой сходимости распределений ассоциированных случайных процессов. Основные результаты связаны со сходимостью Моско, впервые рассмотренной в работе13. Согласно этой работе, сходимость Моско квадратичных форм равносильна сильной сходимости ассоциированных полугрупп. В частности, отсюда следует слабая сходимость распределений ассоциированных случайных процессов. Сходимость Моско сильнее Г-сходимости, введенной Де Джорджи для задач вариационного исчисления (см.24'25). Слабая сходимость случайных процессов и сходимость ассоциированных полугрупп активно изучаются в связи со многими задачами стохастики и математической физики26'27,28. Особую роль играют задачи аппроксимации

Ledoux М. The concentration of measure phenomenon. Amer. Math. Soc., Providence, 2001.

Жиков B.B., Козлов C.M., Олейник O.A. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Наука, 1993.

Dal Maso G. An introduction to Г-convergence. Birkhauser Boston, Boston, 1993.

26Жиков B.B. Весовые соболевские пространства. Матем. сб., 1998, т. 189, в. 8, с. 1139-1170. ^Albeverio S., Kusuoka S., Streit L. Convergence of Dirichlet forms and associated Schrodinger operators. J. Funct. Anal., 1986. v. 68, p. 130-148.

Lyons T.J., Zhang T.S. Note on convergence of Dirichlet processes. Bull. London Math. Sci., 1993, v. 25, p. 353-356. бесконечномерных случайных процессов конечномерными. В диссертации получены простые достаточные условия сходимости Моско. В частности, получены приложения к некоторым моделям гиббсовских распределений. Также получены приложения к диффузионным процессам на винеровском пространстве.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Исследованы треугольные преобразования вероятностных мер. Изучены общие свойства треугольных преобразований. Получено обобщение неравенства Талаграна для треугольных отображений.

3. Исследован бесконечномерный аналог задачи Монжа-Канторовича.

4. Выведено уравнение Монжа-Ампера в бесконечномерном случае.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре „Бесконечномерный анализ и стохастика" под руководством В.И.Богачева и на семинаре под руководством Б.С.Кашина и С.В.Конягина на механико-математическом факультете Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, на семинаре отдела теории вероятностей Математического института РАН имени В.А. Стеклова, на семинаре отдела теории вероятностей Петербургского отделения математического института РАН имени В.А. Стеклова, на международной конференции „Stochastic calculus and mathematical physics" (Билефельд, Германия, 2000 г.), на международной конференции „Stochastic calculus and related topics" (Санкт-Петербург, 2001 г.), на международной конференции „Stochastic inequalities" (Барселона, 2002 г.), на семинаре по стохастическому анализу университета города Билефельда (Германия), на семинаре „Colloquium De Giorgi" Высшей нормальной школы города Пизы (Италия), а также на семинарах Владимирского педагогического государственного университета, университета города Лечче (Италия) и Пекинского нормального университета.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 170 наименований. Общий объем диссертации составляет 238 страниц.

Список источников диссертации и автореферата по математике, доктора физико-математических наук, Колесников, Александр Викторович, Москва

1. Александров А.Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел 1.IV. — Мат. Сборник, 1937, т. 2, в. 44, п. 5,6; 1938, т. 3, в. 45, п. 1,2.

2. Александров А.Д. О поверхностной функции выпуклого тела. — Мат. Сборник, 1939, т. 6, в. 48, п. 1, с. 167-174.

3. Александрова Д.Е. Сходимость треугольных преобразований мер. — Теория вероятн. и ее при-мен., 2005, т. 50, п. 1, с. 145-150.

4. Банах Т.О., Богачев В.И., Колесников A.B. О топологических пространствах со свойствами Прохорова и Скорохода. ДАН, 2001, т. 380, п. 6, с. 727-730.

5. Богачев В.И. Гауссовские меры. М.: Наука, 1997.

6. Богачев В.И. Основы теории меры, т. 1,2. РХД, Москва Ижевск, 2003.

7. Богачев В.И., Колесников А. В. Открытые отображения вероятностных мер и теорема представления Скорохода. — Теория вероятн. и ее примен., 2001, т. 46, п. 1, с. 3-27.

8. Бураго Д.М., Залгаллер В.А. Геометрические неравенства. JL: Наука, 1980.

9. Гихман И.И, Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения, Наукова думка, 1968.

10. Жиков В.В. Весовые соболевские пространства. — Мат. Сборник., 1998, т. 189, п. 8, с. 1139-1170.

11. Жиков В.В. К проблеме предельного перехода в дивергентных неравномерно эллиптических уравнениях. — Функ. анал. и его прил., 2001, т. 35, в. 1, с. 23-39.

12. Жиков В.В., Пятницкий A.JI. Усреднение случайных сингулярных структур и случайных мер.Изв. РАН, серия мат., 2006, т. 70, в. 1, с. 241-290.

13. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник O.A. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Наука, 1993.

14. Канторович JI.B. О перемещении масс. ДАН СССР, 1942, т. 37, с. 227-229.

15. Колмогоров А.Н. О сходимости Скорохода. — Теор. вер. и ее примен., 1956, т. 1.

16. Колесников A.B. О топологических свойствах пространства Скорохода. — Теория вероятн. и ее примен., 1998, т. 43, п. 4, с. 781-786.

17. Колесников A.B. О непрерывных образах меры Лебега. — Матем. заметки., 1999, т. 65, п. 5, с. 790-793.

18. Колесников A.B. О полугруппах, сохраняющих логарифмическую вогнутость функций. — Докл. РАН, 2001, т. 376, п. 4, с. 449-450.

19. Кругова Е.П. О сдвигах выпуклых мер. — Мат. Сборник, 188, 1997, п. 2, с. 57-66.

20. Кулик A.M., Пилипенко А.Ю. Нелинейные преобразования гладких мер на бесконечномерных пространствах. — Укр. мат. журн., 2000, т. 52, п. 9, с. 1226-1250.

21. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

22. Мазья В.Г. Пространства C.JI. Соболева, Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.

23. Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей.Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, п. 2, с. 177-238.

24. Рокафеллар Т. Выпуклый анализ. Мир, М., 1973.

25. Скороход A.B. Предельные теоремы для случайных процессов. — Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, п. 3, с. 289-319.

26. Судаков В.Н. Геометрические проблемы теории бесконечномерных вероятностных распределений. Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1976, т. 140, с. 1-190.

27. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989.

28. Agueh M., Ghoussoub N., Kang X. Geometric inequalities via a general comparison principle for interacting gases. — Geom. Funct. Anal., 2004, v. 14, p. 215-244.

29. Albeverio S., H0egh-Krohn R., Streit L. Regularization of Hamiltonians and processes. — J.Math. Phys. 1980, v. 21, p. 1636-1642.

30. Albeverio S., Kondratiev Yu.G., Röckner M. Dirichlet operators via stochastic analysis. — J. Funct. Anal., 1995, v. 128, p. 102-138.

31. Albeverio S., Kondratiev Yu.G., Röckner M. Ergodicity for the stochastic dynamics of quasi-invariant measures with applications to Gibbs states. — J. Funct. Anal., 1997, v. 149, p. 415-469.

32. Albeverio S., Kondratiev Yu.G., Röckner M., Tsikalenko T.V. A priori estimates for symmetrizing measures and their applications to Gibbs states. — J. Funct. Anal., 2000, v. 171, p. 366-400.

33. Albeverio S., Kusuoka S., Streit L. Convergence of Dirichlet forms and associated Schrödinger operators. — J. Funct. Anal., 1986, v. 68, p. 130-148.

34. Albeverio S., Röckner M. Classical Dirichlet forms on topological vector spaces — closability and a Cameron-Martin formula. — J. Funct. Anal., 1990, v. 88, p. 395-436.

35. Ambrosio L., Pratelli A. Existence and stability results in the L1 theory of optimal transportation. Optimal transportation and applications (Martina Franca, 2001), 123-160, Lecture Notes in Math., 1813, Springer, Berlin, 2003.

36. Ambrosio L., Gigli N., Savaré G. Gradient flows in metric spaces and in the Wasserstein spaces of probability measures. Lectures in Math., ETH Zurich.

37. Bafico R., Pistone G. G-convergence of generators and weak convergence of diffusions. — Ann. Inst. Henri Poincaré, 1985, v. 21., n. 1, p. 1-13.

38. Bakry D., Michel D. Sur les inégalités F.K.G. — Séminaire de Probabilités XXVI., Lecture Notes in Math. 1526,1990, p. 170-188. Springer, Berlin.

39. Banakh T.O., Bogâchev V.l., Kolesnikov A.V. Topological spaces with the strong Skorokhod property. Georgian Math. Journal, 2001, v. 8, n. 2, p. 201-222.

40. Barthe F., Autour de l'inégalité de Brunn-Minkowski. — Ann. Fac. Sei. Toulouse Math. XII, 2003, p. 127-178.

41. Biroli M., Mosco U. A Saint-Venant principle for Dirichlet forms on discontinuous media. — Annali di Matematica pura ed applicata IV, CLXIX, 125-181, 1995.

42. Bobkov S.G. Isoperimetric and analytic inequalities for log-concave probability measures. — Ann. Probab., 1999, v. 27, n. 4, p. 1903-1921.

43. Bobkov S.G. Large deviations via transference plans. — Advances in Math. Research, v. 2. p. 151-175. Nova Sei. Publ., New York, 2003.

44. Bobkov S.G., Gentil I., Ledoux M. Hypercontractivity of Hamilton-Jacobi equations. — J. Math. Pures Appl., 2001, v. 80, n 7, p. 669-696.

45. Bobkov S.G., Götze F. Exponential integrability and transportation cost related to logarithmic Sobolev inequality. — J. Funct. Anal., 1999, v. 163, p. 1-28.

46. Bobkov, S.G., Ledoux, M. From Brunn-Minkovsky to Brascamp-Lieb and to logarithmic Sobolev inequality. — Geom. and Funct. Anal., 2000, v. 10, p. 1028-1052.

47. Bogachev V.l. Differentiable measures and the Malliavin calculus. — J. Math. Sei., 1997, v. 87, n. 5, p. 3577-3731.

48. Bogachev V.l., Goldys B., On second order derivatives of convex functions. Preprints der Forschergruppe "Spektrale Analysis und stochastische Dynamik" N 04-046, 2004, Universität Bielefeld.

49. Bogachev V., Röckner M., Schmuland B., Generalized Mehler semigroups and applications. — Probab. Theory Relat. Fields, 1996, v. 105, n. 2, p. 193-225.

50. Boreil C. Convex measures on locally convex spaces. — Ark. Math., 1974, v. 12, n. 2, p. 239-252.

51. Borell C. A note on conditional probabilities of a convex measure. Vector space measures and applications (Proc. Conf., Univ. Dublin, Dublin, 1977), II, p. 68-72, Lecture Notes in Phys. v. 77. Springer, Berlin New York, 1978.

52. Borell C. A Gaussian correlation inequality for certain bodies in Rd. — Math. Ann., 1981, v. 256, p. 569-573.

53. Borell C. Greenian potential and concavity. — Math. Ann., 1985, v. 272, p. 155-160.

54. Borell C. Brownian motion with negative drift and convex level sets in space-time. — Probab. Theory Rel. Fields, 1991, n. 87, p. 403-409.

55. Borell C. Geometric properties of some familiar diffusions in R". — Ann. Probab., 1993, v. 21, n. 3, p. 482-489.

56. Borell C. A note on parabolic convexity and heat conduction. — Ann. Inst. Henry Poincaré, 1996, v. 32, n. 3, p. 387-393.

57. Brascamp H., Lieb E.H. On extensions of the Brunn-Minkowski and Prékopa-Leindler theorems, including inequalities for log concave functions, and with an application to the diffusion equation. — J. Funct. Anal., 1976, v. 22, p. 366-389.

58. Brenier Y. Polar factorization and monotone rearrangement of vector valued functions. — Comm. Pure Appl. Math., 1991, v. 44, p. 375-417.

59. Briane M., Tchou N. Fibered microstructures for some nonlocal Dirichlet forms. — Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sei., 2001, v. 4, p. 681-711.

60. Caffarelli L.A. Some regularity properties of solutions of Monge-Ampère equation. — Comm. Pure Appl. Math., 1991, v. 44, n. 8-9, p. 965-969.

61. Caffarelli L.A. The regularity of mappings with a convex potential., 1992. v. 5, n. 1, p. 99-104.

62. Caffarelli L.A. Monotonicity properties of optimal transportation and the FKG and related inequalities. Comm. Math. Phys., 2000, v. 214, n. 3, p. 547-563.

63. Camar-Eddine M., Seppecher P. Closure of the set of diffusion functional with respect to the Mosco-convergence. Math. Models Methods Appl. Sci., 2002, v. 12, n. 8, p. 1153-1176.

64. Cassano F.S. On the local boundedness of certain solutions for a class of degenerate elliptic equations.- Boll. Un. Mat. Ital. B (7), 1996, v. 10, p. 651-680.

65. Cattiaux P., FVadon M. Entropy, reversible diffusion processes, and Markov uniqueness. — J. Funct. Anal., 1996, v. 138, p. 243-272.

66. Cordero-Erausquin D. Non-smooth differential properties of optimal transport. — In: Recent advances in the theory and applications of mass transport, Contemporary Mathematics, 2004, v. 353, p. 61-71, American Math. Soc., Providence, Rhode Island.

67. Cordero-Erausquin D. Some applications of mass transport to Gaussian-type inequalities. — Arch. Rat. Mech. Anal., 2002, v. 161. p. 257-269.

68. Cordero-Erausquin D., Nazaret B., Villani C. A mass-transportation approach to sharp Sobolev and Gagliardo-Nirenberg inequalities. — Adv. Math., 2004, v. 182, n. 2, p. 307-332.

69. Eberle A. Uniqueness and non-uniqueness of semigroups generated by singular diffusion operators., Springer, 1999. (Lecture Notes in Math.; 1718).

70. Evans L. S., Gariepy R. F. Measure theory and fine properties of functions, CRC Press, Boca Raton/New York/Tokyo, 1992.

71. Fernique X. Extension du théorème de Cameron-Martin aux translations aléatoires. — Ann. Probab., 2003. v. 31, n.3. p. 1296-1304.

72. Feyel D., Ustunel A.S., The notions of convexity and concavity on Wiener space. — J. Funct. Anal., 2000, v. 176, p. 400-428.

73. Feyel D., Ùstiinel A.S. Transport of measures on Wiener space and the Girsanov theorem. — C. R. Acad. Sci. Paris., 2002, v. 334, n. 1, p. 1025-1028.

74. Feyel D., Ustunel A.S. Monge-Kantorovitch measure transportation and Monge-Ampère equation on Wiener space. — Probab. Theory Relat. Fields., 2004, v. 128, n. 3, p. 347-385.

75. Feyel D., Ustunel A.S., Solution of the Monge-Ampère equation on Wiener space for log-concave measures: general case. — Preprint Arxiv.org (2004).

76. Fukushima M. BV functions and distorted Ornstein Uhlenbeck processes over the abstract Wiener space. J. Funct. Anal., 2000, v. 174, p. 227-249.

77. Fukushima M., Hino M. On the space of BV functions and a related stochastic calculus in infinite dimensions. — J. Funct. Anal., 2001, v. 183, p. 245-268.

78. Fukushima M., Oshima Y., Takeda M. Dirichlet forms and symmetric Markov processes, de Gruyter, 1994.

79. Friedman F. Partial Differential Equations. New York, Holt, Reinhart and Winston, 1969.

80. Gangbo W., McCann R.J. The geometry of optimal transportation. — Acta Math., 1996, v. 177, p. 113-161.

81. Gentil. I., Guillin A., Miclo L. Modified logarithmic Sobolev inequalities and transportation inequalities — Probab. Theory Rel. Fields, 2005, v. 133, n. 3.

82. Georgii H.-O. Gibbs measures and phase transitions, Studies in Mathematics, v. 9, de Gruyter, Berlin/New-York, 1988.

83. Grothaus M., Kondratiev Yu., Lytvinov Eu., Rôckner M.: Scaling limit of stochastic dynamics in classical continuous systems. — Ann. Probab., 2003, v. 31, n. 3, p. 1494-1532.

84. Hajlasz P. Change of variables formula under minimal assumptions. — Colloq. Math., 1993, v. 64, n. 1, p. 93-101.

85. Hargé G. A particular case of correlation inequality for the Gaussian measure. — Ann. Probab., 1999, v. 27, p. 1939-1951.

86. Hargé G., A convex/log-concave correlation inequality for Gaussian measure and an application to abstract Wiener spaces. — Probab. Theory Related Fields, 2004, v. 13, n. 3, p. 415-440.

87. Herbst I., Pitt L., Diffusion equation techniques in stochastic monotonicity and positive correlations.- Probab. Theory Rel.Fields, 1991, v. 87, p. 275-312.

88. Hino M. Convergence of non-symmetric forms. — J. Math. Kyoto Univ., 1998, v. 38, n. 2, p. 329-341.

89. Hunt G. A. Semi-groups of measures on Lie groups. — Trans. Amer. math. Soc., 1956, v. 81, p. 264293.

90. Kawohl B. Starshapedness of level sets for the obtacle problem and for the capacitory potential problem. Proc. Amer. Math. Soc.,1983, v. 89, n. 4, p. 637-640.

91. Kawohl B. When are superharmonic functions concave? Application to the St. Venant torsion problem and to the fundamental mode of the clamped membrane. — Z. Angew. Math. Mech., 1984, v. 64, p. 364-366.

92. Kechris A. Classical descriptive set theory. Springer, Berlin New York, 1995.

93. Kennington A. Power concavity and boundary value problems. — Indiana Univ. Math. Jour.,1985, v. 34, n. 3, p. 687-704.

94. Khatri C.G. On certain inequalities for normal distributions and their applications to simultaneous confidence bodies. — Ann. Math. Statist., 1967, v. 38, p. 1853-1857.

95. Knothe H. Contributions to the theory of convex bodies. — Michigan Math. J., 1957, v. 4, p. 39-52.

96. Kolesnikov A. V. On diffusion semigroups and log-concavity. — Тезисы докладов международной конференции "Stochastic calculus and related topics", Санкт-Петербург, 2001, с. 43.

97. Korevaar N. J. Convex solutions to nonlinear elliptic and parabolic boundary value problem. — Indiana Univ. Math. Jour., 1983, v. 32, n. 4, p. 603-614.

98. Krylov N.V. On SPDEs and superdiffusions. Ann. Probab., 1997, v. 25, p. 1789-1809.

99. Kulik A.M. Log-Sobolev inequality, exponential integrability and large deviation estimates for C(a,/3) log-concave measures. — Random Oper. Stochastic Equations, 2002, v. 10, n. 2, p. 105-122.

100. Kuwae K., Shioya T. Convergence of spectral structures: a functional analytic theory and its applications to spectral geometry. — Comm. Anal. Geom., 2003, v. 11, n. 4, p. 599-673.

101. Kuwae K., Uemura T. Weak convergence of symmetric diffusion processes. — Probab. Theory Relat. Fields, 1997, v. 109, p. 159-182.

102. Kuwae K., Uemura T. Weak convergence of symmetric diffusion processes II. — Proc. of the 7th Japan-Russia Symp. Probab. Theory Math. Stat., p. 256-265, word Scientific, 1996.

103. Latala R., Oleskiewicz K. Between Sobolev and Poincaré . — In Geometric aspects of functional analysis, Lecture Notes in Math., 2000, v. 1745, p. 147-168. Springer, Berlin.

104. Lavrentiev M., Sur quelques problems du calcul variations. — Ann. Mat. Рига Appl., 1926, v. 4, p. 7-28.

105. Ledoux M. Isoperimetry and Gaussian Analysis, Lecture Notes in Math., 1996, v. 1648, p. 165-294.

106. Ledoux M., Talagrand M. Probability in Banach Spaces. Isoperimetry and Processes, SpringerVerlag, Berlin New York, 1991.

107. Ledoux M. The concentration of measure phenomenon. Mathematical Surveys and Monographs 89. Amer. Math. Soc., 2001.

108. Linde W., Probability in Banach spaces stable and infinitely divisible distributions, Chichester; New York : Wiley, 1986.

109. Lyons T.J., Zhang T.S. Note on convergence of Dirichlet processes. — Bull. London Math. Sci.,1993, v. 25, p. 353-356.

110. Lyons T.J., Zhang T.S. Decomposition of Dirichlet processes and its application. — Ann. Probab.,1994, v. 22, n. 1, p. 494-524.

111. Lyons T.J., Zhang T.S. Convergence of non-symmetric Dirichlet processes. — Stochastics and Stoch. Reports, 1996, v. 57, p. 159-167.

112. Lyons T.J., Zheng W. A crossing estimate for the canonical process on a Dirichlet space and tightness result. — Colloque Paul Levy sur processus stochastique: Asrterisque, 1988, v. 157-158, p. 249372.

113. Ma Z.M., Rôckner M. An introduction to the theory of (non-symmetric) Dirichlet forms, Springer, Berlin, 1992.

114. McCann R.J. Existence and uniqueness of monotone measure-preserving maps. — Duke Math.,1995, v. 80, p. 309-323.

115. McCann R.J., A convexity principle for interacting gases. — Adv. Math.,1997, v. 128, n. 1, p. 153179.

116. Monge G. Mémoire sur la théorie des Dédiais et de remblais, Histoire de l'Acad'emic Royale des science, 1781.

117. Mosco U. Composite media and Dirichlet forms. — J. Funct. Anal., 1994, v. 123, p. 368-421.

118. Muckenhoupt B. Weighted norm inequalities for Hardy maximal functions. — Trans. Amer. Math. Soc., 1972, v. 165, p. 207-226.

119. Ogura Y., Tomisaki M., Tsuchiya M. Convergence of local type Dirichlet forms to a non-local type one. Ann. I. H. Poincaré - PR 2002, v. 38, n. 4, p. 507-556.

120. Otto F., Villani C. Generalization of an inequality by Talagrand, and links with the logarithmic Sobolev inequality. — J. Funct. Anal., 2000, v. 173, p. 361-400.

121. Pisier G. Probabilistic methods in the geometry of Banach spaces. Lecture Notes in Math., v. 1206, p. 167-241, Springer-Verlag, Berlin, 1986.

122. Pitt L. D. A Gaussian correlation inequality for symmetric convex sets. — Ann. Probab., 1977, v. 5, p. 470-474.

123. Posilicano A. Convergence of distorted Brownian motions and singular hamiltonians. — Potential Analysis, 1996, v. 5, p. 241-271.

124. Posilicano, A., Zhang, T.S. Convergence of symmetric diffusions on Wiener spaces. — Acta Math. Appl. Sin. Engl. Ser., 2004, v. 20, n. 1, p. 19-24.

125. Ргёкора A. On logarithmic concave measures and functions. — Acta Sci. Math., 1973, v. 34, p. 335343.

126. Preston C. Random Fields, Lecture Notes in Math., v. 534, Springer, Berlin/New-York, 1976.

127. Pugachev 0. On closability of classical Dirichlet forms. — J. Funct. Anal., 2004, v. 207, n. 2, p. 330-343.

128. Rachev S.T., Riischendorf L. Mass Transportation Problems. V i—ii. Springer, 1998.

129. Reed M., Simon B. Methods of modern mathematical physics. II. Fourier analysis, self-adjointness. New York, Academic Press, 1975.

130. Rockner M., Schmuland B. Tightness of general CiiP-capacities on Banach space. — J. Funct. Anal., 1992, v. 108, p. 1-12.

131. Rockner M., Zhang T. S. Convergence of operator semigroups generated by elliptic operators. — Osaka J. Math., 1997, v. 34, p. 923-932.

132. Rockner M., Zhang T. S. Uniqueness of generalized Schrodinger operators and applications. — J. Funct. Anal., 1992, v. 105, p. 187-231.

133. Rockner M., Zhang T. S. Uniqueness of generalized Schrodinger operators and applications II. — J. Funct. Anal., 1994, v. 119, p. 455-467.

134. Rockner M., Zhang T. S. Finite dimensional approximation of diffusion processes on infinite dimensional spaces. — Stochastics and Stoch. Reports, 1996, v. 57, p. 37-55.

135. Schechtman G., Schlumprecht Т., Zinn J. On the Gaussian measure of the intersection of the symmetric, convex sets. — Ann. Probab., 1998, v. 26, p. 346-357.

136. Shepp L. Distinguishing a sequence of random variables from a translate of itself. — Ann. Math. Statist., 1965, v. 36, p. 1107-1112.

137. Sherman S. A theorem on convex sets with applications. — Ann. Math. Statist., 1955, v. 26, p. 763766.

138. Siddk Z., Rectangular confidence regions for the mean of multivariate normal distributions. — J. Amer. Statist. Assoc., 1967, v. 62, p. 626-623

139. Sturm К. T. Analysis on local Dirichlet spaces I. Recurrence, conservativeness and Lp-Liouville properties. — J. Reine Angew. Math., 1994, v. 456, p. 173-196.

140. Sturm К. T. Analysis on local Dirichlet spaces II. Upper Gaussian estimates for the fundamental solution of parabolic equations. — Osaka J. Math., 1995, v. 32, p. 275-312.

141. Sugita H., Positive generalized Wiener functions and potential theory over abstract Wiener spaces. Osaka J. Math., 1988, v. 25, n. 3, p. 665-696.

142. Takeda M. On a martingal method for symmetric diffusion processes and its applications. — Osaka J. Math., 1989, v. 26, p. 605-623.

143. Talagrand M. Transportation cost for Gaussian and other product measures. — Geom. Funct. Anal., 1996, v. 6, p. 587-600.

144. Taylor M., Partial differential equations II. Qualitative studies of linear equations. — Springer. New York, 1991.

145. Tuero A. On the stochastic convergence of representations based on Wasserstein metrics. — Ann. Probab., 1993, v. 21, n. 1, p. 72-85.

146. Villani C. Topics in Optimal Transportation. Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 2003.

147. Uemura T. On weak convergence of diffusion processes generated by energy forms. — Osaka J. Math., 1995, v. 32, p. 861-868.

148. Ustunel A.S., Zakai M. Measures induced on Wiener space by monotone shifts. — Probab. Theory Relat. Fields, 1996, v. 105, p. 545-563.

149. Ustunel A.S., Zakai M. On the uniform integrability of the Radon-Nikodym densities for Wiener measure. — J. Funct. Anal., 1998, v. 159, p. 642-663.

150. Ustunel A.S., Zakai M. Transformation of measure on Wiener space. Springer, Berlin, 2000.

151. Wang F.Y. Logarithmic Sobolev inequalities on non-compact Riemannian manifolds. — Probab. Theory Relat. Fields, 1997, v. 109, p. 417-424.

152. Wang F.Y. Probability distance inequalities on Riemannian manifolds and path spaces. — J. Funct. Anal., 2004, v. 206, p. 167-190.Список работ автора по теме диссертации.

153. Kolesnikov A.V. On the diffusion semigroups preserving the log-concavity. — J. Funct. Anal., 2001, v. 186, p. 196-205.

154. Kolesnikov A.V. Correlation inequality and diffusion semigroups. Abstracts of the International Conference "Stochastic inequalities", Barcelona, 2002, p. 22-24.

155. Колесников A.B. Неравенства выпуклости и нелинейные преобразования мер. — Докл. РАН,2004, т. 396, п. 3, с. 300-304.

156. Kolesnikov A.V. Convexity inequalities and optimal transport of infinite-dimensional measures. — J. Math. Pures Appl., 2004, v. 83, n. 11, p. 1373-1404.

157. Богачев В.И., Колесников A.B., Медведев K.B. О треугольных преобразованиях мер. — Докл. РАН, 2004, т. 396, п. 6, с. 727-732.

158. Богачев В.И., Колесников A.B. Нелинейные преобразования выпуклых мер и энтропия плотностей Радона-Никодима. — Докл. РАН, 2004, т. 397, п. 2, с. 155-159.

159. Богачев В.И., Колесников A.B., Медведев К.В. Треугольные преобразования мер. — Матем. сб., 2005, т. 196, п. 3, с. 3-30.

160. Богачев В.И., Колесников A.B. Нелинейные преобразования выпуклых мер. — Теория вероятн. и ее примен., 2005, т. 50, п. 1, с. 27-51.

161. Kolesnikov A.V. Convergence of Dirichlet forms with changing speed measures on Rd. — Forum. Math., 2005, n. 17, p. 225-259.

162. Bogachev V.I, Kolesnikov A.V. On the Monge-Ampfere equation in infinite dimensions. — Infin. Dimen. Anal. Quantum Probab. and Relat. Topics, 2005, v. 8, n. 4, p. 547-572.

163. Богачев В.И., Колесников A.B. Интегрируемость абсолютно непрерывных преобразований мер и применения к оптимальному переносу масс. — Теория вероятн. и ее примен., 2005, т. 50, п. 3, с. 3-25.

164. Богачев В.И., Колесников A.B. Об уравнении Монжа-Ампера на винеровском пространстве. Докл. РАН., 2006, т. 406, п. 1, с. 433-456. - BiBoS Preprint N 05-01-175, Universität Bielefeld,2005.http://www.physik.uni-bielefeld.de/bibos / start.html

165. Kolesnikov A.V. Integrability of optimal mappings. — SFB 701 Preprint N 05-1012, Universität Bielefeld, 2005, lip.http://www.math.uni-bielefeld.de/sfb701/preprints/sfb05012.pdf

166. Kolesnikov A.V. Weak convergence of diffusion processes on Wiener space. — SFB 701 Preprint N 05-1013, Universität Bielefeld, 2005,12 p.http: //www.math.uni-bielefeld.de/sfb701 /preprints / sfb05013.pdf