Нелинейные преобразования мер в задачах стохастического анализа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

_ г Г; Я Механико-математический факультет £ \ й V*' т -

а с п?К и&з

\ ни На правах рукоппсп

ТОЛМАЧЕВ НИКОЛАЙ АНДРЕЕВИЧ

УДК 517.987.1

НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МЕР В ЗАДАЧАХ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

01.01.01 - математический аналпз

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1996 г.

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

профессор В. И. Богачев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор А. Ю. Веретенников доктор физико-математических наук профессор А. В. Угланов

Ведущая организация - Математический институт им. В.А. Стеклова

Защита диссертации состоится " г. в 16 час. 05 мин.

на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП. Москва, Воробьевы Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ, Главное здание, 14 этаж.

Автореферат разослан "¿Й_'_р.Я1996г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ доктор физико-математических

наук, профессор Т. П. Лукашенко

1. Обшая характеристика работы

Актуальность темы. Изучение нелинейных преобразований мер — одно нз классических направлений функционального анализа, теории случайных процессов н теорпп динамических систем.

В последнее время особенно активно изучались преобразования мер на бесконечномерных линейных пространствах п многообразиях. С одной стороны, это связано с общпм развптпем бесконечномерного анализа, в частностп, теории интегрирования на бесконечномерных многообразиях п геометрической теорпп меры. С другой стороны, проблемы такого рода возникают в стохастическом анализе, математической физике, теорпп управления.

Идеи и методы стохастического анализа сталп в настоящее время неотъемлемой частью бесконечномерного анализа. Стохастические дифференциальные уравнения дают характерный пример, раскрывающий взаимодействие анализа п стохастпкп. Один из плодотворных подходов к изучению стохастического дифференциального уравнения

d£ = A(S)dWt+B{S)dt

состоит в сведении его к задаче отыскания меры ц в функциональном пространстве, которая прп заданном (вообще говоря, нелинейном) отображении F переходит в заданную меру и.

Этот подход восходит к работам И.В. Гирсанова1 и A.B. Скорохода2, а его аналитические аспекты изложены М.П. Ершо-

1 Гирсанов И.В. О преобразовании одного класса случайных процессов с помощью абсолютно непрерывной замены меры// Теор. вероятн. и ее примен., 1960, т. 5, No 3, с. 314-330.

2Скороход A.B. О дифференшруемостп мер, соответствующих случайным процессам// Теор. вероятн. и ее примен., 1960, т. 5, No 1, с. 45-53.

Typeset by AmS-T&

вым3-4-5.

Следует также подчеркнуть, что теория стохастических дифференциальных уравнений — основной источник построения конкретных нетривиальных примеров мер на бесконечномерных пространствах.

Аналитические проблемы, связанные с нелинейными преобразованиями мер, можно условно подразделить на два основных направления:

1) существование мер, удовлетворяющих определенным нелинейным соотношениям (типа упомянутого выше примера или классической задачи об инвариантных мерах преобразования),

2) исследование дифференциальной структуры мер, возникающих при решении относящихся к первому направлению задач, а также при других нелинейных преобразованиях мер.

Характерный пример задачи второго направления — изучение гладкости переходных вероятностей и инвариантных мер диффузионных процессов. Широкий круг вопросов, связанных с последним направлением, освещен в работах6,7'8

Цель работы. Исследование нелинейных преобразований мер в бесконечномерных пространствах, в частности, изучение .дифференциальной структуры распределений диффузионных процессов и переходных и инвариантных мер таких про-

3Ершов М.П. Продолжения мер и стохастические уравнения// Теория вероятн. и ее примен., 1974, т. 19, No 3, с. 457-471.

4Ershov M.P. Extensions of measures. Stochastic équations// Lect. Notes in Math. 330 (1973), p, 516-526.

5Jerschow M. Causal sélections and solutions of stochastic équations// Stochastics and Stoch. Reports 50 (1994), p. 161-173.

бБогачев В. И., Смоляное О. Г. Аналитические свойства бесконечномерных распределений// Успехи мат. наук, 1990, т. 45, No 3, с. 3-83.

7БелопольскаяЯ.И., Далецкий Ю.Л. Стохастические уравнения и дифференциальная геометрия// Киев: Вища школа, 1989, 295 с.

8V. I. Bogachev and M. Rock пег, Régulant;/ of invariant measures in finite and infinité dimensional spaces and applications// J. Funct. Anal., 1995, vol. 133, No 1, p. 168-223.

цсссов.

Научная новизна. Все полученные в работе результаты являются новыми п состоят в следующем.

1. Доказана высказанная в работе6 гипотеза: распределение диффузионного процесса с гладким коэффициентом дпффузпп не может быть исключительной мерой в смысле Ароншайна.

2. Построен первый пример полиномиального преобразования гильбертова шара, которое не имеет неподвижных точек, но имеет инвариантные меры.

3. Построен первый пример невырожденной бесконечномерной дпффузпп с гладкими коэффициентами, для которой переходные вероятности ц инвариантная: мера не являются гладкими в смысле C.B. Фомина.

Методы исследования. Результаты диссертации получены с использованием методов аналитической теорпп меры, нелинейного функционального анализа и стохастического анализа. Кроме того, использован ряд специальных конструкций, разработанных автором.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер п могут быть попользованы в различных вопросах нелинейного анализа, теорпп меры, теории случайных процессов п пх приложений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-псследовательскпх семинарах „Бесконечномерный анализ и стохастика" (руководитель -д.ф;-м.н. В. И. Богачев), „Дифференциальные уравнения п меры в бесконечномерных пространствах" (руководители - проф. О. Г. Смолянов, д.ф.-м.н. Е. Т. Шавгулидзе) в МГУ, на конференциях молодых ученых МГУ (1991, 1995 гг.) и на научно-исследовательском семинаре „Стохастический анализ" (руководитель - проф. М. Рёкнер) в университете г. Бплефельда (Германия).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 3 работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, включающих в себя 6 параграфов, и списка литературы, содержащего 52 наименования. Общий объём работы - 54 страницы.

2. Краткое содержание диссертации

В первой главе диссертации исследуется поставленных! в обзоре6 вопрос о существовании диффузионного процесса, порождающего исключительную в смысле Ароншанна меру (см. определения ниже).

Пусть X - сепарабельное банахово пространство с борелев-ской ст-алгеброй В(Х).

Определение. Борелевская мера /л на X называется непрерывной по направлению h, если для каждого A G В(Х) функция t и-► ¡i(A+th) непрерывна. Плотно непрерывной называют меру, непрерывную по направлениям пз плотного в X подпространства (по поводу этих понятий см. обзор6).

Отмстим, что мера на Rrl непрерывна по п независимым направлениям в точности тогда, когда она абсолютно непрерывна.

Для конечного плп счетного набора векторов {а„} С X обозначим через Ав{ап\ совокупность всех множеств A G В(Х)

оо

вида А = (J Л„, где Ап G В(Х) и mes(t : х + tan G Ап) = О

П = 1

для всех х G Лг (mes - мера Лебега на R).

Определение. Множество A G В(Х) называется исключительным,, если для любой последовательности {а,,} с плотной в X линейной оболочкой A G As{an}. Через Ав обозначим класс всех исключительных множеств.

Определение. Ненулевая мера ц на В[Х) называется исключительной. если она обращается в нуль на Ав, но в каждом классе с плотной в .Y линейной оболочкой {а„} най-

дется множество полной /¿-меры.

Понятие исключительной меры было введено Ароншайном в работе9, где он поставил вопрос о существовании такпх мер. В10 было доказано существование исключительных мер. С другой стороны, Т. Пптчер11 высказал предположение, что мера, порожденная диффузионным процессом с переменным коэффициентом диффузии не имеет направлений дпфференцпру-емостп. Вопрос о дпфференцпруемостп меры, порожденной диффузионным процессом с переменным коэффициентом дпф-фузнп, ставился также A.B. Углановым12. Близкие вопросы обсуждалдсь в13. В работе14 гипотеза Т. Пптчера была доказана. Естественно вознпк вопрос6: может ли быть исключительным распределение диффузионного процесса? Основным результатом первой главы является отрицательный ответ на этот вопрос прц условии аналитичности коэффициента диффузии.

Перейдем теперь к изложению центрального результата первой главы. Рассмотрим диффузионный процесс t Е [0,1],

3 Aronszajn N. Differentiability of Lipschitziaa mappings between Banach spaces// Studia Math., 1976, vol. 57, No 2, p. 147-190.

10Богачев В.И. Несколько результатов о дифференцируемых мерах// Мат. Сборник, 1985, т. 127, No. 3, с. 336-351.

11 Pitcher Т. S. Likelihood ratios for diffusion processes with shifted mean value// Trans. Amer. Math. Soc., 1961, vol. 101, p. 168-176.

12Угланов A.B. О гладкости распределений функционалов от случайных процессов// Теор. вероятн. и ее примен., 1988, т. 33, No 3, с. 535-544.

13Липцер Р. Ш. Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов// М., Наука, 1974, 696 с.

14Bogachev V. I. Differential properties of measures on infinite dimentioual spaces and the Malliavin calculus// Acta Univ. Carolinae. Math, et Phys., 1989, vol. 30, No. 2, p. 1-29.

заданный стохастическим дифференциальным уравнением

(*) dSt=atft)dlVt, £„ = 0,

где а - огранпченая числовая аналитическая функция на К, а - распределение процесса

Если а = const в окрестности нуля, то мера ц^ не является исключительной, ибо на некотором шаре в С[0,1] совпадает с мерой v, порожденной процессом dr]t = cdWt, щ — 0, п непрерывной по плотному подпространству (см.6). Оказывается, что для переменного коэффициента диффузии а мера /¿^ не является псключительной по противоположной причине.

Теорема 1. Пусть функция а ограничена, вещественно-аяа-лптичпа п отлична, от постоянной. Тогда мера , порожденная процессом (*), сосредоточена на исключительном множестве.

Замечание. Мера //,,, порожденная процессом

di]t = a(f]i)d\Vt + b(t,i]i)dt, Щ = 0,

где a - функция, отделенная от нуля, та же, что п в условии теоремы, Ь - удовлетворяет условию Липшица, также сосредоточена на исключительном множестве. Это следует из теоремы Гпрсанова об эквивалентных мерах.

Вторая глава диссертации посвящена изучению свойств полиномиальных преобразовании в гильбертовом пространстве и отвечает на поставленный в работе15 вопрос о сутцествова-нпп полиномиального отображения гильбертова шара в себя без неподвижных точек, которое, при этом обладало бы инвариантными мерами.

15Богачев В. И., Простов Ю. И. Полиномиальный диффеоморфизм шара без инвариантных мер// Функц. анал. и его прил., т. 23, в. 4, 1989, с. 75-76.

/

Пусть Н - бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство. Отображение F : Н —► Н называется полиномиальным, если оно имеет вид:

.V N п раз

F(x) = J] Вп(х) s £

n=0 п=0

где N - степень отображения Р, Vn (:rj,..., xn) - непрерывное и-лшгейное отображение, V'ö £ Я.

Ниже приведены основные результаты этого раздела. Пусть 5 - замкнутый единичный шар в Я. Найден общий вид полиномиального отображения шара S с полиномиальным же граничным условием. Применительно к поставленной задаче показано, что искомого отображения топ же, что и в работе15, степени не существует; но за счет увеличения степени отображения мы получаем утвердительный ответ на вопрос.

Теорема 2. Пусть Fn - полиномиальное отображение степени га. Тогда произвольное полиномиальное отображение G степени m > n, равное Fn на границе шара S имеет вид:

G(x) = Fn{x) + (l-\\x\\2)H(x),

где Н - полпномпяльное отображение степени не выше m — 2.

Следствие. Не существует антисимметричного на границе полиномиального отображения гильбертова шара S в себя без неподвижных точек, если его степень не превосходит двух.

Теорема 3. Существует отображение F со следующими свойствами: F - полипом четвертой степени, отображающий S в себя; F не имеет неподвижных точек п удовлетворяет граничному условию: F(x) = -х при х € öS.

Замечание. У отображения F много инвариантных мер. В частности, ияв ар пан тноп является пера ¡л, сосредоточенная в двух точках: /i(eо) = /¡(-f'0) = j.

Последняя глава посвящена исследованию вопроса о гладкости переходных вероятностей п инвариантных мер бесконечномерных диффузий. Хорошо известно, что диффузия в R" с гладкими коэффициентами имеет не более одной инвариантной вероятностной меры. Прп этом всякая инвариантная мера обладает гладкой плотностью. В недавних работах8'16 исследовалась регулярность инвариантных мер для конечномерных п бесконечномерных диффузий с негладкими коэффициентами. При этом в конечномерном случае соболевская регулярность инвариантных мер установлена прп минимальных предположениях, в то время как в бесконечномерном случае наложены достаточно ограничительные условия. Например, от коэффициента диффузии требуется не только то, что он является малым возмущением единичного оператора, но и то, что возмущение принимает значения в пространстве операторов Гильберта-Шмидта на H. Естественно возник вопрос, сколь существенны эти ограничения. В работе выяснено, что ограничения указанного типа действительно существенны.

С использованием идей работы10 построен пример невырожденной бесконечномерной диффузии с гладкими коэффициентами, имеющей неднфференцпруемые вероятности перехода и недпфферениируемую инвариантную меру.

Пусть X - сепарабельное гпльбертово пространство.

Теорема 4. Для произвольных е > 0 п'6 > 0 существуют гпльбертово пространство Н, плотно вложенное в X оператором Гплъберта-Шмпдта, гладкое отображение сг0 со значениями в пространстве ядерных операторов в X л гладкое ото-

16Bogachev V. I., Krylov N. V., Rockner M. Regularity of invariant measures for diffusions in finite- and infinité dimensional spaces: nonconstant diffusion coefficient case// J. Fuiict. Anal., 1996, vol. 138, No. 1, p. 223-242.

браженпе v : X —* X такие, что диффузия Ç, порожденная стохастическим дифференциальным уравнением

(SE) dÇt = o(Çt)dWt + B{Çt)dt,

где cr(.r) = I + o0(x). B(x) = + i.'(.r), и Wt - впнеровскпй процесс в X, ассоциированный с H, обладает единственной пнварпантноп мерой ft, которая не имеет отличных от пулевых направлений дпфференцпруемостп (л даже непрерывности). Кроме того, переходные вероятности Р/(х, ■ ) дпффузии £ также не имеют нетривиальных направлений дпфференцпруемостп п непрерывности. Прп этом отображения о0(х) и v(x) вне Vs равны нулю, ||сг0( • )||! < е и ||v( • )|| < е.

Теорема 5. Для произвольных е > 0 п 5 > 0 существуют гильбертово пространство H, плотно вложенное в X оператором Гильберта-Шмидта, гладкое отображение а0 со значениями в пространстве ядерных операторов в X, гладкое отображение v : X —> X п непрерывный линейный оператор Л : X —► X со следующими свойствами:

(i) ||<7o(-)lli < £ л ||f(-)ll ^ e> причем a0(x) п v(x) равны пулю вне Vf,;

(ii) имеются две вероятностные меры i/i и v2, инвариантные для диффузии порожденной стохастическим дифференциальным уравнением

dft = a(b)dWt + B(h)dt,

где a(x) = I -Ь о0(х), В{х) = Ах -Ь v(x) п Wt - впнеровскпй процесс в X, ассоциированный с Н;

(iii) мера эквивалентна некоторой гауссовской мере и обладает векторной логарифмической производной ß^j в то время, как vo не имеет отличных от нулевых направлений дпфференцпруемостп (и даже непрерывности).

Замечание. В условиях теорем 4 и 5 все инвариантные меры п переходные вероятности обязательно имеют гладкие компоненты. Тем не менее, если отказаться от требования совпадения коэффициентов уравнения (SE) вне некоторого s-шара с коэффициентами процесса Орнштеина-Уленбека, можно модифицировать конструкцию диффузий из теорем 4 и 5 так, что все упомянутые меры, не имеющие нетривиальных направлении непрерывности, перейдут в меры, взаимно сингулярные со всеми мерами, которые такие направления имеют (в частности, со всеми плотно непрерывными мерами).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю В. И. Богачеву за постановку задач п постоянное внимание п поддержку во время работы.

Работы автора по теме диссертации

[1] Толмачев H.A. О полпномпальных отображениях в гильбертовом пространстве// Функциональный и стох. анализ п их прнлож., М., МГУ, 1991, с. 20-23.

[2] Толмачев H.A. Об одном свойстве распределении диффузионных процессов// Матем. заметки, 1993, т. 54, No. 3, с. 106-113.

[3] Tolmachev N.A. A note ои invariant measures of infinite dimensional diffusions// Sonderforscliungsbereich 343 "Discrete Strukturen in der Mathematik", Universität Bielefeld, Preprint No. 077, 1996, p. 1-11.