Нелокальные свойства рекуррентных движений гравитирующей системы трех тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

КАЗАХСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. АЛЬ - ФАРАБИ

На правах рукописи

Джвксомбаев Парасат Турдвкымбаэвич

НЕЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА РЕКУРРЕЗГПШ ДВИШШЙ ГРАВИТИРУПЦЕЙ СИСТЕМЫ ТРЕХ ТЕЛ

Специальность 01.02.01 - тэорвтичэская мэхашпса

Автореферат диссертации на соискание ученой Степана кандидата Знзикс-математичвских науж

Алма- дта - 1Г<92

Работа выполнена в Институте механики и машиноведении. Академии наук Республики Казахстан

Научные руководители: академик АН РК, доктор технических наук, профессор Ж.С.Ержанов, доктор физико-математических наук, профессор А.А.Калыбаев Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Е.А.Гребеников, кандидат физико-матемчтических наук, старший научный сотрудник Т.С.Кожанов Ведущая организация: Институт теоретической астрономии Российской Академии наук

{Защита состоится " /•/•" --'-1992 г- в '/4 часов на

•заседании Специализированного совета К.05Ь.01.0? Казахского ордена Трудового Краснох'о Знамени государственного университета ил. Аль-Фараби по адресу: 480012, Алма-Ата, ул. Масанчи 39/47, а>'Д. —-

С диссертацией мокло ознакомиться в библиотеке университета.

Авюреферат разослан " ~с/л ^7992 г.

Ученый секретарь специализированного

совета, кандидат физ. - мат. наук А.К.Томилин

3 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

туаньиость темы. В силу своей неинтегрирувмости задача трах тел принадлежит к числу наиболее изученных качественными методами задач механики. " -

Одним из основнкх направлении качественного аяалкьа движений гравитируицей системы тпляэтея исслэдование существования и нелокальных свойств ее колебательных режимов. Однако число таких рогсимов, изученных и изучаемых качественными методами невелико. Это - стационарной (покой, относительный покой) и периодическое движения. В то же время существуют почти-периодическое, рекуррентное и устойчивое по Пуассону дшетзкня, где рекуррентные составлязот наиболее обедай класс движения, обладаниях свойством равномерной возвращаеиости и компактности. Крепло того, эти последние представляют не только теоретический интерес, но и имеют важные практические прижпсания, связанные с расширением классов расчетных траекторий искусственных небесных тел.

В связи с атш исследование свойств рекуррентного движения трех тел, взаимодействуй®« по закону Нызтона, приставляет актуальную и новую проблому в данелгкэ грпсттпруссзх систем*

Цель исследования состоит в

%

- формулировке критерия рвапобэдреврого дплквпия гравити-рущей системы трех тел в барицентрической срстеко координат и исследование плоских и пространственных дагодаиа втах тел;

- доказательстве оущретвованпя согласованного режима рекуррентных движений, исследования нелокальных свойств а построении нового линейного подмножества етих двиганий;

- расширении класса регулярных ю Дубошшу движение задрчг

о поступательно-вращательном движении двух тел при .условии, что искомые углы Эйлера имеют заданную структуру..

Научная новизна. Получены критерий равнобедренного движения гравитируюдей системы трех тел в барицентрической системе координат и новые частные решения задачи трех тел, сСоСщащив известные решения Эйлера и Лагранна. Доказано существование рекуррентных двикений и построено их новое линейное подмножество из условно-рекуррентных движений. Исследованы нелокальные свойства рекуррентных и условно-рекуррентных движений. Расширен класса регулярных по ДуОсшину движэюш задачи о поступатольно-врацательном .двиаешш двух тел при условга, что искомые , углы Эйлера имеют заданную структуру.

Практическая ценность. Установлены нелокальные законы движения исследуемых тел, что дает возможность определять для любого момента времени их полоиениэ и скорость в СарвдентричоскоИ системе координат. Результата могут слуга!ть основой для построения теории орбит естественных, искусственных поСесных тол и расчета их траекторий.

Па защиту выносятся!

- критерий равнобедрешюго движения грашпирующей система трех тел в барицентрической сцотеме координат, частным случаем которого являются решения Эйлера и Лограшш;

- критерии интегрируемости для случая плоского и пространственного движения задачи трех тел, взаимно притягивающихся по закону НьютЬна, при дополнительном условии, что в Оаридентри-

' чоокой система координат сумма сил притяианий третьего тела с двумя остаыаимася телами колшшварна к рьдиус-шктору, проведенному из центра масс первых двух тел к третьему телу;

- существование согласованного режима рекуррентных движений; ■ ,

- исследования нелокальных свойств рекуррентных движений, построение нового лшейного подмножества из условно-рекуррект-ных движений и его качественный анализ;

- расширение класса регулярных по Дубошину .движений задачи о поступательно-вращательном движении двух тел при условии, что искомые углы Эйлера тлеют заданную структуру.

Апробация работа. Основные результаты работы доложены но Республиканской научной-технической конференции молодых ученых АН РК (Алма-Ата, 1986 г.), на семинаре лаборатории дифференциальных уравнений Института математики и механики АН РК (Алма-Ата, 1990 г.), на конференции по моделированию сложных механических систем (Ташкент,1991 г.), на научном семинаре по механике Института механики и машиноведения АН РК (Алма-Ата, 1991г.).

Диссертация является составной честью плановых исследований Института теоретической и прикладной математики АН РК по теме 03.03.ИЗ "Исследовать устойчивость вращения Земли во взаимодействии с Луной, Солнцем и планетами; разработать еэ деформируемую модель для изучения сейсмогенных структур- в литосфере" (гос.регистрация № 01870031664).

Структура и объем работы. Диссэрт&шгонная работа состоит из введения, трех глав, основных выводов, списка литературы из 64 наименований и содержит 109 страниц машинописного текста.

Содержание диссертации. • .

Во введении сформулированы актуальность, цель и задачи исследования.

В первой главе дан аналитический обзор работ по томе дис-

сертации с краткой иоторивА исследований стационарных решений задачи трех тел (Л.Эйлер, Н.Лагранх, К.Якоби, П.С.Лаплас) и последующих их обобщенна (Р.Леман-Филе, Д.Н.Горячев, Э.Францен, Е.Вильчинский и другие), а также работ го исследованию стационарных поступательно-вращательных движений двух тел (Г.Н.Дубокшн, В.В.Белецкий, В.А.Оарычев и другие) и дальнейшему обобщение ( И.С.Ерзшнов, А.Д.Калыбаев, К.Т.Алдияров и другие).

Применительно к задачам исследованным в диссертации рассмотрены работы по качественной теории дифференциальных уравнений и теории динамических систем (¿.Пуанкаре, А.М.Ляпунов, Дя.Виркгоф, В.В.Немыцкий, В.В.Степанов, А.А.Марков, И.Г.Петровский и другие) и то теории возвращаемости (А. Н. Колмогоров, Б.А.Гребеников и Ю.А.Рябов, Ж.С.Ержанов и А.А.Калыбаев и другие).

. В теории динамических систем центральное 'место занимают рекуррентные движения, введенные Да.Биркгофом. исследованию этих движений посвящены работы М.В.Бвбутова, в.М.Миллионвдкова, Б.А.Щербакова и других авторов. Приведены некоторые известные свойства рекуррентных движении, необходимые в дальнейшем.

Б конце глава дана общая-постановка задач исследований, в частности задача трех тел, взаимно притягивающихся по закону Ньютона при условии, что

где рЦ) - коаффиционт коллинеарности,

■ гсг в гг 1 V

-• вектор соединяющий цгнтр масс 0' материальных точек М0 и с

ТОЧКОЙ Ыг. .

Во второй главэ исследованы нелокальные свойства рекуррентных движений' обобщенной динамической системы, введенной М.З.Бебутовым, причем для общности все свойства получены в терминах функции.

Предложение 2.2.1. Если f(t) е G(Rf,НЛ) - рекуррентная функция, то для любого числа е> О существуют действительные числа 1(е)>0 и S(f.)>0 такие, что на любом интервале длины I , действительной оси Я, , найдется подинтервал длины Л , сплошь состояний: из е-смещений функций t(t).

Предел равномерно сходящейся последовательности рекуррентных функций также рекуррентчо. Для сходящейся последовательности доказано

Предложение 2.2.2. Пусть последовательность рекуррентных (п)

функций CI (t)> сходится к функций f(t) € 0(R(, Rn). Если для

fn.;

любого е>0 найдется такая подпоследовательность (X (t)) , что последовательность соответствующих чисел 11 п ) ограничена,

то предельная функция l(t) также ракуррэнтна.

В обобщенной динамической системе вводится .новый класс движений - условно-рекуррентные движения.

Определение 2.3.1. Функция f<t) € C<.Rt,Rn) называется условно-рекуррентной, если

1) Х(г) - рекуррентная функция;

2) для любого числа в>0 суцрствудт число tj(s)>0 такое, что из множества Tj-смещоний могно выделить относительно плотное подмножэс^во Я*;т],Х) удсвлвтворяддбв условию

R* - R* с R(e,1).

Доказаны некоторые свойства етнх движений. Используя юс получены следующие нелокальные свойства.

Лемма 2.3.1. Для любого числа е>0 и любых двух условно-рекуррентных функций существует общее относительно плотное множество в-смещений.

Предложение 2.0.1. Сумма любых двух условно-рекуррентных функций также условно-рекуррентна.

Предложение 2.3.2. Множество условно-рекуррентных функций линейно.

Предложение 2.3. 3. Рассмотри функцию i(t) € C(R,, Rn) . Для произвольного числя а е Я, функция 1(г+а> условно-рекуррентна тогда и только тогда, когда найдется такое число aQ ( Rj, что функция 1(г+а0) - услошо-рекуррештна.

Предложение 2.3.4. Устойчивая но Лагр'ануу функция i(t) из С(Л(, Rn) условно-рекуррентна тогда и только тогда, когда для л^пйого действительного числа е>'0 найдется rj(s)>0 такое, что во множестве т)- смятений функции l(t) существует относительно плотное подоножоство R* удовлетворяющее условию

Я* ± R* с К(б, lit)). ..

Предложение 2.3.6. Прадол равномерно сходящейся последовательности , условно-рекуррентных функций также условно* «

рекуррентно.

Предложение 2.3.6. Равномерно непрерывная производная условно-рекуррентной функции также условно-рекуррзнгна.

Предложение 2.3.7. Прэдклшактная первообразная условно-рекуррентной функции условно-рокуррентнв.

В третьей глазе введена барицентрическая цнерциальная сио-тэма координат йхуг , связанная с центром масзо О трех материальных точек ¡¡0 , И1 и Ыг с массами ир > 11 т2 соответственно. Выписаны дифференциальные уравнения задачи трех тел. Получен критерий равнобедренного движения гравитирущей системы трех тел в виде

Предложение 3.1.1. Рассмотрим задачу трех тел в барицентрической системе координат. Зо все время движения тел

д02 г

тогда и только тогда, когда в любой момент времегти выполняются условия

а) Р02 + г1г - рЦ)г0.га) , '(I)

с то Ш11

б) Р(П =/и2Ьг + ТУ1) • (2)

Д02 12

Следствие 3.1.1. Ковфрициент коллинеарности, определенный в виде (2), является ограниченной, положительно определенной, непрерывной функцией времени t

Далее рассмотрена гадача трех попарно несоудвряемых тел о дополнительным условием (I).

Используя условие (I), систему дифференциальных уравнений задачи трех тел можно свести к векторному линейному однородному дифференциальному уравнению второго порядка

рМ)Т0.г . (3)

"О '"'2

где я = п0 + т( + т2. по отношению которого отввится задача Кдши с начальными условиями

10 . го'г(0)г*о'г'

согласованными о условиями вадачи трех тел.

Для решения векторного уравнения (3) достаточно рассмотреть линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка по одному из компонент вектора-г0<2.

Доказано, что если известно решение уравнения (3), то с помощы) гтого решения можно определить координаты всех трех материальных точек для любого момент времени.

Уравнение (3) имеет первый интеграл - интеграла площадей

' + я2(г2 * в % • где С0 » ( с01, аог, а03) - постоянный вектор определяемый по начальным данным задачи трех тел.

Введено новое обозначение :

н " го ~ го- • Вектор й удовлетворяет равенству

(Я « Н) - С, ,

где С} = ( с/{, огг, с13) - по'сгоянный вектор определяемый по начальным данным задачи трех тыл. "

Существуют плоскости с постоянными нормалями С0 и С(. Эти плоскости пересекаются и линия пересечения проходит через центр масс материальных точек' М0 и Ы1 . Точка ¡¡2 и центр масс точек Н0 и ЙJ совершают движения по плоскости с нормалью С0 , а

точки ио и и1 лежат на плоскости с нормалью 01 . »

Решение уравнения (3) 1грвдполагается известным и отличным

от куля в.любой момент времени. ч

В зависимости от голлшюарности или неколлинеарности постоянных векторов С0 и С( по отдельности рассмотрены прямолинэй-ный случай, когда в любой момент времени все три материальные точки лежат на одной прямой, плоский случай, при плоском движений, когда три материальные точки не лежат на одной прямой, и пространственный случай, при пространственном движений трех тел.

Для прямолинейного случая доказано

Предложение 3;2.1. В любой момент времени все три точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда в любой ' момент времени

(г0,2 » В) - О .

Предложение 3.2.2. Если точки UQ, и Ы.г в любой момент времени лежат на одной прямой, то существуют коллинеарнне вектора С0 и С, .

Согласно Предложению 3.2.1 существует нонулевая действительная функция g(t) удовлетворяющая условию

■ ■ В - git)Т0,г . (б)

Предложение 3.2.3. Если точки UQ , м Мг совершают прямолинейное движение и г0,г Ф О в любой момент времени, то

g(t) » conat4

Для нахождения числа g достаточно воспользоваться начальными значениями точьк Ыр , Jf( и М2 .

В силу попарной несоударяемости тел для числа g возможны

следующие случаи

17!

ш

2) - -й1 < в < О ,

3) О < в < 1 ,

4) .

Случай I. В этом случав материальная точка ¡¡2 находится между точками М0 и а цент масс точек ¿'0 и М1 меаду точками

Случай 2..Точка находится меаду точками И0 и Н£.

Случай 3. Точка И0 находится меаду точками М, и Ыг .

Случай 4. Точка Мг находится меаду точками У0 и И) , в центр Масс точек М0 и I11 меаду точками И, и Ыг .

Если известно решение г0<2 начальной задачи (3), то координаты точек Н0 и можно определить из равенств

. -го " к + т6- >

«о

' ■ . гт = го- - -ш7 к ' где вектор Я удовлетворяет равенству (Б) и число в определяется из этого равенства по начальным данным. Таким образом, в прямолинейном случае тела совершают движения по одной плоскости и в любой момецт времени лежат еа одной прямой.

Для коллинеарного случая Лагранжа в любой момент времени выполнено условие (I).

Для плоского случая верно

Предложение 3.3.1. Рассмотрим вадачу трех тел в барицен-

трической система координат с дополнительным условием (I). Точки Ы0 , и М2 совэриавт плоское движение тогда и только тогда, кггда в любой момент времени

(г0,2 , С;) = о :

Предложение 3.3.2. Рассмотрим задачу трех тел в барицентрической системе координат с дополнительным условием (I). Точки М0 , М1 и ¡¡г совершают плоское движение тогда и только тогда, когда существуют постоянные коллинеарные вектора С0 и С;.

Предложение 3.3.3. Рассмотрим плоский случай задачи трех тел с дополнительным условием (X) в барицентрической системе координат . В любой момент времени, когда точки ¡¡0 , и ¡¡3 не лежат на одной прямой верно

А02 - д,8. (6)

Предложение 3,3.4. Рассмотрим задачу трех тел о дополнительным условием (I) в барицентрической системе координат. Если точки ¡¡0, и ¿Г/ совершают движения по одной неподвижной плоскости и в некоторый момент времени ( »

(г0>2 "ЮМ,

то в любой момент времени верно равенство (6).

Из Предложения 3.1.1 и Предложения 3.3.4 для плоского случая задачи трех тел следует

Следствие 3.3.1. Для плоского случая задачи трех тел равенство (6) выполняется тогда и только тогда, когда' выполнено условие а) Предложения 3.1.1.

Следствие £.3.2. Лагранжевы решения являются частными решениями задачи трех тел с дополнительным условием (I),.

Для рассматриваемого,случая точки М0 , и Ы2 совершают движения по неподвижной плоскости проходящей через начало отсчета барицентрической системы координат. За нормаль плоскости взят ода? из коллинеарных векторов С0 и С,. Нормаль обозначен через

Л* ¡г,* „*

С - (о,, с2> 03)

Критерий интегр!!руемости рассматриваемой задачи для плоского случая представлен в виде

Предложение 3.3.Б. Рассмотрим плоский случай задачи трех тел с дополнительным условием (I) в барицентрической системе координат. Действительные решения рассматриваемой задачи существуют тогда и только тогда, когда в любой момент времени

1Г |г ^ Г " т° Г 12/3 °'г ■ I«,+ то ) IЦГГ ^ '

Если уоловие Предложения 3.3.4 выполнено, тогда

т 1

1 [т£ <*0КГ0'2 " 0,)|2 - «*? 10*1=3 5 <Г0-2 '' °4)х} '

'■■'-кг,,.

1 ас.Кго.г - 0*)|г - в? Ю*|8] 5 (г0.в . 0*)в} ,

т - ип

гдэ X, Г, г - компоненты радиус-вектора й и <3; = —^—2 г !т т -,2/з

Таким образом, если Известно решение начальной задачи (3), го используя первые интегралы и формулы (7) можно найти координаты точек Ы0 , Ы1 и М2 на неподвижной плоскости с нормалью О*.

Решения эквидистантного случая Лагранжа являются частными решениями рассматриваемой задачи.

Для пространственного случая доказано Предложение 3.4.1. Рассмотрим задачу трех тел в барицентрической системе координат с дополнительным условием (I). Если материальные точки совершают пространственные движения, то в гаобой момент времени верно равенство (6).

Следствие 3.4.1. Для пространственного случая задачи трех топарно несоударяемых тел равенство (6) выполняется тогда и только тогда, когйа выполнено условие а) Предложения 3.1.1.

Согласно доказанным предложениям, при пространственном

ЦВИЖОНЕИ'

- третье тело совершает движение по плоскости с нормалью

V

.- другие два тела в любой момент времени лежат на плоскоо-ги о нормалью С, , которая совершает поступательное движение;

- в лкхЗой момент времени верно равенство (6). Возможны следующие два случая.

Случай I. Пусть '

<с0 , С.) - о .

«

Если при этом (г0<2 » С;) У 0 в любой момент времени, то

решения отроятся также как и для случая 2. Предполагается, что

<г0,2 « С,) - О

в некоторый момент времени t tC| . Тогда т0 « т) и координаты точек 1Г и ¿', о прогуляются по формулам

О 1 ' -о -

I - ± й/ ,

|0о1 0

о 1 Г . ± й г г

1°о» °

Это!г частный случай.рассматриваемой задачи соответствует установленному Франсеном равнобедренному движению трех тел. Также, установленное Вильчинским условие равнобедренного движения трех тел охватывает лишь втот частный случай о осью и плоскостью симметрии. Случай 2. Пусть

<С0 , 0,) * О .

Тогда компоненты радиус-вектора й определяются по формуле (7) и вместо вектора С* берется вектор С1.

Критерий интегрируемости рассматриваемой задачи для пространственного случая представлен в виде

Предложение 3.4.2. Рассмотрим пространственный случай задачи трех тел о дополнительным условием (I). Для существования действительных решений данной задачи необходимо и достаточно, чтобы

, , - в. .г л. _ 1(го 2 " V

Таким образом, в пространственном случае уравнения движений точек И0 , Я? и ¡¿г можно определить через вектор г0,г.

Согласно проведенным исследованиям, вектора С0 и С) являются постоянными тогда и только тогда, когда выполнено равенство (I). .

В виде приложения рассмотрен эквидистантный случай Лагрэнжа. Показано, что для круговых лагранжевых решений коэффициент коллинеарности p{t) постоянно и определяется по начальным да;шым из формулы (2). Подставив значение коэффициента коллинеарности в уравнение (3), найдено . общее решение. По начальным данным и с помощью формулы (7) и первых интегралов можно найти координаты точек UQ , Ы1 и Шг .

Отдельно рассмотрен вопрос существования согласованного режима рекуррентных движений.

Рассмотрено линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

г *

йгх '

= - pit) x{t) , (3)

df

с рекуррентным коэффициентом pit).

В матричной форме уравнешо (8) шоот вид <3 и

at

&(t) U(t) , (9)

ГД9 U(t) « (Ut(t), U2(t)) И

u,(t) » x(t) , u,(t) = Ht) ,

A(t)

0 1 -pit) • о

Предложение 3.5.1. Если уравнение (9) имеет хотя бы одно нерекуррентноо, ограниченное решение, то любое решение уравнения (8) устойчиво по Яагракку•

Пусть Q(t) - вектор-функция вида

dit) = <q,(t), g2(t), ... ,qh(t), qk+1(t), ... .^(t)), где f < ft < п. Обозначим через h^Q и h^Q вектор-функции

b^<t) - <q,(t>. q2(t). • •• .?*(»)) . h^Q- (qfc+,<t). W**- V2n<t» .

составленные соответственно из первых k и последующих п - к компонент вектора Q(t).

Будем говорить, что двшвэние, описываемое вектор-функцией Q(t), имоэт согласованный режим, если движения, списываемые вектор-функцией h*Q и h^j , принадлежат одному классу возвра-щяемости и один из них сравним о другим. Вводится воктор-фуккция

G(t) - (3Td, yQ, ъ0, Xv Zt, Хг, Уг, гг) ,

где xt(t), y,(t), zt(t) - компоненты радиус-вектора rt материальной точки Ы(, I * О, 1, 2.

Предложение 3.5.3. Если в уравнении (3) коэффициент p(t) -рекуррентная функция такая, что

W lPtt)l > о ,

и задача Коши этого уравнения имеет рекуррентное решение удовлетворяющее условию

3 » ч, - и, чг я. .,

ММ-1^} 'S1 do-

то движение материальных точек UQ , Mt и U3 , удовлетворяющих дополнительному условию. (I) и описываемое вектор-функцией G(t), имеет согласованный режим.

В конце главы рассмотрена задача о поступательно-вращательном движении двух абсолютно твердых, взаимно притягивающихся по закону Ньютона, тел произвольного .динамического строения при условии, что углы Эйлера как функции времени имеют заданную структуру;

4>c(t) " 9to '* V + ®i(t) '

<p{(i).» Ф(0 + B4t + Ф,(Г) , (10)

<|)t(t) - 0(о + 8tU) ,

где ф(0 , q>{0 , в(а - значения углов в начальный момент времени tQ\ п( , и{ - неизвестные постоянные величины; 3>t(i) , ®t(t) , Q({t) - неизвестные функции непрерывно дифференцируемые и ограниченные вместе со своими производными до третьего порядка включительно.

Для этой задачи расширен класс рэгулярзшх по Дубопшну движений и Доказано , •

Предложетте 3.6Л.- Пусть искомые углы Эйлера ■ как Футшш Бремени имеют заданную структуру. (10). Для существования согласованного режима. поступатэльно-врщатвльного движения двух тол достаточно, чтобы функции ®t<t)» 0,(î), 0,(t) были уолонно-р<;куррентными.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ПЫВОДУ

I. Получен критерий равнобедренного движения гравитирувдой

системы трех тал в барицентрической системе координат, частным случаем которого являются решения Эйлера и Лагранка.

.. '2. При условии, что в барицентрической системе координат сумма сил притяжений третьего тела с оставшимися двумя колли-неарна к вектору проведенному из центра масс первых двух тел к третьему телу, решение дифференциального уравнения движений задачи трех тел сведено к решении линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.

3. Для плоского и пространственного случая рассматриваемой задачи сформулированы критерии интегрируемости уравнений.

! 4. Получено условие существования согласованного режима рекуррентных движений, построено новое, линейное подмножество рекуррентных движений - класс условдо-рекуррентных движений и исследованы нелокальные свойства.

6. При условии, что искомые угла Эйлера рак функции времени имеют заданную структуру расширен класс регулярных дтшений Со Дубошину задачи о поступательно-вращательном движении системы двух абсолютно тверда тел произвольного строения, взаимно притягивающихся по закону Ньютона.

Основные положения диссертации изложены в следующих работах:

1. Джексбмбаев П.Т. Некоторые свойства ограниченных движений обобщенных механических систем // Деп. в ВИНИТИ, № 4172-В88. 16 с.

2. ДжбксемСаев П.Т.«Нвкоторыо свойства рекуррентных движений обобщенных динамических систем // В кн.: Молодежь и науч-Ео-твхпичес!шй прогресс. Теэ.докл.конф. молодах ученых Ali КчзСС/'. АЛМО-Ата» 1Э86, С.63.