Ненулевые периодические решения автономных систем дифференциальных уравнений, зависящих от параметра, в критических случаях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

¡1®^гг\тггаекпляр '

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Р Г Б ОД

1 3 ПП 1896

на правах рукописи

АБРАМОВ ВЛАДИМИР ВИКТОРОВИЧ

УДК 517.525

НЕНУЛЕВЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ, ЗАВИСШИХ ОТ ПАРАМЕТРА, В КРИТИЧЕСКИХ СЛУЧАЯХ

( 01.01.02 - дифференциальные уравнения )

, АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САМАРА - 1996

Работа выполнена на кафедре математического анализа Рязанского государственного педагогического университета им. С.А. Есенина

Научяый руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор ТЕРЕХИН М.Т.

Официальные оппоненты: доктор фиаико математических наук,

профессор АНДРЕЕВ А.Ф.

Ведущая организация: Мордовский государственный университет " им. Н.П. Огарева

Запщта состоится 1995 года в ¿Э часов

на заседании специализированного.совета К 113.17.02 по присуждению ученой степени кандидата физико математических наук в Самарском государственном педагогическом университете по адресу: 443090, г. Самара, ул. Антонова-Овсеенко, 26.

С диссертацией модно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного педагогического университета по адресу: 443043, г. Самара, ум. М. Горького, 65/67.

Автореферат разослан " ЛЯ 1995 года.

кандидат фивико-математических наук, доцент ТЕЗИН А.М.

Ученый секретарь опещилиэироваииого совета, канд. фиэ.-шт. наук, доцент

В.А. НОСОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В данной работе изучается автономная конечномерная система обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром. Предполагается, что эта система имеет тривиальное решение при всех значениях параметра, а система линейного приближения при нулевом значен™ параметра имеет ненулевые периодические решения. Предмет исследования - вопрос существования ненулевого периодического решения у такой системы.

Этот вопрос является одним из основных в качественной тео-' рии дифференциальных уравнений и при исследовании качественного характера различных математических моделей.

Основным вкладом в решение проблемы существования периодических решений явились работы А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, A.A. Андронова, И.Г. Малкина, М.А. Красносельского, В.А. Плисса. Эту цро&лему решала A.A. Бойчук, Е.А. Гребеников, Ю.А. Рябов, С.А. Вавилов, А.Д. Крюао и другие математики.

В силу сложности пробле'мн и многообразия конкретных систем, описывающих реальные процессы, общего подхода к решению проблемы пока не найдено. Слабо изучена область критических случаев, при изучении которых требуется привлекать свойства нелинейных членов правой части изучаемой системы. По существу в зависимости от конкретного вида нелинейности имеют место различные критические случаи. Это подтверждает актуальность работ, посвященных поиску достаточных условий существования периодических решений в критических случаях.

Рассмотрим действительные системы п дифференциальных уравнений с -мерным параметром

х =А X + A(£)cq + fix, £), (1)

X -А аз &) е), (2)

где г) - вектор-форма по ас порядка K^i о)-О

при £¿m- llocirKl!Q^(bc. £)¡ho равномерно по £;

l¡ccH-*-o d ■

X = А СС + jt $Ki(cc„e) + ffaz, e), (3)

в которой аз, £ ) - вектор-форма по ас порядка k¿, i 4 Kj <

- з -

n

< Kj4 . /= f,d-1t I/Jffljxll f/gfrc, г)\\-о равномерно по £ , в >0 - некоторое целое число, причем К^>в при d = 1.

Цель работы. Для систем (1)-(3) получить локальные достаточные условия существования ненулевых со -периодических решений, если система v~ — Av имеет Но-параметрическое семейство со - периодических решений ( -f $ m ^ h ).

Методика исследования. Проблема существования ненулевого периодического решения систем (1)-(3) сведена к задаче поиска пары начальное условие-параметр, определяющей такое решение. Система уравнений относительно начального условия и параметра исследуется как по первому приближению, так и по свойствам членов высших порядков с помощью принципа неподвижной точки.

Научная новизна. В работе получены новые достаточные условия существования ненулевого периодического решения автономной системы дифференциальных уравнений с векторным параметром. Существенно то, что матрица А(£) не наделяется специальной структурой, а, кроме того, для решения проблемы привлекаются свойства как первого, так и высших приближений нелинейности в правой части изучаемой системы. Получены условия существования ненулевого корня однородного векторного полинома и суммы таких полиномов.

Практическая и теоретическая значимость. Полученные признаки существования и отсутствия ненулевых периодических решений могут быть использованы при изучении новых критических случаев, возникающих в приложениях. Все признаки сформулированы в достаточно легко проверяемом виде, что может оказаться полезным в качественном исследовании локальной структуры окрестности особой точки системы дифференциальных уравнений и при решении ряда практических задач.

На защиту выносятся:

1) признаки существования ненулевого периодического решения системы (1), если матрица А(£) не имеет квазкдиагональной структуры;

2) условия существования ненулевого периодического решения по первому приближению нелинейной части, которое является вектор-формой как по фазовым переменным, так и по компонентам параметра;

3) условия существования ненулевого периодического решения

по свойствам высших приближений нелинейной части, которые являются вектор-формами как по фазовым переменным, так и по компонентам параметра;

4) признаки существования ненулевого корня суммы однородных векторных полиномов и, в частности, однородного векторного полинома.

Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на Всероссийской конференции "Ксм-ñbíüxcphbie методы небесной механики" б городе Санкт-Петербурге.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-63.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3-х глав, заключения, списка литературы, включающего 78 наименований, и изложена на 105 страницах машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации, обзор результатов, полученных другими авторами по вопросам, примыкающим к теме диссертации, изложены методика исследования и краткое содержание работы.

В § 1 главы первой изложен подход к исследованию проблемы существования периодических решений, используемый в данной работе. Получена система уравнении относительно начальных условий и параметра, определяющих искомое решение.

Пусть система дифференциальных уравнений вида

СС +2Ссс7 £•) (4)

в области 11 ( с^ ) = £): tiúcll<<S), ¡IZlKá^J обладает свойством единственности, решение сс.(т, а., £), ос С о, а., е) — а системы (4) определено для Т & [о, со] и непрерывно на множестве [о, со] х ТХ(сР^). Предполагается, что система v- = Av тлеет ровно нп линейно независимых со -периодических решений.

Пусть ИСт) - ЩХИ -матрица, строками которой являются линейно независимые со-периодические решения системы ¿ = - АТ£ • Обозначим X(t) фундаментальную матрицу системы "ir = А V , Х(о) — Е• Символом Ь^^уг, обозначим матрицу, полученную из

матрицы В удалением из нее последних m строк. Так как ■ran<2 [Xi~ Е] = м - /п, то можно считать, что rancj \Х,(со)~ -Е]= тлпд[Х(и» -Е]п-т.

Теорема 1.2. Решение =с(г,а*, £ *) системы (4) ¿^-периодическое тогда и только тогда, когда при некоторых значениях а = а* и £ = £*, (а* е * ) е ILfcP) выполняются условия <-о

•W 'О

J/ïY-r) дГХ'С^-а.^Е^, e)dr (6)

о

'Вйюду далее 'предполагается, что тз системе (4) ^(ос7£) = = Д?£')х-+ 'где-матрица А Се) 'непрерывна, А (о) ~о ,

функция f(cc,-e.) непрерывна по е ., 'непрерывно дифференцируема по а: 'и = Тогда:

Т) 'peiîëinie • системы ' (4) 'можно представить В виде

ас (г, ci-, е)

^[Х (г) дстг, £)] а + у Ст, с , £), (7) где J=^r,£)--решение системы j = A J + Г?) + J],

причем 0)=0\ у = Л,£) - решение сис-

темы ^ + ÂC&)] у + $([Х(г) + J(r, £)]а+#, а) , причем yfo, а , е) = о, ц(т7 о, е.)зо. yâ(r, о, е)=о-,

2) при некоторых о< ff^tf, о < Jl ^ J7, уравнение (5) на множестве £): 1/^11 <Т> //е" <с^}> определяет неяв-

ную 'функцию вида

Ц (%,£)= $(£)% №)

где a=rf, ?), f е /R"-"7. „ ^('Ь при все* е •

Подставим 'функцию вида (8) в (7). Имеем: ас (г, а, £) -= сс*СГ, ч , £) = е)у + у*Гг,11,Е) , где Х0 С г, £) =[X(z) + + Jfr, £)]£ Jj-, 11 Ъ^Ч"0 при всех £'..

Теорема 1.3. Если при некоторых значениях у — 7* и £ — = £*, ("Ч*, 6*) е выполняется условие

¿о

Н(т)$(я*(Т,1г,е),£)о1т = 0, (9)

о

то система (4) имеет со-периодическое решение.

В § 2 первой главы исследуется система (1). Условие (9) для этой системы молни ¿апйОсиь 5 блдс

[С(б) + РСу, £)]? ="о, (Ю)

со

. где В, -*1

где С(£) = J ЦмА(£)Х0(г, е)с(т, Р(у7 а)-*-0 при у-^о. о

Будем говорить, что для Л'х,?-матрицы В имеет место гГ 1 Г5"/

разбиение, V $ Г" < Ш/г | , 5 г. если В = 2

1 1 К а*

ГХГ-, в - ГХ^-Г)-, В^" ^К-г)* Г-матрицы. Предположим, что для (7ге) И ,6) выбрано такое т-разбиение, что с1е£ С, Гбс) = О при некотором £ = £0. Допустим, для достаточно малых £" имеют место равенства

с1(еа+£) = с1+Л1(е); (И)

где [ ]= 1,3 ; С^(£) , Сг(£) - последние столбцы матриц

С^б), ; И при £-*-0.

Предпелодим тагасе, что _ _

где 3= С/, 9(£) — О при £—0, при

Зададим функцию $(£) одним из следующих способов: либо Я(ё)=Хг(Ё), _ ' (13)

либо (14)

лкбо ft(e)t*xx№-Öa(e)[S + 6(t^(Ci+x<(E)). об)

. Теорема 1.Б. Пуота: 1) ofet Cj ^ 0 при некоторых т-раз-

СиейШ! il £ = e0' U£oii=:£*< £ • О ;

2) 8 £ fR^ £ Ъtri-r-, если ^(¿c, о)фо\ £ > w - r, если /('аз, o) = о ; 3} имеют моего равенства (11), (12) и одно иа (13)-(15); 4) Cz-C3$Cj - o.i

6) + , Д Rj, (т-т)х

(hi~ т) -ыатрнца, dei R^ 0 . Тогда система (1) ш/.ает ненулевое со-периодическое решение.

Кроме того, в § 2 первой главы получены достаточные условия существования ненулевого U) -периодического реыешга при условии, 450-первые прибдкжеййя элементов матрицы А(6) линейны, и найдены условия отсутствия со-периодического решения.

Во второй главе рассматривается система (2). Условие (Э) в этом случае принимает вид

cfi, a) + p(->i, е) = о, de)

со

где С(1, £) = РГу,е)—о при

о

о разномерно но е . Теорема 2.1. Пусть с, е)^ о для некоторых. ^ = и 6 = £0, ЧЕ0Н < d1. Тогда существует множество 3) такое, что для любых (о,* е*)е Ю решение о: fr, а* е *) системы (1) не является со -периодическим. Предположи, что

c^i, е) + (1?)

где £) - вектор-форма порядка s ^ Z по £ , Ц£Ц~х

н , ч и л не и-*-о

* 'IM(у, 6)1!-О равномерно по ц. «

пусть в(Ъ 8),

Теорема 2. А. Пусть: 1 )ee/f{^,£>mi 2) имеет место равенство (17); ■ 3) существуют 1 « и £ = £q, - ^'/=4 , для которых g(yo,£0) = О ;

4) L(%,e0)~[L< Lo]. Lj - wxm-матрща. del Ф о . Тогда система (3) имеет ненулевое со-периодическоо ргпенио.

Теорема 2.4, как и рпд других теорем, иадучвппыл а раЗота, рспаэт задачу поиска значения параметра, при котором система (2) imoct ненулевое со -периоддаескае решение с заданными начальными - условиями.

Далее в § 1 доказано, что условие 4) теоремы 2.4 мсшо заменить следующим:

4) мсгло подобрать mum -матрицу А , dei А Ф О и разбиение £0) = [Li L3], Lj - Ш * m -матрица такие, что Ц Е ~

-ALyH<4.

Допустил, в равенстве (17) . Пользуясь формулой Тейлора, получим

£0+ё)~ €,(Ъ ев) + L/ъ е0) £ +Е-В<п(£, £а, V 6,

с — i

• К — i

е) = L <Ч°> £) v(i)(j, 7«, £},

С ^ ^ (')

причем элементами матриц G- Yf, %, £) и V Y7, в) слунат

формы по у, а матрицы I)(l)(£, f;0. 7) - по £ порядка i .

Пусть для некоторого целого г: -1 < г < т --f е4

■1) £ iR^ , ег= (Л-, е;, = ГУ,..„ V) е, =

-с -

= и,..., У) е я е ; матрицы £,£0 , и , £)

составлены из первых -г столбцов матриц , и

,£), а ^о, £) - ИЗ первых т-г- столбцов матрицы

Обозначим

а - 51 Г« «> + а™) + а?', (19)

где а^- а^=//(%а)4ло,е0)//, =

= е0, <%)//.

Теорема 8.6. Пусть: 1) имеют место равенства (17), (18); 2) существуют ^ = 7о. £ = £0» // = //£<,// = У, для которых

. 3) Р!сз)], Ц*-

тхг--, /и хГт-г)-матрицы, с(е± В ^ о , где!) = ^

4) существуют числа с? : о < < У, уз : о<уз<-/, удовлетворяющие неравенствам: ¿/а < ^ (V ^ Н II <_р(-1~~ Л,)(■<+ уо)"+ -3), где о! ~ ¡¡ТУ* И, число а определено равенством (19), д. - некоторое число: о У-^ . Тогда система (2).шеет ненулевое со-периодическое решение. .

Кроме этого, в § 1 получены признаки существования ненулевого корня однородного векторного полинома вида ¿С^в).

В § 2 второй главы {^осматривается система (2) при условии, что К ъ X •

В третьей главе изучается система (3>. Для этой система условие (9) записывается в виде

21 /сг <-?,£)+ Рг (ъ £>) + Р(Ъ е) = °>

со

где с1 (1-, £) = J И (г) (Х0(г, £) у, е) с(т , Й&»1опа~"£х X 11рг(ч, £) II = О и Ъ^^^Х и~6'ИрСв) II^о при всех £.

А

Допустим,

£> = С" ^Ь £) е), = ^

где - вектор-формы по £ порядка ^, ^^//£//

х Цу11 (\,£)\\=о разномерно по 1.

Пусть Га)('п1, е) =а~ ¿'¿(у, е), = З^.е).

Теорема 3.2. Пусть: 1) имеет место равенство (23); ■

2) существует такое число а , что ^ +- кг — а , I = -/, с/; .'

3) вынилняется одно ;:с услспий: а) с> < ё ; <">) т > £ и ^^ НЕ II б~аИр£)//- соУь^Л-, -^о - произвольный фиксиро-

П£11-**0 . л. Й-п

ванный вектор; в) а ъ в и /у ИрС^&)11 = о равно-

мерно по ?? ;

^А) существуют значения "у1=п1о и £ = £0 , при которых

21 £0) ^ о •

Тогда существует множество такое, что для всех (а* £*)£&) решение ас (т, а * £ *) системы (3) не является со - периодическим. Теорема 3.3. Пусть:

1) выполняются условия 1)-3) теорем 3.2;

2) существуют значения ^ = й , £ - £ а , для которых

Г £¿(4О,е0)=о. пл- пел = V ; ^

„)=/>, Гя]. г. Я^Ъо,

- тхе^-, И^ - тх ег -матрицы, е., + = причем

Тогда система (3) имеет ненулевое - периодическое решение.

Пусть £) - В£-Г£) где = Со^ (

ЧК<~\г} ■■■ Л : - чксло членов Форш по-

рядка К-ь из ш переменных, £=УПусть ¿¿^Се)- столбец матрицы Е>1 (£) , I = У, с/, У, Предположи, что и(1р-число членов Форш порядка к£- .из р переменных, -/ $ уо ^.т.

и i'

Пусть ЯГ z.'- в£, где (£) = co&n (£fi

S" S * к i 9

£\/ £eL), hi ■ IR'-^ IR "Ti - число членов фораг по-

рядка sL из - переменны;; d(LPj - столбец матрицы ¿ =

- , J = где т(Л 1 - число членов Форш порядка s i ка

d r-.W

а переменных, j ^ о <: в. Обозначим -21 Т d; .

t г L~'<i = < 3

Допустим, = ...,-(} - m * m -,

(yS) - Jfogfa,..., Д, А..., fj - ^ -матрицы, JiL 4 о и

р^Ф о - некоторые числа, £ = -/77^ . / = • Зафиксируем р~

л^*(/>*)£ ) = Д в). Для 4 £)'"по аналогии с пре-

дыдущими рассуждениями введем вектор Qpg. •

. w /и ff

Леша 3.2. Еоли существует набор (р, ^ , J& , ^ для которого - о , то уравнению ZL £) = о удовлетворяет векторы -?j* = /4p*(><*) ^0 и где =

= А Р» </~ "'» 2' Я ^ О - произвольное число.

В § 1 рассмотрен такие случай, когда - с , L ~ d. Для этого случая получены условия существования и отсутствия ненулевого со-периодического решения и признак существования ненулевого корня суммы однородных векторных полиномов.

В § 2 третьей главы рассматривается система (3), при условии, что она превращается в систему т)- = А V при s - о. Пусть в системе (3) ц - 2, £ е fR1^ и

= We) 8^/) [L + Lce)]e, cz(ч,£) ~ We) ВС?)p-?^) + ГГ7, e)]e, p,(j, £) +-Рг(ч,£)= VCe) Bif) P*fh £) £ ,

pfy e) = - V(£)BfV F{Ъ e) 6 '

где элементами m * W) -матриц V(£) и В (у) слукат формы порядков 5 и к у 7 1 соответственно ( S ? -/ , если К i - i ), а элемента матрицы Fij) линейны, Р(у, В) = 0(üi ¡1 Н<) или щЕС0Х Е - L(e)->ro, ,

PY^, , PCj, В)о при всех 7 при £-г о.

Тогда условие (2Б) принимает вид ■

V(£) ßf^i) [L + ГГ7) + Dre, ?)] e = о. (27)

ттяя маттт /. . Pf-»). 7Vя. ») Eb'ßcDo» ненотороз г -разбиение.

■ с - /С

Пусть , £\, ^f?). - последние столбцы, матриц Lz ,

Zj,;/ , Fl(->i), соответственно. Допустим, dei L4 Ф о и

где S - , Г*('%)-*-о при j^-o, у)-*о при е-*-о.

Зададим функцию vY^) одним из следующих способов: .либо = (->i), (29)

либо y^J = f\ (у) - L3 S f<

либо v( 1) = ^ i>/) - F3 (q) S (21 i

лгбо - £ (1) - {[LbF*(y + +

Теорема 3.7. Пусть: 1) имеет место равенство (27);

2) Р^, £) = 0(1ЧИН<) или ¡Г^ilP(">),£)Н — о рав-

// 7II

неверно по £ ;

3) dei о для некоторого г--разбиения;

4) ez - L3sef = О ;

5) имеют место равенство (28) и одно из (29)-(32);

6) Jel V(£)

Ф о при всех £5^0, de.i. В (у) Ф о при всех f о ;

7) 1rCti)=Ry, R=[Ri R3], Rj - (м-т)х(ы-т)-Ш1-

рица, dei Rj=£o. Тогда система (3) имеет, ненулевое со -периодическое решение.

В заключение автор выражает искреннюю признательность научному руководителю профессору Терехину М.Т. за постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержу.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Абрамов В.В. Существование ненулевого периодического решения одной системы дифференциальных уравнений с параметром / Ряз. гос. пед. ун-тет. Рязань, 1995. 20 с. Деп. в ВИНИТИ

21.08.95. N 2477-В95.

2. Абрамов В.В. Существование ненулевого периодического решения автономной системы дифференциальных уравнений с параметром в одном,критическом случае // Дифференц. уравнения (качественная теория): Сб. науч. тр. Рязань, 1995. С. 3-12.

3. Абрамов В.В. Периодическое решение автономной системы дифференциальных уравнений возмущенного движения в критическом случае // Компьютерные методы небесной механики. Тезисы докладов Всероссийской конференции (С.- Петербург,17-20 октября 1995 г.). С.-Петербург, 1995. С.26.

4. Абрамов В.В. Периодическое решение автономной системы дифференциальных уравнений с параметром, матрица линейного приближения которой имеет как чисто мнимые, так и нулевые корни / Ряз. гос. пед. ун-тет. Рязань, 1996. 20 с. Деп. в ВИНИТИ

19.01.96. N 233-В96.

5. Абрамов В.В. О некоторых критериях существования ненулевого периодического решения системы'дифференциальных уравнений с параметром / Ряз. гос. пед. ун-тет. Рязань, 1996. 19 с. Деп. в ВИНИТИ 19.01.96 N 232-В96.

6. Абрамов В.В. К задаче о существовании ненулевого периодического решения системы дифференциальных уравнений, зависящей от параметра // Дифференц. уравнения (качественная теория): Сб. - науч. тр. Рязань, 1996. С. 6-13.

абрамов владимир викторович

ненулевые периодические решения автономных СИСТЕМ Щ№ЕРЕ'гЩ}1АЛЬ1%£{ уравнений, зависящих' от параметра, в критических случаях

Автореферат диссертации'на соискание ученой отепени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 22.04.96 Формат бумаги 60x04 1/16

Печать офсетная Объем 1,0.п.д. ЗаказN 76

Тира1* 100 р>гё. Бесплатно

Множительная лаборатория Рязанского государственного педагогического университета им. С. А. "Есенгота 390000, г. Рязань, ул. Свободы, ¡46