Необходимые и достаточные условия конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Половинкина Анастасия Владимировна

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ КОДЛИНЫ МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛЕЙБНИЦА

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005568131

2 9 АПР 2015

Ульяновск - 2015 г.

005568131

Работа выполнена на кафедре алгебро-геометрических вычислений в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Ульяновский государственный университет" Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

ФГБОУ ВПО "Ульяновский государственный университет", факультет математики и информационных технологий, заведующий кафедрой алгебро-геометрических вычислений Мищенко Сергей Петрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

ФГБОУ ВПО "Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова", механико-математический факультет, профессор кафедры математического анализа Михалев Александр Александрович

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВПО "Ульяновский государственный педагогический университет им. И.Н. Ульянова", физико-математический факультет, заведующая кафедрой высшей математики Череватенко Ольга Ивановна Ведущая организация: ФГАОУ ВПО "Уральский федеральный университет

имени первого Президента России Б.Н. Ельцина " Защита диссертации состоится "24" июня 2015 г. в 1300 часов на заседании диссертационного, совета Д 212.278.02 при ФГБОУ ВПО "Ульяновский государственный университет", расположенном по адресу: г. Ульяновск, ул. Набережная реки Свияги, 106, корп. 1, ауд. 703.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ульяновского государственного университета и на сайте ВУЗа — http://ppo.ulsu.ru, с авторефератом — на сайте ВУЗа http://ppo.ulsu.ru и на сайте Высшей аттестационной комиссии при Министерстве образования и науки Российской Федерации — http://vak.ed.gov.ru. Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью организации, просим направлять по адресу: 432017, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42, УлГУ, Отдел подготовки кадров высшей квалификации.

Автореферат разослан ^-у^г^к 2015 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.278.02

кандидат физико-математических наук Волков М А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение линейных алгебр и их многообразий над некоторым полем с точки зрения выполнения в них тождественных соотношений является одним из устоявшихся направлений исследований современной алгебры. Наиболее изученными являются многообразия ассоциативных алгебр и алгебр Ли1'2. Данная ' работа посвящена исследованию многообразий алгебр Лейбница. Вероятно, одно из первых упоминаний алгебр Лейбница встречается в работе A.M. Блоха3 как обобщение понятия алгебры Ли. Эта тематика начала активно развиваться в 90-х годах прошлого века, появился ряд публикаций отечественных и зарубежных авторов: A.A. Михалев4, V. Drensky, G.M.P. Cattaneo5, J.-L. Loday, Т. Pirashvili6 и др.

Важным направлением в исследовании многообразий линейных алгебр являет' ся изучение их числовых характеристик. К таковым относится последовательность размерностей так называемых полилинейных частей, которая определяет рост многообразия, его кратности, кодлина. Данная работа содержит исследование многообразий алгебр Лейбница с конечной кодлиной, то есть многообразий, кодлина которых ограничена некоторой константой, не зависящей от степени полилинейной части.

Последовательность кодлин многообразия песет незначительную часть информации о многообразии. Тем интересней выглядит результат о многообразиях, кодлина которых равна единице. Эта проблема исследована в работе7. В ней доказано, что существует ровно три многообразия с указанным свойством, по одному в классах ассоциативно-коммутативных алгебр, алгебр Ли и йордановых алгебр.

В случае ассоциативных алгебр рост кодлины любого многообразия V асимптотически ограничен8 полиномиальной функцией п" для подходящего q. Исключение составляет только многообразие всех ассоциативных алгебр.

Для алгебр Ли ситуация значительно сложнее. Поведение роста кодлины многообразий алгебр Ли изучено гораздо хуже, чем в случае ассоциативных алгебр. Существует широкий класс многообразий алгебр Ли, называемых SPI-многообразиями,

1 Бахтурин, Ю.А. ТЪясдества в алгебрах Ли / Ю.А. Бахтурхт. — М.: Наука, 1985. — 448 с.

J Giainbrano, A. Polynomial Identities and Asymptotic Methods. / A. Giambmno, M. Zaicev. - Mathematical Surveys and Monographs 122. American Mathematical Society. Providence. RI. — 2005. — 352 p.

3 Блох, A.M. Об ОДНОМ обобщении понятия алгебры Ли / A.M. Блох // Доклады Академии паук' СССР.

— 1965. — Т. 18. — №3. - С. 471-473.

1 Mikhalev, A.A. Subalgebras of &ее Leibniz algebras /A.A. Mikhalev // Communication iu Algebra. -1998 — T. 26.— e 2. — P. 435-446.

5 Drensky, V. Varieties of Metabelian Leibniz Algebras / V. Drensky, G.M.P. Cattaneo // J. Algebra and its applications. — 2002. — V. 1. — №1. — P. 31-50.

° J"L- Universal enviloping algebras of Leibniz algebras and (co)homology / J.-L. Loday, T. Pirashvili

// Math. Ann. — 1992. — V. 296. — P. 139-158.

7 Мищенко, С.П. Многообразия линейных алгебр кодаяны один / С.П. Мищенко // Вестник Московского университета. Сер. 1, Математика. Механика. — 2010. — №1. — с. 25-30.

* Borde, A. Applications of hook Young diagrams to P.I. algebras / A. Berclc, A. Regev // Journal of Algebra.

- 1983. - V. 82. - P. 559-567.

которые наиболее близки по своим свойствам к многообразиям ассоциативных алгебр. Для них рост кодлины подчиняется аналогичным ограничениям. Известны также отдельные примеры многообразий с полиномиальным ростом кодлины. В работе9 доказана полииомиалыгость роста кодлины любого API-многообразия алгебр Ли и построен ряд примеров, когда кодлина растет быстрее любой полиномиальной функции. Приведенные примеры показывают, что для многих важных многообразий алгебр Ли, таких как многообразия трехступенно разрешимых алгебр Ли, многообразия порожденные некоторыми бесконечномерными простыми алгебрами картаиовского типа или некоторыми алгебрами Каца-Муди, рост кодлины сверхполиномиален.

В работах10'11 содержится доказательство того, что кодлина и коразмерности многообразия удовлетворяют условиям

в частности, кодлины многообразий А3 и AN3 растут сверхзкспопепциальным образом. Там же для произведения нильпотентных многообразий алгебр Ли соответствующих ступеней доказано, что кодлина í„(NtN2) асимптотически ведет себя как 6", то есть рост кодлины является экспоненциальным. Наличие примера многообразия с промежуточным ростом кодлины было установлено в работе12. В ней определена следующая асимптотика для кодлины этого многообразия

h(¡„(AN2)) C*/ñ,

где С = ii^Jl, а также доказано, что AN2 - минимальное многообразие алгебр Ли со сверхнолиномиальным ростом кодлины. То есть кодлина любого собственного подмногообразия многообразия AN2 ограничена сверху некоторым полиномом.

В случае ассоциативных или алгебр Ли при условии выполнимости в мпогообра-зии системы тождеств Капелли, то есть когда кохарактер многообразия расположен в полосе, кодлина многообразия полиномиально ограничена. Однако это условие нарушается в случае произвольных линейных алгебр. Так в работе13 построен пример многообразия V, в котором выполнена система тождеств'Капелли ранга 4, то есть кохарактер многообразия лежит в полосе ширины 3, но при этом кодлина V имеет

Зайцев, М.В. О полиномиалыгасги роста кодлины многообразий алгебр Ли / М.В. Зайцев, С.П. Мл-щевхо // Алгебра и логика. — 1999. — Т. 38. — №2.'— С. 161-175.

Зайцев, М.В. Асимптотика функций роста кодлины многообразий алгебр Ли / М.В. Зайщэ, С.П. Мищенко // Успехи математических наук. — 1999. — Т. 54. — №3. — С. 161-162.

" Mishcherlko' S-P- Asymptotic behaviour of colength of varieties of Lie algebras / S.P. Miehchenko, M.V. Zaicev // Serdica Mathem. Journal. — 2000. — V. 26. — №2. — P. 145-154

" Giambnmo, A. On the colength of a variety .of Lie algebras / A. Giambruno, S.P. Mishchenlco, M.V. Zaicev // International Journal of Algebra and Computation. - 1999. - V. 9. - МБ. - P. 483-491

Зайцев, М.В. О кодлине многообразий линейных алгебр/ М.В. Зайцев, С.П. Мищспко // Математические заметки,- 2006.— 79 — 4,— С. 553-559.

экспоненциальный рост. В работе14 указан пример многообразия, у которого ненулевые кратности только для разбиений (тг) и (п -1,1) числа п, но тем не менее кодлина многообразия является экспоненциальной (см. пример 1 упомянутой работы).

Условия конечности кодлины многообразия алгебр Ли были исследованы в работах16'16. В них построено многообразие U2 алгебр Ли экстремальное по отношению к свойству иметь конечную кодлину. То есть последовательность кодлип самого многообразия бесконечно возрастает, в то время как кодлина любого собственного подмногообразия ограничена некоторой константой, не зависящей от степени п. Там же15, в частности, доказано, что из конечности кодлины многообразия V алгебр Ли над полем нулевой характеристики следует, что оно состоит из алгебр Ли с нильпогентным коммутантом. Более точно, доказано, что такое многообразие удовлетворяет условию

U2 ç/ V с NäA

для некоторого натурального числа д. В упомянутой работе также установлено, что всякое многообразие алгебр Ли конечной кодлины имеет полиномиальный рост. В работе16 определено, что условие

U2.£VcU2

является достаточным для конечности кодлины многообразия алгебр Ли. То есть доказано, что многообразие U2 имеет почти копечпую кодлину. А также что условие

U2 t V С NjA

для некоторого натурального числа s является не только необходимым, но и достаточным условием конечности кодлины лиева многообразия V.

Отметим, что в случае алгебр Ли существуют и другие примеры многообразий почти конечной кодлипы. Такими являются многообразия почти полиномиального роста Vo,V2,V3,V4. То есть многообразиями с почти конечной кодлипой являются также все известные примеры многообразий почти полиномиального роста, кроме многообразия Vs = N2A, которое является надмногообразием многообразия U2.

Для многообразий алгебр Лейбница вопрос роста кодлины является еще менее изученным. В работе17 рассматривается многообразие V2 алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики. Оно связано с бесконечномерной алгеброй Грассмана.

4 Giambruno, A. Polynomial growth of the codimensions: A characterization/ A. Giambruno, S. Mishchcnlco // Proc. Amer. Math. Soc.— March 2010 — 138,— №3,— P. 853-850.

Хашша, И.Р. О многообразиях алгебр Ли конечной кеялипы в случае поля пулевой характеристики / И.Р. Хагаша // Ученые записки УлГУ. Фундаментальные проблемы математики и механики. Под ред. Б.Ф. Мельникова, — 1999.

Ханина, И.Р. Необходимое условие конечности кодлины многообразий алгебр Ли в случае поля нулевой характеристики / И.Р. Хапина // фудц. и прикл. математика. - 2000. - №2. - С. 607-616.

Абааина, Л.Е. Многообразие алгебр Лейбница, связанное со стандартными тождествами / Л.Е. Аба-пина, С.М. Рацеев // Вестпик Самарского государственного университета. - 2005. - №6. - С. 36-50.

В работе определено, что кодлина этого многообразия является полиномиальной и равна Зп - 5 для любого и > 4. Кодлина многообразия ^з, связанного с неприводимыми бесконечномерными представлениями трехмерной алгебры Гейзенберга, была изучена в работе18. В ней было доказано, что кодлина этого многообразия вычисляется по формуле

. Г 1, если п = Зк + 1, где 5 = <

^ 0, если пфЗк + 1.

В работе19 построено многообразие и2 алгебр Лейбница, экстремальное по отношению к свойству иметь конечную кодлину. То есть последовательность кодлин самого многообразия бесконечно возрастает, в то время как кодлина любого собственного подмногообразия ограничена некоторой константой, не зависящей от степени п. Т&ким образом, вместе с многообразием и2, которое состоит из алгебр Ли, а поэтому тоже является многообразием алгебр Лейбница, так как любая алгебра Ли является алгеброй Лейбница, получаем два многообразия почти конечной кодлины,

Объектом исследования данной работы являются многообразия алгебр Лейбница, их полилинейные компоненты, числовые характеристики, и, в частности, такая числовая характеристика, как кодлина многообразия.

Предметом исследования являются условия конечности кодлины произвольного многообразия алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики.

Цель и задачи работы. Целью данной работы является поиск необходимых, достаточных и одновременно необходимых и достаточных условий конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница.

Для достижения этих целей были поставлены и решены следующие задачи:

1) установлено, что в случае нулевой характеристики основного поля многообразие алгебр Лейбница, последовательность кодлин которого ограничена некоторой константой, имеет рост не вьппе полиномиального (Теорема 3.1, Следствие 3.1);

2) доказано, что условие выполнения в многообразии тождеств

(з^хзХхзх^)... (х2,-гх2,) = О,

для некоторого натурального числа з и ■

к

хук2ут-к = £ а.яу *-<гут-*-н _

Скорая, Т.В. Строение полилинейной части многообразия V / Т.В. Скорая // Ученые записки Орловского государственного университета. — 2012. — Вып. 50. — №6. — С. 203-212.

Рацсев, С.М. Многообразие алгебр Лейбница с почти конечной кодтшой/ С.М. Рацеев // Ученые записки Ульяновского государственного университета. Фундаментальные проблемы математики и механики-2004. - Выпуск 1(14).- С. 34-45.

где к,т, к < т, неотрицательные целые числа, а а1г..., аь - некоторые элементы основного поля, является необходимым и достаточным условием копечпости кодлины многообразия (Теоремы 3.2 и 3.3);

3) получено следующее достаточное условие конечности кодлины многообразия: выполнение в многообразии ниль-тождества уУт = 0 и условия

и2,и20Усг5ГА,

для некоторого натурального числа з (Теорема 3.4). •

Методы исследования. В работе использованы методы теории линейных алгебр, методы теории представлений симметрической группы, теории колец, техника диаграмм Юпга, комбинаторные методы.

Научная новизна. Все полученные в работе результаты являются новыми. Впервые установлены необходимые, достаточные условия конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница, а также его критерий.

Научные положения, выносимые на защиту.

• утверждение, что многообразие алгебр Лейбница с условием конечности кодлины состоит из алгебр с нпльпотентным коммутантом, в частности, имеет полиномиальный рост:

• достаточное условие конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница, связанное с выполнением ниль-тождества;

• критерий конечности кодлины многообразия алгебр »Лейбница.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. В ней получены новые результаты теории многообразий алгебр Лейбница. Практическая значимость диссертационного исследования заключается в возможности использования полученных теоретических результатов в исследованиях многообразий алгебр.

Достоверность результатов исследований. Достоверность результатов, полученных в данной работе, обеспечивается строгостью постановок задач и математических методов их решения.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены на следующих конференциях и семинарах:

1) Международная конференция, посвященная 80-летию В.П. Шункова. "Алгебра и логика: теория и приложения." (Красноярск, 21-27 июля 2013 г.).

2) XI Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Саратов, 09-14 сентября 2013 г.).

3) XII Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" посвященная восьмидесятилетию Виктора Николаевича Ла^ тышева (Тула, 21-25 апреля 2014 г.).

4) Международная конференция "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 10-13 ноября 2014 г.).

5) Семинары кафедры алгебро-геометрических вычислений Ульяновского государственного университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе три статьи в журналах из списка ВАК.

Личный вклад автора. В диссертации изложены результаты, полученные как лично автором, так и совместно с доцентом Т.В. Скорой. Постановка задач выполнена совместно с научным руководителем С.П. Мищенко.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 65 источников. Общий объем диссертации составляет 92 страницы, основной текст диссертации изложен на 53 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, описываются цель работы и решаемые задачи. Приводится краткий обзор научных работ по рассматриваемой тематике, формулируются основные результаты диссертации.

Первая глава носит обзорный характер. Первый параграф содержит основные определения и понятия, а также некоторые обозначения, необходимые для упрощения записи. Во втором параграфе данной главы рассматриваются необходимые сведения из теории представлений симметрической группы. Приведем необходимую для изложения информацию из этой главы.

Пусть К — основное поле нулевой характеристики. Векторное пространство с билинейным произведением, в котором выполняется тождество Лейбница

(ху)я={хг)у + х{уг),

называется алгеброй Лейбница. Из тождества следует, что умножение справа на элемент алгебры является дифференцированием этой алгебры.

Напомним, что алгеброй Ли называется векторное пространство с билинейным произведением, в котором выполняется тождество антикоммутативности

ху = -ух

и тождество Якоби

(ху)г + (уг)х + (гх)у = 0.

Сравнивая тождества Якоби и Лейбница, получаем, что они эквивалентны друг другу по модулю тождества антикоммутативности. Поэтому всякая алгебра Ли является алгеброй Лейбница.

Выражение тождества Лейбница в виде

х{уг) = (ху)г - (хг)у

позволяет представить любой элемент алгебры Лейбница в виде линейной комбинации элементов, в которых скобки расставлены слева направо. Поэтому договоримся опускать скобки в случае их левонормированной расстановки, то есть

Х&2Х3... х„ = (((г1Я2)х3)... хп).

Договоримся также обозначать оператор умножения справа, например, на элемент у алгебры Лейбница, заглавной буквой У. Это удобно, так как тогда мы можем записать элемент я ^^ в виде хУп. Запись хуп пе является корректной, так как,

п

например, ху2 = х(уу) и отлично от хуу = (ху)у.

Многообразием V линейных алгебр пазывается совокупность всех линейных алгебр над основным полем, в которых выполняется некоторый фиксированный набор тождественных соотношений.

Пусть К — основное поле нулевой характеристики, а V — некоторое многообразие линейных алгебр. Обозначим через К(Х,У) относительно свободную алгебру многообразия V от счетного множества образующих X = {хь х2.....!„,...}. Рассмотрим

множество полилинейных элементов степени п от образующих 2:1,2:2,... ,хп относительно свободной алгебры К(Х,\) многообразия V. Они образуют векторное пространство Рп(V), называемое полилинейной компонентой относительно свободной алгебры многообразия V. Поскольку основное поле имеет нулевую характеристику, то вся информация о многообразии V содержится в его полилинейных частях. Поэтому исследование этих пространств играет важную роль и они активно изучаются для различных многообразий.

Зададим на пространстве РП(У) действие перестановок, в результате чего оно превратится в пространство представлений симметрической группы 5П. Пусть а — элемент группы 5,,. Будем считать, что действие элемента а на элемент пространства Рп(У) определяется действием на индексах образующих. Тогда элемент xi ...х, под действием а перейдет в элемент х„-¡ха^ ). Пространство Р„(V) ста-

новится модулем над групповым кольцом КЗп. Эта идея позволяет использовать при исследовании многообразий линейных алгебр теорию представлений симметрических групп. Последовательность чисел с„(У) = сНтРп(У), п = 1,2,3..., называется последовательностью коразмерностей многообразия и определяет его рост. В частности, рост многообразия пе выше полиномиального, если существуют такие неотрицательные числа С, к, что для любого натурального п выполняется неравенство Сп(У) < Спк.

Хорошо известно, что групповое кольцо КБп симметрической группы 5„ над полем нулевой характеристики раскладывается в прямую сумму левых идеалов. Про-

странство P„(V) как KSn-модуль также разлагается в прямую сумму неприводимых подмодулей. Строение P„(V) как модуля группового кольца KSn можно представить па "языке характеров". Рассмотрим разложепие характера модуля P„(V) в целочисленную комбинацию неприводимых характеров Ха, соответствующих разбиению А числа п

X»(V) = x(P„(V)) =

Ahn

Числа тод называются кратностями многообразия, их сумма по всевозможным разбиениям А числа п называется кодлиной многообразия и является основным объектом исследования в диссертационной работе:

J»(V) = £>*.

Ahn

Многообразие имеет конечную кодлину, если существует такая константа С, что для любого натурального п выполняется неравенство /„(V) < С. Будем говорить, что многообразие имеет почти конечную кодлину, если последовательность его кодлин пе ограничена, а любое собственное подмногообразие имеет конечную кодлину.

Вторая глава диссертации носит реферативный характер. Она содержит описание проблемы конечности кодлины в различных классах линейных алгебр. В первом параграфе речь идет о многообразиях, кодлина которых равна единице. Интересно, что таких многообразий оказалось не так много, как можно было ожидать, а всего три: по одному в классах ассоциативных, лиевых и йордановых алгебр соответственно. Эти многообразия определены и описапы в первом параграфе.

Второй параграф описывает два многообразия ассоциативных алгебр конечной кодлины. Первое из них порождено бесконечномерной алгеброй Грассмана, второе — алгеброй верхнетреугольных матриц порядка два. Кроме того, в этом параграфе содержится необходимое и достаточное условие конечности кодлины многообразия ассоциативных алгебр.

В третьем параграфе второй главы рассматриваются многообразие Vi = N2A всех алгебр Ли с нилытотентным ступени не выше двух коммутантом и лиево многообразие почти конечной кодлины U2. Описываются свойства этих многообразий и их числовые характеристики, а также тождества, которым они удовлетворяют. В данном параграфе приводится критерий полиномиальное™ роста многообразия алгебр Ли над полем нулевой характеристики. Кроме того, для указанных многообразий подробно описывается поведение последовательности кодлин.

В четвертом параграфе рассматриваются только многообразия алгебр Ли. Он содержит описание многообразий с полиномиально ограниченным ростом кодлины; многообразия, рост кодлины которого является промежуточным между полиномиальным и экспоненциальным; многообразий со сверхэкспоненциальным ростом кодлины; и, наконец, многообразий с почти конечной кодлиной, одним из которых явля-

ется многообразие U2. Этот параграф содержит реферативное доказательство необходимого условия конечности кодлипы многообразия V алгебр Ли над полем характеристики ноль, которое заключается в существовании натурального числа з, для которого выполняется условие

U2?!VC N.A.

Из этого утверждения вытекает следствие, приведенное в даппом параграфе о том, что рост всякого многообразия алгебр Ли с конечной кодлиной является полиномиальным. Далее рассматриваются многообразия алгебр Ли, не содержащие многообразия U2. Приводится схема доказательства леммы о том, что существуют такие степень и коэффициенты, для которых в многообразии V выполняется тождество

t

xYazYß = ]Г а,хУа-'гУе+\ 1=0

В конце четвертого параграфа второй главы приводится реферативное доказательство достаточного условия конечности кодлины многообразия V алгебр Ли над полем нулевой характеристики, которое заключается в существовании натурального числа s, для которого выполняется условие

U2£VCNSA.

ТЪким образом, данное условие является одновременно необходимым и достаточным условием конечности кодлины многообразия алгебр Ли.

Третья глава посвящена многообразиям алгебр Лейбница и содержит основные результаты исследования, В первом параграфе третьей главы рассматривается многообразие Vi, которое определяется тождеством ха(х1х2)(хзх^ = 0 и многообразие U2 почти конечной кодлины, которое найдено С.М.Рацеевым. Описываются свойства этих многообразий и их числовые характеристики, а также тождества, которым они удовлетворяют. В даппом параграфе приводится критерий полипомиальпости роста многообразия алгебр Лейбпица над полем нулевой характеристики. Кроме того, для указанных многообразий подробно описывается поведение кодлины.

Во втором параграфе третьей главы на "языке" тождественных соотношений указано необходимое условие конечности кодлины для многообразия алгебр Лейбница, которое было опубликовано в работе20. Прежде чем изложить содержание данного параграфа, опишем многообразия, которые будут использоваться в процессе доказав тельств.

30 Швецова (Паловинкина), A.B. Необходимое условие конечпости кодлины многообразия алгебр Лейбница / A.B. Швецова (Половннкина)// Веспшк Московской Государствешюй Академии Делового Администрирования. — 2013. — №2(22). — С. 197-202.

Многообразие алгебр Лейбница М,А определяется тождеством {х1хг){хьХ1)...{хга-Пхг,+2) 2 О

и называется многообразием всех алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом ступени нильпотентности не выше в.

Многообразие 1Т2 состоит только из алгебр Ли, впервые было определено в работе21. Это многообразие определяется всеми тождествами вида /л = 0, где элемент /л соответствует разбиению А = (Ль-.А^) числа п, удовлетворяющему условию п - А1 >2. Как было доказано в упомянутой работе многообразие алгебр Ли и2 имеет почти конечную длину. Так как любая алгебра Ли является алгеброй Лейбница, то многообразие и2 является с почти конечной кодлиной многообразием алгебр Лейбница.

Многообразие алгебр Лейбница и2 определяется всеми тождествами, которые соответствуют разбиениям А = (Аь Л2,... А*) числа я, с условием, что п - А[ > 2, а также тождествами

^(хгх^^хь) = 0, хх{ху)у - ху(ху)х = О Е (—1 )Раг2:р( 1)2Гр(2)Жр(3) = О,

рев

где (-1)р — четность перестановки р. Многообразие и3 имеет следующее строение полилинейной части:

Рп(и2) = КБфп д^)КБп{1т "© КЗп{1т д{„_зд)© "®ЛГ5п(/т 5(„_2Д,1)),

где

9ы=хр(°п_и) = (Х1Х2 - х2Хг)Х?-2;

= цл:;-1 (х,х2 - х2х1)х?~2-\ г = 1,...,п - 2;

9\п-2,2) = х1Х{(х1х2)х2Х?-4-{ - х^ХЦх^х^-^, г = 0,1, ...,гг - 4; 91¡ГЛ,2) = («12=2 - Х2Х1)Х?-<(Х1Х2)\ 91-2,1,1) = Е^ЗД^ЗД)^". * = 0,1,.., п- 3.

РбЭ

Кодлина этого многообразия является почти конечной.

" Ханина, И.Р, Необходимое условие конечности кодаины многообразий алгебр Ли в случае поля нулевой характеристики ,/ И.Р. Хашша // Фувд. и прта математика. - 2000. - №2. - С. 607Н516.

Пусть 6„ = роизф] — делая часть числа если последнее число дробное,

или Ьп = [к^3(2)] — 1, в противном случае. Для любого натурального числа п > 3 определим множество полиоднородных элементов дг степени п следующего вида

д>{хи-,х2р ,у) = Х0(Г1г2)-(х2р -1Х2р )Уп~,р~1, где pt = 3', < = 1,..., Ьп. Полную линеаризацию элемента д1 обозначим через /(: Л = ЛI,-- ■£„) = х„(х1х2)... (х2р _1г2р )х„(2р +1)...£„(„_!),

(7

где суммирование ведется по всем перестановкам а множества {2р4 + 1,2р4 + 2,... ... ,п — 1}. Отметим, что так как характеристика основного поля равна нулю, то тождества /( = 0 и дь = 0 являются эквивалентными.

Далее, введем в рассмотрение множества диаграмм Юнга Тг (4 = 1,2,...,), построенных по разбиениям А = (А1,А2,...) числа л, удовлетворяющим свойству п ~ 2рг — 1 < Ах < п — И отметим, что построенные таким образом множества и 7} не пересекаются для г ^

Рассмотрим модуль Gt — КБп}и порожденный полилинейным элементом /¡. Для него справедлива лемма:

Лемма 3.1. Пусть V — некоторое многообразие алгебр Лейбница иб, - подмодуль полилинейной компоненты этого многообразия, пороокденный линеаризацией элемента вида

91 = хп(хгх2)... (х2р _1Х2р )Уп~2р -1,

где рг — 3*, t = 1 ,...,&„. Пусть, кроме того, Т( — множество диаграмм Юнга, которые отвечают разбиениям А = (А1,А2,...) числа п, удовлетворяющим следующему свойству п - 2р4 - 1 < А1 < п - р,- Тогда в разложении Квп-модуля участвуют только те неприводимые модули, которые соответствуют диаграммам из множества 7}.

Основываясь на этой лемме, мы приходим к справедливости следующей теоремы:

Теорема 3.1. Если V — многообразие алгебр Лейбница конечной кодлины, тогда существует такое натуральное число з, что выполняется условие

Из данной теоремы непосредственно вытекает

Следствие 3.1, Если V — многообразие алгебр Лейбница конечной кодлины, тогда V имеет полиномиальный рост.

Третий параграф третьей главы посвящен достаточному условию конечности код-лины произвольного многообразия алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики. Результаты, представленные в данной главе были опубликованы в работе22. В этом параграфе получено следующее достаточное условие конечности кодлины многообразия V:

Теорема 3.2. Пусть V — подмногообразие многообразия N„A, в котором для некоторых натуральных к,т, к'<т, и ai,..., а^ 6 К выполнено mootcdecmeo

к

xYkzYm-ks^aixYl'-izYm-k+i. i=l

Тогда многообразие V имеет конечную кодлину.

В четвертом параграфе третьей главы доказывается, что сформулированное в Теореме 3.2 условие является не только достаточным, но также и необходимым условием конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница. Этот результат опубликован в работе23 и имеет следующий вид.

Теорема 3.3. Кодлина многообразия V конечна тогда и только тогда, когда верно включение V с NCA и в многообразии V для некоторого натурального п и некоторых элементов а{ из поля выполняется тождество

п-2

Е^гУ^У"-2"' = О,

¡=0

в котором хотя бы один коэффициент оч отличен от нуля.

Четвертый параграф также содержит еще одно необходимое условие конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики.

Теорема 3.4. Если для многообразия V алгебр Лейбница при некотором натуральном s верно условие U2, U2 <£ У С NaA « в нем выполняется тождество

ууш-1 = 0)

то кодлина многообразия V конечна.

В конце диссертационной работы приведена гипотеза, которую пока доказать или опровергнуть не удалось.

Гипотеза. В классе алгебр Лс&бтща условие

___U2,V2 £ У С iVjA,

22 Скорая, Т.В. Новые свойства многообразий алгебр Лейбница / Т.В. Скорая, A.B. Швецова (Половинки-на) // Известия Саратовского государственного угогоерситета. Серия математика, механика, информатика. - 2013. - №4(2). - С. 124-129.

" Половинкина, A.B. Условия конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница / A.B. Половинкипа, Т.В. Скорая // Вестник Самарского государственного университета. — 2014. — №10(121). — С. 84-90.

эквивалентно конечности ксдлины многообразия V.

Формулировка этой гипотезы созвучна случаю алгебр Ли. Для подтверждения верности данной гипотезы надо найти способ отказаться от условия выполнения в многообразии ииль-тождества, которое использовано в теореме 3.4, чего, к сожалению, пока сделать не удалось.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе.

1. Доказано, что в случае нулевой характеристики основного поля многообразие алгебр Лейбница с условием конечности кодлины имеет рост но выше полиномиального, в частности состоит из алгебр с нильпотентным коммутантом.

2. Получено достаточное условие конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики, связанное с выполнением в многообразии ниль-тождества.

3. Найдено необходимое и достаточное условие конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Сергею Петровичу Мищенко за предложенное направление исследований, полезные советы, постоянное внимаг ние и всестороннюю поддержку.

РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

Публикации в журналах, входящих в список ВАК

[1] Половинкина, A.B. Условия конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница / A.B. Половинкина, Т.В. Скорая // Вестник Самарского государственного университета. — 2014. — №10(121). - С. 84-90.

[2] Скорая, Т.В. Новые свойства многообразий алгебр Лейбница / Т.В. Скорая, A.B. Швецова (Половинкина) // Известия Саратовского государственного университета. Серия математика, механика, информатика, — 2013. — №4(2). — С. 124-129.

[3] Швецова, (Половинкина) A.B. Необходимое условие конечности коддипы многообразия алгебр Лейбница / A.B. Швецова (Половинкина) // Вестник Московской Государственной Академии Делового Администрирования. — 2013. — №2(22). — С. 197-202.

Публикации в прочих журналах

[4] Половинкина, A.B. Одно необходимое и достаточное условие конечности код-лины многообразия алгебр Лейбница / A.B. Половинкина, Т.В. Скорая // Международная конференция "Мальцевские чтения" (10-13 ноября 2014 г.) — Новосибирск, 2014. - С. 116.

[5] Швецова, (Половинкина) A.B. Об одном достаточном условии конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница / A.B. Швецова (Половинкина) // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тезисы докладов XI международной конференции (Саратов, 9-14 сентября 2013 г.). — Саратов, 2013. — С. 88-89.

[6] Швецова, (Половинкина) A.B. Одно необходимое условие конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница / A.B. Швецова (Половинкина) // Алгебра и логика: теория и приложения. Тезисы докладов международной конференции, посвященной 80-летию В.П. Шункова. (Красноярск, 21-27 июля 2013 г.). — Красноярск, 2013. — С. 148-149.

[7] Швецова, (Половинкина) A.B. О некоторых условиях конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница / A.B. Швецова (Половинкина) // XII Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" посвященная восьмидесятилетию Виктора Николаевича Латышева (Тула, Россия, 21-25 апреля 2014 г.). - Тула, 2014. - С. 185-187.

Подписано в печать 08.04.2015. Формат 60x84/16. Гарнитура Times New Roman. Усл. п.л. 1,0. Тираж 120 экз. Заказ

Отпечатано в Издательском центре Ульяновского государственного университета 432017, г. Ульяновск, ул. JL Толстого, 42