Неравенства типа Гильберта и Хаусдорфа-Юнга-Рисса по системе собственных и присоединенных функций дифференциального оператора четного порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6 од

МОСКОВСКИ!! ГОСУДАРСТВЕННЫ!! УНИВЕРСИТЕТ г> I п г ШПО имени М. В. ЛОМОНОСОВА

- 9 А и Г шо

Факультет вычислительно» математики и кибернетики

На правах рукописи УДК 517.92

гаПКИНЛ Гузель Евгепьепнп

НЕРАВЕНСТВА ТИПА ГИЛЬБЕРТА II ХАУСДОРФА-ЮНГА-РИССА ПО СИСТЕМЕ СОБСТВЕННЫХ II ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ЧЕТНОГО ПОРЯДКА

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1993

Работа выполнена па кафедре общей математики факультета вычислительной математики п кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

II а у ч н ы и р у I; о в о д и т е л ь:

академик Российской ЛИ В. А. ИЛЬИН

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических паут;, профессор А. II. ПРИЛЕ11КО,

доктор физико-математических паук, профессор М. Л. ГОЛЬДМАП '

Ведущая организация — Смоленский государственный педагогический институт.

заседании Специализированного Совета К 053.05.87 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, факультет вычислительной математики п кибернетики, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета.

Автореферат разослан «............»........................1993 года.

Ученый секретарь специализированного совета,

Защита состоится

..............1993 года в ИЗО па

доцент

В. М. ГОВОРОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблемы спектральной теории неса-мосопряжешшх дифференциальных операторов в последние десятилетия привлекают к себе пристальное внимание исследователей. Им посвящены работы Е А. Ильина, Е П. Михайлова, Е. И. Моисеева, Ы. А. Наймарка, Е Д. Будаева, И. С. Ломова, Е Е Тихомирова и др.

Одним из центральных вопросов этой теории является отыскание условий сходимости разложений по собственным и присоединенным функциям. Существенные результаты в этом направлении получены Е А. Ильиным и его учениками. Введенная Е А. Ильиным новая трактовка собственных и присоединенных функций позволяет рассматривать совершенно произвольные краевые условия, как локальные, та»; и нелокальные, а также системы функций, не связанные никакими краевыми условиями.

Рассматривая систему собственных функций оператора Лапласа и не предполагая ни полноты, ни минимальности, ни орто-нормкрованности этой системы, Е А. Ильин доказал неравенство типа Гильберта ^

00 . Ъ о

•I. \Ш>т\

Ш Ильин ЕА. Неравенство типа.Гильберта по системе собственных функций оператора Лапласа для радиальной функции, отличной от нуля в шаре достаточно малого радиуса // Доклады АН СССР,- 1986. - Т. 291, N 6. - С. 1292-1296.

■ - " 4" г)

неравенства типа Бесселя и типа Хаусдорфа-Кнга-Рисса

¿1(ЫГ<с ц\1г

для радиальных функций, обращающихся в нуль вне шара достаточно малого радиуса. >, Развивая методы, примененные в этих работах, X. М. Каров > доказал справедливость неравенств типа Гильберта и Хаусдорфа-Юнга-Рисса по системе собственных и присоединенных функций дифференциального оператора' второго порядка типа Штурма-Лиу-билля для классов четных и нечетных функций на отрезке.

"Цель работы. Целью работы является доказательство справедливости неравенства типа Гильберта и неравенства типа Хаус дорфа- Юнга- Рисса по системе собственных и присоединенных функций произвольного дифференциального оператора четного порядка для класса радиальных функций, обращающихся в нуль вне отрезка достаточно малой длины. При этом собственные и присоединенные функции понимаются в смысле определения, данного

[ 21 Ильин В. А., Йо И. Неравенства типа Бесселя и Хаусдорфа-Кнга-Рисса для функций из класса радиальных по системе собственных функций оператора Лапласа // Доклады АН ССОР. - 1986. - Т. 291, N 2. - С. 284-288.

13] Каров X. М. Неравенство Хаусдорфа-КЬга для собственных и присоединенных функций дифференциального оператора второго порядка // Математические заметки. - 1987. - Т. 42, N 3. - С. 411-421.

а Л. Идьини-м Л баз требования удовлетворения каким-либо крае-иям условиям.

Научи л я 'новизна. Все доказанные в работа результаты яз-■ шлется новы;»!. Перечислим главные из них:

- сформулированы и обоснованы достаточнее условия выполнения неравенства типа Гильберта для коэффициентов Зурье раз-голэния радиальной функции по системе регулярных корневых функций дифференциального оператора четного порядка; ■

- сформулированы и обоснованы достаточные условия выполнения неравенства типа Хаусдорфа-Юнга-Рисса для ¡юзффициептоз 'урье разложения радиальной/функции по системе регулярнее торцевых Ф*ун'.щий дифференциального оператора четного порядил без прэдполо.гаэний о ее полноте, минимальности или ортоиор:«-рованнедти.

Сбняя методика исследования. Для сбоснозпния результатов, содоряап'лхся в работе, испольэупгся методы классического анализа и теории дифференциальных операторов.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученное з пей результаты г.югут б"л-> использованы в спектральной теории неса.мосопрягаэнн^'х операго-роз,, такзэ при чтении специальна курсов.

I'

! ■ Апробация работы. Результату диссертации догладывались па наушогисоаедоаательском семинаре мафедры об^гй :.атемат"ки факультета 12£иН МГУ под руководством акадежа а Л. Ильина.

Публикации.. Основные результаты диссс-ртаг;::л опубхгковсли в работах Ш-ТЗЗ,.

С-13 .Чкзн ЕЛ. О безусловной бопжнеети па с^гсаутсм интерзаде систем собственных я присседяигяшд функций ¿»Иерел-циальяого оператора второго порядта // вклады АН СССР. -1983. - Т. 273, N Б. - С. 104В-*С5а

' „. - - 6 - ..

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, двух глав и списка литературы, содержащего 12 наименований. Полный текст диссетации занимает 63 страницы машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ '

V Во Введении кратко излагается история вопроса, формулируются основные результаты и приводится схема их доказательства. , •

' 'В» главе 1 приводится доказательство неравенства типа Гильберта по системе собственных и присоединенных функций, оператора ¿^ , определяемого равенством

I

' (Ы) 0-2.)

и-и + с^фи- +...+ и, ш,

где СЦ (рс) 6 £ ( (х - произвольный интервал вещественной оси). о

Под собственной функцией И оператора (1), отвечающей; вообще говоря, комплексному собственному эначений'Х , шмякается произвольное регулярное решение {на рассс'ютривасиом ма-. тервале (х, ) уравнения

L а +*хй »0, к

а под присоединенной функцией

м порядка ы , отвечающей собственному значении А и собственной функции Ц/ , - регулярное решение уравнения "

-7"

, к к к-1 им + - а ,

Пусть ^ произвольная система комплексноаначных

функций, удовлетворяющих следующим трем условиям. Условия А. .

1) С*5) в Ь V. (х) Для ^о™ 6 .

2) для любого 9 найдется число Л с, & (С , такое/ что

где УС/с. равно либо нулю, причем

, либо единице (в последнем случае дополнительно требуется, чтобы "Хе,^^^),

3) для чисел р с, , определяемых из условий: если

ч Л.+ !- ^

; С-0 '

где х < ^ ЗГ , го

\ = у^** е

выполняются неравенства (для всех номеров Ь ) и '

Л I $ - ССП.с.Ъ

М ^ 1 ^ М+1

(для всех

Последнее из условий А позволяет считать $са здемездц

В- -

системы | Ц- запуыерованныш в порядке неубывания веди-

Функция Л- , заданную на интервале (х , называют радиальной, если в этом интервале найдется точка , такая, что будет зависеть только от | - расстояния от этой

Фиксированной точки до переменной точки ОС . При этом точка 1|у называется поляком функции ОС. .

Предположим, что заданная ка интервале СС радиальная функция обладает следующими двумя свойствами. Условия Б.

1) функция равна нулю вне отрезка длины ЯЯ с центром в точке', целиком лежащего в интервале (х (К. - достаточно малое положительное число),

2) квадрат модуля функции интегрируем на интервале IX .

Справедливо следущее утверждение.

ТЕОРЕМА 1. Пусть произвольная система функций,

подчиненных условиям А, и £0*0 ~ радиальная функция с по-лксом \у , наделенная свойствами Б. Тогда для выполнения неравенства типа Гильберта

> Р \ и-и^*, й ■ <и

?

?

достаточно, чтобы сувяствовали полокительные постоянные Т* , оЬ

к ^, такие, что для любого М ^ О

(3)

где некоторый отрезок интервала IX я

полюс функции £ - его внутренняя точна).

Схему доказательства сформулированной теоремы видуограниченности объема изложим кратко. '''*.'

Преда? всего заметим, что в нем существенно используется формула среднего значения Е. И. Моисеева

. Эта формула кмзет

осинптотический характер, то есть справедлива при1{Ц|>^ , где - достаточно большое положительное число.

Сказанное означает, что для получения требуемого неравенства достаточно оцетггь снизу сумму ряда

(цепочка функции

^чпф , • ■ ■, щь^о состоит из собственной Ц.(х) оператора (1), отвеча.тарй собственному значе-.

М г > г ^

и присоединенных функций ,... . Ц^х)отвеча-

[5] Моисеев Е. И. Асимптотическая формула среднего значения для регулярного решения дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения. '--.'1980. '-Т. 16, N 5. - С. 827-844. ' . •

ицих тому же собственному значению и собственной функции и(х). а М,' - номер, начиная с которого все |М$|>Но )• ■

Ц д ' II

Основная часть доказательства теоремы посвящена оценке

снизу внутренней суммы

<-0

• (б)

Сначала, пользуясь формулой среднего значения Е. И. Моисеева, легко доказываемым неравенством

и'неравенством Коши-Вуняковского, оцениваем снизу каждое из слагаемых ,

|(Ш

Суммируя затем полученные соотношения, усиливаем их при помощи известных неравенств ' „

[6] Ильин Е А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. I // Дифференциальные уравнения. - 1980. - Т. ' 16, N 5. - С. 771-794. '

К й к'

где Г\ й Гч - произвольные компакты интервала (х,, . причем компакт К лежит строго внутри компакта К , а С - постоянная. •

После перегруппировки слагаемых В выражении, оценивающем снизу сумму (6), приходим к неравенству

^^М/ I / А к

мДа

Ш

* IIМ

е..' •

&'

46)

о

('Э2. определяется из условия 'ЭВ. I. ^ 1рМ» и(а+ОТ у.

Формулы для. слагаемых ййда ^С'ЗЗ.) К") Достаточно громоздки. однако наличие в НИХ ВЫрапэний ЁИДа

. Л

■Л__ ' ■ ь

£(Л СйэеТ^еЦ

'О

О

играет в дальнейшем чрезвычайно важную роль.

Суммируя неравенства указанного выые типа (6) по всем > I ^ , и перегруппИровЫйая слагаемые с учетом

соотношений (3) й (4), йс>Лучаем( Что со ^ Р ' э

ИМ

5 = 1

0

4>о

Отмеченные выше особенное?Й ' структуры слагаемых вида 'Эе.^') позволяют, использовать при оценке суммы ряда б

правой части последнего неравенства известные соотношения для квадратов модулей коэффициентов тригонометрических рядов Фурье (равенство Парсеваля, неравенство Бесселя). Соответствующее рассуэдения приводят к оценке

Из последних двух псравснств п силу малости

что

о*,

R

получаем,

Я-

¿Л

где у - некоторая положительная постоянная.

Б главе 2 обосновывается справедливость неравенства типа .Хаус дорфа- ¡Сига- Рисса по системе собственных и присоеди-

ненных функций оператора (1).

Предположи выполненными следующие условия. Условия Ба.

- радиальная функция с полюсом Ц/ , равная нулю вне

отрезка длины ¿R , целиком лежащего в интервале (х, ,

V

степень & ) модуля которой интегрируема на интервале Справедливо следующее утверждение. . '

ТЕОРЕМА 2. Пусть - произвольная система функций.

подчиненных условиям А, и радиальная функция,' подчи-

ненная условиям Б*. Тогда дзя справедливости неравенства типа Хаусдорфа-ХЛга-Рисса

. - ' 1. ' " - *

V

и5(х)|

— -V- — = 1 Й

? Л ' ?

достагочда, чтобы с участвовали положительные постоянные Т* и ^ , такие, что для любого И ^ 0 выполнялось неравенство

^ л

«Г-

уиГ^М+т'

где - некоторый отрезок интервала (х ,

полюс функции £ - его внутренняя точка).

Доказательство теоремы 2 проводится рассуддениями, во многом схожими с теми, которые применяются при доказательстве теоремы 1. Имевшиеся отличия обуслоалены тем, что в данном случае суммирование проводится с степенями _(а не со

вторыми, как в Теореме 1) и сумма ряда оценивается сверху, (а Не снизу). . ' - ' . _

Автор выражает искреннюю признательность научному руководителю академику В. А. Ильину за постановку задачи и внимание к работе. .

По теме диссертации опубликованы работы:

1. Шикина Г. Е. Неравенства типа Гильберта и типа Хаусдорфа-£нга-Рисса по системе собственных и присоединенных функций дифференциального оператора четного порядка // Деп. в ВИНИТИ. -Ы 2591-В92 от 11.08.92.

- 2. Шикина Г. Е. Неравенства типа Гильберта и типа Хаусдорфа-Кйга-Рисса по системе собственных и присоединенных функций дифференциального оператора четного порядка // Труды РАЕ - 1993. - Т. 329, N 5.

3. Шикина Г. Е. Неравенство типа Гильберта по системе, собственных и присоединенных функций дифференциального оператора четного порядка // Дифференциальные уравнения. - 1993.

- Т. 29, N 1.