Неустойчивость тангенциального разрыва в окрестности критической точки для двумерных течений идеальной жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение

1 Линейные задачи устойчивости

1.1 Основные течения.

Осесимметричное обтекание источника

Плоское течение с критической точкой

Несколько заключительных замечаний

1.2 Плоская задача.

Приведение задачи к исследованию одного уравнения

Модифицированный метод нормальных мод

1.3 Осесимметричная задача.

Приведение задачи к исследованию одного уравнения

Модифицированный метод нормальных мод.

1.4 Некоторые дополнения к линейной теории

Трехмерные потенциальные возмущения.

Вихревые возмущения.

Предел исчезающего разрыва: х — 1.

2 Неустойчивость контактной поверхности, разделяющей два гиперзвуковых источника

2.1 Постановка задачи.

Описание численного метода.

2.2 Результаты расчетов и их анализ.

О корректности численного решения.

2.3 Учет нелинейной теплопроводности.

При исследовании различных течений идеальной жидкости с поверхностью тангенциального разрыва всегда уместен вопрос об устойчивости такого течения.

Хорошо известно, что одномерное стационарное течение, состоящее из однородных потоков, разделенных плоским тангенциальным разрывом, является неустойчивым. Задача устойчивости такого течения, впервые опубликованная в работах Кельвина и Гельмгольца еще в XIX веке, стала классической и описана как в монографиях по гидродинамической устойчивости, так и в учебной литературе по гидродинамике (см., например, [1], [2] и [3]). Со временем понятие неустойчивости Кельвина-Гельмгольца стало расширяться и применяться к таким течениям, как течение несжимаемой жидкости с непрерывно и монотонно меняющимися плотностью или скоростью (см. [1]), течение сжимаемой жидкости с тангенциальным разрывом (см. [3]). Существует множество работ, посвященных влиянию того или иного физического процесса на неустойчивость Кельвина-Гельмгольца, на некоторые из них мы будем ссылаться в этой работе. Однако, все эти работы объединяет то обстоятельство, что в качестве основного стационарного течения рассматривается одномерное течение жидкости, что существенно ограничивает применимость результатов этих работ в различных приложениях до областей, в которых течение можно считать квазиодномерным.

Показательной в этом смысле является работа [4], посвященная исследованию устойчивости гелиопаузы — области взаимодействия двух сверхзвуковых потоков плазмы: межзвездной среды и солнечного ветра. Область взаимодействия ограничена двумя ударными волнами и включает в себя контактную поверхность с критической точкой на ней.

На флангах контактной поверхности, где течение квазиодномерное и сверхзвуковое, можно применить результаты исследования течения сжимаемой жидкости с тангенциальным разрывом, что и было сделано в работе. И, как следствие, было показано, что изначально осесимметричное течение становится периодическим в азимутальном направлении.

Однако, в носовой части контактной поверхности, вблизи критической точки, где течение существенно двумерно, результаты одномерной теории не справедливы. Попытка исследования устойчивости носовой части гелиопаузы с учетом ее кривизны была предпринята в работе [5], однако применяемый в ней метод некорректен в окрестности критической точки. Более последовательны были авторы упомянутой работы [4], предложив для моделирования течения вблизи критической точки в предположении плоской симметрии простое двумерное течение, описываемое аналитически, и для такого течения была сформулирована линейная задача устойчивости.

Аналитическое решение этой задачи представляет представляет собой проблему, поскольку стандартный метод нормальных мод, обычно применяемый в подобных задачах, из-за двумерности основного течения здесь не пригоден. Тем не менее, получение именно аналитических результатов для двумерных течений важно еще вот с какой стороны. Численные методы, применяемые для моделирования неустойчивых течений, как выясняется на практике, часто не могут давать достоверной информации. С одной стороны, численные погрешности служат источником возмущений для развития неустойчивости, с другой — диссипация, связанная со схемной вязкостью, подавляет эту неустойчивость. В результате полученная численно неустойчивость может сильно отличаться от физической, которую предсказывают аналитические результаты.

Отметим, что имеется ряд работ, в которых исследуется устойчивость течений с критической точкой, геометрически похожих на предложенное в [4] (см. [6], а также [7] и ссылки в ней). Однако, рассматриваемые в этих работах течения непрерывны и не содержат разрывов, поэтому интерес (в контексте данной работы) может представлять в основном метод решения.

В настоящей работе представлен аналитический метод решения линейной задачи устойчивости для течения, предложенного в [4], и подобных ему. Этим методом исследована устойчивость двух течений, одно из которых обладает плоской, а другое осевой симметрией. Также проведено численное исследование задачи о взаимодействии двух гиперзвуковых источников. Показано, что в рамках модели идеального совершенного газа без учета какого-либо реального диссипативного процесса развитие неустойчивости контактной поверхности вблизи критической точки происходит согласно результатам линейной теории, но зависит от разрешения сетки. Учет в постановке задачи нелинейной теплопроводности приводит к тому, что численное решение перестает зависеть от разрешения сетки, и, тем самым, корректно описывает конвективную неустойчивость поверхности раздела газов.

Заключение

1. Впервые рассмотрена и аналитически решена линейная задача устойчивости для существенно неодномерного течения идеальной несжимаемой жидкости с тангенциальным разрывом. В качестве основного течения рассматривались плоское и осесим-метричное двумерные течения, имеющие плоский тангенциальный разрыв с критической точкой на нем.

2. В предположении потенциальности двумерных возмущений с помощью интегральных преобразований задача устойчивости приводится к исследованию одного уравнения для формы поверхности разрыва. Поскольку это уравнение эллиптического типа, в силу некорректности задачи Коши для него, можно сделать вывод о неустойчивости тангенциального разрыва, не решая уравнения.

3. Детальный анализ уравнения для формы поверхности разрыва проведен с помощью модифицированного метода нормальных мод, который позволяет выписать дисперсионное соотношение для этого уравнения. Исследование дисперсионного соотношения подтверждает сделанный выше вывод о неустойчивости тангенциального разрыва в рассматриваемых двумерных течениях и приводит к следующим утверждениям о характере полученной неустойчивости.

Разрыв с задней критической точкой (на поверхности разрыва жидкость стекается к критической точке) в обоих течениях неустойчив относительно всех допустимых значений волнового числа.

Разрыв с передней критической точкой (на поверхности разрыва жидкость растекается от критической точки) также неустойчив в обоих течениях, однако имеется диапазон волновых чисел, дающих затухающие моды. Кроме того, из вида растущих нормальных мод следует, что положение критической точки не меняется со временем, а амплитуда возмущений пропорциональна расстоянию до критической точки.

При прочих равных условиях разрыв с передней критической точкой для плоского течения более неустойчив, чем для осе-симметричного течения, как из-за более широкого диапазона волновых чисел, по отношению к которым он неустойчив, так и из-за большей скорости роста возмущений.

4. Рассмотрение трехмерных потенциальных возмущений приводит к выводу о том, что каждому неустойчивому трехмерному возмущению соответствует не менее неустойчивое двумерное возмущение. Вихревые возмущения, по-видимому, растут не быстрее, чем потенциальные.

5. В пределе исчезающего разрыва х = 1 показано, что и плоское, и осесимметричное течения с передней критической точкой являются устойчивыми по отношению ко всем малым возмущениям. Оба течения с задней критической точкой неустойчивы уже по отношению к двумерным потенциальным возмущениям.

6. Обнаруженная в рассматриваемой постановке задачи неустойчивость тангенциального разрыва несет в себе некорректность, связанную с неограниченным ростом возмущений, когда волновое число стремится к бесконечности.

В классической задаче с одномерным течением такая некорректность преодолевается учетом в постановке задачи того или иного физического процесса, подавляющего коротковолновые возмущения. Для двумерных течений подобные задачи аналитически еще не рассматривались (отметим, что простое обобщение одномерных постановок может не дать эффекта, так как в двумерном случае большое волновое число, которое необходимо подавить, не эквивалентно короткой длине волны возмущений). Отчасти проблема учета в постановке задачи реального физического процесса для двумерного течения была изучена в задаче о взаимодействии гиперзвуковых источников.

7. Численное исследование неустойчивости контактной поверхности, разделяющей два гиперзвуковых источника, показало следующее.

Вплоть до некоторого разрешения сетки неустойчивости в расчетах нет.

Дальнейшее увеличение разрешения сетки приводит к обнаружению неустойчивости разрыва. При этом, чем больше разрешение сетки, тем сильнее проявляется неустойчивость. Развитие неустойчивости в окрестности критической точки происходит в соответствии с линейной теорией, изложенной в настоящей работе и предсказывающей, в частности, неподвижность самой критической точки и существование ножки устойчивости для конечной разрешающей способности сетки по г.

В плоском случае при прочих равных условиях неустойчивость проявляет себя сильнее, чем в осесимметричном.

При уменьшении отношения критических скоростей источников х неустойчивость усиливается, а для достаточно малых значений это усиление приводит даже к искажению поверхностей ударных волн.

8. Зависимость развития неустойчивости от расчетной сетки можно объяснить влиянием численной диссипации, которая уменьшается с увеличением разрешения сетки. При учете в постановке задачи реального диссипативного процесса — нелинейной теплопроводности, эта зависимость, начиная с некоторого разрешения сетки, пропадает, что позволяет корректно численно описать неустойчивость стационарного течения и поверхности раздела газов. В тех расчетах, где неустойчивость была обнаружена, она имела конвективный характер.

1. S. Chandrasekhar. Hydrodynamic and hydrornagnetic stability. Oxford, Clarendon Press, 1961, 654p.

2. P. Drazin, G.W.H. Reid. Hydrodynamic Stability. Cambridge, Cambridge University Press, 1981, 525p.

3. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Теоретическая физика, т.6: Гидромеханика, Москва, Наука, 1986, 736с.

4. V.B.Baranov, H.J.Fahr, M.S. Ruder man. Investigation of macroscopic instabilities at the heliopause boundary surface. Astronomy and Astrophysics, 1992, v.261, p.341-347.

5. S.V.Chalov. On the Kelvin-Helmholtz instability of the nose part of the heliopause. Astronomy and Astrophysics, 1996, v.308, p.995-1000.

6. R.R.Lagnado, N.Phan-Thien, L.G.Leal. The stability of two-dimensional linear flows. Physics of Fluids, 1984, v.27, p.1094-1101.

7. W.O.Criminale, T.L.Jackson, D.G.Lasseigne. Evolution of disturbances in stagnation-point flow. Journal of Fluid Mechanics, 1994, v.270, p.331-347.

8. Н.А.Белов. Неустойчивость тангенциального разрыва в плоском течении с критической точкой. Изв. РАН, Механика жидкости и газа, 1997, №1, с.78-82.

9. Н.А.Белов. Неустойчивость тангенциального разрыва в осесим-метричном течении с критической точкой. Изв. РАН, Механика жидкости и газа, 1997, №6, с. 25-29.

10. N.A.Belov. Instability of tangential discontinuity in flows with a stagnation point. Preprint No588, Institute for Problems in Mechanics, RAS, Moscow, 1997, 22p.

11. A.V.Myasnikov, S.A.Zhekov, N.A.Belov. Radiative steady-state colliding wind models: are they correct? Monthly Notices of Royal Astronomical Society, 1998, v.298, 1021-1029.

12. Н.Е.Кочин, И.А.Кибель, Н.В.Розе. Теоретическая гидромеханика, т.1, 6 изд., Москва, Физматгиз, 1963, 584с.

13. Л.И.Седов. Методы подобия и размерности в механике, 9 изд., Москва, Наука, 1981, 448с.

14. В.С.Владимиров. Уравнения математической физики, 2 изд., Москва, Наука, 1971, 512с.

15. Ю.А.Брычков, А.П.Прудников. Интегральные преобразования обобщенных функций, Москва, Наука, 1977, 288с.

16. A.V.Myasnikov, N.A.Belov, S.A.Zhekov. 2D nondissipative gas-dynamics of steady-state colliding stellar winds in binary systems. Preprint No582, Institute for Problems in Mechanics, RAS, Moscow, 1997, 46p.

17. Н.А.Белов, A.B.Мясников. О неустойчивости контактной поверхности, разделяющей два гиперзвуковых источника. Изв. РАН, Механика жидкости и газа, 1999, №3, с.96-105.

18. A.V.Myasnikov, N.A.Belov. On the stability of contact discontinuity separating two hypersonic sources. Astrophysics and Space Science, 2000, v.274, p.321-326.

19. М.Г.Лебедев, A.B.Мясников. Взаимодействие двух сверхзвуковых потоков, порожденных пространственными источниками. Вычислительные методы аэродинамики. Под ред. В.М. Паско-нова и Г.С. Рослякова, Москва, МГУ, 1988, с.3-29.

20. М.Г.Лебедев, А.В.Мясников. Взаимодействие двух сверхзвуковых радиальных потоков газа. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1990, №4, с.159-165.

21. С.К.Годунов, А.В.Забродин и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. Москва, Наука, 1976, 400с.

22. K.Sawada. A multi-dimensional extension of the preprocesseing approach for cell-centred finite volume scheme. AIAA paper, 1991, Nol536, p.1-9.

23. I.R.Stevens, J.M.Blondin, A.M.T.Pollock. Colliding winds from early-type stars in binary systems. Astrophysical Journal, 1992, v.386, Nol, Ptl, p.265-287.

24. А.Г.Куликовский, И.С.Шикина. О развитии возмущений на границе раздела двух жидкостей. Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1977, №5, с.46-49.

25. И.С.Шикина. Об асимптотике локализованных возмущений в свободных сдвиговых слоях. Изв. АН СССР, Механика жидкости газа, 1987, №2, с.8-14.

26. M.S.Ruderman. Absolute and convective instability of tangential discontinuities in viscous fluids: application to heliopause. Astrophysics and Space Science, 2000, v.274, p.327-341.

27. A.V.Myasnikov, S.A.Zhekov. On the influence of thermal conduction on gasdynamics of colliding stellar winds in strongly detached binary systems. Preprint No595, Institute for Problems in Mechanics, RAS, Moscow, 1997, 32p.