Нормальные автоморфизмы свободных произведенийи близких в ним классических групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

3 с.

Г-

В г?

и ш 1 го

го_

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Специализированный совет Д 002.23.01

РГ6 ОД

На правах рукописи - 5 ИЮН 1995 УДК 512.54

Нещадим Михаил Владимирович

Нормальные автоморфизмы свободных произведений и близких к ним классических групп

(01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел)

Авто реферат Диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 1995

Диссертация выполнена в Институте математики СО РАН.

Научный руководитель - действительный член Петровской

Академии наук и искусств доктор физико-математических наук, профессор Ю. И. Мерзляков

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор В. А. Романьков

- кандидат физико-математических наук, доцент Ю. В. Сосновский

Ведущее учреждение - Красноярский государственный

университет

Защита состоится 19 г. в часов на заседании специа-

лизированного совета Д 002.23.01 при Институте математики СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, 90, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан "

19 г.

Учёный секретарь совета кандидат физико-математических наук

С. Т. Федоряев

Автоморфизм произвольной группы называется нормальным, если он оставляет на месте все её нормальные подгруппы. Ясно, что множество Nor G всех нормальных автоморфизмов группы G — нормальная подгруппа группы AutG, содержащая подгруппу её внутренних автоморфизмов Int G.

Известная теорема Найкирха [19] утверждает, что все автоморфизмы абсолютной группы Галуа G(Q) являются нормальными. Опираясь на эту работу Икеда, Ухида, Коматсу, Ивасава (см. ссылки в [15]) доказали, что все нормальные автоморфизмы группы C?(Q) внутренние.

Отметим следующий результат для проконечных групп, установленный Жарденом и Риттером [15]. Пусть К — класс конечных групп, замкнутый относительно взятия подгрупп, гомоморфных образов и расширений, G — npo-üf-rpynna, заданная п порождающими и к определяющими соотношениями (в классе npo-üT-rpynn), где п—к> 2. Тогда NorG = = Int G. Отсюда, в частности, следует указанное равенство для свободных проконечных групп [16], свободных проразрешимых групп и свободных про-р-групп, где р — произвольное простое число.

Любоцкий [17] и Лю [18] доказали, что любой нормальный автоморфизм свободной неабелевой группы является внутренним. А. Н. Люлько в [5] исследовал нормальные автоморфизмы свободных ниль-потентных групп. Он доказал, что для свободной нильпотентной группы ступени нильпотентно-

сти 2 любой нормальный автоморфизм является внутренним, но, с другой стороны, свободная ниль-потентная группа ступени нильпотентности 3 допускает нормальный, но не внутренний автоморфизм. В. А. Романьков в работе [9] показал, что NorG = = Int G для свободной разрешимой неабелевой группы G, и для групп вида F/Rft где F/R либо ниль-потентная группа без кручения, либо полициклическая группа без кручения такая, что R < F' и все единицы группового кольца Z [F/R] имеют вид ±д, где д € F/R.

Нормальные автоморфизмы свободных 2-ступенно разрешимых про-р-групп исследовали Н. С. Романовский и В. Ю. Болуць [8]. Они дали описание группы NorG и установили, что она строго больше IntG.

Отметим также, что по существу, во всех перечисленных работах, за исключением [5,18], изучались автоморфизмы, оставляющие на месте нормальные подгруппы конечного индекса.

Первая глава диссертации посвящена доказательству следующего общего результата

Теорема 1. Всякий нормальный автоморфизм нетривиального свободного произведения групп является внутренним.

Заметим, что более частная теорема Любоцкого — Лю в доказательстве этой теоремы не используется.

Результаты главы 1 опубликованы в [23].

Как заметил А. Ю. Ольшанский, некоторые рассуждения можно провести более экономно за счёт использования теории групп с малым сокращением. Усовершенствованное доказательство содержится в [25].

В главе 2 исследуются нормальные автоморфизмы групп кос, групп крашеных кос и групп AutG, Nor G для группы G без центра.

Напомним, что группа кос Вп задаётся в порождающих о-!,... ,<7n_i определяющими соотношениями

0-,-<7,-+10-,- = tfi+iflr.flr.+i при * = 1,..., п - 2, (Ti(Tj = CjOi при |t - j| > 2.

Хорошо известно, что Вл — конечное расширение группы крашеных кос Рп> которая в свою очередь является последовательным расширением свободных групп.

§ 1 главы 2 носит вспомогательный характер — в нём доказывается, что центр группы крашеных кос Рп выделяется в ней прямым множителем. Для п = 4 это было установлено ранее в [13].

В §§ 2,3 получены следующие основные результаты главы:

Теорема 4. Всякий нормальный автоморфизм группы крашеных кос Рп при п > 3 является внутренним.

Теорема 5. Всякий нормальный автоморфизм группы кос Вп при п > 3 является внутренним.

В § 4 доказывается, что всякий нормальный авто-

морфизм групп AutG и NorG, где G — группа без центра, является внутренним.

Результаты главы 2 опубликованы в [21,24].

Третья глава диссертации посвящена автоморфизмам нильпотентных групп.

Так как у свободной нильпотентной группы ступени нильпотентности > 3 существуют нормальные, но не внутренние автоморфизмы [5], то естественно при изучении нормальных автоморфизмов свободных нильпотентных групп накладывать на них некоторые ограничения. Известно (см. [4], с. 137), что любой автоморфизм свободной нильпотентной группы ступени нильпотентности 2 является ручным, т. е. индуцируется автоморфизмом свободной группы при естественном гомоморфизме.

В § 1 главы 3 доказывается следующая теорема:

Теорема 7. Всякий ручной нормальный автоморфизм группы, FnfaiFn при п > 2 является внутренним.

Кроме того, даётся полное описание группы нормальных автоморфизмов свободной нильпотентной группы ступени нильпотентности 4 с произвольным числом порождающих в терминах порождающих и соотношений.

Отметим, что вопрос о совпадении группы нормальных автоморфизмов и группы внутренних автоморфизмов является частным случаем следующего общего вопроса.

Пусть А — подгруппа группы всех автоморфизмов Аи1; СУ некоторой группы 67. Определим множество Н(А) подгрупп из СУ, которые выдерживают все автоморфизмы из А:

Н(А) = {Я<С|Я<Р = Я для любого <р 6 А}.

По Н{А) определим множество А всех автоморфизмов из Аи1; СУ, которые оставляют все подгруппы из Н(А) на месте:

А = { 6 Аи1 СУ | Н* = Н для любой НеН(А)}.

Ясно, что А — подгруппа из Аи1 СУ, А < А.

Для каких групп б и А < Аг^С? имеет место равенство А = А? Если равенства нет, то насколько отличаются Л и А?

Например, если подгруппа А состоит только из тождественного автоморфизма, то А — группа степенных автоморфизмов группы С, т. е. тех автоморфизмов, которые оставляют любую (циклическую) подгруппу группы СУ на месте. В работе Купера [12] доказано, что группа степенных автоморфизмов произвольной группы СУ автоморфно допустима, периодическая и содержится в группе Аи^СУ центральных автоморфизмов группы б, т. е. автоморфизмов, действующих тождественно по модулю центра 2 (СУ) группы СУ.

В § 2 главы 3 доказывается, что если СУ — ниль-потентная группа без кручения либо ступени нильпотентности 2 и конечно порождена либо ступени

нильпотентности 3 с произвольным числом порождающих, то центральные автоморфизмы определяются своими неподвижными подгруппами, т. е. АймЗ= Аи^С.

Результаты главы 3 опубликованы в [20].

Диссертация состоит из введения и трёх глав, разбитых на 9 параграфов. Объём работы 45 стр. Библиография 25 названий. Все результаты диссертации являются новыми. Они опубликованы в работах [20-23], докладывались на семинарах «Эварист Галуа», «Теория групп», «Алгебра и Логика» и на 3-й Международной конференции по алгебре в Красноярске в 1993 году.

Автор выражает свою искреннюю благодарность Ю. И. Мерзлякову за научное руководство работой, всестороннюю помощь и поддержку.

ЛИТЕРАТУРА

1. О. Н. Головин, Л. Е. Садовский, О группах автоморфизмов свободных произведений, Матем. сб., т. 4, № 3(1938), 505-514.

2. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, Основы теории групп, 3-е изд. М.: Наука, 1982.

3. Г. С. М. Коксетер, У. О. Дж. Мозер, Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп, М.: Наука, 1980.

4. Р. Линдон, П. Шупп, Комбинаторная теория групп, М.: Мир, 1980.

5. А. Н. Люлько, Нормальные автоморфизмы свободных нильпотентных групп, Вопросы теории алгебраических систем, Караганда. 1981, 49-54.

6. В. Магнус, А. Каррас, Д. Солитер, Комбинаторная теория групп, М.: Наука, 1974.

7. А. А. Марков, Основы алгебраической теории кос, Тр. МИАН. 1945. т. 16, 1-54.

8. Н. С. Романовский, В. Ю. Болуць, Нормальные автоморфизмы свободных 2-ступенно разрешимых про-р-групп, Алгебра и Логика, т. 32, № 4(1993), 441-449.

9. В. А. Романьков, Нормальные автоморфизмы дискретных групп, Сиб. мат. ж., т. 24, № 4(1983), 138-149..

10. J. S. Birman, Braids, links and mapping class group, Princeton - Tokio: Univ. press, 1974.

11. R. M. Bryant, С. K. Gupta, F. Levin, H. Y. Mochizuki, Nontame automorphisms of free nilpotent groups. Commun. Algebra, v. 18, № 11(1990), 3619-3631.

12. C. D. H. Cooper, Power automorphisms of a group, Math. Z., v. 107, № 5(1968), 335-356.

13. C. Droms, J. Levin, H. Servatius, Tree groups and 4-string pure braid group, J. Pure and Appl. Algebra, v. 70, № 3(1991), 251-265.

14. J. Dyer, E. Grossman, The automorphism groups of the braid grops. Amer. J. Math., v. 103, № 6(1981), 1151-1169.

15. M. Jarden, J. Ritter, Normal automorphisms of absolute Galois groups of 5-adik fields, Duke Math. J., v. 47,

№ 1(1980), 47-56.

16. M. Jarden, Normal automorphisms of free profinite groups, J. Algebra, v. 62, № 1(1980), 118-123.

17. A. Lubotski, Normal automorphisms of free groups, J. Algebra, v. 63, № 2(1980), 494-498.

18. A. S.-T. Lue, Normal automorphisms of free groups, J. Algebra, v. 64, № 1(1980), 52-53.

19. J. Neukirch, Kennzeichning der p-adischen und der endlichen Zahlkorper, Inventiones mathematical, v. 6 (1969), 296-314.

Работы автора по теме диссертации:

20. М. В. Нещадим, О ручных нормальных автоморфизмах свободных нильпотентных групп, Материалы 29-й Всесоюзной научной студенческой конференции. Математика. Новосибирск. 1991. 34-40.

21. М. В. Нещадим, Нормальные автоморфизмы групп кос, Препринт К* 4. Институт Математики СО РАН. Новосибирск, 1993.

22. М. В. Нещадим, Нормальные автоморфизмы групп кос, 3-я междунар. конф. по алгебре: Тез. докл. Красноярск, 1993.

23. М. В. Нещадим, К теории автоморфизмов свободных произведений, Препринт № 9. Институт Математики СО РАН. Новосибирск, 1994.

24. М. В. Нещадим, Об отсутствии внешних нормальных автоморфизмов у некоторых групп автоморфизмов, НГУ, Межвузовский сборник, 1995 г. (принята к печати).

25. М. В. Нещадим, Свободные произведения групп не имеют внешних нормальных автоморфизмов, Алгебра и Логика (сдана в печать).

Подписано к печати 5.04.95 г. Формат бумаги 60x84 1/16. Объём 0,9п. л., 0,% уч.-изд. л. Тираж 100 экз. Заказ

Отпечатано на ротапринте Института математики СО РАН 630090, Новосибирск, 90, Университетский просп., 4