Новые предельные теоремы в модели M/G/1/ тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ЕРЕВАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ

На правах руко;<ксп ХАЧИКЯН ТИТАН ЗАБЕНОВИЧ

НОВЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ В МОДЕЛИ М|С|1|«

АВТОРЕФЕРАТ

КРЬг^Н - \992

"/а ? чи1 на г^&тог.'эт.ик;: ¡лр-льанекого го-

• ■ т'*:1: угои&рсиГ'Па.

!'.:•: доктор $«:жко-матвы8Гических нау!

прзГоссор Э.А.ДЛНЙЕЛКН, кандидат Зкг-жо-математичэских паук, В.Н.с. Г.А.ПОПОВ

• • <ао1:ёнт;;: доктор физико-мзтемэтпчоскпх наук,

гтрофо ссор Г .И .ИВЧЕНКО

кандала? с^знкс^ата^атпч^склх

наук в.г.сддкян

•р".'.гг.'; ация: Институт матокагккя АН Укракгш.

' ' /гг. с -¡л;:т;,р "_" _ 1992 г. ь 12 час. на паое-

• агн.то Соьета KGoa.01.l2 при Ери-лсксм госу-

Лар'':'; а:..;/г::;---! ■ >;а опросу: 3750-9 Ераааа, у^.Мргг.янз, 1, 1 л.у. а , .! г.агааа.уа-а:.

О аака:х.;-.а;т!:С;1 в библиотека Е1'У. .'; . у- р-раг ;\ааааан "____"______ Юу^г.

/Г. /

ptj га'ШШ

Г d

диссертаций

ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математическая теория массового обслуживания оформилась в СССР усилиями А.Я.Хинчина, Б.В.Гнеденко. Г.П.Климова. Их работы определили переход к анализу немарковских моделей.

Исследования Б.В.Гнеденко, Г.Л.Климова, Л.Такача, Дж.Коэна, Н.К.Джейсуола, Э.А.Дашеляна привели к построению теории представлений для одноканалышх моделей с ожиданием. Усложнение моделей симулировало интенсивное. проникновение асимптотических методов в теорию массового обслуживания. Основополагающую роль в этом сыграла работа Ю.З.Прохорова ^Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей",Теор. вер. й её прим. ,1965,.. В становлении "раздела предельных теорем в моделях обслуживания важна роль Б.В.Гнеденко, Ю.В.Прохорова, В.С.Королкка, А.А.Боровкова, Т.А.Азлзрова,- Д.Л.Иглегарта,. У.Уитта. Современное состояние асимптотического анализа моделей-типа M|G|1|^ ^характеризуется работами Э.А.Дашеляна, Т.А.Азларова, А.В.Печинкика и их учеников.

В-структурно-сложных моделях типа M|G|1 ¡00 оптимальный анализ характеристик зависит от удачного выбора промежуточных величин, начальных уравнений, методов исследования, что часто приводит к . пересмотру и дополнению результатов в модели M|G| 1-|» . При этом, возникает ноше постановки. В то же время, общие закономерности поведения процессов в.моделях типа M|G|1|a> зависят'от загрузки р2}' Случае-1) р<1, 2) р=1. *3) р>1 дифференцируют поведение процессов • при неограниченном росте времени. Например, для накопленной и невыполненной к моменту t работы iy(t)-^rrpn t-»+« существуют пределы Um w(t) и lim ( w(t)/t ). П )

1) Модель M|G|1jo. В одноканальную систему массового обслуживания; с етядаяие!*! поступает пуассоновский поток вызовов с параметром а>0. Длительности обслуживания вызовов независимы в совокупности, не зависят от процесса поступления и имеют функцию распределения (ФР) Б(х), В{+0)=0.

2j р - среднее время, необходимое для обслуживания поступающих в . единицу Бремени в модель вызовов.

3) В модели N|G11 ¡от iy(t) совпадает с виртуальным временем ожидания екзоеэ в момент t'при дисциплине обслуживания в порядке поступления (дисциплина FIFO).

При р<1 первый предел (1)- собственная случайная величина, второ равен нулв. При р=л первый прздол (1) равен +®, а второй - нуля, скорость роста v(t) можэт колебаться от VT (включительно) до t (исключительна).

Особый случай,-известный б лит&ратуре пся названием "критической загрузки", возникает,когда р "близко" к единице. Ыатематл ческие постановки в этом случав предполагают рассмотрение послед вательности 11^) моделей с загрузками ipn5, р -»1, п-»+о>.

В моделях типа K|G|1 j°o дифференциация поведения наблпдэется к для других характеристик. Например, дал периода занятости %(м) задержкой и>01 ' имеет место сдедушая ситуация. При р§1 %{и) собственную CP, а при р>1-несоСстьеккуй. При р<1 Кх(и)<+а, где К-знак математического оекдзнея, и Kz(u)=-h*> при .

В модели М)G] 1 ja> дискретными аналогами o(t) а я(и) служат и\ к ри, где ш -время озвдания n-го шзова, ри -случайное число обслуженных за z(u) вызовов. Если к настоящему времени в условиях принадлежности вреглен обслуживания "области притяжения" устойчив; законов асимптотический анализ r(t) и ic(u) в вышеупомянутых случ; ях достаточно далеко продвинут (А.В.Печинккн, Х.К.Аркпсз.Э.А.Дв-пиелян, Г.А.Попов.Угарид Мухаммед), то их дискретным аналогам к ри уделено в литературе мало внимания. Диссертационная работа во( полняет этот пробел.

Обгект к цель исследования. Ксслэдуется модель К | G11 при дисцех лике FIFO.

Цель работы - в предположении наличия црп sj.0 представления

,P(s)= J e_SX(lB(x) = 1-s^+asT(1+Cc.(1 ))V <Л

о .

где a>0, 1<т<2, к различных загрузках исследовать асимптотическое Р ft

поведение , ( ), когда г*++со. Здесь 6-начальная задервка

модели, 1° -суммарное время свободного состояния прибора до пос-

1 ) Задерлка-промег.уток времен;;, з течении которого еызсзы накапл!-Баются, но ке обслуживают- .тс (у)-промежуток времени, начинающийся с задорна! и к зэвбрваицийзя первым после задеу ,::з моментом освс-боздэкия модели от вызовов.

2) Условие (2) г моделях массового обслукивахкя гпервые использовано А. А .Почшьсыш.

тупления п-го еызовз.

Научная новизна. 3 диссертационной работе при условии (2) и п-*+®>:

1) списан класс- всех еозмогшкх ФР для ш® ;

2) доказана в случаях р<1, р=1, р>1 многомерные теоремы для вектора (и_®,1®,Ьп), где Ь -сумиарнээ Бремя обслуживания первых п поступивших вызовов;

3) в случаях пункта 2) найдена асимптотика вероятности Р(ре^п>; X) установлена в случае р=1 предельная теорема длл на первом периоде занятости.

Далее, для СР езктобо л найдены интегральные

П П П *

представления.

Метод анализа. Предложен асимптотический метод оценки "близости" поведения.актуальных характеристик к соответствупщяш виртуальными характеристиками. Предварительно выводятся"интегральные представления для актуальных характеристик.

Практическая ценность. Метод анализа и результаты работы гюгут быть использованы при чтении спецкурса по теории кассового обслуживания в университетах. Вид результатов обеспечивает их практическую реализации на ЭВМ.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались: на Всесоюзной конференции по теории ЕорсятностоЗ я еб приложениям (Нгсква, ИГУ, 1987), на Всесоюзной гпсоло-секииаре по вероятностным методам'исследования КВС и сетей .(Петрозаводск,1987), на Всесоюзной конференции по теории вероятностей и математической статистике ("Пермь, 1990).

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы ['1 -41. Структура и сбъам. Диссертационная- работа изложена на стрснзглах машинсписно^о текста. Состоит из трех глав и списка литературы, содержащего наименований.

- СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЩОРБСГТ РАБОТЫ •

В вводной"¡-лаве, .состоящей из трйх параграфов, дан краткий сбзор результатов для ю.Ш я х(и), сформулированы оснспныерезуль-тата диссертации. В §1 установлена новая классификация модели МIС111 -с на сспове моментов периода занятости, §2 посвящзн случая:* дакспрсЕзнных- загрузок, §3 -случаю критической загрузки.

В частности, в §1 в предположении конечности второго момента

-5- ■

времени обслуживания

р0= J x¿ dB(x) < -к»

установлена следующая классификация модели M|G|1|m .

Обозначим %а = М[тс]а , а>0 ,• -

где тс-период занятости, пинцированный одним вызовом. Теорема 1. Условия 1) р<1, 2) р=1 , 3) р>1 равносильны соответственно условиям

1 ") %а < для всех as(0,1 );

2 ) чи. /, = +00 , с < +« для всех ае(0,1/2);

л / d и.

3 ) %а = +» для всех а>0.

Аналогичные утверждения имеет иесто и для ра = М(р)а , где р-случайное число обслуженных за тс вызовов.

Подобная классификация возможна и при условии (2). Глава 1 посвящена получению интегральных представлений и выводу на их основе предельных теорем при фиксированных загрузках. Состоит из четырбх параграфов (§§ 4-7).

Сформулируем основные результаты главы. Обозначим , ¡¿¡¡О, ггЮ, 0^s<a):

и£<8.ц.т) = ме"3^1^-1 ф(в.г). . .

В §4 доказаны теоремы 2 и 3.

Теорема 2. Функция ш®(в,ц,т) находится из равенства

u®(B,n.t) = я^-ф"-1 (s,T:){e-se - -Е [ф(д,ц)Г(к^1) х

n d ь _ i. d+n к=1

xl^-1"^1': 4=0]}',

причем при р$1

: - о] = е"30 .

Теорема 3. Независима от величины загрузки имеет место равзнство

где p(s)=s+a-a7c(s), ic(s) = .

Пусть F^x.y) -двумерная ФР с преобразованием Лапласа-Стиль-тьеса (НДС) ' • . .

оэ оо • "У . у

J I e^-W^dy F (х,у) = е3 (1+|}J e~s [i C-y.v1 ^)],агО,

где Е^(х) -функция гйттагчГеффлеаз

* х^ hiX) ITTWTT • а Г(-} - гамма-функция. Эйлера. '

В 55 установлена теорема I и следствие '. Теорема 4. Пусть p=t и выполнено условие (2).. Тогда равномерно па хеГО.+со), у«[О,-к») при п-»+» существует предел"

г о0 I® * т

1Ы -S— < х , -<у U ? (x,yi .

n-+a 1 (any/f (an)j T

Следствие t. В условиях теоремы 4 существует предел: (x^Q.y^G,

П-.+СО 4ctn) f (СП)"' (CCI)./T -> G ^^ '

где область с имеет еяд ffu.r): u«=(Q,rJ, ve(Ory), ц-т<г}.

с

Пусть -длина очереди в момент ухода п-га вызова из модели. В §6 основной результат га:-_тсчЗн з утверждении Теорема 5. Цусть p=t и выпглпено условие (2J. Тогда равномерно го хе(0,+<») существует при: гн-к» предел

у9 се

lln р{-5—ст /• pbn } = Un pf—~т<х / nbn 1 = PL,(х) ,

П-.+® чап) < J J^-ня Чел}1'' ■> <

где С? имеет ILTG

| e-SI ¿сух) = sT.J е"зТх[т-(Г+хГ1/'т] dr .

В процессе доказательства теоремы 5 изведана Слэдствие 2. В условиях теоремы 5

PCpegn} I P(1t0(i))vT -ГСТ-т^Кст)1'?

Наконец, в 5? установлена асимптотическая при n*+« и условии (2) независимость

( Ь* , Од*) иг , когда.р>1 ,

( Ъ* , I®*) с когда р<1 ,

Здесь обозначено

ь* JV2L е*

-п. - (сс. * • —' -(ап)1/Т

Гл.-: .г 2 гздгленз для еппег^гя прз r>+« и услсЕЯЗ (2) к.-~с:а

д

всех возможных одномерных предельных ФР величины и состоит из трех параграфов (§§ 8-10).

В §8 находятся асимптотические разложения для ПЛС.периодов занятости в окрестности нуля, которые в дальнейшем используются при выводе предельных теорем.

§9 содержит предельные теоремы. Приведём две из них, имеюцке наиболее простую форму.

Пусть Д(s), А(0)=0, решение уравнения x'Ux=s, a v(s), v(0)=1,

'.-решение уравнения x¡-x=s .

Ниже предполагается выполненным условие

lim а(|1-р|/В)07-п = К (0<Ж+со)

р+1

П-+О0

Теорема 6. Пусть S< (7-1 )~1 и выполнено условие (3). Тогда при п->-н» и р+1 существует предел

Zira р|(|1-р|/В)б-шп < xj = Ux(x) , хЮ

где ФР и^(х) имеет Ш1С

J e~sx öTJx(x) = e^sT{l -sj e"sTy di (у)} О О J

» Здесь Ф(у) |'(JT) -У1/Т

Теорема 7. Пусть ö= (7-1 )-1 и выполнено условие (3). Тогда при iv»-k» и (>»1 существует предел

Ilm р{(|1-р|/В)В-!Уп < х| = \\(х) , Z20

где ФР V, (х) имеет ПЛС

со к C*(s)\f X -Сл(з)У -ч ' г„7,„ . ,

Je sx dVx(x) = е 0 |l-s/ е 0 dC(y)j .где C6(s)^7Í®; fo

Здесь ¡e^ d®(y) = {j^j; -В §10 обсуждается результаты главы, даны обращения ПЛС некоторых предельных ФР §9 и приведены их моменты.

Автор выражает глубокую признательность своим научным руководителям Э.А.Даниеляну и Г.А.Попову за большую поыощь и поддержку при работе над диссертацией.

Список работ по содержанию диссертации. . " ' • . •

1. Хачикян Т.З. Двулерпая предельная юеорела для сца'^альта харах-

-8- " ■

тгярисггик б лобели М1011 ¡со при единичной загрузке.-"Вероятностные задачи дискретной математики", Москва, !.там,1990, с.98-104.

2. Хачикян Т.З. Асиллпат.ическая не завысило спъ некоторых актуальных характеристик в лодели М|С11 -"Вероятностные модели процессов з.утравленш и надёжности", Донецк, тезисы докладов,1990, с.53.

3. Хачикян ".3. О преСелънол распределении актуального врелечи сгл-дания на первая перлсде зЬняп.осчи.-"Вероятность и оптимизация", Ереван, ЕрГУ,1991, с.69-76.

4. Попов Г.А.,Хачикян Т.З. Ащуаяъные врелена ожидания б лодели

М|С|1в условиях щхгыческсй загрузке.-"Вероятность и оптимизация",Ереван, ЕрГУ,1992,(в печати)