О дескриптивных свойствах топологических пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРЛЕЦА ЛПШШЛ, ОГДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ ПЛЮЛЮШ!!! И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО 'ЗИЛМ1 :ми ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ пм.М.аЛ0.УО110С0ИЛ

механик о-матем атачсеы IЛ факул ь; • -г

на правах рукописи УДК 515.128

КАРЫ-НИЯЗОВ Шапкат Шапкатоиич

О ДЕСКРИПТИШШХ СВОЙСТВАХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 01.01.04 • гаомогсия я топология

Автореферат диссертации на соискание ученой стопони кандидата «ризико-матемагкчосяих наук

Москва- • 1320

Работа выполнена на кафедре обцэй топологии и ' геометрщ: механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор В. И. Пономарев Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

е 16 час. 00 мин. на заседании специализированного совета (Д. 053.05.05) по иагокатикв при Московском государстйенном университета им. М В. Хоьюносова по адресу. П§899, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд 14-08.

профессор Е И. Малызсин

кандидат физико-математических наук,

доцент Л, Б. Шапиро

Ведущая организация - Институт математики имени Стеклова

с:цц;:та диссертации состоится

С диссертацией ' можно озкакокггьей & механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан -11- г<

<3ибл:;отоко

ченш секретарь специализированного совета по математике Д. 053. Сб. 05 при МГУ доктор физико-ыатематических наук, доцеит

ОБЩАЯ

ХАРАКТЕРИСТИКА

РАБОТЫ

Актуальность тоиы. В диссэртацш: исслодуьтся достсркптишио СЕЭДСТВа ТОПОЛОГИЧОCK1IX пространств.

I) Еще в самом начала развития теории абсолютов Сила замочена свяаь между класса;,ai соабсолютности л бороловским; класса?«!. В 1966 г, В.й.Пономарев1' доказал, что компакта Соз изолированных точек (то есть . абсолютные ноправодншз F -imожостйа) соабсолхпчш с кенторовтл совершошшм миожэством С. А фанее, ц 1963 г. В.И.Пономарев2' доказал, что однородное) по Еесу абсолюткоо неприводимое Св-мнохество вэса t есть совершенный неприводимый обрзз бэровского пространства В (а), то есть, что все однородп"® по восу збсолютнио ноприводтамэ С^-мноу.остьа (а в свпораболыю случав просто абсолвтныа неправодшшв С^-шогэства) - соабсолютаы. a 1933 г. J.van Mill, A.Woods3' доказали, 'что в сепараоельном случае все абсолютные иеприеодишэ /0-мкожаства «абсолютны >

Возй&каег вопрос о херактеризации классов соабсолютности сорелевских ынозвств высших классов как в сепяробольяом случае, гак и в общи метрических пространствах.

11 Пономарев В.И. О пространствах соабсолютных с котряческями. ДАН СССР. 1966. 106, »Z. 291-294.

Пономарев В.И.О метрических пространствах и связашшх о гимн тпраришшх отображениях. ДАН СССР. 1963. 153» 51013-1015.

" Ulli J.van, Víoodn. Л. Porfeot images oí aero-üiinenaional separable nutria spaocs. Cañad. Math. Bull. пег. ísíij. i -»I .

2) Классический результат Куратовсксго41 гягсй<г> что но счетное сепараболыюэ абсолютное ооролэссксэ 'KhoIsscibo

оорелевски изоморфно гильбертову ку<зу I . Пр.': ftScipoeHJEí дескриптивной теории в немотризуешх Oafámd&tik 'аналогом оорелевскях множеств являются ассолзтйай Саровские пространства. Мозшо ли утверждать, • что йбсолктное

оароЕское ..пространство бэровски изоморфно '^ШШбьокоггу кубу ИЛИ вообчо б1а<ошакту7 (Этот вопрос 6¿¿s даставдои З.сроликом). В 1990 г. Е.Г.Шгакэев4' дал стркцай^ышЛ отаот на этот вопрос. Он костром пр;з,;ар изсолаиюго сэрсвского полного то Чеху пространства, которое ко х:вЬ:ло?1нз по Бэру шкакс:,:у бикомпакту ¿

Однако, естественно поставить слодуицдЗ вопрос: trp;: каких условиях абсащтюэ бэргшасоо кросгр:г,:ггггх> бэровас: изоморфно тихоновскому куоу соагватсгг^гйэга cica? • (Ka; показал в 1974 г. М.Ы.ЧоСся*' боровсййо. íabiapOauíZ! Ьоярайязг вес).

в 1985, ISS9 гг. -Я.БкШзплро™" кратер:-:

4''Куратовский К. Тояэлогкд. Мосдьа«

^ Pytkeev Е. A note он .taire ííoiofíicj. 'Üriiv. C&rolin&o. i«Bü. ají Л t, юв-пг. . )

" Чобан ?.'.!,!. Непрвршхшв ocjabu uaecs: • а&сзр&зяа* Tp» 'Kooic. 'матеы. о-ва. 1974» 30» 23-59.

тЧ

Шапиро Л.В. О борозс:йх npoiípo::s'»'i; веса <~>t.

-ЙАЛ СССР. 1985. 281, .4 3. 283-2£-7»

d > Шзгкгро Л.Б. К дос2чр:1г:т;~::оП 7сср1л: 2.1:;.'.:;evi

бэропскоЛ изоморфиости тихоновскому кубу соответствующего ' soca для полшх по Чеху абсолютных бэровских пространств.

Вопрос Об аНЙЛОГИЧШХ критериях для других типов абсолютных бэровских пространств остается открйим.

» »

3} В 1958 гаду CiMiCiipara9 доказал, что exp D D 1. Однако, для вэсз N экспонента ужо на обладает свойствами даадачлоета10'1'1. Возникает задача рб обобщении результата G.M.C::poTU для более.гарокого класса пространств.

Оцзль pasotúi

1) Охаракторг-зссать- icnaccn соабсолютности абсолютных пзприсодквдх Ccpov.enoir.x » гшорборэ левитах множеств.

2) Кайтп' ::р;:тср;г.! lopdccna.t ■ кзоморфностк тихоновскому кубу соогаэтстз^ВДрго зеса .для «тсишотаотяих и а-аолшх по Чзху ебсбл:жп:х бэропс':;^: прссграюта.

3) . Кйс.г?лой2Л дз6!ср:5тт::п!гао; . свойства акспоиенты rpoKscoAoifeíft о, tvjiprt'iccsa ггросгронстз»

ярастрпнота» . ' "НзупгЛ • взоддеДОоейи* чтоиая- . памяти ü¿.T.Cs«ssto, сьуатоа 155D, 20-26.

01 С-тготз , С.ГЛ« О - про'страпстп

3£-rHtyrJS' -rps:Л/Ií GCvl% 1960. 101,- Jfl 5-tCó9-Vcr?2. '

i

í"í~rr:r^-í. 'Л.rJí "!Tp.tf'ícjyfis Л 5 не

язлядол- даал^оек'л» Сха^<пскго»и. ДАН ССОР. .1976. 220, .'г 6. 1302-1305. ,:•■.

*" -Соляра -1.8. О n"poa';:pt:!crsax gataatyTUS поданожзств tfjísotgJCítOB"» ДГ.Ц- СССР. 1976.' 23t, ¡i 2, 295-293,

!.'атоди иссясдопакиг). В работе используются:

1) Теория &5с0Л1Лсв топологических пространств.

2) Теория нульмерных бореловских мно:.:зстз.

3) Теория соратпих спектров тополагичекак пространств.

Научная новизна. Бсо результату диссертации являются

иозп:.-:.

1) Охарактеризовав плассн соабсс.татност:1 нспршодаах борелевсза:х >.шсг.:остл сиспих классов ir двустороннего класса 2 с кольепп-: пространствах.

2) Охарактеризованы классу соаЗсолэткосяга абсснсмшг непрпнодаих гапорборедовиаг истаств первой категория.

о) Получает критерии бзровско£ изс.морфлосг,: тихоновскому, кубу соответствующего веса для а-&а:аяактны£: и о-полпнх по Чоху абсолютах бэровеккх пространств.

4) Доказано, что зксаонента произзодокая ютричоеккг пространств является соверсокша образом (а в нульмерном случае совервашшм рвзрактом) произведения кетрлчесюх пространств.■

Научная и практическая ценности. Рлбота нзент теоретический характер* Результата ?.:огуу Сать При^энэкл в дескриптивной тоорля ьс-мгеств п'ща Еасдздэггзиа пространств несчетного веса.

Алсосациг, работы. Результате £;есор?:л^ доклэдтслзеь на Научных' математачоскаг чтепняк псилтл и.П.Суссяа (Саратов 1939 г.), на кзадунородаой кокфзронщг Шфск&хоз ШУ по специальное!"!! "гесмогрия и тояохопш" (Лзскпа ISS0 г.), на £нё^Шю-^ссйёдоватсльс1юи свиашрэ юфвдра -обцэа топологии и

геометрии механико-математического факультета МГУ.

Публикации. По тома диссертации опубликовано 4 работы <Ш-(4]). *

Структура расоты. Диссертация состоит из введения и трех глав. Текст■ изложен на 77 страницах, список литературы содержит 41 наименование.

Содержание работы. в нулевой главе изложены известные определения, обозначения, факты используемые в работе.

первой главе охарактеризованы классы соабсолютноста как классических объектов дескриптивной теории мнокоств ~ рорелевских множеств в польских пространствах, так и классы соабсо.пвтнасти гиперборелевскях множеств - объектов предложенной Ханселлом солее общей теории в несепарабеяышх метрических пространствах. Для точной формулировки результатов напомним некоторые понятия и,факта. г . Абсолют, паракоМпаКгного пространства I - это максимальный совершенный неприводимый прообраз Х* Два пространства н&зиееются соабсолютнши, есла они имеют гомаоморфще абсолюта.

Алгебра бороловских множеств прострвяствэ X 8(Х) - это иаихеньиоя о-алгебра содераащая рев зпмкнутио (открытие) множества, Ми будем придершааться класекчЗ^яУи:* Хоусдорфа борелавских множеств, в которой начиная с оаасиутшс и открытых множеств но трплефпштпоз гадукщш определяются класси и С^ (см., например, Многостса А есть

абсолютное множество класса если оно денного Класса в некотором полном (а, следовательно, и в лкбом объемлвде?.')

метрическом пространстве. Ынснкоетво А называется доярююдгашм множеством класса (С^), если оно нигде нз О^(Р^). ^юкостео А ос-ь множество двустороннего класса если А с П Квк доказал Куратовский0, для того, чтобы А было двусторонним мнолоством класса £+7, нообходаю н достаточно, чтобы оно разлагалось в внакочерадуицийся счетший (трансфинитшш) ряд (I) убивсквдх множеств мультшиикакЕного класса £

(I) ¿¡»В^^ий^В^.». Это приводит к остасгвоншя классификации двусторонних множеств (Малые классы короля):

Если ряд - (I) типа р, то говорят, что кноквство А принадлежит- малому классу ^ (Л € ¿Ц). соответственно, ■ если дсполшкио |.а:о::зства А разлкззю с ряд т;ша р, то говорят, что кнокаство Л пранадлекат калому классу (А € !Л;о::оство А принэдлзгзгг абсолзтаоыу малому классу ^(С^), если оно пршюдлоаат данному классу прл вдогзаиа в некоторое полное, а* слодзаатольяо, и в лгиЗоо «.»трпческоо пространство. Мнокаст'о Л називаватся Лопр;250д;в-!Ш4 газогаствог! «алого класса с ели оно нигде ИР С^(Р^). Основншгл рзоультатаг: пэрього порагрг£а я&ллзтея следующие теореии}

Тсороаа 1И. о) Класс сспзраЗеЛыс^г сЗсо^хглазс НспраЗоОияи: ОсрслаЗиыг люиалг.в кжю ^ (С^), 5 г> 2, г.орЗсй нагзгорш. сстгь о точности гиаас ссаасолетизкгл,

О) Класс сопхраЗэль;;^ нс71рцЗодИ£ЫГ

борглсВали: ¿нозоагЛ сии Г^ГО.;, £ ? 2, еетЗу

- г -

ксйэгоум* еель б печкоегш /пасс ссаЛтг'^юггг:.

Тоораиэ 1.2. А'ласс сепсрабалъних лирических аОсолкгглих , непривООилых Ооре.ювских лногеспв лсиого класса а < , еспъ в почноегги класс соавсо.оагмосггсл.

В доказатэльствэ для произвольного пространства из данного класса специальным образом строится нупькерниД

л.

есверзешшй неприводимый метрический прообраз, который сетзи-зотся лежащим в канторовом совершенном множестве С, а затем • используются тоореми о классификации нульмерных ояюродшх борзлавсюп ;.теожеств, см. ''1, 131<', 1,1.

Извэстно, (и ото используется в доказательстве), что Сорэлоескко 1У.асси сохраняется согердэнкьм! отображения?«, С1. в сепзрабзлыюм случае п>, 10>. Для доказательства

Stool J.Hi Analltie cats and borel iso'moriisms. Fund. c.3th. ion, to», п и. til

' ОотрозскиЯ A.D. It вопросу Л.В.Келдшз о структуре бертлввкет шюеоотв, Матеш сб. 1966. 131, л 3. 323-346.

м> Гпдо1сп Р van. KcnogeneouB Borel oeto of ambiglouso olaes two. ®Panз^ ЛЛ9Г. Hath. Soo. ioes. i«e, JS t. t-n,

1,1 Ensolen P van, Hcnsogenoous Boral aeto. Proo. Air.ei*. Math,

SOO. 1086. 96. Л «13-И4.

Вейнатейзi И.A. О замкнутых отображениях метрических пространств. ДАН ССС?. 1947. 57« 319-321.

11) Теймзкоэ А.Д. О зшкнутых отображениях. II. матем. сб. 1S60. 52. 579-5С8»

Calnt-Raymond <J. Tonot'lonoo Borelionneo our m quotient. Cull. Sol. Hath. itfi. ми. M1-MT.

теоремы 1.2 этот факт устанавливается и для малых классов Вореля:

Лемиа 1.7. Пусть f: X ~ Y - со&еризкное отображение, X, У ' - сепарабелыше летричеакие пространства, fosda X принадлежит абаомтнолу лалолу классу f|#1 тогда Ü

только погба, когЭа У принадлежит абсолтнолу лалолу классу

Во втором параграфе рассматриваются метрические пространства произвольного веса к, В иесепарабелыш. метрических, пространствах Hansell1ввел тек называемые гиперборелевские множества, обобщающие борелевские, а именно!

Семейство гипероорелевских множеств НВ(Х) пространства X есть наименьшее семейство подмножеств X содержащее

I) все открытые мнокества

II) X \ В, если X с ИВ(Х)

III) и f Bji 7 £ Г >, если € ЯВ(Х} И С В^ Т € г ) -о-даскрэтнов семейство в X.

Если X - метрическое пространство веса I?» то НВ(Х) = U i а < ufk'J ) » и { Са: а < ) >, где u(fc*) - наименьший ординал мощюсти к' f при этом пшероорелевские мнеаества классов а < и1 - суть борелеЕагие шогества, л классы Qa совпадают с клоссата 6'й. Обозначим (ПаШ) семейство всех галорборзлевских

клогэств в К аддитивного (мультипликативного) класса а.

16' Hansell On the non-separable theory oi Borel anü

' Soußlln setts. Cull. Amar..ttath. Eo,e. ist», t», К

Множество В с х называется Л-борелевским в X, о ели В -гапорборелевеков множество в К классе о для некоторого ординала а мощности Пространство й называется абсолютам Й-борёлевсюм множеством аддиивзного (мультипликативного) класса а, 1 <а<ь>(й'}, если £ е г^аиПдШ). для любого метрического пространства X, в которое В вкладывается, при атом известий» что -для вгого достаточно, чтобы В было й-бореле&скнм божеством в некотором полном метрическом пространства* Если при атом ЩВ) £ к, то будем писать Й С 2йШ(В С %(&))>

Пространство В есть неприводимое множество класса г^(Ю(ПаШ)4 если 5 нигде нв (1у

Множество X есть 2шГ<т;-йространство, (X с Ьа(<гх))1,

если

V х с % 3 0® с ЗГд, аТбг^ <• а» •' Множество X есть о1»Г<гт ^-пространство,

(X е о1й)(<т;50>), если

X =» и С п <■ Н }, где Хш^-д V п € Л. Основным результатом параграфа • является следущая теорема!

Тзорзиа 1,9. Класс гтербсрелевских неприводимых лнояойш.в первой категории класса %а(к/(1\а(к)), о 1м(<1'), нигОо не аЬ'з(<%), а < тЧ й*, еет:ь 8 почносш /аайс

39! С1опо Л.Н. Ноп-верагаЫо Вого1 аоЪз, Соп. Тсфо1. апй Арр1. лии, а, 13 л. почт. ■

Схема доказательства теорема аналогична сепарабальному случаю (§ 1), однако нульморшЯ метрический совершенней неприводимый прообраз строится не с помощью пространства Сю'jim специальным образом подобранная булевой алгейрЦ', а с 'помощью измельчающейся последовательности канонических • покрытий. Затем,, также icsk и в сепарабельном случае, используются классификационные теореш • для нульмерных однородных бороло исках мко;;;осгв, см. 21Ч

В I9S3 г. М.И.Чобан1" (для а ? и0) и'в IS83 г. J.Jayne, C.A.Rogers2" доказали, что абсолютное «орелвЕскио классы инвариантны при совершенных отобразэшшх. Используя теорему Ы.М.ЧоОаяа о сечотш2,>, эти результаты расгространяются и на пшорбороловские waosocisa:

Леша >.16. Еуспъ т - лщшескив пространства, f: X ■* Y - ссвераенноо ixtoopassiwe. ТагОа К е Ga(k)(?a(k)J тогда и аэлы:о аогСа, когва X с Ga(k)(?a(ii)).

В первой параграфа cxop^J глави ксслодуотся другоз сообщение классичосного покажз борвласекого многаства -

Мсдвадев О.В. Нокоторые ct^.cTua й-ОорзхоЕсгжя множеств. - ^дашская мевдутр. Топал. ksl?,S Тез. сооЗд. Ч.П. Боку. fi.fi>-/. ISO.

■ 23> Чобан М.М. {.'.когозначшо ой&Зраязши и боролэвскио ¡.аоЕОСТва. ДАН СССР» IESS. 182, Л 0. 514-517.

23' Jayno J., Eogoro O.A. 5'no 1и&аМгдоо of Шо abeolute Börel classes. Пес. Notes Hdth« 1H2> 1(9*131«

14' Чобан !-!.U. ЬШогозначкав OTCSpojuoiswi и борелевские шюзиства. Тр. Моск. Магем. о-ва. 1971. 22. 229-250.

Саровские пространства. В отлична от теории гипорбороловских глюгоств рассмотрение еодотся в произвольных бккоютоктах. Напомним некоторое определения и факта.

Пусть X - внолпо рзгулярноо пространство. Мороз обозначается алгебра бэровс:сих под^гсзкеств X, т.е. наименьшая a-алгебра, содержащая вса нуль-мгог.ествп. Отображение / : X - Y цзгшзаотсл Оэровсш измершам (гто-искоримнм), если f'x(Sü(Y)) с В0(Х). .Еиекция f % X ■» Y называется бзровскмм изсйэрфазмсм, если / и - а -кзмориш. Если X -

метрическое пространство, то Зд(Х) = 3(Х), где 'J(X) -о-алгебра борелевских множеств о X, и понятия Саровского и борэлевскего изоморфизма соепэдзйт. Пространство К пазиваотсл абсолкг.пги боровсюид, ce~t X * D0(pX), Известно, « что вбсоязгкуэ бэровскне :г:о;,:;стпа могут Снть определены и как совершение преобрази сссо.стпса Сорслаиск'.и: :*:юг:остп.

По класскфккощи Хаусдор£э° в сбеодггпгух Сорэловсхих гсюгастзах еудоллптся оэ, ?а> í'0(3, и т.д.

Анэлогячпу» i'-iacci^:nc2u;:3 ¡«osito гггзсп к для абсолютных бзровских кнохествг G^ С^, п т.д. 3 чм*шостя,

G¿-mho2SCT33 - ого Полина па сбсодзтнао бэрозскяо

множества, a f^-киожвства - это а-С'Л<с-зскт!Е:з сбеолетнне бэровсюгэ глюгествэ.

Оспоплзслсь пз кэтодах psCor®'т' в Первом параграф пторел глави получат! irpiiraprni Л0-пзс:.*.ср^::ост:£ обсодптзп.ж F®, С^-.'тюгэств тгтхоксвскс.-.'у кубу соответствующего mea.

Кдгггавуэ роль при уметкыгаия ярмюреэв О -йсо!'.ср1"1ости пгрэо? следу.'г^о по&тгте, гподзппез под пзавглшпгл

М.М.Чобаном'®1 и Б.Э.Шапировскда5"'. Систему 7 открытых в К множеств назовем nic-базой непустого У в X, если для любого открытого множества V такого« что V П У |< 0, существует V € 7 такое к что (3 ^ f (1 i с / с и, минимум мощностей шс-баз У в К называется nn-весои У в X и обозначается теш (У, Я); шс-весом X называется кардинальное число

nw{X) - «In, ( Х) | 0 j< У с X )

Введем также еледурре кардинальные инварианты:

пхшв(Х) - mini nwfrir, |9 * Г с Xi У - бикомпакт i"r-

гош> flU) « mint пто(У, ЗСЦ 0 * У с X, У - полное по Чеху

Gß » ^ . -

Гфостранство }, В 'первом пункте первого параграфа рассматриваются пространства веса wt,

Л.Б.Шатгро получил следующий результат: Следствие 2.1. (см*" Яуссть X• > «йсолтное Оэрочсще пространство беса ut ,/ Если пт(Х) =ы%, ао X бэровски

и). г ;■■

иэолорфко I '. v

Силеко, как замечено в п, условие пш(Х) »и, не является необходимым для неизоморфности абсолютного

и

Саровского пространства i кубу I '. Используя результат 31,

П) HodaiiiW.M. 02 бкепонекциальной »оволоти. ДАН СССР. 1969. 166, # 2.Г72-274.

ШапировекнИ Б.Э. О вложенна «ке*р«мально несвязных пространств в бикомпакты. ДАН СССР» 1975. 223» А 1083-1066.

мэ:*т!о пестрс;ггь йСсо.тйтпоэ бэровскоо ст-омюяяпктлоо (т.о.

прострйютзэ Л, которое 3 -пзоморфно. I , но глииЦ) = и . Еолэо того, 3 ;:е:;:дО!.1 бэровском клоссо, за ксшгочонкем

супоствуот пространство X счетного п%-воса /5 -изо.тар^яоо / 0

о б

-!1гзп?/гт!'<чпг» /

С.пдуязяо тоорома устаповяиваат критерии Я -кгсмор^ности Ы1

ЙГ:С!ЮЗС!<0:7У кубу 1 ДЛЯ а-бНК08ЯГОКТ!ШД II ст-полннх по Чоху сСголпттх бороэнсс; пространств н относятся к числу основных разулгезтов ~:ссэр?аци1!

Тоорт 2.1, Пцс~ъ X сбселгг-чсэ бзро&схсе 1^-лнохасг,ба

С-са . i7pocr.-pc2tcr.5i) Л бйрсвс:^ изелерфю Г когда и только

нзгСа, гасеа = и,

Теорба а.Я» X сбсолйжог бзробскоэ С^~лчож?с;лйо

со

Сгса о,, Ирострс 1С?.бо X бэро5аы и&слорфно I 1 яогба и только г:осОа, тогйа г;г:-! Ш и»

Ео г,?орс:1 - яупкто пэргсго сораграфз рассматриваются простргпстпз привольного гйсз т, Нгпейпм слэдущ?»

ПОНЯТАЯ.

2.2. (Б.В.Шгтп!'7'). С~.ссвутоо отобрагоние асх-тутт» о ала оно горзводит ручного а пулъ-шйггзегаа*

сНрздэйгниэ ,1.0. <Л,Б.С!згшрот'), Обозначим 2(Х) -сст.'лйечсо пуйь-глокзетв X. Чзрз 5(ЯЦ)) обозначим семэйство

,т> п;зя:п Е.В. ©угастсри и посчвптэ с-гепогп! компактов. уш. 1931. зб» л э-ба.

- и -

множеств, получащахся в результате применения Л-апоршрш над нуль-шоке стваки X, Назовем отображение е : Вд(Х) - S(Z{X)) сусди"ским оператором продолзазния для влозгония Y - X, если

а) G(0) = р

б) <р<й).« <?(£) п <р(Г>

в) ) и е(В2) = e(Bt п для люоих В, В,, Ва е SQ <1Г).

Слодущно тоореыы устанавливают критерии ff -изоморСаосто тихоновскому кубу соответствующего восо для а-С:а:о;.тект1Е;2 о-палжк по Чеху еоашгнш: бэровегаи пространств к относятся к числу основних розультатоа диссертант: '

Тс о ранг 2.3. Пусть X сбсолхяглаа F^~jaiozcar3o toca i. fojBa следующие условия ровнсаиуы*

1) X аэровск.i сгвлорфю 2х.

2) к » ИЯ{ ка, рР, а < р < }, &.V' о(Ха) С <V Ро" - Суищиснииъно £az¡2i¡fiio, паслс&ю' созерхтно, с

3J га»вШ « t и О.ш .еззого виакогавд <р : Д" -» l't сущзсЖ'-п суслимашй а;щ~..-,ор npc00JJL-z-av,~, Олг. (р.

ТЪоясма 2.4. яадгл v cJcoxtrjtce oz¿cs¿o Cozs. x.

2'ozóa слсЗуя&э угмЗия рсбиоаиггйг...

j; ;í tíspoGctsj. vz.¿zcp~uo

2) К - lir.í pj, g < p < Aj >, uaa; < ug, p®M

С1//и.ц:мз:-шьио ко, посмсСко соесрх-вдш« p^' *) < ofl,

3) nizj J'¿) « <5 o jetazo (Uczeiar. J X - i1

có

C¡r^íCZüysZi суолшщ-цй awpz:.ap npSSOÍSSHU?I С^Д ф.

Во втором параграфе второй г.". а г.;; раосмптр'.тпптся свойства экспонента произведения метрических пространств. Основнш результатом параграфа является следующая теорема:

Тссрз'-дз 2.7. Пуспь а < о , Яа - лепричое¡сие просг.рансг.еа, г.сгСа судаст.6уш летрическиа просярансяЗа ¡¡а и содерхеннса сяазрахенив яасие, иг.о

/ : П й' - еар П V

а<и( а<и

П\г охр X псиимоотсл пространство непустых бикомпактных поетюгастп X, надвлшшоо топологией вьвтсрясо.

В зсюшчегзга аэтвр огрепоэт признательность своему пзучпеуу рукейодятвдз проз. В.И.Пономареву и доц. Л.Б.Шапиро 53 псстпгкспу задач н аг-скакэ к работе.

РЛ20Ш ЛОТОМ ПО ТЕК£ Д^ЕРТА!»« I. П.П. п*Х"авэдс 1ггй мэтр:гчос:::сг

* * ч *

&грг57?зпа?а» Сзсст. Псск. укЬор. сер Л. камя. Пзхсл» 1?£3,

В В, 54-07.

. 3» П.П. О г^.-тссх ссг.Осс—г.гзстл сбсолзткп:

С^.ггпггй ксупгэ чтегзя пегл-га

сг~гса Сххх^з. Сзрсгоз К5Э» 14. 3» П.П. О сэзссэ~-:^:остл Оорглзлсгсгх

и «ггэгзстз. ?'сс::. утпг-зр. сор.1.

¡"г:::-'. Гог.сп. 1СС-0. Л 4, 31-25.

'3. Пгг'К^'псэ И»а. О йгрогас» Сэрогсгах

грострглггэ !г;счз'-гзга п:сп; Г'сс:::п ТССЭ. 13 с. Руг:ст:ег. дэп. П Г':пгтп X6.I0.S0 г., Л 5375-Е'0.

' и

/Л" / ,'Г

/у / У\