О движении твердого тела в газе, сорбирующемся на его поверхности

Батищева, Янина Генриховна

О движении твердого тела в газе, сорбирующемся на его поверхности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Батищева, Янина Генриховна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «О движении твердого тела в газе, сорбирующемся на его поверхности»

Автореферат диссертации на тему "О движении твердого тела в газе, сорбирующемся на его поверхности"

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ ИМ. М.В.КЕЛДЫША РАН

О ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ГАЗЕ, СОРБИРУЮЩЕМСЯ НА ЕГО ПОВЕРХНОСТИ

Специальность 01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Москва-2004

Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Веденяпин Виктор Валентинович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор член-корр. РАН Трещев Дмитрий Валерьевич

доктор физико-математических наук профессор Латышев Анатолий Васильевич

Ведущая организация:

Институт Космических Исследований РАН.

Защита состоится ССФОСсУ 200^ года в /-/ час, на заседании

диссертационного совета Д 002.024.02 при Институте прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института прикладной Математики им. М.В.Келдыша РАН

Автореферат разослан года

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук

/у.

Г.В.Устюгова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В 90 гг. группой, возглавляемой член-корр. РАН И.В.Мелиховым, было открыто явление, названное хемореактивным движением1,2. Оно заключалось в том, что твердые частицы, помещенные в газ, начинали активно двигаться, если между веществом этих частиц и газом происходила химическая реакция. Это движение отличалось от броуновского тем, что было не хаотическим и характеризовалось значительно большими скоростями. Было известно, что многие физико-химические процессы между газом и твердой фазой протекают неоднородно по поверхности: процесс часто оказывается сосредоточенным в так называемых активных зонах, вне которых поверхность ведет себя как инертная. И.В.Мелиховым было высказано предположение о том, что возникновение хемореактивного движение связано с неоднородностью протекания химического процесса на поверхности твердых частиц.

В 2000 году на основании идей И.В.Мелихова и его коллег в рамках одного из проектов ESA (European Space Agency) был поставлен эксперимент, в котором в условиях микрогравитации наблюдалось движение растущих кристаллов уротропина3. На рисунке 1 представлены траектории этих кристаллов. Большинство из них имеют изгибающийся синусообразный характер, который не поддавался интерпретации на момент получения результата.

Поэтому возникла задача о построении математической модели, которая описывала бы движение твердых частиц в газе, когда на их поверхности, причем неоднородно, происходит осаждение молекул газа. Требовалось исследовать, к каким динамическим эффектам может привести способность поверхности твердого тела поглощать молекулы газа.

Предлагаемая в этой работе модель состоит в том, чтобы рассматривать движущуюся в газе частицу, как твердое тело, на которое действуют силы, складывающиеся из соударений молекул газа с ее поверхностью.

Итак, кинетический подход для описания динамики твердого тела заключается в том, что сила, момент сил и скорости изменения других величин, характеризующих состояние тела, рассчитываются как потоки микроскопических изменений (этих величин) от соударений молекул газа с поверхностью тела.

При таком подходе, во-первых, используется функция распределения молекул газа, которая является решением кинетического, уравнения с граничными условиями, согласованными с динамикой твердого тела.

1 Мелихов И. В., Симонов Е. Ф., Ведерников А. А., Бердоносов С. С, Божевольнов В. Е., «Хемореактивное движение твердыхтел», Рус. Хим. Журнал, 1997, т 41, №3, с. 5 - 16

Мелихов И. В., Симонов Е. Ф., Божевольнов В. Е. Закономерности движения твердых тел при топохимическихреакциях. //Ж. Физ. Химии. 1998 т. 72, № 12 2307 - 2314.

3 Willneff J., Maas H.-G., Design and calibration offour-headed (yrnera tytlem for mia in niiarogptvity research, IAPRS, Vol. ХХХШ, Amsterdam, 2000;

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С.Летср| ОЭ

Поскольку получение аналитических решений в виде нестационарной функции распределения в окрестности движущегося тела не только для уравнения Больцмана, но и для его упрощенных моделей типа БГК, в обозримом будущем

не представляется возможным , для описания движения газа используется два основных приближения. Первое - это гидродинамическое обтекание, применяющееся в тех случаях, когда размеры тела велики по сравнению с длиной свободного пробега молекул газа (малые числа Кнудсена). Второе -свободномолекулярное обтекание, когда размеры тела невелики, так что возмущением, вносимым движением тела в динамику газа можно пренебречь (большие числа Кнудсена). Последнее приближение использовалось в работе В.В.Белецкого и А.М.Яншина5, оно также будет использоваться в данной работе.

Рис. 1 Траектории растущих кристаллов уротропина в условиях микрогравитации. (Дж. Вилнеф и Х.-Г. Маас, 2000).

Во-вторых, кинетический подход подразумевает постановку граничных условий для функции распределения на поверхности твердого тела. Существует обширная литература посвященная этому вопросу (Дж.К.Максвелл, М.Н.Коган, К.Лерчиньяни, А.А.Пярнпуу, Р.Г.Баранцев, В.Н.Жигулев и М.МКузнецов, ФХудман и ПВахман, А.В.Латышев и др.) Наиболее известными условиями отражения, до сих пор не потерявшими свою популярность из-за простоты и эффективности (в аналитических расчетах), являются зеркально-диффузные условия Максвелла. В настоящее время разработаны и другие способы определения граничных условий, они используются в тех задачах, в которых зеркально-диффузные условия неудовлетворительны по своей точности. Но все

4 Даже в задаче о тепловом скольжении для уравнения БГК нахождение аналитических решений

потребовало модификации краевых условий Максвелла^.В.Латышев, А.А.Юшканов). 3 Белецкий В. В.В. Яншин А. М., Влияние аэродинамических сил на вращательное движение спутников, Киев, Наукова думка, 1984.

они, как правило, весьма громоздки, либо вообще не имеют конечной аналитической формы для ядер рассеяния, как, например, метод молекулярной динамики (D.Bruno et al., 2001), что делает их малопригодными для аналитических расчетов.

Применимость этого подхода ограничивается тем условием, что частота столкновений молекул газа с поверхностью тела должна быть столь достаточно велика, так чтобы интегрирование (а не суммирование) по отдельным столкновениям было оправданным. Это условие эквивалентно тому, что число столкновений за минимальное характерное время должно быть на несколько порядков больше единицы. К характерным временам относятся период вращения вокруг своей оси, время прохождения одного витка при движении по спирали, характерные времена релаксации, т.е. величины, обратные коэффициентам в первых членах разложения диссипативных сил и моментов, а также, возможно, времена, определяемые спецификой конкретной задачи.

В динамике твердого тела кинетический подход применялся ранее В.В.Белецким и А.МЛншиным для исследования движения космических тел и искусственных спутников Земли. В этой работе при расчете аэродинамической силы и момента сил использовалась функция распределения налетающих и отраженных от поверхности молекул газа, а граничные условия были выбраны зеркально-диффузными. Однако, расчет отраженного потока газа в этой работе происходил без учета конечности массы тела, т.е. молекулы отражались как бы от бесконечно тяжелой стенки, а потом из разницы приносимого и уносимого импульса рассчитывались силы и моменты сил, которыми определялось движение. Что касается нашей задачи, такой подход нельзя было непосредственно применять, поскольку монокристаллы микронных размеров -это не спутники, и a priori пренебрегать тем, что их масса конечна, нельзя. Более того, как выяснилось потом, конечность массы тела весьма существенна для расчета момента сил при сорбции. Наконец, в работе В.В.Белецкого и А.МЯншина использовалось приближение гипертеплового обтекания, что опять же неприменимо для описания движения частиц, скорости которых намного меньше тепловой.

Задача движения твердого тела под действием сил имеющих природу, сходную с хемореактивной, рассматривалась в работе А.И.Нейштадта et al.6, в ней речь шла о динамке кометных ядер. В этой работе силы, возникающие при сублимации кометного вещества на ядре кометы, рассчитывались с помощью эмпирической формулы.

Следует указать и на некоторые другие работы посвященные динамике твердого тела в газе и жидкости. (Дж.Хаппель и Г.Бренер, БЛ.Лапшин et al., Б.В.Филиппов, I.K.Harrison и G.G.Swinerd), однако в них использовались другие модели и подходы.

6 Neishtadt AJ., Scheeres DJ., Stdorenko V.V. and A.A. Vasiliev, Evolution of Comet Nucleus Rotation. Icarus 157,205-218 (2002)

Одной из подзадач при определении силы и момента сил, действующих на тело, является расчет динамики столкновений каждого типа. Т.е. задача об определении приращений импульса, кинетического момента (а в случае сорбции еще и массы, тензора инерции и смещения центра масс) в единичном акте столкновения каждого типа. В случае диффузного отражения определяются средние по отраженному потоку приращения. Первой известной работой, в которой выполнен расчет динамики столкновений двух абсолютно упругих тел следует считать статью Максвелла7. Расчет динамики столкновений абсолютно упругих шаров и точечных молекул уже вошел в классические учебники (Ландау и Лифшиц), а вот неупругие столкновения, следует признать, до сих пор являются слабо разработанным вопросом.

Далее одной из особенностей поставленной задачи является то, что тело, поглощающее молекулы газа, имеет непостоянную геометрию масс. Главные центральные моменты инерции и главные оси инерции меняются при росте тела.

Рис.2

При этом если изменения массы и главных центральных моментов инерции при присоединении единичной молекулы имеют тот же порядок малости, что и отношение массы молекулы к массе тела, то изменение ориентации собственных осей может быть значительным при сколь угодно' малом отношении масс. Пример тому представлен на рисунке. Здесь собственные оси поворачиваются на 45° (Рис.2). Поэтому, если на его поверхность случайным образом, но в среднем равномерно, будут налипать молекулы, то базис собственных осей будет хаотически менять свою ориентацию во времени.

Задача об изменении главных центральных моментов и осей инерции при присоединении к телу малой массы в линейном приближении по отношению масс рассматривается в книге В.И.Арнольда8. В частности делается вывод о том, что «если эллипсоид инерции близок к эллипсоиду вращения, то добавление малой массы может сильно повернуть главные оси инерции».

7 Maxwell J С. Illustration ofthe Dynamical Theory ofGases //Philosophical Magazine. 1860 Vol. 1. P. 377-409.

8 Арнольд В. И Математические методы классической механики. - М: Едиторяал УРСС, 2000

Задача о динамике твердого тела с переменной геометрией масс рассматривалась К.Магнусом9. Но ориентация собственных осей инерции в работе К.Магнуса полагалась неизменной, что, по-видимому, связано с указанной выше трудностью.

Поэтому возникли вопросы о том, когда изменение геометрии масс действительно является пренебрежимым, и как его учитывать в тех случаях, когда пренебречь им нельзя. Собственно ответ на первый вопрос есть в упоминавшейся выше книге В.И.Арнольда. Достаточным условием того, что главные оси инерции не будут существенно менять свою ориентацию при присоединении малой массы, является отсутствие динамической симметрии. А ответ на второй вопрос, точнее один из вариантов решения был получен в рамках этой работы и будет представлен ниже.

После того, как найдены сила и момент сил, действующие на тело из-за взаимодействия молекул газа с его поверхностью и получена базовая система уравнений, необходимо исследовать полученные уравнения динамики. Конечно, получение аналитического ответа в максимально общей постановке задачи не представляется возможным. Поэтому было выбрано приближение, предполагающее медленное по сравнению с тепловыми скоростями движение частиц, а также пренебрежимую малость изменений массы и геометрии масс. Эти предположения согласуются с имеющимися приложениями.

В рамках этого приближения оказалось возможным применить восходящий к Эйлеру переход во вращающуюся систему координат, при котором размерность системы существенно снижалась и получилась автономная система из шести обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномами второй степени в правой части. Эта система, тем не менее, оказывается, достаточно сложна, например, при некотором значении констант она может быть сведена к известной системе Лоренца. Она также может рассматриваться, как обобщение уравнений динамики твердого тела в сопротивляющейся среде, среди которых встречаются случаи, допускающие явное интегрирование (А.Г.Гринхилл, А.В.Борисов и И.С.Мамаев10).

Для исследования полученной динамической системы, а именно выяснения вопроса существования, единственности и глобальной устойчивости стационарного решения, был использован метод функций, монотонных в силу решений. Этот метод восходит к идеям Л.Больцмана11 (именно на основе монотонности функционала в силу решения строится доказательство знаменитой Н-теоремы Больцмана), А.М.Ляпунова12 и А.Пуанкаре13. Этот метод плодотворно применялся и ранее для исследования локальной устойчивости уравнений динамики.

Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. - М., «Мир», 1974.

10 Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твердого тела. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

11 Больцмаи Л., Избранные труды, М., "Наука", 1967.

12 Ляпунов А. М Общая задача об устойчивости движений. - М.; Л.: Гостехиздат, 1950.471 с.

13 Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. - М.; Л.: ОГИЗ, 1947.

Цель работы. Построение модели движения твердого тела в газе с неоднородными поверхностными процессами, приводящими к осаждению на поверхности тела вещества из газа, вывод базовой системы уравнений и изучение важных частных случаев, а также объяснение экспериментально обнаруженного эффекта - движение частиц по спиралевидным траекториям.

Методы исследования. В работе используются методы кинетической теории, динамики твердого тела и теории обыкновенных дифференциальных уравнений, среди которых метод функций, убывающих в силу решения.

Научная новизна. Полученные результаты являются новыми. Построена модель движения выпуклого твердого тела, поверхность которого неоднородно поглощает молекулы газа. Выведены общие уравнения, учитывающие изменение геометрии масс и формы поверхности тела. Изучены приближения, допускающие нахождение асимптотических траекторий.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Выведенные уравнения будут интересны специалистам по динамике твердого тела. Найденные решения могут служить объяснением результата эксперимента. В дальнейшем полученные результаты могут быть использованы для разработки методов обнаружения и диагностики химических процессов между газом и твердыми частицами в технологических процессах, а также гетерогенных процессов в атмосфере. Также они могут оказаться полезными при изучении движения космических тел на стадии их зарождения.

Апробация работы. Результаты работы были доложены на семинаре по математической физике 7-го отдела ИПМ им. М.В .Келдыша РАН (руководители проф. М.В. Масленников, проф. В.В. Веденяпин, проф. В.А. Дородницын ); на научном семинаре по нанотехнологическим процессам и наноструктурам, МИФИ, 2002; семинаре «Движение искусственных спутников Земли относительно центра масс и проблемы ориентации» ИПМ им. М.В.Келдыша РАН (Руководитель проф. М.Ю.Овчинников); семинаре «Гамильтоновы системы и статистическая механика» Мехмата МГУ (руководители акад. РАН В.В.Козлов, чл.-корр. Д.В.Трещев), 2003; семинаре «Динамика относительного движения» Мехмата МГУ (Руководители чл.-корр. В.В.Белецкий, проф. Ю.Ф.Голубев, доц. К.ЕЛкимова, доц. Е.В.Мелкумова), 2003; семинаре «Аналитическая механика и теория устойчивости» Мехмата МГУ (Руководители акад. РАН В.В.Румянцев, чл.-корр. В.В.Белецкий, проф. А.В.Карапетян), 2003.

международной конференции ВМСППС, (Владимир, 2003); The 5-th EuroMech Fluid Mechanics conference (EFMC 2003), 24-28 August 2003, Toulouse France; The 5-th International Conference Single Crystal Growth and Heat&Mass Transfer (ICSC-2003), (Обнинск, 2003); XLVI научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Москва -Долгопрудный, 2003; на XXVIII академических чтениях по космонавтике (Москва, 2004).

Публикации. Основной материал диссертации опубликован в работах [119]

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на 17 параграфов, трех приложений, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 84 страницы, библиографический список включает 66 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность темы исследования, в частности говорится о происхождении задачи, дан краткий обзор основных результатов, относящихся к предмету диссертации, и изложены основные результаты диссертации.

В первой главе рассматривается простейшая (в техническом плане) модель хемореактивного движения. В этой модели тело имеет форму шара, а активная зона аксиально симметрична. Соударения молекул газа с поверхностью в этой модели рассматриваются двух типов - упругое отражение и сорбция. Для описания неоднородности поверхности вводится функция зависящая от координаты поверхности и равная вероятности сорбции.

Обозначим R- радиус-вектор центра масс, Q- импульс, К- кинетический момент, S- вектор ориентации, т.е. единичный вектор, направленный от центра масс к центру активной зоны.

Силы и моменты сил вычисляются как потоки импульса и кинетического момента соответственно, т.е. они представляются в виде интегралов от микроскопических изменений импульса и кинетического момента по всей поверхности по всем соударениям с весом функции распределения:

ehern =

^„. = 2цр2 jjn-(u,n)2-e((u,n))-f(R-pn,p)-cln-dp (1)

-¿Am. =W>3 JJß(»> S) ■ [и, и] • (ll,и) • e((«, п)) • f(R - рп, P)-dn-dp.

где - приведенная масса, - радиус шара, - внутренняя

нормаль в точке соударения, - относительная скорость.

Предполагая, что функция распределения молекул газа, является максвелловской:

/(г, р) = Яр) = «о (2юпкгух • е 2»кт,

поступательная скорость тела мала по сравнению со средней тепловой скоростью движения молекул газа, и изменением массы тела можно пренебречь, получим систему уравнений:

(3)

получаются при вычислении интегралов (1).

Система (2) имеет промежуточную асимптотику, причем соответствующая координатная траектория представляет собой цилиндрическую спираль со стационарным шагом и радиусом.

Результат первой главы - простейшую модель хемореактивного движения и полученные в ее рамках уравнения еще не следует считать приложимой к реальным физическим процессам в виду следующих недостатков. Полученные в ее рамках траектории являются всего лишь промежуточными, а не полными асимптотиками. Нахождению последних препятствует отсутствие диссипации по кинетическому моменту, и, как следствие, инфинитность траекторий в фазовом пространстве. Однако эта модель является существенным этапом, предшествующим построению более общих и адекватных реальности моделей, позволившим отработать кинетический подход к описанию динамики.

Вторая глава посвящена выводу уравнений, описывающих движение твердого тела произвольной выпуклой формы в газе. При этом учитываются три типа взаимодействия молекул тела с газом: зеркальное и диффузное отражение, а также сорбция.

Полученные уравнения имеют вид:

(4)

где Д- радиус-вектор центра масс, М- его масса, I- тензор инерции, Q -

импульс, К - кинетический момент. 6= —

объект дуальный

к вектору угловой скорости. Микроскопические изменения обозначены следующим образом: AtX - изменение величины X с соударении типа i.

Интегральные слагаемые в правой части системы (4) суть потоковые величины, возникающие из-за взаимодействия с газом: дрейф центра масс, поток массы, сила - поток импульса, момент сил - поток кинетического момента, а также поток тензора инерции. В соответствии с кинетическим подходом они рассчитываются как интегралы от микроскопических изменений соответствующих величин в отдельных соударениях.

В выражениях потоковых величин фигурируют также функции Р( =P((r,v,w), i = e,d,s, иначе именуемые коэффициентами взаимодействия соответствующего типа: е (elastic)- зеркальный тип, d (diffuse)- диффузный тип, s (sorption) - сорбция. Они описывают неоднородность поверхности и считаются равными вероятностям реализации соответствующего типа соударения.

Наконец, здесь используется удобное при вычислении потоковых величин понятие дифференциальной частоты столкновений молекул газа с поверхностью тела. Дифференциальная частота столкновений есть среднее число молекул в элементарном фазовом объеме drdp падающих за единицу времени на тело извне его границы. Интеграл от нее равен среднему числу всех

столкновений молекул газа с телом в единицу времени. Дифференциальная частота зависит от функции распределения молекул газа, поступательной и угловой скорости, а также формы поверхности тела: = ст • (у,п)-Щу,п))-/{г,р)с1гс1р.

где и- внутренняя нормаль в точки поверхности тела , а - относительная р О г 1

скорость: Дифференциальное сечение столкновений для

тела с выпуклой границей, заданной уравнением ф(г) = 0, где <р(г)- кусочно-гладкая функция в Л3. Тогда сечение может быть записано в виде:

ст=|У<р|-5(<р(г)).

Для тел с гладкой границей оказывается возможным аналитически учесть изменение формы в сечении столкновений (Вывод этого уравнения вынесен в приложение к главе 2):

Где потоковая величина У складывается из двух составляющих: У^У' + У". Первое слагаемое ,У = шр"' |Р4 (V, и)0((у, и))/(г, р)<!р описывает изменение формы за счет нарастания новых слоев, а второе

У" = — |Р, , где Д1.Й = — учитывает сдвиг центра масс.

Последнее из уравнений системы (4) описывает эволюцию геометрии масс. Стоит отдельно остановиться на вопросе об эволюции геометрии масс, т.е. случае, когда имеет место изменении тензора инерции. В диссертации он обсуждается в §2.4 и §2.5.

Утверждение 1. При движении твердого тела без изменения геометрии масс зависимость тензора инерции от времени описывается уравнением:

(5)

Это уравнение имеет структуру 1А-пары, среди свойств которого -сохранение собственных значений тензора Действительно, в данном случае это - главные моменты инерции, они сохраняются при постоянстве геометрии масс. Также в силу кососимметрчности тензора <» сохраняется взаимная ориентация собственных векторов тензора инерции - главных осей инерции. Дополняется уравнение (5) законом изменения кинетического момента:

(5')

Если в (5') правая часть (момент сил) оказывается нулевой, то система (5, 5') становится эквивалентной классической системе Эйлера - Пуансо.

В нашем случае, когда на теле осаждаются молекулы газа и меняют его массу и форму, правая часть уравнения для тензора инерции должна быть

—(Усо)=лГ

дополнена потоковой величиной, интегрирующей изменения от отдельных столкновений, откуда и возникает последнее уравнение в системе (4).

Третья глава посвящена исследованию одного из приближений полученной в предыдущей главе общей системы.

Примем следующие допущения (§3.1):

I. Функция распределения молекул газа - максвелловская.

II. Модифицированное число Маха М = VjVT и число Струхаля

St = L(o/VT малы по сравнению с единицей. (Здесь VT - средняя тепловая скорость молекул газа, характерный линейный размер тела L = -JjJM , определен через J- максимальный главный центральный момент инерции.)

III. Изменение массы и геометрии масс пренебрежимо малы по ходу процесса14. Тогда (§3.2) система уравнений (4), интегрированием по пространству импульсов, взятием первых членов разложения сил и моментов по скоростям (пренебрегаем членами второго порядка малости по модифицированному числу Маха) и переходом во вращающуюся систему координат могут быть сведены к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

^ = + M'{DQ + СУК + [QJ'^K] = MAGQ+WJ'lK + [к, J-'Jcl

. dt

Здесь члены нулевого порядка:

=•j^ß.+(i+даК+ß.) ■■'»■■

2. \m M + m J

(6)

где

-1

М + + JiJ]\Sj,r,n)2 матрицы коэффициентов в членах первого порядка: D = -n0^l{K(r)-n®nJ +ßrf/ja(r)Jr,

" Малость изменения геометрии масс при сорбции подразумевает, что тело не обладает динамической симметрией: причем для всех точек г, где pt принимает ненулевые

значения верно: mr2 « rain(| J, -J2 - J21,1 Jj - J% |)

М + т

где к(г)=—р, +р,.

Вывод этих выражений вынесен в приложение к главе 3.

Если в системе (6) Р4 =0, то (/ = СТ. Поскольку Ь И ¡V - симметричные матрицы, то, можно сказать, что перекрестные коэффициенты, соответствующие зеркально-диффузному взаимодействию, удовлетворяют принципу симметрии Онзагера. Коэффициенты, соответствующие сорбции ему не удовлетворяют, что объясняется тем, что сорбция - процесс принципиально неравновесный.

3.3-3.4 третьей главы посвящены исследованиям свойств системы (6).

коэффициентов линейной части системы (6) отрицательно определена (т.е. существует константа , то любое

решение системы (6) финитно.

Следствие 1 В условиях теоремы 3.1 у системы (6) (согласно теореме о

15ч

трансверсальной поверхности векторного поля ) существует стационарное решение.

Теорема 3.2 (Достаточное условие глобальной устойчивости) Пусть для системы (6) выполнено условие теоремы 3.1, и верно неравенство:

Тогда стационарное решение единственно и глобально устойчиво.

Физический смысл условий теорем этой главы состоит в том, что коэффициент сорбции должен быть мал по сравнению с единицей.

В §3.5 устанавливается асимптотический вид траекторий в координатном пространстве. Им оказывается цилиндрическая спираль с постоянным шагом и радиусом. Любопытно, что к подобному результату приводит рассмотрение промежуточной асимптотики системы полученной в рамках простейшей, модели из главы 1.

' См., например, Дубровин Б.А., Новиков С Л, Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. Геометрия и топология многообразий. Т. 2. - М.: Ециториал УРСС, 2001.

Этот результат (спиральные траектории) можно рассматривать, как качественное объяснение эксперимента (Вильнеф и Маас, 2000), который упоминался в водной части.

Четвертая глава посвящена более узкому вопросу о динамике твердого тела под действием постоянного и диссипативного моментов. Рассматривается уравнение вида:

(8)

К нему сводится система (6), если матрица О =0 (перекрестных коэффициентов) оказывается нулевой, либо при наличии связи, фиксирующей скорость центра масс в связанных осях.

Следует отметить, что системы вида (8) изучались ранее К-Магнусом16, им эта система была проинтегрирована в случае, когда эллипсоид инерции имеет ось симметрии. Устойчивость стационарного решения системы типа (8) при наличии гироскопических сил исследовалась В.В.Румянцевым17 с помощью функции Ляпунова.. Также она изучалась А.И.Нейштадтом18 при наличии малого параметра при постоянных и линейных членах, им было показано «для большинства начальных данных окончательный результат эволюции -вращение, близкое к стационарному вращению вокруг оси или наибольшего или наименьшего из главных центральных моментов инерции».

В §4.1 рассматривается случай диагональной диссипации, на него могут быть перенесены и улучшены оценки, полученные в предыдущей главе о финитности системы, а также усилены неравенства, обеспечивающие существование и глобальную устойчивость стационара.

Теорема 4.1 Пусть матрица В диагональна и отрицательно определена, тогда всякое решение системы (8) финитно и, начиная с некоторого момента времени, удовлетворяет неравенству:

Вследствие финитности система (8) (аналогично системе (6)) имеет по крайней мере одно стационарное решение.

Теорема 4.2 Пусть выполнены условия теоремы (4.1) и верно неравенство:

тогда стационарное решение К0 системы (4.3) единственно и глобально устойчиво.

16 Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. - М., «Мир», 1974.

17 Румянцев В.В.Две задачи о стабилизациидвижения.// Изв. АН СССР МТТ, 1975, № 5, с. 5-12.

11 Нейштадт А. И. Об эволюции врашеня твердого тела под действием суммы постоянного и диссипативного возмущаюшихмоментов // Изв. АН СССР МТТ, 1980, №6, с. 30-36.

~=Ж + ВК + \К,АК\

В §4.2 представлен пример19 системы типа (8), в котором постоянная составляющая вектора момента направлена вдоль одной из собственных осей инерции. При некотором соотношении констант показано, что система имеет устойчивое инвариантное множество представляющее собой пару пересекающихся плоскостей. При малых по модулю значениях момента сил, в соответствии с доказанными теоремами, на этом множестве находится единственная глобально устойчивая неподвижная точка. Показано, что с ростом абсолютной величины постоянного момента сил основное решение теряет устойчивость и от него в одной из инвариантных плоскостей отщепляется пара устойчивых узлов, которые при дальнейшем увеличении модуля момента сил превращаются в устойчивые фокусы.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

I. В данной работе предложена модель движения твердого тела в газе, сорбирующемся на его поверхности. Выведены общие уравнения движения тела с учетом переменной геометрии масс и формы поверхности. В том числе:

- Предложено для описания вращения твердого тела вместо направляющих косинусов главных осей (или других связанных с ними переменных) использовать тензор инерции, заданный в неподвижных осях. Выведено уравнение, описывающее его эволюцию. Это позволяет избежать трудностей, связанных с отсутствием непрерывности изменения главных осей инерции при непрерывном изменении массы и геометрии тела.

- Для тел с гладкой поверхностью предложен способ аналитически описать изменение формы поверхности тела при осаждении на нем вещества из газа.

II. Для тела произвольной выпуклой формы в приближении малости модифицированного числа Маха и числа Струхаля и постоянства массы и геометрии масс общая система размерности сведена к динамической системе (автономной системе обыкновенных дифференциальных уравнений) размерности шесть. Для этой системы:

- При условии диссипативности линейной части полученной динамической системы доказана финитность решений и существование стационарного решения.

- Найдено условие типа неравенства, обеспечивающее единственность и глобальную асимптотическую устойчивость стационарного решения.

- Представлены примеры, иллюстрирующих поведение динамической системы. В частности при некоторых значения параметров она сводится к системе Лоренца.

19 Другой пример перенесен из этой главы в главу 3, §3.2. Это случай, когда полученная динамическая система сводится к системе Лоренца, что показывает сложность поведения системы в общем случае.

Последний факт показывает, что в общем случае система может обладать довольно сложным поведением, что представляет интерес для дальнейших исследований.

Также интересным представляется переход от описания движения единичного тела к ансамблю твердых частиц движущихся в газе с распределением по динамическим переменным, геометрическим свойствам и активности.

Укажем на еще одно естественное направление развития полученных результатов. Все рассматривавшиеся уравнения получены для таких типов взаимодействия, для которых молекула, попав на поверхность тела, либо покидает его, либо сорбируется. Таким образом, вне рассмотрения оказался случай, при котором сама поверхность испаряет молекулы в газ. В этом случае появится своя специфика, связанная с выбором физической модели процесса. Будет ли поток испаренных молекул зависеть от функции распределения налетающих частиц, если да, то каким образом. Но это уже предмет будущих исследований.

Считаю приятным долгом выразить благодарность моему научному руководителю В. В. Ведеияпину, чью помощь и советы трудно переоценить, а также М. В. Масленникову и Ю. Н. Орлову, чьи замечания в значительной мере содействовали работе. Хочу также поблагодарить И. В. Мелихова, на основе результатов его и сотрудников его кафедры возникла постановка этой задачи, и А. Я. Горбачевского за полезные обсуждения.

СПИСОКРАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕДИССЕРТАЦИИ

1. В.В.Веденяпин, Я.Г.Батищева, И.В.Мелихов, АЛ.Горбачевский, Математическое моделирование в физико-химических процессах и наноструктурах. Кинетический подход. // Труды научи, семинара по нанотехнологическим процессам и наноструктурам. - М.: МИФИ, 2002,64-87.

2. Я.Г.Батищева, В.В.Веденяпин, И.В.Мелихов, АЛ.Горбачевский, О движении твержых тел в газе с неоднородными поверхностными химическими процессами. Тезисы IV международн. конференции NPNJ-2002. С.-Пб., 2002. С. 79-81.

3. V.V.Vedenyapin, J.G.Batisheva, I.V.Melichov, A.Ya.Gorbatchevski // Thes. of V international congress on mathematical modeling V ICMM 2002, Dubna, Moscow Reg., Russia.

4. V.V.Vedenyapin, J.CBatisheva, I.V.Melichov, A.Ya.Gorbatchevski, On the motion ofsolids in a gas with nonwiiform surface chemical processes II Тезисы XTV Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики" (Дюрсо 1822 сентября 2002 г.) Екатеринбург: УрО РАН, 2002; стр. 97-98.

5. И.В.Мелихов, В.В.Веденяпин, Я.Г.Батищева, АЛ.Горбачевский О влиянии топохимических процессов на движение твердых частиц в газе. //Тезисы международной школы-семинара «Нелинейные процессы в дизайне материалов». Вестник ВГТУ. Сер. Материаловедение Воронеж, 2002, с. 68-69.

6. В.В.Беденяпин, Я.Г.Батищева, И.В.Мелихов, А.Я.Горбачевский, О движении твердых тел в газе, сопровождающемся неоднородными поверхностными химическими процессами. II Мат.моделирование, 2003, т. 15, №6, с. 6-10.

7. Я.Г.Батищева К выводу уравнений динамики твердого тела в газе, реагирующем с ним неоднородно по поверхности. Комплексный анализ и математическая физика. Сборник научных трудов посвящ. 100-летию профессора А.А. Темлякова. М.: Изд. МГОУ, 2003, стр.57-64.

8. Я.Г.Батищева К выводу уравнений динамики твердого тела в газе, реагирующем с ним неоднородно по поверхности. Препринт ИПМ РАН № 18, 2003.

9. В.В.Веденяпин, Я.Г.Батищева, И.В.Мелихов, А.Я.Горбачевский О движении твердых тел в химически активной среде II Тезисы 7-го Всероссийского Совещания-семинара «Инженерно-физические проблемы новой техники». - М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2003, с.31-32.

10. В.В.Веденяпин, Я.Г.Батищева, И.В .Мелихов, А Л.Горбачевский О движении твердых тел в химически активной среде И Тезисы ХП международной конференции ВМСППС, Владимир. - М.: Изд-во МАИ, 2003, с.142-143.

11. Я.Г.Батищева К выводу уравнений динамики твердого тела в газе, реагирующем с ним неоднородно по поверхности II Тезисы ХП международной конференции ВМСППС, Владимир. - М.: Изд-во МАИ, 2003, с.86-89.

12. Батищева Я. Г. К выводу уравнений динамики тела в газе, реагирующем с ним неоднородно по поверхности ИДАН, 2003, т.392, №5, с. 631-633.

13. Веденяпин В. В., Батищева Я. Г., Мелихов И. В., Горбачевский А. Я., О движении твердых тел в химически активном газе II ДАН, 2003, т.392, №6, с. 758-760.

14. V.V.Vedenyapin, J.G.Batisheva, I.V.Melichov, A.Ya.Gorbatchevski The modeling of motion of chemically reacting particles under the microgravity condition II Book of abstract of The 5-th EuroMech Fluid Mechanics conference (EFMC 2003), 24-28 August 2003, Toulouse France. P. 493.

15. V.V.Vedenyapin, J.G.Batisheva, I.V.Melichov, A.Ya.Gorbatchevski On the motion of solids in gas with nonuniform surface chemical processes // Proceedings ofThe 5-th International Conference Single Crystal Growth and Heat&Mass Transfer (ICSC-2003), Obninsk, Russia, September 24-28,2003. Vol 2, P. 574.

16. Батищева Я. Г. Динамика твердого тела в газе, сорбирующемся на его поверхности. Препринт ИПМ РАН №69,2003.

17. Батищева Я.Г. Об асимптотических свойствах уравнений, описывающих .движение в газе твердых частиц с активной поверхностью II Труды XLVI научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», Москва - Долгопрудный, 28-29 Ноябрь 2003. Часть VII, с.13-15.

18. Веденяпин В.В., Батищева Я.Г. О движении твердого тела в газе, сорбирующемся на его поверхности // Труды XXVIII академических чтениях по космонавтике. Москва, январь 2004 г. М.: Война и мир, 2004. С. 112-113.

19. Веденяпин В.В., Горбачевский АЛ., Мелихов И.В., Батищева Я.Г. Моделирование движения в газе твердых тел с неоднородными химическими процессами У Сб. статей. «Современные проблемы механики и физики космоса». -М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. С. 219-228.

04 * 1 40 78

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Батищева, Янина Генриховна

ВВЕДЕНИЕ.

1. ПРОСТЕЙШАЯ МОДЕЛЬ ХЕМОРЕАКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ. ШАР С АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЙ АКТИВНОЙ ЗОНОЙ.

1.1 Описание модели и вывод уравнений.

1.2 Уравнения медленного движения шара в равновесном газе

1.3 Исследование уравнений движения.

2. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ

2.1 Переход к динамике растущего тела.

2.2 Вычисление потоковых величин.

2.3 К вычислению потоков. Дифференциальная частота.

2.4 Динамика столкновений для различных типов взаимодействия

2.4.1 Зеркальное отражение.

2.4.2 Диффузное отражение.

2.4.3 Сорбция.

2.4.4 Учет изменения геометрии масс при сорбции.

2.5 Особенности динамики твердого тела с переменной геометрией масс.

2.6 Основная система уравнений.

2.7 Границы применимости и связь с кинетикой газа.

Введение диссертация по математике, на тему "О движении твердого тела в газе, сорбирующемся на его поверхности"

Актуальность темы. В 90 гг. группой, возглавляемой член-корр. РАН И.В.Мелиховым, было открыто явление, названное хемореактивным движением [42-44]. Оно заключалось в том, что твердые частицы, помещенные в газ, начинали активно двигаться, если между веществом этих частиц и газом происходила химическая реакция. Это движение отличалось от броуновского тем, что было не хаотическим и характеризовалось значительно большими скоростями. Было известно, что многие физико-химические процессы между газом и твердой фазой протекают неоднородно по поверхности: процесс часто оказывается сосредоточенным в так называемых активных зонах, вне которых поверхность ведет себя как инертная. И.В.Мелиховым было высказано предположение о том, что возникновение хемореактивного движение связано с неоднородностью протекания химического процесса на поверхности твердых частиц.

В 2000 году на основании идей И.В.Мелихова и его коллег в рамках одного из проектов ESA (European Space Agency) был поставлен эксперимент, в котором в условиях микрогравитации наблюдалось движение растущих кристаллов [63]. На рисунке 1 представлены траектории этих кристаллов. Большинство из них имеют изгибающийся синусообразный характер, который не поддавался интерпретации на момент получения результата.

X ^' "W \*\ Ъ^^ч ifWr i -v t*

Я "Ч \ -C" ц Рис. 1 Траектории растущих кристаллов в условиях микрогравитации

Дж. Вилнеф и Х.-Г. Маас, 2000) [63].

При таком подходе, во-первых, используется функция распределения молекул газа, которая является решением кинетического уравнения с граничными условиями, согласованными с динамикой твердого тела. Поскольку получение аналитических решений в виде нестационарной функции распределения в окрестности движущегося тела не только для уравнения Больцмана, но и для его упрощенных моделей типа БГК, в обозримом будущем не представляется возможным1, для описания движения газа используется два основных приближения. Первое - это гидродинамическое обтекание, применяющееся в тех случаях, когда размеры тела велики по сравнению с длиной свободного пробега молекул газа (малые числа Кнудсена). Второе -свободномолекулярное обтекание, когда размеры тела невелики, так что

1 Даже в задаче о тепловом скольжении для уравнения БГК нахождение аналитических решений потребовало модификации краевых условий Максвелла (А.В.Латышев, А.А.Юшканов [34]). возмущением, вносимым движением тела в динамику газа можно пренебречь (большие числа Кнудсена). Последнее приближение использовалось в работе В.В.Белецкого и А.М.Яншина [12], оно также будет использоваться в данной работе.

Во-вторых, кинетический подход подразумевает постановку граничных условий для функции распределения на поверхности твердого тела. Существует обширная литература посвященная этому вопросу [3, 4, 25, 27, 29, 32, 36, 47, 48, 52, 56] Наиболее известными условиями отражения, до сих пор не потерявшими свою популярность из-за простоты и эффективности (в аналитических расчетах), являются зеркально-диффузные условия Максвелла [56]. В настоящее время разработаны и другие способы определения граничных условий, они используются в тех задачах, в которых зеркально-диффузные условия неудовлетворительны по своей точности. Но все они, как правило, весьма громоздки, либо вообще не имеют конечной аналитической формы для ядер рассеяния, как, например, метод молекулярной динамики (см. например [53]), что делает их малопригодными для аналитических расчетов.

Применимость кинетического подхода для расчета сил моментов, действующих на тело, ограничивается тем условием, что частота столкновений t молекул газа с поверхностью тела должна быть столь достаточно велика, так чтобы интегрирование по отдельным столкновениям было оправданным. Это условие эквивалентно тому, что число столкновений за минимальное характерное время должно быть на несколько порядков больше единицы. К характерным временам относятся период вращения вокруг своей оси, время прохождения одного витка при движении по спирали, характерные времена релаксации, т.е. величины, обратные коэффициентам в первых членах разложения диссипативных сил и моментов, а также, возможно, времена, определяемые спецификой конкретной задачи.

В динамике твердого тела кинетический подход применялся ранее В.В.Белецким и А.М.Яншиным для исследования движения космических тел и искусственных спутников Земли [12]. В этой работе при расчете аэродинамической силы и момента сил использовалась функция распределения налетающих и отраженных от поверхности молекул газа, а граничные условия были выбраны зеркально-диффузными. Однако, расчет отраженного потока газа в этой работе происходил без учета конечности массы тела, т.е. молекулы отражались как бы от бесконечно тяжелой стенки, а потом из разницы приносимого и уносимого импульса рассчитывались силы и моменты сил, которыми определялось движение. Что касается нашей задачи, такой подход нельзя было непосредственно применять, поскольку монокристаллы микронных размеров - это не спутники, и a priori пренебрегать тем, что их масса конечна, нельзя. Более того, оказалось, что конечность массы тела весьма существенна для расчета момента сил при сорбции. Наконец, в работе В.В.Белецкого и А.М.Яншина использовалось приближение гипертеплового обтекания, что опять же неприменимо для описания движения частиц, скорости которых намного меньше тепловой.

Задача движения твердого тела под действием сил, имеющих природу, сходную с хемореактивной, рассматривалась в работе А.И.Нейштадта et ей, [57, 58], в ней речь шла о динамке кометных ядер. В этой работе для вычисления сил, возникающих при сублимации кометного вещества на ядре кометы, использовалась эмпирическая формула.

Можно указать и на некоторые другие работы, рассматривающие движение твердого тела в газе и жидкости [15, 34, 51, 54], однако в них использовались другие модели и подходы.

Одной из подзадач при определении силы и момента сил, действующих на тело, является расчет динамики столкновений каждого типа. Т.е. задача об определении приращений импульса, кинетического момента (а в случае сорбции еще и массы, тензора инерции и смещения центра масс) в единичном акте столкновения каждого типа. В случае диффузного отражения определяются средние по отраженному потоку приращения. Первой известной работой, в которой выполнен расчет динамики столкновений двух абсолютно упругих тел следует считать статью Максвелла [56]. Расчет динамики столкновений абсолютно упругих шаров и точечных молекул уже вошел в классические учебники [35], а вот неупругие столкновения, следует признать, до сих пор являются слабо разработанным вопросом.

Рис.2

При этом, если изменения массы и главных центральных моментов инерции при присоединении единичной молекулы имеют тот же порядок малости, что и отношение массы молекулы к массе тела, то изменение ориентации собственных осей может быть значительным при сколь угодно малом отношении масс. Пример тому представлен на рисунке. Здесь собственные оси поворачиваются на 45° (Рис.2). Поэтому, если на его поверхность случайным образом, но в среднем равномерно, будут налипать молекулы, то базис собственных осей будет хаотически менять свою ориентацию во времени.

Здесь хотелось бы привести еще один любопытный пример, идея рассмотрения которого была подсказана Ю.Н.Орловым. Предположим, что дана матрица вида: о

J = ei О 1 у где внедиагональные элементы - случайные величины, имеющие изотропную плотность распределения: ^(8,,е2) = ^(л/ef + 82 )• Найдем, как будут распределены оси собственного базиса для данной матрицы. Эта задача легко решается аналитически:

К = V о,

8, + £' V

2 2 Ef

Къ =

Рис 3.

Соответствующие собственные значения: J, = 1, J2 3 = 1 + -Jff + ^ ). И в ответе оказывается, что угол поворота базиса составленного из собственных векторов, имеет равномерное распределение на отрезке [о, 2п] вокруг оси с направляющим вектором (0, 1, 0). И это верно для любого значения дисперсии величин 8 j, s 2.2

2 Сходная задача - о влиянии малых изменении элементов матрицы на ее собственные значения рассматривалась С.К.Годуновым [23]. Им были найдены так называемые s-спектры для собственных значений. том, что «если эллипсоид инерции близок к эллипсоиду вращения, то добавление малой массы может сильно повернуть главные оси инерции».

Задача о динамике твердого тела с переменной геометрией масс рассматривалась К.Магнусом [39]. Но ориентация собственных осей инерции в работе К.Магнуса полагалась неизменной, что, по-видимому, связано с указанной выше трудностью.

Поэтому возникли вопросы о том, когда изменение геометрии масс действительно является несущественным, и как его учитывать в тех случаях, когда пренебречь им нельзя. Собственно ответ на первый вопрос есть в упоминавшейся выше книге В.И.Арнольда [1]. Достаточным условием того, что главные оси инерции не будут существенно менять свою ориентацию при присоединении малой массы, является отсутствие динамической симметрии. А ответ на второй вопрос, точнее один из вариантов решения был получен в рамках этой работы и будет представлен ниже.

После того, как найдены сила и момент сил, действующие на тело из-за взаимодействия молекул газа с его поверхностью и получена базовая система уравнений, необходимо исследовать полученные уравнения динамики. Конечно, получение аналитического ответа в максимально общей постановке задачи не представляется возможным. Поэтому было выбрано приближение (медленного по сравнению с тепловыми скоростями движения частиц, а также пренебрежимой малости изменений массы и геометрии масс), согласованное с имеющимися приложениями.

В рамках этого приближения оказалось возможным применить восходящий к Эйлеру переход во вращающуюся систему координат, при котором размерность системы существенно снижалась и получилась автономная система из шести обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномами второй степени в правой части. Эта система, тем не менее, оказывается достаточно сложна, например, при некотором значении констант она может быть сведена к известной системе Лоренца [см., например, 24,37]. Она также может рассматриваться, как обобщение уравнений динамики твердого тела в сопротивляющейся среде, среди которых встречаются случаи, допускающие явное интегрирование ([15] и соответствующие ссылки в этой книге). То обстоятельство, что фазовый поток для такого рода систем систем (при физически адекватных значениях параметров) оказывается сжимающим, не позволяет применять методы, развитые для гамильтоновых систем [1,2,15,30,39,40,50].

Для исследования полученной динамической системы, а именно выяснения вопроса существования, единственности и глобальной устойчивости стационарного решения, был использован метод функций, монотонных в силу решений. Этот метод восходит к идеям Л.Больцмана [14,16] (именно на основе монотонности функционала в силу решения строится доказательство знаменитой Н-теоремы Больцмана), А.М.Ляпунова [28,38] и А.Пуанкаре [46]. Этот метод плодотворно применялся и ранее для исследования локальной устойчивости уравнений динамики.

Апробация работы. Результаты работы обсуждались на семинаре по математической физике 7-го отдела ИПМ им. М.В.Келдыша РАН (руководители проф. М.В. Масленников, проф. В.В. Веденяпин, проф. В.А. Дородницын ); на научном семинаре по нанотехнологическим процессам и наноструктурам, МИФИ, 2002; семинаре «Движение искусственных спутников Земли относительно центра масс и проблемы ориентации» ИПМ им. М.В.Келдыша РАН (Руководитель проф. М.Ю.Овчинников); семинаре «Гамильтоновы системы и статистическая механика» Мехмата МГУ (руководители акад. РАН В.В.Козлов, чл.-корр. Д.В.Трещев), 2003; семинаре «Динамика относительного движения» Мехмата МГУ (Руководители чл.-корр. В.В.Белецкий, проф. Ю.Ф.Голубев, доц. К.Е.Якимова, доц. Е.В.Мелкумова), 2003; семинаре «Аналитическая механика и теория устойчивости» Мехмата МГУ (Руководители акад. РАН В.В.Румянцев, чл.-корр. В.В.Белецкий, проф. А.В.Карапетян), 2003.

Результаты были представлены в докладах на IV международной конференции NPNJ-2002 (Санкт-Петербург, 2002); V international congress on mathematical modeling V ICMM (Дубна 2002); XIV Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики" (Дюрсо, 2002 г.); Международной школе-семинаре «Нелинейные процессы в дизайне материалов» (Воронеж, 2002); 7-ом Всероссийском Совещании-семинаре «Инженерно-физические проблемы новой техники» (Москва 2003); XII международной конференции ВМСППС, (Владимир, 2003); The 5-th EuroMech Fluid Mechanics conference (EFMC 2003), 24-28 August 2003, Toulouse France; The 5-th International Conference Single Crystal Growth and Heat&Mass Transfer (ICSC-2003), (Обнинск 2003); XLVI научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Москва

Долгопрудный, 2003; на XXVIII академических чтениях по космонавтике (Москва, 2004).

Публикации. Основной материал диссертации опубликован в работах [5-11, 17-22,41,59-62, 65-66]

Структура и объем работы (Распределение материала по главам).

Простейшая модель хемореактивного движения, среди решений которой есть спиральные траектории, была предложена в [6, 17-21, 59-62]. Здесь этот материал3 излагается в главе 1, в которой с помощью кинетического подхода исследуется движение тела сферической формы с одной аксиально-симметричной активной зоной4. В §1.1-1.2 описывается модель, и вводится в рассмотрение функция (3(гс), как вероятность поглощения частицы, зависящая от координаты поверхности сферы. Эта функция, с одной стороны, характеризует степень локализации и интенсивность химического процесса на поверхности частицы, а с другой стороны может определять граничные условия для функции распределения молекул газа. В §1.3 приведены явные вычисления пятикратных интегралов для сил и моментов в случае газа с максвелловским распределением по скоростям в приближении, когда скорость частицы много меньше тепловой. Такое приближение оправдано тем, что в реально наблюдаемых условиях [42-44] скорости твердых частиц действительно малы по сравнению с тепловой. В § 1.4 исследуется полученная система, в частности используется метод убывающих функционалов, позволяющий качественно исследовать динамику системы, найти асимптотики решений приближенной системы.

3 Результаты главы 1 получены совместно с В.В.Веденяпиным и сотрудниками Химфака МГУ И.В.Мелиховым и А.Я.Горбачевским.

4 Активной зоной называется область преимущественной локализации процесса.

13 динамики твердого тела с постоянной массой и геометрией масс к переменной, вводятся потоковые величины, описывающие изменение массы и геометрии тела. В §2.2-2.3 подробно описывается метод расчета потоковых величин. В §2.4 рассчитывается динамика столкновений для каждого типа взаимодействия. В §2.5 обсуждаются особенности динамики тела с переменной геометрией масс. В связи с проблемой не непрерывного изменения главных осей инерции тела при непрерывном изменении геометрии масс [1,8,10], предлагается уравнения динамики записывать в терминах тензора инерции, который меняется непрерывно. Выводится уравнение, описывающее его эволюцию. В §2.6 представлена полученная система уравнений для общего случая и одно из ее возможных упрощений. В §2.7 обсуждаются границы применимости полученной системы. А также представлена связь динамики тела с кинетикой газа: выписано соответствующее кинетическое уравнение с граничными условиями, согласованными с уравнениями движения тела. Представлены ядра рассеяния для зеркального и диффузного отражения молекул газа в случае подвижной стенки.

В приложении 1 к главе 2 получено уравнение, описывающее изменение геометрии поверхности тела.

В приложении 2 к главе 2 излагается материал о граничных условиях для функции распределения молекул газа на поверхности твердого тела.

В главе 3 в условиях малости модифицированного числа Маха и числа Струхаля, получена динамическая система, описывающая движение твердого тела в газе с произвольной гладкой выпуклой границей в приближении постоянной массы и геометрии масс. Учитываются зеркально-диффузное взаимодействие молекул газа с поверхностью и сорбция. Получено условие финитности системы и показано существование стационарного решения. Найдено условие единственности и глобальной устойчивости стационарного решения. Показано, что при этом условии асимтотикой координатной траектории является цилиндрическая спираль. В §3.1 содержится описание приближения, в §3.2 получены основные уравнения. В §3.3 обсуждается необходимое условие применимости модели - финитность решения, которое обеспечивается диссипативностью линейной части системы, а также устанавливается существование стационарного решения. В §3.4 найдено условие единственности и глобальной устойчивости стационарного решения. В §3.5 устанавливается вид асимптотики координатных траекторий при условии глобальной устойчивости стационара.

В главе 4 полученная динамическая система рассматривается в случае, когда уравнение на момент оказывается не зависящим от импульса. Как показано в §3.2 главы 3 к уравнениям этого типа принадлежит система Лоренца, что показывает сложность динамики системы в общем случае. В §4.1 рассматривается случай диагональной диссипации, для которого оказывается возможным усилить неравенства, обеспечивающие существование и глобальную устойчивость стационара. В §4.2 представлен пример системы типа (8), в котором постоянная составляющая вектора момента направлена вдоль одной из собственных осей инерции. На этом примере показано, что при нарушении указанных неравенств стационарное решение может терять устойчивость и становиться неединственным.

В заключении кратко суммируются основные результаты, полученные в работе и выносимые на защиту.

Считаю приятным долгом выразить глубокую благодарность моему научному руководителю В.В.Веденяпину, поставившему передо мной эту задачу, и совместно с которым были получены результаты первой главы. Также хочу поблагодарить И.В.Мелихова, на основании его работ и при участии которого возникла эта задача, и А.Я.Горбачевского за полезные обсуждения. Наконец, я рада возможности выразить признательность М.В.Масленникову и Ю.Н.Орлову за внимание к работе и полезные замечания.

Заключение диссертации по теме "Математическая физика"

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ РАБОТЫ

В данной работе построена модель движения твердого тела в газе, сорбирующемся на его поверхности. Выведены общие уравнения движения тела с учетом переменной геометрии масс и формы поверхности. В частности:

• Предложено для описания вращения твердого тела вместо направляющих косинусов главных осей (или других связанных с ними переменных) использовать тензор инерции, заданный в неподвижных осях. Выведено уравнение, описывающее его эволюцию. Это позволяет избежать трудностей, связанных с отсутсвием непрерывности изменения главных осей инерции при непрерывном изменении массы и геометрии тела.

• Для тел с гладкой поверхностью предложен способ аналитически описать изменение формы поверхности тела при осаждении на нем вещества из газа.

Для тела произвольной выпуклой формы в приближении малости модифицированного числа Маха и числа Струхаля и постоянства массы и геометрии масс общая система сведена к динамической системе (автономной системе обыкновенных дифференциальных уравнений) размерности шесть. Для этой системы:

• При условии диссипативности линейной части полученной динамической системы доказана финитность решений и существование стационарного решения.

• Найдено условие типа неравенства, обеспечивающее единственность и глобальную асимптотическую устойчивость стационарного решения. Также показано, что в случае общего положения координатная траектория, соответствующая этой асимптотике, имеет вид цилиндрической спирали, что можно рассматривать как качественное объяснение результата эксперимента [61], упоминавшегося в начале введения.

• Представлены примеры, иллюстрирующие поведение динамической системы. В частности при некоторых значения параметров она сводится к системе Лоренца.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Батищева, Янина Генриховна, Москва

1. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М: Едиториал УРСС, 2000.

2. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. М: Едиториал УРСС, 2002.

3. Баранцев Р.Г. Взаимодействие газа с поверхностью. Л., 1990. 96 с.

4. Баранцев Р.Г., ред. Взаимодействие газов с поверхностями. Сборник статей. М.: Мир, 1965, 227 с.

5. Батищева Я.Г., К выводу уравнений динамики твердого тела в газе, реагирующем с ним неоднородно по поверхности.// Тезисы XII международной конференции ВМСППС, Владимир. М.: Изд-во МАИ, 2003, с.86-89.

6. Батищева Я. Г., Веденяпин В. В., Мелихов И. В., Горбачевский А. Я., О движении твердых тел в газе с неоднородными поверхностными химическими процессами. Тезисы IV международн. конференции NPNJ-2002. С.-Пб., 2002. С. 79-81.

7. Батищева Я. Г. «К выводу уравнений динамики твердого тела в газе, реагирующем с ним неоднородно по поверхности». Препринт ИПМ РАН №18,2003.

8. Батищева Я. Г. «Динамика твердого тела в газе, сорбирующемся на его поверхности». Препринт ИПМ РАН №69, 2003.

9. Батищева Я. Г. К выводу уравнений динамики твердого тела в газе, реагирующем с ним неоднородно по поверхности // ДАН, 2003, т.392, №5, с. 631-633.

10. Белецкий В. В., Яншин А. М., Влияние аэродинамических сил на вращательное движение спутников, Kneej Наукова думка, 1984.

11. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М. Едиториал УРСС, 2003.

12. Больцман JL, Избранные труды, М., "Наука", 1967.

13. Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твердого тела. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

14. Веденяпин В. В., Кинетические уравнения Больцмана и Власова. М.: Физматлит2001.

15. Веденяпин В.В., Батищева Я.Г., Мелихов И.В, Горбачевский А.Я. О движении твердых тел в химически активной среде. // Тезисы XII международной конференции ВМСППС, Владимир. М.: Изд-во МАИ, 2003, с.142-143.

16. Веденяпин В.В., Батищева Я.Г., Мелихов И.В., Горбачевский А.Я., О движении твердого тела в газе с неоднородными поверхностными химическими процессами // Мат.моделирование, т. 15, №6, 2003г, стр. 610.

17. Веденяпин В.В., Батищева Я.Г. О движении твердого тела в газе, сорбирующемся на его поверхности // Тезисы XXVIII Академических чтений по космонавтике. Москва, 28-30 января 2004.

18. Годунов С. К., Современные проблемы линейной алгебры. Новосибирск: «Научная книга», 1997.

19. Гольдштейн Р. В., Городцов В. А. Механика сплошных сред Часть 1. -М.: Наука, Физматлит, 2000. 256 с.

20. Гудман Ф., Вахман Г. Динамика рассеяния газа поверхностью. М.: Мир, 1980,423 с.

21. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. Геометрия и топология многообразий. Т. 2. -М.: Едиториал УРСС, 2001.

22. Жигулев В. Н., Кузнецов М. М. Проблема граничных условий вкинетической теории газов. В сборнике «Молекулярная газодинамика» М., «Наука», 1982. С. 90-99.

23. Зубов В.И. Устойчивость движения. М.: «Высшая школа», 1973.

24. Коган М. НДинамика разреженных газов, М., «Наука», 1967.

25. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.

26. Козлов В.В., Об асимптотических движениях систем с диссипацией. // ПММ 1994. Т. 58, Вып. 5. С. 31-36.

27. Курант. Р. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1964. 830 с.

28. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003.

29. Ландау Л.Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. В 10 т. Т VIЩ

30. Гидродинамика. -М. ФИЗМАТЛИТ, 2001.щ 35. Ландау Л.Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. В 10 т. Т VI

31. Физическая кинетика. -М. ФИЗМАТЛИТ, 2001.

32. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналическое решение граничных задач кинетической теории. М.:МГОУ. 2004.

33. Лихтенберг А., Либерман М., Регулярная и стохастическая динамика. Пер. с англ.-М.: Мир, 1984.

34. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движений. -М.; Л.: Гостехиздат, 1950. 471 с.

35. Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. М., «Мир», 1974.

36. Маркеев А.П., Теоретическая механика. Ижевск: НИЦ "РХД", 1999

37. Мелихов И.В., Веденяпин В.В., Батищева Я.Г., Горбачевский А.Я.

38. О влиянии топохимических процессов на движение твердых частиц в газе. //Тезисы международной школы-семинара «Нелинейные процессы в дизайне материалов». Вестник ВГТУ. Сер. Материаловедение Воронеж, 2002, с. 68-69.

39. Мелихов И. В., Симонов Е. Ф., Божевольнов В. Е. Закономерности• движения твердых тел при топохимических реакциях. // Ж. Физ. Химии.1998 т. 72, № 12 2307-2314.

40. Мелихов И. В., Симонов Е. Ф., Ведерников А. А., Бердоносов С. С., Божевольнов В. Е., «Хемореактивное движение твердых тел», Рус. Хим . Журнал, 1997, т 41, №3, с. 5 16.

41. Мелихов И. В., Симонов Е. Ф., Ведерников А. А., Хемореактивное движение частиц катализатора в газовой среде при гетерогенном катализе // Ж. Физ. Хим., 1998, т 72, №12, с. 2300 2306.

42. Нейштадт А. И. Об эволюции вращеня твердого тела под действием суммы постоянного и диссипативного возмущающих моментов // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1980. №6 С. 30-36.

43. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. -М.; Л.: ОГИЗ, 1947.

44. Пярнпуу А. А., Взаимодействие газов с поверхностями, М., "Наука", 1974.

45. Пярнпуу А.А., Шидловский В.П. Граничные условия на твердой поверхности в потоке разреженного газа. В сборнике «Молекулярная газодинамика» М., «Наука», 1982. С. 99-107.

46. Румянцев В.В. Две задачи о стабилизации движения.// МТТ, 1975, № 5. С. 5-12.

47. Трещев Д.В. Введение в теорию возмущений гамильтоновых систем. М.: ФАЗИС, 1998.

48. Хаппель Дж., Бренер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнолъдса. М.: Мир, 1976.

49. Черчиньяни К., Теория и приложение уравнения Болъцмана, М., "Мир", 1978.

50. Bruno D. et al. Gas-surface scattering models for particle fluid dynamics: a comparison between analytical approximate models and molecular dynamics calculations // Chemical Physics Letters, 320 (2000), pp. 245-254.

51. Harrison I. K., Swinerd G. G. Analisis of satellite laser ranging data to inverstigate satellite aerodynamics. //Planet. Space Sci., Vol. 43. No 8, pp. 1023-1033,1995.

52. Maxwell J. C. On Stresses in Ratified Gases arising from Inequalities of Temperature. //Philosophical transactions. 1879. Vol. 170. P. 231-256.

53. Maxwell J. C. Illustration of the Dynamical Theory of Gases. // Philosophical Magazine. 1860. Vol. 1. P. 377-409.

54. Neishtadt A.I., Scheeres D J., Sidorenko V.V. and A.A. Vasiliev, Evolution of Comet Nucleus Rotation. Icarus 157,205-218 (2002)

55. Neishtadt A.I., Scheeres D.J., Sidorenko V.V. and A.A. Vasiliev, Evolution of Comet Nucleus Rotation, Препринт № 12 ИПМ PAH, 23 c., 2001 r.

56. Vedenyapin V.V., Batisheva J.G., Melichov I.V., Gorbatchevski A.Ya., // Thes. of V international congress on mathematical modeling VICMM 2002, Dubna, Moscow Reg., Russia.

57. Willneff J., Maas H.-G., Design and calibration of four-headed camera system for use in microgravity research, IAPRS, Vol. XXXIII, Amsterdam, 2000.

58. Ytrehus Т., Ostmo S. Kinetic theory approach to interphase processes // Int. J. Multiphase Flow, Vol. 22, № 1, pp. 133-155,1996.

59. Веденяпин В.В., Батищева Я.Г. О движении твердого тела в газе, сорбирующемся на его поверхности // Труды XXVIII академических чтениях по космонавтике. Москва, январь 2004 г. М.: Война и мир, 2004. С. 112-113.

60. Веденяпин В.В., Горбачевский А.Я., Мелихов И.В., Батищева Я.Г. Моделирование движения в газе твердых тел с неоднородными химическими процессами ./ Сб. статей. «Современные проблемы механики и физики космоса». М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. С. 219-228.