О гладкости решений линейных и квазилинейных эллиптических уравнений 2-го порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

§1.1 О модуле непрерывности гармонических функций в регулярных граничных точках

§ 1.2 0 гладкости решений эллиптических уравнений 2-го порядка в замкнутых областях.

§ 1.3 0 гладкости решений дивергентных уравнений с разрывными коэффициентами.

§ 1.4 0 поведении решений эллиптических уравнений, с произвольно.ограниченными коэффициентами

ГЛАВА П. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

§ 2.1 Гладкость решений квазилинейных уравне-. ний в регулярных граничных точках.

§ 2.2 Об устранимой особенности решений квазилинейных .эллиптических уравнений.2-го порядка.

Рассмотрим в ограниченной области ® , лежащей в ГЬ -мерном ( П> 2) евклидовом пространстве R точек эллиптическое уравнение

LU= £ aLK(X)UXlXK + X b'L(х)UXi + coou-o (I)

L,K-1 в предложении, что матрица ЦЩлМЦ равномерно положительно определена, т.е. г2 г г „ I (2)

L.K-1 где c[ и уЗ положительные постоянные.

Хорошо известно, что если L - оператор Лапласа, а точка границы dJO области «Й регулярна по Винеру, то обобщенное решение задачи Дирихле в смысле Винера

LUf-0 в A- uf/dZ)=f

3) непрерывно в X , если -f- - непрерывная граничная функция ([1].[2]).

Как показано в [3] этот же результат справедлив и для решении дивергентных уравнений вида п д

Д,

4) если только матрица Цй[к (X) | удовлетворяет условию (2).

Что же касается вопроса о гладкости решений уравнения (4) в регулярных граничных точках, то в [4] впервые получена оценка модуля непрерывности решения вблизи границы и, в частности, приведено достаточное условие гельдеровости решения.

Впоследствии аналогичная оценка была получена и для решений уравнений вида (I) с разрывными коэффициентами в терминах так называемой 3 - емкости [б] .

При этом относительно младших коэффициентов уравнения предполагалось, что

5) где "о - положительная константа.

Для уравнений вида (I) с непрерывными по Дини коэффициентами O-Lk W обсуждаемый факт был получен в терминах винеров-ской емкости в работе [б] . При этом во всех случаях скорость стремления к своему значению в регулярной граничной точке решения задачи (3) определялась скоростью расходимости ряда Винера (или ряда типа Винера) и модулем непрерывности граничной функции f . Из полученных результатов невозможно было получить большую, чем гельдеровскую^гладкость с показателем гель-дера 0 < о( < 1 .

Однако, известно, что если граничная точка устроена так, что в ее окрестности дополнение области имеет большой объем (по сравнению с шаром), то решение эллиптического уравнения в этой точке к своему граничному значению может стремиться как угодно быстро. Возможность такого случая отмечена в работе [?], для дивергентных уравнений (см.также [7'] ). В частности, из теоремы этой работы следует, что лучшей характеристикой исследования модуля непрерывности в граничных точках в некоторых конкретных случаях может быть не емкость дополнения окрестности граничной точки, а некоторая другая мера (в частности, мера Лебега) внутренней части окрестности исследуемой точки.

В настоящей диссертации исследуется граничная гладкость решения задачи (3) для линейных и квазилинейных эллиптических уравнений недивергентного вида. При этом, как и в большинстве предшествующих работ, предполагается, что в окрестности исследуемой точки.

В первой главе рассматриваются линейные уравнения вида (I), выделяются классы областей & , в которых решение принадлехо жит множеству Н^б (Я) . Показано, что для любого 5>0 на&. дется область t) такая, что решение задачи (3) стремится к нулю при X—> Х° как , т.е. решение U(X) f вообще говоря, может обладать в х°€д2) гладкостью заданного порядка.

В § I.I доказательство проводится для уравнения Лапласа. При этом полученный результат оказывается новым даже в этом случае.

В § 1.2 этот результат переносится на уравнение вида (I) с непрерывными по Дини старшими коэффициентами. При этом методика доказательства в данном случае основана на построенных суб- и супер- решениях рассматриваемых уравнений с полярной особенностью порядка /х-и\ (см.[8]).

В § 1.3 изучаются уравнения дивергентного вида (4) с разрывными коэффициентами в терминах винеровской емкости.

В этом же параграфе установлена связь между ростом решения и геометрией неограниченных областей, на границе которых решения дивергентных уравнений обращаются в нуль. Эта теорема представляет собой новый результат даже для уравнения Лапласа.

Доказана новая теорема типа Фрагмена-Линделефа.

В § 1.4 рассматриваются уравнения вида (I) с произвольными ограниченными коэффициентами в терминах, так называемой, 3 -емкости (см.[5]).

Во второй главе рассматриваются квазилинейные уравнения.

В § 2.1 на уравнения вида переносятся результаты главы I. При этом относительно u(X,U.,7Ll) предполагается, что

ТПи=£ aLK (х) UXlXk + b(x, и, vu)=о

LS4

6) 1

I6(X,U, vu)l + /u(u)lvul2+ci; f/i(T)dT<

7) о где Ц - положительная постоянная.

В § 2.2 рассматривается уравнение вида

2U= £ aiK (х, и) UXiXk + 6(х., и, vU.)= 0.,

1,К=1

8) относительно коэффициентов которого предполагается, что выполнено условие (7) и справедливы оценки л,/Л J aiK(x,u)fL xet>, C9)

1а1к(х,и,)-аск(у,иг)1±М[/х-<Л+1игиг1], (10) где J}/, " положительные константы.

Изучается вопрос об устранимости компактов для решений уравнения (8) в классе ограниченных функций.

В этой связи отметим работы [15],[16J , в которых аналогичный вопрос изучался для линейных уравнений вида (I).

Нами показано, что если компакт имеет нулевую винеровскую емкость, то он устраним в классе ограниченных решений уравнения (8).

Отметим, что гладкостью решений эллиптических и параболических уравнений вблизи иррегулярных граничных точек занимались Михеева [12], А.И.Ибрагимов [13], Ф.И.Мамедов [14] .

В заключение выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю профессору А.А.Новрузову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

1.Wiener Nn The Dirichlet Problem.-Journ.Math,Phys., Mass. 1.st.Techn,1924, N 3,p. 127-146.

2. КЕЛДШ M.B. "О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле". УМН, 1941, № 8, с.171-292.

3. Littman W. Stampacchia G, Weinberger H.F. "Regular points for elliptic equation -with discontinuous coefficients.- Univ.of Minesota,December,1962. (русский перевод: Сб.переводов: Математика, 1965, т.9, №2, с.72-97).

4. МАЗЬЯ В.Г. О регулярности на границе решений эллиптических уравнений и конформного отображения. ДАН СССР, 1963,т.152, № 6, с.1297-1300.

5. ЛАНДИС Е.М. $ - ёмкость и ее приложения к исследованию решений эллиптического уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами. Матем.сб., 1968, 76, вып.2, с.186-213.

6. НОВРУЗОВ А.А. О модуле непрерывности решения задачи Дирихле в регулярной граничной точке. Матем.заметки, 1972, т.12, вып.1, 0.67-72.

7. НОВРУЗОВ А.А. К теории третьей краевой задачи для линейных эллиптических уравнений 2-го порядка. ДАН СССР, т.261, № 2, с.278-282.

8. НОВРУЗОВ А.А. Об одном подходе к исследованию качественных свойств решений недивергентных эллиптических уравнений второго порядка. Матем.сб., 1983, т.122 (164), с.360-387.

9. Н0ВРУ30В А.А. О суб и суперрешениях линейного эллиптического2* п.оператора с полярной особенностью порядка р . ДАН Азерб. ССР, 1970, т.26, № 10, с.21-25.

10. КРЫЛОВ Н.В. О первой краевой задаче для эллиптических уравнений. Дифференц.ур-ия, 1967, т.З, № 2, с.315-326.

11. Н0ВРУ30В А.А. О регулярности граничных точек относительно задачи Дирихле для эллиптического уравнения с непрерывными коэффициентами. Вестник МГУ, сер.матем и мех., 1971, № 6, с.18-25.

12. ИВАНОВИЧ М.Д. О характере непрерывности решений линейных эллиптических уравнений 2-го порядка. Вестник МГУ, сер.матем. и мех., 1966, № 3, с.37-47.

13. МИХЕЕВА Е.А. О поведении решения эллиптического уравнения второго порядка в окрестности нерегулярной граничной точки. Матем.сб., 1969, 80, (122):4 (12), с.503-512.

14. ИБРАГИМОВ А.И. 0 некоторых качественных свойствах решений уравнений параболического типа 2-го порядка с непрерывными коэффициентами. Дифференц.ур-ия, 1982, т.18, № 2, с.306-319.

15. МАМЕДОВ Ф.И. О гладкости решений эллиптических и параболических уравнений вблизи границы. Матер. У1 Научн.конф. аспир. вузов Азербайджана, секц. техника, 1983, с.197-200.

16. ЛАВДИС Е.М. К вопросу о единственности решений 1-ой краевой задачи для эллиптических и параболических уравнений 2-го порядка. УМН, 1978, т.33, № 3.

17. НОВРУЗОВ А.А., МАМЕДОВ И.Т. К вопросу об устранимых множествах второй и третьей краевых задач для эллиптических уравнений. ДАН Азерб.ССР, 1980, № 8, с.3-6.

18. ЛАНДКОФ Н.С. Основы современной теории потенциала. М., Наука, 1966.

19. Н0ВРУ30В А.А. О необходимом и достаточном условии регулярности граничных точек для квазилинейных эллиптических уравнений 2-го порядка. ДАН СССР, т.233, 1977, № 4,с.547-550.

20. НОВРУЗОВ А.А., КУРБАНОВ А.А. Об устранимой особенности решений квазилинейных эллиптических уравнений 2-го порядка. Изв.АН Азерб.ССР, сер.физ-техн. и матем.наук, 1981, № 4, с.55-58.

21. Н0ВРУ30В А.А., КУРБАНОВ А.А. О модуле непрерывности гармонических функций в регулярных граничных точках. ДАН Азерб. ССР, 1982, № 5, с.22-25.

22. КУРБАНОВ А.А. О гладкости решений эллиптических уравнений 2-го порядка в замкнутых областях. Деп.ВИНИТИ, № 3763-82, 18 стр.