О гомологических характеристиках неидемпотентных коммутативных банаховых алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.М.В.ЛОМОНОСОВА

ГУМЕРОВ Ренат Нельсонович

О ГОМОЛОГИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ НЕИДЕМПОТЕНТНЫХ КОММУТАТИВНЫХ БАНАХОВЫХ АЛГЕБР

01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

МОСКВА- 1992

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

доцент А.Я.Хелемский. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация - Санкт-Петербургский государственный

университет.

в 16 ч. 05 мин. на заседании Си..-авизированного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы,МГУ,механико-математический факультет,аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ / Главное здание, 14 этаж /.

Автореферат разослан пЗО" /.1992 г.

профессор Е.А.Горин;

доктор физико-математических наук,

в.н.с. Ю.С.Самойленко.

Защита диссертации состоится

1992 г.

Ученый секретарь Специализированного совета Д.053.05.04 при МГУ, доктор физико-математических наук

Т.П.Лукашенко

ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена изучению основных гомологических характеристик - групп когомологий и гомологических размерностей - некоторого класса коммутативных банаховых алгебр. Речь вдет об алгебрах, которые не совпадают с замыканием своего алгебраического квадрата. Они называются неидемпотентными. Эсобый интерес представляют результаты, касающиеся характеристик радикальных алгебр из этого класса.

Актуальность темы. Исследование гомологических характеристик алгебр и модулей является одной из главных задач гомо-тогической теории как в чистой алгебре, так и уже значительное время в теории банаховых алгебр.

Помимо самостоятельного интереса, эти характеристики играют большую роль при изучении дифференцирований, расширений и возмущений банаховых алгебр. Они тесно связаны с 5анахово-геометрическим строением модулей, а также с фундаментальными понятиями топологии и функционального анализа [l] .

Несколько слов об истории банаховой гомологии.

Важнейшие гомологические характеристики -группы когомо-тогий - были открыты в 1945 году Г.Хохшилъдом[2"] в гомологии тасто алгебраических систем.В 1962 году Г.Камовиц[з].используя банахов аналог комплекса Хохшильда, определил группы

[1] Хелемский А.Я. Гомология в банаховых и топологических алгебрах. - М.: Изд-во МГУ, 1986.

[2] ^(vckickliiL ^J. On, ike. colionu&XM tyuxyts, cj. ал, ауьойа? iiAre. сЛ^е&иъ. - CLMU> 'ШаЬк,., IT. 46, p. £2-6?.

[3] Xajrumitq Ж fiyfumoioftf дъоирл cmmutaiim- ScuiacL

когомологий банаховой алгебры А с коэффициен-

тами в банаховом А -бимодуле X и, в частности,-установил биекцию между множеством классов эквивалентности сингулярных расширений А с помощью X и элементами ^ X 3 • Эти

группы называются когомологиями Хохшильда-Камовица. Позже А.Гишарде определил группы гомологий банаховых алгебр .

Следующий этап связан с рассмотрением относительной категории банаховых модулей и широким использованием проективных резольвент и производных функторов в работах А.Я.Хелемскога [5,6 и др.З.что позволило решить многие задачи в общем виде. При этом стало ясно, что вопрос об оценке и вычислении гомологической размерности /у истоков этого понятия стоит теорема Д.Гильберта о оизигиях [7]/ имеет самостоятельный интерес.

В 1972 году Дж.Тэйлор [8*] определил гомологические характеристики локально выпуклых алгебр с целью создания аппарата

кл>и1еЬ а. ¿'котофее. е£ соксШ&р (Iел, ай^еЦке* ¿¡ь &сси1. ¡Яшл^

(б]Хелемский А»Я. О гомологической размерности нормированных модулей над банаховыми алгебрами. -Матем.сб.,1970, т.81 /123/, с.430-444. [бЗхелемский А.Я. Об одном методе вычисления и оценки глобальной гомологической размерности банаховых алгебр. - Матем. сб., 1972, т.87/129/, с.122-135. д Ы 9). иве*, ¿¿г. Ткесгие, Ль ОЫхаШгеп

ёёше^,' ШсМь. <890,1/Г36, р-

сы-оЬ &>копи>Ьы

для решения классической проблемы построения голоморфного исчисления от нескольких операторов в банаховом пространстве.

Существенное развитие .методы изучения групп когомологий банаховых алгебр,основанные на рассмотрении стандартного когомологического комплекса, получили в работах английских математиков: Б.Джонсона,Р.Кэйдисона и Дж.Рингроуза[?,10 и др."].

Сравнительно недавно появились работы, предметом исследования которых являются циклические группы когомологий банаховых алгебр /см. .например, [И~1/. Эти группы представляют собой естественный банахов аналог циклических когомологий, открытых А.Конном [12] /циклические гомологии - независтшо-появились у Б.Л.Цыгана [13]/.Когомологий Хохшильда-Камовица и циклические когомологии взаимно связаны и знание одних полезно при вычислении других.

Что касается результатов банаховой гомологии,непосредственно примыкающих к вопросам, изучаемым в данной работе,

¿в. <£, <5гкотясЛо^ Си, $сслалк'

- Ше*п. Оте*. 7Ло£к. ¿с*.., №И} №. [ю] ¿СоЛжь^^. Сокопьо1с^ 4

а&е&саб.Г. -^шье,! 170гь Щешпапл. ссЬе&и.

[13]Цыган Б.Ло Гомологии матричных алгебр Ли над кольцами и гомологии Хохпшльда. - УМН, 38 /1983/, 217-218«,

- 5 -

напомним лишь следующие. Если гомологическая размерность ком мутативной банаховой алгебры равна И-1 , то коразмерность замыкания ее алгебраического квадрата не превосходит К,[14,15 Более того, в работе 1.151 установлена связь между значениями принимаемыми указанными величинами, и наличием структуры аналитического полидиска в спектре алгебры. Среди результато о гомологических размерностях наибольшего внимания заслуживает так называемая теорема о глобальной размерности [14]. В ней утверждается, что глобальная гомологическая размерность коммутативной банаховой алгебры с бесконечным спектром болы» единицы. Как следствие, эта теорема дает отрицательный ответ на вопрос о расщепимости всех сингулярных расширений такой алгебры. Наконец, отметим, что к настоящему времени точные значения гомологических размерностей вычислены для целого ряда полуцростых банаховых алгебр: функциональных, операторных , групповых [ 1].

Дель работы. Изучение симшшциальных и циклических кого-мологий неидемпотентных коммутативных банаховых алгебр и гомологических размерностей тех из них, которые являются радикальными.

Метод исследования. В работе используются методы исследо-

[14]Хелемский А.Я. Низшие значения,принимаемые глобальной гомологической размерностью функциональных банаховых алгебр. - Труды семинара им.И.Г.Петровского,1978,т.3, с. 223 - 242.

[15]Пугач Л.И. Гомологическая размерность идеалов функциональных алгебр и аналитическая структура.- Функц. ан. и прил., 1982, т.16, вып. 3, с. 82-83.'

вания гомологических характеристик, основанные на рассмотрении комплекса Хохшильда-Камовица и стандартной проективной резольвенты.

Научная новизна» Основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Доказан геометрический признак нетривиальности симплициальных и циклических когомологий банаховых алгебр: если коразмерность топологического квадрата коммутативной банаховой алгебры равна it» , то симплициальные когомологии этой алгебры нетривиальны во всех размерностях от 0 до К/ , а циклические - во всех размерностях от 0 до И.-1 . Показано, что малая глобальная размерность не-пдемпотенткой коммутативной радикальной банаховой алгебры больше 1. Доказано,что гомологическая размерность радикальной алгебры степенных рядов с быстро убывающим весом равна бесконечности. Насколько известно, это первый пример класса радикальных банаховых алгебр, не являющихся нильпотентными в алгебраическом смысле, для которых вычислена их размерность.

Приложения. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в гомологической теории банаховых алгебр, в частности, при изучении дифференцирований и расширений алгебр.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференциях молодых ученых механико-математического факультета МГУ /1987, 1990 г./, на Международной конференции по алгебре памяти А.И.Ширшова /г.Барнаул, 1991г./.

Публикации. Основные результата диссертации опубликованы в работах,список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения,

двух глав, разбитых на 8 параграфов, списка литературы и указателей наиболее употребительных терминов и обозначений. Текст диссертации изложен на 77 страницах. Список литературы содержит 47 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор истории развития банаховой гомологии и обсуждаются основные результаты диссертации.

Глава 1. В §1 приводятся понятия и факты гомологической теории, используемые в работе. Напомним ряд определений.

Пусть А - банахова алгебра, не обязательно обладающая единицей.Категория левых банаховых А -модулей /А -бимоду-лей/ с непрерывными морфизмами обозначается А-юос(/А-пгос1- А / Запись вида ХеА-тдА означает,что X является объектом кате> гории А-тххА .Мы часто пишем " А -модуль" вместо "банахов А -модуль".

Стандартным когомологическим комплексом, или комплексом ~ Хохшильда-Камовица, для А и Х^А-тоД-А называется последова-' тельность О-СЧА^ХсЧА^А.., .

цце С (А,ХУ=Х » а дам каждого 1г> 0 через (1*4 А;Х) обозначено банахово цространство, образованное п -^линейными непрерывными операторами из А*А*...*А в X с норной II^ II =

Элементы пространства С С А,К) называются гу-мерными коцепями. Оператор Ь*': С^СА^)-»С^ЧА,Х) при 1г> 0 задается формулой «-»ы-0 +

а при И/ = 0 полагаем $°чс.(а.)ва-ос.-ос-а;аеА;хеX. . Оператор

при гъ» О называется П -мерным кограничным оператором. Легко проверяется, что Ь*' ~ 0 для любого П.^. 0.

Элементы пространств = 1т, § ^ 1 называются соответственно 1ь -мерными коциклами и кограницами.

П, -мерная когомология комплекса ЭЬд С )0 обозначается и называется К -верной группой когомологий банаховой алгебры А с коэффициентами в банаховом А - бимо-дуле X • Группы называются симшпщиаль-

ными. При этом структура Д -бшодуля в пространстве линейных непрерывных функционалов А задается формулами =<а£,Ч>> и <.а,Ч>-&> = <8о.,Ч'> .где а. А .

Дадее, хорошо известно, что имеет место изометрический изоморфизм банаховых пространств

где С. - поле комплексных чисел,который задается так: коцепи С/ХА; А*} ставится в соответствие функционал ^ из С^ЧА,^) » определяемый равенством 4>(й.0)й{7'< =

= Функционал V называется циклическим,

если ЧЧ<ЧГ-.,0-^,0,0} = С-кУЧ (о*/Ц>о^^) .Коцепь называется циклической,если соответствующий ей функционал является циклическим. Обозначим через СС^СА) замкнутое подпространство в С^С А; А^) , образованное »г -мерными циклическими коцепями / СС°(А^-Д* /• Легко убедиться, что оператор /его ограничение на ССЛ(А) будем обозначать так же/ переводит циклическую п. -мерную коцепь в циклическую Ог+'О -мерную коцепь для каждого »г» 0. Таким образом, можно говорить а комплексе циклических коцепей, являющемся

подкомплексом стандартного когомологического комплекса: Когомологии этого комплекса обозначаются

ЖС, (А) И

называются циклическими группами когомологий алгебры А

Цусть А"пи>с(. . Морфизм Ч>: Х-* V называется

допустимым, если его ядро имеет банахово дополнение в X , а образ замкнут и имеет банахово дополнение в V .

Цепнрй комплекс Хц-ч^ Х^-^^Х^* •••

составленный из А -модулей и их морфизмов,называется допустимым, если каждый морфизм , Ж , допустим. Модуль

называется проективным, если для любого допустимого. эпиморфизма 2>; V ,где X, ,

и любого морфизма Ч': Р-> V существует морфизм 'Ч''. Р—X. , такой, что 8 = ^ . •

Для Х^А~игос( комплекс над Х;0«-Х-*— называется проективной резольвентой А -модуля X .если он допустим и все А -модули , К^О, цроективны.

Длиной такой резольвенты называется наименьшее -1, такое, что Р^ = 0 при 1>П< ,или же °° , если такого (V нет.

Гомологическая размерность А -модуля X определяется как длина его самой короткой проективной резольвенты и обозначается

Глобальной размерностью алгебры А называется величина А = $ир,-^с11ъд К I X ^ . Определение малой

глобальной размерности -

Ж. А

- получается, если верхнюю грань брать лишь по конечномерным /как линейные цростран-ства/ А -модулям X . Наконец,биразмерность определяется так: ¿8А - тХк,

= 0 при всех Х^А-т-о^-А].

В §2 доказывается следующая

Лемма о свойстве кограниц. Пусть А - коммутативная банахова алгебра, X - симметричный банахов А . - бимодуль / то есть а.'Х=эоа. для всех а-еА и Ч /. Тогда для любой кограницы в ВЛ(А; К) и для любых элементов а..,, ад,..«, А справедливо равенство

21 С-0,г| а&(4„..., агск.)> = О,

&

где сумма взята по всем перестановкам ¿ множества чисел

. , , а 12>1 - обозначение для числа инверсий в

перестановке Ь .

В третьем параграфе эта лемма используется для доказательства геометрического признака нетривиальности симплн-циальных и циклических когомологий банаховых алгебр.

Напомним, что топологическим квадратом банаховой алгебры А называется замыкание ее алгебраического квадрата, то есть линейной оболочки элементов вида а £ , где А ;

он обозначается через А . Банахова алгебра называется идемпотентной, если она совпадает со своим топологическим квадратом, и неидемпотентной - в противном случае.

Теорема 1. Цусть Д, - неидемпотентная коммутативная банахова алгебра и к = Сос£йгъ ^ А . Тогда группы когомологий А,А*) , где , и ЖЧ А) , тае Иг<К, не являются тривиальными.

Следствие. Пусть А^А. Тогда существует

сингулярное расширение А с помощью А* , не являющееся расщепимым.

В дальнейшем в работе изучаются гомологические размер-

ности неидемпотентных коммутативных радикальных банаховых алгебр.Напомним, что алгебра называется радикальной, если она совпадает со своим радикалом Джекобсона.

В §4 доказана

Теорема 2. Малая глобальная гомологическая размерность неидемпотентной коммутативной радикальной банаховой алгебры К. больше единицы.

Для этого устанавливается, что »где

поле (Ц. рассматривается в качестве левоаннуляторного модуля над Я .

В §5 после некоторых напоминаний о дифференцированиях и расширениях, цриведены приложения полученной оценки.

Следствием теоремы 2 является

Теорема 3. Цусть & - неидемпотентная коммутативная радикальная банахова алгебра. Тогда:

1/ существует правоаннуляторный £ - бимодуль X , для которого X) ^ 0» что эквивалентно существованию

внешнего дифференцирования Р. со значениями в X ;

2/ существует правоаннуляторный лс - бимодуль

V » для

которого что эквивалентно существованию

сингулярного расширения Р- с помощью V ,не являющегося расщепимым.

Глава 2. Она посвящена вычислению гомологической размерности коммутативных радикальных банаховых алгебр степенных рядов

ей с быстро убывающим вёсом £о .

Как обычно, весом на множестве натуральных чисел называется последовательность положительных действительных чисел и>=(б0(»>))» , такая, что ^ оо(к)и>(гъ) для

любых гь , т.

Алгебру ^(из) можно определить как банахово пространство

4-00

П,

формальных степенных рядов над С вида 21 »где о^бС ,

р - переменная, с нормой И = ^ и

с умножением, задаваемым формулой

к=< I ' 4 I ' к-А >И-М = К J 1

Очевидно, что коразмерность топологического квадрата этой алгебры равна единице.

Вес 10 называется радикальным, если Со к (к,) —>0 при П, ->4-оо . Алгебра £?((*>) с таким весом является радикальной.

В §1 определено понятие быстро убывающего веса и указаны некоторые его свойства, которые понадобятся нам при доказательстве теоремы о гомологической размерности банаховой алгебры степенных рядов.

Вес и> называется быстро убывающим, если он удовлетворяет следующим условиям: 1/

последовательность №(к+4')/оо(уС1 монотонно стремится К нулю при К» —* 4- оо ;

В §2 введены в рассмотрение элементы иСи^к.), т., которые принадлежат модулям, участвующим в построении стандартной цроективной резольвенты банаховой алгебры А:=£(о>) /вес ¿0 здесь произвольный/ :

О --А-^1 а£А6А$А А. -

где А+- банахова алгебра, полученная из А присоединением

- 13 -

единицы е , - символ проективного тензорного произведения банаховых пространств,внешнее умножение в ...

А задается равенством а-(Е>® ос) = <х& ® ас , а. е. А , ВеА+; '2С-е А^ .. А , а морфизмы dl^ , -1, --формулами dL< С ß ®аЛ — ßou , ol^C^®^- -в tv^ О /(tv + 2) экземпляра А /,

Элементы U4m,,tv) определяются следующим образом:

1ГСт,пЛ е. в> Lpn'+'t]m7 е © Lpru"1]m_2,® р^е р"-

m+tc к-и, 2.П.+-2. _ П.Ы-, „ ^ ^ и,

•l-HrLp^l^öpöpV

где l p^"1]^ - обозначение для m- -ой тензорной степени рп+< / полагаем также V^fO» е©р1г4'',_ р© р^ 0/(2.^} =

е ® Lp^^a е ® р™ ® р ® р ^ /.

Леша. Для любых т. , ю-вМ .элемент .

В §3 доказывается

Теорема 4. Гомологическая размерность радикальной банаховой алгебры

R- IXuS) с быстро убывающим весом равна

бесконечности.

Мы показываем, что для такой алгебры задача ретракции для модуля Y&fv d ® данным морфизмом

R. -» K^Ä.oim.-^ решается отрицательно при

любом tne^ • с этой целью, предположив существование морфизма' R -модулей д , цравого обратного к dm.-^ , нами изучается действие § на элементы V(m.;K.) , rt€ . Это позволяет оценить снизу норму морфизма g и заключить, что он не может быть ограниченным / = непрерывным /. Таким обра- 14 -

iom, R -модуль не является проективным ни при

яком т&А^ . В свою очередь,этот факт эквивалентен утверждению теоремы 4.

Следствие. c/s£= <*>•

Что касается групп когомологий, то из теоремы 4 вытекает

Теорема 5. Для любого И> 0 существует правоаннулдторный ¡анахов гс -бимодуль А ^ такой, что гъ J ^ 0.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему гаучному руководителю А.Я.Хелемскому за предложенную тему и юстоянное внимание к работе.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Гумеров Р.Н. Гомологическая размерность радикальных алгебр типа Берлинга с быстро убывающим весом.-В сб.: Экстремальные задачи,функциональный анализ и их приложения. - М.: Изд-во МГУ, 1988, с.63-64.

2. Гумеров Р.Н. Гомологическая размерность радикальных алгебр типа Берлинга с быстро убывающим весом. -Вестник МГУ. Сер. матем., мех., 1988, № 5, с.18-22.

3. Гумеров Р.Н. Об одном геометрическом признаке нетривиальности симплициальных и циклических когомологий банаховых алгебр. - Вестник МГУ. Сер. матем., мех., 1991, № 3, с.67-69.