О корректной постановке задачи рассеяния упругим клином тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

КАМОЦКИЙ ВЛАДИМИР ВЛАДИМИРОВИЧ

О КОРРЕКТНОЙ ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ УПРУГИМ КЛИНОМ

01.01.03- математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

л I

Г

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2003

Работа выполнена в лаборатории математических проблем геофизики Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А.Стеклова РАН.

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

Доктор физико-математических наук, профессор Бабич В.М. Доктор физико-математических наук, профессор Коузов Д.П. Доктор физико-математических наук, профессор Лукьянов В.Д С.-Петербургский государственный университет

Защита состоится <Ъе/<а£р>& 2003 года в час. на заседании диссертационного совета Д 002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении ¡Математического института им. В.А. Стеклова РАН по адресу 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки 27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан " А'"

003 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук

Зайцев А.Ю.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. История задач о рассеянии угловыми областями имеет своим началом труды А. Пуанкаре, опубликованные в конце 19 века. В этих работах впервые была рассмотрена стационарная акустическая задача дифракции на клине с условиями Дирихле и Неймана.

Вскоре А. Зоммерфельдом было получено решение задачи о дифракции плоской электромагнитной волны на экране, с идеальными граничными условиями . Найденное им интегральное представление для решения задачи носит его имя- "интеграл Зоммерфельда".

В 1932 В.И. Смирновым и C.JI. Соболевым был предложен новый аналитический метод решения двумерных нестационарных задач дифракции. С его помощью было найдено решение задачи о рассеянии на клине с идеальными граничными условиями акустического поля точечного источника*М.М. Фридман и А.Ф. Филиппов применили этот подход для решения задачи дифракции упругой волны на трещине. Решение этой задачи в стационарной постановке было найдено А. Мауэ с помощью метода Винера-Хопфа.

В середине 50-ых годов прошлого века Г.Д. Малюжинец нашел решение задачи о рассеянии акустической плоской волны клином с импедансными граничными условиями. Представляя решение в виде интегралов Зоммерфельда, он свел задачу к разностным уравнениям для аналитических функций вида F(z±a) = R±(z)F(—z±a), где F неизвестная мероморфная функция, R* = (— sin 2—а±)/(sin z— Ь±), а а± и Ь^ известные константы.

На протяжении 60-ых и 70-ых годов были найдены решения в нескольких вырожденных случаях: так скользко-твердый упругий клин (нулевые касательные напряжения и нормальное смещение) был рассмотрен Б.В. Костровым;

з

случай упругого клина со смешанными граничными условиями- В.Б. Поручиковым.

Итак, по сей день, аналитическое решение задачи о рассеянии плоской упругой волны на клине с нулевыми нормальными напряжениями найдено лишь для трещины, т.е. клина с углом раствора 360° ([1]), [2],[3] и [4]) , а также в ряде вырожденных случаев, таких, как симметричное падение поперечной волны на клин с раствором 90°, когда решение есть сумма плоских волн, т.е. волна, рассеянная вершиной, отсутствует.

Начиная с середины 80-ых было разработано несколько подходов к численному решению задачи об упругом угле1. Так А. Гаутезен рассматривал задачу о рассеянии волны Рэлея в работах [5]- [9]. Эту же задачу численно рассматривали К. Фуджи [10] и Б.В. Будаев и Д. Боджи [11]-[15]. Автором вместе с В.М. Бабичем, В.А. Боровиковым, Л. Фрадкин и Б.А. Самокишем был пересмотрен подход Будаева, основанный на представлении решения в виде интегралов Зоммерфельда: в работах [16]—[18] был предложен альтернативный метод решения выведенных Будаевым сингулярных интегральных уравнений и вычисления рассеянного поля для случаев падения как волны Рэлея так и объемных волн. Перечисленные подходы имеют как недостатки, так и достоинства, в число которых входит их вычислительная надежность: почти все численные результаты, приведенные в этих работах, хорошо между собой согласуются (см. сравнение в [18]).

Во всех упомянутых работах на первое место выходила вычислительная сторона задачи, в то время как вопрос корректной постановки задачи,- теоремы существования и единственности,- оставался в стороне.

1Всюду далее выражение "упругий угол" (клин) подразумевает угол с нулевыми нормальными напряжениями.

4

'«¿'У**.-'

В середине 90-ых годов Ж. Лебо ([19],[20])разработал оригинальный подход к решению задач этого рода- метод спектральных функций- способ исследования задач рассеяния в "угловых областях", никак не опирающийся на разделение переменных и позволяющий обосновывать принцип предельного поглощения. В частности, с помощью этого метода была рассмотрена задача об упругом клине, погруженном в жидкость: в работе [20] был сделан первый значительный шаг к корректной постановке в задачах этого типа: в ситуации общего положения было доказано существование решения задачи о падении плоской волны в виде потенциала простого слоя.

С помощью этого же метода в совместной с Лебо работе автора [21] была рассмотрена задача об упругом клине с гранями, свободными от напряжений. В этой работе было доказано как существование решения задачи о падении плоской волны, так и его единственность в классе функций, удовлетворяющих условиям излучения, сформулированных в [21].

В обеих работах ([20] и [21]) не рассматривался случай критического падения,- т.е. ситуация, при которой возникает плоская волна, распространяющаяся вдоль одной из сторон угла к его вершине. Автором в работе [22] был заполнен этот пробел: было доказано существование и единственность решения также и в этом случае. Использованный новый подход тесно связан с методом спектральных функций и состоятелен не только для критического падения, но и в общем случае.

Основные результаты работы. В работе рассматриваются следующие вопросы:

• Построение теории спектральных функций упругого клина, доказательство центральной для подхода теоремы об изоморфизме;

5

• Доказательство существования решения задачи о падении плоской волны на упругий клин в естественной с физической точки зрения постановке

• Доказательство существования тензора Грина для упругого клина, удовлетворяющего принципу предельного поглощения;

• Формулировка условий излучения для задач рассеяния на упругом клине с нулевыми нормальными напряжениями на границе;

• Доказательство теоремы единственности для задач рассеяния на упругом клине с условиями излучения;

• Доказательство отсутствия собственных функций из L2 у оператора Ламе в клине с условием нулевых нормальных напряжений на границе;

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть полезны специалистам Санкт-Петербургского государственного университета, Московского государственного университета, Новосибирского государственного университета, Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук и Санкт-Петербургского отделения Математического института Российской академии наук. Результаты могут быть использованы при чтении спецкурсов и семинаров по математической физике.

Апробация работы. Результаты диссертационного исследования докладывались на Международной конференции День Дифракции (Санкт-Петербург 2002), научных семинарах в Ecole Polytechnique (Париж, 2002), ПОМИ РАН и ИПМАШ РАН (Санкт-Петербург 2002, 2003).

б

Публикации. По теме диссертации автором опубликованы две работы [21], [22].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 16 параграфов, и списка литературы. Текст диссертации изложен на 71 странице машинописного текста. Список литературы состоит из 37 названий.

Содержание работы

Диссертация построена следующим образом: в первой главе вводятся все основные обозначения и формулировки полученных результатов.

Во второй главе излагается метод спектральных функций в применении к задаче об упругом клине. В клине О = {(?, в) : г > 0, в € (0, </?)} произвольного угла раствора <р е (0,27г) рассматривается задача

г (£+1)17 = 0 в а

\ Ву = / на да, 1 }

здесь Е — /хД+ (А+Ус1гу- безразмерный оператор Ламе, а безразмерный оператор нормальных напряжений есть Ву = (А<Ду(; + 2де(и))п, здесь е- тензор деформации, а п- внутренняя нормаль. Предполагается выполненным равенство А + 2/х = 1, т.е. координаты растянуты таким образом, что скорость продольной волны равна 1. Используются обозначения: и^ = 1, ит — сь/ст, = с^/сд, где сь, с-т, стг скорости продольной, поперечной и рэлеевской волн соответственно.

Демонстрируется, что если и /2- сужения / на стороны угла Гх и Гг~ удовлетворяет некоторым ограничениям аналитического характера, то существует решение (5), удовлетворяющее принципу предельного поглощения и условию Мейкснера. Точнее, V ищется в виде суммы двух

7

потенциалов "простого слоя", соответствующих сторонам угла; т.е. в виде

у = уг + щ, (1)

где и г>2~ потенциалы, определенные во всем М2 и удовлетворяющие следующей системе:

(Е + l)Vj =

, j = 1,2. (2)

Здесь 5j- мера на Г^, определенная для произвольной ф G C^°(R2) с помощью равенства

оо

(5у,ф) = J xp(xj,0)dx:l, (3)

о

(xj,yj)~ декартовы координаты, такие, что стороны Tj = {(xj,Vj) ■ Xj > 0,у3 = ()}, a ctj,(3j- неизвестные плотности, которые ищутся в специальном функциональном классе

Л:

Определение 1. Распределение д принадлежит классу Л, если д € S'(R),supp р С R+ и если преобразование Фурье

Ш = f е**д(х) dx (4)

Jn

удовлетворяет следующим требованиям

гоо

ЭСо>0 : sup / \g(peie)\2 dp < оо, (5)

-7r<e<o J Со

7j голоморфна в окрестностях точек vt, vl, и ur{6)

Также используется обозначение Л для класса преобразований Фурье распределений из Л.

Результаты о локальной регулярности решений систем вида (S), полученные в [20], позволяют дать корректное определение:

Определение 2. Уходящим решением задачи (5) называется решение в виде уходящего потенциала простого слоя, то есть допускающее следующее представление:

V = Vi +v2,

где

v,

limuf, »n j

е-Ю

Vе = -(Е + e~2iE)~~l

«i Pi

Л

(7)

(8) (9)

и а^Рз еЛ, ] = 1,2.

Далее выводится интегральное представление потенциалов через преобразования Фурье функций ау,/?,— спектральные функции Е,- = (а^-,/^)', ] = 1,2:

V ^_Г Г>

Го

*=L,T

(10)

здесь Г0- контур, идущий вдоль вещественной оси и обходящий —и —ит снизу, a Ul и и?- сверху, £*(0~ ветвь £2 с неотрицательной мнимой частью при ве-

Ф

Ър-2íe _

гее

щественных а матрицы имеют следующий вид:

iL * А _ /£(£)

Щ

мет =

-Ч

(НО

(11)

Используя представление (10), формулируется эквивалентная (5) интегральная система

£>М%(0 + ТМ° £2(0 =

(12)

неизвестными в которой являются аналитичные в нижней полуплоскости спектральные функции, а в правой части

9

стоят = 3 = 1,2. Операторы БМе и ТМ£ при

е € [0,7г) определены для функций из Л2 равенствами

ВМе(д)(0=/ (13)

•'Го

ТМе(д)(0= [ ТМе(е,СЖС)^С. (14)

•/Го

Ядра этих операторов имеют следующий вид:

С) = (15)

ТМЧе С) = —Т ^^.¿впшпу)

¿Д. * - (С«»?+1 ян У|с:(0)1 ;

2x2 матрицы йт и не имеют полюсов и выписываются в явном виде. Исследуются свойства этих операторов, при е > 0 устанавливается их ограниченность в Н+- пространстве голоморфных в нижней полуплоскости С_ = {г : 1т г < 0} функций к, таких, что

вир / |Л,(ж — гс)\2йх < со. (17)

оо 3 к

Доказывается центральная для метода спектральных функций теорема "об изоморфизме", утверждающая, что при £ € (0,7г) оператор

£ - V тмс вы* ) (18)

есть изоморфизм пространства (Н+)2®(Н+)2 на само себя. Из этого результата выводится разрешимость системы (12) при условии дополнительной регулярности правой части:

Теорема 1. Пусть IV = (И^И^)- функция, удовлетворяющая следующим требованиям:

10

(1) И^ £ А* и обладает аналитическим продолжением в область Св_ — {г : Е (—7г, ¿)} с некото-

рым, сколь угодно малым 5 > О, (и) для любого е € (0,5) У/е 6 (Я+)4, где ]¥£(г) = IV (е* г),

тогда существуют Е,- € Д 7 = 1,2, удовлетворяющие системе (12).

Далее, рассматривается задача о падении плоской объемной волны Vх™, * = Ь,Т- продольной либо поперечной: Г (£7+1)« = 0 в П, , .

\ Ви = -Вь™ на Г. ^

Используя аналитические свойства операторов ИМ0 и ТМ° в невырожденном случае (см. ниже) удается свести эту задачу к теореме 1 и получить следующий результат:

Теорема 2. В допущении справедливости гипотезы невырожденности (Н)- т.е. если в задаче не возникает скользящая к вершине вдоль одной из сторон клина объемная волна- существует уходящее решение задачи (£>*). Спектральная функция, соответствующая этому решению, (т.е. преобразование Фурье плотности соответствующего потенциала) имеет следующий вид:

= + .7 = 1,2, (19)

где yj есть суммы простых полюсов, соответствующих (многократно) отраженным плоским волнам, и находятся явно, а аполитичные в С \ (—оо, —1] функции X) таковы, что их граничные значения Xj(^ — i(i), ^ €1 анали-тичны при £ ф {—ив] и С*, где —иц - простой полюс, соответствующий волне Рэлея, а С-7 С [—— ^ь] ~ наборы точек ветвления, соответствующих головным волнам и их отражениям. Во всех € & спектральная функция имеет особенность типа квадратного корня.

11

Замечание. На основе построений главы 2 может быть разработан эффективный численный алгоритм для расчета диаграмм направленности рассеянного поля.

В третьей главе, используя ту же технику, доказывается существование тензора Грина для упругого клина, удовлетворяющего принципу предельного поглощения. Вычисляется его асимптотика на бесконечности при фиксированном положении источника: показано, что дальнее поле рассеянной волны состоит из двух сферических волн (продольной и поперечной), двух рэлеевских волн, уходящих на бесконечность вдоль граней клина и более слабых головных волн. Эти результаты позволяют в четвертой главе сформулировать условия излучения и доказать теорему единственности. В этой теореме используется покрытие дуги дпП = {г = я,ее (0,¥>)}:

длП = д$Пид$1)Пид%'2)П, (20)

где первая компонента- внутренняя часть:

= :/Г1+€ <в<<р-Я-1+£}, (21)

а две другие- части, близкие к граням Г,:

д%Л)П = {(Я, в) : 0 < в < 2Д"1+е}, (22)

4>2)П = {{Я, в) : 0 < <р - в < 27Г1+е}. (23) Здесь б е (0,1). Имеет место

Теорема 3. Пусть V е #/ос(Г2) П С°°(П\ {0}) удовлетворяет однородной системе Ламе в клине О, и условию отсутствия нормальных напряжений на Г:

Г (^ + 1)и = ОвО, ,

\ Ву = 0 на Г. К

12

Пусть более того для некоторого е £ (0,1) у удовлетворяет при Л —> оо ограничениям роста:

и:

'аг

внутренним условиям излучения

2

I I

тГ +

дьТ

дг

1иту +

дув

дг

О,

Я2

и поверхностным условиям излучения

I

%уну +

ду

дх5

О, 3 = 1,2,

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

тогда у = 0.

В этой теореме уг и Vе~ координаты поля смещений в базисе канонических координатных векторных полей (дг, дв).

Замечание. Сформулированные условия излучения, возможно с небольшой модификацией, должны быть применимы при рассмотрении задач дифракции теории упругости в областях более общего вида- с асимптотически угловыми выходами на бесконечность.

Глава завершается доказательством единственности в Ь2(Г2), т.е. доказательством отсутствия собственных функций из Ь2 у оператора Ламе в клине с условием нулевых нормальных напряжений.

В последней главе представляется метод исследования задачи о падении плоской волны, позволяющий устанавливать существование решения и в случае критического падения. Априори выделяются все отраженные плоские волны а также компоненты, заклеивающие скачки поля на границах тени и света. Задача для оставшейся компоненты разбивается на две: задачу "на бесконечности" и "локальную" задачу. Доказательство существования решения первой проводится с помощью техники спектральных функций, а второй- с помощью построенного в третьей главе тензора Грина. Доказывается, что имеет место

Теорема 4. Для любой падающей объемной плоской волны и^гпс\ кроме скользящих вдоль одной из сторон угла к вершине, существует и единственно решение задачи

удовлетворяющее условию Мейкснера и е Я/ос(Г2) и имеющее представление

в котором первое слагаемое находится явно и включает в себя все присутствующие в задаче отраженные плоские волны, а последнее удовлетворяет ограничениям роста и условиям излучения.

' ' СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Фридман, М. М. Диффракция плоской упругой волны относительно полубесконечной прямолинейной жестко закрепленной щели. Доклады АН СССР, 60(7), 1948.

[2] Фридман, М. М. Диффракция плоской упругой волны относительно полубесконечного прямолинейного разреза, свободного от напряжений. Доклады АН СССР, 66(1), 1949.

14

(Я + 1)и = 0 вП, 2?и|г = -Ви^пс) на дй.

(32)

и = и1 + и2,

(33)

[3] Филлипов, А. Ф. Трехмерная задача диффракции упругой волны на остром ребре. Ж. Прикл. Мат. и Мех., 23:989-996, 1959.

[4] Майе, A. W . Die Bendung elastischer Wellen an der Halbebene. Z. angew. Math, und Mech., 1/2:1-10, 1953.

[5] Gautesen, A. K. Scattering of Rayleigh wave by an elastic quarter space. J. Appl. Mech., 52:664-668, 1985.

[6] Gautesen, A. K. Scattering of an obliquely incident Rayleigh wave by ал elastic quarter space. Wave Motion, 8:27-41, 1986.

[7] Gautesen, A. K. Scattering of a Rayleigh wave by an elastic quarter space - revisted. Wave Motion, 35:91-98, 2002.

[8] Gautesen, A. K. Scattering of a Rayleigh wave by an elastic three-quarter space. Wave Motion, 35:99-106, 2002.

[9] Gautesen, A. K. Scattering of a Rayleigh wave by an elastic wedge whose angle is greater than 180 degrees. J. Appl. Mech., 68:476-479, 2001.

[10] Fujii, K. Rayleigh-wave scattering of various wedge corners: Investigation in the wider range of wedge angles. Bull. Seismol. Soc. Am., 84(6):1916-1924, 1994.

[11] Budaev, B.V. Diffraction by Wedges. Longman Scientific & Technical, Harlow, 1995.

[12] Budaev, B.V. and Bogy, D.B. Rayleigh wave scattering by a wedge. Wave Motion, 22:239-257, 1995.

[13] Budaev, B.V. and Bogy, D.B. Rayleigh wave scattering by a wedge II. Wave Motion, 24:307-314, 1996.

[14] Budaev, B.V. and Bogy, D.B. Rayleigh wave scattering by two adhering elastic wedges. Proc. Roy. Soc. bond. A, 454:2949-2996,

1998.

[15] Budaev, B.V. and Bogy, D.B. Rigorous solutions of acoustic wave diffraction by penetrable wedges. J. Acoust. Soc. Am, 105:74-83,

1999.

[16] Babich V.M., V.A. Borovikov, Fradkin L.Ju., Gridin D., Kamotski j V.V. and Smyshlyaev V.R Diffraction coefficients for tilted surface-

braking cracks. In Proc. IUTAM Symposium, number 10, pages 321337, 2000.

i [17] Kamotski V.V., Babich V.M., Borovikov V.A. and Fradkin L.Ju.

On Budaev and Bogy's approach to diffraction by a 2D traction-free elastic wedge: Theoretical aspects. Proc. R. Soc. bond. A, 2003. to appear.

[18] Kamotski V.V., Babich V.M., Borovikov V.A., Fradkin L.Ju. and Samokish B.A. On Budaev and Bogy's approach to diffraction by a 2D traction-free elastic wedge: Numerical aspects. Proc. R. Soc. bond. A, 2003. to appear.

[19] P. Gerard and G. Lebeau. Diffusion d'une onde par un coin. J. of the A.M.S., 6(2):341-423, 1993.

[20] J.-P. Croisille and G. Lebeau. Diffraction by an immersed elastic wedge, volume 1723 of Lecture notes in mathematics. Springer, 1999.

[21] Kamotski, V. Lebeau, G. Diffraction by an elastic wedge with stress-free boundary: existence and uniqueness. Препринт ПОМИ 08/2003, Proc. R. Soc. bond. A, 2003. to appear.

[22] Камоцкий В.В. О падении плоской волны на упругий клин под критическим углом. Алгебра и Анализ, 15(3):145-169, 2003.

Отпечатано в ООО «АкадемПринт» С-Пб у л Миллионная, 19 Тел 315-11-45 Подписано в печать 24 10 03 Тираж 100 экз

17852

Введение

1 Обозначения и результаты

1.1 Обозначения и основные уравнения.

1.2 Уходящие решения

1.3 Полученные реззцютаты и структура работы.

2 Метод спектральных функций

2.1 Интегральная система, спектральная функция.

2.2 Свойства интегральных операторов и операторов сдвига.

2.3 Теорема об изоморфизме.

2.4 Существование решения задачи о падении плоской волны, невырожденный случай.

2.5 Асимптотика в дальнем поле.

3 Тензор Грина

3.1 Тензор Грина свободного пространства.

3.2 Существование тензора Грина для упругого клина.

3.3 Асимптотика тензора Грина.

4 Теорема единственности для упругого клина

4.1 Условия излучения

4.2 Единственность в Ь2.

5 Задача о падении плоской волны под критическим углом

5.1 Отраженные волны.

5.2 Задача на бесконечности.

5.3 Локальная задача.

Исторический обзор

История задач о рассеянии угловыми областями имеет своим началом работы Пуанкаре [1], [2], опубликованные в конце 19 века. В этих работах с помощью метода рядов впервые была рассмотрена стационарная акустическая задача дифракции на клине с условиями Дирихле и Неймана.

Вскоре Зоммерфельдом было получено решение задачи о дифракции плоской электромагнитной волны на экране, с идеальными граничными условиями (см. [3]). Найденное им интегральное представление для решения задачи носит его имя- "интеграл Зоммерфельда".

В 1932 В. И. Смирновым и JI. С. Соболевым (см. [4]) был предложен новый аналитический метод решения двумерных нестационарных задач дифракции. С его помощью было найдено решение задачи о рассеянии на клине с идеальными граничными условиями акустического поля с точечным источником. Детальное изложение этого метода и его приложение к задаче об акустическом угле можно найти в написанной Соболевым гл. 12 [5]. М. М. Фридман [6],[7] и А. Ф. Филиппов [8] применили этот подход для решения задачи дифракции упругой волны на трещине. Решение этой задачи в стационарной постановке было найдено Мауэ [9] с помощью метода Винера-Хопфа.

В середине 50'ых годов прошлого века Г. Д. Малюжинец [10]-[11] нашел решение задачи о рассеянии акустической плоской волны клином с импедансными граничными условиями. Используя представление решения в виде интегралов Зоммерфельда, он свел задачу к разностным уравнениям для аналитических функций вида

F(z±a) = R±(z)F(-z±a), (0.0.1) где F неизвестная мероморфная функция, R* = (—sinz — a±)/(sin2 — Ь±), a а* и b± известные константы. Подробное изложение метода Малюжинца можно найти в [12]. Независимо решение этой же задачи было найдено Вильямсом [13].

На протяжении 60-ых и 70-ых годов были найдены решения в нескольких вырожденных случаях: так скользко-твердый упругий клин (нулевые касательные напряжения и нормальное смещение) был рассмотрен Б. В. Костровым (см. [14]); упругий клин со смешанными граничными условиями- В. Б. Поручиковым (см. [15]). Детальный обзор этих и более ранних работ можно найти в работе Кнопова [16].

Итак, по сей день, аналитическое решение задачи о рассеянии плоской упругой волны на клине с нулевыми нормальными напряжениями найдено лишь для трещины, т.е. клина с углом раствора 360° ([6]), [7],[8] и [9]) , а также в ряде вырожденных случаев, как симметричное падение поперечной волны на клин с раствором 90°, когда решение есть сумма плоских волн, т.е. волна, рассеянная вершиной, отсутствует.

Начиная с середины 80-ых было разработано несколько подходов к численному решению задачи об упругом угле1. Так Гаутезен рассматривал задачу о рассеянии волны Рэлея в работах [17]- [21]. Его подход основан на представлении поля смещений в виде потенциалов простого слоя, выводе для преобразования Фурье плотностей этих потенциалов сначала функциональных, а далее и интегральных уравнений, с последующим их численным решением. Эту же задачу (рассеяние волны Рэлея) численно рассматривали Фуджи [22] и Б. В. Будаев и Боджи [23]- [27]. Автором вместе с В.

1 Всюду далее выражение "упругий угол" (клин) подразумевает угол с с нулевыми нормальными напряжениями.

М. Бабичем, В. А. Боровиковым, Л. Фрадкин и Б. А. Самокишем в работах [28]—[30] был пересмотрен подход Будаева, основанный на представлении решения в виде интегралов Зоммерфельда, и предложен альтернативный метод решения выведенных им сингулярных интегральных уравнений и вычисления рассеянного поля для случаев падения как волны Рэлея так и объемных волн. Перечисленные подходы имеют как недостатки, так и достоинства, в число которых входит их вычислительная надежность: почти все численные результаты, приведенные в этих работах, хорошо между собой согласуются (см. сравнение в [30]).

Тем не менее, во всех перечисленных работах на первое место выходила вычислительная сторона задачи, в то время как вопрос корректной постановки задачи,-теоремы существования и единственности,- оставался в стороне.

В начале 90-ых годов Лебо разработал оригинальный подход к решению задач этого рода,- т.н. метод спектральных функций,- метод исследования задач рассеяния в "угловых областях", никак не опирающийся на разделение переменных и позволяющий обосновывать метод предельного поглощения. В частности, с его помощью была рассмотрена задача об упругом клине, погруженном в жидкость: в работе [31] был сделан первый значительный шаг к корректной постановке в задачах этого типа: в ситуации общего положения было доказано существование решения задачи о падении плоской волны в виде потенциала простого слоя.

С помощью этого же метода в работе [32] был рассмотрен упругий клин и доказано как существование решения задачи о падении плоской объемной волны, так и его единственность в классе функций, удовлетворяющих условиям излучения, сформулированных в [32].

В обеих работах ([31] и [32]) не рассматривался случай критического падения,- т.е. ситуация, при которой возникает плоская волна, распространяющаяся вдоль одной из сторон угла к его вершине. Автором в работе [33] был заполнен этот пробел: было доказано существование и единственность решения также и в этом случае. Использованный новый подход тесно связан с методом спектральных функций и состоятелен не только для критического падения, но и в общем случае.

Организация Диссертации

В настоящей работе рассматриваются следующие вопросы:

• Построение теории спектральных функций для упругого клина;

• Доказательство существования решения задачи о падении плоской волны;

• Доказательство существования тензора Грина для упругого клина;

• Формулировка условий излучения для упругого клина;

• Доказательство теоремы единственности для задач рассеяния на упругом клине.

Диссертация построена следующим образом: в первой главе вводятся все основные обозначения и формулировки полученных результатов. Во второй главе излагается метод спектральных функций в применении к задаче об упругом клине, доказывается центральная для подхода теорема "об изоморфизме", доказывается существование решения задачи о "невырожденном" падении плоской волны. В третьей главе с помощью техники спектральных функций доказывается существование тензора Грина для* упругого угла и вычисляется его асимптотика на бесконечности. В четвертой главе формулируются условия излучения и доказывается теорема единственности. В пятой главе рассматривается задача о падении плоской волны в общем случае (в т.ч. и в критическом), доказывается существование решения.

Материалы диссертации изложены в совместной с Лебо работе [32], а также в персональной работе автора [33].

1. Poincaré, J. H. Sur la polarization par diffraction. Acta Math., 16:297-339, 1892.

2. Poincaré, J. H. Sur la polarization par diffraction. Acta Math., 20:313-355, 1897.

3. Sommerfeld, A. Mathematische Theorier der Diffraktion. Math. Ann., 47:317-374, 1896.

4. Smirnoff, V. I. and Sobolev, S. L. Sur le problème plan des vibrations élastiques. C. R. Acad. Sci., Paris„ 194:1437-1439, 1932.

5. Франк, Ф. и Мизес, П. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики, Часть II. М., 1937.

6. Фридман, M. М. Диффракция плоской упругой волны относительно полубесконечной прямолинейной жестко закрепленной щели. Доклады АН СССР, 60(7), 1948.

7. Фридман, M. М. Диффракция плоской упругой волны относительно полубесконечного прямолинейного разреза, свободного от напряжений. Доклады АН СССР, 66(1), 1949.

8. Филлипов, А. Ф. Трехмерная задача диффракции упругой волны на остром ребре. Ж. Прикл. Мат. и Мех., 23:989-996, 1959.

9. Maue, A. W . Die Bendung elastischer Wellen an der Halbebene. Z. angew. Math, und Mech., 1/2:1-10, 1953.

10. Малюжинец, Г. Д. Излучение звука колеблющимися гранями произвольного угла I. Акустич. жури., 1:144-164, 1955.

11. Малюжинец, Г. Д. Возбуждение, отражение и излучение поверхностных волн на клине с заданными импедансами граней. Доклады АН СССР, 121(3):436—439,1957.

12. Osipov, А. V. and Norris, А. N. The Malyuzhinets theory for scattering from wedge boundaries: a review. Wave Motion, 29:331-340, 1999.

13. Williams, W. E. Diffraction of a polarized plane wave by an imperfectly conducting wedge. Proc. Roy. Soc. bond. A, 252(2):376-393, 1959.

14. Костров, Б. В. Диффракция плоской волны на жестком клине, вставленном без трения в безграничную упругую среду. ПММ, 30(1):198—203, 1966.

15. Поручиков, В. Б. Методы динамической упругости. М. Наука, 1986.

16. Knopoff, L. Wave Propagation in Solids, chapter Elastic wave propagation in a wedge. American Society of Mechanical Engineers, 1969.

17. Gautesen, A. K. Scattering of Rayleigh wave by an elastic quarter space. J. Appl. Mech., 52:664-668, 1985.

18. Gautesen, A. K. Scattering of an obliquely incident Rayleigh wave by an elastic quarter space. Wave Motion, 8:27-41, 1986.

19. Gautesen, A. K. Scattering of a Rayleigh wave by an elastic quarter space revisted. Wave Motion, 35:91-98, 2002.

20. Gautesen, A. K. Scattering of a Rayleigh wave by an elastic three-quarter space. Wave Motion, 35:99-106, 2002.

21. Gautesen, A. K. Scattering of a Rayleigh wave by an elastic wedge whose angle is greater than 180 degrees. J. Appl. Mech., 68:476-479, 2001.

22. Fujii, K. Rayleigh-wave scattering of various wedge corners: Investigation in the wider range of wedge angles. Bull. Seismol. Soc. Am., 84(6):1916-1924, 1994.

23. Budaev, B.V. Diffraction by Wedges. Longman Scientific & Technical, Harlow, 1995.

24. Budaev, B.V. and Bogy, D.B. Rayleigh wave scattering by a wedge. Wave Motion, 22:239-257, 1995.

25. Budaev, B.V. and Bogy, D.B. Rayleigh wave scattering by a wedge II. Wave Motion, 24:307-314, 1996.

26. Budaev, B.V. and Bogy, D.B. Rayleigh wave scattering by two adhering elastic wedges. Proc. Roy. Soc. Lond. A, 454:2949-2996, 1998.

27. Budaev, B.V. and Bogy, D.B. Rigorous solutions of acoustic wave diffraction by penetrable wedges. J. Acoust. Soc. Am, 105:74-83, 1999.

28. Babich V.M., V.A. Borovikov, Fradkin L.Ju., Gridin D., Kamotski V.V. and Smyshlyaev V.P. Diffraction coefficients for tilted surface-braking cracks. In Proc. IUTAM Symposium, number 10, pages 321-337, 2000.

29. Kamotski V.V., Babich V.M., Borovikov V.A. and Fradkin L.Ju. On Budaev and Bogy's approach to diffraction by a 2D traction-free elastic wedge: Theoretical aspects. Proc. R. Soc. Lond. A, 2003. to appear.

30. Kamotski V.V., Babich V.M., Borovikov V.A., Fradkin L.Ju. and Samokish B.A. On Budaev and Bogy's approach to diffraction by a 2D traction-free elastic wedge: Numerical aspects. Proc. R. Soc. bond. A, 2003. to appear.

31. J.-P. Croisille and G. Lebeau. Diffraction by an immersed elastic wedge, volume 1723 of Lecture notes in mathematics. Springer, 1999.

32. Kamotski, V. Lebeau, G. Diffraction by an elastic wedge with stress-free boundary: existence and uniqueness. Препринт ПОМИ 08/2003, Proc. R. Soc. Lond. A, 2003. to appear.

33. Камоцкий В.В. О падении плоской волны на упругий клин под критическим углом. Алгебра и Анализ, 15(3):145—169, 2003.

34. Gilles Lebeau. Propagation des ondes dans les diedres. Mem. Soc. Math. Fr. Nouv. Ser., 60, 1995.

35. V.A. Borovikov. Uniform stationary phase method., volume 40 of IEE Electromagnetic Waves Series. London: IEE, Institution of Electrical Engineers, 1994.

36. С Wilcox. A generalization of Theorems of Rellich and Atkinson. Proc. of Amer. Math. Soc., 7(2).

37. G. Duvaut and J.L. Lions. Les inequations en mecanique et en physique, volume 21 of Travaux et recherches mathématiques. Paris: Dunod. XX, 1972.