О методах временного и пространственного прогноза данных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Долгосрочный временной прогноз месячных характеристик метеорологических элементов

1.1. Некоторые методы статистического прогноза и обработки данных

1.1.1. Данные

1.1.2. Линейное наилучшее в среднеквадратичном оценивание случайных векторов

1.1.3. "Метод скользящего контроля" вычисления фактической погрешности прогноза

1.1.4. Эмпирические ортогоналШые функции (ЭОФ)

1.1.5. Канонический корреляционный анализ

1.1.6. Экстремальный для среднеквадратичной погрешности оценивания базис

1.1.7. Метод выделения белого шума из экспериментальных данных

1.1.7.1. Редукция измерений для линейной модели с априорной информацией о шуме измерений и входном сигнале [А,/0,Р,Ц\

1.2. Статистический прогноз

1.2.1. Постановка задачи

1.2.2. Результаты статистических экспериментов

1.3. Комбинированный гидродинамически-статистический прогноз

Глава 2. Пространственный прогноз месячных характеристик метеорологических элементов

2.1. Введение

2.2. Постановка задачи

2.3. Результаты статистических экспериментов

Глава 3. Прогноз теплофизических процессов в микроэлектронике

3.1. Одномерный случай

3.1.1. Постановка задачи

3.1.2. Редукция измерений для модели [А, 2]

3.1.3. Результаты вычислительных экспериментов

3.1.3.1. Случай нескольких точек восстановления

3.1.3.2. Случай нескольких точек измерения

3.2. Двумерный случай

Актуальность темы

Методы временного и пространственного прогноза данных весьма актуальны и находят широкое применение в самых разных областях науки (социологии, экономики, геофизике, микроэлектронике и т.д.). Очень часто возникает необходимость предсказывать поле значений той или иной динамической характеристики на основании результатов ее измерений в некоторых точках пространства или (и) в предшествующие моменты времени. При этом данные измерений могут быть искажены шумом. Для решения оптимизационных задач планирования эксперимента особенно актуальна проблема разработки методики прогнозирования с максимальной точностью. В диссертации рассматриваются задачи из области метеорологии и теплофизические проблемы, возникающие в микроэлектронике.

Классическую область применения методики прогнозирования представляет собой метеорология. Если для краткосрочных и среднесрочных прогнозов (до нескольких суток) довольно успешно применяются методы, основанные на решении систем гидродинамических уравнений, связывающих значения предиктора и предиктанта, то для долгосрочных прогнозов большой заблаговременности (на месяц и более) осредненных за месяц значений метеорологических параметров гидродинамические модели на сегодняшний день требуемых результатов не дают. В этом случае необходимо использовать методы прогнозирования, основанные на статистических моделях.

Как известно, с целью изучения климата и предсказания погоды в интересующем регионе создается сеть метеорологических станций. Решение задачи пространственного прогноза позволило бы оценить возможность восстановления пробелов в рядах данных наблюдений и информативность того или иного вида метеорологических данных, получаемых на каждой станции. Если же точность восстановления значений какой-либо метеорологической 5 величины на некоторых метеостанциях по данным, полученным на других станциях сети, достаточно велика, то на таких метеостанциях можно было бы не проводить наблюдение данной метеовеличины. Это может дать, в частности, и значительный экономический эффект.

Необходимость пространственно-временного прогнозирования возникает при решении многих задач проектирования в технике. Например, при эксплуатации электронных микросхем, содержащих силовые элементы, выделяющие большое количество тепла, может происходить перегрев микросхемы, приводящий к выходу из строя дорогостоящих элементов. Для контроля возможности перегрева в отдельных точках микросхемы помещают измеряющие температуру датчики, стараясь размещать их ближе к сильнее всего нагревающимся либо к самым ответственным элементам. Однако необходимо иметь оптимальную конфигурацию расположения датчиков и метод оперативного контроля, обеспечивающий наибольшую точность восстановления температуры в интересующих точках.

Для решения задачи восстановления пространственно-временного распределения поля температуры мощных интегральных микросхем используются различные математические модели, описывающие распространение потоков тепла в подложке микросхемы. Для анализа температурных режимов интегральных микросхем на практике используется ряд упрощающих предположений, например, стационарный режим. На основании решения подобных упрощающих задач не может быть решена оптимизационная задача о размещении температурных датчиков с целью наиболее точного оперативного контроля теплового режима микросхемы.

Таким образом, весьма актуальной проблемой является разработка методики решения нестационарной задачи восстановления пространственно-временного распределения поля температуры электронных микросхем, обеспечивающей наибольшую точность восстановления поля температуры, т.к. только такая методика позволит определить оптимальное расположение 6 датчиков, минимизирующее в данном классе методов погрешность восстановления температуры в выбранной точке по сравнению с любой другой конфигурацией. Как правило, подобные задачи относятся к классу некорректно поставленных, и широко распространенные методы их решения не ориентированы на минимизацию погрешности восстановления интересующих величин.

Обзор литературы

Дадим некоторую общую терминологию. В математической статистике предиктором (или предсказывающими (независимыми) переменными) называется переменная или совокупность переменных (случайная величина (в одномерном случае) или случайный вектор), значения которых доступны наблюдению, а предиктантом (зависимыми переменными) - совокупность переменных, значения которых необходимо предсказать. Будем обозначать предиктор через £ а предиктант через 77. В методе линейного наилучшего в среднем квадратичном (н. с. к.) оценивания, зная текущее значение предиктора можно определить текущее значение 77, наилучшее в определенном смысле, используя корреляционные связи между £ и 77. В случае временного прогноза £ должен отстоять от 77 на желаемый интервал по времени, а в случае пространственного прогноза - по пространству.

В метеорологии принята следующая терминология [12]: сроком прогноза называется интервал, на который производится прогноз; например, если предсказывается средняя за месяц температура, срок прогноза составляет 1 месяц. Заблаговременностью прогноза называется интервал, на который отстоит момент времени, когда производится прогноз, от того начального момента, к которому относится предиктант 77.

Задача прогноза полей метеоэлементов, при котором сумма заблаговременности и срока прогноза составляет несколько месяцев, называется в метеорологии задачей долгосрочного прогноза погоды большой 7 заблаговременности [12]. Для долгосрочного прогноза среднемесячных значений приземной температуры воздуха и количества осадков за месяц, а также других климатических показателей (месячных характеристик метеоэлементов) использовались самые разнообразные статистические методы, и в первую очередь линейное н. с. к. оценивание случайных величин (в метеорологии прогноз с помощью данного метода чаще называется прогнозом по уравнению линейной регрессии). Далеко не все из них нашли практическое применение; в основном, предпочтение отдавалось гидродинамическим, синоптическим или комбинированным прогнозам.

В СССР статистические методы долгосрочного прогноза разрабатывались различными гидрометслужбами, Гидрометцентром, ААНИИ, Главной геофизической обсерваторией (ГГО) и т. д., [45]. Первые попытки состояли в предсказании значений предиктанта в выбранной точке пространства по одномерному уравнению регрессии с использованием в качестве предиктора той или иной метеорологической величины в той же точке, взятой в соответствии с условиями заблаговременности.

Рассмотрим особенности методики прогноза среднемесячных значений метеоэлементов на основе многомерного уравнения линейной регрессии (комплексного физико-статистического метода), разработанного в Главной геофизической обсерватории в конце 1960-х г.г. [53, 52, 59], т. к. этот метод весьма детально разработан, уже давно нашел практическое применение и с тех пор постоянно совершенствуется.

Используемые для прогноза метеоэлементы. Исходя из предположения о взаимообусловленности атмосферных и океанических процессов, а также процессов в деятельном слое почвы, для долгосрочного прогноза осадков и температуры привлекалась информация о состоянии подстилающей поверхности и деятельного слоя, о крупномасштабных характеристиках полей облачности и осадков, существенных при описании тепло- и влагооборота, и т.д. [52, 34]. Основанием для необходимости привлечения большого 8 количества разнородных данных служит требование полноты совокупности признаков, описывающих начальное состояние физической системы. Применительно к атмосфере это означает, что совокупность предикторов должна характеризовать все основные особенности начального состояния единой физической системы, в которой развиваются макропроцессы, т. е. атмосферы всей Земли плюс Мировой океан и деятельный слой почвы (пренебрегая непостоянством солнечных воздействий и космических факторов). В силу нелинейности уравнений системы параметры связи между каким-то одним выделенным признаком и характеристиками будущей погоды должны зависеть от начальных значений других признаков.

В геофизической гидродинамике в систему характеристик исходного состояния атмосферы включаются внеатмосферные носители метеорологической памяти (характеристики ледовитости, границ снежного покрова, теплосодержания океанов и др.). Была сделана попытка по возможности учесть все основные величины, задание которых в исходный момент времени требуется для интегрирования уравнений динамики атмосферы в неадиабатическом случае.

Наряду со среднемесячными значениями, используются также внутримесячные дисперсии. Ниже будет приведено основание для этого.

Кроме того, стараются выбирать некоррелированные между собой предикторы с целью исключить дублирующую информацию, т. к. принято считать, что при ограниченном объеме выборки прогноз с использованием некоррелированных предикторов дает лучшие результаты. На дальнейших стадиях обработки данных проводится процедура статистической ортогонализации предикторов [43], в результате которой формируются некоррелированные предикторы, часть из которых отбрасывается в силу слабой коррелированности с предиктантом.

Использование в качестве предикторов и предиктантов в многомерных уравнениях линейной регрессии не самих значений метеорологических 9 величин в различных точках пространства, а нескольких коэффициентов разложения полей по пространственным эмпирическим ортогональным функциям (ЭОФ) (т.е. по собственным векторам выборочной ковариационной матрицы полей), соответствующим наибольшим собственным значениям. (Далее в диссертации рассматриваются только пространственные, а не временные ЭОФ, поэтому слово "пространственные" будет опускаться.) Эта процедура преследует следующие цели: значительное уменьшение объема вычислений, фильтрация метеорологических шумов и выделение крупномасштабных составляющих полей, которые, согласно физическим соображениям, предсказуемы на достаточно длительный срок, в отличие от принципиально не предсказуемых никакими методами мелкомасштабных возмущений. В качестве основания для последнего утверждения приводится замеченный в работах [54, 30, 31] факт, что полученные разложением по ЭОФ наиболее крупномасштабные составляющие полей основных метеорологических элементов (температуры, давления и т.д.) характеризуются большим временем релаксации. Однако в этих работах рассматривались не среднемесячные, а среднесуточные значения температуры или давления воздуха, и время релаксации составляло всего около 20 суток. В работе [61] для выделения из данных (давления воздуха) крупномасштабных составляющих используется их осреднение по площади Европы: показано, что выделенные с помощью разложения по ЭОФ компоненты имеют более длительный период релаксации; это исследование также относилось не к среднемесячным, а к среднесуточным значениям, и оценка времени релаксации в случае осреднения составляла около 5 суток против 20 в случае разложения по ЭОФ.

Причиной необходимости выделения крупномасштабных составляющих полей называют и тот факт, что методы долгосрочного прогноза, основывающиеся на рассмотрении комплексов предикторов, характеризующих начальное состояние некоторого ограниченного района, не будут удовлетворять условию полноты совокупности.

10

Важным требованием к совокупности предикторов считается также ограничение спектрального состава информации. В задаче гидродинамического прогноза, т. е. прогноза по полным уравнениям гидромеханики, остро стоит вопрос о правилах обработки исходной информации, при которой не заглушались бы некоторые закономерности крупномасштабных движений метеорологическим шумом. Однако, если методика гидродинамического прогноза может включать способы фильтрации метеорологических шумов в процессе интегрирования уравнений динамики атмосферы, то в задаче статистического прогноза этот вопрос решить труднее. При сопоставлении рядов значений двух величин, рассматриваемых как предиктор и предиктант, но относящихся к процессам разных масштабов, всегда может появиться ложная корреляционная связь за счет случайных совпадений чисел, выяснить ложность которой только статистическими методами далеко не всегда возможно. Отсюда важность таких способов предварительной обработки, которые сводили бы к минимуму вероятность сопоставления величин, относящихся к процессам существенно различных масштабов.

Кроме того, предположение о долгосрочной предсказуемости лишь крупномасштабных составляющих полей определяет необходимость использовать данные не по какому-либо отдельному региону, а по территории глобального масштаба. Это же предположение обуславливает предварительное выделение из всех предикторов и предиктантов крупномасштабных составляющих с помощью разложения по ЭОФ.

В главе 1 будет дана математическая постановка задачи, решением которой являются ЭОФ. Из нее следует, что с помощью разложения по первым нескольким ЭОФ какого-либо случайного вектора (например, поля метеоэлемента) лучше всего в среднем квадратичном приближается само поле. При этом одно из самых важных свойств пространственных ЭОФ, служащих основанием для их использования с целью фильтрации исходных данных

11 выделение из полей метеорологических элементов наиболее крупномасштабных составляющих - было замечено экспериментально, с помощью анализа размеров областей, значения ЭОФ внутри которых сохраняют постоянный знак [58]. Также эмпирически было установлено, что форма первых нескольких ЭОФ довольно слабо изменяется от одной выборки к другой [54, 62, 30]. Этот факт, предположительно, является еще одним основанием в пользу хорошей предсказуемости коэффициентов разложения по ЭОФ, которые выделяют устойчивые во времени крупномасштабные движения атмосферных процессов.

В [12] отмечено, что задача сжатия исходной информации, эффективным методом решения которой в метеорологии признано разложение по ЭОФ, возникает также в связи с необходимостью гораздо большего объема выборки для надежного оценивания большего числа корреляционных связей. Кроме того, в [59] были проведены численные эксперименты по сравнению качества прогнозов температуры и осадков с использованием описанной выше процедуры и прогнозов без предварительного разложения предикторов и предиктантов по ЭОФ. Большее количество успешных прогнозов (по одномерным уравнениям) наблюдалось в первом случае.

Для выделения крупномасштабных длительно действующих процессов служит также осреднение метеоэлементов по времени. Из гидродинамической теории следует, что при этом необходимо учитывать также статистические характеристики поля флуктуаций (в первом приближении авторы ограничивались расчетом дисперсий). Система характеристик исходного состояния наряду со средними значениями параметров за месячный интервал включает и дисперсии параметров. Таким образом, хотя отдельные кратковременные возмущения не рассматриваются как предвестники будущей погоды, статистические характеристики неоднородности процессов внутри месяца принимаются во внимание.

12

Отбор "статистически значимых" предикторов из всего множества. Для выяснения, является ли данный предиктор статистически значимым, проверяется гипотеза о том, что величина г=0.51п((1+г)/(1 -г)) (г - выборочный коэффициент корреляции) имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а2= 1/(^-3), где N - объем выборки. Тем самым проверяется гипотеза о том, что истинная величина коэффициента корреляции между предиктором и предиктантом не равна нулю, т. к. распределение г близко к нормальному с математическим ожиданием 0.51п((1+р)/(1-р)) при N>50 (р - истинный коэффициент корреляции), дисперсия которого а «1/(^-3) (в предположении нормальной независимой выборки), [22, 21]. Если для заданного уровня гипотеза отвергается, то соответствующий предиктор из рассмотрения исключается. Применяется также статистический последовательный анализ [6]: величина г пересчитывается за несколько лет, при этом каждый раз проверяется гипотеза о том, что р^О.

Заметим в этой связи, что т. к. преобразование Фишера г=0.51п((1+г)/(1-г)) близко к нормальному только при #>50 [22] или по крайней мере при N>20 [9], то в прикладной математической статистике это преобразование используется для проверки гипотез р=р0>0. Для прверки гораздо более простой гипотезы р=0 целесообразней применять статистику - 2)/(1- г)2 , которая подчиняется распределению Стьюдента с N-2 степенями свободы при любом N. Кроме того, в [9] приведены таблицы значений доверительных интервалов для выборочного коэффициента корреляции г при р=0, основанные на точной функции распределения г.

Поскольку данный метод рассматривает коэффициенты корреляции по отдельности, не учитывая увеличение вероятности получения завышенных значений при оценивании всей матрицы коэффициентов корреляции, возможность чего указана А. Н. Колмогоровым еще в [24], то для проверки реальной значимости отобранных предикторов разработан ряд других методов.

13

Например, некоторые из них состоят в разбиении всего множества предикторов на группы по различным значениям определяющего признака (скажем, по значениям выборочного коэффициента корреляции) и проверки гипотез о том, что информативная значимость разных групп различна, на независимом материале [55, 56].

Хотя даже в изданиях, содержащих обзор статистических методов в метеорологии (например, [28, 12]) даны интервальные оценки для множественных коэффициентов корреляции и доверительные множества для векторов коэффициентов регрессии, на практике для отбора информативных предикторов или определения необходимого объема выборки эти сведения не применяются.

Заблаговременность - от 2 до 30 месяцев. Было проведено исследование с целью определить информативность предикторов, в качестве которых использовались коэффициенты разложения различных геофизических полей по ЭОФ, в зависимости от заблаговременности прогноза, [59]. При этом выяснилось, что доля статистически значимых среди всех рассматривавшихся предикторов данной заблаговременности больше для ближайших по времени предикторов (-2,-3,-4 месяца). Небольшой максимум наблюдался также при заблаговременности 25 и 26 месяцев, что объяснялось известной в метеорологии двухгодичной периодичностью.

В работе [31] было проведено исследование с разбиением всех предикторов на три градации по заблаговременности: от 2 до 4, от 5 до 6 и от 17 до 28 месяцев. Далее определялась доля успешных прогнозов по одномерным уравнениям регрессии из каждой группы. Выяснилось, что доля успешных прогнозов для первой градации заметно выше, чем для двух других или для всех трех вместе. Это исследование проводилось только для одномерных уравнений, т. е. данные различных месяцев в одном и том же уравнении регрессии не использовались.

14

Использование для оценивания моментов распределений выборки определенного объема. Требуемый объем был определен в [8] на основе рассмотрения зависимости выбранных показателей качества прогноза от длины рядов наблюдений, используемых для оценивания коэффициентов регрессии одномерных уравнений. При этом показатели качества прогноза вычислялись на основе контрольной выборки. Было найдено, что показатель качества прогноза среднемесячных температур уменьшается при увеличении длины ряда до примерно 70 лет, а прогноза месячных осадков - до примерно 60.

Пересчет оценок всех моментов распределений с поступлением новых данных наблюдений, а именно пересчет для прогнозирования на следующий год (со сдвигом на один год вперед) и уточнение прогноза, составленного с заблаговременностью примерно два сезона, за два месяца до срока.

Для дальнейшего отбора оставшихся предикторов, а также для упрощения процедуры обращения ковариационной матрицы в уравнении регрессии, проводится статистическая ортогонализация предикторов [42]. Этот метод заключается в линейном преобразовании вектора предиктора, приводящем к диагональному виду его ковариационную матрицу. При этом те координаты вектора предиктора, которые не удовлетворяют условию статистической значимости, отсеивают и не используют в формуле прогноза. Т. к. в базисе ЭОФ ковариационные матрицы уже являются диагональными, это служит еще одним основанием для представления исходных данных в виде коэффициентов разложения по ЭОФ.

Использование для оценивания качества прогноза "показателей информативности", построенных на основе сравнения прогнозируемых и фактически наблюдавшихся значений предиктантов. [ 56, 31]. Во-первых, все показатели являются долями случаев (т. е. лет), в которых прогноз в той или иной степени оправдался апостериори. Во-вторых, за величину, сравнением с которой фактической апостериорной погрешности устанавливается качество прогноза, берется среднее арифметическое из ряда

15 а-ах+х)1,1-1,2,.,И, где атх - наблюдавшееся значение предиктанта в году прогноза, а а-х - наблюдавшееся в ьом году. Это среднее арифметическое не

1 м 1 ы равно априорной погрешности Ъщх= — ^ (а-у--а{) , когда единственной

N ¡и N ¡=1 информацией о прогнозируемом значении является выборочное среднее. С помощью метода линейной регрессии минимизируется средняя квадратичная погрешность прогноза; в частности, гарантируется, что она не превысит /гарг (при достаточно большом Ы). Для того, чтобы минимизировать вероятность появления неудачных прогнозов, нужно использовать другие методы, основанные на знании вида функций распределения рассматриваемых метеоэлементов. Таким образом, возможно, использование вышеназванных показателей информативности прогноза не вполне оправдано, хотя, конечно, понятна их важность для потребителя.

Помимо основного варианта прогноза, имеются различные его модификации с привлечением других статистических методов: метода аналогов [6], состоящего в построении статистических характеристик ансамбля состояний, сходного с текущим; дискриминантного анализа [32, 33], состоящего в выработке правила, позволяющего приписать новый выборочный элемент одному из двух или более распределений; теории статистических решений [57], состоящей в определении преобразования (решающего правила), превращающего значение предиктора в значение предиктанта на основе минимизации функции риска (теория статистических решений применяется в методе прогноза климатического фона для решения некорректной задачи экстраполяции временного хода предиктантов в виде коэффициентов разложения по ЭОФ); раздельного прогнозирования трендовой составляющей метеорологических рядов путем экстраполяции и отклонений от тренда с помощью основного варианта [60]. Метод аналогов широко используется на практике и в прогнозах других авторов [5,12-14, 45]. Практическое применение также имел интервальный прогноз температуры на декаду с

16 помощью байесовской схемы [20]. В целом, байесовский вероятностный прогноз применяется для долгосрочного прогноза погоды малой заблаговременности (на несколько суток, до десяти). В США широкое применение находят субъективные вероятностные прогнозы и методы экспертных оценок, [71].

Хотя разработанный в ГГО метод, подробно описанный в начале введения, называется физико-статистическим, физическая информация используется в нем только для отбора входных данных и для обоснования их разложения по ЭОФ. Никакие гидродинамические модели непосредственно для прогноза не используются.

Повышение вычислительных мощностей ЭВМ за последние два десятилетия стимулировало рост интереса к различным гидродинамическим моделям климата. Особенно большое внимание уделяется моделям общей циркуляции атмосферы. Результаты многочисленных экспериментов позволяют считать, что с их помощью можно адекватно предсказывать изменение климата на крупных масштабах (порядка 2000-4000 км.), например, изменение среднего значения какого-либо метеопараметра по области соответствующих размеров. Те же значения, которые предсказываются моделью в самих точках используемой пространственной сетки (расстояния между которыми «500 км.), могут сильно отличаться от действительности [66, 72, 69].

В этой связи в работах [72, 69, 26, 51] обсуждается проблема предсказания локальных (мезомасштабных) полей различных метеоэлементов по крупномасштабным полям этих или других метеоэлементов с помощью статистических методов.

Попытка решения задачи долгосрочного прогноза региональной структуры месячных осадков, используя данные гидродинамической модели общей циркуляции атмосферы, была предпринята в [72]. В этой работе использовался канонический корреляционный анализ (ККА) ([4, 50], а также

17 подробнее в главе 1) для нахождения пары векторов еь е^, таких, что корреляция между коэффициентом разложения одного поля Я по е] и другого поля Р по ^ максимальна (по всем парам векторов из соответствующих пространств). Предварительно производилась фильтрация обоих полей разложением по ЭОФ. (Отметим, что метод обработки данных с помощью канонического корреляционного анализа широко применяется во многих работах, наряду с методом разложения по ЭОФ, причем чаще всего используется комбинация обоих методов, т. е. ККА применяется только к нескольким коэффициентам разложения по ЭОФ полей предикторов и предиктантов. Например, в [68] с помощью данного метода решена задача долгосрочного прогноза большой заблаговременности среднемесячной температуры воздуха по различным геофизическим полям, в частности геопотенциала, температуры и индекса североатлантических колебаний.) Далее с помощью модели общей циркуляции предсказываются значения атмосферного давления Р на уровне моря над Северной Атлантикой, рассчитывается коэффициент Р] и соответствующий ему Яь и определяется поле Я^Я^! средних за зимний период осадков в точках расположения метеостанций на Пиренейском полуострове. Предварительно было показано, что крупномасштабные изменения выбранного поля Р предсказывается моделью достаточно хорошо.

В [69] в качестве полей Я и Р выбирались не поля разной природы, а флуктуации от среднего по региону и само среднее, для среднемесячных полей температуры и осадков в точках расположения метеостанций в штате Орегон . Данные модели общей циркуляции атмосферы не использовались; целью исследования являлось установление статистической связи между полями Я и Р, для чего использовалась одномерная линейная регрессия: предиктор - поле Р, а предиктант - коэффициент разложения поля Я по первой ЭОФ. При этом значения полей за разные месяцы считались различными реализациями одного

18 и того же случайного вектора, вместо работы с каждым месяцем отдельно. Была расчитана среднеквадратичная погрешность прогноза, отнесенная к дисперсии (линейное корреляционное отношение), которая составила около 40%. Однако в данном случае под дисперсией подразумевалось отклонение (от месяца к месяцу и от года к году) от среднегодовых значений, и не исключено, что отклонение (от года к году) от среднего по предыдущим годам значения поля Я только для данного месяца может быть даже меньше, чем погрешность прогноза. Разности прогнозируемых и фактически наблюдавшихся значений предиктантов посчитаны не были.

В работе [51] рассмотрено восстановление с помощью линейного н. с. к. оценивания случайных векторов региональной структуры поля высоты поверхности постоянного геопотенциала на основе усредненных значений этой величины по территории секторов с постоянным шагом по широте и долготе. Предварительно предиктант (само поле) и предиктор (усредненное поле) раскладывались по своим ЭОФ, причем, во-первых, учитывалось большое количество коэффициентов разложения (не 1-5, как в работах [72 , 59], а около половины от общего количества ЭОФ), а во-вторых, для вычисления коэффициентов разложения использовался метод регуляризации А. Н. Тихонова [47] решения некорректной задачи суммирования рядов неточно заданных (из-за шума в данных) коэффициентов Фурье. Показано, что восстановление дает более точные результаты при использовании описанной выше процедуры предварительной обработки полей предиктанта и предиктора, чем на необработанных данных.

Задача восстановления значений метеоэлемента в точке расположения какой-либо метеостанции по известным значениям метеоэлемента в этот же момент времени на соседних станциях (задача пространственного прогноза) рассмотрена в [43, 44, 3]. Она возникает в связи с необходимостью устранения обнаруженной неоднородности в рядах наблюдений на какой-либо метеостанции, либо для заполнения пробелов в рядах наблюдений. Для ее

19 решения составляется одномерное уравнение линейной регрессии, связывающее значения одного и того же метеоэлемента в интересующей станции и соседней с ней. В некоторых случаях предлагается также использовать среднее арифметическое из значений, полученных по одномерным уравнениям регрессии для каждой из двух или трех соседних с интересующей станций. Методика прогноза на основе многомерного уравнения регрессии с использованием данных нескольких станций для решения задачи не используется, несмотря на то, что возможно достаточно надежное оценивание нужного количества коэффициентов множественной регрессии при не очень большом объеме выборки, т. к. коррелированность, например, значений температуры воздуха в один и тот же момент времени очень сильна даже на значительных расстояниях. Нужно отметить, что основы почти всех рассмотренных методов были заложены не позднее 1970-х г.г., когда обращение матриц (необходимое для формул множественной регрессии) размера всего около 10x10 еще представляло техническую проблему.

Отметим также метод оптимальной интерполяции геофизических полей [11]. Понятие " оптимальная интерполяция" введено А. Н. Колмогоровым в [23] как такая интерполяция, которая проводится из условия минимальности среднего квадрата отклонения интерполируемого значения от истинного. В [11] решена задача об оптимальном расположении метеостанций: в каких точках следует располагать метеостанции, чтобы с. к. погрешность интерполяции интересующего нас метеорологического параметра в любой другой точке не превосходила заданную величину. При ее решении предполагалась известной корреляционная функция интересующего метеопараметра, зависящая только от расстояния между двумя точками. Поэтому задачу можно было переформулировать следующим образом: на каком расстоянии друг от друга следует расположить три метеостанции, чтобы с заданной с. к. погрешностью интерполировать данные наблюдений в любую точку внутри образованного ими правильного треугольника. Были построены

20 графики семейства изолиний с. к. погрешности интерполяции в системе координат 1,сг (/ - расстояние между станциями, сг - дисперсия сопровождающего наблюдения шума). Похожие графики приведены в [70]. До появления работ [70, 11] подобные задачи решались с помощью обычной геометрической линейной интерполяции, хотя для оценивания точности интерполяции использовалась с. к. погрешность [18, 19, 41].

Для решения задачи восстановления пространственно-временного распределения поля температуры мощных интегральных микросхем используются различные математические модели, описывающие распространение потоков тепла в подложке микросхемы. Для анализа температурных режимов интегральных микросхем на практике используется ряд упрощающих предположений, таких, как стационарный режим, при котором поле температуры не меняется со временем, или регулярный режим, когда спустя некоторый период после выключения тепловых источников зависимость температуры от времени можно описать экспоненциальным законом. Например, в работе [36] приведены некоторые оптимальные конфигурации расположения температурных датчиков, определенные для трехмерных подложек с тепловыми источниками сложной формы с помощью программного обеспечения, разработанного в [37] для стационарного режима; а в [63] рассматривается так называемый "регулярный режим", когда спустя некоторый период после выключения тепловых источников зависимость температуры от времени можно описать экспоненциальным законом.

Проблема восстановления пространственно-временного распределения поля температуры тела по измерениям температуры в некоторых его точках относится к классу обратных задач теплопроводности, т. к. для ее решения необходимо восстанавливать плотность тепловых источников (причину) по измерениям температуры (следствия). Подобные задачи являются некорректно поставленными [1]. Использующиеся для их решения методы, как правило, не ориентированы на минимизацию погрешности восстановления поля

21 температуры. Например, метод регуляризации дает приближенное решение, обладающее свойством устойчивости к входным данным и сходящееся к точному решению при стремлении к нулю погрешности входных данных, т.е. шума измерений [47] (примеры применения различных методов регуляризации для решения обратных задач теплопроводности можно найти в [27, 35, 49, 67] и в библиографии к работе [1]) .

Цель диссертационной работы

Цель работы состоит в разработке методик временного и пространственного прогноза данных, обеспечивающих максимальную точность в классе линейных методов, в частности, минимизирующих среднеквадратичную (с.к.) погрешность прогноза, в том числе с учетом шума измерений. Технология прогнозирования пространственно-временных характеристик проиллюстрирована на примерах решения двух задач из разных областей физики:

1) геофизики (метеорологии) - прогноз пространственно-временных характеристик различных геофизических полей;

2) теплофизики - проблема восстановления пространственно-временного распределения поля температуры тела по измерениям температуры в некоторых точках внутри тела или на его поверхности в дискретные моменты времени, а также возникающая в микроэлектронике оптимизационная задача о размещении датчиков в подложке микросхемы.

Научная новизна работы

Научная новизна работы определяется следующими рассмотренными в ней аспектами решения задач пространственно-временного прогноза: разработана новая технология долгосрочного статистического прогноза большой заблаговременности и пространственного статистического прогноза месячных характеристик метеорологических элементов, и предложена оптимальная стратегия прогноза;

22 предложена новая технология для решения задачи восстановления региональной структуры климатических показателей на основе их крупномасштабных характеристик; разработан новый метод восстановления пространственно- временного распределения температуры тела по измерениям температуры в ряде точек в дискретные моменты времени, обеспечивающий наибольшую точность в классе линейных оценок; разработана новая методика оптимального в классе линейных методов размещения температурных датчиков в подложке электронной микросхемы.

Достоверность результатов

Достоверность полученных в работе результатов определяется методологией проведения исследований, основанной на строгих математических методах, и экспериментальной проверкой с помощью численного моделирования.

В первых двух главах вычислительные эксперименты проводятся с экспериментальными данными - рядами наблюдений среднемесячной температуры воздуха и количества осадков за месяц на 98 метеорологических станциях на территории СССР, перечень которых дан в приложении. В третьей главе численные эксперименты проводятся с математическими моделями исследуемых процессов.

Содержание работы

В первой главе диссертации дана математическая постановка задачи временного долгосрочного прогноза большой заблаговременности в метеорологии. Исследовано решение этой задачи с помощью статистических методов, а также предложен смешанный гидродинамически-статистический подход. При этом используется метод предварительной обработки используемой для прогноза информации, связанный с выделением из исходных данных белого шума. В численных экспериментах по долгосрочному прогнозу

23 на основе данных многолетних наблюдений среднемесячной температуры воздуха и месячных осадков метод выделения белого шума сравнивается с различными способами предварительной обработки данных, в том числе с принятыми сейчас в метеорологии. Сравнение показывает, что метод выделения белого шума, как правило, эффективнее других рассмотренных способов.

В первом параграфе главы изложены использующиеся далее математические методы статистического прогноза данных (линейное наилучшее в с.к. оценивание случайных векторов и редукция измерений) и предварительной обработки данных (разложение по эмпирическим ортогональным функциям (ЭОФ), канонический корреляционный анализ, разложение по базису, экстремальному для абсолютной с.к. погрешности прогноза, и метод выделения из данных содержащегося в них белого шума), а также описан способ вычисления фактической погрешности прогноза на основе сравнения предсказываемых значений с реальными (метод "скользящего контроля").

Во втором параграфе приведены описания и результаты статистических экспериментов по долгосрочному прогнозу среднемесячных значений температуры воздуха и количества осадков за месяц.

Исследованы зависимости фактической погрешности прогноза от размерности представления данных после первичной обработки; от размерности векторов предиктора и предиктанта (т.е. от количества метеостанций, данные наблюдений которых предсказываются и используются для прогноза); от объема выборки, т. е. количества лет, использующихся для оценивания моментов распределения. Кратко изложены результаты статистических экспериментов по включению в вектор предиктора данных за несколько месяцев одновременно, состоящие в том, что в некоторых случаях при этом наблюдается уменьшение погрешности прогноза.

24

В третьем параграфе описан алгоритм комбинированного гидродинамически-статистического прогноза метеорологических данных. Он состоит в восстановлении региональной структуры данных на основе их крупномасштабных характеристик, значения которых должны быть предсказаны с помощью гидродинамической модели общей циркуляции атмосферы. Для проведения статистических экспериментов по апробации этого метода крупномасштабные поля моделировались на основе данных наблюдений путем сглаживания их по пространству с помощью трех различных сглаживающих функций - Гаусса, Лоренца и прямоугольника, и прибавления случайного шума.

Вторая глава диссертации посвящена решению задачи пространственного метеорологического прогноза с помощью статистических методов, минимизирующих с.к. погрешность. Для 98 метеостанций на территории СССР вычислены погрешности пространственного прогноза среднемесячных значений температуры воздуха и количества осадков за месяц, и исследована их зависимость от различных статистических характеристик данных. Из проведенного исследования можно сделать вывод, что для подавляющего большинства станций относительная погрешность пространственного прогноза температуры достаточно мала (менее 20%), кроме нескольких станций, среднемесячная температура на которых характеризуется либо небольшой величиной дисперсии, либо слабой коррелированностью с температурой на соседних станциях. Относительная погрешность пространственного прогноза месячных осадков несколько больше, чем температуры; на метеостанциях с наибольшей относительной погрешностью осадки также характеризуются наименьшей дисперсией или наиболее слабой корреляционной связью с осадками на других станциях. Кроме того, показано, что погрешность пространственного прогноза будет минимальной, если в качестве исходной информации использовать данные не от одной - трех

25 метеостанций, а от большого количества станций, даже достаточно удаленных от метеостанции, для которой составляется прогноз.

Третья глава диссертации посвящена посвящена пространственно-временному прогнозу теплофизических процессов в микроэлектронике. Дана математическая постановка задачи оперативного контроля теплового режима электронных микросхем. Решена задача оптимального размещения датчиков для наиболее точного контроля температуры в мощных микросхемах.

Для решения поставленной задачи используется редукция измерений для линейной модели с известной дисперсией шума. Для формирования модели схемы измерений решение краевой задачи для уравнения теплопроводности представлено с помощью функции Грина (источника), которая определена аналитически в одномерном случае и с помощью метода конечных элементов в двумерном.

Была рассмотрена следующая математическая модель подложки микросхемы: прямоугольник Д состоящий из двух однородных частей: прямоугольник 1)2 - элемент, являющийся источником тепла, иД - остальная область. На границе области Б были поставлены условия непротекания (равенства нулю потока тепла), а на границах областей Д и£)2-непрерывность температуры и теплового потока. Плотность источника тепла в области /)2 считалась зависящей только от времени.

В численных экспериментах определялись величины с.к. погрешностей восстановления температуры в точке х0 по данным измерений температуры в точке хл за период [7^,7], где Тл>0: Ьт - погрешность восстановления температуры в момент времени Т, и </г(0,г]> - усредненная погрешность за весь период от 0 до Т. Для этих величин получены зависимости от ха при различных фиксированных значениях х0.

Рассмотрены также задачи восстановления температуры сразу в нескольких точках микросхемы по измерениям в одной точке, восстановления в одной

26 точке по измерениям в нескольких, и самая общая задача восстановления температуры в п точках по измерениям в п точках.

Численные эксперименты показывают, в частности, что во многих случаях оптимальные (с точки зрения с.к. погрешности) для размещения измерительных датчиков области находятся вдали и от элементов, являющихся источниками тепла, и от тех элементов, температуру которых нужно контролировать.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе и выносимые на защиту.

27

Основные результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту, можно сформулировать следующим образом:

Разработана новая технология и соответствующее математическое и программное обеспечение для решения задач долгосрочного статистического прогноза большой заблаговременности и пространственного статистического прогноза месячных характеристик метеорологических элементов, и предложена оптимальная стратегия прогноза. Эффективность предложенной технологии продемонстрирована в вычислительном эксперименте путем сравнения предсказанных значений исследуемых климатических показателей (среднемесячной температуры воздуха и количества осадков за месяц) с данными наблюдений.

Предложена новая технология и создано программное обеспечение для решения задачи восстановления региональной структуры климатических показателей на основе их крупномасштабных характеристик с помощью редукции измерений. Преимущества комбинированного гидродинамически-статистического метода долгосрочного метеорологического прогноза большой заблаговременности, принцип которого основан на решении этой задачи, по сравнению с чисто статистическим прогнозом продемонстрированы в вычислительном эксперименте на основе реальных данных.

Разработан метод восстановления с максимальной точностью в классе линейных оценок пространственно-временного распределения температуры тела в форме пластины определенного вида по измерениям температуры в некоторых точках в дискретные моменты времени, и создано программное обеспечение.

Разработан метод оптимального размещения измерительных датчиков в подложке микросхемы для наиболее точного оперативного контроля теплового режима мощных интегральных микросхем.

113

1 2 3 4 5 6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

16

17

18

19

20 21 22

23

24

25

26

27

28

29

30

Заключение

1. Алифанов О. М., Ненарокомов А. В. Граничная обратная задача теплопроводности в экстремальной постановке для различных систем координат. - "Труды 1 Российской национальной конференции по теплообмену" - М.: 1994, т. 10, ч. 1. С. 81 - 92.

2. Алифанов О. М. Обратные задачи теплообмена. -М.: Машиностроение, 1988. 280 с.

3. Алисов Б. П., Дроздов О. А., Рубинштейн Е. С. Курс климатологии. JL: Гидрометеоиздат, 1952. 488 с.

4. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. М.: Физматгиз, 1963. 500 с.

5. Багров Н. А. Статистические методы предсказания погоды. "Метеорология и гидродология", 1964, № 2. С. 10 - 19.

6. Баширов А. Е., Флешман Б. С. Методы статистического последовательного анализа и их приложение. М.: Советское радио, 1962.

7. Блажевич В. Г., Мещерская А. В. Об использовании принципа аналогичности в физико-статистическом методе долгосрочного прогноза погоды. "Труды ГГО", 1975, вып. 353. С. 81 - 92.

8. Блажевич В. Г., Мещерская А. В., Юдин М. И. Статистическая оценка информативности предикторов в зависимости от длины исходных рядов. -"Труды V Всесоюзного совещания по применению статистических методов в метеорологии", 1987.

9. Болыпев JI. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. М.:Наука, 1965. 464 с.

10. Волков Б.И., Постников Е.Б., Пытьев Ю.П. О задаче оперативного контроля теплового режима электронных микросхем. Вестник Московского университета, сер.З, 1999, № 3. С. 61 - 62.

11. Гандин JI. С. Объективный анализ метеорологических полей. JI.: Гидрометеоиздат, 1963. 288 с.117

12. Груза Г. В., Ранькова Э. Я. Вероятностные метеорологические прогнозы. -Л.: Гидрометеоиздат, 1983. 271 с.

13. Груза Г. В., Клещенко Л. К., Ранькова Э. Я. Результаты численных экспериментов по прогнозу среднемесячных полей температуры воздуха над северным полушарием методом групповых аналогов. "Труды ВНИИГМИ-МЦД", 1980, вып. 77. С. 14 - 30.

14. Груза Г. В., Солдаткина А. М. О принципах построения метода прогноза погоды по аналогии. "Труды САНИГМИ", 1967, вып. 29 (44). С. 123 137.

15. Горбачева Н. А., Груза Г. В., Харманская Г. С. Основные статистические характеристики поля аномалий среднемесячной температуры. "Труды ВНИИГМИ-МЦД", 1976, вып. 13. С. 72 - 84.

16. Горбачева Н. А., Груза Г. В., Харманская Г. С. Пространственно-временные корреляционные функции поля аномалий среднемесячной температуры. -"Труды ВНИИГМИ-МЦД", 1976, вып. 13. С. 55 71.

17. Дроздов О. А. Метод построения сети метеорологических станций равнинной местности. "Труды ГГО", 1936, вып. 12 (3).

18. Дроздов О. А., Шепелевский А. А. Теория интерполяции в стохастическом поле метеорологических элементов и ее применение к вопросам метеорологических карт и рационализации сети. "Труды НИУ ГУГМС, 1946, сер. 1, вып. 13.

19. Есакова Н. П., Афанасьева В. Б. Вероятностный метод прогноза температуры на декаду. "Труды ГГО", 1981, вып. 446. С. 34-38.

20. Исаев А. А. Статистика в метеорологии и климатологии. М.: Изд. МГУ, 1988. 244 с.118

21. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. . -М.: Наука, 1973 700 с.

22. Колмогоров А. Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей. Изв. АН СССР, сер. математика, т. 5, № 1, 1941.

23. Колмогоров А. Н. К вопросу о пригодности найденных статистическим путем формул прогноза. "Журнал геофизики", 1933, т. 3, вып. 1. С. 78 - 82.

24. Кошевой В. М. Оценивание корреляционных матриц. "Радиотехника и электроника", 1986, т. XXXI, вып. 10. С. 1964 1974.

25. Краснопеев С. М. Статистическая модель регионального климата. Автореферат дисс. к. ф.-м. н. М., Гидрометцентр СССР, 1990.

26. Кузин И. Я. Регулизованное численное решение нелинейной двумерной обратной задачи теплопроводности. "Прикладная механика и техническая физика", 1995, вып. 36, № 1. С. 106 - 112.

27. Марченко А. С. Статистические методы в метеорологии. Новосибирск, изд. СО АН СССР. 1969. 290 с.

28. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Высшая школа, 1977. 456 с.

29. Мещерская А. В., Руховец JI. В., Юдин М. И., Яковлева Н. И. Естественные составляющие метеорологических полей. Л.: Гидрометеоиздат, 1970. 200 с.

30. Мещерская А. В., Блажевич В. Г. К оценке некоторых методических положений физико-статистического метода. "Труды ГГО", 1975, вып. 329. С. 54-64.

31. Мещерская А. В., Попова Н. Д., Николаев Ю. В. Опыт применения дискриминантного анализа для долгосрочного прогноза осадков. "Труды ГГО", 1972, вып. 273. С. 29 - 40.

32. Мещерская А. В., Шахмейстер В. А. О сравнении двух алгоритмов дискриминантного анализа. "Метеорология и гидродология", 1974, № 1. С. 47-55.119

33. Мещерская А. В., Леднева К. В., Блажевич В. Г. Характеристика дополнительной гидрометеорологической информации, используемой в физико-статистическом прогнозе. "Труды ГГО", 1975, вып. 353.

34. Обратные задачи и идентификация процессов теплообмена. VI Всесоюзный научный семинар. М., 1988. 232 с.

35. Петросянц К. О., Рябов Н.И., Харитонов И. А., Мальцев П. П., Маляков П.П Программное обеспечение для моделирования тепловых режимов интегральных схем. Автоматизация проектирования ОИВТА РАН. № 3, 1997, с. 49-54.

36. Постников Е.Б., Пытьев Ю.П. Статистический прогноз среднемесячных значений температуры воздуха и осадков.// Физические проблемы экологии (Физическая экология). Тезисы докладов II Всероссийской научной конференции, дополнение 2. -М., 1999. С. 3.

37. Пытьев Ю. П. Математические методы анализа и интерпретации эксперимента. -М: Высшая школа, 1989. 351 с.

38. Пытьев Ю. П. Методы анализа и интерпретации эксперимента. М: Изд. МГУ, 1990. 286 с.

39. Рациональное размещение сети гидрометеологических станций. "Труды ГГО", 1947, вып. 4(66).

40. Романовский В. И. Математическая статистика. М. Д., ОНТИ, 1938. 517 с.

41. Рубинштейн Е. С. Однородность метеорологических рядов во времени и пространстве в связи с исследованием изменения климата. Д.: Гидрометеоиздат, 1979. 79 с.120

42. Рубинштейн Е. С., Полозова Л. Г. Современное изменение климата. Л.: Гидрометеоиздат, 1966. 268 с.

43. Руковолство по месячным прогнозам погоды. Л.: Гидрометеоиздат, 1972. 365 с.

44. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. -М.: Наука, 1989.

45. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 288 с.

46. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 736 с.

47. Трофимов А. С., Крыжний В. В., Крыжняя Е. П. Расчет температуры теплопередающей поверхности по результатам косвенных измерений. -"Инженерно-физический журнал", 1995, т. 68, № 1. С. 156 159.

48. Уилкс С. Математическая статистика. М.: Наука, 1967. 632 с.

49. Чавро А. И. О возможности восстановления среднемесячного поля Н500 по некоторым его функционалам. "Метеорология и гидродология", 1998, № 1. С 46-54.

50. Юдин М. И., Мещерская А. В. Комплексный физико-статистический метод прогноза погоды большой заблаговременности. "Метеорология и гидродология", 1977, № 1. С. 3 - 12.

51. Юдин М. И. Физико-статистический метод долгосрочных прогнозов погоды. Л.: Гидрометеоиздат, 1968. 28 с.

52. Юдин М. И. Об изучении факторов, обуславливающих нестационарность общей циркуляции атмосферы. "Труды международного симпозиума по динамике крупномасштабных атмосферных процессов". - М.: Наука, 1967. С. 213-222.

53. Юдин М. И. Задача многоаспектной статистической оценки информативности прогностических соотношений. "Труды ГГО", 1975, вып. 329. С. 33-40.121

54. Юдин M. И., Блажевич В. Г. Оценка значимости предикторов на основе комплексного статистического испытания. "Труды ГГО", 1975, вып. 329. С. 41-53.

55. Юдин М. И., Голод М. П. Применение теории статистических решений к сверхдолгосрочному прогнозу осадков. "Труды ГГО", 1975, вып. 329. С. 74 -80.

56. Юдин М. И., Мещерская А. В. Некоторые оценки естественных составляющих как предикторов и предиктантов. "Труды ГГО", 1972, вып. 273. С. 3-15.

57. Юдин М. И., Мещерская А. В. Результаты применения физико-статистического метода прогноза осадков и температуры с большой заблаговременностью. "Труды V Всесоюзного метеорологического съезда". - JL: Гидрометеоиздат, 1972, т. II. С. 83 - 94.

58. Юдин М. И., Мещерская А. В., Блажевич В. Г., Голод М. П. Учет климатического тренда как средство повышения успешности долгосрочных метеорологических прогнозов. "Метеорология и гидродология", 1990, № 6. С. 11-20.

59. Яглом А. М. Теория корреляции непрерывных процессов и полей с приложением к задаче о статистическом экстраполировании временных рядов и к теории турбулентности. Автореферат докторской дисс. Геофиз инст. АН СССР, 1955.

60. Яковлева Н. И„ Мещерская А. В. Кудашкин Г. Д. Исследование полей давления (геопотенциала) методом разложения по естественным составляющим. "Труды ГГО", 1964, вып. 165.

61. Ярышев Н. А. Теоретические основы измерения нестационарной температуры. JL: Энергоатомиздат, 1990.

62. Beamont R. T. A criterion for selection of length of record for a moving arithmetic mean for hydrologie data. Transactions American geophys. Union, vol. 38, № 2, april, 1957.122

63. Enger J. Optimum length of record for climatological estimates of temperature. J of geophys. Res., vol. 64, № 7, july, 1959.

64. Grotch S., MacCracken M. The use of general Circulation Models to predict regional climate change. J. Climate, 1991, № 4, pp. 286 303.

65. Hensel E., Mills R. Steady-state two-dimensional inverse heat conduction. "2nd Int. Conf. Inverse Des. Cone. And Optimiz. Eng. Sei: ICIDES - II, Univ. Park, Pa, Oct. 26 - 28, 1987. Proc". University Park, Pa, 1987. pp. 267 - 281.

66. Johansson A., Barnston A., Saha S., Van den Dool H. On the level and origin of seasonal forecast skill in nothern Europe. J. Atmos. Sei., № 1, 1998.

67. Kim J.-W., Chang J.-T., Baker N. L., Gates W. L. The Climate Inversion Problem: Determination of the relationship between local and large-scale climate. Climate Research Inst, and Department of Atmospheric Sciences Oregon State Univ. Rep. №22, 1981.

68. Kuipers W. J. A. Density of networks. Organization Meteorologique Mondiale. Note Technique No. 30, Annexe 7, 1960.

69. Murphy A. H. Subjective quantification of uncertainty in weather forecasts. In: WMO Symp. on Probabilistic and Statistical Methods in Weather Forecasting, Nice, 1980. pp. 1 -22.

70. Storch H., Zorita E., Cubasch U. Downscaling of Global Climate Change Estimates to Regional Scales: an Application to Iberian Rainfall in Wintertime. Max Planck Inst, fur Meteorologie, Hamburg. Rep. № 64 , 1991.