О некоторых классах n-групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ОРДЕНА ДРУЖБЫ НАРОДОВ АКАДЕМИЯ НАУК СОВЕТСКОЙ СОЦИАЛИСТИЧЕСКОЙ РЕСПУБЛИКИ * МОЛДОВЫ

Ордена Трудового Красного Знамени Институт математики с Вычислительным центром

На правах рукописи

ДУДЕК Веслав А.

УДК 512.548

О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ п-ГРУПП

01.01.06 — Математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Кишинев — 1990

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Молдавской государственного университета им. В. И. Ленина.

Научные руководители:

член-корреспондент АПН СССР, доктор физико-математиче ских яаук

Белоусов Валентин Данилович

кандидат физико-математических наук, доцент Щукин Кро сарм Константинович.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Гварами. Алеко Алексеевич;

кандидат физико-математических наук Сухацкий Федор Нико лаевич.

Ведущая организация

Рижский государственный университет.

Защита диссертации состоится « » 1990 год;

в часов на заседании специализированного совета К.012.03.0 по присуждению ученой степени кандидата физико-математиче ских наук в Институте математики с ВЦ АН МССР по адресу г. Кишинев, ул. Я. Гросула, 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Академш наук Советской Социалистической Республики Молдовы.

Автореферат разослан «

1990 года

Ученый секретарь специализированного совета

£ Цксш^ Шабанова Е. И

ОЕЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Впервые П -арные группы (хотя и в неявном виде, без названия и без формально определенной аксиоматики) появились в 1904 г. в работе американского математика Э.Каснера |13]. Однако "отцом" /7 -арных групп считается В.Дерите, который в 1928 г. написал по инициативе "'мми Нётер статьи [3], в которой дал формальное определение ff-ap-ных групп и привел ряд интересных результатов, не имеющих аналога в обычных группах.

Исследования Дёрнте были успешно продолжены Э.Постом в его фундаментальном труде "Полиадические группы" [17],состоящем из 150 страниц. Полученные им глубокие результаты вызвали большой интерес у алгебраистов к Л?-арным группам. Несколько лет спустя появилось много работ в этом направлении. Появились новые сильные результаты (теорема Глускина-Хоссу) и новые методы (Белоусов, Глускин, Чупока, Михальский). Глазе-kv н Глри-^ропыхту уд^тосо доказать ь 1967 году, что класс всех П -арных групп является многообразием £7]. С другой стороны, оказалось, что на класс всех /7 -арных групп можно смотреть как на категорию [14] и исследовать категориые связи между группами различной арности [5].

Одновременно оказалось, что /*7-арные группы (прежде всего - тернарные) и близкие к ним алгебры уже изучались раньше, хотя и под различными другими названиями. Например, Бор (1952 г.) при изучении проективных пространств, Сертен (1943 г.), при рассмотрении аффинных пространств, широко, использовали тернарные алгебры с одной операцией, подчиненной некоторым тождествам ви ассоциативности. Такие алгебры встречались уже в работах Прюфера (1924 г.), Сушкевича

(1937 г.). Бляшке (1955 г.) и Вагнера (1956 г.).

. За последние 20 лет нашлись и новые интересные приложения. Напомним некоторые из них. Американский математик Гки-мала-Буссе написал цикл статей £9], посвященных приложениям /I-арных групп некоторого типа к теории алгебраических автоматов, а его ученица Джоб в своей диссертации [ 12^} нашла применения к теории кодирования. При изучении кривых третьей и высших степеней появились медиальные /7-группы. Медиальные /1 -группы, удовлетворяющие специальным тождествам типа коммутативности, играют значительную роль в некоторых областях дифференциальной геометрии 1.83, в аффинных пространствах [2] и комбинаторике [ю]. С некоторыми классами /1-арных групп сильно связаны (Тг/^^-кольца Чулош и КротСеза, (АТ^-группоиды Чупоны и ^-арные каг-егории Тоиенчарова, В связи с этим появились вопросы, связанные с приведением полной характериэации основных подклассов класса Л-груш» в том числе с определением простых условий (возможно, тождеств) , выделяющих эти подклассы в классе всех /7 -групп и в классе всех Н-группоидов.

Настоящая работа посвящена этим проблемам. Цель работы. Определить минимальную систему простых тождеств, выделяющих класс всех -групп из класса /7-группо-идов. Установить связь между основными подклассами класса П -групп, в том числе связь с подклассом медиальных /ц-грулп. Дать необходимые и достаточные условия принадлежности к данному подклассу /7-групп.

Общая методика исследований. Применяются методы современной алгебры и, в частности, методы теории /1-арных квазигрупп и групп.

Научная новизна и практическая ценность. Найдена минимальная система простых тождеств, однозначно определяющих класс h -арных групп.

Полностью описан класс медиальных /7 -групп. Найдены необходимые и достаточные условия, для того чтобы даннаяft-группа была медиальной.

Установлена связь между медиальными П-группами и /7-группами, удовлетворяющими некоторым типам частичной коммутативности.

Найдена харантеризация основных подклассов класса П -групп, содержащих псе ft -группы с данной частичной коммутативностью.

Описан класс дистрибутивных ft -групп и найдена его связь с классом медиальных ft-групп.

Доказано, что все рассматриваемые в диссертации подклассы класса hi -групп имеют неприводимые (первообразные) Л? -группы.

See резульхахы диссертации являются новыми.

Диссертационная работа носит теоретический характер. Приведенное в ней исследование может найти применение в комбинаторике, дифференциальной геометрии, а также в таких областях, как теория автоматов и кодирование информации.

Ар'иоация работы. Результаты работы докладывались на двух международных симпозиумах по ft -арным системам (г.Скопье, Югославия, 1982 г.; г.Варна, Болгария, 1983 г.), на трех международных симпозиумах по общей алгебре, работавших в Польше (г.Ополе, 1905 г., г.1Урава, 1980 г., г.Яадвисин, 1989 г.), на семинаре по алгебре под руководством З.Ст'Якови-ча и Я.Ушана (г.Нопи Сад, Югославия), на семинарах по алгебре, работающих в Польше (Варшава, Вроцлав, Торунь), а также

на семинаре по алгебре и математической догике Института математики с ВЦ АН МССР.

Публикации. По теме диссертации опубликовано восемь работ, список которых помецан в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация наложена на 89 страницах машинописного текста, состоит из введения и трех глав, содержащих 10 параграфов. Список литературы содержит 62 названия, в той числе и работы автора, написанные в соавторстве. Результаты атих работ не включены в предлагаемую диссертацию.

Используется сквозная нумерация утверждений и фэриул.

Первая глава состоит из трех параграфов. Первый параграф носит вспомогательный характер. В нам приводятся основные определения и результаты, необходимые в дальнейшем. Некоторые из них принадлежат автору,

йод /7-арной группой ( М ^ ) понимается ассоциативная ^7 -квазигруппа, т.е. /?-арный группоид (G9j) < в котором:

1°. Для всех 7 выполняется закон /1-ассоци-

2°. Для всех р у„у с^. б€ О уравнение

СОдаМНИЕ РАБО'Ш

имеет однозначное решение .У.^Сг на любом месте ¿=

/7 -Арная группа , в которой выполняется то-

ждество

, в которой выполняется то-

"С^бИ^А

где Н~ ¿(к-О^ ( » а ~ ^ипа арности

к*2. ,

называется приводимой от к -группы () • Неприводимая

/7 -группа - это Н -группа, не являющаяся приводимой от

группы меньшей арности.

В силу определения /7 -группы (С^Г- ) для любого ¿С(~Сг

существует однозначно определенный элемент ДГ^ О- такой, X С/Г-/) л

что^-гДГ уЛ. Этот элемент называется косым к йС, и обозначается символом . Элемент ¿¡С обозначает эле-

мент, косой к ОН ^ , где О, причем ОС . Та-

ким образом, в Ь -группе (О-^) существует однозначно определенная операция — ОС~*- СС • В общем случае под операцией ~~СХ1 понимается любое отображение /7-группоида

в себя такое, что ^(¡Х } СС.• Если (¿^х/^не явля" ется Л-группой, то операция — ; ¿С может не быть од-

нозначно определена.

В любой /7-группе (С7^ ) для всех ¿¡^/^ {/2,..., ^выполняются [3] тождества Дёрнте:

В § 2 доказано (следствие 2.3), что каждый или

(V7-/, Н ) -ассоциативный И -группоид СО^) с У 'арной операцией является /7-группой тогда и только то-

гда, когда для некоторых ¿ду € {¿^ Д./7^выполняются тождества Дёрнте в нем. Тем самым найдена минимальная система тождеств, однозначно определяющая класс Н-арных групп. Система эта состоит из двух тождеств Дёрнте и одного тождества типа ассоциативности. На примерах доказано, что эти три тождества необходимы.

Этот результат внве;, . из более общей теоремы 2.1. Другио необходимые и достаточные условия (не являющиеся тождествами)

аого, чтобы И -группоид был М -группой, получены в теореме 2.4.

В § 3 доказано, что в /1-полугруппе с унс4...лй

операцией — .* СС-*~5С. э в которой выполняется одно из тождеств

(Ц (ъ) _ ' га,

где ^^/ . . выполняется и

второе (предложение 3.2), причем является /7-груп-

пой (следствие 3.5). В случае А"— / или получаем

коммутативную /7 -группу (предложение 3.1). Для !< . существуют некоммутативные П -группы, удовлетворяющие этим тождествам. Существуют также /7-группы, в которых эти тождества не выполняются.

Во второй главе исследуются частично коммутативные И -группы, т.е. /7 -группы (¿т^) . в которых

Ж) в ~

для некоторой фиксированной нетождественной подстановки £ «5/7/у • /7-Группы с этим условием называются (5 -коммутативными.

В начале § 4 рассматривается класс коммутативных групп. Он достаточно описан в диссертации Тимма [18], поэтому здесь приводятся только условия, выделяющие этот класс из ■класса всех М-групп. Доказывается, что коммутативность /1-группы равносильна ее (5-коммутативности, где (5-(¿}¿-+ 1 )■, а {. принимает одно из значений (предложение

4.1). Находится также критерий коммутативности на языке [обратимых операций (предложение 4.2), и для всех /7 ^устроятся неприводимые коммутативные /7-группы (теорема 4,3).

В § 5 исследуется класс медиальных /-¡-групп. Этот . класс замкнут относительно изотопии (теорема 5.6).

ТЕОРЕМА 5.9. Если в медиальном /?-группоиде су-

ществует нейтральная последовательность ^^ „.^ такая, что для всех Л^.^б О , то (0^)

является коммутативной /7-полугруппой.

Очевидно, медиальная (1 -группа с непустым центром коммутативна.

Кроме того, в § 5 приведен ряд условий, эквивалентных ме-диальности, и для всех П построены неприводимые медиаль-

ные /7-группы.

В § 6 описан класс /?7-полуабе левых Л -групп, т.е. /7-групп, являющихся (¿-коммутативными для(5-

/7) , где /г?- / делит /7-/ . Этот класс содержится в классе медиальных /7-групп, а ,2-полуабелевы /7-группы являются коммутативными.

ТЖРКМД А.т. Группагг/-иолуао'елева тогда и только тогда, когда

п 2 »1-2 м-2

где (О,*) - абелева группа, О- , - ее автомор-

физм, причем бВ^Ь и д^ Для всех £ .

СЛЕДСТВИЕ 6.2. Для того чтобы /7 -группа была /77-полу-абелевой,необходимо и достаточно, чтобы она была^/77-/-¿- /у--коммутативной для некоторого ..¿7-/77-*

В § 7 исследуются слабо /77-полуабеяевы /7 -группы,т.е.

/7-группы, в которых для всех <Х.Ц последовательности

(»14) (тЧ) . 9 а .

' ^ и у ¿С ( /77- 7 делит П -1 ) эквивалентны в

смысле Поста.

ТЕОРЕМА 7.3. Ь -Группа ) слабо М -лолуабелеьа,

- 8 -тогда и только тогда, когда

г-, г-Р1'2 _

где (Ог) - группа, 8 - автоморфизм (01~) ,

причем £!в=6 . у , =

* у-ву-62у>„;в'П~2у. принадлежит

центру группы (О9 ■>) •

СЛЕДСТВИЕ 7.5. Слабо /¡»/-полуабелева М-группа будет Ьп -полуабелевой тогда и только тогда, когда она медиальна. Доказывается, что для всех /7-5существуют неприводимые ?П-полуабелевы и неприводимые слабо /77-полуабелевы Ь -группы.

В § 8 находятся общие свойства (5" -коммутативных /7-групп и приводятся условия, при которых <5 -коммутативный /7-группоид является /7-группой. Основной результат здесь - это теорема 8.6, определяющая связь между (Э -комцутативными и медиальными /^-группами, и теорема 8.8, в которой дается критерий (о -коммутативности, где М-Ь /

ТЕОРЕМА. 8,6. Все (5 -коммутативные /7-группы меди-альны.

ТЕОРЕМА 8.8. Пусть { • Для того чтобы

/7 -группа ((3-?^) была (Э -коммутативной, необходимо и достаточно, чтобы

/(¿с*)• влу..; в" х^-а^6,

где • ) - абедева группа, $€. О- , , в -

автоморфизм группы (03 " ) , причем

^ _ рде^^^ _ ^Ьф^) , , , для всех «2!€ £ .

СЛЕДСТВИЕ 8.13. Классы П-групп:

- альтернативно симметричных,

- тотально симметричных,

- (¿у 6^/,..., /)-коммутативных, 7 , совпадают.

ТЕОРЕМА 8.14. Неприводимые альтернативно симметричные Л7 -группы существуют только для , где

В третьей главе исследуются два класса /7-групп, не имеющих никаких бинарных аналогов, кроме одноэлементной группы. Первый класс - это класс дистрибутивных /7-групп, т.е. класс /7 -групп (7?,./) ' в К0Т0РЫХ операция Дис-

трибутивна относительно ^ . Второй класс, рассматриваемый в § 10, - это класс автодистрибутивных /7-групп, т.е./7-групп, в которых /7-групповая операция дистрибутивна относительно самой себя. Второй класс является подклассом первого и подклассом класса медиальных /1-групп (теорема 10.2), причем класс дистрибутивных Д-групп и класс автодистрибутивных 3 -групп совпадают (следствие 10.6).

ТЕОРЕМ 9.6. Дистрибутивная М-группа является объединением непересекающихся изоморфных между собой /7-арных подгрупп вида , . ..у где р - наименьшее натуральное число, при котором СС г^=г¿С • Кроме того, делит /7- / .

ТЕОРЕМА. 9.7. Дусть /7-группа ) дистрибутивна.

Тогда для любого СС€-С? С¡£ является нормальным делителем ретракта (Сг9*) , где О'б^^Х . причем лю-

бой смежный класс относительно является /-7-арной подгруппой в

ТЕОРЕМА 9.8. Если /1 -группа CGif ] дистрибутивна, то операция — ; ¿С является автоморфизмом /7 -группы

» порождающим в группе QJ%u~t (¿г, J J всех автоморфизмов ) циклическую подгруппу, являющуюся нормальным делителем группы q/£u£(•

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Гальмак A.M. Абелевы П -арные группы и их обобщения // Вопросы алгебры, Минск, 3 (1987), 86-93.

2. Batbedat А. Prltaodules, prealgebras et leur contexte affine// Thesis l'Universite Lyon, 1974.

3. Dornte W. Untersuchungen über einen verallgemeinerten Gruppenbegriff// Math. Zeitachr. 29(1928), 1-19.

Ц-. Dudek W.A., Glazek K., Gleichgewicht; B. A note on the axioms of n-groups//Coll. Math. Soc. J. Bolyai^.Universal Algebra, Esztergom 1977« 195-202.

5. Dudek W.A., Michalski J. On retracts of polyadic groups// Demonstratio Math. 17(1984-) ,281-301.

6. Evans T. Abstract mean values// Duke Math. J. 30(1963), 331-54-7.

7. Gleichgewicht В., Glazek К. Eemarks on n-groups as abstract algebras// Coll. Math. 17(1967), 209-219.

8. Goldberg V.V. Theory of multicodimensional (n+1)-webe// New York 1983.

9. Grzyoala-Busae J .17. Automorphisms of polyadic automata// J. Aßooc, Computing Machinery 16(1969), 208-219.

10. Hoffaan D.G. On the spectrua of n-quasigroups with given conjugate invariant subgroup// J. Combin. Theory, Ber.A, 55(1983), 9S-99.

11. Hoesaü I,I. Oa the explicit forra of n-group operation// Publ. Math. Debrecen 10(1963), 88-92.

12. Job Т. On polyaiic cubes// Dissertation, University of Illinois, Chicago 1989.

13. Kaaner E. An extension of the group ooncepV/Bull.Amer. Math. Sob. 10(1904), 290-291.

14. MlchelafcL J, On the category of n-groupa// Fond., Math. 122(1984), 187-197.

15. Michalski J. Covering k~groups of n-groups//Arch. Math. (Brno) 17(1981), 207-226.

16. Mont J.D., Sioaon Я.1Д. On the general theory of m-gro-ups// Jund. Math. 72(1971), 235-244.

17. Post 33.L. Polyadic groups// Trans. Amer. Math. Soo. 48(1940), 208-350.

18. Timm J. Kommutativa n-Gruppen// Dissertation, Hanburg, 1967.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ■

1. DaAek W.A. йеиагкв on n-groups// Demonstratio Math'. 13(1980), 165-181.

2. Dudalc VI.A. On en.todiotritutivo u-groups// Proc. of the Symposium "n-агу structures", Skopje, 140.

3. Dudele W.A. Autodistributive n-groups// Comm.Math, Annalea Soc. Math. Polonae 23(1983), 1-11.

4. Dudele W,A. On soma group-like Uenger n-groupoids//Eroo. II Intarnational Syrap. "n-ary structures", Varna,1983, 83-93.

5. Dudek Vi.A. Remarks on alternating symmetric n-quasigroupe //Zbornio rad. Prir.-mat.fak. Univ. u Jiovoa Sadu 15(1985), Ho 2, 67-78.

6. Dudok W.A. On (i,¿^-associative n-groupoids with non-ешр-ty oenter//Ricerche Math. (Mapoli) 35(1SB6), 105-111.

7« Dudek W.A. Medial n-groups and skew elements// Proc. of th.e V Universal Algebra Symp. Turawa'SB, Singapore 1989, 55-80.

8. Dudek W.A. On m-semiabelian n-ary groups//International Conference "Universal algebra, quasigroups and related systems", Abstract of talks, Jadwisin'89, Watsaw 1989, 10.

nonnHcaHO e nsiaTi 17.07 . 90. «JopjwsT 60x84 1/16. Odteii 0,75 nev./i. OTnevaTaiio na poTanpiiHTe. 3ara3 31-1, Tnpos 100.

Tiinorp?r?fw iisnaTGJiiCTfla "iiirjumna". 277004, KmuiiHBP, BenpapiiKn, B.