О некоторых L-функциях многочленов над конечным полем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

НОВОСИБИРСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ Государственный университет имени Ленинского Комсомола

сп На правах рукописи

ФОМЕНКО Максим Николаевич

УДК 512.624.2

I. ИКОТОРЫХ I -ФУНКЦИЯХ КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ НАД КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ

01.С 06 - математическая логика, алгефа и теория чисел

Автореферат дгг оертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1997

Работа выполнена в Институте теоретической и прикладной математики Нац, АН Респ. Казахстан.

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор Чубариков В.Н., кандидат физ.-мат. наук, доцент Бикентьев A.A.

Ведущая организация - Омский государственный университет.

Защита состоится "_" _ 1997 г. в ,_

часов на заседании диссертационного совета Д 002.23.01 при Институте математики СО РАН по адресу: 630090, г.Новосибирск, 90, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан " _ " _ 1996 г.

»ТГ Л АТ#»чЛ

С.Т.Федоряев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Пусть А - Р^ ~ (у ) - поле Га-

луа из Ч ~ Р$ элементов, р - с/,лг - характеристика поля 4. , М - мультипликативная полугруша нормированных многочленов из ^ С х 1 t - множество многочленов f £ М > степень с/«| (-[ ) которых равна Л . Хорошо известна принадлежащая Гауссу классическая формула для числа /У^ „ норми -

рованных неприводимых многочленов степени п Ь 1 над ^ :

«1шЯ-Ц ГЫ),™, ®

где /ч (и) - функция Мёбиуса, Большое число работ посвящено оценке числа неприводимых в {[х1 многочленов с теми ют иными ограничениями на коэффициенты многочлена (обширную библиографию по этому вопросу можно найти в [I] ). Один из возмож -ных типов ограничений состоит в том, чтобы некоторые из ко эф -фициентов {¿к неприводимого многочлена

-к

f<K)= С, * + (2)

имели фиксированные значения t € , в то время

как остальные коэффициенты принимают произвольные значения в

В частности, ряд работ группируется вокруг гипотезы Човла [2] ' о том, чю число неприводимых (нос/ р многочленов вида

х + t ( £ £ ) имеет асимптотику ^ р при р~*оо

(гипотеза Човла почти полностью подтверждена Р.Ри [з] , дока-каэательство которого основывается на теореме Бёрча и Суиннер -тон-Дайера [4] о том, что группа Галуа многочлена над полем рациональных функций ( £ ) является при р % 2я симметрической группой • В этом случае

Ри показал, что число неприводимых "многочленов Човлы". равно ~ <]+ О () > ? = í » частные результаты по проблеме содержатся в [5] , [б] ).

Д.Хэйс [?] дал оценку для числа неприводимых многочленов (2), у которых фиксированы первые $ коэффициентов

и последние £ коэффициентов. Наиболее общий результат в этом направлении получен С.Коэном [8] , который установил, что для любого набора фиксированных коэффициентов С- ¿¿т в

(2) (при условиях ^ ф 0 , р и -¡(к) 4 | [хя ] для фиксированного А > 1 ) число неприводимых многочленов этого

вида имеет асимптотику <] + О ^ } оо ) ,

рассмотрев одновременно аналогичный вопрос дня числа многочленов из М , разложение которых на неприводимые множители над | = р^ содержит ^ множителей 1-й степени, множителей

степени 2 и т.д., X к А = п • Результат С.Коэна означает, * *

что эта асимптотика, грубо говоря, не зависит от значений 0[с1 > так неприводимые многочлены в (как и

многочлены с другими наборами А, , Л2 t . ч, ) расцродэлены в определенном смысле равномерно по значениям своих фиксированных коэффициентов. Другим методом подобные результаты получил С.А. Степанов [ 9 ] .

Отметим прикладное значение этих вопросов. Как известно, неприводимые многочлены над конечным полем применяются для нелинейного кодирования сообщений. Чем больше число перестановочных (т.е. задающих перестановку поля F^ ) многочленов при заданной емкости кода, тем сложнее задача дешифровки. В связи с этим приобретает особое значение проблема оценки числа неприводимых mod р многочленов, коэффициенты которых находятся в фиксированном интервале длины К << р . Однако эта проблема выходит за рамки настоящей диссертации.

Известно сравнительно мало случаев, когда удается установить точную формулу (т.е. алгебраическое выражение типа (I) через известные функции) для числа неприводимых многочленов

fett* специального вида. Ряд таких случаев указан в [ю] (см. также [il] ,[12] ). Например, С.И.Гельфэнд [13] исследовал вопрос о числе неприводимых многочленов 3-й степени над , коэффициенты которых удовлетворяют фиксированному линейному соотношению..

Одной из интереснейших проблем, на стыке алгебры (теории конечных полей) и теории чисел, является вопрос о нахождении числа («,,•••; J неприводимых в £ [х] многочленов (2), у которых первые tn коэффициентов имеют фиксированные значения ti - ön е ^ ( С - I,. , т ) ; по определению считается, что а^ - О при «1 > п .В простейшем случае т =1

эта проблема была решена Л.Карлицем [14] (см. также [ю] ) а для «1=2 - Е.Н.Кузьшшш [II] . Частный случай этой цро-блемы .при т = 3 рассмотрен в [12] . При малых п к решению цроблемы применим элементарный метод Д.Ватсона [ 15] , который позволяет решить и более тонкую проблему об определении числа многочленов из Мп > имэидих тот или иной тип разложения на неприводимые множители. Однако возможности этого метода ограничены, так как с ростом 1 быстро растет число типов разложения многочленов f (х) ( М .

Другой подход к проблеме предложен Д.Хэйсом [7] . Определим, следуя Хэйсу, на полугруппе Л1 конгруэнцию дт .полагая f = 2 (мое/ 9т ) . если первые м коэффициентов я,, ... , лт многочлена (х) совпадают с первыми коэффициентами ^ (х) (считается, что ас = 1 и 0.^-0 , если ^ >п = /е^ (() ). Тогда фактор-полугруппа М/в^ является абелевой р -группой Сж порядка ^ * , элементы которой могут быть представлены как .упорядоченные т -наборы >••• > ) элементов поля | . С характерами ^ группы

обычным образом связывается С -функция С р ) комплексного переменного И (см., например, [I] ), которая для нетривиального характера ^ (/^^о) я31®18™ многочленом степени $ и может быть представлена в виде

где со. = со. (ус) € С • (Если /=/ув , то I (г,у) = (1-<\г)').

Исследование этой функции позволяет получить оценку для числа ' H ) ИЛ11 Даж9 получить для него точную формулу в

виде функции от , которая, в частности, может оказаться

! Я -«1 ,

многочленом со старшим членом ~ ч (в соответствии с

упомянутым результатом С.Коэна). Этот подход оказался эффок -тивным в случае ж = 2 fII] , когда L (z,j: ) принимает вид L (z,f ) = î + cj z . Отметим, например, что, как показано в [il] , _если скат. (=р>2 я »то

- i

где j* (я ) - функция Мёбиуса и

S (а, п) при (pt /7 ) - i определяется формулой

) =

l-i _ ¿.i .î -Г 2 «-*)

г- Iе'1 1 ((-0С1 ) , « = 2C + i>

а при р /и - формулой

j чп~1+ч1~\((-1Г) , п.

à (л, п ) = \

f'1 + Iе Ч«-1)€2<К) ,

i .

где у - квадратичный характер поля

Для сравнения, из результатов Л.Карлица следует, что при

а 4-О число Ип (л) не зависит от « и дается формулой

(5)

В [II] показано, что величина со - uj

(je) в формуле

L (z, у ) - i t z дая любого нетривиального характера

у группы G«, либо равна 0, либо удовлетворяет равенству i/2

¡co\ = (j . Это дало Е.Н.Кузьмину повод высказать гипотезу (см. [20 ] ), что дая любого щ > i и любого характера

yt 4 J£c ненулевые величины в равенстве L (z, je ) = = /7(l+to. z) также обладают свойством ¡о, ¡ = yh , точный аналог известной гипотезы Римана - Вейля ддя алгебраичес -ких многообразий, доказанной П.Делинем fl6j . Частичным подтверждением гипотезы Кузьмина явились результаты, получен -нне автором в [2о] .

Цель работы состоит в изучении функции ¿ (z, f ) при м >2,

в частности, проверке гипотезы Е.Н.Кузьмина, а также исследовании строения группы Gw , инвариантном описании ее однородных

степени р компонент при стандартной реализации Qm как алгебраической группы на аффинном пространстве ^ "" •

Общая методика исследований. В работе используются методы теории чисел, теории конечных шлей, а таете теории групп и теории симметрических многочленов (в главе об алгебраическом строении группы Gm при произвольном т ).

Научная новизна. Все основные результаты диссертации явля-

ютеЯ НОВЫМИ. \

Практическая ценность. Результаты и метода диссертации дают вклад в теорию неприводимых многочленов над конечным полем . Они могут быть использованы в дальнейших исследо -ваниях специальных классов неприводимых многочленов над , а также при чтении спецкурсов по данной проблематике. Помимо этого, результаты и методы гл. 2 дают определенный вклад в теорию симметрических многочленов над полями простой характеристики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре "Алгебра и логика" при Новосибирском государственном университете, на семинаре "Теория колец" им. А.И.Ширшова при Институте математики Сиб. отд. РАН, на семинаре отдела алгебры Института теоретической и прикладной математики Нацио -нальной Академии наук Республики Казахстан.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I?] - [20] .

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и библиографии.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава I "Свойства -функции кольца многочленов над конечным полем, связанной с нахождением числа неприводимых многочленов специального вида" состоит из шести параграфов и посвящена исследованию функции , упомянутой выше, при различных т и с^аъ 4. . в частности, вопросу о справедливости равенства ¡и>с | = ^ ''а для ненулевых и нетри -виальных характеров р .

В § I "Общие замечания и предложения" вводятся основные понятия и обозначения, для которых доказываются некоторые предложения общего характера.

В § 2-"Случай м = 3 и с-к&х I >3 " детально рассматривается указанный случай, он дает почву для обобщения (в § 4) на случай произвольных с-Алг А = р > т . Как и в § 2, в этом общем случае гипотеза о модулях с«к подтверждается, а группа С т является элементарной (показателя р ) абелевой р -группой. ^

В § 3 "Случай т= 3 , р- 2 " группа С <] -2*) перестает быть элементарной, тем не менее гипотеза Кузьмина снова подтверждается. Основным результатом этого параграфа является

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5. Если р = ьклх £ = 2 ' / ~ нетривиальный характер группы С} , то ¿.(г,/)-(!+&, . где для любого С ~ 1,2 либо оз . - О , либо ¡со. | = у ^

В § 4 "Случай р - с^каг Ь > т " основным результатом является

ТЕОРЕМА I. Пуогь р ■= с^лг ■$.>*> ' / " нетривиальный характер группы С-т . Тогда (г,^) = /у*"' (±+ г) , где

для любого с либо = О , либо | I - у

В § 5 "Случай т ^ р= скаъ " удается получить лишь частичное подтверждение гипотезы Кузьмина. Если м - 2-1+1 или т = 1С + 1 , где 1 , то О^ содержит подгруппу й , состоящую из элементов вида (о.....о, а,,..., а.4 ) ,

«. е 4 • При этом в> ~ 4. - элементарная абелева

о 0

группа, а сужение любого характера ус € С на о дается

J

формулой

гдэ уI - канонический аддитивный характер поля зС • В этих обозначениях имеет место следующий основной результат § 5: ТЕОРЕМА 2.' Если у е - характер, для которого

то (1 + и.г] , где /*>,... I = <? •

и —I ' -----------'

При т=3 остался неисследованным случай р = - 3 . В § 6 "Примеры для случая »-и ^ ^о ~ сАл г 1 " рассмотрены случаи ™ ~ р - 3 , 4-3,3* . В этих примерах гипотеза Е.Н.Кузьмина снова подтверждается, поэтому можно

ожидать, что она верна и для любого поля - при

Ил - т скал 4. - 3

Глава П "Алгебраическое строение группы С*, при произвольном т " состоит из двух параграфов, § I "Предварительные замечания и примеры" содержит конкретные примеры разложения группы на однородные компоненты, которые являются рациональным подмногообразиями в ^ н . Рассматриваются случаи р ~ 2 , $ б и ги = р т где р - нечетное простое число. В § 2 "Разложение £т в произведение однородных полиноми -альных подгрупп С^ „ " рассматривается общий случай и доказывается основная теорема этой главы, в которой с помощью некоторой системы инвариантов описывается алгоритм разложения в прямое произведение формульных однородных подгрупп „ . Нумерация формул (определений, утверждений) в различных

главах независимая.

Автор пользуется случаем выразить глубокую благодарность своему научному руководителю Е.Н.Кузьмину за внимание и помощь в работе.

Литература

1. Р.Лидл, Г.Нидеррайтер, Конечные поля, , М., Мир, 1988, Т.1.

2. $. С{,о*£а. , А по(е о„ О,* с] Г^с^е С«<оС5 f¿e¿c¿s ЬР ((>"),

Л¡>¡>1, (5 (13 66),

3. Я. Я** , р^со/ с/ а и>у'*Личе of

3, /V Тиоъ# , з, //2 ((Ш), гю-г/г,

4. в. 3. &СгсЛ , И.р.р. - Ъ^г , Л/с 6 е-

« АЛа А-ий., Г(/9*9),

5. К. 5, ИА-/&

. а

МлЫ. 12 (1963),

6. £ /1. /.ео/тлгс/, -сх€е*г-Не* of Л/015 ^ /"ег ^ ГГ^Л^-Я

cf Л

СР(<1, *} , Тыы.Ами. Ле., /г?

^Ск^е. , 3. ¿елУв/. Ма.О*. $оС. , %ег.

/б, Л// 93-/02.

9. С.А.Степанов, 0 числе неприводимых в Сх 3 многочленов специального вида, УМН, 40, Л» 4 (1985), 199-200.

10. Е.Н.Кузьмин, 0 неприводимых многочленах над конечным полем, Сиб.матем. ж., 30, гё 6 (1989), 98-109.

11. E.H.Кузьмин, 0 неприводимых многочленах над конечным' полем и одном аналоге суш Гаусса над полем характеристики 2, Сиб.матем. ж., 32, ü 6 (1991), 100-108.

12. Е.Н.Кузьмин, 0 неприводимых многочленах над конечным полем, Алгебра и логика, 33, № 4 (1994), 387-414'.

13. С.И.Гельфанд, 0 неприводимых многочленах над конечным полем, УМН, 24, & 4(1969), 193-194.

14. L.Caz&tz , А of SW*«,-fUpomiaJti, Рг*с, L*. ИЖ Sc е., 3, Л/S (tSSl ), 6?5

15. G,L. fc, S«~s of MSkt ««¿*es of й c«Ac

0. и. Je, MM. S,c.f U. fit 2

16. П.Делинь, Гипотеза Вейля, УМН, 39, № 5 (1976), 159190.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

17. М.Н.Фомэнко, 0 неприводимых многочленах специального вида над конечными полями, Деп.Казгос., ИНГИ, вып. 2 (1994),

№ 4850, 41, Алма-Ата.

18. М.Н.Фоменко, 0 свойствах (_, -функции, связанной с одним классом неприводимых многочленов, Деп. Казгос. ИНТИ, вып.

4 (1994), № 5401, 32-33, Алма-Ата.

19. М.Н.Фоменко, 0 некоторых ¿-функциях кольца многочленов над конечным полем, Деп.Казгос.ИНТИ, вып.4(1994), №5402, 33, Алма-Ата.

20. М.Н.Фоменко, 0 некоторых L -функциях кольца многочленов над конечным полем, Алгебра и логика ,35,№4(1996) ,474-495.