О почти геодезических отображениях пространств аффинной связности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫ!! УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. ЛЕНИНА

Специализированный совет К 053.01.02

Па правах рукописи

БЕРЕЗОВСКИЙ Владимир Евгеньевич

О ПОЧТИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1991

У/ / 'У -< Л/

Работа выполнена на кафедре физики и математики Уланского государственного педагогического института им. П. Г. Тычины.

Ведущая организация — Казанский государственный университет им. В. И. Ульянова-Лещина. --

на заседании специализированного совета 1г U0d.Ui.Ui: по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Московском педагогическом государственном университете им. В. И. Ленина но адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ нм. В. И. Ленина (адрес университета: Москва, 119435, Малая Пироговская, 1, МПГУ им. В. И. Ленина).

Научный консультант:

кандидат физико-математических паук, доцент Й. МИКЕШ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В. Ф. КИРИЧЕНКО,

доктор физико-математических паук, профессор Л. Е. ЕВТУШИК

Автореферат разосз

Учены ¡ашшго совета

А. КАРАСЕВ

1991 г.

fr Xi^rf - 3 -

' '' ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ M. Работа посвящена дальнейшему исследованию теории геодезических и почти геодезических отображений пространств аффинной связности. Эти теории идейно восходят к работе Т. Леви-Чивига [ij , в которой он поставил и решил /в специальной системе координат/ задачу о нахоздании собственно-римановых пространств с обциыи геодезическими. Примечательно, что она была связана с изучением уравнений динамики механических систем.

Затем теория геодезических' отображений развивалась в работах Т. Томаса, Г. Вейля, П.А. Широкова, А.З. Петрова, A.C. Солодов-никова, Г.И. Кручковича, Н.С. Синвкова, A.B. Аминовой, й. Микэ-ша и др. ([г] - [?]) .

Вопросы, поднятые при изучении геодезических отображений,были развиты В.ф. Каганом, Г, Врэнчану, П.К. Рашевскиы, Л.Я.Шапиро, Д.В. Воденяпишм, А.З. Петровыми др. (f8j - [ll]j .Перечисленными авторами найдены специальные классы (П-2) - проективных пространств.

А.З. Петровым было введено понятие квазигеодезических отображений. Специальными квазигеодезическиш ото б]р аканиями,в частности, являются голоморфно-проактивные отображения нелеровых пространств, рассмотренные первоначально Т, Отсуки и Я. Таснро

[IIJ •

Естественным обобщением этих классов отобрахзний являются почти геодезические отображения, введенные Н.С. Синюковым.Им яа выделены три типа почти геодезических отображений, а тагаа частные случаи отдельных почти геодезических отображений.

В последствии почти геодезические о то браке ник рассматривались в работах B.C. Шадного, B.C. Собчука, Н.В. Яблонской и др. ([[фи..

Естественно, что дальнейшее исследование геодезических и почти геодезических отображений и преобразований является актуальной задачей.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Цель работы заключается в следующем: а/ исследовать полноту классификации почти геодезических отображений и бесконечно малых почти геодезических преобразований пространств аффинной связности;

б/ изучить почти геодезические отображения типа {¡¡^ на некоторые специальные пространства аффинной связности;

в/ исследовать почти геодезические отображения типа 'Романовых пространств, при которых сохраняется система (X - ортогональных гиперповерхностей;

г/ изучить основные уравнения геодезических отображений пространств аффинной связности наримаяовы пространства.

МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ. Исследования ведутся в тензорной форме, локально, в классе вещественных достаточно гладких функций.

НАУЧНАЯ НОШЗНА. В работе доказано, что при размерности пространств Щ>£ классификация почти геодезических отображений полная, т.е. не существует других типов этих отображений кроие {}11 , §1 ^ , . Этот яа результат имеет ызсто и для бесконечно малых почти геодезических преобразований, а также дал почти геодезических отображений и преобразований общих пространств аффинной связности.

Найдены метрики римановых пространств, которые допускают почти геодезические отображения типа {/¡у при сохранении системы /I - ортогональных гиперповерхностей.

Ввделены специальные почти геодезические отображения типа ^ » для которых найдены инвариантные геометрические объекты и изучены их другие свойства.

В работе основные уравнения геодезических отображений пространств аффинной связности Дц на рямановы пространства получены в виде замкнутой системы типа Коши в ковариантных производных. В случае, когда Дп является эквиаффинным пространством, эти уравнения получены в виде линейной замкнутой системы типа Коши в ковариантных производных. Указан произвол решений основных уравнений.

Все результаты являются новыми.

ПРАКТИЧЕСКАЯ И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации, является естественным дополнением известных фактов теории геодезических и почти геодезических отображений пространств аффинной связности и поэтому представляют теоретическую ценность с точки зрения геометрии. В тоже время они могут быть использованы в теории относительности и теоретической механике.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции по современным проблемам геометрии /Дубровник, Югославия, 1988г./, на Всесоюзных . У1Д /Одесса, 1984/ и IX /Кишинев, 1989/ конференциях по ■современный проблемам дифференциальной геометрии, на научном семинаре кафедры геометрии Казанского госуниверситета /руководитель проф. Широков А.П./, научном семинаре кафедра геометрии Московского педагогического государственного университета им. В,И, Ленина /руководитель проф. Кириченко В.Ф./, на научном семинаре кафедры геометрии и топологии Одесского госуниверситета /руководители доц. Лейко С.Г. и доц, Микеш й./, на конференциях молодых ученых ОГУ /1964, 1966гг./, на научных, конференциях преподавателей Уманского пединститута.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результате диссертации опубликованы в работах |{17] - [26^ . В совместных публикациях соавтору /доц.Мк-кещу й./ принадлежит постановка задач. Кроме этого, доказательство леммы 2.4 полностью принадлежит Й.Микепу, что отражено в тексте диссертации.

свдзданиЕ .ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация изложена на 104 страницах машинописного текста и включает введение, четыре главы и список литературы из 54 наименований.

Первая глава /§§ 1-3/ посвящена исследованию вопроса о полноте классификации почти геодезических отображений и бесконечно малых почти геодезических преобразований.

Напомним основные факты и понятия теории почти геодезических отображений пространств аффинной связности, которые изложены в первой параграфе.

Пусть ¡[¡1 - пространство аффинной связности без кручения(Г^Д

отнесенное к локальной системе координат Л , Д , ... , Л с 'Ь /л „ _ I . „Л _ «Л,

объектом связности /пМ • Кривая I' ^ - % ({) называется с

почти геодезической линией, если ее касательный вектор л 85

удовлетворяет уравнениям }\\ ' * §{{) Ь .

i*1 ез № х^ аь л и '

где /1 ^ /I { л^ —/). , запятая обозначает ко-

вариантное дифференцирование по связности , 0 , $ - не-

которые функции параметра í . В частности, когда ^ ,

то Ь является геодезической линией.

Отображение на Ип называют /аочти/ геодезическим,если каждая геодезическая линия переходит в /почти/ геодезическую линию Ац [7] .

Для того, чтобы отображение Лл на Лд, было почти геодезическим, необходимо и достаточно, чтобы в общей по отображению

системе координат X тензор деформации связностей ^

Р. ; (К) ^ П; (X) Г. ДО удовлетворял тождественно относительно ^ ,

.и <?¥л М А1 Аа л г ... , л и Л , /1 , ... , <1 условиям:

где /,','д ~ ¡/¿; ~~ Ри{) ; й и $ - некоторые иквариен-

О* иъ иП

ты, зависящие от X » X , ••• I Д и компонент некоторого вектора Л , Л , ... , ^ , кругл,-9 скобки обозначают сиымотряро-йаниэ с делением [7] .

Как известно [7] , налагал на инварианта О. а 0 определенные условия, выделены три типа почти геодэзичзских отображений

Да

на 1 4т, которые характеризуются соот-

ветственно условная!:

С> +

Н Ь

гдэ йу ,- стйгатрячэскнв тензора, (Г -.символы Кронекера» ^I ' • ^» ^ ~ теизо^ы соотззтствупгттх ва-

лентностей, скобки (П) обозначаю» скшэгрировашэ боз деления.

Аналогично определяются бесконечно малые почти геодезичес-. кие преобразования [15] и почти геодезические отображения и преобразования пространств аффинной связности с кручением [и] .

В § 2 доказаны следующие теоремы:

Теодема.^Х Других типов почти геодезических отображений пространств аффинной связности /^Л при , кроме 51 ^ и ^з , не существует.

Теооема_212 Других типов бесконечно малых почти геодезических преобразований пространств аффинной связности при И >5 , кроме и -л т , не существует»

Аналогичная теорема имеет место, для почти геодезических отображений и преобразований общих пространств аффинной связности. йз теоремы 2.1 также вытекает, что при (I> 5 существует только трл типа (ц - 2) - проективных пространств.

В § 3 изучен вопрос об условиях, при которых происходат пересечение указанных типов почти геод?зи;чоскис отображений.

Имеет место

Если почти геодезическое отображение | является одновременно и > то j является отображением пространств аффинной связности с сохранением линзйного комплекса геодезических линий.

Тео2§ма_3А2 Если почти геодезическое отображение | явля-С с

ется одновременно Л^ \\ Л 3 , то ^ является отображением пространств аффинной связности с сохранением квадратичного комплекса геодезических линий.

На основании указанных вше теорем естественным образом выделяются типы почти геодезических отображений: & Л 51 п и

" с,

Отображения Л характеризуются тем, что сохраняет линейный комплекс геодезических линий, а Л^ - сохраняют квадра-

тичный комплекс геодезических линий.

При дополнительных условиях отображения типов (¡1 < , {¡I % , , $ и попарно не пересекаются. Если размерность пространств П* 5 го указанные типы образуют полную классификацию почти геодезических отображений.

Глава 2 посвящена изучению почти геодезических канонических

г*

отображений типа пространств аффинной связности на специальные пространства аффинной связности.

Ранее доказано [1б] , что основные уравнения канонических почти геодезических отображений пространств аффинной связности Дп на Рлччи-симметрические риманош пространства можно представить в виде замкнутой системы типа Кош в ковариантных производных. Следовательно, семейство всех Риччн~ скмметричесуих риыановых пространств Уп < на которые допускает отображение Ш^ некоторое заданное пространство аффинной связности, зависит от конечного числа параметров. Обобщению и усилению этого результата посвящена вторая глава.

В общей случае, основные уравнения теории канонических почти геодезических.отображений пространств аффинной связности не сводятся к замкнутей системам типа Коши.

В § 4 изучаются канонические почтя геодезические отображения ^ пространств аффинной, связности на обобщенные Виччи-сишетри-ческие пространства. Доказано, что в этом случае основные уравнения сводятся к замкнутой системе типа Коши. Установлено, что семейство всех обобщенных Риччи-симмзгрических пространств, на которые допускает каноническое почти геодезическое отображение ладанное пространство аффинной связности Да» зависит не более

И(П„2 „л чем от Ч Д "И +Д+ у параметров.

В § 5 исследуются основные уравнения канонических почта гео' ' г дезических отображений типа Лпространств аффинной связности

л

на ршанош пространства. Поручен аналогичный результат.При втои установлено, что семейство всех рдшошх пространств, на которой допускает каноническое почта геодезическое отобратание типа {¡1л заданное еф$инносвязное пространство 1\ Л , зависит не бо-

лез чем от "-'—2- 1 параметров.

Третья глава посвящена изучению специальных почти геодззи-тасгшх отображений типа .

В § б шдзлеш ршаиош пространства, допускаицяе Ц-ортогональные снстеш коордагаат, кеязд- которыми установлено почти гео-дззнчзсше соответствии типа ^, при котором сохраняется система я-ортогоиальшх гиперповерхностей. Метрики этих пространств в -ортогональной системе координат тлеют вид:

«С ; «¿1

п / -и -и \ "Л

„ = ПДг -с,е )1 I ,

гдэ , - диагональные компоненты метрик ]/ц , \/ц , С[ - но которое постоянные отличные от 1улл.

В § ? рассматривается частный случай почти геодозпчзских отображений типа который характер!зуэтся слздущиц уравнением:

О". =./рЬ + ,

гу.» 'ч м . ¿у ■ '

где йц- некоторый симметрический тензор. Такие отображзшщ :

Л/ ** '

мы обозначаем Л^ , Доказано, что тензоры

. * . Ь __ ГчЬ , -.

и тензор проективной кривизны Вейля являются инвариантными отно-

,-*

сительно отображений Л ( . Умеет место

Если проективно-евклвдово или онпиаффинноа пространство допускаат почта геодезическое отображение Л^ на Ал , то Ил является проективно-евгошдовым или эквиаффин-нш пространство« соответственно.

Далее приведены примеры почти геодезичзскях отображений типа • й ^ между плоскими пространства!.®. Такими, в частности, являют-

ся отображения

. *ь = 4

гдэ С, с - некоторые постоянные, причем 1с. 14

Л 1 у л и у! 7 г 7Я 1

л и л , Д , ... , л являются аффинными коорди-

натам? и Alt соответственно. При этах отображениях пртшэ пространства hfí, переходят в параболы пространства hft . Исключение представляют пртаыа, проходящие через точку ), ко-' торте отображаются на прясяю Л П. -. '

В заключительной четвертой главе рассматриваются геодэзичзс-ете отображения пространств аффинной сгяуностп на ршаиош пространства,

В § 8 доказаш

IS2ESÍÍ3JLI Пространство аффинной свясности h fl допускаот нетривиальное геодезическое отображение на ршаново пространство

Vít с метрическим тснзорои У,', тогда и только тогда, когда

и J

. следующая система ураотзнкЯ з готр^тт;:;.-; лроизводицх типа Ксеи имеет решение в пространстве Áti относительно невырожденного сккиетряческого тензора. (j(j , ненулевого гохтора у/. и mwnpinn-та JI :

fr-«/,«^»-^f^f* ^(pf'

где jM - компоненты обратной патрицы к матрице // , (у) -обозначает симметрирование баз деления по индексам i и j. .

Теорема.8д2 Эквиаффикное пространство /f ft допускает нетривиальное геодезическое отображение на ршаиово пространство Va с датричзскиы тензором тогда и только тогда, когда следующая система уравнений в коЕарашшш: производных типа Коши имеет решение относительно невырожденного сишетрмзского тензора

аХ

ненулевого вектора т к инварианта ß 1А /:

IM .

(п-1)/,. *HA+i)\\ *a%idif?-Rdßli)t'

Ё атом случае полученная система уравнений линейная.

-Теоремы 8.1 и 8.2 являются обобщением результатов, полуданных Н.С. Си шоковым (7] для геодезических отображений римановых пространств. *

В § 9 обсуждается вопрос о степени подвижности пространств аффинной овязности относительно геодазичаеккх отображений • на риыановы пространства. Степенью подвижно с та 1 мы называем количество существенных Параметров от которых зависит общее решение систему в теорема 6 Л .

^ Доказаны

н 1пч)(п+2) . Теорема,^I Максимальную степень подвижности -"

относительно геодезических отображений пространств аЭДинной связности ^¡т. на римановы пространства допускают проективно-евклидо-вы пространства и только они.

Тео2ема_912 Степень подвижности пространств аффинной связности h Л (Отличных от проективно-евклидовых, относительно геодезических отображений на римановы пространства, не превосходя числа ч

Автор выражает глубокую признательность научному консультанту доценту й. Микешу за ценные советы и постоянное Вт-л'.кг/.е. it ■ работе.

Использованная литература

ví См

ta Т Su Ik ira ns fcr^azicn e^uaztcni

(fitt&>niiU,-/inn. efi MclÍ., ser. ХЧ, p. JLSS-ico.

. _ >

2 . f"homasT. On the. j>rojccíive u* cf e^ui projective С te mines of paths,-free. fíat. ¡\ccid. Se!., l>SAt в IS, ft, f>. /9S-X03.

3 . Ways И. 7_<J<~ ii-fimldima/jeomtirie Einordnung der frojik-

iivtti und cisf Kcniermen ßu.fi&s$unj.~(Iettinjcr Mächrichicn Щ $№-0.

4 , Ei poms П.A. йэбргафу« работа по геометрниХ/Казань: !!зд. Казеиск. ун-та, 1966, 432 с. /ГКМат, Ii« 7, 6А4261С/ .

5 . Петров А.З. Новые мотодц в обаяй теория относительности// , И.: Hayna, ISS6.

6 . Солодовников A.C. Пространства с обезми геодезичос :oiMi// Труды семинара по векторному к тензорному анализу, 1£бГ,вш, II, 43-102.

7 . Синюков Н.С. Геодезические отображения рималовых пространств//!.!.: Наука, £979, 225 с. ЛЪЧат, 19:0, 1АС21К/ .

8 . Каган В.Ф. Оубпроективные пространства//М.:физматгиз,1961, 220 с. /РШат, 1952, бМПвК/ .

9 . Веденяпин Д.В. О некоторых (Д- -2) - кратно проективных пространствах//Научные доклады высшей школы, физ. ыатем. науки, 1953, 6, с. II9-I26.

10 Петров А.З. Моделирование физических полэй//Гравитация и теория относительности, 1968, вып. 4-5, изд. Казанск. ун-та, с. 7-21.

11 . Otsuk) "Г, Таshi'roУ. On curves 'и, Kahlcriati spacis.-

■ Malh. J. ОЬауама V»W;t 1954, ^ /, p.

12 . Шадный B.C. Почти геодезическое отображение ршановых пространс.з на пространства постоянной кривизны//Мат. заметки, 1979, 25, Р 2, 293-296 /РШат, 1979, 6А604/ .

13. Соб^к B.C. Некоторые вопросы почти геодезических отображений ршановых пространсгв//Тезисы докладов У Всесоюзной конференции по современным проблемам геометрии. Самарканд: Издательство Самаркандского ун-та, 1972, с. 203.

14 . Яблонская Н.В. Почти геодезические отображения пространств аффинной связности с кручением/ Одесск. ун-т, Одесса, 1979.

17 с. iVK-.Деп. -ВИШИ 19.06.79. Р 2190 - 79 Деп.

15 •. Синюков Н.С. Бесконечно малые почти геодезические преобразования еффинносвязшх и римановух пространств//, I Украинский геоы. сб., № 9, 1970, с. 86-95; II Украикский.геои. сб., Р II, 1971, о. 67-95.

16 . Синюков Н.С. Поути геодезические ого (¡тетя аффинно-связ- • шх и ршановых пространств//Итогн науки и техники. ВИНИТИ

АН СССР. Проблеш геоштрии. - Ц.-19Э2. 13. - С. 3-26.*

> Публикации автора по тема диссертации

17". Березовский В.Е., Цикаш Й. О'почти геодезических отобража-

киях пространств аффинной связности//Тезисц сообщ.Всэсоюз. геоы. конф. - Одесса. - 1964, с. 18.

18 . Березовский В.Е. Новая форма основных уравнений почти геодезических отображений типа % ^ пространств аффинной связности/ Одесск. гос. ун-т. - Одесса, 1965. - 7 с. - Деп. в УкрШИНТИ 16.03.86 , IP 129 - Ук 86.

19 . Березовский В.Е. Почти геодезические, отображения пространств аффинной связности первого ткпа//Тезисы сообщ.Всесопз. геомет. конф. - Кишинев. - 1Ш8, с. 41.

20 .fyerezoYski И, Nikesh «/, On almostqtoc/esic mappings. jhitrnaiicHaJ conference on differential (jeometry and applit&i'ens, Dubrovmk, Yugoslavia, 1Ш.

21 .BerezoYski V.,Mike$hJ. On class! fiea-iicn ofatfnosi aectfest'c mappings of a.ffine-ccnnected 'sp&ces.Proc. of • Ue Conference ctiffcreniia / geometry andapf>h'ca{ionSt

Dubrovn! k, Nov! Sact, YujosUvia, Ш9, p 4t-4*.-

22 , Березовский В.Е. Почти геодезические отображения пространств аффинной связности первого типа, сохраняющие ft-ортогональные системы гиперповврхностей//Тезисы сообщ. Областной конф. молодых ученых, - Умань. - 1990, с. 2.

. 23 . Березовский В.Е., Микеш й. Новая классификация почти геодо-зических отображений пространств аффинной связности/ Уманск. гос. пед. ин-т. - Умань, 1991.- 6 с. - Двп. в УкрШИНТИ C8.05.9I _

'" № 653 - Ук 91. ' .

24 . Березовский В.Е. 0 почти геодезических отображениях прост-

г *

ранств аффинной связности типа Я^ J Уманск. гос. пед. mi-т. -' Умань, Ii-Л. - 14 с. - Деп. в УкрНШШ 08.05.У1 И? 654 - Ук 91.

25 . Березовский В.Е. К вопросу о почтя геодезических отображениях первого -типа римановых пространств, при которых сохраняется

система ft,-ортогональных гиперповерхностей/ Уманск, гос. под. ин-г. - Умань, 1991. - 14 с. - Дзп. в УцЯШНТИ 06,05.91 Р 652 -Ук 91.

26 . ИикеиЙ., Березовский В.Б. Геодезические отображения пространств аффинной связности на римановы пространства/ Одесск. roo.'ун-т. - Ода оса, 1964. - б с. - Дел. в УхрНИШИ 15.02,85 Р 347 - Ув 65.