О предельном поведении неустойчивых решений стохастических диффузионных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ПРЕДЕЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ МОДУЛЯ ЧАСТИ КОМПОНЕНТ

СИСТЕМЫ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФУЗИОННЫХ УРАВНЕНИИ . II

§ I. Неограниченность и устойчивость модуля решения системы СДУ

§ 2. Теоремы о точном порядке роста

§ 3. Закон повторного логарифма.

§4.0 усиленном законе больших чисел

ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ МОДУЛЯ И АРГУМЕНТА РЕШЕНИИ

СИСТЕМЫ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФУЗИОННЫХ УРАВНЕНИИ

§ I. Поведение модуля решений системы СДУ со случайными коэффициентами сноса. Сходимость к бесселевскому диффузионному процессу

§ 2. Поведение аргумента решений системы сду литература

Асимптотические задачи всегда занимали важное место в вероятностных исследованиях. Так, значительную часть теории вероятностей составляют теоремы типа законов больших чисел и центральной предельной теоремы. В последнее время основные интересы переместились на изучение случайных процессов. В стохастических дифференциальных уравнениях - одном из наиболее важных разделов теории случайных процессов - изучаются вопросы существования сильных и слабых решений в конечномерном евклидовом пространстве [13], [з], [**]» [б2] , [б9] , в гильбертовом и банаховом пространствах [3l], [i], [55], [5б], а также на многообразиях [5б], [бЗ] , [б5] . Рассмотрение этих же вопросов с несколько других позиций - с мартингальной точки зрения - проведено в работах [64], [б8 . Все увеличивающимися запросами многих разделов теоретической физики, задачами автоматического управления, радиотехники и механики много работ посвящено изучению стохастических дифференциальных уравнений в частных производных [32], [V], [57]„ [74], [бб] и другие. Однако асимптотические задачи продолжают играть ведущую роль». В стохастических дифференциальных уравнениях они возникают в связи с изучением ограниченности или неограниченности решений [ll|,

6l], устойчивости [1б], [ 7], [ 9], [54] , [зб] , [37] , [29], [70], [71] и эргодичности < [52] , [14], [вч] , [73], [75] , [и] решений , в связи с изучением предельного при t поведения решений стохастических дифференциальных уравнений и другие [б1].

Систематическим изучением предельного поведения решения т одномерного стохастического дифференциального уравнения в середине 60-х годов занялся Г.Л.Кулинич. Он доказал, что при /•»« решение ЖО уравнения dM°a{W)dt + cMf) неограниченно по вероятности и в пределе распределения случайт vffl ных величин -?==" и -7=- совпадают, если ft (т о о a(oc)da> = о

17]. Далее эта задача обобщалась в различных направлениях: <я(сс) - функция колебательного характера [l9], [20] ; ftix)*"^ ПРИ [22] ; находились условия, когда решение £(/) неоднородного уравнения при /-»«» ведет себя как решение однородного [2l] и другие.

Этапным в развитии предельного поведения решения одномерного стохастического дифференциального уравнения был выход монографии И.И.Гихмана и А.В.Скорохода [п].

Однако переход к многомерному случаю был связан с определенными трудностями. Впервые их удалось преодолеть А.Фридману в работе [59]. Затем в 1975 году вышла работа [22], где исследовалось предельное при ° поведение, неустойчивых компонент iy(/) решения £(/) = (^-(/J, i-^ol) уравнения dm °a(tMW + 1д (/, m)dwk{t) (/) ы и была толчком дальнейших многочисленных исследований в R^ : этот вопрос изучался для систем со случайными коэффициентами [25], рассматривалось предельное поведение функционалов интегрального типа от таких компонент [24], исследовалось асимптотическое поведение решений стохастических дифференциальных уравнений, коэффициенты которых нерегулярным образом зависят от параметра [23] и другие.

Совсем недавно в работе [2б] для одномерного случая были найдены необходимые и достаточные условия сходимости решения стохастического уравнения к обобщенному процессу. Понятие обобщенного диффузионного процесса введено Н.И.Портенко в работе М

Настоящая диссертационная работа состоит из введения и двух глав.

1. Белопольская Я.И., Наголкина З.И. Об одном классе стохастических уравнений с частными производными.- Теория вероятн. и её применен., 1982, ХХУП, 3,0.551-559.

2. Веретенников А.Ю. О сильных решениях стохастических дифференциальных уравнений.- Теория вероятн. и её применен.,1979, XXIУ, с.348-360.

3. Веретенников А.Ю. О сильных решениях и явных формулах для решений стохастических интегральных уравнений.- Матем. сб.,1980, III, 3, с.434-452.

4. Веретенников А.Ю. О критериях существования сильного решения стохастического уравнения.- Теория вероятн. и её применен., 1982, ХХУП, 3, с.417-427.

5. Веретенников А.Ю, Параболические уравнения и стохастические уравнения Ито с коэффициентами разрывными по времени.- Мат. заметки, 1982, 31, 4, с,549-557.

6. Гихман И.И. Дифференциальные уравнения со случайными функциями.- В кн.: Зимняя.школа по теории вероятностей и математической статистике.- Киев.: Наукова думка, 1964, с.41-85.

7. Гихман И.И. Об устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений.- В кн.: Предельные теоремы и ста -тистические выводы.- Ташкент: ФАН, 1966, с.14-£5.

8. Гихман И.И. Стохастические дифференциальные уравнения и предельные теоремы,- В кн.: Шестая летняя математическая школа по теории вероятностей и математической статистике.- Киев : Институт математики АН УССР, 1969, с.5-58.

9. Гихман И.И., Дороговцев А.Я. Об устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений.- Укр. мат. журн., 1965, ХУП, 6, с.3-21.

10. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов,- М.: Наука, 1965, -656с.

11. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения,- Киев: Наукова думка, 1968,- 354с.

12. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. Т.З.-М.: Наука, 1975.- 496с. .

13. Звонкин А.К., Крылов Н.В., 0 сильных решениях стохастических дифференциальных уравнений.- В кн.: Труды школы-семинара по теории случайных процессов ( Друскининкай, 1974г. ), Вильнюс, 1975, с,9-88.

14. Ильин A.M., Хасьминский Р.З. Асимптотическое поведение решений параболических уравнений и эргодическое свойство неоднородных диффузионных процессов,- Матем. сборн., 1963, 60, 3, с.366-392.

15. Ито К,, Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории.-М.: Мир, 1968.- 394с.

16. Кац И.Я., Красовский Н.Н. Об устойчивости систем со случайными параметрами.- Прикладн. матем. и механ., I960, 27, 5, с. 809-823.

17. Кулинич Г.Л, Предельное.поведение решения стохастического диффузионного уравнения.- Укр. мат. журн., 1967, XIX, 3,с.119-125,

18. Кулинич Г.Л. О предельном поведении распределения решения стохастического диффузионного уравнения.- Теория вероятн. и её применен., 1967, XII, 3, с.548-551.

19. Кулинич Г.Л. Асимптотическая нормальность распределения решения стохастического диффузионного уравнения,- Укр. мат. журн., 1968, XX, 3, с.396-400.

20. Кулинич Г.Л. Предельные распределения решения стохастического диффузионного уравнения.- Теория вероятн. и её применен. 1968, XIII, , с.502-506.

21. Кулинич Г.Л. Об асимптотическом поведении распределения решения неоднородного стохастического диффузионного уравнения. Теория вероятн. и матем. статистика, Киев, 1971, вып. 4, с.95-102.

22. Кулинич Г.Л. Асимптотическое поведение неустойчивых решений систем стохастических диффузионных уравнений.- В кн.: Труды школы-семинара по теории случайных процессов ( Друс-кининка", 1974г. ) , Вильнюс, 1975, с.168-201.

23. Кулинич Г.Л. Предельные теоремы для одномерных стохастических дифференциальных уравнений при нерегурярной зависимости коэффициентов от параметра.- Теория вероятн. и матем.статистика, Киев, 1976, вып. 15, с.99-114.

24. Кулинич Г.Л. О предельном поведении решений стохастических дифференциальных уравнений диффузионного типа со случайными коэффициентами. В кн.: Предельные теоремы для случайных процессов, изд. Ин-та математики АН УССР, Киев, 1977, с.137-151.

25. Кулинич Г.Л. О предельном поведении неустойчивых решений стохастических.дифференциальных.уравнений со случайными коэффициентами.- Теория вероятн. и её применен. 1978, XXIII,1. с.222-227.

26. Кулинич ГЛ. О необходимых и достаточных условиях сходимости решений одномерных диффузионных уравнений к обобщённому процессу.- Теория вероятн. и её применен. 1981, XXУ1, I, с.212-213.

27. Кулинич ГЛ., Петров И.Б. Асимптотическое поведение модуля части компонент системы стохастических диффузионных уравнений.- Тезисы докладов республиканской конференции по теории стохастических дифференциальных уравнений, Донецк, 1982, с.60-61.

28. Кулинич ГЛ., Петров И.Б. О предельном поведении модуля части компонент системы стохастических диффузионных уравнений Ито.- Теория вероятн. и математ. статистика, Киев,1983, вып. 28, с.70-78.

29. Кушнер Г. Дж. Стохастическая устойчивость и управление.-М.: Мир, 1969.- 200с.

30. Крылов Н.В. Управляемые процессы диффузионного типа,- М.: . Наука, 1977.- 400с.

31. Крылов Н.В., Розовский Б Л. Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Соврем, пробл. мат. 1979, 14, с.71-146.

32. Крылов Н.В., Розовский Б Л. Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных и диффузионные процессы.- Успехи мат. наук, 1982, 37, 6, с.75-95.

33. Лоэв М. Теория вероятностей.- М.: Иностранная литература, 1962.- 719с.

34. Ляшко И.И. и др. Математический анализ в примерах и задачах. T.I.- Киев: Выща школа, 1974, 678с.

35. Маккин Г. Стохастические интегралы.- М.: Мир, 1972.- 184с.

36. Невельсон М.Б. Об устойчивости в целом траекторий Марковских процессов диффузионного типа,- Дифференциальные уравнения, 1966, 2, 8, с.1052-1060.

37. Невельсон М.Б., Хасьминский Р.З. Об устойчивости стохастических систем.- Проблемы передачи информации. 1966, 2, 3, с.76-81.

38. Петров И.Б. О предельном поведении решений стохастических дифференциальных уравнений диффузионного типа в трехмер -ном пространстве,- В кн.: Вероятностный бесконечномерный анализ. Киев: изд. ИМ АН УССР, 1981, с.84-92.

39. Петров И.Б. Предельное поведение решений стохастических диффузионных уравнений в трехмерном пространстве.- В кн.: Некоторые вопросы математики и механики.- Изд. Московского университета, 1983, с.62-63.

40. Портенко Н.И. Диффузионные процессы с нерегулярным сносом.-В кн.: Труды школы-семинара по теории случайных процессовДрускининкай, 1974г. ) , Вильнюс, 1975, с.127-146.

41. Портенко Н.И. Диффузионные процессы с обобщённым коэффициентом переноса.- Теория вероятн. и её применен. 1979, ХХ1У, I, с.62-77':

42. Портенко Н.И. Стохастические.дифференциальные уравнения с обобщённым вектором переноса.- Теория вероятн. и её применения. 1979, ХХ1У, 2, с.332-347.

43. Розовский Б.Л. Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных, возникаюшие в задачах нелинейнойфильтрации.- Успехи мат. наук, 1972, 27, 3, с.213-214.

44. Розовский Б.Л. О стохастических дифференциальных уравнениях в частных производных.- Мат. сборник, 1975, 96, 2, с. 314-341.

45. Скороход А.В. Предельные теоремы для случайных процессов.-Теория вероятн. и её применен. 1956, 1,3, с.289-319.

46. Скороход А.В. Исследования по теории случайных процессов.-Киев: Изд-во Киевского университета, I96I.-2I6c.

47. Скороход А.В. Стохастические уравнения для процессов диффузии с границами.- Теория вероятн. и её применен. 1961, 6, 3, с.287-298.

48. Скороход А.В. Стохастические уравнения для процессов диффузии с границами.- Теория вероятн. и её применен. 1962, 7,I, с.5-25.

49. Струк Д.В., Варадан С.Р.С. Диффузионные процессы с непрерывными коэффициентами.- Сб. перев. "Математика", 1971, 15:6, с.66-113; 1972, 16:1, с.ЮО-142.

50. Тараскин А.Ф. Об асимптотической нормальности векторных стохастических интегралов и оценках параметров переноса многомерного диффузионного процесса,- Теория вероятн и ма-г тематическая статистика, Киев, 1970, вып.2, с.205-220.

51. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа.- М.: Мир, 1968.- 424с.

52. Хасьминский Р.З. Эргодические свойства возвратных диффузионных процессов и стабилизация решений задачи Коши для параболических уравнений.- Теория вероятн. и её применен., I960, У, 2, с.196-214.

53. Хасьминский Р.З. Об устойчивости траекторий марковских процессов.- Приклад, математ. и механ., 1962, 26, 6, с.1025-1032.

54. Elworthy K.D. Stochastic differential equations on manifolds.- London Math. Soc. Lect. Note Ser., 1982, 170, 326 pp.

55. Friedman A. Limit behaviour of solutions of stochastio differential equations.- Frans. Amer. Math. Soc., 1972, 170, 359-384-.

56. Friedman A., Pinsky M.A. Asymptotic stability and spira-ling properties of solutions of stochastic equations.-Trans,-Amer. Math. Soc., 1973, 186, 331-358.

57. Friedman A. Stochastic Differential Equations and Applications.- Academic Press, New York, vol. 1, 1975, 227 p.; vol. 2, 1976, p. 229-307.

58. Ieh J. Existence of strong solutions for stochastic differential equations in the plane.- Pasif. J. Math., 1981,97, №1, 217-24-7. * • •

59. Mahno S. Ja. Limit theorems for stochastic equations with• • • *partial derivatives.- Lect. Notes Contr. and Inform. Sci.,1980, 25, 320-330. • * . •

60. Maruyama G., Tanaka H. Some properties of one-dimensional diffusion processes.- Mem. Рас. Sci. Kyushu Univ., 1957,A-11, 2, 117-141. • • •

61. Melnikov A.V. On strong solutions of stochastic equations•with respect to semimartingales.- Lect. Notes Contr. and • • » «1.f. Sci., 1982, 43, 122-127.

62. Metivier Michel. Strong solutions of stochastic equations• » • ♦ * •a review).- Rend Semin. mat. Univ. e politech. Torino, 1982, 39, fasc. spec.; Conf. Stochastic Prob. Mech., Torino, May, 28-30, 1971, 151-171.

63. Sasagawa P. A note on the exponential asymptotic properties of linear stochastic systems.- Int. J. Contr., 1981, 33, 6, 1155-1163.

64. Sasagawa P. On the exponential stability and instability of linear stochastic systems.- Int. J. Contr., 1981, 33,2, 363-370. • • * »

65. Shiga Т., Watanabe S. Bessel diffusions as a one-parameter family of diffusion processes.- Z. Wahrscheinlich=# « • > *keitstheor. und verw. Geb., 1973, 27, 1, 37-46. • • •

66. Szelely G.J. On the asymptotic properties of diffusion* »• ► » » • *processes.- Ann. Univ. Sci. Budapest. Sec. math., 1974, 17, 69-71.

67. Ugowski Henryk. On weak solutions of random linear parabolic equations.- Demonstr. Math., 1980, 13, 1, 103-146.• * • •75» Watanabe J,, Mooto M. Ergodic property of reinrerrent dif-effusion processes.- Z. of the Math. Soo. of Japan, 1958, X, 3, 272-286.