О расширениях непрерывных отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. ЛЕНИНА

Специализированный совет К 053.01.02

О РАСШИРЕНИЯХ НЕПРЕРЫВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

На правах рукописи

КРЕЖЕВСКИХ Людмила Тимофеевна

УДК 515.12

(01.01.04 — геометрии и топология)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1991

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете им. В. И. Ленина.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Б. А. ПАСЫНКОВ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор 1?. II. ПОНОМАРЕВ,

кандидат физико-математических паук В. А. ЧАТЫРКО

Ведущая организация: Институт математики и механики Уральского отделения АН СССР.

Защита состоится ....................1991 г. в

...•/сГ. час. .!?.0... мил. на заседании специализированного совета К 053.01.02 по присуждению ученой степени кандидата наук в Московском педагогическом государственном университете им. В. И. Ленина по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, МПГУ, математический факультет, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИГУ им. В. II. Лелшта (адрес института: Москва, 119435, Малая Пироговская ул., д. I, МПГУ им. В. И. Ленина).

Автореферат разослан

Учемьш секретарь специализированного совета К 053.01.02 доцент Г. А. КАРАСЕВ

ч .ОКМ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

)

'■4 Актуальность темы. Под пространством в дальнейшем будем понимать топологическое пространство, под отображением пространств - непрерывное отображение, под окрестностью - открытую окрестность.

Отображение пространств X—Y можно рассматривать как обобщенна понятия пространства, если отождествить пространство X о постоянным отображением X в точку. При этом многие понятия и утверждения, имеющиеся для пространств, можно распространить на отображения. Для отображений определены, в частности, бикомпакткфикации*^, все основные аксиомы отделимости*^, баэа^, вос*^, та-близоста, 0 -гл.-близости3^«4). Сизоета^, смежности®^,

1).У/куЯиъл d uru^led -¿pace foi mappings.-Эга.а5. Qmei. Лос. - 495"3. - ЧА ~

R 344- 350.

2) Пабынков Б.А. О распространении на отобраяекзя некоторых понятий в утверждений, касавдссся пространств // Отображения и функторы: Сборник. - U. $ Изд. МГУ, 1934. ~ С. 72-102.

3) Норка В.П. О блззостях для отображений // Бесткин МГ/. Серзя "Иатетатпта, механика". - 1232, - С, 33~G8.

4) Корин В.П, 0 ri'v-бллзостяг и тсоречз Смирнова // Отойражо-пня я флжтори: Сборник, L5. г Изд. ЮТ, IS84. - С. 59-65.

5) Паснякоэ Б.А. О близостях на отображениях. // Доклады Болгарской АН, » София, IS53, - 42. - -I. - С. 5-5.

5) Перса» Ю.П. Сг.озаоста па иьдрершяшх мображенпях / ШЛИ г?1.И.НЛешшй, - Я*, 19ЭЭ, 13з. - Гяйтаогр. 5 наэи. -Зла. й ЯВДЮИ ОЗЛХ.СЭ, 5 ~ Т£>7.

равномерности7^ и многие другие понятия, подучен целый ряд утверждений, аналогичных соответствующим утверждениям для пространств.

Например, отображение ip:X""*Y называется "IJ, Т2 - отображением, если для любых двух различных точек произвольно взятого слоя отображения vp соответственно:

- по крайней мере у одной точки существует окрестность в X ( я! содержащая вторую точку;

- у каждой точки найдется окрестность в X . -, не содержащая вторую точку;

- существуют дизъюнктные окрестности этих точек; Tj -отображения называются также отделимыми или хаусдорфовыми.

Отображение (piX^V называется^ тихоновским, если Ц)6Т0 и для любой точки хеХ и любого замкнутого в X множества F ^ ОС- найдется окрестность 0 точки ОС. , в прообразе которой точка X и множество Foy'O функ-

ционально отделимы.

Заметим, что в классе топологических пространств особое место занимают бикомпактные пространства, обладающие многими замечательными свойствами. В связи с этим важное значение имеет задача описания всех бикомпактифякаций пространства. В на- . стоящее время бикомпактификации пространства X получаютмао- "• гимн опособаия! при помощи предкомпактных равномерностей, бли-зоотей, сложностей, центрированных оястви ((йгакшюиалыю)

7) Рсиуг&отг В. A. Unifoimtfiei ort rnaffOn$i Н ^rvtezlm. Repoti of the Pta^ue "topoioQiaodL Vimposlum. - i986. - P ¿3, ,"/••. .. .. •'■ '; ,'

замкнутых множеств, при помощи вложений в тихоновские кубы, а также как пространства максимальных идеалов замкнутых регулярных подалгебр алгебра С*(Х) всех непрерывных ограниченных вещеетвенлоэначных функций на X

В классе непрерывных отображений роль бикомпактов выполняют Совершенные отображения (этим объясняется то, что первоначально такие отображения были названы бикомпактными^)). Поэтоиу, как а для пространств, один из наиболее важных вопросов общей топология отображении состоит в построении и изучении бикомоактификацЕй < а бикомпактных расширений) отображений. ,

Напомним определение биксашакстфикации отображения. Уело-видая всяду ниже под бикомпактным отображением понимать совершенное отобразение. Пусть отображения : Х~*"У и ^Т-'У непрерывны, причем ХСТ, 1Х]^ = Т, " ^ и отображение ^ бикошахтпо. Тогда отображение С^. - называется бисоыпактификаци» ой отображения * Точнее, бикомшистификацией отображения 1р : Х-* У называется" таксе бикомпактное отображение <|*.Т-*У , что сущеотвуот вложение "С : Х-*Т , причем [^Х З-р =Т и выполняется соотношение ^ 3 9 • Обычно X отождествляют о "ОХ о помощь» вложения , и поэтому получаем определение биокоигшктафшшрш отображения (р , сформулированное выше.

8) Гельфаяд И.М., Райков Шлов Г.Е. Коммутативные порми-роаагашэ кольца // Успеха математич» наук. - 1946. - Т.1,

. Й 3 /13/. « С.48-146.

9) Вайшзтейя И.Л. О замкнутых отображениях метрических проотран-отв // ЦАН СССР, - 1947. - Т. 07, » 4. - С. 3X9-321.

Построению к изучению бнкомпактвфикаций непрерывного отображения посвящен рта работ1*"6*» 10В частности, было доказано существование у любого тихоновского отображения максимальной тихоновской бюсомпактификацни^. .

Одной из важнейшее задач теория бякомпактвфихадаЯ прост» ранств х отображение является задача отасанвя всех (или как- .

10) Ильина Н.И. Построение расширений ^ I -¡>| непрерывного отображения % при помощи ультрафильтров // Геометрия погруженных многообразий: Сборник. - М.» Прометей, 1989. - С.10&» -И4. . '

II} Кролевец Н. О локально совершенных отображениях // ШГ СССР. - 1967. - Т. 176. - С. 1008-1011. .

12) Матвеев В.А. Об отделимых бикомпактификацкях отображений // Вестник ШУ. Серия "Математика, механика". - 1988. - А I. -С. 94-96.

13) Норин В.В., Пасынков Б.А. Хауодорфовн бнкоюактификацни

и близости // Научно-методическая конференция преподавателей математических кафедр, посвященная 75-леиго КПМ. Тезисы докладов и сообщений. - Киров, 1990. - С. 95.

14) Смирнов Ю.М. О пространствах близости // Математич. обор-гого. - 1952. - 31, в.З. - С,543-674.

15) Ульянов В.Ы. О бикомпактных расширениях очетного характера и абсолютах // Математич. сборник. - 1975. - 98, * 2.

Г 223-254. . ■16) УчЯбЬлп. Соп£1аиШе4 ал& РъояЛпииез оп. гпарр1па& сотраси^сссИопб о^ тарригд-Ь // • МоиНЬ, ъоЛот, РьЬзжо^код .и Т1и£и,

¿^уои -1990.-4.- Р> 45- 49.

- б -

более важных к интересншс) их бнкомпактификаций (в классах тихоновских, Тг, "fi~ пространств я отображений). В связи с этой задачей Ü.M.Смирновым1*' описаны все хаусдорфовы ( з тихоновские) бикоыпактифюсаций тихоновского пространства при помощи близостей*') на этом пространстве, а Ивановыми*®^ - всо правильные И главные Т^^икомпактифйкацми "Т^-проо гранства.

Заметим, что впервые теорема Смирнова Сила распространена В.П.Нориньш3^*^ на случай непрерывных отображений рогу-аярных пространств. Позже были получены два аналога теоремы Смирнова: теорема Дасынкова^ (тихоновские бикомпактификацки тжхоновских отображений) я теорема Норкна-Пасынкова13' (отделимые бикомпахтификации отделимо бикомпактифицируемых отображений). Ю.П.Першшшы6^'1®^ были распространены на "Т^-отобра-женяя результаты Ивановых.

Из сказанного втекает актуальность задач, поставленных Б.А.Пасынковым и рассматриваемых в работе: распространить на отображения метод Гельфанда-Шилова построения всех бикомпакти-фихацкй тихоновского пространства X о помощь» замкнутых ре-хулярнах подалгебр алгебры С.*(Х)

Цель работы., При помощи аналогов алгебр С*(Х) для непрерывных отображений описать вое непрерывные тихоновские обра** sa бикомпактных тихоновских отображений, и также все Тихонов« окне бикомпактифякавди произвольных тихоновских отображений.

17) Б$ремовач В.А. Инфазттозкмальяые пространства // ДАН СССР. - 19SI. » т. 76. - С. 341-343.

18) Иванова В.Ы,., Иванов A.A. Пространства сматаооти в бкком-палтнне расширения. // Изв. АН СССР. Серия "Матэматика". -1959. « Т. ЯЗ. - С. 613-634.

Методы исследования. На непрерывные отображения распространен метод Гельфанда-Колмогорова и Гельфанда-Шилова тополого-ал-гебранческого описания всех непрерывных образов бикомпакта и воех бикомпактифккацкй тихоновского пространства.

Научная новизна. Результаты работы являются новыми. Основ» ними из них являются следующие:

1. Описаны все непрерывные тихоновские образы бикомпактного тихоновского отображения Х-*У при помощи вводимого в диссертации понятия максимальной пг-подалгебры >п «алгебры С*(ф)-*У на отображении ф (аналога замкнутой родалгабры алгебры С(Х) , где X - бикомпакт).

2. Описаны все тихоновские бккомпактифшсации произвольного тихоновского отображения Х~*У прн поммя понятия максимальной регулярной гп -подалгебры КП -алгебры ^ 2*{<Р)-*У на отображении (аналога замкнутой регулярной подалгебры алгебры С*(Х) , где X - тихоновское пространство).

ПРЙШЧЭ9Ш Я В9КД9?У&. Дяосертация носит

теоретический характер. Полученные результаты являются еще одним подтверждением возможности распространения на отображения понятий и утверждений, моахедхоя пространств, Метод, развитый в диссертации, может быть использован для дальнейшего изучения бикоипактификаций к друпа расширений отображений.

Дртог^щд работы. Результаты диосертащш докладывались ва семинаре по теории размерности профессора БД.Паоннкова в Ш7 а , и.ВЛаюяооеяа ж ва вцутривузовских научных коаферев» цинх преподавателе* Глазове кого пединститута нм.В.Р.Королешсо.

ВКйИВаОВи Ооновные результаты диссертации представлены в шеста работах (см. ниже). В работе Щ точно указаны ре»

зультати, полученные совместно. В работах [з] и совместно получены лишь определения и некоторые неосновные утворзденяя.

Структура ч объем диссертации, Диссертация состоит из введения, трех глав (среди которых одна является вспомогательной), оглавления и списка литературы, включавдего 31 название. Полный объем диссертации 89 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во вспомогательной главе диссертации формулируется ряд определений и утверждений теории нормированных алгебр®^, необходимых для дальнейшего изложения. Кратко излагается метод Гольфанда-Шилова построения всех бикомпоктификаций тихоновского пространства X о помощью замкнутых регулярных подалгебр алгебры

Суть этого метода состоит в следующем. С каждой замкнутой подалгеброй К алгебры С(Х) , где X - бикомпакт, связывается пространство ТК.*(К) всех ее максимальных идеалов, которое является непрерывным образом бикомпакта X Теорема, I, сформулированная во вспомогательной главе, утверждает о том, что пространство

гомзоморфно бикомпакту

X 20).

7 е о р е н а 2. Бикомпакты

X а У

гомеоморфны тогда и

только тогда, когда алгебры С(Х) и С(У) алгебраически изо-корфны^О),

19) НаПмарк М.А. Нормированные кольца. - М.: Гостехиздат. -1956. - 487 С.

»8м

Теорема 3. Существует естественное взаимно однозначное соответствие меаду всеми непрерывными образами бикомпакта X и всеми замкнутыми подалгебрами алгебры С(Х) Пуоть X ~ произвольное тихоновское пространство. ' Теорема 4. Проотранство КТС.*(С*(Х}) гомеоморфно отоун-чеховской бякомпактификации рХ пространства Л •

Теорема б. Существует естественное взаимно однозначное соответствие между всеми непрерывными образами отоук-чехов-ской бикомпахтификации тихоновского пространства X и

всеми замкнутыми подалгебрами алгебры С*(Ю

Если замкнутая подалгебра алгебры С*(Х) . регулярна, то пространство ее максимальных идеалов есть бикомаактификация пространства X

Теорема 6. Существует естественное взаимно однозначное соответствие между всеми бшсомпактификациями тихонов-окого пространства X и всеми замкнутыми регулярными подалгебрами алгебры

Таким образом описываются вое бикомлактификации тихоновского пространства X . • -

В случае отображений естественно идти тем же путем, то . есть описать все тихоновские бикомлактафикации тихоновского .-' отображения ^: Х~**У посредством введения понятия Гп-ая-гебры. на этом отображении и ее максимальной регулярной |Т\,-подалгебры, которые я случав пространств совладав? соответственно

20) ГаяьфанжШи,, Еииагсров А.Л. 0 кольцах непрерывных функций на топоаалгаеохих пространствах // ДАН СССР« - 1939. -Т. 22. А I. - С. 11-16.-—г-Нт7-'

о алгеброй СЛХ) и во замкнутой регулярной подалгеброй.

В первой и второй главах диссертации будем придерживаться клаосичеокой схемы, изложенной во вспомогательной главе. При этом соответствующие определения и доказательство ряда утверждений усложняются ввиду того, что оягуация отображений сложнее,, чем ситуация пространств.

Фиксируем произвольное отображение пространств Х-*"У » Через Ху будем обозначать топологию пространства У » через Л/(ф - систем всех окрестностей точки ^еУ , через С.*(у*11)-банахову алгебру всех непрерывных ограниченных вещественно-значных функций на прообразе ГЫ множества (норма

определяется стандартно,* Н4 И = 11-| Иц = ^Мр £ :

ъефи}, 4еС*(^И) ).

Первая глава диссертации посвящена построению всех не-лрсривных тихоновских образов бикомпактного тихоновского отображения о помощью максимальных ПЛ.-подалгебр на это« отобра-яотш. С этой цель» для олучая замкнутого отображения следующим образом вводятся шшлогя алгобрн С(Х) , где X - бикомпакт, и ео замкнутой подалгебра.

Пусть отображение. ф: Х-*У замкнуто, 0 2 У п у 6 О Обозначим через ^у множество тех функций из

, которш продолжаются в функции из ,

Половим

Пусть отобраяопиа Ц^: переводят каздое шюазо©»

.»(

во

Сс, (у) в точку у, , y-eY . пуо-гь К е C*W , У - % Ь. , функция С{^0), ОеЩ), такова, что = h. , и £>0 . Положим

Ha множостве C'Vp) задается топология с помощью системы окрестностей вида (I.I.2). Относительно этой топологии отображение Цу непрерывно (предложение 1.1.2).

Определение 1.1.2. Отображение Н^'- C*(<p]-*Y будем называть алгеброй на замкнутом отображении Ц): X~*Y или па-алгеброй.

Всюду далее в первой главе отображение X~*Y бикомпактное и тихоновское. Обозначим через

множество всех максимальных идеалов алгебра , Положим

Через Цу^ будем обозначать отображение множества 7ti*(%) в Y , которое каждое множество 7Т1.*(С| №)) переводит в точку

Отметим важное свойство алгебры • .

Предложение I.I.5. Всякий максимальный идеал М алгебры C^i'P) ниает вид. Мх. » есть для любого максимального идеала ЬК алгебры C^i'f) существует такая точка

Пусть Ое'Ъу , £ C*(lf10) , Тогда на множестве

I ** х

) 0 можно определить функцию ^ следущи*« образом!

где Г'О , точка СС.еХ такова, что М я Мх. .

Положим

С^-'О) -{-Г- {еСуО)}, ОеТу}-

Зададим на множестве топологию с помощью ба-

зы В' = неотрицательна, Ц* - окрест»

ность нуля | . Доказывается, что относительно этой топология отображение ^ ; - тихоновское (см. $ 2 гла-

вы I). >Р

Заметим, что если непрерывные отображения У я,,

т>: Х-* 2 таяовы, что (^ «^'«л) , то отображение называют морфйзмом отображения Х-*У в отображение 2

Определение 1,2,3. Боли морфизм свръек-тявен, то отображение г-У будем называть непре-

рывным образом отображения Ц5; * У .

Определение 1.2.4. Если морфизм ■{) еоть гомеоморфизм X на 2 , то отображение .я) будем называть гомеоморфизмом отображения на отображение , а отображение — гомеоморфным отображению ф . Обозначим через л)уг отображение

которое каждой точке СС £ X ставит в соответствие максимальный идеал Мх алгебры СуХ

Теорема 1.2.1. Отображение ч)^ есть гомеоморфизм отображегал Ц>: Х-*У на отображение

Теорема 1.2.1 является обобщение на случай бикомпактного тихоновского отображения классической теоремы Гельфавда-Кол-могорова2^ о гомеоморфизме бикомпакта X и пространства максимальных идеалов алгебры С(Х) (см, теоре-

му I вспомогательной главы). Эта теорема получается в случае одноточечного У ,

Пусть Х^-'У и Хг~*У - бикомпактные тихонов-окие отображения.

Определен ие 1.2.6. Назовем т. »алгебру

^(^)- 'У изоморфной т.-алгебре Ч^: У , воли

сущеотвует гомеоморфизм Ц отображения С*^)-» У на отображение Ч^: С*(ф2)*-»У , являющейся послойным алгеОраячо» оким изоморфизмом (то есть для любого ^ € У отображепяе есть алгебраический иэоморфаам елгёбри (^{ф^ . на алгебру >.

Теорема 1.2.2. Еикомпактииеткхоновсине отобраке« кия Х^У и Х^У гонеоь-эрфш тсгдаи только ■ тогда, когда т.-алгебры и Ч^ : С*(ЦХ)-*У •

наомор^ны.

Теорема 1.2,3. распространяет ш Случай бнкоыпахтного тихоновского отображения классический результат Гельфаада-Колмо-горова20' (теорема 2).

Целее вводится понятие максимальной пги-оодалгебрн т.-ох-гебры Ц: С*(фНУ . Л .

Пусть множество

таково, что окстша (ф) - С; {$) П . есть подадаебралпдаебры__С^ф)—-для— _любого—Т^ологиТ^^^^Н*^ • ■ '

~ над

Сечение б; 0 —»■ Ч^10 . О б^у . отображения 0 будем называть ограниченным, еолк множество £ ограничено.

Определение 1,3.1. Отображение Ц^,: Е*(чО-*У будем называть ГП -подалгеброй КП-алгебры во-

ли для любой функций Ь £ найдутся: такое множество

ОбТ^ и такое непрерывное ограниченное сечение -5 отображения над 0 , что • Положим

Отображение будем называть послой-

' к* "

ным замыканием гп -подалгебры ; £ У в п\-алгеб-

Рв % : СДЧ>)-У . ' , '

О п р еде ленке 1.3.4. Назовем т.-подалгебру Ч^: К*Ы>}-*У т.-алгебры максимальной,

если между ней и ее послойным замыканием в Ч^ не содержится, никакой Другой , т.-подалгебры т.-алгебры Ч^, . Понятие максимальной т.-подалгебры

т:-алгебры С(Ч}+ У обобщает понятие замкнутой подалгебры алгебры С(Х] , где X - бикомпакт. В случае одноточечного У максимальность в точности совпадает с замкнутостью. .

Оснбванм результатом первой главы является ; Т вор в в а 1.4.1. Существует естественное взаимно однозначное соответствие между всекя непрерывными тихоновскими образами бикомпактного тихоновского отображения Ср.- Х-*У а

всеми максимальными m.-подалгебрами п\,-алгебрн Ц^;

Теорема 1.4,1 обо&цае! на случай бикомпактного тихоновского отображения теорему Гольфанда-Шнлова8^ (теорема 3). Сама se теорема получается в случае, когда Y одноточечно.

Вторая глава диссертации посвящена описанию всех тихоновских бикомпактиф1каций произвольного тихоновского отображения о помощью максимальных регулярных подалгебр на этом отображены. Случай произвольных отображении существенно усложняется до сравнению со случаем замкнутых отображений, так как сами подалгебры приходится определять более громоздким образом.

В начало глазы вводятся аналоги для случая произвольного отображения алгеари С*(Х) , где . К - тихоновское пространство, и ее замкнутой подалгебры.

Фиксируем произвольное отображение пространств Х-*У . Пусть . На множестве

Q¡ - U [СЧ^О): OeA/tgJ).

вводится отношение эквивалентности б" следующим образом: для ' 4. £ СЧЧ>'°0 • Ос е А/Йj . i - d; t /считаем • '

тогда и только тогда, кода для любого £>0 существует такая окрестность 0 £ 0¿fl 02 течки ^ , что

Milico ""'íilv'O lo

Положим , Р*/*

• Z>J-Ver-

На множестве (ф] v определяются операции сложения п умножения классов к умножения классов на вещественные числа: пуоть fi} Fz £ (Ц*) , Я 6 fi^- . Выборам в-каждом пз. квас« coBnojj^cisBHmjnD^ír^G-Ft—Г^Зуществует

-16 -

такая окрестность 0't точки что ^6С*^*^) Л" № Положим 0-.04ПОа. Назовем суммой классов ^ и fj

класс, оодержашк! фуякодв , произведением

f^'Ffc • клюе,, содержащий функцию ' "filif» про-

изведением A-Ij -класс, содержащий функцию . рулевым

классом 9 назовем класс, содержащий функцию (У .тождественно равную нуле на X , единичным классом Е. »клаоо, содержащий функцию 6 , тождественно равную I на X .На множеотве определяется норма: X F Й =»

* W141 • Доказывается, что система

есть нормированная алгебра (§ I главы 2).

Положим , „ , •,»

Пусть отображение Ч^": £*0P)->Y переводит каждое ипожэотво 2и*(Ф] в точку. Ц. t у* 6У

пусть НеГ(У) .v^M .^H и £->0 . Условимся в дальнейшем обозначать через F(f, тот (адикотвенний) класс из алгебры > ((f J , который содержат функцию • Положим .

г1(М,о,г)»

На множества вводится топология с помощью свете*

Йы окрестностей видя (2.1.3). Доказывается, что относительно атоИ топологии отображение : непрерывно

{предлюжвнже 8.1.Г).

О а р 0 д в а о в к в 2.1.I. Отображение

з а * « ч ц а ж в 2 , - д ^

ш ш ^ . случай заикнутого отобража-

4 *** ¿Ж-'

а>вд ш* » ш» (о. Х-У

хоновокое. / - '

Обозначим через ^^ Квх ^ •

«ив, которое каждое множество ^

• »очку ^ , переводят в

Ям любой точка уеУ ^ Л» важным свойством, во™,» . * ' обладает оле-

' роадает ^

йуоть ОбТу , Ме(ш' ■=)-" ц^' АЛ

Положим , и

- Ом^у», .

. С^О). 4бещщг - г : г I ;

■ На шюжестве *Т ~ ^ ~ ' " '

С Т-'ТГ- ?е?*А1М 7 ТОиогогм 0 »»в базы

нуля } . Относительно згой топологии отображен« в стано-

вится тихоновским (5 2 главы 2). *

Одшм яа основных результатов второй главы является Теорема 2.2.1. Существует гомеоморфизм максималь-вой бякомпактяфикации - X - » У тихоновского отобра-«шя ,1р.г Х-У ва отображение Ж*^*)-* У .

Сформулированная георема обобщает на случай произвольно» го тшхоновского отображения теорему Гальфанда-Колмогорова20^ (теорема 4). Теорема Гвльфенда-Колмогорова получается из теоремы 2.2.1, хогда У одноточечно.

По аналопиоо случаем бикомпактного отображения дается определение (тг-поДахгебры « максимальной Пгммдалгебры т.» мгевры Ч^- Х^-^У .

Следующая теоржаобобваеттеорему б: Т в о р е и а 2.3.1. Сувествует естественное взаимно однозначное соответствие между всеми непрерывными тихоновскими образами максимально А бжкомцахтвфшсацяи тихо-

новского отображения Хр: Х~*У в всеми максимальными щнюд-алгебрами т-алгебры Ч^*-' .

Отметим, что всдв Ч^ 2*(Ч')"*У - иаксимальаая т-подалгебра т. «алгебры в функция 4 е С*(у10) , ОбТу , такова, что Е^М*^1^ для любого 6 0 , то эта фувкцая Оаредолявт непрерывное ограниченное . оечеюю'«М 0 , которое каждой точке ^€0 о*авв* в соответствие класс • ' 0 а рвЯ в я в а к 9 2.4.1. Будем называть максимальную . т-чгодаятйбру т.-влгебРы , регулярной,. осла оаа удовлетворяет следующему условию:

для любой точки "ЗС6 X в любого замкнутого в X множества ЯР » не содержащего точку ОС- , существуют: такой влемант Н 6 £ , ^ в узь , такая о»»

рествость (Т точки ^ в такая функция <|б Н , 6 , что - сечение отображения к

к,. • •

Основным результатом второй главы г всей дисоертации является

Теорема 2.4.2« Существует естественное взаимно однозначное соответствие мэгду веши тихоновскими бикомпакта-фшидаяот тихоновского отображения 1р: Х-*У г бош максимальными регулярными ктс-подадгэбреш т.-алгебры ^:

Георама 2.4.1 обобщает на о драй произвольного тихоновского отображения классическую теорему ГеЛьфанда-Шило^й^ '(теорема 6). Бела У одноточечно, тополучаем теорец^ТГель-фанд^Йилова.

1' Автор выражает признательность своему научному руководи- : телю профессору Б.А.Васынкову за постановку задачи н помощь в . работе. ■ ;

Публикации по теме даосертацнн:

I. Крежевских Л.Т., Пасынков Б.А. О непрерывных функциях ва отображениях. У Тираспольскай сишоанум по общей топологии а ее приложениям. -.Кишиневл йгиюща, 1985, - С. 131-132,

раяотва ео максимальных идеалов для отображена« (Моск. гоо1 иед. еы.В.Н.Ленина. - Ы., 1986. - 27 стр. «•■ Бабжогр. О

назв. - Деп. в ВИНИТИ 29.08.86, * 6319 - В.

3. Крежввоккх Л.Т., Пасынков Б.А. Об аналоге для отображения банаховой алгебры непрерывных функций не пространстве // Геомотрия погруженных многообразий: Сборнях. - П., МП1И им. В.И.Ленина, 1986. - С, «7-62.

4. Крежеаохих Л Л.» Пасынков БД. Аналог для отображений банаховой алгебры непрерывных функций на пространстве // Топологические пространства я их кардинальные инвариант* Сборник.-Устинов, 1986. - С. 13-17.

б. Крвхевокхх Jt.T. Обобщение на случай отображений теоремы И.М.ГвльфвКД№>Г.Ё.(йрюва/Глазов, гос. пед. ин-т. - Глазов, I9S9. »12 б. - Шб/ИОГр. б назв. - Деп. в ВИНИТИ 24.01.90, * 487 - В90.

6. Крвжввскюс 1.Т. 0 максимальных подалгебрах ва отображениях f Глазой. гос. над. ян-т, - Глазов, 1990,-18, о. -Виблаогр. 9 Ш18В. - Цел. в ВИНИТИ 11.09.90, Л 4991 - В90. -