О разрешимости в слабом смысле задачи Дирихле для полностью нелинейных эллиптических уравнений общего вида тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

гч.

¿Саша^-"-Петербургский государственный университет

о е,-

На правах рукописи

Якунина Галина Владимировна

О разрешимости в слабом смысле задачи Дирихле для полностью нелинейных эллиптических уравнений общего вида

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

л

Санкт - Петербург 1997

Работа выполнена на кафедре высшей математики

Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук.

■ професс ор Ивочкина Нина Михайловна

Официальные оппоненты -— доктор физико-математических наук, профессор Осмоловский Виктор Георг иевич

- кандидат физико-математических наук, доцент Чолкак Сергей Иванович

. Ведущая организация - СПбОМИ им В.А. Стеклова 1ащнта состоится

.часов на заседании диссертационного совета К.003.57.49 по защите диссертаций на соискание, ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном .университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2, матсматико-механнческип факультет СПоГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького по адресу.' 199031, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9. ' '

. Автореферат разослан ...............1997г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат фищко-математических наук, доцент А.VI.Шепелявый

Общая характеристика работы.

Актуальность темы.

Теория полностью нелинейных дифференциальных уравнений стала за последние годы актуальным направлением развития теории дифференциальных уравнений второго порядка. В этой теории специального подхода требуют уравнения с операторами, не сохраняющими тип в С2. Исследование таких уравнений связано с описанием подмножеств в С2, на которых уравнение является эллиптическим. Хорошо известным уравнением такого типа является уравнение Монжа -Ампера. Уравнения, родственные уравнению Монжа -Ампера, в которых главный оператор является симметричной функгшей собственных значений матрицы Гессе некоторой функции ?!, рассматривались Н. М. Ивочкиной, Л. Каффарелли, Л. Ниренбергом, И. Спруком. •

Другое направление связано с геометрическими задачами, а именно, рассматриваются уравнения, содержащие симметричную функцию главных кривнзн'поверхности - графика некоторой функции и. Такие уравнения изучались Н. М. Ивочкиной, Л. Каффарелли, Л. Ниренбергом, И. Спруком, Н. Трудингером.

В диссертации рассматривается тип уравнений, в который могут быть включены как уравнения, связанные с собственными значениями матрицы Гессе, так и уравнения, содержащие кривизны. .■

Цель работы.

Целью работы является исследование классической разрешимости задачи Дирихле для равномерно эллиптических полностью нелинейных уравнений общего вида и, кроме того, разрешимости в вязкостном смысле задачи Дирихле для неравномерно эллиптических полностью нелинейных уравнений.

. 4

Научная новтна.

Вс.е основные результаты диссертации являются ииаыии.

Результаты, выносимые на защиту.

1) получены ап1>норные оценки решений и первых производных решений задачи Дирихле для неравномерно эллиптических ' полностью нелинейных уравнений общего вида;

2) получены априорные оценки шорых производных решений задачи Дирихле для равномерно эллиптических полностью нелинейных уравнений общего видя;-

3) доказано сущсствопаши; допустимых классических решении задачи Дирихле для равномерно эллиптических полностью нелинейных уравнений общего вида; *

4) доказано существование вязкостных решений задачи Дирихле для неравномерно эллиптических Полностью нелинейных уравнений общего вида; '

Методы исследования]

При построении априорных оценок решения <кполь)уют< я следующие методы:

1) для оценки лнпшнцешш нормы решения развиваются идеи II. М. Ивочкиной, Л. Каффарелли - Л. I (иренберга- И. Сирука, II. Трудингера;

2) для оценки .максимума вторых прои »водных допустимых решений равномерно злл'ии 1 рческнх уравнений используются идеи 11.Трудинге])а;

3) для оценки нормы Гельдера вторых производных решений применяются методы, разработанные Н. В. Крыловым — М. В. Сафоновым, Л. Эвансом;

г

Для доказательства теорем существования используется метод регуляризации Крылова - Трудингера, а также известный метод продолжения по параметру.

Апробация.

.—

Результаты диссертации докладывались на семинаре им. П. И. Смирнова в Санкт-Петгрбурском отделении Математического. Института им. В. А. С'тсклова и на семннаре в Институте математики Польской Академии Наук.-

Публикаций.

По теме диссертации опубликованы три работы, список г которых приведен в конце автореферата. .

Структура и обьем работы.

Диссертация состоит нз введения, пяти глав и списка литературы нэ 28 наименований. Она содержит 85 страниц машинописного текста. . " .

Краткое содержание работы.

Во Введении дан обзор исследований, к которым примыкает тема диссертации.

В Глане I даны основные определения и сделана постановка задачи.

Пусть Б" - пространство вещественных симметрических . матриц размера пхп, а функция Г 6 С2 определена в области О С Э". Опредедйм.множества £>] п Дг бедующим образом:

Пх = {г £ О : Р(г+Т]) > р"(г). для каждоёо г] > 0, т) £ £>},

Di = {г 6 D : F(r) __ вогнута].

Обозначим через D выпуклую компоненту пересечения D\ П D-i- Предположим, что D содержит единичную матрицу I. Кроме того, предположим, что если г 6 D, то г + i) € D, какова бы ни была неотрицательная матрица ;/, н а г Е D. для любого достаточно большого положительного числа а.

Сопоставим функции F нелинейный дифференциальный оператор в C'2(fl), ii -ограниченная область в Л", по правилу

. F[n] s F(..(„, + h(x)I). (1)

Функция Л, заданная в Q, предполагается достаточно гладкой. Символ означает следующее

где A — 'A(x,z,p) - равномерно положительно определенная известная гладкая матрица,т.е. все ее собственные значения одного порядка по р, а иТХ - матрица Гессе функции н в С2(Я); (х, z,P) € Г = П X R х' R".

Определение 1. Функция и 6 С2(П) называется допустимой для оператора (1), если

"(«) = "(wj + Нх)1 & А я е П '.

Последней соотношение означает, что оператор (1) эллиптичен на множестве допустимых функций.

Определение 2. Пусть 0Q- замкнутая поверхность класса С'г+"и для каждого Xq dQ уравнение границы Oil в окрестности хд- имеет вид

a;" = w(.B), rt?e i = (а-1,...,x"~l)

?

гг х" -внутренняя иоршль.к ОН-в тонко .то. ■ Назовем ОН согласованной с оператором (1), если для каждого хо € ОП существует достаточно большое положительное число 1?0 такое, что при всех П > ¡?» матрица - . '

/ ' °о ) Л

/ : } е Ь

\ ь о —я у

В ограниченной области П С И" рассмотрим задачу Дирихле

" ^Н =/(а:, «,-«,); ' (2)

и = Ф(а-). (3)

В диссертации исследуется разрешимость задачи {2). (3) • для матрицы Л вида - .

,1 = ,1"(/>) = («' + - (» - (4)

где я > 0, я > 1.

В Главе I сформулирована также теорема о классической разрешимости задачи (2). (3).

Теорема 1.1. Пред положим, 1*то

1) 9и г замкнутая поверхность класса С2+а, согласованная с оператором Г .

2) Функции Н ё С2(Г)), Л > 0 в П. Ф 6 С*\дП); Функция /(я:,н,р) € С2(Г), > 0, и найдутся числа

Щ),С1,С2.Мо,АГ1 такие, что цп множестве

{.теП: |к| < Д/0> - \р\ > М[] выполнено неравенство

+ М»>фЭ,\М -(д//д„)Р*]+

■ , 2(*Л/ц -1- и) ■ щс2 2 Н2 + (б- - 1 )1?

—№1др})р} + С.тк] < — ¡? (и21р2)Л/2; (5)

4) Функция Е 6 С2 (И) инвариантна относительно ортогональных ■преобразований и удовлетворяет условиям

Р(аг)а^х> Р, ■ где Г > / ддлг каждого г е -О, (С) ". дГ

Л/Л < ц. ——- > 1/0 для каждого »• € -О, £ е КД

где А, Л, - положительные .постоянные. Тогда существует допустимое решение и € С2+а(П) задачи (2),(3).-

■ Отметим, что условие (7) называется условием равномерной эллиптичности оператора Г.

Для доказательства теоремы 1.1 в главах II,III, IV строятся априорные.оценкн решений в С2+а(Г]). При построении априорных оценок тах;-) |и| и тахдц |иг | используется следующая теорема сравнения, которая доказана в §1 главы II. . • _

Теорема 2.1. Пусть и, V 6 С2(Й) - допустимые функции для оператора Р, удовлетворяющие неравенствам -

Р[и] < f(x, и, иг), > /(ж, V, г:х),

где фупкцИя /(х, г,р) £ С(Г), хг не убывает по г. Тогда в области Г! выполнено соотношение .

- V — и < тах(и — «)+.

В §2 главы II доказана теорема об оценке модуля решения. Теорема 2.4. Пусть и 6 С2(й) - допустимое решение задачи (2), (3), / 6 С(Г), дЦОь > О, Л € С(Й). Цх) > 0 в

о

il. Ф € С (Ott), Q -ограниченная область в R". Предположим также, что функция F-инвариантна относительно ортогональных преобразований и удовлетворяет условию (6). Тогда

' Ж1<с, ' ;

где

С = С(||Л||с(п,, Ii/Ihr), ||Ф|к-(й1). ' diam Q, ||ЛЦ,«)..

При доказательстве этой теоремы используется конкретный вид (4) матрицы А.

Глава III посвящена оценке градиента решения задачи (2), (3). При этом также используются структурные особенности матрицы вида (4). В §1 выводится оценка градиента решения на границе области.

Теорема 3.2. Пусть и 6 С2(Й) - допустимое решение задачи (2), (3), f € С (Г), df/du > (); h £ C(Ü), h >0 в П, Ф € C2(âQ). Предположим, что О -ограниченная область п R", dü € С2, и ОП согласована с оператором f.

Кроме того, предположим, что функция F инвариантна, относительноJ ортогональных преобразований н удовлетворяет условию (6). Тогда ■ .. '

M |flii < С,

где '

С = С(а,..», 'и, шахН, ||/||с ||Ф||СЗ, ||0П|Ы.

Оценка градиента решения внутри области следует из утверждения, доказанного в §2. ■ '•

*

m

Теорема 3.3. Пусть и £ С3{П)'- допустимое решение уравнения (2), / € С'(Г), Л 6 СЧ< ') функция Г инвариантна . относительно ортогональных преобразований и удовлетворяет условию (б). . .

Предположим также, что шах |к| < М0, шах,^ = р, и найдется число Д/| такое, что на множестве

.6 П': |и| < Мо, |р| > З/1} выполнено неравенство (5), где сьС2, -положительные постоянные, с\ ('¡(х),^ = вс2(Л/0,п,я,а). Тогда

хпах|н,|<г, с = с(М,,р).

Глава IV посвящена оценке вторых производных решения задачи (2), (3).

При доказательстве следующего результата используются методы II. Трудннгера, развиты«; для равномерно эллиптических полностью нелинейных уравнений общего вида:

Теорема 4.1. . Пусть « £ С4(П) - допустимое решение урйднения (2), / С2, /1 € С'2(П). Предположил!,что F удовлетворяет, условию (7). Тогда, каково бы ни было число (I > 0, найдется постоянная

' Мч = Мг{(1, п, г/, А, /ц ||/||с», ||Л||с!=(П), такая, что из неравенства

| шах \их1\. > Л/г

следует, что функция |м.(1(.г)| достигает свое наибольшее значение в точке х Е где П((/) = {;г 6 Г? : г//а/(.г, Ш) > оС'^

Или, в иной формулировке.

Теорема 4.2. Пусть и £ С'1 (О) -допустимое решение у к мнения (2), / еС2, Л € С2. Предположим, что Р удовлетворяет

•условию (7). Предположим также, что функция \ и1Т\ достигает свое наибольшее значение в точке хц, причем /1/,аЦхц, ОП) =Ы> (1 > 0. Тогда' .

тах |«„| < Л/2.

Б §4 получена глобальная оценка вторых производных решения задачи (2), (3). При построении этой оценки использовались результаты Н. М. Ивочкйной - С. И. Прокофьевой для ' решений равномерно пара болических полностью нелинейных уравнений.

Имеет .место следующее утверждение Теорема 4.10. ' Пусть и €-С\и) П С2(Й) - допустимое решение задач» (2),(3), / £ С2, Л £ С2, Ф £ Сп"{0П), 0П £ Сг+°; Р удовлетворяет условию (7).' Тогда

а где

шах |«Т1| < с,

с=(п, «Ль «/, ,1, ||«Цр., А, ||Л|Ь Н/Ис, ЦФЦсн., ||с?П||с^).

Доказательство пои теоремы Состоит в прослеживании зависимости постоянных от Л/г = тах^ |»„| в процессе вывода априорной оценки Гельдер'а вторых производных методом Н.'В. Крылова-М. В. Сафонова с последующим применением ■ интерполяционного неравенства.

Далее в этом параграфе доказана

Теорема. 4.11 Пусть и £ С'4(П) П .С2(П)- допустимое решение задачи (2), (3), / £ С2, к 6 С\ Ф 6 С^'ЧОП), 0П £ Р удовлетворяет условию (7). .Тогда, имеет место

1Ь

неравенство

П"11сМП) < -

где

г с = с(н, и. ^|!и||с,. А, ||/,||сч; ||/||,г, ЦФЦ^о,

- с некоторым = /}(а).

В,конце §4 с помощью метода непрерывного продолжения по параметру доказана теорема 1.1.

Наконец. 6 главе V исследуется разрешимость в вязкостном смысле задачи Дирихле (2), (3).

В §1 даны основные определения теории вязкостных решенш Дэдее в §2 приведена регуляризация Крылова -Трудингера эллиптического оператора. Рсгуляризованнын оператор Р' 'строится по исходному оператору Р следующим образом

= Г(ге(и)), г» = и(„) + Ь «„. , ■

1

Операторы Гс являются равномерно эллиптическими, кроме * того, для Г4. сохраняется свойство вогнутости. Рассмотрим семейство задач

(8)

|.Н! = Ф(-г). ' ' (9)'

Из теоремы 1.1 следует, чт'о задача "(8),(9) разрешима, и не £ При этом, имеет место оценка

. 1К11с"(й) < с,

й- которой постоянная С не зависит от €.

Поскольку понятие вязкостного решения допускает предельны переход в уравнении (8), то имеется

Теорема 5.2 Предположим, что выполнены условия 1), 2), 3) теоремы 1.1. .

Функция F € C2(D) инвариантна относительно ортогональных прсобразоинннп и удовлетворяет условию (G). Тогда существует допустимое решение и € С01(П) задачи (2), (3) и вязкостном смысле.

Работы, опубликованные по теме диссертации.

* . »

1. Ивочкина Н.М., Прокофьева С.И., Якунина Г.В. Об одном классе уравнений типа Монжа-Ампера // Пробл. мат.анализа. В ьш.13Л992.С.89-106.

2. Якунин;! Г.В. Внутренняя оценка градиента решения задачи Дирихле для уравнения типа кривизны // Проблемы мат. анализа. Вып. 14. 1995.0188-196.

•X Прокофьева С.И.,Якушша Г.В. О разрешимо пи задачи Дирихле для урягшелня 7mm кринпты //Лен. в ВИНИТИ NT 220-В-91 от 26 01 91. 19с.

Работа поддержана грантом РФ I'll 96-0i-011$<)a,.

й