О решениях нелинейных операторных уравнений в секториальных окрестностях нерегулярного значения векторного параметра тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ЛЕОНТЬЕВ РОМАН ЮРЬЕВИЧ

О РЕШЕНИЯХ НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ В СЕКТОРИАЛЬНЫХ ОКРЕСТНОСТЯХ НЕРЕГУЛЯРНОГО'ЗНАЧЕНИЯ ВЕКТОРНОГО ПАРАМЕТРА

01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ИРКУТСК - 2012

2 О ДЕК 2012

005047762

005047762

Работа выполнена в Институте математики, экономики и информатики ФГБОУ ВПО «Иркутский государственный университет» (Министерство образования и науки Российской Федерации).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Сидоров Николай Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент

Казаков Александр Леонидович, ИДСТУ СО РАН, главный науч. сотр.

доктор физико-математических наук, профессор

Фёдоров Владимир Евгеньевич

ЧелГУ, зав. кафедрой;

Ведущая организация: Ульяновский государственный

технический университет

(г. Ульяновск)

Защита диссертации состоится 25 декабря 2012 г. в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 003.021.01 в Институте динамики систем и теории управления Сибирского отделения Российской академии наук (ИДСТУ СО РАН) по адресу: 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на официальном сайте wwvv.idstu.irk.ru ИДСТУ СО РАН.

Автореферат разослан 23 ноября 2012 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н. ^ТС/^^3 Т.В. Груздева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена исследованию вопросов существования и построения решений нелинейных операторных уравнений с параметром в нерегулярном случае, когда условия теоремы о неявном операторе не выполняются.

Актуальность темы. Начала теории ветвления решений функциональных уравнений были заложены в работах А.М. Ляпунова и Э. Шмидта в 1906-1908 годах. С тех пор аналитические методы исследования нелинейных уравнений развивались в работах П.С. Уры-соиа, А.И. Некрасова, А. Гаммерштейна, Р. Иглиша, Н.Н. Назарова, М.А. Красносельского, М.М. Вайнберга, В.А. Треногииа, Н.А. Сидорова, А.В. Арутюнова, Б.В. Логинова и др.

В теории ветвления решений нелинейных уравнений с параметрами выделяют два типа приближенных методов — асимптотические и итерационные. Последние методы обычно требуют меньшей гладкости операторов, чем асимптотические методы.

В развитие современных асимптотических методов в многомерном случае принципиальное продвижение внесли работы В.А. Треногииа, методы группового анализа Б.В. Логинова и В.А. Треногииа, методы степенной геометрии А.Д. Брюно. Асимптотическими методами были решены сложнейшие задачи гидродинамики, теории упругости в математической физике и других областях современной и прикладной математики (работы В.И. Юдовича, В.А. Треногина, А.М. Тер-Крикорова, Б.В. Логинова, Д. Толанда, Д. Сэтииджера, Н.И. Макаренко и др.).

Появление итерационных методов дало новый толчок к развитию приближенных методов в теории ветвления. В этом направлении были рассмотрены вопросы униформизации решений, в том числе явная и неявная параметризация, предложен N-ступенчатый итерационный метод поиска ветвящихся решений нелинейных уравнений. Некоторые результаты, полученные в общей теории ветвлений решений нелинейных уравнений и ее приложений в последнее время, отражены в монографиях1'2'3,4.

Актуальность диссертационного исследования определяется недостаточной изученностью нелинейных операторных уравнений с векторным параметром, когда оператор в главной части не имеет ограпичен-

1Сидоров Н.А. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления. — Иркутск: Изд-во ИГУ, 1982. - 312 с.

"Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения / Под ред. В.А. Треиопша, А.Ф. Филиппова. — М.: Физматлит, 2003. — 464 с.

3Lyapunov-Schmidt Metliods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov [at al.]. — Boston; London; Doidrecht: Kluwer Acad. РчЫ., 2002. — 548 p.

4B. Buffoni, J. Tbland, Analytic Theory of Global Bifurcation, ~~ Princeton; Oxford: Princeton university press, 2002. — 169 p.

ного обратного. В литературе такой случай называют нерегулярным, в отличие от регулярного случая, когда применима теорема о неявном операторе, и уравнение имеет единственное решение в достаточно малой окрестности рассматриваемой точки. Нерегулярный случай характеризуется множеством различных эффектов, в том числе непредсказуемым поведением решений, их количеством и другими особенностями. В силу этих и других сложностей нерегулярный случай рассматривается при дополнительных жестких ограничениях на уравнения. Например, хорошо изучен случай фредгольмова оператора в главной части уравнения, поскольку он часто встречается в приложениях.

Но даже при таких сильных ограничениях иа операторы, входящие в уравнение, авторы исследований могут столкнуться с серьезными затруднениями, к примеру, с невозможностью обобщить метод на случай, когда параметр, входящий в уравнение, является не числовым, а векторным; в итерационных методах сложность может вызвать выбор начального приближения, при котором метод сходится.

В представленной работе выделены классы уравнений для нерегулярного случая, которые после эквивалентных преобразований и замены переменных начинают удовлетворять условиям принципа сжимающих отображений. Как результат такой техники мы получаем набор достаточных условий, при которых решение существует, может быть найдено методом последовательных приближений, начальное приближение метода может быть любым элементом из достаточно малой окрестности нуля, параметр может быть элементом произвольного линейного нормированного пространства.

Учитывая повышенный интерес к решению уравнений в нерегулярном случае, вызванный многочисленными приложениями, представленные в работе результаты с учетом их научной новизны являются актуальными как для прикладной математики, гак и для теоретической.

Целью работы является выявление классов нелинейных интегральных, интегро-дифференциальных уравнений и краевых задач, для которых в результате замены неременных и эквивалентных преобразований в достаточно малой секториальной окрестности нерегулярного значения векторного параметра применим принцип сжимающих отображений, и, как следствие, существует возможность поиска решения методом последовательных приближений.

Объектом исследования являются классы нелинейных интегральных, интегро-дифференциальных уравнений и нелинейных краевых задач с векторными параметрами, интерпретируемые как операторно-дифференциальиые уравнения в банаховых пространствах.

Методы исследования. В работе используются аналитические и функциональные методы теории интегральных и диффереициалыю-оиераториых уравнений, методы теории операторов в банаховых пространствах.

Научная новизна полученных в диссертации результатов заключается в том, что для широких классов нелинейных уравнений, для которых не выполняется теорема о неявном операторе, получены достаточные условия существования решения, и приведен способ его построения. Параметр, входящий в уравнение, является элементом произвольного линейного нормированного пространства, в отличие от множества работ, посвященных случаю вещественного параметра. Оператор в главной части уравнения не ограничивается условием нормальной разрешимости. Приведенные итерационные методы не обременены сложностью выбора начального приближения и работают одинаково эффективно при любом достаточно малом начальном приближении.

Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, обусловлена строгостью доказательств, использованием широко известных результатов из теории дифференциальных и операторных уравнений, а также обсуждениями на научных конференциях и семинарах.

Теоретическая и практическая значимость. В диссертации получены результаты, расширяющие рамки применимости современных методов анализа в теории интегральных и дифференциальных уравнений для случаев, где теорема о неявном отображении не выполняется. В том числе результаты могут быть применены для построения решений нелинейных интегральных уравнений Фредгольма 1 рода, нелинейных краевых задач в окрестности нерегулярных значений параметра. Векторный параметр, входящий в уравнение, может быть элементом произвольного линейного нормированного пространства; на операторы, входящие в уравнение, не накладывается жестких ограничений (нормальной разрешимости, к примеру).

Полученные результаты могут быть использованы при решении прикладных задач, что продемонстрировано на конкретных примерах: в третьей главе диссертации автором решена одна краевая задача об изгибе стержня под действием сжимающей силы, в статье [5] Д.Н. Сидоровым найдены малые ветви задачи о колебаниях спутника в плоскости его эллиптической орбиты, в статье [6] А.И. Дрегля исследовала краевую задачу для нелинейного дифференциального уравнения, возникающего в теории моделирования полимеров, на существование малого решения и указала формулу для поиска этого решения методом

о

последовательных приближений. Некоторые части работы включены в соответствующие спецкурсы и использовались студентами кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений ИМЭИ ИГУ при написании курсовых и дипломных работ.

Исследования по теме диссертации проводились в рамках следующих программ:

- тема НИР задания Федерального агентства по образованию (проект 091-08-102/1.2.08);

- Федеральная целевая программа «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы. Госконтракт по ФЦП «Кадры» П 696 от 20 мая 2010 года;

- индивидуальный исследовательский грант Иркутского государственного университета 111-09-001/А2.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности. В соответствии с паспортом специальности 01.01.02 в диссертации рассмотрены дифференциальные, интегро-дифференциальные уравнения и краевые задачи с необратимым оператором в главной части, трактуемые как нелинейные операторные уравнения в функциональных пространствах с векторным параметром. Исследованы вопросы существования решений, и предложен способ их построения. Общие результаты применены для решения конкретных интегральных уравнений и краевых задач, в том числе прикладного характера. Поэтому область исследования соответствует пункту 8 «теория дифференциально-операторных уравнений» в списке «области исследований», определенном специальностью 01.01.02.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на следующих научных конференциях, в том числе 6 международных, 2 всероссийских: III Международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (г. Пенза, Пензенский госушшерси-тет, 2008); XIV Байкальская международная школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения» (г. Иркутск, Байкал, 2008); Международная научно-образовательная конференция «Наука в вузах: математика, физика, информатика. Проблемы высшего и среднего профессионального образования» (г. Москва, РУДН, 2009); II Международная школа-семинар «Нелинейный анализ и экстремальные задачи» (г. Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2010); XV Байкальская Международная школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения» (Иркутская область, п. Листвянка, 2011); III Международная школа-семинар «Нелинейный анализ и экстремальные задачи» (г. Иркутск, ИДСТУ

СО РАН, 2012); Всероссийская конференция «Математическое моделирование и вычислительно-информационные технологии в междисциплинарных научных исследованиях» (г. Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2009); Седьмая Всероссийская научная конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, СамГТУ, 2010); III Межвузовская зональная конференция, посвященная памяти профессора Б.А. Бельтюкова, «Математика и проблемы ее преподавания в вузе» (г. Иркутск, Иркутский педуииверситет, 2007); региональная научно-практическая конференция «Интеллектуальные и материальные ресурсы Сибири» (г. Иркутск, БГУЭП, 2008); Школа-семинар «Нелинейный анализ и экстремальные задачи» (г. Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2008); ежегодные научно-теоретические конференции студентов и аспирантов ИГУ (г. Иркутск, 2007-2010); ежегодные конференции ИДСТУ СО РАН «Ляиуновские чтения к презентация информационных технологий» (г. Иркутск, 2007-2011), а также на семинарах, проводимых на кафедре математического анализа и дифференциальных уравнений под руководством H.A. Сидорова.

Публикации и личный вклад. Результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в 15 работах, среди которых б статей [1-6] в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования результатов диссертаций.

Результаты главы 1 опубликованы в работах [1,3,6-15], главы 2 — в работах [1,6], главы 3 — в работах [2,4,5].

Все результаты, выносимые на защиту, получены автором лично и не нарушают авторских прав других лиц. В работах [1,2,4—7] H.A. Сидорову принадлежат постановки исследуемых задач. В работах [4,5] Д.Н. Сидорову принадлежат построения решений интегрального уравнения и краевой задачи о колебании спутника. В работе [6] А.И. Дрегля принадлежат доказательство существования решения краевой задачи моделирования полимеров и вывод формулы для поиска решения этой задачи методом последовательных приближений.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 124 странницах и состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, который содержит 91 наименование.

Автор выражает глубокую признательность профессору H.A. Сидорову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулирована цель и дана общая характеристика работы, отражена актуальность, практическая значимость и научная

новизна исследования. Перечислены прикладные задачи, которые были исследованы с помощью доказанных в диссертации теорем.

В главе 1 рассмотрено нелинейное операторное уравнение при условиях, когда теорема о неявном операторе не выполняется. Приведены классы операторов, встречающихся в приложениях, для которых полученные результаты могут быть применены.

Пусть X, Y — банаховы пространства, Л — линейное нормированное пространство.

Рассматривается нелинейное операторное уравнение вида

F{x, А) = 0, (1)

где F : X х Л -> Y и F(0,0) = 0. Предполагается, что нелинейный оператор F(x, А) непрерывен по х и А в окрестности нуля и имеет производную Фреше FJx, А), которая является непрерывной по г и А в окрестности нуля.

Введено следующее определение секторнальной окрестности нуля.

Определение 1. Сект.ориалъиой окрестностью точки 0 € Л будем называть открытое множество S С Л, такое что 0 € 8S, где dS — граница множества S.

Предполагается, что оператор FX(Q, А) имеет в секторнальной окрестности нуля S ограниченный обратный оператор, для которого имеет место оценка

Р^0,А)|| = о(-^) VAS 5, (2)

где положительный непрерывный функционал а(А) удовлетворяет условию lim а(А) = 0, т.е. а(0) = 0. Вводится область

П = {(I, А) € X х Л, ||а:|| < a(A)r, А £ S}, где число г > 0.

Дано следующее определение минимальной непрерывной ветви, изучению вопросов существования и построения которой посвящена работа.

Определение 2. Если найдутся числа го € (0,г] и е > 0 такие, что из всех малых решений уравнения (1), определенных в области Я. только одно решение х"(Х) попадает в область

По = {(*, A) G X х Л, INI < a(A)r0, А е S, 0 < ||А|| < г},

то решение х*(А) будем, называть минимальным решением уравнения (1) в области S, непрерывным в точке Л = 0 (далее кратко <?минимальной непрерывной ветвью»).

Требуется построить минимальную непрерывную ветвь х(\) —* О при S Э Л —> 0 в нерегулярном случае, когда теорема о неявном операторе не выполняется.

На основании доказанных в работе теорем искомая ветвь решения строится методом последовательных приближений, сходящимся в области Sq С S при нулевом начальном приближении.

Условие (2) иа оператор F~1(0, А) является важным для данного исследования и используется на протяжении всей работы. В силу этого условия теорема о неявном операторе не выполняется, однако оно позволяет производить оценки при доказательствах теорем существования и сходимости предлагаемых методов последовательных приближений. В работе выделено несколько широких классов уравнений, для которых оценка вида (2) имеет место.

Лемма 1. Пусть X — Y = Н — гильбертово пространство, Вц — самосопряженный неотрицательный оператор, В\ — самосопряженный положительный оператор, т.е. Ух € Н:

(В0х, х) > 0, (Вгх,х) > ф,х), 7 6 Е+.

Тогда

где 0 < а(\) < е.

Лемма 2. Если элементы k — 1,р„ г — 1, п, образуют полный

Bi-oteopdanoe набор фредголъмова оператора Во и р — maxpj, тогда в

i—1 ,Tt

некоторой области 0 < |а(А)| < е существует, ограниченный обратный оператор (Во + a(X)Bi)~1 и выполнена оценка

\\(В0 + а(А)^)-Ч| - О (щ^) •

Лемма 3. Пусть нильпотептный оператор В удовлетворяет условию Вп = 0, а оператор С имеет ограниченный обратный оператор, перестановочный с оператором В, 0 < |а(А)| < г. Тогда оператор а(\)С — В имеет ограниченный обратный оператор, для которого выполнена оценка

Доказана следующая теорема, в которой для уравнения (1) с необратимым оператором в главной части приведены достаточные условия существования минимальной непрерывной ветви.

Теорема 1. Пусть в области П выполнены условия: 1) оператор Р(х, А) непрерывен по х и А и имеет частную производную Фреше Рх(х, А), непрерывную по х и А; 2) ^(0,0) = 0; оператор Рх{0, А) непрерывно обратим при любом А € <?, причем при .5' Э А —> 0 имеет место оценка (2); 3) найдется некоторая константа Ь > 0 такая, что для каждого А € 5 будет справедливо неравенство

4) имеет место оценка ||.Р(0,А)|| = о(а2(А)) при 5 Э А 0.

Тогда найдется число Го £ (0, /•] и векториальная окрестность нуля *?о С 5 такие, что для каждого X € 5о уравнение (1) будет иметь в шаре ||х|| < а(Х)го минимальную непрерывную ветвь х(\) —> 0 при ¿о Э А —» 0. которую можно построить методом последовательных приближений.

Следует отметить, что уравнение (1) может иметь и другие малые решения, но в шаре ||х|| < а(Х)г0 при А е 50 согласно принципу сжимающих отображений решение единственно, причем порядок малости этого решения, как бесконечно малой в нуле, может оказаться выше порядка бесконечно малой величины а(А). Все остальные малые решения уравнения (1) будут находиться в области ||х|| > а(А)го.

Далее доказана теорема 2, которая, в силу замены условия 4) теоремы 1 на более слабое, позволяет в некоторых случаях исследовать уравнения, для которых теорема 1 неприменима, что подтверждено в работе соответствующими примерами.

Теорема 2. Пусть в области выполнены условия: 1) оператор Р(х, А) непрерывен по х и А и имеет частную производную Фреше Рх(х, А), непрерывную пох и А; 2) ,Р(0,0) = 0; оператор Рх{0, А) непрерывно обратим при А € 5, причем при 5 Э А —> 0 имеет место оценка (2); 3) найдется некоторая константа Ь > 0 такая, что при любом А € Я будет справедливо неравенство

Шх,Х)~Рх(0,Х)\\<Ь\\х\\-,

4) линейное уравнение 0)х = Р(О, А), где А € 5, име-

ет решение х*(Х), причем выполнены оценки ||х*(А)|| = о(а(Х)) и 11^(0,0) - ^(0, А) || = О (а (А)) при А € 5.

Тогда найдется число го € (0, г] и секториальиая окрестность нуля такие, что для коо/сдого А £ 5о уравнение (1) будет иметь в шаре ||ж|| < а(А)?'о минимальную непрерывную ветвь ж (Л) —» О при 5о Э А —» О, которую можно построить методом последовательных приблиокений.

Следующая теорема в отличие от первых двух теорем рассмотрена в малой окрестности точки а(А)Ц), где элемент Уо выбирается таким образом, чтобы линейное уравнение

Рх(0, Х)х — Р(а(Х)Уо, А) (3)

имело решение х*(Х) порядка ||х*(А)|| = о(а(А)) при 5 э А -> 0. Далее будем полагать, что область О имеет вид:

П = {(х, А) е X х Л, ||х - а(А)У0|| < а(А)г, А € 5},

где г > О, Я — секториальиая окрестность нуля.

Теорема 3. Пусть выполнены условия: 1) оператор F(х, А) и его производная Фреше Рх(х, А) непрерывны на множестве П; 2) линейный оператор ^(0, А) имеет ограниченный обратный при А € Б, и выполнена оценка (2); 3) имеет место оценка \\РТ(х, Х)-Рх(0, А)|| < ¿(А)||х|| при А 6 5, причем Ь{А) —► 0 при А —> 0.

Тогда найдется секториальиая окрестность нуля ¿>о 5= такая, что при каждом А £ б'о в шаре Цж — я(Л)^о[[ < а(\)г будет существовать единственное решение уравнения (1) вида .г-(А) = а(А)У(А), где К (А) У0 при 50 Э А 0.

Поскольку поиск элемента Уо, удовлетворяющего условию (3), может оказаться задачей непростой, ниже приведена лемма, дающая достаточные условия, при которых Уо можно выбрать в виде Уо — (с,<р), где выражение (с, <р) понимается в смысле скалярного произведения.

Для этого вводятся следующие дополнительные предположения. Пусть оператор Р(х, А) имеет1 вид

Р[х,\)~В(\)х + Щх,Х) + Ь{\), (4)

где В(А) — замкнутый линейный оператор, зависящий от параметра А. Нелинейный оператор К : X х Л —» У непрерывен по а- и А в окрестности нуля и непрерывно дифференцируем по х в смысле Фреше в окрестности нуля. Функция Ь(Х) : Л —♦ У непрерывна по А. Линейный оператор В (А) имеет ограниченный обратный при А € 5, причем справедлива оценка

где lim о(Л) = 0, т.е. а(О) = 0. Пусть имеет место представление

5эЛ—о

В(А) = В + а(Х)А + и>(\), где w(A) = о(а(А)) при А О, В, А - заг мкнутые операторы, не зависящие от А, с плотными областями определения в X и со значениями в Y.

Лемма 4. Пусть для оператора (4) в области О выполнены условия: 1) Ъ{А) = а2(А)б2 +€(А), где ||£(А)|| = о(о2(А)) при А -> 0; 2) оператор В(А) имеет ограниченный обратный при А 6 S, Для которого выполнена оценка (5); 3) уравнение Вх = &2 +А(с, <р) имеет решение хо, где <р G N(B), с — постоянный вектор; 4) ||Я(а(А)(с,<£), А)|| = о(а2(А)) при S Э А -» 0; 5) R(0,0) = 0, Rx(0, А) = 0, 6(0) = 0.

Тогда уравнение (3) имеет требуемое решение при Vq = (с, (р).

Далее в главе 1 доказаны теоремы, аналогичные представленным выше, но наличия производной Фреше для оператора F(x, А) не требуется. Затем доказанные теоремы обобщены на случай, когда вместо замены х = a(X)V, где а(А) определяется видом оператора F'^O, А), используется замена вида х — г/(А)К, где и{А) изначально является произвольным функционалом. В процессе доказательства v(X) выбирается таким образом, чтобы условия принципа сжимающихся отображений гарантированно выполнялись. Такой подход позволяет более тонко исследовать уравнение по сравнению со случаем, когда замена определена заранее.

В главе 2 рассмотрена задача из главы 1 в предположении, что оператор в главной части исследуемого уравнения является фредголь-мовым.

Исследуется уравнение вида

В(Л) = R(x. А) 4- Ь(А), (6)

где замкнутый линейный оператор В{А) с плотной в банаховом пространстве Л" областью определения, не зависящей от параметра А 6 Л, предполагается фредгольмовым в точке А = 0, — базис в подпространстве нулей N(B(0)), {i'i}" — базис в дефектном подпространстве N*(B(0)). Нелинейный оператор R: X х Л —> У непрерывен по х и А в окрестности нуля, i?(0,0) = 0.

При значениях параметра А из секториальной окрестности нуля S с Л имеет место неравенство

mTx1.X)-R(Tx2,X)\\<L(r)-rl.\\xi-x2\\! (7)

где xi, х-2 — элементы из шара ||х|| < г, Цт) = O(r), т — величина, не зависящая от ху и хо. Функция Ь(А) : Л —* Y определена и непрерывна в окрестности точки А = 0, 6(0) = 0. Согласию обобщенной лемме

Шмидта ограниченный оператор Треногина строится следующим образом: ^

Здесь {tpi,jk) = öik, (zi, фк) = hu. Введем обозначение

А(Х) ^В(0)-В(\). (8)

Пусть справедливы следующие условия: I. При х € D{B(())) имеет место неравенство

||ЖА)1||<С(Л)(||®||+Ь||5(0)Х||),

где с(Л) : S с Л —» (0, +оо) — определенный в секториальной окрестности S нуля положительный непрерывный функционал,

с(0) = 0, Ь > 0.

Заметим, что в силу условия I и ограниченности оператора Г

lim ЖА)Г = 0, и оператор I - Л(А)Г имеет ограниченный обратный s эл-+о

при Л € So с 5, где [|Л(А)Г|| < q < 1, по теореме Банаха об обратном операторе.

' = Д(А),

И.

с!е6 ((/ - А(Х)Г)"1 А(\)цн, . ^

где Д(Л) ~ а(А) при 5 э А -+ 0, а(А), как и в предыдущих главах положительный непрерывный функционал, а(0) = 0.

Лемма 5. Пусть 5(0) — фредгольмов оператор и выполнены условия I, II. Тогда оператор В(А) имеет ограниченный обратный при А € Б, и выполнена оценка (5).

Далее пусть В(А) = В() - с(Х)Ви где ||-М| < а(||х|| + Р\\В&:\\ ), а > 0, ,5 > 0, Во — фредгольмов оператор.

III. Элементы к = ТГр1, г = Т^п, образуют полный В\-

жорданов набор фредгольмова оператора Во, а функционалы

К},

к = г = 1,п, образуют полный В^-жордапов набор оператора Вц.

Определение 3. Линейный оп.ерат.ор Гг(А) называется левым аси-иптотичеслчим регуляризатором опе.ратор-фунщгт В (А), если <?ИтоГ,(А)В(А)ж = х\/х£ В{В).

Аналогично введен правый асимптотический регуляризатор В(А). Если А = 0 является изолированной особой фредгольмовой точкой оператор-функции В (А), то асимптотические регуляризаторы можно построить в явном виде.

Лемма 6. Пусть В(А) — Во — с(Х)В1 и условие П1 выполнено. Тогда в окрестности 0 < |с(А)| < е существует ограниченный обратный оператор В~1(\), а также левый и пра.вый регуляризаторы Гг(А) и ГГ(А) оператора В(А), определяемые формулами:

од=г - £ (•' ^ (9)

i=1 S—1

ГГ(А) = Г - £ £ с-(А) (.,*«) (10)

i=1 S=1

При этом

B~l{А) = ГР(А)(/ - c(A)ßir)-1, (11)

где ЦБ-1 (А)|| = О (1/ср(А)), р = maxfo,... ,Рп).

Если В\ — ограниченный оператор и 0 < |с(А)| < l/(||r||||ßi||), то справедливы операторные тождества

В~\А) = (/ - сМГДГ'ВД = ГГ(А)(/ - сМВД"1. (12)

Теорема 4. Пусть оператор В(А) имеет вид В(А) = Bq — c(X)Bi и выполнено условие III, причем max(pi,... ,р„) = р, В± — ограниченный оператор. Пусть ||6(А)|| < £(А) • с'"(Х), где £(А) —> О при А —» О, А)|| < С ■ ||х||', где I > 2, С — const, то > f^. Пусть при любом А е се.кториа*гьной окрестности нуля S и.меет место неравенство

0<cW-wrmr

где О < q < 1. Пусть выполнено условие (7).

Тогда уравнение (6) при VA £ Sq С S, где So — секториаль-пая окрестность пуля, имеет единственную минимальную ветвь х(Х) —> 0 при Sq Э А —» 0. Кроме того, ветвь х(Х) удовлетворяет оценке ||х(А)|| = о(с(Х)р^!~1>), а последовательность хп(Х). где

х„ = с(А)ГБ1Жп_1 + Г;(А)(Л(хп_1, А) + 6(A)). (13)

£0 = 0, п = 1,2,..., сходится при X £ So к этой ветви.

В главе 3 предложен метод, который, в отличие от результатов главы 2, позволяет последовательными приближениями в секториальных окрестностях строить решения с различными порядками малости уравнений с векторным параметром.

Рассматривается нелинейное уравнение

Bu = F{u,a(X),ß(X)), (И)

^1,0,о = 0. Замкнутый фредгольмов оператор В действует из X в У и имеет плотную область определения в X. Предполагается, что

ы?-

базис в подпространстве нулей Ы(В), Ш? - базис в дефектном подпространстве М*(В), - г-степепные операторы. Оператор Я, непрерывен дифференцируем по и в смысле Фреше и удовлетворяет оценке Щи,а,Й = 0((|М| + И + \Р\)Т+1), а(А) и /?(А) - непрерывные функционалы, определенные на открытом множестве й С Л, 0 € 9П, а(0) = /3(0) = 0. Область П является секториальной окрестностью нуля.

Целью этой главы является построение асимптотических последовательных приближений непрерывных решений и(\) —► 0 при О. Э А -»■ 0.

Пусть выполнены условия:

А. Существуют и = г/в, 8 = (г + т)Дч, где г, т - натуральные числа такие, что

0)=ав £ Пио(У) + 0(У,а), (15)

Ы/+А-0

гдо||д(^а)||=о(ае),в<Г.

Заметим, что в конкретных случаях числа г, з, то легко вычислить, нанеся на координатную плоскость точки (г, к), отвечающие ненулевым членам Г,-.к,о, и построив соответствующую диаграмму Ньютона. Искомое // полагается равным tg 7, где 7 - угол наклона одного из отрезков диаграммы с отрицательным направлением оси г. Соответствующее в будет равно ординате точки пересечения этого отрезка с осью к. Поскольку диаграмма может иметь несколько отрезков, то выбор чисел г, в, т в представлении (15) может оказаться неоднозначным.

' В. В окрестности точки и = 0, а = 0, 3 = 0 выполнена оценка Липшица:

||Г(«,а,/3) < ДИИоШМ

где ¿(И|, И, |/3|) = 0((||«|| + N + Щ)1), I > 0.

С. Функционал ¡3{А) в секториальной окрестности П удовлетворяет при О Э А -»■ 0 оценке

/?(А) = о(«( А)е).

Замечание 1. Если в условии В I > (г + т) тах(1/г, \/з), то¡ условие С можно заменить на более слабое условие /3(А) = о(а(А) + ). Другими словами, в этом случае 3(Х) может быть в обмети О бесконечно малой более низкого порядка, чем требуется в условии С.

В. Пусть, кроме того, система алгебраических уравнений

Ш = ( Е (16)

__п

где .7 = 1 ,п, ар = с1<р11 имеет простое решение с*. i=l

Теорема 5. Пусть выполнены условия А—И.

Тогда существует открытая область Г^ С О такая, что 0 £ дП^. и при Л 6 О1 уравнение (14) имеет непрерывное решение

и(А) = «(АИс> + с/(А)), (17)

где с* — простой корень алгебраической системы (16), функция ¿(А) имеет оценку с1(А) — о(1) при О Э А —+ 0 и определяется единственным образом последовательными приближениями.

В качестве приложения полученных теоретических результатов в главе 3 рассмотрена краевая задача об изгибе стержня под действием сжимающей силы в нерегулярном случае:

У

.(4)

(х) + 2рг/2Цх)+у = /(у:/3), 0<х<тг, (18)

у(0) = 0, у(тг) = 0, , .

у(2)(0) = 0, у№(тг) — 0, (19)

где /(у, 0) — нелинейная функция, зависящая от малого параметра р.

Для определенности предполагается Лу, ¡3) = у">(х) + а(х).в, где а(х) — заданный функционал, ¡3(А) — малый параметр. Построены асимптотики малых решений задачи (18), (19) при достаточно малых А и амплитуде ¡3 = о(|А|3/12):

»/г, 2 = ±2\/2А/3 эни + п,2(А),

Уз = гз(А), где г<(А) — о(|А|1/2), г — 1,2,3.

Очевидно, что при А > 0 решения у\, У2 будут вещественными. Решение т/з является минимальной ветвью при А —*■ 0.

В заключении резюмированы полученные в работе результаты.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Получены новые достаточные условия существования решений для нелинейного уравнения вида Р(х, А) = 0 в секториальных окрестностях нерегулярных значений параметра, являющегося элементом линейного нормированного пространства, в которых условия теоремы о неявных отображениях не выполняются.

2. Предложены методы последовательных приближений для построения решений в секториальиых окрестностях нерегулярных значений параметра, сходящиеся при нулевом начальном приближении.

3. Построены асимптотики решений нелинейных интегральных уравнений и ряда нелинейных краевых; задач в окрестностях нерегулярных значений параметра с помощью предложенных методов последовательных приближений.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Сидоров H.A., Леонтьев Р.Ю. О решениях максимального порядка малости нелинейных уравнений с векторным параметром в секториальиых окрестностях // Тр. Института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 2. С. 226-237.

[2] Леонтьев Р.Ю., Сидоров H.A. Униформизащш и последовательные приближения решений нелинейных уравнений с векторным параметром // Известия Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. 2011. Т. 4, № 3. С. 116-123.

[3] Леонтьев Р.Ю. О решениях максимального порядка малости нелинейных уравнений в секториальпой окрестности пуля /'/ Вестник Южно-Уральского гос. ун-та. Сер. Математическое моделирование и программирование. 2011. Вып. 7, № 4 [221]. С. 66-70.

[4] Сидоров Д.Н., Сидоров H.A., Леонтьев Р.Ю. Асимптотические приближения решений нелинейных краевых задач с векторным параметром в окрестности точки бифуркации // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2011. № 3. С. 16-22.

[5] Сидоров H.A., Сидоров Д.Н., Леонтьев Р.Ю. Последовательные приближения решений нелинейных уравнений с векторным параметром в нерегулярном случае // Сибирский журнал индустриальной математики. 2012. Т. XV, № 1 (49). С. 132-137.

[6] Сидоров H.A., Леонтьев Р.Ю., Дрегля А.И. О малых решениях нелинейных уравнений с векторным параметром в секториальиых окрестностях // Математические заметки. 2012. Т. 91, вып. 1. С. 120-135.

[7] Сидоров H.A., Леонтьев Р.Ю. Теоремы о неявном операторе в секториальиых квазиокрестпостях и минимальные ветви решений нелинейных уравнений // Тр. XIV Байкальской междунар.

школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения». Т. 3: Вычислительная математика. Иркутск, 2008. С. 158-163. URL: http://wwv.sei.irk.ru/baikal2008/volume3.pdf.

[8] Леонтьев Р.Ю. Теоремы о неявном операторе в секториальиых квазиокрестностях и минимальные ветви решений нелинейных уравнений // Вестник ЮУрГУ. Сер. Математическое моделирование и программирование. 2008. № 15(115), вып. 1. С. 37-41.

[9] Леонтьев Р.Ю. Теорема о неявном операторе в секториальиых квазиокрестностях и минимальные ветви решений нелинейных уравнений // Вестник Бурятского гос. ун-та. Математика и информатика. 2008. Выи. 9. С. 76-79.

[10] Леонтьев Р.Ю. Минимальные ветви решений нелинейных уравнений в секториальиых квазиокрестиостях // Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем: сб. статей III Междунар. науч.-техн. конф. Пенза: Приволжский Дом знаний, 2008. С. 19—21.

[11] Леонтьев Р.Ю. Теоремы о неявном операторе в секториальиых областях // Известия Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. 2009. Т. 2, № 1. С. 320-323.

[12] Леонтьев Р.Ю. О решениях максимального порядка малости нелинейных уравнений // Вестник Бурятского гос. ун-та. Математика и информатика. 2009. Вып. 9. С. 77-83.

[13] Леонтьев Р.Ю. О малых решениях нелинейных уравнений в секториальиых областях // Тр. VII Всерос. науч. конф. с междунар. участием «Математическое моделирование и краевые задачи». Ч. 2: Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами. Самара: СамГТУ, 2010. С. 167-170.

[14] Леонтьев Р.Ю. О малых решениях нелинейных уравнений в секториальиых окрестностях // Известия Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика, 2010. Т. 3, № 1. С. 36-41.

[15] Леонтьев Р.Ю. О малых решениях нелинейных уравнений в секториальиых окрестностях // Тр. XV Байкальской междунар. школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения». Иркутск: РИО ИДСТУ СО РАН, 2011. Т. 3. С. 71-75.

Редакщюн i ю-издательский отдел Федерального государственного бюджетного учреждения пауки Института динамики систем и теории уираачения СО РАН 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, д. 134 E-mail: rio@icc.ru

Подписано к печати 20.11.2012 г. Формат бумаги СО х 84 1/16, объем 1.2 и.л. Заказ 5. Тиран-: 130 экз.

Отпечатано в ИДСТУ СО РАН

Введение

1 Минимальные ветви решений нелинейных операторных уравнений в секториальных окрестностях нерегулярных значений векторного параметра

1.1 Построение ветвей решений в случае существования производной Фреше нелинейного оператора.

1.2 Построение ветвей решений при выполнении условий типа Липшица

1.3 Усиление результатов параграфов 1 и 2 с помощью замены общего вида

2 Минимальные ветви решений нелинейных уравнений в случае фредгольмова оператора

3 Построение малых решений различных порядков малости нелинейных уравнений в секториальных окрестностях векторного параметра

3.1 Униформизация ветвей и последовательные приближения.

3.2 Построение решений краевой задачи об изгибе стержня в нерегулярном случае.

Нелинейные уравнения представляют большой интерес в силу многочисленных приложений в современной физике и технике. Поэтому важность исследования таких уравнений не вызывает никаких сомнений.

Первая серьезная работа по нелинейным интегральным уравнениям принадлежит A.M. Ляпунову [83], которая была посвящена изучению фигур равновесия вращающейся жидкости. В несколько более общей форме результаты A.M. Ляпунова были получены Э. Шмидтом [87].

В первой половине XX века различные методы исследования нелинейных уравнений развивались в работах П.С. Урысона [74], Гаммерштейпа [78], Иг-лиша [79], H.H. Назарова [49], А.И. Некрасова [50] и других.

К концу 50-х годов М.А. Красносельским [17] и другими начинается интенсивное развитие топологических и вариационных методов в теории ветвления, позволяющих доказывать теоремы существования в ряде прикладных задач.

Состояние теории ветвления решений нелинейных уравнений к концу 60-ых годов отражено в монографии М.М. Вайнберга, В.А. Треногина [7]. В этой книге подробно освещены вопросы, касающиеся диаграмм Ньютона, одномерного и многомерного случаев ветвления, уравнений разветвления Ляпунова-Шмидта, фредгольмовых и нётеровых операторов, жордановых цепочек, рассмотрены многочисленные примеры, в том числе прикладного характера. Эта монография переведена на основные европейские языки и считается фундаментальным трудом в области ветвления решений нелинейных уравнений. Дальнейшие исследования проводились па основании сочетания аналитических, вариационных, теоретико-групповых методов многими современными учеными. Из приближенных методов в теории ветвления решений пелиней3 пых уравнений с параметрами выделяют для типа - это асимптотические методы и итерационные методы.

В развитие современных асимптотических методов в многомерном случае принципиальное продвижение внесли работы В.А. Треногина [7,51], методы группового анализа (работы Б.В. Логинова и В.А. Треногина [44,51]), методы степенной геометрии (А.Д. Брюно [6]) и других. При асимитотическом анализе задач теории ветвления решения ищутся в виде разложения Ныотона-Пьюизо, т.е. по дробным степеням числового параметра. Асимптотические методы развивались в теоретических и прикладных работах [5,8] и многих других (см. например, библиографии в [6,7,44,51,84]). Асимптотическими методами были решены сложнейшие задачи в математической физике и иных областях современной и прикладной математики (работы В.И. Юдовича [76], М.М. Вайнберга и В.А. Треногина [7, стр. 490-517], A.A. Белолипецкого и A.M. Тер-Крикорова [4], [51, стр. 145-196], Б.В. Логинова [45], Д. Сэтинджс-ра [86], Н.И. Макаренко [47] и др.)

Методы теории ветвления нашли применение и при решении дифференциально-операторных уравнений с необратимым оператором в главной части [90], в бифуркационном анализе системы Власова-Максвелла [84] и других областях науки и техники.

Появление итерационных методов дало новый толчок в развитии приближенных методов в теории ветвления. В этом направлении были рассмотрены вопросы униформизации решений [70], в том числе явная и неявная параметризация [48,56, 69, 71] в условиях групповой симметрии [43] уравнений, сплетаемые уравнения разветвления [1,55], предложен N-ступенчатый итерационный метод [67] поиска ветвящихся решений нелинейных уравнений. Некоторые результаты в теории итерационных методов, в том числе и построение разветвляющихся решений операторных уравнений, полученные к середине 80-х годов, отражены в монографии H.A. Сидорова [68]. Итерационные методы при решении конкретных задач использовали и другие авторы [80,82,85,91]. Важным вопросом при исследовании уравнений итсрационными методами является выбор начального приближения, который зачастую становится отдельной задачей и существенно усложняет метод.

Некоторые последние результаты теории ветвления отражены в монографиях [51] и [84]. С другими методами исследования нелинейных задач можно познакомиться в работах [2,3,12,53,77].

В статьях A.B. Арутюнова [2,3] изучаются неявно заданные гладкие нелинейные отображения в окрестности анормальной (вырожденной) точки. Теоремы о неявной функции, полученные для анормальной точки, в нормальной точке превращаются в классические теоремы. Доказательство основано на изучении строящегося семейства экстремальных задач с ограничениями, к которым применяются необходимые условия экстремума второго порядка.

В 2004 году в работе H.A. Сидорова [66] была поставлена задача поиска решения, являющегося минимальной ветвью, и был предложен способ поиска искомого решения методом последовательных приближений, сходящимся при любом достаточно малом начальном приближении, в том числе при пулевом начальном приближении. Оператор в главной части уравнения полагался фредгольмовым, малый параметр А - элементом линейного нормированного пространства.

Целыо данной работы является выявление классов нелинейных интегральных, интегро-дифференциальных уравнений и краевых задач, для которых в результате замены переменных и эквивалентных преобразований в достаточно малой секториальной окрестности нерегулярного значения векторного параметра применим принцип сжимающих отображений, и, как следствие, существует возможность поиска решения методом последовательных приближений.

Отметим, что результаты, полученные в рамках текущего диссертационного сочинения, были применены при изучении решений конкретных прикладных задач. Например, в статьях [54,57,61] и в данной работе рассмотрены следующие краевые задачи, исследование которых проводилось с использованием теорем, доказанных в диссертации: задача об изгибе стержня (H.A. Сидоров, Р.Ю. Леонтьев), задача о колебании спутника (Д.Н. Сидоров), задача 5 погранслоя в моделировании производства синтетических волокон (А.И. Дрс-гля).

Например, при исследовании краевой задачи л \d2u п . du . , .

1 + е eos x)—z — 2е sin х——h a sm и — 4е sin х = О, dxz ах и(0) = и(7Г) - 0, описывающей колебания спутника в плоскости его эллиптической орбиты, были применены известные результаты из области функционального анализа, операторных уравнений и некоторые результаты текущей диссертации. В результате были выписаны асимптотики малых вещественных решений и предложена формула для поиска минимальной ветви методом последовательных приближений.

Краевые задачи, возникающие в некоторых моделях производства полимеров, имеют вид: сfu где А — малый положительный параметр, 0 < х < оо, /(«, А) — непрерывная функция в области Q = {|w| < г, 0 < А < р}. Задача сводится к уравнению в операторном виде

F(u, А) = 0, и с применением теоремы 1.2.1 доказывается существование минимальной ветви г«(А) —> 0 при А —У +0 на сколь угодно большом интервале [0, удовлетворяющей краевым условиям

U-o = 0, и\х=\. = 0.

Приводятся формулы для построения решения методом последовательных приближений.

В главе 3 диссертации рассмотрена краевая задача об изгибе стержня под действием сжимающей силы в нерегулярном случае: уЫ{х) + 2руЮ{х) +у = f(y,(3), 0<Х<7Г, 2/(0) = 0, у{тг) = 0,

7/(2) (0) = 0, 7/2) (7Г) = 0, где /(у,Р) - нелинейная функция, зависящая от малого параметра р, у(х) описывает малый прогиб стержня. Задача рассмотрена в окрестности критической точки р* — 1-Х при малых значениях параметра Л. После преобразований приходим к уравнению в операторной форме:

А(1)у = Р(у,\,(3), и на основании полученных в третьей главе результатов выписываются малые решения этого уравнения.

Наиболее общие теоремы существования в современной теории дифференциальных уравнений и математической физики получены с точки зрения операторных уравнений в банаховых пространствах. В целях общности и универсальности целесообразно развивать теорию разрешимости дифференциальных, интегральных уравнений, краевых задач в операторном виде.

Область исследования соответствует пункту 8 «теория дифференциально-операторных уравнений» в соответствии с паспортом специальности 01.01.02.

В работе широко используется принцип сжимающих отображений для доказательства существования решения (минимальной ветви), гарантирующий, в частности, сходимость метода последовательных приближений при любом достаточно малом начальном приближении. В первой главе в доказательствах применяются теорема Банаха-Штейнгауза и формула конечных приращений Лагранжа. Во второй и третьей главах применяются известные результаты теории обобщенных жордановых цепочек и фредгольмовых операторов.

В диссертации получены результаты, которые расширяют рамки применимости аналитических методов современного анализа к исследованию нелинейных операторных уравнений с параметрами за счет расширения возможных пространств, в которых рассматривается малый параметр (который может быть и многомерным), и за счет расширения круга разрешимых задач в силу снятия на операторы рассматриваемых уравнений определенных ограничений (например, требования, чтобы оператор в главной части был фред-гольмовым). Итерационные методы, приводимые в работе, не требуют особых условий для выбора начального приближения и работают одинаково эффективно при любом достаточно малом начальном приближении, в том число при нулевом начальном приближении. Заданные в работе оценки позволяют применять полученные результаты для широкого класса нелинейных уравнении, оператор в главной части которых не ограничивается случаями с фредголь-мовым или нётеровым оператором. В том числе теоремы могут применяться для уравнений фредгольма 1 рода.

Полученные результаты могут быть использованы при решении прикладных задач, и в работе рассмотрены прикладные задачи. Также в работе выделены конкретные классы интегральных уравнений и краевых задач, для которых доказанные теоремы могут быть особенно полезны. Некоторые части работы включены в спецкурсы для студентов-математиков ИМЭИ ИГУ и использовались студентами кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений ИГУ при написании курсовых и дипломных работ.

В первой главе рассмотрено нелинейное операторное уравнение вида

F(x, Л) = 0, (0.0.1) где F : X х Л Y и F(0,0) = 0. X, Y - банаховы пространства, Л - линейное нормированное пространство. Нелинейный оператор F(x, А) является непрерывным по £ и А в окрестности нуля и имеет производную Фреше но первому аргументу, непрерывную по х и Л в окрестности нуля.

Введено понятие векториальной окрестности нуля, как открытого множества S С Л, такого что 0 е dS, где dS - граница множества S.

Оператор Fx(0, Л) имеет в секториальной окрестности нуля S ограниченный обратный оператор, для которого имеет место оценка:

Н^ГЧо, А)|| = о(-^у) для VA б (0.0.2) где непрерывный положительный функционал а(А), определенный в области

S, удовлетворяет условию lim а(А) = 0, т.е. а(0) = 0.

5эА->0 w 4

Из оценки (0.0.2) следует, что оператор ^(0,0) не имеет ограниченного обратного, т.е. точка А = 0 является нерегулярным значением векторного параметра А, и уравнение не удовлетворяет условиям теоремы о неявной функции [14].

Условие (0.0.2) является важным для данного исследования и используется на протяжении всей работы. С одной стороны, это условие, выполняющееся для широкого класса задач, в силу равенства а(0) = 0, гарантирует нерегулярность рассматриваемого случая. С другой стороны, оно позволяет производить оценки при доказательствах теорем существования и других результатов, связанных с построением решений.

Для обоснованности выбора условия вида (0.0.2), в параграфе 1 главы 1 приведено три широких класса операторов, наиболее часто встречающихся в приложениях, для которых данная оценка имеет место:

1. Пусть X — У = Н - гильбертово пространство, Во самосопряженный неотрицательный оператор, В\ - самосопряженный положительный оператор, то есть \/х Є Н

В0х, х) > 0, (Віх,х) > 7(ж, ж), 7 Є М|.

Тогда

КД, + где 0 < а(А) < е. к)^ -

2. Если элементы }, к = 1,Рі, і = 1,п образуют полный В\ - оісорданов набор фредгольмова оператора Во и р = шах рг, тогда в некотог— \,п рой области 0 < |а(А)| < є существует ограниченный обратный оператор (Во + а(Х)Ві)"1, и выполнена оценка

3. Пусть нильпотентный оператор В удовлетворяет условию Вп = 0, а оператор С имеет ограниченный обратный оператор, перестановочный с оператором В, 0 < \а(\)\ < є. Тогда оператор а(Х)С — В имеет ограниченный обратный оператор, для которого выполнена оценка н («СА)С7 - Д)- н - О

Вводится область {(ж, Л) е X х А, \\х\\ < а(Х)г, Л е 5}, где г > 0.

Дается определение минимальной непрерывной ветви, изучению вопросов существования и построения которой посвящена данная работа.

Определение. Если найдутся числа Го € (0,г] и е > 0 такие, что из всех малых решений уравнения (0.0.1), определенных в области только одно решение ж* (Л) попадает в область

П0 {(х, X) е X х А, \\х\\ < а{Х)г0, А е 0 < ||А|| < г}, то решение ж*(Л) будем называть минимальным решением уравнения (0.0.1) в области ¿7, непрерывным в точке Л = 0 (далее кратко «минимальной непрерывной ветвью»).

Доказываются конструктивные теоремы, гарантирующие существование минимальной ветви малого решения при значениях параметра 5 Э А -> 0 и позволяющие строить её. Один из основных результатов параграфа 1 главы 1 заключается в том, что при условии выполнения в области Г2 для оператора Ь" оценок \\Рх(х,Х) - ^(0, Л)|| < Ь\\х\\ и ||^(0, Л)|| = о(а2(А)), где константа Ь > 0, а(Х) - функционал из (0.0.2), доказано существование минимальной непрерывной ветви уравнения (0.0.1) в шаре ||ж|| < а(Х)го для любого Л £ Яо, где константа Го из полуинтервала (0,г], а 5о ~ секториальная окрестность нуля, 5о С Приведена формула для построения решения методом последовательных приближений, сходящимся при нулевом начальном приближении.

Следует отметить, что уравнение (0.0.1) может иметь и другие малые решения при А € 5, но в шаре ||ж|| < а(А)го при X £ Яо решение единственно. Остальные малые решения уравнения (0.0.1), определенные при А 6 5, будут находится в области ||ж|| > а(Х)го

В параграфе 2 главы 1 предполагается, что Р(х,Х) = В(Х)х + П{х, А), причем оператор Г(х, А) не имеет производной Фреше по первому аргументу. Линейный замкнутый оператор Б (А) действует из X в У. Нелинейный оператор R : X х А —> Y - непрерывен в области Q. Здесь доказаны аналоги теорем, приведенных в предыдущем параграфе для случая, когда производная Фреше существует. Вместо (0.0.2) используется подобная оценка:

В-\А)|| = О(щу) Для VA е 5, (0.0.3) где положительный непрерывный функционал а(Х) удовлетворяет условию lim а(Х) — 0, т.е. а(0) = 0. В силу того, что указанная оценка имеет место,

6чЭЛ-»0 рассматриваемый в этом параграфе случай не является регулярным. В параграфе 3 главы 1 для уравнения

B(X)x = R(x,X) + b(X), (0.0.4) где функция 6(Л) не зависит от х, а линейный замкнутый оператор В(Х) удовлетворяет условию (0.0.3), доказаны еще несколько конструктивных теорем, существенно усиливающих результаты работы H.A. Сидорова [66], дополняющих и развивающих теорию простых решений М.А. Красносельского, А.Е. Гельмана и П.П. Забрейко [10,16]. Здесь мы применили замену более общего вида, а именно, вместо замены х(Х) = a(A)V(A), применявшейся прежде, мы использовали замену вида х(Х) = i/(A)K(A), где функционал v(X), изначально являющийся произвольным, определяется в процессе доказательства, что позволяет более гибко производить оценки.

Результаты главы 1 опубликованы в работах [21,24-26,28,30,31,33,38,39, 57,58,60].

В главе 2 продолжается исследование уравнения вида

B(X) = R(x,X) + b{X), (0.0.5) где замкнутый линейный оператор В(А) с плотной в банаховом пространстве X областью определения, не зависящей от параметра А G Л, предполагается фредгольмовым в точке А = 0; А - линейное нормированное пространство, S С А - секториальная окрестность нуля; — базис в подпространстве нулей N(B(0)), {фг}™ — базис в дефектном подпространстве N*(B(0)). Оператор В( А) имеет ограниченный обратный при А ES, для которого выполнена оценка (0.0.3). Нелинейный оператор R : X х А —Y непрерывен по х и и Л в окрестности нуля, R{0,0) = 0. Функция b(X) : Л У определена и непрерывна в окрестности точки Л = 0, 6(0) = 0.

Приводятся леммы, дающие достаточные условия выполнения оценки (0.0.3). Для оператора вида В(А) = В0 — c{X)Bi при условии существования полного В\ - жорданова набора фредгольмова оператора Во доказана теорема о существовании минимальной ветви. Приведены формулы, позволяющие строить минимальную ветвь методом последовательных приближений.

Результаты главы 2 опубликованы в работах [57,58].

В третьей главе рассматривается нелинейное уравнение

Bu = F(u,a( А), ДА)), N где F(u, а, ¡3) = Fn{u, а, (3) + R(u, а, /?), FN = £ Fikj(u)akf3J, Fm = 0. i+k-\ j=1

Замкнутый фредгольмов оператор В действует из X в Y и имеет плотную область определения в X. Предполагается, что {<£>«}" - базис в N(B), базис в дефектном подпространстве N*(B), Fikj- i - степенные операторы [7, стр. 345]. Оператор R непрерывен, дифференцируем по и в смысле Фреше и удовлетворяет оценке R(u,a,/3) = 0((||it|| + |а| + \ft\)N^ *), «(А) и (3(А) -непрерывные функционалы, определенные на открытом множестве Q С А, 0 G Ш, а(0) = /3(0) = 0. Область является секториальной окрестностью нуля.

Целью третьей главы является построение асимптотических последовательных приближений непрерывных решений и(А) —> 0 при Q Э А —>• 0, позволяющих строить решения нелинейных интегральных уравнений и краевых задач с несколькими параметрами.

Случай векторного параметра, часто встречающийся в приложениях, изучен недостаточно. Особый интерес при этом представляет разработка схем униформизации ветвей решений и последовательные приближения. Ранее в диссертации в секториальных окрестностях нуля последовательными приближениями строились минимальные ветви малого решения. В третьей главе предложен метод последовательных приближений, позволяющий в секториальных окрестностях строить решения с различными порядками малости уравнений с векторным параметром. В основе метода лежат результаты аналитической теории решений нелинейных уравнений [73, гл. 9] и результаты работы [62].

Затем найдены малые решения краевой задачи об изгибе стержня под действием сжимающей силы в нерегулярном случае с помощью полученной в главе теоремы.

Результаты главы 3 опубликованы в работах [20,54,61].

Исследования по теме диссертации проводились в рамках следующих программ:

- тема НИР задания Федерального агентства по образованию (проект 09108-102/1.2.08).

- федеральная целевая программа «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы. Госконтракт но ФЦП «Кадры» П 696 от 20 мая 2010 года.

- индивидуальный исследовательский грант Иркутского государственного университета 111-09-001/А2.

Результаты диссертации были представлены на следующих научных конференций, из которых 6 международных и 2 всероссийских: III Международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (г. Пенза, Пензенский госуниверситет, 2008) [21]; XIV Байкальская Международная школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения» (г. Иркутск, Байкал, 2008) [60]; Международная научно-образовательная конференция «Наука в вузах: математика, физика, информатика. Проблемы высшего и среднего профессионального образования» (г. Москва, РУДН, 2009) [30]; II Международная школа-семинар «Нелинейный анализ и экстремальные задачи» (г. Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2010) [27]; XV Байкальская Международная школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения» (Иркутская область, п. Листвянка, 2011) [26]; III Международная школа-семинар «Нелинейный анализ и экстремальные задачи» (г. Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2012) [32]; Всероссийская конференция «Математическое моделирование и вычислителыю

13 информационные технологии в междисциплинарных научных исследованиях» (г. Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2009); Седьмая Всероссийская научная конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, СамГТУ, 2010) [24]; Школа-семинар «Нелинейный анализ и экстремальные задачи» (г. Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2008) [59]; III Межвузовская зональная конференция, посвященная памяти профессора Б. А. Бельтюкова «Математика и проблемы ее преподавания в вузе» (г. Иркутск, Иркутский педуниверситет, 2007) [37]; региональная паучпо-практическая конференция «Интеллектуальные и материальные ресурсы Сибири» (г. Иркутск, БГУЭП, 2008) [40]; ежегодные научно-теоретические конференции студентов и аспирантов ИГУ (г. Иркутск, 2007, 2008, 2009, 2010) [34,35,42]; ежегодные конференции ИДСТУ СО РАН «Ляпуновские чтения & презентация информационных технологий» (г. Иркутск, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011) [22,23,29,36,41], а также на семинарах, проводимых на кафедре математического анализа и дифференциальных уравнений под руководством H.A. Сидорова.

По теме диссертации опубликовано 29 работ — [20-42,54,57-61]. Наиболее значимые результаты представлены в работах [20,21,24-26,28,31,33,38,39,54, 57,58,60,61], 6 из которых [20,31,54,57,58,61] входят в список журналов, рекомендованных ВАК для опубликования основных результатов кандидатских и докторских диссертаций по математике. Три работы изданы в англоязычных версиях соответствующих журналов, в том числе [88,89].

В работах [20,54,57,58,60,61] H.A. Сидорову принадлежат постановки исследуемых задач. В работах [54,61] Д.Н. Сидорову принадлежат построения решений интегрального уравнения и краевой задачи о колебании спутника. В работе [57] А.И. Дрегля принадлежат доказательство существования решения краевой задачи моделирования полимеров и вывод формулы для поиска решения этой задачи методом последовательных приближений.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Библиографический список содержит 91 наименование.

Заключение

В первой главе работы получены достаточные условия существования минимальной непрерывной ветви малого решения для нелинейного операторного уравнения вида ^(ж, Л) = 0, заданного в банаховых пространствах, с необратимым оператором в главной части (теорема о неявном операторе не выполняется). Малый параметр Л является элементом произвольного линейного нормированного пространства. Приведены итерационные формулы поиска минимальной непрерывной ветви малого решения методом последовательных приближений в секториальной окрестности нуля. В качестве начального приближения берется нулевой элемент. Выделены некоторые классы интегральных уравнений фредгольма первого и второго рода, для которых применимы полученные результаты.

Во второй главе для уравнения вида В(Х)х = Д(ж, А) + Ь(А), где оператор В (А) является линейным, а точка А = 0 является фредгольмовской точкой для оператора В(А), получены достаточные условия существования и единственности минимальной ветви в секториальной окрестности нуля параметра А. Даны итерационные формулы для поиска решения методом последовательных приближений, сходящимся при нулевом начальном приближении. Для оператора В (А) построены левый и правый асимтотические регул яризаторьт, используемые в доказательстве сходимости метода.

В третьей главе предложен метод последовательных приближений, позволяющий в секториальных окрестностях строить решения с различными порядками малости для уравнений F(гí,a;(A),/3(A)) = 0 с функционалами а(А), Р(А) от векторного параметра. В качестве приложения этого класса уравнений исследована краевая задача об изгибе стержня в нерегулярном случае.

1. Абдуллин, В. Р. Сплетаемые уравнения разветвления в теории ветвления решений нелинейных уравнений: дисс. . канд. физ.-мат. наук / ИДСТУ СО РАН. Иркутск, 2002. - 73 с.

2. Арутюнов, A.B. Гладкие анормальные задачи теории экстремума и анализа / A.B. Арутюнов // Успехи математических наук. — 2012. — Т. 67, вып. 3(405). С. 3-62.

3. Арутюнов, A.B. Теорема о неявной функции как реализация принципа Лагранжа. Анормальные точки / A.B. Арутюнов // Математический сборник. 2000. - Т. 191, № 1. - С. 3-26.

4. Белолипецкий, A.A. Об асимптотических свойствах решений смешанной задачи для нелинейного уравнения теплопроводности / A.A. Бело-липецкий, A.M. Тер-Крикоров // ДАН СССР. 1983. - Т. 269, № 6. С. 1296-1299.

5. Брюно, А.Д. Общий подход к асимптотическому нелинейному анализу / А.Д. Брюно // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. — 1996. — № 6. С. 24-27.

6. Брюно, А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях / А.Д. Брюно. — М.: Наука. Физматлит, 1998. 288 с.

7. Вайнберг, М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М.М. Вайнберг, В.А. Трепогин. М.: Наука, 1969. - 528 с.

8. Васильева, А.Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений / А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. — М.: Высшая школа, 1990. — 208 с.

9. Васильева, А.Б. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах / А.Б. Васильева, Г.Н. Медведев, H.A. Тихонов, Т.А. Уразгильдипа. — М.: Физматлит, 2003. — 432 с.

10. Гельман, А.Е О простых решениях операторных уравнений в случае ветвления / А.Е. Гельман // ДАН СССР. 1963. - Т. 152, № 5. -С. 1042-1044.

11. Двайт, Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г.Б. Двайт. М.: Наука, 1966. - 228 с.

12. Дмитрук, A.B. О нелокальной метрической регулярности нелинейных операторов / A.B. Дмитрук // Материалы международной конференции «Тихонов 100». - 2006. — Т. 1. - С. 57-58.

13. Иванов, В.К. Избранные научные труды. Математика / В.К. Иванов. — М.: Физматлит, 2008. — 552 с.

14. Канторович, Л.В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. М: Наука, 1984. - 752 с.

15. Коллатц, Л. Задачи на собственные значения / J1. Коллатц. — М.: Наука, 1968. 503 с.

16. Красносельский, М.А. Приближенное решение операторных уравнений / М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко, Я.Б. Рутицкий, В.Я. Стеценко. М.: Наука, 1969. - 418 с.

17. Красносельский, М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений / М.А. Красносельский. — М.: Гостехиздат, 1956. 392 с.

18. Крейн, С.Г. Функциональный анализ / С.Г. Крейн. — М.: Наука, 1972. -544 с.

19. Лаврентьев, М.М. Теория операторов и некорректные задачи / М.М. Лаврентьев, Л.Я. Савельев. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. — 702 с.

20. Леонтьев, Р.Ю. Униформизация и последовательные приближения решений нелинейных уравнений с векторным параметром / Р.Ю. Леонтьев, H.A. Сидоров // Известия Иркутского государственного университета. Сер. Математика. 2011. - Т. 4, № 3. - С. 116-123.

21. Леонтьев, Р.Ю. О малых решениях нелинейных уравнений в сектори-альной окрестности нуля / Р.Ю. Леонтьев // Материалы конференции «Ляпуновские чтения & презентации информационных технологий». -Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2010. С. 27.

22. Леонтьев, Р.Ю. О малых решениях нелинейных уравнений в сектори-альной окрестности нуля / Р.Ю. Леонтьев // Материалы конференции «Ляпуновские чтения & презентации информационных технологий». — Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2011. С. 32.

23. Леонтьев, Р.Ю. О малых решениях нелинейных уравнений в секториальных окрестностях / Р.Ю. Леонтьев // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. — 2010. — Т. 3, № 1. — С. 36-41.

24. Леонтьев, Р.Ю. О малых решениях нелинейных уравнений в секториальных окрестностях / Р.Ю. Леонтьев // Труды XV Байкальскойнемеждународной школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения». — Т. 3: Оптимальное управление. — 2011. — С. 71-75.

25. Леонтьев, Р.Ю. О малых решениях нелинейных уравнений в сектори-альных окрестностях / Р.Ю. Леонтьев // Тезисы II Международной школы-семинара «Нелинейный анализ и экстремальные задачи». — Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2010. С. 46.

26. Леонтьев, Р.Ю. О решениях максимального порядка малости нелинейных уравнений / Р.Ю. Леонтьев // Вестник Бурятского государственного университета. Математика и информатика. — Улан-Удэ: Изд-во Бурятского госуниверситета, 2009. — Вып. 9. — С. 77-83.

27. Леонтьев, Р.Ю. О решениях максимального порядка малости нелинейных уравнений / Р.Ю. Леонтьев // Материалы конференции «Лянунов-ские чтения & презентации информационных технологий». — Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2008. С. 29.

28. Леонтьев, Р.Ю. О малых решениях нелинейных уравнений в секториальной окрестности нуля / Р.Ю. Леонтьев // Тезисы III Международной школы-семинара «Нелинейный анализ и экстремальные задачи». -Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2012. С. 30.

29. Леонтьев, Р.Ю. Теорема о неявном операторе в секториальных областях / Р.Ю. Леонтьев // Материалы конференции «Ляпуповские чтения & презентации информационных технологий». — Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2007. С. 20.

30. Леонтьев, Р.Ю. Теоремы о неявном операторе в секториальных областях / Р.Ю. Леонтьев // Известия Иркутского государственного университета. Сер. Математика. 2009. - Т. 2, № 1. - С. 320 323.

31. Леонтьев, Р.Ю. Теоремы о неявном операторе в секториальных областях / Р.Ю. Леонтьев // Материалы регион, науч.-практ. конф. «Интеллектуальные и материальные ресурсы Сибири». — Иркутск: Изд-во БГУЭП, 2008. С. 33-38.

32. Леонтьев, Р.Ю. Теоремы о неявном операторе в секториальных областях / Р.Ю. Леонтьев // Материалы конференции «Ляпуповские чтения к, презентации информационных технологий». — Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2009. С. 30.

33. Леонтьев, Р.Ю. Теоремы о неявном операторе в секториальных окрестностях / Р.Ю. Леонтьев // Вестник Иркутского университета: Ежегод. науч.-теорет. конф. аспирантов и студентов: материалы. Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2009. - С. 139-140.

34. Логинов, Б.В. Групповая симметрия уравнения разветвления Ляпунова-Шмидта и итерационные методы в задаче о точке бифуркации / Б.В. Логинов, H.A. Сидоров // Матем. сборник. — 1991. — Т. 182, № 5. С. 681-691.

35. Логинов, Б.В. Теория ветвления решений нелинейных уравнений в условиях групповой симметрии / Б.В. Логинов. — Ташкент: ФАН, 1985. — 184 с.

36. Логинов, Б. В. Ветвление решений нелинейных уравнений и групповая симметрия / Б.В. Логинов // Вестник СамГУ. — 1998. — № 4(10). — С. 15-70.

37. Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстер-ник, В.И. Соболев. — М: Наука, 1965. 520 с.

38. Макаренко, Н.И. О неединственности сопряженных течений / Н.И. Макаренко // Прикладная механика и техническая физика. — 2004. — Т. 45, № 2. С. 68-74.

39. Маркапова, Д.Ю. Итерационный метод построения разветвляющихся решений в случае квазилинейного уравнения разветвления: дисс. . канд. физ.-мат. наук. / Иркутский государственный университет. Иркутск, 1999. 100 с.

40. Назаров, H.H. Нелинейные интегральные уравнения типа Гаммерштей-на / H.H. Назаров // Труды Ср.-Азиат ун-та. Сер. 5: Математика. — Ташкент, 1941. Вып. 33. - С. 1-79.

41. Некрасов, А.И. Точная теория волн устоявшегося вида на поверхности тяжелой жидкости / А.И. Некрасов. — М.:Гостсхиздат, 1951. — 95 с.

42. Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения / под ред. В.А. Треногина, А.Ф. Филиппова. — М.:Физматлит, 2003. — 464 с.

43. Романова, O.A. Псевдообращения линейных операторов и их приложения / O.A. Романова. — Иркутск: Изд-во ИГУ, 1997. — 72 с.

44. Свешников, А.Г. Нелинейный функциональный анализ и его приложения к уравнениям в частных производных / А.Г. Свешников, М.О. Корпусов, A.B. Алынин. — М.:Научный Мир, 2008. — 400 с.

45. Сидоров, H.A. Сплетающие уравнения разветвления в теории нелинейных уравнений / H.A. Сидоров, В.Р. Абдуллин. — Иркутск: Иркутский госуниверситет, 1999. — 36 с.

46. Сидоров, H.A. Итерационные методы в окрестности тонки ветвления решений нелинейных уравнений / H.A. Сидоров, В.Р. Ермилова. — Иркутск: Иркутский госуниверситет, 1993. — 46 с.

47. Сидоров, H.A. О малых решениях нелинейных уравнений с векторным параметром в секториальпых окрестностях / Н.А Сидоров, Р.Ю. Леонтьев, А.И. Дрегля // Математические заметки. — 2012. — Т. 91, вып. 1. — С. 120-135.

48. Сидоров, H.A. О решениях максимального порядка малости нелинейных уравнений с векторным параметром в секториальных окрестностях / H.A. Сидоров, Р.Ю. Леонтьев // Труды института математики и механики УрО РАН. 2010. - Т. 16, № 2. -- С. 226-237.

49. Сидоров, H.A. Теоремы о неявном операторе в секториальных квазио-кестностях / H.A. Сидоров, Р.Ю. Леонтьев // Школа-семинар: Нелинейный анализ и экстремальные задачи: тезисы. — Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2008. С. 63.

50. Сидоров, H.A. Последовательные приближения решений нелинейных уравнений с векторным параметром в нерегулярном случае / H.A. Сидоров, Д.Н. Сидоров, Р.Ю. Леонтьев // Сибирский журнал индустриальной математики. 2012. - Т. XV, № 1(49). - С. 132-137.

51. Сидоров, H.A. О решении интегрального уравнения гаммерштсйна в нерегулярном случае методом последовательных приближений / H.A. Сидоров, Д.Н. Сидоров // Сибирский математический журнал. — 2010. Т. 51, № 2. - С. 404-409.121

52. Сидоров, H.A. Точки бифуркации нелинейных уравнений / H.A. Сидоров, В.А. Треногин // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения / под ред. В.А. Треногииа, А.Ф. Филиппова. — М.: Физматлит, 2003. С. 5-49.

53. Сидоров, H.A. Регуляризация простых решений нелинейных уравнений в окрестности точки ветвления / H.A. Сидоров, В.А. Треногин // Сиб. мат. журнал. 1978. - Т. 19, № 1. - С. 180-185.

54. Сидоров, H.A. Регуляризация линейных уравнений на основе теории возмущений H.A. Сидоров, В.А. Треногин // Дифференциальные уравнения. 1980. - Т. 16, № 11. - С. 2039-2049.

55. Сидоров, H.A. Минимальные ветви решений нелинейных уравнений и асимптотические регуляризаторы / H.A. Сидоров // Нелинейные граничные задачи. — Донецк: Институт прикладной математики и механики, 2004. Вып. 14. - С. 161-164.

56. Сидоров, H.A. N-ступенчатый итерационный метод в теории ветвления решений нелинейных уравнений / H.A. Сидоров // Сибирский математический журнал. 1997. - Т. 38, № 2. - С. 383 -395.

57. Сидоров, H.A. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления / H.A. Сидоров. Иркутск: Изд-во ИГУ, 1982. - 312 с.

58. Сидоров, H.A. О явной параметризации решений нелинейных уравнений в окрестности точки ветвления / H.A. Сидоров // Доклады академии паук. 1994. - Т. 336, № 5. - С. 592-594.

59. Сидоров, H.A. Параметризация простых разветвляющихся решений полного ранга и итерации в нелинейном анализе / H.A. Сидоров // Известия высших учебных заведений. Математика. — 2001. № 9(472). — С. 59-65.

60. Сидоров, H.A. Явная и неявная параметризация при построении разветвляющихся решений итерационными методами / H.A. Сидоров // Матем. сборник. 1995. - Т. 182, № 2. — С. 129-141.122

61. Тихонов, А.Н. Некорректно поставленные задачи / А.Н. Тихонов, В.К. Иванов, ММ. Лаврентьев // Дифференциальные уравнения с частными производными. — М.:Наука, 1970. — С. 224-238.

62. Треногин, В.А. Функциональный анализ / В.А. Треиогин. М.: Физ-матлит, 2002. 488 с.

63. Урысои, П.С. Об одном типе нелинейных интегральных уравнений / П.С. Урысон // Матем. сб. 1923. - Т. 31, № 2. - С. 236-255.

64. Чистяков, В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром / В.Ф. Чистяков. — Новосибирск: Наука, 1996. 278 с.

65. Юдович, В.И. О бифуркации вращательных течений жидкости / В.И. Юдович // ДАН СССР. 1966. - Т. 169, № 2. - С. 306-309.

66. Dmitruk, A.V. On a nonlocal metric regularity of nonlinear operators / A.V. Dmitruk // Control and Cybernetics. 2005. V. 34, №. 3. - P. 723 746.

67. Hammerstein, A. Nichtlineare Integralgleichungen nebst, Amvcndungen. Acta Mathematica, 54, 1930. P. 117-176.

68. Iglisch, R. Existenz- und Eindeutigkeitssatze bei nichtlinearen Integralgleichungen. Math. Ann, 108, 1933. P. 161-189.

69. Keller, H.B. Numerical solutions of bifurcation and nonlinear eigenvalue problems / H.B. Keller // Applications of bifurcation theory. — New York: Acad. Press, 1977. P. 359-384.

70. Keener, J. P. Buckling imperfection sensitivity of columns and spherical caps / J.P. Keener // Quart, appl. Math. 32. 1974. P. 173-188.

71. Langford, W.F. Numerical solution of bifurcation problems for ordinary differential equations / W.F. Langford // Numer. Math. — 1977. V. 28, No 2. - P. 71-190.

72. Lyapunov, A.M. Sur les figures d'équilibré peu différentes des ellipsoides d'une masse liquide homogene donee d'un mouvement de rotation / A.M. Lyapunov. — С.-Петербург: Зап. Акад. наук, 1906. — С. 1-225.

73. Lyapunov-Schrnidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov at al.] Boston; London; Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. 2002. 548 p.

74. Moore, G. The numerical treatment of non-trivial bifurcation points / G. Moore // Numer. Funct. Anal. Optim. 1980. V. 2, No 6. - P. 441- 472.

75. S attinger, D.H. Topics in stability and bifurcation theory. Lecture Notes Math. 1973. Vol. 309. 190 p.

76. Schmidt, E. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, Teil 3, Uber die Auflosungen der nichtlinearen Integralgleichungen und die Verzweigung ihrer Losungen, Math. Ann. 65. 1908. P. 370-399.

77. Sidorov, N.A. On Small Solutions of Nonlinear Equations with Vector Parameter in Sectorial Neighborhoods / N.A. Sidorov, R.Yu. Leont'ev, A.I. Dreglya // Mathematical Notes. 2012. - Vol. 91, Ж 1. - P. 90104.

78. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Inverse and ill-posed problems series / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. Utrecht u.a.]: VSP, 2003. - 216 p.

79. Westseich, P. Numerical bifurcation at simple eigenvalue / P. Westseich, Y.L. Varol // SIAM J. Numer. Anal. 1979. V. 16, № 3. - P. 538-546.