О сходимости разностных схем для квазилинейных параболических и гиперболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

-■П' 1 В 3 АКАДЕШЯ НАУК БЕЛАРУСИ

^ ИНСП1ТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

СТАНИШЕЮКАЯ Ладила Вячеславовна

О СХОДИМОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ . ПАРАБОЛИЧЕСКИХ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ШНСК 1992

Работа выполнена в Институте математики ЛИ Беларуси

Паучшй руководитель: кандидат физико-математических наук,

старый! научный сотрудник МАТУС Петр Павлович

Официальные ошюненти: доктор физико-математических наук,

профессор , чл.-корр. АН Литбп САПАГОВЛС МифодиП Паршнович кандидат физико-математических наук, доцент

МОСКА1ВКОВ Михаил Николаевич

Ведущая организация: Институт прикладной математики

им. М.В.Келдыша РАН

Защита диссертации состоится "29 " января 1993 года в /Учасов на заседании специализированного совета К 006.19.01 в Институте математики АН Боларуси по адресу: 220072, г. Мин^ч, ул. Сурганова, II, Институт математики АН Беларуси.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Беларуси.

Автореферат разослан 1992 года.

Ученый секретарь специализированного совета

кандидат физико-математических наук ДАе™^- А.И.Астровский

'ос'^/.г" г------.

5И БЛ1 ОЩДЯ;шттсгш деСВРТАЩОННОЙ РАБОТЫ

Актуальность темы. Центральным вопросом теории разностных схем является вопрос о сходимости. Пря оценке точности рэзност- ■ ной схемы обычно предполагается, что решение исходного дифференциального уравнения обладает определенной гладкостью, тогда раз-постная схема имеет точность соответствующего порядка. Для случая, когда решение исходной дифференциальной задачи достаточно гладкое, в теории метода конечных разностей проведепо достаточно полное исследование сходимости и получены оценки точности в соответствующих метриках. Однако на практике часто встречаются задачи, решения которых имеют весьма ограниченную гладкость из-за особенностей в отдельных точках у самого решения или у его шедших производных и существуют лишь в обобщенном смысле. Следовательно, возникает необходимость исследования сходи;,"ости разностных схем, аппроксимирующих параболические и гиперболические уравнения с негладким искомым решением. Отметим, что этот вопрос даже в линейном случао изучен недостаточно.

При понижении требований к дифференциальным свойствам искомого решения анализ сходимости разностных схом существенно усложняется и здесь, как правило, исследования проводят в некоторых слабых или негативных нормах. Между тем, для вычислительной практики наиболее вакной является равномерная оценка точности.

В связи с этом актуальной является проблема получения безусловных оценок точности в равномерной метрике при пониженных требованиях к гладкости искомого решения.

Пель работы. Изучение вопросов безусловной сходимости консервативных разностных схем с весами и итерационных процессов их реализации для нелинейных нестационарных уравнений математичес-

кой физики в частных производных с неограниченной нелинейностью, когда искомое решение не обладает достаточной гладкостью.

Научная новизна. Доказана сходимость консервативных разностных схем о весами без соотношений на шага сетки для многомерных линейных гиперболических уравнений с переменными коэффициентами в норме С. . При этом предполагается, что разностная схема аппроксимирует исходную задачу лишь в норме .

Получены безусловные оценки скорости сходимости в равномерной метрике как решения, так а его первой производной к точяозд решению одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности с нелинейностью неограниченного роста. Доказывается существование и единственность решения разностной задачи. Приведены одежи скорости сходимости итерационного процесса Ньютона, реализующего разностную схему.

Для одномерного нелинейного гиперболического уравнения второго порядка исследованы консервативные разностные схемы с весами. Доказана сходимость без соотношений на шаги сетки как разностного решения, так и его первых производных к точному решению в норме С .

В случае неограниченной нелинейности для двух- и трехмерных параболических уравнений при пониженных требованиях к дифференциальным свойствам исходного решения получены безусловные оценш точности разностного решения схем с весами в равномерной метрик«

Для симметричной разностной схемы, аппроксимирующей двумер ное нелинейное параболическое уравнение с гладкими решениями, д казана безусловная сходимость разностного решения в метрике С о логарифмической потерей.

В работе получил дальнейшее развитие метод исследования ра ностных схем для нелинейных уравнений математической сБизики,

предложенный В.Н.Абрашияым, и методика исследования безусловной сходимости метода сеток в С -норме, предложенная П.П.Мзтусом.

Практическая значимость. Полученные результата могут быть использованы при решении широкого класса задач, связанных с нелинейными процессам, при изучения вопросов сходимости разностных схем для нелинейных дифференциальных уравнений, а также при математическом моделировании нелинейных задач с особенностями.

Апробация работы. Основные результаты диссертация докладывались на Республиканской конференции молодых ученых и специалистов "Применение информатики и вычислительной техники при решении народнохозяйственных задач" (г.Минск, 1989г.), Межреспубликанской научно-практической конференции творческой молодежи "Актуальные проблемы информатики: математическое, програшное ц информационное обеспечение" (г.Минск, 1990г.), Республиканской научной конференции "Математическое моделирование и вычислительная математика" (г.Гродно, 1990г.), на семинарах лаборатории численных методов математической физики и лаборатории численного моделирования физико-технических задач ИМ АНБ.

Публикации. Основные результаты диссертация опубликованы в работах [I - 101 .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения,

I

трех глав и содорглт 169 страниц машинописного текста. Список цитируемой литературы включает 213 наименований.

СОДЕРЖАНИН РАБОТЫ

Во введении дается обзор современного состояния проблем, касающихся непосредственно темы диссертационной работы, кратко излагается содержание и структура диссертации, приводятся основные

результаты.

Первая глава, которая носит в основном вспомогательный характер, посвящена вопросам исследования безусловной сходимости консервативных разностных схем с весами в равномерной метрика для линейных одномерных и многомерных параболических и гиперболических уравнений второго порядка с переменными коэффициентами.

В 1-3 на примере исследования консервативных разностных схем с весами, аппроксимирующих одномерные параболические и гиперболические уравнения второго порядка и многомерные параболические уравнения, иллюстрируется двухэтапный энергетический метод исследования сходимости разностных схем, предложенный П.П.Матусом. Хотя каздый из этапов позволяет гарантировать лишь условную сходимость избранного сеточного метода в метрике С , однако при рассмотрении обоих подходов в совокупности удается спять ограничения на соотношения между шагами сетки к а т .С помощью такого подхода можно получать равномерные оценки точности решений разностных схем и их производных яри пониженных требованиях к гладкости искомого решения. Единственное условие, коте-рое накладывается на дифференциальные свойства точного решения, - это стремление к нулю при -»0 погрешности аппроксимации разностной схемы в сеточной норме /». по закону

И Г Л), ■ ¿,/>¿5-, (I)

где Я > О - константа аппроксимации* Ограничения сверху ва параметры Л , £ зависят от конструкции разностной схемы и свойст: гладкости решения дифференциальной задачи. Очевидно, что необходимым условием выполнения неравенства (I) является требование существования непрерывных производных, входящих в дифференциальные

уравнения (производные более высоких порядков могут и не существовать).

В § 4, в котором излагаются основное результаты дашюй главы, рассматриваются консервативные разностные схемы с весами для многомерных линейных гиперболических уравнений второго порядка вида:

0 --¿-М+ м > Ю>г<ъ- <*>

На равномерной прямоугольной сетке - х ^ уравнение (2) аппроксимируем следующей разностной схемой:

Ы -(Л^л г-/*-« . «>

Доказывается следующая теорема.

Теорема I. Пусть гладкость' решения иЫ,-Ь) и входных данных такова, что

при р = А> и &0■=■ + , яри р^Ъ ,

Р 3

р

^т^ХХ^Х, ■ ¡¡-¡^нЧААг

Тогда при р*а,Ъ , + <5Л><? , бх.+ бд.1»^ , решение разностной схемы (3) сходится безусловно к точному решению дигЬфере/щиальноп задачи и при достаточно малых к*- & о 1 ~С<Хо длд погрешности метода верны оценки

/ о А-1/А д-Ш \ «. л

т&х «(я. + -с-' ^ при

тая цгисйс(к ) при р=з

Г

Вторая глава посвящена исследованию сходимости консервативных разностных схем с весами и итерационных процессов их реализации для одномерных квазилинейных параболических и гиперболических уравнений второго порядка. При изучении данного вопроса часто приходится накладывать ограничения ла соотношения ыезд шгаг.ш сетки, вызванные но существом дела, а избранпым'способом лссле-дованил. Это хе замечание относится нередко и к выдвигаемым требованиям гладкости точного решения. Отметим также, что при исследовании сходимости разностных схсм для нелинейных уравнении иногда предполагается, что коэффициенты уравнений, зависящие от решения и- , удовлетворяют определенным свойствам (положительная определенность, ограниченность соответствующих производных по М- ) душ всех значений б К , Эю, естественно, сильно суяает класс допустимых входных данных дифференциальной задачи. Вели же потребовать выполнение данных свойств лишь в области значений точного решения (либо в ее малой окрестности), то анализ точности разностных схем существенно усложняется, так как задача для погрешности метода является уже нелинейной. Кроме того, в этом слу,тэе необходимо показывать принадлежность сеточного решения у области (либо ее малой окрестности) значений точного решения, что в свою очередь требует обязательного исследования скорости сходимости схемы в ворме С

В данной главе предполагается, что решение исходной дифференциальной 8адачи не обладает достаточной гладкостью и коэффициенты рассматриваемых уравнений содержат нелинейности неограниченного роста.

С поморю подхода, предложенного П.П.Матусом для исследования безусловной сходимости метода сеток в равномерной метрике в сочетании с -методом В.Н.Абрапшна удалось доказать равномер-

пую сходимость разностных схем с весами без соотношений мэящу шагами сетки. Получены новые безусловные оценки точности решений разностных схем и лх первых производных. Доказательство существования решения разностной задачи имеет конструктивный характер и сводится к рассмотрению сходимости итерационного 'процесса Ньютона, реализующего разностную схему. Единственность доказывается методом от противного.

Б § I рассматривается первая краевая задача для квазилинейного одномерного параболического уравнения лада

. (4)

Относительно решения и входных данных задачи (4)-(5) предполагается выполнение следующих условий:

А) существует единственное решение и(^-Ь)е С

, причем ^и/дх^ липшиц-непрорывиа по переменной ч Б) функция к(и-) удовлетворяет условию К(и) *и> , "и->0 , а&Т) ( Т>и - область значений точного решения); к[и.) имеет все ограниченные производило в Вц; ( X) ц ~ окрестность области значений точного решения).

На равномерной сетке и)^ дифференциальную задачу (4)-(5) аппроксимируем консервативной разностной схемой с весами

(5)

ц! -- яи - у/1 <*>

Верна следующая теорема.

Теорема 2. Если выполнены условия А), В), & > 0>5 , т0 при

л />

достаточно малых и- г 11о , т < "С? существует единственное решение разностной схемы (6)-(7), которое при /?/г — <? сходится безусловно в норме С к решению дифференциальной задачи (4)-(5), причем порядок точности схемы совпадает с порядком аппроксимации:

тлк И г-ИР тая ( г у (й. -с^)

где V > £> - 2; о.четанта, не зависящая от к- , и прибли-

женного решенля.

К соаалешш, при доказательстве данной теоремы мы не могли воспользоваться папосредственно ^ -методом, так как из-за необходимости оценки в равномерной метрика погрешности первой про-

Р

изводной, мы пришли ба к ограничению на шага сетки'типа ~с~ II , 22 1 , т.е. к условной сходимости. Чтобы избежать ограничений на шаги сетки предварительно была доказана безусловная сходимость сеточной Функции ^^ к первой производной решения

Теорема 3. Бели выполнены условия теоремы 2, то при достаточно малых существует единственное решение разностной схемы (6)-(7), причем при /?»тО разностная производная у- ж. сходится безусловно в равномерной метрике к ди/дх. и для ее погрешности имеет место оценка

тал. игяй- Ч^м^-гО. '

■Ъеьо-с £■ +

Доказательство теоремы базируется на применении V -метода, двухэтапного метода энергетических неравенств'с последующим применением соответствующих теорем вложения.

Полученные результаты обобщаются и на уравнения более общего вида. Отметим, что требования, накладываемые на свойства ко-

зфрцивпга к (и) , можно ослабить (см., например, условия 3°, 5°).

В § 2 рассматривается первая краевая задача для одномерного гиперболического уравнения второго порядка:

со»

щх,е)= ¡иФ), 1ф,Ь)=н±11), и(е,1)-у/лОг). О)

Предполагается выполнение следующих условий: 1°. Гладкость решения н'входных данных задачи (8)-(9) такова, что для погрешности аппроксимации разностной схемы и второго начального условия уУо имеют место оценки (лишь в норме. ):

II У'II, п%1( , , я>1?-а>м1

п д^и./дсе*' лишшщ-непрарывпа по переменной Ь .

2°. К (и-) удовлетворяет условию гиперболичности на решении: К(и) * , > , и&Ъи. .

3°. К С и.) имеет все производные в х> £ ; причем для любого л, I К1ПгУ(п-1)! I < сстЬ.

На сетке ^ задачу (8)-(9) аппроксимируем консервативной разностной схемой с весами

с&А)

' 'Лц^кУмЦя)!*, (Ю)

Имеют место теоремы, аналогичные как для одномерных квазилинейных параболических уравнений.

Теорема 4. Бели выполнены условия I0- 3°, >у + , &„>о , + ^ , го при достаточно малых к-^^о ,

то существует единственное решение разностной схемы (10)-

(II), которое при А/Г-* О сходится безусловно в равномерной метрике к редани» дифференциальной задачи (8)-(Э), причем порядок точности схемы совпадает с порядком аппроксимации:

/nc.ee //г и. -é cLv ( т тах. ii2su , т&я //гг II. l v ( +

£Dt -bevOx.

гдо 'Ci, V > O - константы, не зависящие от L , Т и приближенного решения.

Теорема 5. Ксли выполнены условия теоремы 4, то при достаточно малых h ¿ bo , X Те существует единственное решение разностной схемы (Ю)-(И), причем при разностные производные ' сводятся безусловно в С -норме к &и./<?х , ди/д-Ь соответственно и для погрешности метода верны оценки:

тая II 2 н-, IIп , /77 Л.ce HZrUr vfi'1/¿).

Результаты исследований обобщаются на другие классы схем. Третья глава .посвящена изучению сходимости метода соток в равномерной мотрике д'.л нелинейных двух- ц трехмерных шраболичас-ких уравнений.

В 5 I рассматривается первая краевая задача для многомерного ( р~Л,3 ) нелинейного уравнения теплопроводности:

$1 - é-кш) й ' да)

o¿ 9 1

U(x,ó) = U0(x), ulrs ■ (13)

Вино мы подчеркивали, что при исследован:«! сходимости разностных схем для квазилинейнгт уравнений теплопроводности возникает необходимость з сценке скорости сходимости погрешности первой .производной: llixlfj, . В силу отсутствия эффективных теорем вложения соответствующие оценки точности можно было получить лишь при выполнении определенных соотношений на саги сетки (условная сходимость) даже на гладких решениях. В случае если ко нелинейность содержится в опорпторе В/д-Ь ъ доказыпать факт сходимости tj ^ j: ди/Рт^ нет необходимости . Последнее обстоятельство позволило получить безусловные оценки точности при более естественных требованиях к гладкости точного решения. Избавиться от нелинейности в пространственней операторе уравнения

(12) позволяет следующая замена переменных: и. и.

, ?(V) = . (14)

о р

С помощью этой замены уравнение (12) преобразуется к виду:

_ у* ^JL ~7Г '¿7 ' а5)

Для аппроксимации полученного уравнения (15) используются консервативные разностные схемы с весами

с£) Р

= (Лу) , а«)

Предполагается выполнение следующих условий: 4°. Гладкость решения и входных данных задачи такова, что для погрешности аппроксимации в норме верна оценка

HY'll й я( vf) , Rio-conti , &

где &-L/A при p-JL и £ =i/£ +&/■*> , о г <£ г i при и выполнено условие параболичности на решении Y?^) ^ jv > с при I/" £ D t/

5°. ЧЧ?) имеет вторую производную в Dtf и в этой области I I < con^i .

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 6. Пусть 6 , <&«?> О и выполнены условия

4°- 5°. Тогда решение разностной схемы (16) сходится безусловно к решению задачи (15), при достаточно малых t\<? , существует единственное решение разностной схемы и имеют место оценки

(rlizi II* + II 2 II f + ¡(Г-aä) IIA z HlY* ivf^r^

"Ä* IIZIL i V^^-^-Kvr^-^)

где , р = £Ъ и V, Vi>0 - константы, не за-

висящие от fl , "С • и приближенного решения,

§ 2 посвящен исследованию сходимости симметричных разностных схем для двумерного нелинейного уравнения теплопроводности в случае достаточно гладкого решения, т.е. когда для погрешности . аппроксимации имеет место оценка: //У^ II ^ oCßA-htA) . Получены сценки точности в С -метрике с логарифмической потерей без соотношений на шаги сетки вида:

тсих. цги„ llnr'l^

i е u)t L

Б § 3 приводятся результаты сравнительного анализа широко используемых в вычислительной практике разностных схем на прима-ре решения модельной задачи о распространении теплового йропта. Проведенный вычислительный эксперимент показал, что разностные схемы, основанные на использовании,в диМеренциалышх уравнениях замены переменных вида (14), позволяют получать но только безусловные оценки точности при бслое естественных требованиях к гладкости точного решения, но и являются также эффективными при численном решении прикладных задач с особенностями.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Доказана безусловная сходимость консервативных разностных схем с весами для' линейных двух- и трехмерных гиперболических уравнений с переменными коэффициентами л равномерной метрике. Основные исследования проведепы в предположении наличия аппроксимации схемы лишь в норме ¿д,

2. Получены безусловные оценки скорости сходимости в С- -норме как решения, так и первой производной к точному решению одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности с неограниченной нелинейностью из класса С . Доказано существование и единственность решения разностной задачи. Приведены оценки.скорости сходимости итерационного процесса Ньютона, реализующего разностную схему.

3. Исследованы консервативные разностные схемы с весами для нелинейного одномерного гиперболического уравнения второго порядка в классе функций и

. Доказана безусловная сходимость как разностного решения, так и его первых производных к искомому решению в метрике С

4; Доказана безусловная сходимость в равномерной метрике разностных схем с весами для многомерных () нелинейных параболических уравнений с неограниченной нелинейностью в случае негладкого исходного решения.

5. Получены безусловные оценки точности в С -норме решения симметричной разностной схемы для двумерного параболического уравнения с неограниченной нелинейностью к гладкому точному решению с логарифмической потерей.

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах:

1. Станишевская Л.В. Об исследовании сходимости некоторых разностных схем для линейных параболических и гиперболических уравнений с особенностями // Тезисы докл.респ.конф. молодых ученых и специалистов. - Мя., 1989. - С.114.

2. Станишевская Л.В. К вопросу исследования безусловной сходимости разностных схем для одномерных нелинейных параболических уравнений // Матер.межреспубл. научно-практической конф. творческой молодежи: - Кн., 1990. - С.98._

3. Матус П.П., Станише.вская Л.В. О безусловной сходимости разностных схем для параболических и гиперболических уравнений с кусочно-непрерывными решениями. -Мн., 1989, - 32с. (Про-принт / АН БССР. Ин-т математики; й 24(374)). ^

4. Матус П.П., Станишевская Л.В. О безусловной сходимости некоторых разностных схем для многомерных параболических и гиперболических уравнений с переменными коэффициентами в равномерной метрике // Дифференц.уравнения и их применение. - Вильнюс, 1989. - вып. 44. - С.40-53.

5. Матус П.П., Станишевская Л.В. О безусловной сходимости разностных схем для одномерных нелинейных краевых задач с неограниченной нелинейностью // Тезисы докл.республ.науч.конф. -