О скорости сходимости спектральной функции распределения случайной матрицы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ООЗОБЗ138

ТИМУШЕВ Дмитрий Анатольевич

О СКОРОСТИ сходимости СПЕКТРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ МАТРИЦЫ

Специальность 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Сыктывкар 2007

003053138

Работа выполнена в Сыктывкарском государственном университете на кафедре геометрии, алгебры и математической статистики.

Научные руководители:

д.ф.-м. н., профессор А. Н. Тихомиров,

д.ф.-м. н., профессор В. В. Ульянов.

Официальные оппоненты: д.ф.-м. н., профессор В. А. Егоров, к.ф.-м. н., доцент М. И. Гордин.

Ведущая организация:

Математический институт имени В. А. Стеклова РАН.

Защита состоится 26 февраля 2007 года в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова РАН (191023, Санкт-Петербург, Фонтанка, 27).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН (Санкт-Петербург, Фонтанка, 27).

Автореферат разослан "24" ЗиЛърЭ) 200^г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук УУ 1 А. Ю. Зайцев

Общая характеристика работы.

Актуальность проблемы. Необходимость изучения свойств случайных матриц впервые возникла в конце 1920-х годов в работах Вишерта, в связи с задачами многомерной статистики. Толчком к последующему бурному развитию данной тематики послужили работы Вигнера [21, 22, 23] 1950-х годов в области ядерной физики. Из квантовой механики известно, что уровни энергии квантовой системы, находящейся в стационарном состоянии, описываются с помощью собственных чисел некоторого эрмитового оператора, называемого гамильтонианом. Спектр такого оператора в общем случае состоит из непрерывной части и некоторого, возможно большого, числа дискретных уровней, а сам оператор действует в некотором бесконечномерном гильбертовом пространстве. Как правило, практический интерес представляет дискретная часть спектра, поэтому, чтобы избежать сложностей, вызванных бесконечномерностью исходного гильбертова пространства, его аппроксимируют конечным гильбертовым пространством, а гамильтониан представляется в виде некоторой эрмитовой матрицы. Ввиду сложности системы, найти точное представление этой матрицы, в большинстве случаев, не представляется возможным. Вигнер был первым, кто заметил, что уровни энергии ядра статистически ведут себя подобно собственным числам некоторой случайной матрицы большого порядка (см. [21]); основываясь на этом наблюдении, он предложил использовать для аппроксимации усеченного гамильтониана симметричную случайную матрицу, элементы которой независимы и одинаково распределены. В последствии, класс таких случайных матриц назвали вигнеровским ансамблем.

Одним из важных объектов изучения при исследовании спектральных свойств вигнеровских матриц является эмпирическая спектральная функция распределения матрицы. В работе [22] 1955 года Вигнер рассмотрел вещественную симметричную матрицу "\У порядка п, элементы которой имеют вид иц} = сг£у, 1 п, где — радемахеровские

случайные величины, то есть величины, принимающие с вероятностью 1/2 либо значение 1, либо значение —1. Он показал, что ожидаемая эмпирическая спектральная функция распределения нормированной матрицы сходится, в супремальной метрике, к некоторой функции распределения С (а;), с плотностью

д{х) = С{х) =

Факт такой сходимости называют обычно полукруговым законом, а функцию распределения С(х) и плотность д(х) — функцией распределения

и плотностью полукругового закона соответственно. В работе [23] 1958 года Вигнер распространил свой результат на случай вещественной симметричной матрицы элементы гиу, 1 ^ I ^ з ^ п, которой суть независимые одинаково распределенные случайные величины со средним Е и)1] = 0 и дисперсией Е г%2 = а2, причем все четные моменты элементов ии^ ограничены, а нечетные моменты равны нулю. Для доказательства сходимости Вигнер использовал метод моментов, который сводит задачу к вычислению математического ожидания величин Тг\УА.

Позднее, результат Вигнера был обобщен Арнольдом в работе [6] 1967 года. Так же, с помощью метода моментов, Арнольд показал, что при условии ограниченности четвертого момента элементов следует сходимость эмпирической спектральной функции распределения Рп(х) к функции распределения С(х) по вероятности, а при условии ограниченности шестого момента — сходимость почти наверное.

В конце 60-х Марченко и Пастур (см. [3]) разработали более мощный метод исследования распределения спектра случайной матрицы, основанный на анализе элементов резольвентной матрицы — г:1„)-1. Это позволило им распространить полукруговой закон Вигнера на случай эрмитовых матриц, элементы которых имеют равную дисперсию, но не обязательно одинаковое распределение (см. [4, 5]). Они показали, что для сходимости по вероятности эмпирической спектральной функции распределения Рп(х) такой матрицы к функции распределения полукругового закона С(х) достаточно выполнения условия Линдеберга для всех строк матрицы. Несколько позднее, Гирко (см. [2]) показал также и сходимость почти наверное, при условии, что для любого т > 0 выполнено

Основная идея метода, который разработали Марченко и Пастур, состоит в переходе от функций распределения к их преобразованиям Стилтьеса, что позволяет работать уже не с исходной матрицей W, а со следом ее резольвенты.

Особую роль в ансамбле Вигнера играют гауссовский унитарный (GUE) и гауссовский ортогональный (GOE) ансамбли случайных матриц. Первый является наиболее простым, с математической точки зрения. Второй же более важен для физических приложений. По определению, гауссов-ским унитарным ансамблем называется ансамбль эрмитовых комплексных случайных матриц, мнимые и вещественные части элементов которых являются независимыми гауссовскими величинами. Распределение вероятностей на таком ансамбле инвариантно относительно унитарных

преобразований; это дает возможность найти точное аналитическое представление для плотности индуцированного совместного распределения собственных чисел матрицы из гауссовского унитарного ансамбля в виде определителя некоторого ядра, выраженного в терминах функций Эр-мита. Более сложным в изучении является гауссовский ортогональный ансамбль - ансамбль вещественных симметричных матриц, элементы которых являются независимыми гауссовскими величинами, но и в этом случае плотность индуцированного совместного распределения собственных чисел матрицы возможно выразить в терминах функций Эрмита.

Очевидно, что для матриц из гауссовских унитарного и ортогонального ансамблей выполнен полукруговой закон Вигнера, причем соответствующие эмпирические спектральные функции распределения сходятся к распределению полукругового закона почти наверное. Поэтому, как и для всех предельных теорем, естественно возникает вопрос о скорости такой сходимости. Данной проблеме посвящены работы таких авторов, как Бай (см. [7]-[10]), Гётце и Тихомиров (см. [14]-[18]>, Гирко (см. [1],[12]-[13]).

Рассмотрим величины

Дп := sup |ЕFn(x) - G(x)|, Д; := sup |F„(x) - G(x)\.

X X

В общем случае, когда матрица W вигнеровская, Бай показал (см. [9]), что при выполнении условия 8ир1<;^<00Е|гиу|4 < оо, скорость сходимости ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения нормированной матрицы имеет порядок Д„ = 0(п-1/3). При еще более сильном ограничении sup^^^Elu^!8 < оо, он доказал (см. [10]), что Д„ = 0(n~^2). Эту же оценку, только уже при условии равномерной ограниченности четвертых моментов, независимо друг от друга и различными способами, показали Гётце и Тихомиров в работе [16], и Гирко (см. [12, 13]).

Важную роль в исследовании скорости сходимости ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения занимают гауссовские унитарный и ортогональный ансамбли. Сходимость ожидаемой эмпирической спектральной функции матриц из GUE изучалась в работе [18], где была получена оптимальная оценка Д„ = 0(п~1).

Несколько более сложной является задача оценивания скорости сходимости эмпирической спектральной функции распределения по вероятности. Бай в 2002 году доказал (см. [10]), что при моментном ограничении supKK:Koo Е |ги/_,-|8 < оо имеет место оценка ЕД* = 0(п~2/5). Для виг-неровских матриц, элементы которых имеют равномерно ограниченные восьмые моменты, Гётце и Тихомиров в 2003 году (см. [16]) показали

оценку ЕЛ* = Oin-1'2).

Как уже было упомянуто выше, для сходимости ожидаемой спектральной функции распределения матрицы из гауссовского унитарного ансамбля Гётце и Тихомировым была получена оптимальная оценка порядка 0{\/п). В то же время, для более общего случая вигнеровских матриц известен лишь результат 0{п~1^2). В связи с этим, представляется интересным исследовать скорость сходимость ожидаемой спектральной функции распределения матриц из ансамблей, занимающих в некотором смысле промежуточное по отношению к этим ансамблям место. Одним из таких ансамблей является деформированный гауссовский унитарный ансамбль.

Деформированные ансамбли изучались в работах Пастура и Хорун-жия начала 90-х (см., например, [20]), также, несколько позднее, в работах Брезана и Хиками (см. [11]). Пастур и Хорунжий рассмотрели деформированный вигнеровский ансамбль вида Но + -^W, где Но обозначает некоторую фиксированную (неслучайную) эрмитовую матрицу, a W — матрицу Вигнера. Они показали, что если для элементов матрицы Вигнера выполнено обобщенное условие Линдеберга, и эмпирическая спектральная функция матрицы Но имеет предел, то эмпирическая спектральная функция распределения деформированного вигнеровского ансамбля сходится по вероятности к некоторой неслучайной неубывающей функции. Брезан и Хиками рассмотрели более частный случай, когда случайная матрица W в деформированном ансамбле является матрицей из GUE. Ими была найдена совместная плотность распределения двух собственных чисел матрицы из такого ансамбля.

Деформированный гауссовский унитарный ансамбль (DGUE) впервые был рассмотрен в работе Йоханссона [19] 2001 года. В отличие от ансамблей, рассмотренных в предыдущих работах, этот ансамбль является линейной комбинацией двух случайных матриц - из вигнеровского и из гауссовского унитарного ансамблей. Таким образом, его можно рассматривать, как ансамбль вигнеровских матриц, содержащий в себе гауссов-скую компоненту. В отличие от гауссовского унитарного ансамбля, этот ансамбль не обладает инвариантностью относительно унитарных преобразований, но, тем не менее, для него удается найти совместную плотность распределения собственных чисел.

Цель диссертации. Целью данной работы является решение следующих задач.

1) Исследование скорости сходимости по вероятности эмпирической спектральной функции распределения матрицы из гауссовского унитарного ансамбля.

2) Исследование скорости сходимости ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения матрицы из гауссовского ортогонального ансамбля.

3) Исследование скорости сходимости ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения матрицы из деформированного гауссовского унитарного ансамбля.

Методы исследований. В работе применяются различные методы теории случайных матриц, в их числе метод преобразования Стилтьеса и метод ортогональных полиномов.

Научная новизна. Основные результаты, полученные в работе, являются новыми. Выделим из них следующие.

1) Найдена оптимальная оценка скорости сходимости ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения матрицы из гауссовского ортогонального ансамбля к функции распределения полукругового закона.

2) Доказана оценка порядка О ((1п п)/п2/3) для скорости сходимости по вероятности в метрике Колмогорова эмпирической спектральной функции распределения матрицы из гауссовского унитарного ансамбля.

3) Получена оценка порядка для скорости сходимости по вероятности в метрике пространств Ь\ и ¿2 эмпирической спектральной функции распределения матрицы из гауссовского унитарного ансамбля.

4) Доказана оценка порядка 0(п~2/3+") для скорости сходимости ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения матрицы из деформированного гауссовского унитарного ансамбля.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и разработанные методы могут быть использованы при изучении асимптотики различных статистик, определенных на спектре случайных матриц, имеющих многочисленные применения в различных областях знаний.

Апробация работы. Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались на семинаре по теории вероятностей и математической статистики Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН, на большом семинаре кафедры теории вероятностей Московского государственного университета, на семинаре Отдела математики Коми НЦ УрО РАН, на семинаре кафедры геометрии, алгебры и математической статистики Сыктывкарского государственного университета.

Публикации. По материалам исследований, представленных в диссертации, опубликовано четыре работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложений и списка литературы, насчитывающего 46 наименований. Работа изложена на 96 страницах текста, подготовленного в издательской системе Ш^Х2£ и распечатанного в размере машинописного шрифта с двумя машинописными интервалами.

Содержание работы.

Во введении обсуждается история вопроса, приводятся основные определения и обозначения, кратко излагаются полученные результаты.

Глава 1 работы посвящена исследованию скорости сходимости по вероятности эмпирической спектральной функции распределения матрицы из гауссовского унитарного ансамбля.

Рассмотрим эрмитову случайную матрицу = из гауссов-

ского унитарного ансамбля. Для удобства будем считать, что Е ищ = О и Е \wijl2 = Обозначим Ах,..., А„ собственные числа матрицы ^ЛУ, а

Рп{х) = : А; ^ х} эмпирическую спектральную функцию распре-

деления нормированной матрицы Пусть С?(х) — функция распре-

деления полукругового закона с плотностью

2 _

д{х) = С{х) = -VI - я21{|*|<1}-

Нас будет интересовать скорость сходимости эмпирической спектральной функции распределения Рп(х) к функции распределения в метрике Колмогорова, а также в метриках пространств Ь\ и ¿2, то есть величины

X

\ 1 /р

р = 1,2.

Ьр(Рп, С) := ( \Гп(х) - С(х)\р ек)

Основным результатом этой главы является следующая теорема. Теорема 1.1. Существует такая положительная константа С, что

Е р = 1,2,

п

п

п ~ „2/3'

Таким образом, в случае матрицы из гауссовского унитарного ансамбля удается уточнить оценку скорости сходимости по вероятности эмпирической спектральной функции распределения, полученную Гётце и Тихомировым для матрицы из ансамбля Вигнера.

Доказательство теоремы основано на асимптотическом анализе представления совместной плотности собственных чисел матрицы из гауссов-ского унитарного ансамбля посредством функций Эрмита.

Во 2-ой главе мы рассматриваем задачу оценивания скорости сходимости ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения матрицы из гауссовского ортогонального ансамбля.

Рассмотрим вещественную матрицу W = (i%)"J=i из гауссовского ортогонального ансамбля. По определению GOE, элементы \/2wij,wu,wjj при 1 ^ I < j ^ п являются независимыми гауссовскими величинами со средним 0 и дисперсией 1. Пусть Fn(x) — эмпирическая спектральная функция распределения матрицы ^W. Нас будет интересовать скорость сходимости ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения EF„(x) к функции распределения полукругового закона G(x) в метрике Колмогорова, то есть величина

Дп := sup|EF„(x)-G(x)|.

X

В данной главе доказывается следующий результат. Теорема 2.1. Справедлива оценка

Доказательство этой теоремы опирается на аналогичный результат, полученный Гётце и Тихомировым для гауссовского унитарного ансамбля и на асимптотический анализ представлений плотностей ожидаемых эмпирических спектральных функций распределения матриц из GUE и GOE через функции Эрмита.

В главе 3 проводится исследование скорости сходимости ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения матрицы из деформированного гауссовского унитарного ансамбля.

Пусть M = (My)"j=1 — матрица из деформированного гауссовского унитарного ансамбля, то есть

M = W + аН, а > О,

где W = обозначает матрицу Вигнера, a H = (Hij)"j=1 — неза-

висимую матрицу из гауссовского унитарного ансамбля.

Везде далее мы для удобства будем полагать, что Е |Wy|2 = 1 < / < j < п, и Е |Я0|2 = 1, 1 ^ I < j < п. Мы также будем полагать, что для любого k > 1 выполнено условие sup^^n Е \Wij\k < оо.

Обозначим эмпирическую спектральную функцию распределения нормированной матрицы ^М, а р°(ж) - плотность ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения С(х) будет обозначать функцию распределения полукругового закона с плотностью

Пусть VI ^ • • • ^ Уп ~ собственные числа матрицы Через р°(х\у)

мы обозначим плотность условно-ожидаемой функции распределения Е(^(ж)|у) при фиксированной матрице

В этой главе доказываются следующие основные результаты.

Теорема 3.1. Пусть и > О, с > 0. Существует такое событие По, с вероятностью Р (По) ^ 1 — и такая положительная константа С(а, V, с), что для любого х 6 [—\/1 + 4а2 + стг~^+1/, л/1 + 4а2 — сп-^"] выполнено

ШХ) ~ ^ < п(1+4^'-х2)2 + Е ■

Теорема 3.2. Для любого и > 0 найдется такая константа С(а, и) > О, что

8ир|Е^а(х) - (?{х)| < С{а,и)п-

X

Основой для доказательства теоремы 3.1 служит интегральное представление

рЦи; у) = ы) ехр |п(/„(ш) - /„(г)

дп(г,го) = Д-(го + г — и — — У^-Щ-.-т ),

а \ п^^-уЖг-уЛ)'

1 1 "

/п(2) = 2а2^ ~ 2и2) + „ ^105 ^ ~

¿=1

плотности у) условно-ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения, асимптотический анализ которого проводится методом наискорейшего спуска; при этом используются результаты работы [16] Гётце и Тихомирова, имеющие место для вигнеровского ансамбля.

Непосредственным следствием теоремы 3.1 является неравномерная оценка скорости сходимости ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения матрицы из ОС11Е.

>

Утверждение 3.4. Пусть и > 0, с > 0. Тогда найдется такая положительная константа С(а, V, с), что при всех х G [—у/1 + 4о2 + cn~*+v, л/1 + 4а2 — cn~J+"] выполнено неравенство

¿i,,-

Доказательство теоремы 3.2 проводится аналогично доказательству теоремы 1.2 работы Гётце и Тихомирова [16].

В разделе Приложения для полноты изложения и удобства читателей вынесены доказательства ряда вспомогательных утверждений. В частности, в разделе А.4 приводится вывод интегрального представления плотности собственных чисел матрицы из деформированного гауссовско-го унитарного ансамбля.

Автор выражает глубокую признательность своим научным руководителям проф. А. Н. Тихомирову и проф. В. В. Ульянову за постановку задачи и постоянное внимание.

Список литературы

[1] Гирко В. Л. Асимптотика распределения спектра случайных матриц // УМН. - 1989. - Т. 44, вып. 4. - С. 7-34.

[2] Гирко В. Л. Случайные матрицы. — Киев: Вища школа, 1975. — С. 448.

[3] Марченко В. А., Пастур Л. А. Распределение собственных значений в некоторых ансамблях случайных матриц // Матем. сб.. — 1967.— Т. 72, вып. 4. - С. 507-536.

[4] Пастур Л. А. Спектр случайных матриц // ТМФ— 1972.— Т. 10, вып. 1. - С. 102-112.

[5] Пастур Л. А. Спектры случайных самосопряженных операторов // УМН. - 1973. - Т. 28, вып. 1. - С. 4-63.

[6] Arnold L. On the asymptotic distribution of the eigenvalues of random matrices // J. Math. Anal. Appl.- 1967.-Vol. 20.-Pp. 262-268.

[7] Bai Z. D. Convergence rate of expected spectral distributions of large random matrices, i. wigner matrices // Ann. Probab.— 1993.— Vol. 21, no. 2. - Pp. 625-648.

[8] Bai Z. D. Methodologies in spectral analysis of large-dimensional random matrices, a review // Statist. Sínica. — 1999.— Vol. 9, no. 3.— Pp. 611677.-

[9] Bai Z. D. Remarks on the convergence rate of the spectral distributions of wigner matrices // J. Theoret. Probab. - 1999. - Vol. 12. - Pp. 301-311.

[10] Bai Z. D., Miao B., Tsay J. Convergence rate of the spectral distributions of large wigner matrices // Int. Math. J. — 2002. — Vol. 1. — Pp. 65-90.

[11] Brezin E., Hikami S. Correlations of nearby levels induced by a random potential // Nuclear Phys. B. — 1996. — Vol. 479, no. 3. - Pp. 697-706.

[12] Girko V. L. Convergence rate of the expected spectral functions of symmetric random matrices equals to o(n~i) // Random Oper. Stochastic Equations. — 1998. - Vol. 6. - Pp. 359-406.

[13] Girko V. L. Extended proof of the statement: Convergence rate of the expected spectral functions of symmetric random matrices £„ is equal to o(n~2) and the method of critical steepest descent // Random Oper. Stochastic Equations. — 2002. — Vol. 10. — Pp. 253-300.

[14] Götze F., Kushmanova E. F., Tikhomirov A. N. Rate of convergence to the semi-circular law almost surely //In preparation.

[15] Götze F., Tikhomirov A. N. Rate of convergence in probability to the marchenko-pastur law // Bernuolii. — 2004. — Vol. 10, no. 1. — Pp. 1-46.

[16] Götze F., Tikhomirov A. Rate of convergence to the semi-circular law // Probab. Theory Related Fields. - 2003. - Vol. 127, no. 2. - Pp. 228-276.

[17] Götze F., Tikhomirov A. N. Rate of convergence to the semi-circular law for the Gaussian unitary ensemble // Teor. Veroyatnost. i Primenen.— 2002. - Vol. 47, no. 2. - Pp. 381-387.

[18] Götze F., Tikhomirov A. The rate of convergence for spectra of GUE and LUE matrix ensembles // Cent. Eur. J. Math. — 2005. — Vol. 3, no. 4. — Pp. 666-704 (electronic).

[19] Johansson K. Universality of the local spacing distribution in certain ensembles of hermitian wigner matrices // Comm. Math. Phys. — 2001. — Vol. 215, no. 3. - Pp. 683-705.

[20] Khorunzhy A. M., Pastur L. A. On the eigenvalue distribution of the deformed Wigner ensemble of random matrices // Spectral operator theory and related topics. — Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1994. — Vol. 19 of Adv. Soviet Math. — Pp. 97-127.

[21] Wigner E. P. Oil the statistical distribution of the widths and spacings of nuclear resonance levels // Proc. Camb. Phil. Soc. — 1951. — Vol. 47. — Pp. 790-798.

[22] Wigner E. P. Characteristic vectors of bordered matrices with infinite dimensions // Ann. of Math. — 1955. — Vol. 62. — Pp. 548-564.

[23] Wigner E. P. On the distribution of the roots of certain symmetric matrices // Ann. of Math. (2). - 1958. - Vol. 67.- Pp. 325-327.

Работы автора по теме диссертации

[1] Тимушев Д. А. О скорости сходимости к полукруговому закону Виг-нера ожидаемой спектральной функции распределения для матриц из деформированного гауссовского ансамбля // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2004. — Т. 11, вып. 2. — С. 256-257.

[2] Тимушев Д. А. О скорости сходимости по вероятности спектральной функции распределения случайной матрицы // Теория вероятностей и ее применения. — 2006,— Т. 51, вып. 3. С. 618-622.

[3] Тимушев Д. А., Тихомиров А. Н., Холопов А. А. О точности приближения спектра GOE полукруговым законом // Теория вероятностей и ее применения,— 2007.— Т. 52, вып. 1. С. 131-139. (Первоначальный вариант работы опубликован в виде препринта ПОМИ РАН, http://www.pdmi.ras.ru/preprint/2006/index.html, 2006).

[4] Götze F., Tikhomirov A. N., Timushev D. A. Rate of Convergence to the Semi-Circle Law for the Deformed Gaussian Unitary Ensemble // Central European Journal of Mathematics, 2006 (accepted). (Первоначальный вариант работы опубликован в виде препринта университета г. Биле-фельд, http://www.math.uni-bielefeld.de/fgweb/Preprints/index04.html, 2004).

_Тираж 100 экз._

Издательство Коми научного центра УрО РАН 167982, г. Сыктывкар, ул. Первомайская, 48.

Введение

1 Скорость сходимости по вероятности в случае матриц из GUE

1.1 Формулировка результатов.

1.2 Оценка Т^-нормы.

1.3 Оценка Li-нормы.

1.4 Оценка расстояния Колмогорова.

2 О точности приближения спектра GOE

2.1 Формулировка результатов.

2.2 Доказательство теоремы 2.1.

3 Скорость сходимости спектральной функции DGUE

3.1 Формулировка результатов.

3.2 Метод наискорейшего спуска.

3.3 Оценка п |Дп(го) - An(z)|.

3.4 Оценки хвостов.

3.5 Критические точки fn(z)

3.6 Главный член.

3.7 Доказательство теоремы 3.2.

Пусть (О, Т, Р) — произвольное вероятностное пространство, (Мтхп, || • \\нб) — пространство вещественных или комплексных матриц размерности га х п с нормой Гильберта-Шмидта:

Тг(АА*), УА Е Мтхп.

Здесь а* = ат обозначает транспонированную комплексно сопряженную матрицу А, а Тг А — след матрицы А.

Определение 1. Случайной матрицей А называется измеримое отображение А = А (о;), отображающее пространство элементарных событий О в пространство матриц Мтхп.

Обозначим через Ъ{Мтхп) сг-алгебру борелевских подмножеств множества матриц Мтхп. Очевидно, что любая случайная матрица А естественным образом порождает на измеримом пространстве (Мтхп, ЯЗ(Мтхп)) некоторую вероятностную меру Ра

Необходимость изучения свойств случайных матриц впервые возникла в конце 1920-х годов в работах Вишерта, в связи с задачами многомерной статистики. Толчком к последующему бурному развитию данной тематики послужили работы Вигнера [44, 45, 46] 1950-х годов в области ядерной физики. Из квантовой механики известно, что уровни энергии квантовой системы, находящейся в стационарном состоянии, описываются с помощью собственных чисел некоторого эрмитовою оператора, называемого гамильтонианом. Спектр такого оператора в общем случае состоит из непрерывной части и некоторого, возможно большого, числа дискретных уровней, а сам оператор действует в некотором бесконечномерном гильбертовом пространстве. Как правило, практический интерес представляет дискретная часть спектра, поэтому, чтобы избежать сложностей, вызванных бесконечномерностью исходного гильбертова пространства, его аппроксимируют конечным гильбертовым пространством, а гамильтониан представляется в виде некоторой эрмитовой матрицы. Ввиду сложности системы, найти точное представление этой матрицы, в большинстве случаев, не представляется возможным. Вигнер был первым, кто заметил, что уровни энергии ядра статистически ведут себя подобно собственным числам некоторой случайной матрицы большого порядка (см. [44]) и предложил использовать такую матрицу для аппроксимации усеченного гамильтониана.

Определение 2. Вигнеровской случайной матрицей размерности п х п называется эрмитова матрица = (ги/^-)"-=1, элементы 1 ^ I ^ j ^ п которой являются независимыми случайными величинами, причем:

1. гиу, 1 ^ I < j ^ п — независимые одинаково распределенные комплексные случайные величины, с независимыми вещественными и мнимыми частями, распределение которых не зависит от п, такие что

Ему = 0, Е Н|2 = <т2,

2. гиц, 1 ^ I ^ п — независимые одинаково распределенные вещественные случайные величины, с не зависящим от п распределением, такие что

Е юц — 0, Е тц2 = (т2.

Пусть - вигнеровская случайная матрица. Одним из важных объектов 'изучения при исследовании спектральных свойств вигнеровских матриц является эмпирическая спектральная функция распределения матрицы.

Определение 3. Пусть Х\ ^ Аг ^ ■ ■ • ^ Хп ~ упорядоченные по возрастанию собственные значения нормированной матрицы Эмпирической спектральной функцией распределения матрицы называется функция

1 п ¿=1 где 1{в} обозначает индикатор события В.

В своей работе [46] 1958 г. Вигнер рассмотрел вещественную симметричную матрицу = элементы гиу, 1 ^ I ^ j ^ п которой суть независимые одинаково распределенные случайные величины со средним Егу^ = 0 и дисперсией Е тц2 = а2. Он показал, при условии ограниченности всех четных моментов элементов ту и равенстве нулю всех нечетных моментов элементов что ожидаемая эмпирическая спектральная функция распределения ЕЕп(х) нормированной матрицы сходится, в супре-мальной метрике, к некоторой функции распределения <2(ж), с плотностью д(х) = С(х) = 2~2^4а2 ~ х2

Факт такой сходимости называют обычно сходимостью к полукруговому закону, а функцию распределения и плотность д(х) — функцией распределения и плотностью полукругового закона соответственно. При доказательстве этого факта, Вигнер использовал метод моментов. Для удобства читателей мы приведем схему подобного доказательства в самом простейшем случае — случае, когда элементы матрицы имеют вид ииц = 1 ^ I ^ у ^ п, где — радемахеровские случайные величины, то есть величины, принимающие с вероятностью 1/2 либо значение 1, либо значение -1 (именно такой случай рассмотрел Вигнер в работе [45] 1955 г.).

Пусть М^ обозначает к-ый момент ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения Е^п(ж), а — к-ый момент функции распределения полукругового закона Тогда

00 I хк(1ЕРп(х) = ^ЕЪ:У?к,

-00

-2 а

2к+1 = О, где Ск, к ^ 0, обозначают числа Каталана, определяемые рекуррентным соотношением к-1

Со = 1, Ск — / ^

Так как носитель плотности д(х) предельной функции распределения (3(я) компактен, то для сходимости ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения к функции распределения £т(ж) достаточно, чтобы все моменты М^ сходились, при п оо, к соответствующим моментам тк.

Мы покажем сначала, что не умаляя общности можно считать все диагональные элементы и)ц, 1 ^ / ^ п, матрицы равными нулю. Действительно, пусть матрица получена из матрицы \¥ замещением всех диагональных элементов нулями. Обозначим через А1 ^ Л2 ^ • • ■ ^ Хп собственные значения нормированной матрицы а через Рп(х) — ее спектральную функцию распределения. Несложно проверить, что сю

1 п 1 П <7

- К(х) йх = - V Л* - \к ^ —■= V \ъикк\ = —¡=. п п / \

I—1 и—л \ V /

Здесь, в последнем неравенстве, мы воспользовались тем, что и>кк к=1 к=1 для любой непрерывной выпуклой функции <р(х) (см. [1, стр. 552]). Далее, заметим, что функция распределения полукругового закона удовлетворяет условию Липшица с константой Поэтому, применяя леммы А.1.1-А.1.2, получим эир \Рп(х) - ^ 1 + 1 + 7Г(Т вир Еп(х) х 7ту/а тта х

Таким образом, мы можем полагать, что гпкк — 0, при 1 ^ к ^ п. Рассмотрим теперь подробнее к-ът момент М^ ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения. Нетрудно убедиться, что ^ТпТ Е Е ■ ■ ■ «Ъ* •

31 Г- ,3к

Заметим, что слагаемые в последней сумме отличны от нуля только для тех наборов индексов ., для которых каждая случайная величина произведения ги^^шз • • • 'Шзъ.к входит в это произведение ровно четное число раз. Поэтому М^ = 0, при к = 2б + I. Для четного к = 2в разобьем множество наборов (л,.,Для которых математическое ожидание произведения отлично от нуля, на два класса. В первый войдут все те наборы С?'ъ • • • > 72в)) которые содержат не более в различных индексов. Очевидно, что число таких наборов не превосходит ггЛ Поэтому суммирование по этому классу, с учетом нормировочного множителя, вносит вклад порядка (9(п-1). Во второй класс войдут наборы, которые содержат ровно в + 1 различных индексов, и которым соответствуют ровно я различных случайных величин в произведении Таким образом, каждая случайная величина входит в произведение ровно два раза. Определим характеристическую последовательность щ,и2,.} Щз произведения ■ ■ ■ Положим щ = 1, если последовательность , ^,., не содержит случайной величины и щ = —1 — в противном случае. Очевидно, что последовательность щ, г/2) • • •, и>23 удовлетворяет условию и1 ^ для всех ] = 1,., Поэтому каждой такой последовательности соответствует путь в верхней полуплоскости длины 2б, исходящий из нуля и возвращающийся в нуль. Число таких путей равно Учитывая, что й + 1 различных индексов мы можем выбрать п(п - 1) ■ ■ • (п - э) = пв+1(1 + 0(п~1)) способами, получим, что суммирование по элементам второго класса, с учетом нормировочного множителя, даст величину ¡^щт + 0(п-1). Тем самым, сходимость моментов, а значит и сходимость ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения, доказана.

Результат Вигнера был обобщен Арнольдом в работе [12] 1967 г. Так же, с помощью метода моментов, он показал, что при условии ограниченности четвертого момента элементов юц следует сходимость эмпирической спектральной функции распределения -Рп(ж) к функции распределения по вероятности, а при условии ограниченности шестого момента — сходимость почти наверное.

В конце 60-х Марченко и Пастур [6] разработали более мощный метод исследования распределения спектра случайной матрицы, основанный на анализе элементов резольвентной матрицы — „)-1. Это позволило им распространить полукруговой закон Вигнера на случай эрмитовых матриц, элементы которых имеют равную дисперсию, но не обязательно одинаковое распределение (см. [7, 8]). Они показали, что для сходимости по вероятности эмпирической спектральной функции распределения Fn(x) такой матрицы к функции распределения полукругового закона G(x) достаточно выполнения условия Линдеберга для всех строк матрицы. Несколько позднее, Гирко [3] показал также и сходимость почти наверное, при условии, что для любого т > О выполнено l^Kj^n

Основная идея метода состоит в переходе от функций распределения к их преобразованиям Стилтьеса. Пусть F(x) есть некоторая функция распределения. Рассмотрим ее преобразование Стилтьеса

00

Ф) = [ —-—dF(x), J Х - Z оо где z = u-\-iv — комплексная переменная с v > 0. Очевидно, что 1тй(,г) > 0. Можно также показать, что для любых двух точек непрерывности х\ < Х2 функции jF(x) имеет место формула обращения

F(x2) — F(x 1) = lim— / lms(z)du. г40 7Г J

Xi

Таким образом, между функциями распределения и их преобразованиями Стилтьеса существует взаимно однозначное соответствие. Более того, из равномерной сходимости преобразований Стилтьеса на некотором компакте в C\R следует слабая сходимость функций распределения.

Здесь и далее z = u+iv — комплексная переменная с v > 0. Символом y/w мы будем обозначать квадратный корень комплексного числа w, имеющий положительную мнимую часть, то есть y/w = y/reltpl2) где w = reltp, 0 ^ Lp < 2тг.

Обозначим через sn(z) и s(z) преобразования Стилтьеса ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения F, Fn(x) и функции распределения полукругового закона G(x), соответственно. Тогда (см. приложение

А.2)

Ф) = ~ \/г2~4а2).

Также нетрудно заметить, что п \>/п /

1 п = -уеп 1 п ы -^тк - г - X IV* - Л^) ~ V' где = (гиць,., м^ь гУ(Л+1)А,., а матрица WA; получена из матрицы удалением к-го столбца и А;-ой строки. Если мы теперь введем величины к := —--а*к (- г1„1) ак + сг2вп(2)

1/П п \у/п / и п к к то, очевидно, будем иметь

--, 2 ( \ +

Решая это уравнение относительно зп(г) и выбирая решение с 1тзп(,г) > О, получим

- ~ {г + а25п{г))2 - 4а2у

Далее, заметим, что для всех V > 0 выполнено п М) ^ сг^ф) - ек\ ^ 1т (г + а"2зф) - ек)

Кроме того, можно показать (см. А.3.1), что найдется положительная константа С, такая что для всех V > 0 имеет место неравенство С

Е \ек\ ^

ПУ2

Объединив последние три неравенства и определение величины 5n(z), получим, что для всех v > 0 выполнено неравенство yjnv6

Это очевидным образом влечет равномерную сходимость sn(z) 5(2;) на любом компакте, содержащемся в верхней полуплоскости C\R, а значит, как уже отмечалось выше, и слабую сходимость соответствующих функций распределения.

Гауссовские ансамбли

В этом разделе мы более подробно остановимся на двух частных случаях матриц Вигнера — гауссовском унитарном и гауссовском ортогональном ансамблях случайных матриц. Первый является наиболее простым, с математической точки зрения. Второй же более важен для физических приложений.

Определение 4. Говорят, что вигнеровская случайная матрица W = (w/j)fj=i принадлежит гауссовскому унитарному ансамблю (GUE), если мнимые и вещественные части {Re {Im ее элементов являются независимыми гауссовскими случайными величинами со средним 0 и дисперсией а + ад/4.

Пусть %п обозначает пространство эрмитовых матриц порядка п с мерой Лебега п dW = JJ dRewij dlmwij jQ dwu. i<j 1=1

Тогда гауссовский унитарный ансамбль однозначно задается распределением вероятностей

P°UE(dW) = Cne-TvW2dW на пространстве %п. Отсюда легко увидеть, что распределение Р^иЕ инвариантно относительно унитарного преобразования. Это позволяет найти точное аналитическое представление для плотности рп(хi,. ,хп) индуцированного совместного распределения собственных чисел А1,.,АП матрицы "\У (см.

39]): п ^

Рп{х 1,. •, хп) = Спе '=1 ' Д - х{)2.

К]

Рассмотрим определитель Вандермонда

Д(х) := — х{) = с1е1 Кз 1

Х\ 1

Хп гг.п-1 пП-1

• • • ХП

Умножая строку на 1 и добавляя к ней соответствующую линейную комбинацию предыдущих строк, мы получим в ^'-й строке

Я^!^!), 1(2:2), • . . , Н]-1(хп), где Н^{х) обозначает полином Эрмита степени то есть й V ад=(-£ г

Домножая теперь ^'-ю строку на множитель \2? — 1)!\/7г] 1/2, а /-й столбец на е получим е '=1

Д(ж) = С„с1е1

Здесь {^(ж)} — ортогональная система функций Эрмита, связанная с полиномами {Н^(х)} соотношением 1 щ(х) =-т-г—е 'Я, (ж).

7Г 4 2 2 д/^!

Таким образом, плотность собственных чисел рп(х\,., хп) представляется в виде определителя некоторого ядра: рп(х 1,. ,хп) = СпАе1 (к^Х!^^) , /1,1=1 где п-1 0

Ядро Кп(х,у) принято называть ядром Кристоффеля-Дарбу. Можно легко убедиться, что

00 00

J Кп(х, x)dx = п, J Kn(x,y)Kn(y,z)dy = Kn(x,z).

-00 —00

Поэтому (см. [39, 19]) 00 det (Kn(xj, Xi)] dxm = (n - m + 1) det (Kn(xj,xi)\

-00

Отсюда несложно найти нормирующий множитель плотности рп:

Рп(х 1, • ■ •, хп) = ^ det xi)) j,'

Более того, мы можем легко вычислить плотность рп\хi,.,к неупорядоченных собственных чисел: det (Kn(xj,xi)] v ' j,>

В частности, для плотности (Е Fn(x))' ожидаемой эмпирической спектральной функции матрицы W из GUE имеем:

71— 1 pW(xh.,xk) = ^ ^ det ÎKnix^xi))

77,! V / 7,/=1

ЕВД)' = р^М - -Кп(х,х) = ^ $>?(*). 0

Несколько сложнее представляется плотность ожидаемой эмпирической спектральной функции матрицы из гауссовского ортогонального ансамбля.

Определение 5. Говорят, что вещественная вигнеровская случайная матрица \У = принадлежит гауссовскому ортогональному ансамблю (СОЕ), если ее элементы юц являются независимыми гауссовскими случайными величинами со средним 0 и дисперсией (1 + 5ц)/2.

Очевидно, что гауссовский ортогональный ансамбль определяется распределением вероятностей ре°Е(т) = 12 на множестве симметричных матриц порядка п с мерой Лебега сАУ. Плотность рп(х 1,. , хп) совместного распределения собственных чисел Ах,., Хп матрицы W в этом случае принимает вид pn(xh.,xn) = Спе 2S '

Kj xj I

Эта плотность, как и плотность совместного распределения собственных чисел матрицы из GUE, может быть выражена в терминах функций Эрмита (см. [39]). В частности, плотность (Е Fn(x))' ожидаемой эмпирической спектральной функции матрицы из GOE имеет вид п-1 00

1 1 f 1 (EFn(x))'= - y]ipf(x) + —=(pn-i(x) / sgn(x-t)(pn(t)dt+-an(x), n TZ ¿y 2n J n l~U -00

00 \ 1 n(x) — \ \—oo где f2l(x) ^ f (P2i(t)dtj при n = 21 + 1,

О при п — 21.

Понятно, что для нормированных матриц из гауссовских унитарного и ортогонального ансамблей имеет место полукруговой закон Вигнера, причем, ввиду выполнения условия Линдеберга, эмпирическая спектральная функция распределения таких матриц сходится к распределению полукругового закона почти наверное. Как и для всех предельных теорем, естественно возникает вопрос о скорости сходимости. Данной проблеме посвящены работы таких авторов, как Бай (см. [14]-[17]), Гётце и Тихомиров (см. [26]-[28]), Гирко (см. [2, 24, 25]).

Рассмотрим величины

Д„ := sup |ЕВД - G(x)|, К := Е sup\Fn(x) - G(s)|.

X X

В общем случае, когда матрица W вигнеровская, Бай показал (см. [16]), что при выполнении условия supls^J<00E < оо, скорость сходимости ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения нормированной матрицы имеет порядок Дп = С(п1//3). При еще более сильном ограничении suPi^/^i<oo Е < °о, он доказал (см. [17]), что Ап = 0(гГ1!2). Эту же оценку, только уже при условии равномерной ограниченности четвертых моментов, независимо друг от друга и различными способами, показали Гётце и Тихомиров в работе [27], и Гирко (см. [24, 25]).

Важную роль в исследовании скорости сходимости ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения занимают гауссовские унитарный и ортогональный ансамбли. Сходимость ожидаемой эмпирической спектральной функции матриц из GUE изучалась в работе [28], где была получена оптимальная оценка Ап = 0(п-1). Нам удалось получить аналогичную оценку и для случая матриц из GOE (см. [11]).

Несколько более сложной является задача оценивания сходимости эмпирической спектральной функции распределения по вероятности. Бай в 2002 г. доказал (см. [17]), что при моментном ограничении sup1;^j<00 Е \wij\s < оо имеет место оценка А* = 0(п~2/5). Для вигнеровских матриц, элементы которых имеют равномерно ограниченные восьмые моменты, Гётце и Тихомиров (2003 г., [27]) показали оценку А* = 0{n~1!2). Мы рассмотрели матрицу из GUE и показали, для этого частного случая, что А* = (см. [10]).

Деформированный гауссовский унитарный ансамбль

В этой части введения мы рассмотрим деформированный гауссовский унитарный ансамбль. Это ансамбль вигнеровских матриц, содержащий в себе гауссовскую компоненту. Таким образом, он занимает, в некотором смысле, промежуточное положение между гауссовским унитарным ансамблем и более общим ансамблем вигнеровских матриц. В отличие от гауссовского унитарного ансамбля, этот ансамбль не обладает инвариантностью относительно унитарных преобразований, но, тем не менее, для него удается найти совместную плотность распределения собственных чисел.

Деформированные ансамбли изучались в работах Пастура и Хорунжия начала 90-х (см., например, [36]), также, несколько позднее, в работах Врезана и Хиками (см. [18]). Пастур и Хорунжий рассмотрели деформированный вигнеровский ансамбль вида Hq + где Но обозначает некоторую фиксированную (неслучайную) эрмитовую матрицу, a W — матрицу Вигнера. Они показали, что если для элементов матрицы Вигнера выполнено обобщенное условие Линдеберга, и эмпирическая спектральная функция матрицы Но имеет предел, то эмпирическая спектральная функция распределения деформированного вигнеровского ансамбля сходится по вероятности к некоторой неслучайной неубывающей функции. Брезан и Хиками рассмотрели более частный случай, когда случайная матрица W в деформированном ансамбле является матрицей из GUE. Ими была найдена совместная плотность распределения двух собственных чисел матрицы из такого ансамбля. Деформированный гауссовский унитарный ансамбль впервые был рассмотрен в работе Йоханссона [35] 2001 г. В отличие от ансамблей, рассмотренных в предыдущих работах, этот ансамбль является линейной комбинацией двух случайных матриц.

Определение 6. Говорят, что эрмитовая случайная матрица M = 1 порядка п принадлежит деформированному гауссовскому унитарному ансамблю (DGUE), если M = W + аН, а > 0, где W = (wij)fj=г обозначает вигнеровскую случайную матрицу, a H = (hij)?j=i — независимую от

2 1 2 нее матрицу из GUE, причем Е \wij\ = 1 ^ I ^ j ^ п, и Е \hij\ = 1,

1 ^l^j^n.

Обозначим Pn(dW) распределение вигнеровской матрицы матрицы W на пространстве эрмитовых матриц %п с мерой Лебега dW. Тогда, очевидно, распределение вероятностей деформированного гауссовского унитарного ансамбля имеет вид

Qn(dM) = 2-"/V2)~n2/2 J e-^(M-W)Vn(

Пусть pn\x i,., Xk) — совместная плотность распределения к собственных чисел нормированной матрицы ^М, а yi,., уп — собственные числа нормированной вигнеровской матрицы матрицы ^W. Йоханссон (см. [35]) показал, что если sup^^j^jE \wij\k < оо, для всех к ^ 1, то pi\xu.,xk) = J pW(x1,.,xk]y(W))dPn(yfcW),

Tin где рР(х 1,.,хк-,у) = г^:det (Кп(х^х1\у)) ,

71. ^ / 1 а ядро Кп(и,у\у) определяется соотношением п(у2 —и2) т. . ч пе 2а2 Г ¿г Г ¿ии ( пг(у-и) \

КЛи'Щу) = ¡¡М Ут 2ЙУг М^1" е )

1 / а2 V—\ У; \ п(у12-2уи>-г2+2иг) х -[т + г-ь--> т-т7-г е ^ .

Л п ^{Ы-У^-УЭ)]

Здесь контур 7 является объединением прямых £ —> —t 6 Ж и £ Ь-ш, ¿6 Ж, для некоторого фиксированного си > 0, а контур Г есть прямая t —У й, £ € Ж. Для удобства читателя, доказательство этого представления приведено в приложении А.4.

Результат Йоханссона, при к = 1, позволяет найти интегральное представление для плотности ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения нормированной матрицы ^М. Используя это представление, нам удалось показать, что скорость сходимости ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения матрицы из БСиЕ к распределению полукругового закона имеет порядок 0(п~ 3+"), где V — произвольно малое положительное число (см. [31, 9]). Таким образом, наличие гауссовской компоненты позволяет улучшить общий результат, полученный для матриц Виг-нера.

Работа устроена следующим образом. В главе 1 мы исследуем скорость сходимости по вероятности эмпирической спектральной функции распределения матрицы из гауссовского унитарного ансамбля. Далее, в главе 2, мы изучаем скорость сходимости ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения матрицы из гауссовского ортогонального ансамбля. Мы показали, что она имеет оптимальный порядок (9(п-1). В последней главе 3 мы доказываем некоторые оценки для близости ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения матрицы из деформированного гауссовского унитарного ансамбля к распределению полукругового закона. Наконец, завершают работу несколько приложений, в которые мы вынесли доказательства ряда вспомогательных утверждений.

1. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — Москва: Наука, 1966. — С. 576.

2. Гирко В. Л. Асимптотика распределения спектра случайных матриц // УМН. 1989. - Т. 44, вып. 4. - С. 7-34.

3. Гирко В. Л. Случайные матрицы. — Киев: Вища школа, 1975. — С. 448.

4. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — 5-е изд. — Москва: Наука, 1971. — С. 1108.

5. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Т.1.— 2-е изд.— Москва: Наука. Физматлит, 1967. — С. 486.

6. Марченко В. А., Пастур Л. А. Распределение собственных значений в некоторых ансамблях случайных матриц // Матем. сб. — 1967. — Т. 72, вып. 4. С. 507-536.

7. Пастур Л. А. Спектр случайных матриц // ТМФ 1972. — Т. 10, вып. 1.-С. 102-112.

8. Пастур Л. А. Спектры случайных самосопряженных операторов // УМН. 1973. - Т. 28, вып. 1. - С. 4-63.

9. Тимушев Д. А. О скорости сходимости к полукруговому закону Вигнера ожидаемой спектральной функции распределения для матриц из деформированного гауссовского ансамбля // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2004. — Т. И, вып. 2. — С. 256-257.

10. Тимушев Д. А. О скорости сходимости по вероятности спектральной функции распределения случайной матрицы // Теория вероятностей и ее применения. — 2006. — Т. 51, вып. 3. — С. 618-622.

11. Arnold L. On the asymptotic distribution of the eigenvalues of random matrices // J. Math. Anal. Appl. 1967. - Vol. 20. - Pp. 262-268.

12. Askey R., Wainger S. Mean convergence of expansions in Laguerre and Hermite series // Amer. J. Math. 1965. - Vol. 87. - Pp. 695-708.

13. Bai Z. D. Convergence rate of expected spectral distributions of large random matrices, i. wigner matrices. // Ann. Probab.— 1993. — Vol. 21, no. 2. — Pp. 625-648.

14. Bai Z. D. Methodologies in spectral analysis of large-dimensional random matrices, a review // Statist. Sinica.— 1999.— Vol. 9, no. 3.— Pp. 611— 677. — With comments by G. J. Rodgers and Jack W. Silverstein; and a rejoinder by the author.

15. Bai Z. D. Remarks on the convergence rate of the spectral distributions of wigner matrices. // J. Theoret. Probab. 1999. - Vol. 12. - Pp. 301-311.

16. Bai Z. D., Miao В., Tsay J. Convergence rate of the spectral distributions of large wigner matrices. // Int. Math. J. 2002. - Vol. 1. - Pp. 65-90.

17. Brézin E., Hikami S. Correlations of nearby levels induced by a random potential // Nuclear Phys. B. 1996. - Vol. 479, no. 3. - Pp. 697-706.

18. Deift P. A. Orthogonal polynomials and random matrices: a RiemannHilbert approach. — New York: New York University Courant Instituteof Mathematical Sciences, 1999. — Vol. 3 of Courant Lecture Notes in Mathematics. — Pp. viii+273.

19. Delyon B., Yao J. On the spectral distribution of Gaussian random matrices // Acta Math. Appl. Sin. Engl. Ser.~ 2006.— Vol. 22, no. 2,— Pp. 297-312.

20. Forrester P. J.; Snaith N. C., Verbaarschot J. J. M. Developments in random matrix theory // J. Phys. A. 2003. - Vol. 36, no. 12. - Pp. R1-R10. -Random matrix theory.

21. Garoni T. M., Forrester P. J., Frankel N. E. Asymptotic corrections to the eigenvalue density of the GUE and LUE // J. Math. Phys. 2005. - Vol. 46, no. 10.-Pp. 103301, 17.

22. Girko V. L. Convergence rate of the expected spectral functions of symmetric random matrices equals to o(n~s). // Random Oper. Stochastic Equations. — 1998. Vol. 6. - Pp. 359-406.

23. Götze F., Kushmanova E. F., Tikhomirov A. N. Rate of convergence to the semi-circular law almost surely. // In preparation.

24. Götze F., Tikhomirov A. Rate of convergence to the semi-circular law // Probab. Theory Related Fields. 2003. - Vol. 127, no. 2. - Pp. 228-276.

25. Götze F., Tikhomirov A. The rate of convergence for spectra of GUE and

26. E matrix ensembles // Cent. Eur. J. Math. — 2005.— Vol. 3, no. 4.— Pp. 666-704 (electronic).

27. Götze F., Tikhomirov A. N. Rate of convergence to the semi-circular law for the Gaussian unitary ensemble // Теория вероятностей и ее применения. 2002. - Т. 47, вып. 2. - С. 381-387.

28. Götze F., Tikhomirov А. N. Rate of convergence in probability to the marchenko-pastur law. // Bernuolii. — 2004. — Vol. 10, no. 1. — Pp. 1-46.

29. Gustavsson J. Gaussian fluctuations of eigenvalues in the GUE // Ann. Inst. H. Poincare Probab. Statist. 2005. - Vol. 41, no. 2. - Pp. 151-178.

30. Horn R. A., Johnson C. R. Matrix analysis. — Cambridge: Cambridge University Press, 1990.— Pp. xiv+561.— Corrected reprint of the 1985 original.

31. Itzykson C., Zuber J. B. The planar approximation. II // J. Math. Phys. -■1980. Vol. 21, no. 3. - Pp. 411-421.

32. Johansson K. Universality of the local spacing distribution in certain ensembles of hermitian wigner matrices. // Comm. Math. Phys. — 2001. — Vol. 215, no. 3. Pp. 683-705.

33. Khorunzhy A. M., Pastur L. A. On the eigenvalue distribution of the deformed Wigner ensemble of random matrices // Spectral operator theory and related topics. — Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1994. — Vol. 19 of Adv. Soviet Math. Pp. 97-127.

34. König W. Orthogonal polynomial ensembles in probability theory // Probab. Surv. 2005. - Vol. 2. - Pp. 385-447 (electronic).

35. Kowalewski G. Einführung in die Determinantentheorie einschliesslich der Fredholmschen Determinanten. — New York, N. Y.: Chelsea Publishing Co., 1948. P. 320. - 3te Aufl.

36. Mehta M. L. Random matrices.— Third edition.— Elsevier/Academic Press, Amsterdam, 2004. — Vol. 142 of Pure and Applied Mathematics (Amsterdam). — Pp. xviii+688.

37. Muckenhoupt B. Mean convergence of Hermite and Laguerre series. I, II // Trans. Amer. Math. Soc. 147 (1970), 419-431; ibid. 1970,- Vol. 147.-Pp. 433-460.

38. Pastur L. Random matrices as paradigm // Mathematical physics 2000. — London: Imp. Coll. Press, 2000. Pp. 216-265.

39. Pastur L. A. Random matrices as paradigm. // Mathematical physics 2000. London: Imp. Coll. Press, 2000. - Lecture Notes in Math. - Pp. 216265.

40. Pisier G. Probabilistic methods in the geometry of Banach spaces // Probability and analysis (Varenna, 1985).— Berlin: Springer, 1986. — Vol. 1206 of Lecture Notes in Math.-Pp. 167-241.

41. Wigner E. P. On the statistical distribution of the widths and spacings of nuclear resonance levels. // Proc. Camb. Phil. Soc.— 1951.— Vol. 47.— Pp. 790-798.

42. Wigner E. P. Characteristic vectors of bordered matrices with infinite dimensions. // Ann. of Math. 1955. - Vol. 62. - Pp. 548-564.

43. Wigner E. P. On the distribution of the roots of certain symmetric matrices // Ann. of Math. (2). 1958. - Vol. 67. - Pp. 325-327.