О среднем взаимном уклонении независимых времен пребывания гауссовских случайных процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ШАВА I. Оценки средних взаимных уклонений времен пребывания независимых траекторий в различных метриках.

§ I. Постановка задачи.

§ 2. Взаимные уклонения времен пребывания в метриках

Р*.• • •

§ 3. Взаимные уклонения времен пребывания в метриках и ^^

§ Взаимные уклонения совместных распределений нескольких функционалов.

ШАВА П. О существовании типичных распределений

§ I. Постановка задачи.

§ 2. Существование типичных распределений для метрик

Р«, о^ и

§ 3. Замечание о смеси гауссовских мер.

§ 4. Теорема о существовании типичных совместных распределений в метрике Канторовича-Рубинштейна

Изучение времен пребывания случайных процессов « одна из важных и принципиальных задач современной теории вероятностей. Ее истоки можно видеть в классической эргодической теории. Многие ее аспекты начали исследоваться сравнительно недавно и вызывают в настоящее время, все возрастающий интерес.

В настоящей работе рассматривается вопрос о том, насколько статистически разнообразными могут быть времена пребывания независимых траекторий измеримого центрированного гауссовского случайного процесса, реализации которого лежат в некотором пространстве • К задаче можно подходить по-разному. В 1978 году В.Н.Судаков С42.1 предложил рассматривать совокупности времен пребывания j^ = P°Í » югда траектории { выбираются из расширяющейся системы N —мерных подпространств p^CT * и Доказал, что при фиксированном N в совокупности распределений {Р^} имеется типичное в следуицем смысле: для любого £ >о при достаточно большом (зависящем лишь от £ ) при каждом N> №(0 можно найти такое распределение Р на прямой, что отклонение Р^ от Р в смысле метрики Канторовича-1^бин~ штейна ¿e (см. С4] PlOJ Cíflj) меньше £ , если ^ выбирать из некоторого множества А6С1»5М 1 с F^ » мера которого относительно нормированной инвариантной меры на iS»*4"1 больше • Там же было показано, что вместо меры на сфере можно брать гауссов с кую меру в FN с плотностью (М/йзг) ^ * *expl-lfñLl-N/z} (IHILz -след на FN нормы из

В связи с этим результатом Б.С.Цирельсоном была высказана гипотеза о справедливости более сильного утверкдения: существует такое распределение Р на прямой, что Е^е9Ъ)< ccMÎ * Частичный ответ на этот вопрос получен ниже (теорема I § 3 гл.1), В 1982 году С.В.Нагаев C8J предложил вместо метрики ае рассматривать более слабую метрику j>0 (см. определение в § 2 гл.1) и, используя аппарат характеристических функций, доказал, что существует такое распределение Р , что Eçр» (f^, Р)< и, следовательно, для метрики рс справедлива теорема о существовании типичного распределения, аналогичная теореме В.Н.Суда-кова.

1. Витушкин А.Г. Оценка сложности задачи табулирования. «1. Ф1зматгиз, 1959, с.273. 2. Колмогоров А.Н,, Тихомиров В.Н, ^ -энтропия и S -емкостьмножеств в функциональных пространствах, - УМН, 1956, т.ХХУ, 1. М 2, с.3-86.

3. Нагаев В. О распределении линейных функционалов в конечномерных пространствах большой размерности. - Докл. АН СССР, т.263, № 2, с.295-296. 9,' Петров В.В. Суммы независимых случайных величин, - Наука, 1972, с.414.

4. АН СССР, 1978, т .243, № 6, с . 1402-1405.13, Судаков В.Н, Замечание о сходимости в предельной теореме для распределений случайных функционалов, - Зап.научн.семин.

5. ЛОМИ, 1974, т . 4 1 , с. 14-42,16,- ^ЕихтенгольцГ.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т.П. - Наука, 1970, с.800,

6. Харди Г.Г., Литтлвуд Д.Е., Полна Г. Неравенства. - ИИ., 1948,с.456,