О точности аппроксимации нормальным распределением и асимптотическими разложениями в терминах псевдомоментов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ
|
Ярославцева, Лариса Сергеевна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2008
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.05
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
На правах рукописи
ЯРОСЛАВЦЕВА Лариса Сергеевна
О ТОЧНОСТИ АППРОКСИМАЦИИ НОРМАЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ И АСИМПТОТИЧЕСКИМИ РАЗЛОЖЕНИЯМИ В ТЕРМИНАХ ПСЕВДОМОМЕНТОВ
01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва - 2008
003454005
Работа выполнена на кафедре математической статистики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.
Научный руководитель: доктор физико-математических наук,
профессор Ульянов Владимир Васильевич
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Сенатов Владимир Васильевич
кандидат физико-математических наук, ведущий специалист компании "Интеррос" Богатырев Сергей Анатольевич
Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет
Защита диссертации состоится 12 декабря 2008 года в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 501.001.44 в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, 1-й учебный корпус, факультет ВМиК, аудитория 685.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ. С текстом автореферата можно ознакомиться на официальном сайте факультета ВМиК Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова http://www.cmc.msu.ru в разделе „Наука "— „Работа диссертационных советов"- „Д 501.001.44".
Автореферат разослан /¿^-ноября 2008 года.
Ученый секретарь диссертационного совета профессор
¿^Ъ Н. П. Трифонов
1. Общая характеристика работы.
Актуальность темы.
Классическая центральная предельная теорема — один из фундаментальных результатов теории вероятностей, устанавливающий равномерную сходимость функции распределения нормированной суммы независимых одинаг ково распределенных невырожденных случайных величин, имеющих конечные дисперсии, к функции распределения стандартного нормального закона Если первая версия центральной предельной теоремы была доказана уже А. Муавром1 в 18 веке, то её систематическое изучение началось в начале прошлого века с основополагающих работ А.М.Ляпунова2'3. Были получены различные обобщения, в частности на многомерные и бесконечномерные пространства, а также ослаблены условия независимости и одинаковой распределённое™ слагаемых.
Важным вопросом, представляющим не только теоретический, но и большой практический интерес, является получение оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме. Этому вопросу, в частности, уделено большое внимание в фундаментальной монографии Б.В.Гнеденко и А. Н. Колмогорова4, в книгах В. В. Петрова5 и В. М. Золотарева6, а также посвящены специальные монографии Р. Н. Бхатгачария и Р. Ранга Pao7 и В В. Сенатова8.
Классические оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме типа неравенства Берри-Эссеена формулируются в терминах абсолютных моментов слагаемых и, следовательно, учитывают только один из факторов, обуславливающих близость распределения нормированной суммы случайных величин и аппроксимирующего нормального распределения — большое число слагаемых п. Однако эти распределения могут быть близки и при небольших значениях п если распределения самих слагаемых близки к нормальным. Для учета не только первого, но и второго из указанных факторов в неклассических оценках вместо абсолютных моментов слагаемых исполь-
'Moivre A. Miscellana Analytica Supplementum. London, 1730
sLyapunov A M. Sur une proposition de la théorie des probabilities. Bull. Acad Imp. Sei St Petersbourg, 1900,13, 359-388.
3Lyapunov A. M. Nouvelle forme du théorème sur la limite de probabilité. Mem Acad. Imp. Sei St. Petersbourg, Classe Phye. Math , 1901,12,12
4Гпеденко Б. В , Колмогоров А H .Предельные распределения для сумм независимых случайных величин Москва-Ленинград, ГИТТЛ, 1949.
'Петров В. В Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. Наука, Москва, 1987.
6Золотарев В М. Современная теория суммирования независимых случайных величин. Москва, Наука, 1980
7Бхаттачария Р. Н., Ранга Pao Р. Аппроксимация нормальным распределением и асимптотические разложения Москва, Наука, 1982
8Senatov V. V. Normal approximation, new results, methods and problems VSP, Utrccht, 1998.
зуются другие их характеристики — псевдомоменты, разностные моменты, идеальные метрики.
Исследования по неклассическим оценкам начались в середине 70-х годов прошлого века с основополагающей работы В.М.Золотарева 9 и далее развивались этим автором, а также В. В. Сазоновым, В. И. Ротарем, С. В. Нагаевым, В. Паулаускасом, В. В. Ульяновым, В. В. Сенатовым и другими математиками. В некоторых задачах были получены в каком-то смысле оптимальные результаты. В то же время остались открытые проблемы. Одна из таких проблем — получение более точных оценок скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме в случае, когда слагаемые независимы, но не обязательно одинаково распределены.
Для получения приближений распределений нормированных сумм случайных величин более высокого порядка точности по п используются так называемые асимптотические разложения. Оценки точности аппроксимации асимптотическими разложениями в классическом виде так же, как и оценки точности приближения нормальным законом, формулируются в терминах абсолютных моментов слагаемых. Неклассические оценки в этой задаче до настоящего момента были получены лишь для случая одинаково распределенных случайных величин в работе А. Миталаускаса и В. Статулевичиуса10.
Цель работы.
Целью настоящей диссертации является уточнение неклассических оценок скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме в случае независимых, но не обязательно одинаково распределенных слагаемых, а также получение неклассических оценок точности аппроксимации асимптотическими разложениями для распределений нормированных сумм независимых случайных величин.
Научная новизна.
Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.
1. Получена неклассическая оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме в № с асимптотически наилучшим на настоящий момент показателем суммы псевдомоментов в общем случае независимых, но необязательно одинаково распределенных слагаемых.
9Золотарев В. М. О близости распределений двух сумм независимых случайных вели чин Теория ве-роятн. й ее примен,, 1965,10, 519-526.
10Миталаускас А., Статулявичус В. Асимптотическое разложение в случае устойчивого аппроксимирую^?0 закона Лит. матем. сб , 1976, 16, № 4, 149-166
2. Впервые получена неклассическая оценка точности аппроксимации коротким асимптотическим разложением Эджворта в R1 для функции распределения нормированной суммы независимых случайных величин, имеющих конечные абсолютные моменты 3-го порядка.
3. Получены первые оценки в терминах псевдомоментов точности приближения функции распределения нормированной суммы независимых слагаемых, абсолютные моменты порядка s которых конечны, асимптотическими разложениями Бергстрема в R1 порядка до (s-2) включительно.
Методы исследования.
Основные методы, использовавшиеся для доказательства результатов работы — метод характеристических функций, метод композиций, представление разности двух сверток распределений, предложенное X. Бергстремом11, а также один подход, разработанный В. Бенткусом12, основанный на специальном представление разности математических ожиданий E</?(5i) — Е^бг), где ц> : Rd —♦ С — гладкая функция, S\ v. Si — суммы независимых d-мерных случайных векторов, который использовался в работе для сглаженных индикаторных функций <рд выпуклых множеств А С и для функций cpt(x) = eax, t£ Ж.
Теоретическая и практическая значимость.
Результаты диссертации имеют теоретический характер и одновременно допускают применение к решению различных практических задач, связанных с использованием нормальной аппроксимации.
Апробация работы и публикации.
По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ. Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2005"(апрель 2005, Москва), на VI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (май 2005, Санкт-Петербург), на научных семинарах Института математической стохастики университета им. Отто фон Герике (январь 2005, декабрь 2007, Магдебург, Германия), на XV Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2008" (апрель 2008, Москва).
"Bergström Н On asymptote expansions ofprobahlty functions Seand Aktuanetidsknft , 1951, 34, 1-34.
1JBentkus V A new approach to approximations m probability theory and operator theory. Lithuanian Math J., 2003, 43, 367-388.
Структура диссертации.
Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, приложения, содержащего вспомогательные результаты, и списка литературы из 70 наименований. Общий объем работы составляет 103 страницы.
2. Краткое содержание диссертации.
Введение содержит обоснование актуальности темы диссертации и исторический обзор, связанный с темой работы. Кроме этого, в нем также формулируются и обсуждаются полученные результаты.
Рассматривается последовательность ..., Хп независимых случайных векторов со значениями в К"1 таких, что
Е|Х*|2<оо, Л = 1.....п. (1)
Без ограничения общности будем считать, что ЕХ<; = 0 и положим
Е| = Соу(Х*), к = 1,...,п.
В случае й = 1 для величин = Т)Хк, к = 1,... ,п, будем использовать более привычные обозначения ..., а^. Будем предполагать, что
= (2)
и обозначим через и соответственно функцию распределения и распределение вектора +... + Хп). Пусть обозначает распределение вектора Хк, а 1ЧЕ2 — нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей £\. Для г > 0 введем абсолютный момент порядка г случайного вектора Xк,
Рг,к =
а также абсолютные псевдомоменты порядка г случайных векторов Хк и
к* №
Положим
п п п
Рт = иг = иг<к' ^ = X! 17г'к-
к=1 к=1 к=1
Через Ф и N будем обозначать функцию распределения и распределение стандартного нормального вектора в
supl хеш
Глава 1 посвящена уточнению неклассических оценок скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме.
Как уже отмечалось ранее, первая неклассическая оценка была получена В. М. Золотаревым9 для случая одинаково распределенных слагаемых при d = 1. Эта оценка имела следующий вид (здесь и далее символами с, с(...) будем обозначать положительные постоянные, значения которых в разных местах текста могут быть различны) :
>|F[nl(x) -Ф(ж)| < ^ • (^jr)1/4- (3)
Напомним, что известное неравенство Берри-Эссеена13,14 записывается в виде
sup - Ф(яг)| <4=-%
хеш Vn
Порядок сходимости п-1/8 в (3) не является оптимальным. Первая неклассическая оценка с правильным порядком сходимости по п была получена В. Паулаускасом15, показавшим, что
знр|Р%)-Ф(г)| < * тах(^,(^)1/4). (4)
Если v\i/<j\ мало, а именно — если ^зд/с? < 1, то правая часть неравенства (4) есть с/у/п • (^д/с?)1''4- Поскольку этот случай представляет из себя наибольший интерес (напомним, что мы вводили псевдомоменты для учета возможной близости распределений слагаемых к нормальным распределениям), то естественно поставить вопрос о том, можно ли улучшить оценку (4) за счет повышения показателя 1/4.
В. М. Золотарев16 построил пример, иллюстрирующий, что при п = 1 этого сделать нельзя. Однако, оценка (4) может быть существенно улучшена при п > 1. В.В.Ульянов17 доказал, что
supl^W^Wt^.maxfê,^)^), (5)
zer vn \ 0j \ ci / 1
13Веггу А. С. The accuracy of the Gaussian approximation to the sum of independent variâtes. TYans Amer Math Soc., 1941, 49, 122-136
14Esseen C-G. On the Liapunoff limit of error m the theory of probability Ark. Mat. Astr. och FYs., 1942, 28A, 19
"Паулаускас В. Об одном усилении теоремы Ляпунова. Лит ыатем сб , 1969, 9, 323-328
lbZolotarev V. M. Exactness of an approximation in the centrai limit theorem. Proc. Second Japan-USSR Symp Probab. Theory, Led. Notes Math., 1968, 330, 531-543
17Ульянов В. В. К уточнению оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме. Теория вероятн. и ее примен , 1978, 23, 684-688.
причем показатель min(n/4,1) не может быть повышен.
Теперь перейдем к рассмотрению более общего случая, а именно — откажемся от условия, что слагаемые Xi,...,Xn распределены одинаково. Положим
sl = al + ... + u2n (6)
и ч ч
С В. Нагаевым и В. И. Ротарем18 была получена оценка
sup IFM(X) - Ф(®)| < с • max(^, (^V'* • L^), (8)
хея vsnJ '
обобщающая результат В. Паулаускаса (4) для случая одинаково распределенных слагаемых (заметим, что тогда L = 1 /у/п = riy/n-af). В. В. Ульянов17 улучшил эту оценку показав, что
sup IFMOc) - ф(х)| < с. maxfЩ, 1/2 ^ • L^ W'A (9)
хеЯ ^S^S /
(10)
<n°k J
zsR
4= ,
тах1<^<п Поскольку ? > 1, то всегда
1/2 ■ (1 - 2~я) > 1/4.
Однако, если Х1,...,Хп имеют одинаковое распределение, то ? = п и (9) примет вид
ген л/п /
показатель псевдомомента в которой 1/2 • (1 — 2~п) не является оптимальным при п > 2 в силу (5). Добавим также, что В. В. Ульяновым19 было объявлено следующее улучшение (9):
вир^Н^-Ф^^с-шах^,^)^),
хеК ^ '
18Нагаев С. В., Ротарь В. И. Об усилении оценок типа Ляпунова (случай близости распределений слагаемых к нормальному). Тэория вероятн. и ее примен., 1973, 18,109-121.
"Ульянов В В Оценки скорости сходимости по вариации в центральной предельной теореме для 1Шпораспределенных слагаемых Теория вероятн. и ее примен , 1979, 24, 662-603
очевидно обобщающее результат (5).
Теперь перейдем к многомерному случаю (d > 1) и для начала предположим, что Xi,..., Хп имеют одинаковое распределение. Первая неклассическая оценка скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме была получена В. Паулаускасом в 20, где оценивалось максимальное отклонение распределения от стандартного нормального распределения N на классе ¿-мерных интервалов. В данной работе нас будут интересовать оценки близости Q^ и N на более широком классе С выпуклых борелевских подмножеств Rd. В. Паулаускасом21 было показано, что
sup\QW(A) - < ■ maxfo^/4). (11)
4еС Vn
Очевидно, (11) обобщает результат (4) того же автора. Позднее В. В. Сазонов22 улучшил показатель псевдомомента 1/4 в (11), получив оценку
sup|QH(A) - ЩА)\ < C^.mex(v3,bü3fd+3)).
AeC Vn
c(d)
j |ЦГ ЛЛ, - ivv^l i
В. В.Ульянову17 удалось далее повысить этот показатель. Он доказал, что
sup IQN(A) - N(,4)1 < С-Щ • тах^д,^), (12)
лес у/п
с оптимальным показателем
nd
Очевидно, результат В.В.Ульянова (5) для d = 1 вытекает из (12).
Первая неклассическая оценка близости распределений QМ и N в общем случае независимых, но необязательно одинаково распределенных случайных векторов в Rd была получена В Паулаускасом21 , который показал, что
/i(n,d) = min(l,^). (13)
sup
\QM(A) - N(A)| < c(d) • (■(14)
лес \п^Т1/
Если Xi,..., Хп распределены одинаково, то оценка (14) примет вид
sup |QW(A) - N(j4)| < ^ • (15)
!0Паулаускас В. Об оценке скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме I. Лит. матем. сб., 1969, 9, 329-343.
21Паулаускас В Об оценке скорости сходимости в многомерней центральной предельной теореме. II. Лит. матем. сб , 1969, 9, 791-815.
22Sazonov V. V. On a bound for the rate of convergence in the multidimensional central limit theorem Proc, 6th Berkeley Symp. Math. Statist. Prob., 1972, II, 563-581.
Как следует из (12), порядок убывания по п в (15) не является правильным. Кроме этого, показатель псевдомомента 1/4 меньше оптимального при п > 1, см. (13).
Первый результат для общего случая с правильным порядком сходимости 1 /\/п в частном случае одинаково распределенных слагаемым был получен В. И. Ротарем23,24. Введем величины
где в € К** и к = 1,...,п. Положим
ЭД + ...+ВД
т =
(ад + ...+i»/2'
L = sup Ln(6), q=l/L2n. |в|-1
Для 6 € (0,1) и х > 0 определим функцию
|х • 5/64]
Ых) =
3[® ■ <5/64J +2d + 8'
Оценка, полученная В. И. Ротарем, может быть сформулирована в следующем виде: для любого 5 6 (0,1) существует положительная постоянная с(6, (Г) такая, что если
<1 + 5
Ч >
то
sup |№) - ЩА)\ < с(5| d) . шах (Л=, ф™ . L^®) . (16)
В первой главе диссертации мы получаем неклассическую оценку величины
svl-p\QW(A) -ЩА)\ лес
с асимптотически наилучшим на настоящий момент показателем суммы псевдомоментов. Пусть
4 = tr Cov(£-1A"fc),
23Ротарь В. И Неклассические оценка скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме. I. Теория вероятн. и ее примен., 1977, 22, 774-790
г4Ротарь В. И. Неклассические оценки скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме. II. Теория вероятн и ее примен , 1978, 23, 55-66.
а величины L и q в многомерном случае определяются формулами (7) и (10) с заменой ..., а\ соответственно на sf,... (заметим, что в\ — <т|,
к = 1,... ,п, при d = 1). Для х > 0 положим
-— __ ^
3 12-21АГ
В разделе 1.1 формулируется следующая теорема.
Теорема 1.1. Существует положительная постоянная М такая, что
sup - N(>1)1 < М ■ d* ■ max ((■ L)1"*^ . (17)
АеС \п^/п \пу/п/ )
В разделе 1.2 приводится сравнение оценки (17) с результатом (16). Утверждение 1.1. Имеем
L<L< d3/2 • L.
Кроме этого,
1/3 - Ыя) > ^^г- •2[ч/т ■ (!/з - х(я)),
если q> 128(d + 4)/<5 и
Ыя) < х{я),
если q< 128(d + 4)/¿.
Из утверждения 1.1 следует, что показатель суммы псевдомоментов х(я) при q —> оо сходится к 1/3 гораздо быстрее, чем показатель х(ч)> а именно — разность (1/3 — х{я)) экспоненциально больше при q —> оо, чем разность
(1/3 -*(?)).
В разделе 1.3 приведено доказательство теоремы 1.1. В частности, сформулированы и доказаны следующие леммы.
Будем предполагать, что q > 2d. Пусть е е (0,1), А € С, а функция ipe¡A : —► R удовлетворяет условиям:
1)0 < ¥>е,д < 1, Рс,а(х) = 1 для X е А и ipeAx) = 0 для х Ае25;
2) для всех х,у € Md
3) iр£,а(х) = "ф(р(х, А)/е), где ф : R —> М. - неотрицательная невозрастающая непрерывно дифференцируемая функция такая, что
J W{t)\dt = 1.
R
Пусть d-мерные случайные векторы Y\,...,Yn имеют нормальные распределения с нулевыми средними и ковариационными матрицами Е2,..., Е2, а случайная величина а равномерно распределена на [0,7г/2]. Предположим, что Xi,..., Хп, ... ,Yn,a — независимы. Пусть
II = I[0,arcsin£)(a)26, h = I[arcsine,7r/2](a0-
Для к — 1,..., п положим
Нк = cosa • У^ Хк + sin а • У^ Yk,
гфк
C¡ = C ov(£»,
%фк
а также
= EIi / + ^cosa + yfcsina)(-2;sinQ + Yk eos a)(Qk - NSj¡)(dz),
feAk = ei2 / + ¿cosa + Yk sin a)(-z sin a + yícosQ:)(QA - NS2)(dz),
Ú?A,k = ei2 j v'tATk + ^ eos a + y¡isina)(—zsina + Ykcosa)(Qk - NS2)(dz),
Rá
где Tfc — случайный вектор, имеющий нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей С| и независимый с вектором (Х\, ...,
Xn,Yu Yn, Y¿, а). Лемма 1.1. _
Лемма 1.2.
+ мА ■ (4= + (4=f (,H(,¡i ■ i)!-«'>) V
\Пу/П \risJnJ 1)
Лемма 1.3.
l^Ak-^Akl < + §.
I £,A,S EfAyK £ Vn^/ñ ny/ñJ\n-y/ñ \ny/nJ ' )
J01,4(1) = 1, если x 6 А и 1д(г) = 0, если х £ А.
Глава 2 посвящена получению неклассической оценки точности аппроксимации функции F^ коротким асимптотическим разложением Эджворта. В этой главе рассматривается случай d = 1. Помимо условий (1) и (2),
накладываемых на последовательность Х\.....Х„, здесь мы дополнительно
предполагаем, что
0з = 03,1 + • • • + 03,к < 00.
Пусть
_ EXf + ■ ■ ■ + EX3
Тп~ ?
п
(напомним, что s2 определяется равенством (6)). Обозначим через G'"' короткое асимптотическое разложение Эджворта функции F'"!,
вЩх) = Ф(х) + • (1 - х2) ■ е-**'2. 6л/2тг
Пусть fk обозначает характеристическую функцию s^1 • Х^,
$к = sup |/fc(i)|
|t|>4/(36A)
oj + ... + о*
В разделе 2.1 формулируется следующий результат.
Теорема 2.1. Существует положительная постоянная М такая, что
sup 1*0,-GWW| < *• (m«(|,(i|)». rf) + (I,(§)«
В случае, когда рассматриваемые случайные величины распределены одинаково, имеем i>4 = n- v^i, s„ = п- а2, К = 1/п, 0з = п • 0z,i, i?i = ... = i?„ и теорема 2.1 примет следующий вид
Следствие 2.1. Найдется положительная постоянная М такая, что если Xi,...,Xn имеют одинаковое распределение, то
sup FM(x) - Ф(*) - з ■ (1 - z2) •
zgR 6v27rn • of
< M ■ I - ■ max
Заметим, что если характеристические функции слагаемых удовлетворяют так называемому условию Крамера,
ИтБир |/1 (£)| < 1, (19)
.00
и
/?4,1 < оо
(из последнего условия следует также и конечность 1/4,1, поскольку всегда ^4,1 < 4 • А,1), то оценка (18) имеет правильный порядок сходимости, 1/п, а множитель при главном члене убывания,
тах
ТО)')-
определяется лишь нормированным четвертым псевдомоментом Х\.
Доказательство теоремы 2.1 приводится в разделе 2.2. В частности, в этом разделе формулируются и доказываются следующие леммы.
Будем предполагать, что д > 3 (напомним, что д определяется формулой (10)). Пусть
, = | (20)
/и д обозначают преобразования Фурье-Стилтьеса функций и соответственно и положим
т _ [ I№-д®\ _ Г\т\ _ [№\
11 - 1 —щ—л> /з_./тл
(-7/36,7/36) О И
с В = (~74/36, -7/З6) и (7/36,74/36). Лемма 2.1. Имеем
п
/2 < 6тах(0,1п7) • 73 < с • е~< (й)2.
к=1
Введем случайные величины У/с и У^, имеющие нормальные распределения с нулевыми средними и дисперсиями <г2, к — 1 ,...,п, а также случайные величины ах и а?, равномерно распределенные на [0, тг/2]. Предположим, что Хх,... ,Х„,У1,... ,УП,У1,... 0*1,0:2 — независимы. Для е {1,..., п} положим
я
к=1 кф1
и определим Z, Z(j и Z, Zg, Zgj аналогичным образом, заменяя X)¡ на Yk и Хк на Y к, соответственно. Для функции <р : R —> С, имеющей непрерывную вторую производную, положим
AiÁV) = —~~ ' ^'(s^1^ cos ai + Zg sin a¡i + Xg cos аг + Yg sin ai)) Sn
x (—Xgsin o¡i -{- Yg eos o¡i), ¿j{<p) - -7 ' ^V'[s~l(Sij eos Q'2 eos o¡i + Zgt} sin a2 eos ai + Zg sin a.\
sn
+ Xg eos ai + Yi sin ai + X2 eos eos ai + Y} sin a2 eos ai)) x {—Xg sin ai + Ye eos ai) • {-Xj sin a2 + Yj eos «2) ■ eos ai,
где e {l,...,n}.
Лемма 2.2. Пусть ipt{x) — eüx, где t, x £ R Тогда
/i<c(E / I AM-^-atf-e-^
(-7/36,7/36)
т di
^'(-7/36,7/36)
Лемма 2.3. Для всех t € R имеем
<c V4,e + ¿V^l + ¿4 -4
SÍ
Лемма 2.4. Если t € (-7/36,7/36), то
(уз,е + • Qt) • {уз,j + У2,з • о^) ,6 -
В главе 3 мы получаем неклассические оценки точности приближения функции асимптотическими разложениями Бергстрема.
Как и в главе 2, здесь мы рассматриваем случай ¿= 1. Будем предполагать, что для некоторого целого я > 3
Д, < оо.
Для р,г е N ч ¿л е № положим
£\ = ¿1! • • -¿р\,
и определим множества
Срл = {£ € № : 1и... ,ер > 3, |1| = 2р + г} , Л4Р = Ц е № : 1 < л < ... < зР < п}.
В дальнейшем мы будем предполагать, что
п > е.
Рассмотрим п независимых случайных величин ... ,Уп, имеющих нормальные распределения с нулевыми средними и дисперсиями ..., а\ соответственно. Для j 6 Мр и £ 6 обозначим
И
= (ЕХ£ - ЕУ£) • • ■ (ЕЛ£ - вф.
Наконец, для т = 1,..., в — 2 определим функции
°п Р=1 ¿е£„,т земр
и обозначим через Нп ' асимптотическое разложение Бергстрема длины (в — 2) функции РИ,
771=1
Пусть
С7?+ ... + а?
max -5-kü,
/it - характеристическая функция s~l • Хк и
0к = ■ sup \fk{t)\. \t\>S4/(4h)
В разделе 3.1 формулируется следующая оценка.
Теорема 3.1. Существует положительная постоянная c(s) такая, что
sup xeR
вир
В случае одинаково распределенных слагаемых и8+\ = п-1/8+1,1, я2 = п-ст2, /Зз = п ■ /?зд, в\ = ... = 0П, а 5 > 1/й. Поэтому имеет место следующее утверждение.
Следствие 3.1. Существует положительная постоянная с(й) такая, что если случайные величины Хх,...,Хп распределены одинаково, то
- я«м| < . ^ + £. (1 + .
+ (21)
Если характеристические функции слагаемых удовлетворяют условию Крамера (19) и
Д+1,1 < оо
(откуда 1/5+1,1 < оо), то оценка (21) имеет правильный порядок сходимости,
1/п * ,
а множитель при главном члене убывания есть нормированный псевдомомент Х\ порядка в + 1.
Раздел 3.2 посвящен доказательству теоремы 3.1. В частности, в нем сформулированы и доказаны две следующие леммы.
Пусть 7 определяется формулой (20), /, д, 51,... ,дв-2 обозначают преобразования Фурье-Стилтьеса функций ^^, Ф, Ах,..., А3~ 2 соответственно и положим
т-эЮ-Г-^дтЮ 1,
1*1
(-¿7/4,157
2 ~УТ ' 3 ~У Й '
б б где в = (-¿78/4, -¿7/4) и (¿7/4,5т74). Лемма 3.1. Справедливы оценки
п
гМ
/Г)<2(в-1).тах(0)1п7).ПАЛ1
к=1
^тах(3,3(з-2)/2)
Лемма 3.2. Имеем
/М < СЫ . 1 . ^£±1 ¿з(«—1)/2
В приложении приведены вспомогательные результаты, полученные другими авторами, которые использовались для доказательства теорем 1.1, 2.1 и 3 1.
Автор выражает благодарность своему научному руководителю В.В. Ульянову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.
3. Список публикаций автора по теме диссертации.
[1] Ярославцева Л. С. О неклассической оценке скорости сходимости в центральной предельной теореме в К1. Материалы Международной конференции "Ломоносов-2005", секция "Вычислительная математика и кибернетика", с. 79-80.
[2] Yaroslavtseva L. S. Non-classical bounds in the central limit theorem in Rd. Otto-von-Guericke University Magdeburg, Germany, 2005, preprint 05-15.
[3] Ярославцева Л. С. О неклассической оценке скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме. Обозрение прикладной и промышленной математики, 2005, т. 12, вып. 1, с. 206.
[4] Ярославцева Л. С. Неклассическая оценка скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме. Вестник Московского университета. Серия 15 Вычислительная математика и кибернетика, 2006, № 2, с. 25-31.
[5] Ярославцева Л. С. Неклассические оценки точности приближения асимптотическими разложениями в центральной предельной теореме в R1. Сборник тезисов XV Международной конференции "Ломоносов-2008", секция "Вычислительная математика и кибернетика", с. 94-95.
[6] Ярославцева Л. С. Неклассические оценки точности приближения асимптотическими разложениями в центральной предельной теореме. Теория вероятностей и ее применения, 2008, т. 53, вып. 2, с. 390-393.
Напечатано с готового оригинал-макета
Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 11.11.2008 г. Формат 60x90 1/16. Уел печ.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 654. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.
Классическая центральная предельная теорема - один из фундаментальных результатов теории вероятностен, устанавливающий равномерную сходимость функции распределения нормированной суммы независимых одинаково распределенных невырожденных случайных величин, имеющих конечные дисперсии, к функции распределения стандартного нормального закона. Если первая версия центральной предельной теоремы была доказана уже А. Муавром в 18 веке, то её систематическое изучение началось в начале прошлого века с основополагающих работ А. М. Ляпунова. Были получены различные обобщения, в частности на многомерные и бесконечномерные пространства, а также ослаблены условия независимости и одинаковой распределенности слагаемых.
Важным вопросом, представляющим не только теоретический, но и большой практический интерес, является получение оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме.
Классические оценки типа неравенства Берри-Эссеена формулируются в терминах абсолютных моментов слагаемых и, следовательно, учитывают только один из факторов, обуславливающих близость распределения нормированной суммы случайных величин и аппроксимирующего нормального распределения — большое число слагаемых п. Однако эти распределения могут быть близки и при небольших значениях п если распределения самих слагаемых близки к нормальным. Для учета не только первого, но и второго из указанных факторов в неклассических оценках вместо абсолютных моментов слагаемых используются другие их характеристики — псевдомоменты, разностные моменты, идеальные метрики.
Исследования по неклассическим оценкам начались в середине 70-х годов прошлого века с основополагающей работы В. М. Золотарева [6] и далее развивались этим автором, а также В. В. Сазоновым, В. И. Ротарем, С. В. Нагаевым, В. Паулаускасом, В. В. Ульяновым, В. В. Сенатовым и другими математиками. В некоторых задачах были получены в каком-то смысле оптимальные результаты. В то же время остались открытые проблемы. Одна из таких проблем — получение более точных оценок скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме в случае, когда слагаемые независимы, но не обязательно одинаково распределены.
Для получения приближений распределений нормированных сумм случайных величин более высокого порядка точности по п используются так называемые асимптотические разложения. Оценки точности аппроксимации асимптотическими разложениями в классическом виде так же, как и оценки точности приближения нормальным законом, формулируются в терминах абсолютных моментов слагаемых. Неклассические оценки в этой задаче до настоящего момента были получены лишь для случая одинаково распределенных случайных величин в работе А. Миталаускаса и В. Статулевичиуса [8].
Настоящая работа посвящена уточнению и получению новых неклассических оценок.
Во введении содержится обоснование актуальности темы диссертации и исторический обзор, связанный с темой работы. Кроме этого, в нем формулируются и обсуждаются результаты, полученные в работе.
В главе 1 мы получаем неклассическую оценку скорости сходимости в центральной предельной теореме в Rd с асимптотически наилучшим на настоящий момент показателем суммы псевдомомептов в общем случае независимых, но необязательно одинаково распределенных слагаемых.
Главы 2 и 3 посвящены оценкам точности аппроксимации функции распределения нормированной суммы случайных величин асимптотиче-сикими разложениями в К1. В главе 2 впервые получена неклассическая оценка точности аппроксимации коротким асимптотическим разложением Эджворта для случая независимых слагаемых, имеющих конечные абсолютные моменты 3-го порядка. В главе 3 получены первые оценки в терминах псевдомоментов точности приближения асимптотическими разложениями Бергстрема длины до (s-2) включительно когда рассматриваемые слагаемые независимы, но не обязательно одинаково распределены и имеют конечные абсолютные моменты порядка s.
1 Неклассические оценки скорости сходимости в ЦПТ в Rd 22
1.1 Формулировка результатов.23
1.2 Обсуждение.24
1.3 Доказательство.27
2 Неклассические оценки точности аппроксимации короткими асимптотическими разложениями Эджворта в К1 56
2.1 Формулировка результатов.57
2.2 Доказательство.58
3 Неклассические оценки точности аппроксимации асимптотическими разложениями Бергстрема в R1 76
3.1 Формулировка результатов.78
3.2 Доказательство.79
А Вспомогательные леммы 93
Литература 96
Обозначения
Для х, у € ж| — евклидова норма х, (х, у) — скалярное произведение х и у.
Для V = (%) G Rdxd V | — определитель V, tr V — след V, У|| — максимальное собственное значение V, \VlJ | — алгебраическое дополнение к элементу г^.
Id ~ единичная матрица размера d х d Для А С Md, х е и е > О ж,Л) = ini[\х-у\, уйА
А£ = {х € : р(яг, Л) < е}, Ве(х) = {*}', А'£ = {х е А : Ве{х) С А}.
Для функции / : —► Ж, имеющей непрерывную производную порядка к, х е Md и h е Шк д (Е т= 1
Для неотрицательно определенной симметрической матрицы V £ Rdxd Nv, Фу и т/у — нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей V, соответствующая ему функция распределения и плотность. Кроме этого, будем использовать обозначения N, Ф и rj для N/d, Ф/[( и ijid соответственно, если размерность d понятна из контекста.
Цх* ~ свертка двух конечных обобщенных мер //А и на W.d. fx - характеристическая функция случайного вектора X.
X = Y означает, что случайные векторы X и Y имеют одинаковое р аспредел ение. с, с, (г € N) — положительные постоянные. Через с(.), будем обозначать величины, зависящие лишь от аргументов, указанных в скобках. Значения постоянных с, с(.) в разных местах могут быть различны.
Введение
Рассмотрим последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин . . ,Хп с общей функцией распределения F\ таких, что
EXi = О и а\ = EXl е (О, оо) здесь и далее мы используем в обозначениях в одинаково распределенном случае нижний индекс i, чтобы сохранить общность с обозначениями в общем случае). Обозначим через
F[n] функцию распределения нормированной суммы Xi,., Хп,
FW(x) = • (л)"1 • (Хг + . + Хп) < ж).
Тогда, в соответствии с центральной предельной теоремой, для всех х € Ш. имеет место сходимость
FM(x) —► Ф(ж). (1) п—>оо
Первая оценка скорости этой сходимости принадлежит А. М. Ляпунову [59], [60], показавшему, что
Ф ад, <c.i*S.W zeR Vn а\
Г. Крамеру [49] удалось убрать логарифмический множитель при дополнительном предположении, что характеристические функции слагаемых удовлетворяют так называемому условию Крамера, limsup |/i(i)| < 1, (С)
ItHoo исключающему, например, дискретные распределения. Наилучший результат был независимо получен Э. Берри [43] и К.-Г. Эссееном [52], которые избавились от последнего предположения. Знаменитое неравенство Берри-Эссеена имеет вид sup Ф(Х)| < -JL . Щ1у (2) жек Vn ai где порядок сходимости у/п не может быть далее улучшен без дополнительных предположений. Это демонстрирует следующий пример. Пример 1. Пусть п б 2N. Рассмотрим независимые одинаково распределенные случайные величины ., Хп такие, что
Р(Хг = 1) = Р(Х, = -1) = 1/2.
Тогда EXi = 0, а\ = 1, а - дискретная функция распределения со скачком в точке 0, равным р("£хк = о) =
4fc=1 J п \ JL п/2у 2"'
Используя формулу Стирлинга, получим
Н(0)ф(0)| > п
Кп/2 J 2"+! vW откуда следует, что в окрестности точки 0 функцию нельзя аппроксимировать никакой непрерывной функцией с точностью, превышающей
Обобщения неравенства Берри-Эссеена на многомерный случай, на случай независимых, но не обязательно одинаково распределенных слагаемых, а также аналогичные оценки при более слабых моментных условиях (когда абсолютный третий момент не существует, но существует абсолютный момент меньшего порядка) были получены, в частности, К.-Г. Эссееном [53], X. Бергстремом [39], [40], [42], М. Кацем [56], В.В.Сазоновым [65], В. И. Ротарем [18] и А. Бикялисом [4]. См. также обзоры в [54], [16] и [25]. Поскольку всегда
E|Xi|3 1, то правая часть (2) может быть мала лишь за счет п. Это означает, что неравенство Берри-Эссеена учитывает только один фактор, обуславливающий близость функций и Ф - большое число слагаемых п. Однако уже П. Леви [58] было замечено, что sup |F[nlO) - Ф(ж)| < п ■ sup \Fi(x) - Ф(Т2(ж)|, xSR жек откуда следует, что функции F^ и Ф могут быть близки и при небольших 7?, если распределение самих слагаемых близко к нормальному. В частности, если случайные величины Х\,., Хп нормально распределены, то = Фи левая часто неравенства (2) равна нулю для всех п > 1, в то время как правая часть лишь убывает к нулю как с/у/п.
Оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме, принимающие во внимание не только первый, но и второй из указанных факторов, называются неклассическими. Первая такая оценка была получена В. М. Золотаревым [6], где для учета близости функций F\ и Фа2 он использовал абсолютный третий псевдомомент,
3,1 = J M3|Fi -Ф^ки-с). (3) R вместо абсолютного третьего момента Х\. Результат В.М.Золотарева имел следующий вид: s|fW(x)-4(1)1 (4)
Заметим, что в случае нормального распределения слагаемых z/3)1 = 0, и, следовательно, правая часть неравенства (4) также равна нулю. Кроме этого, важно отметить, что всегда зд < 3 - Ej^xl3.
Порядок сходимости 771/8 в оценке (4) не является оптимальным. Первая неклассическая оценка с правильным порядком сходимости была получена В. Паулаускасом [12]. Он показал, что sup j- Ф(Ж)| < ° • max ted (^)1/4) . (5) жбК Vn V а1 V ' /
Если ^зд/о-! < 1, то правая часть (5) примет вид с/у/п • (изд/сг^)1/4. Поскольку этот случай представляет из себя наибольший интерес, то естественно поставить вопрос о том, можно ли повысить показатель 1/4. Следующий пример, построенный В.М.Золотаревым [70], показывает, что при п = 1 этого сделать нельзя.
Пример 2. Пусть е > 0. Рассмотрим случайную величину Х\ с функцией распределения F\, определенной следующим образом ад =
1/2, if 0 < х < ае, Ф(е), if ае < х < е, Ф(х), if х > е, и Fi(x) = 1 — Fi(—х) для х < 0. Здесь a G (0,1) - единственное решение уравнения
2.
ЧФ(х) = (ае)2 ■ J <*Ф(ж).
J1 о о
Заметим, что при таком определении а
Тогда для е < 1 получим sup - Ф(аО| > = as) = \ [ d<$>(x) > с, ■ е, хек ^ * J о в то время как £ 1/3,1 = (ае)3 • 2 J <1Ф(х) + 2 J х3йФ{х) < с2 • е4. о о
Следовательно, sup | Fx (ж) - Ф(.т)| > 4т? •
Однако, показатель псевдомомента в оценке (5) может быть существенно повышен при п > 1. В. В. Ульяновым [28] было показано, что sup |FHW - ФМ1 < « . max (Ъ . (6) хек Vn \ а\ 4 ai ' J
Следующий пример, обобщающий пример 2, демонстрирует, что показатель min(n/4,1) в (6) неулучшаем при п < 4.
Пример 3. Рассмотрим независимые случайные величины Ху,.:., Хп, имеющие общую функцию распределения Fx из примера 2. Тогда для е < 1 sup|Flnl(.r) - Ф(ж)| > |FW(aeVn) - Ф(аеу/п)\ >i(P(X1 = as))" ci-е)" cl • Ы/с2)п/\ где ci и С'2 - постоянные из примера 2.
Теперь перейдем к рассмотрению более общего случая, а именно - откажемся от условия, что слагаемые Х\,., Хп распределены одинаково. Обозначим через Fk функцию распределения Хк и предположим, что а2к = ЕХ1<оо, к = 1,. ,п и si = at + . . + а2п > 0.
Как и ранее, пусть F^ обозначает функцию распределения нормированной суммы случайных величин Х\,., Хп, х) = Р {s~l ■(Х1 + . + Хп)<х).
Для к — 1,., п введем 3-й псевдомомент Хк, J \x\3\Fk-<bal\(dx), и положим
V\\ = к=1 а! + . + а3п
С. В. Нагаевым и В. И. Ротарем [9] была получена оценка sup ^N(3) ф(х)\ < с . тах (ъ, . Ь3А , (8) x6R \sn ysn/ J обобщающая результат В. Паулаускаса (5) для одинаково распределенного случая (заметим, что тогда L = 1/у/п = пу/п • erf). В. В. Ульянов [28] позднее улучшил эту оценку. Он показал, что вчр^Нф - Ф(а:)| < с - max (Ц, ^V^1'2^ . jrx/a-a+a—Л , (9) хбМ \sn ^Sn' ) где
Q =
7? + . + а2п maxi<fc<„
10)
Поскольку q > 1, то всегда
1/2- (1 - 2~q) > 1/4.
Однако, если Хг,., Хп имеют одинаковое распределение, то q = п и из (9) получим оценку xeR Vn \al х<71/ J которая не является оптимальной при п > 2 в силу (6). Добавим также, что В. В. Ульяновым [29] было объявлено следующее улучшение (9) 1>-А /Ы'Л\ min(g/4,l) г 1"'{Х) — ь с • max [ жбК sup\FM(x) - Ф(х-)| < с • шах ( % (Щ) tpr \ si \ si / очевидно обобщающее результат (6).
Теперь перейдем к многомерному случаю. Пусть d б N и для начала рассмотрим последовательность независимых одинаково распределенных случайных векторов ., Хп со значениями в JR.'1 с общим распределением Qi таких, что
EXi = 0 и
Щ = Cov(Xi) > 0. Введем 3-й псевдомомент вектора E^Xi,
Рз,1 = J(И) и обозначим через Q^ распределение нормированной суммы случайных векторов ., Хп, т.е.
• Sx)-1 • (Xi + . + Xn) e A) для борелевских А С Md.
Первая неклассическая оценка скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме была получена В. Паулаускасом в [13], где оценивалось максимальное отклонение распределения Q^ от стандартного нормального распределения N на классе d-мерных интервалов. В данной работе нас будут интересовать оценки близости и N на классе С выпуклых борелевских подмножеств В. Паулаускасом [14] было показано, что sup|QW(A)-N(^)| <^-тах(27з)Ь^/4). (12) лес л/п
Очевидно, (12) обобщает результат (5) того же автора. Позднее В. В. Сазонов [66] улучшил показатель псевдомомента 1/4 в (12), иолучив оценку sup \QM(A) - N(>4)1 < ^ • max(F3li,^(^3)).
АеС у/п
В. В. Ульянову [28] удалось далее повысить этот показатель. Он доказал, что sup IQM(A) - N(>1)| < ^ ■ max(v3)l,(13) лес Vn где к{п, d) = min (l, ^з) • (14)
Очевидно, результат В. В. Ульянова (б) для d = 1 вытекает из (13). Кроме этого, заметим, что tc(n, d) = 1 при п > 4.
Следующее многомерное обобщение примера 3 демонстрирует оптимальность показателя K,{n,d) при nd/(d + 3) < 1 (см. также [67]). Пример 4. Пусть е > 0 и положим
В = {ж е Rd : \х\ < е}.
Рассмотрим последовательность независимых случайных векторов Х\, ., Хп с общим распределением Qi, где d
Qi(A) = N (А П Вс) + — ЩВ) ■ 53(1А(ае • е5) + 1А(-ае ■ е,)) з=1 для любого борелевского А € Здесь ел,. ,с({ - единичные векторы в а а Е (0,1) - решение уравнения
У |z|2N(cto) = (ас)2 -N(5). в
Очевидно,
EXi = 0 и = J х ■ xTQ1(dx) = Id.
M.d
Предположим, что е < 1. Тогда sup IQ™(A) - N(j4)| > i • • ae • ег})
-(Qi({ae-ei}))n \ ■ (N(B)/(2d)r Ci(d, n) ■ £
Aec nd,
I/3,i = (ae)3 • N(B) + J |z|3N(tb) < e3 • 2N(S) < c2(d, n) d+3.
Следовательно, sup\QM(A) - N(4)| > Cl(d, n) ■ (РглЫа, лес
Наконец, перейдем к наиболее общему случаю и рассмотрим последовательность независимых случайных векторов Xi,., Хп со значениями в Ш.'1 таких, что
EXfc = 0, Е|Х*|а<оо, к = 1,.,п.
Обозначим через Qk распределение Х^ и положим
ЕI = Cov(Xfc).
Предположим, что ntl и обозначим через Q^ распределение нормированной суммы ., Хп,
QW{A) = P((v^ • Е)-1 • (X! + . + хп) € А) для любого борелевского А С Кроме этого, положим lE-^IQfc-N^Kcfe) (15) и определим 1/3 как сумму псевдомоментов 7/зд,. , 1?з)П.
Первая неклассическая оценка близости распределений Q^ и /V в рассматриваемом общем случае была получена В. Паулаускасом [14], который показал, что suP|QH(^) -ЩА)\ < c(d) ■ 4. (16) лес \n^nJ
Если слагаемые ., Хп распределены одинаково, то оценка примет вид sup\Q[n]{A) - N(A)| < ^ • (IT) лес п1'*
Как следует из (13), порядок убывания п-1/8 не является правильным.
Кроме этого, показатель псевдомомента 1/4 меньше оптимального для п > 1, см. (14).
Первый результат для общего случая с правильным порядком сходимости 1/л/п, в частном случае одинаково распределенных слагаемым был получен В. И. Ротарем [19], [20]. Фактически, объединенная с результатом В. Паулаускаса (16) оценка В. И. Ротаря может быть записана в следующем виде sup IQM(A) - N(A)| < C(d) ■ max V® . £1-5:(5Л . (18)
AeC \п\/п \пл/пУ J
Мы не приводим здесь определений величин х, q и L (см. раздел 1.2). Отметим лишь, что всегда х(я) Е [1/4,1/3) и L € [1/у^ 1]
Во второй главе настоящей работы мы получаем оценку с асимптотически наилучшим на настоящий момент показателем суммы псевдомоментов, см. теорему 1.1 и [32]. А именно, мы показываем, что sup |<2["](Л) - N(,l)| < c(d) ■ max (^Ох(<г) . Ь1-х(я)\ (19) лес \ns/n \пу/п/ ) с L и q определенными соответственно формулами (7) и (10), в которых of, ., заменены на sf,. ,s2n с s| = trCov(E1X*.), и \~ 1
3 12 • 2 LsaJ '
Мы доказываем, что
1/з~Ш>12^+ДГ'М%/з-х(,)) (20) для достаточно больших q, откуда следует, что разность 1/3 — х(я) экспоненциально больше при g —» оо, чем разность 1/3 — x(l)
Результаты В. В. Ульянова для одномерных слагаемых (9) и для многомерных одинаково распределенных (13) указывают на то, что показатель суммы псевдомоментов х{я) не является оптимальным в общем случае. Мы предполагаем, что оценка (18) имеет место с показателем
X\q) € [1/4,1], причем х*(о) — 1 Для достаточно больших значений q.
В заключение введения ко второй главе отметим, что для учета близости распределений слагаемых к нормальным распределениям в неклассических оценках наряду с псевдомоментами используются и другие характеристики - например, разностные моменты и идеальные метрики (см. напр. [70], [22], [28] или, подробнее, [69]). Кроме этого, неклассические оценки рассматривались и в более общих пространствах, в частности в работах В.М.Золотарева [7], В.Паулаускаса [15] и В.В.Сенатова [22] -[25].
Как уже отмечалось в начале этой главы, оценка (2) асимптотически неулучшаема. Однако, в частных случаях возможен более быстрый порядок сходимости, чем п-1/2. Для более точной аппроксимации функции рЫ строятся ее асимптотические разложения по степеням гГх1~.
Рассмотрим разложения Эджворта, которые берут свое начало уже с работ П. JI. Чебышева [48] и Ф. И. Эджворта [51].
Пусть Х\., Хп - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с общей функцией распределения Fi, имеющих моменты любого порядка и таких, что
ЕХ\ = О и aj = EXf > 0.
Обозначим через fi характеристическую функцию случайной величины Х\ и для reN определим ее кумулянт порядка г,
1 dr , „ ,ft. где под log здесь и далее понимается главное значение логарифма. В частности,
7i,x = 0, 72,1 = а2, 7зд = ЕХг3, 74,1 = ЕХ* - За4.
Формальное разложение логарифма характеристической функции нормированной суммы (л/п • cti)-1^! + . -г Хп) приводит к следующему формальному разложению соответствующей ей функции распределения и)
Г=1
Здесь Pr — полином степени 3г с коэффициентами, зависящими от 73>1) ., 7г+2,1 i а показатели функции Ф интерпретируются как ее производные. К примеру,
Р:(-Ф(®)) =
7з, 1 " Ф(3)Н
Заметим, что равенства = . = ог+2 = 0 влекут за собой Рг = 0.
Первый результат, устанавливающий сходимость разложения (21), был получен Г.Крамером [49]. Пусть к > 3, Предположим, что E|Xi|fc < оо, а характеристическая функция /i удовлетворяет условию (С). Тогда sup ceR
Г=1 c(FbA;)-n-^-2)/2 (22)
К.-Г. Эссеен [53] уточнил (22), показав, что lim n(fc 2)/2 • sup 00 3,eR
ФИ r=l 0
23) в сделанных выше предположениях.
Оценки точности аппроксимации функции F^ асимптотическими разложениями в классическом случае формулируются в терминах абсолютных моментов слагаемых. Приведем, к примеру, следующий результат Л. В. Осипова [11]. Пусть к > 3 и EpTxl* < оо. Тогда sup ieR fc-2
F[n](x) - Ф(ж) - ]Г
-Ф(х)) r=l П
72 (24) a^1 где Sn = Sn(k, F\) сходится к нулю экспоненциально быстро, если для характеристических функций слагаемых выполнено условие Крамера (С). Близость функции FH и ее асимптотических разложений в оценке (24) обеспечивается только лишь за счет большого числа слагаемых п. Однако, эти функции могут быть близки и при небольших значениях п, если распределение слагаемых близко к нормальном}'. В частном случае нормально распределенных Х\,., Хп все кумулянты порядка г > 3 равны нулю, и, следовательно, левая часть оценки (24) также равна нулю. Правая же часть (24) лишь сходится к нулю как . Для учета второго фактора в задаче аппроксимации асимптотическими разложениями так же, как и в задаче приближения нормальным распределением, могут рассматриваться неклассические оценки.
Во второй главе мы получаем оценку в терминах псевдомоментов для так называемых коротких (при г = 1) асимптотических разложений Эджворта. Мы показываем, что если E|Xi|3 < оо, то
F™{x) - Ф(ж) - Рх(—Ф(ж))/л/п\ < К1/п + к2/п2 + 6п, (25) где 1 кг = щ + г/42,
2 определяется величинами oi, и<±д и E|Xi|3, а 5п = Sn(Fi) убывает к нулю экспоненциально быстро, если характеристические функции слагаемых удовлетворяют условию Крамера. Приведенная оценка сформулирована в следствии 2.1. В теореме же 2.1 мы получаем более общую оценку - для случая независимых, но необязательно одинаково распределенных слагаемых.
В третьей главе мы рассматриваем асимптотические разложения Берг-стрема и получаем неклассические оценки точности аппроксимации разложениями длины s, если абсолютный момент слагаемых порядка (s — 2) конечен. Аналогично предыдущей главе, результаты данной главы относятся к общему случаю независимых слагаемых.
Отметим, что неклассические оценки точности аппроксимации асимптотическими разложениями для одинаково распределенных слагаемых были получены А. Миталаускасом и В. Статулявичусом [8]. Таким образом, оценки глав 2 и 3 являются первыми неклассическими результатами для общего случая независимых слагаемых.
Асимптотические разложения Эджворта в общем случае независимых слагаемых, а также классические оценки точности аппроксимации ими были получены в частности Г.Крамером [50], В. Статулявичусом [26], П. Сурвилой [27], В. Пипирасом и В. Статулявичусом [17]. Многомерные обобщения разложений Эджворта и соответствующие оценки см., например, в работах Р. Ранга Рао [63], [64], Б. фон Бара [33], А. Бикялиса [3] и Р.Н.Бхаттачарии [44] — [46]. Мы ссылаемся на книги В.В.Петрова [16] и Р. Н. Бхаттачарии и Р. Ранга Рао [5] за обзором и дальнейшими результатами. Добавим, что асимптотические разложения были получены и для случайных величин со значениями в более общих пространствах - см., например, работы В.Бенткуса [1], [2], В.В.Ульянова [30], С. В. Нагаева и В. II. Чеботарева [10], С. А. Богатырева, В. В. Ульянова и Ф.Гетсе [47], а также обзор в [34].
Коротко остановимся на методах доказательства. Для доказательства теорем 1.1 и 2.1 мы пользуемся представлением разности математических ожиданий E(/?(Xi + . + Хп) — Е<p{Z), где ip : —> С - достаточно гладкая функция, a Z - стандартный нормальный вектор, предложенным В.Бенткусом [35]. В главе 1 это представление используется для класса сглаженных индикаторных функций (рл выпуклых множеств А С Rd, и оно комбинируется с методом композиций, который был введен X.Бергстремом [38], [39], [40] и далее развивался В.В.Сазоновым [65], [66], В. Паулаускасом [12],[13], [14], В.В.Ульяновым [28], [68] и др. В главе 2 мы пользуемся описанным представлением для <pt(x) = eztx, t € К, а также применяем метод характеристических функций (см., например, [53], [55], [19], [20]). В главе 3 мы используем представление Бергстрема для разности сверток рассматриваемых распределений и соответствующих им нормальных распределений, и мы также комбинируем его с методом характеристических функций. Мы ссылаемся на монографию В. В. Сазонова [67] для детального описания методов композиций и характеристических функций и примеров их использования.
1. Бенткус В. (1984), Асимптотические разложения в центральной предельной теореме в гильбертовом пространстве, Лит. матем. сб., 24, 3, 29-50.
2. Бенткус В. (1984), Асимптотические разложения для сумм независимых случайных элементов пространства Гильберта, Лит. матем. сб., 24, 4, 29-48.
3. Бикялис А. (1968), Асимптотические разложения для плотностей и распределений сумм независимых одинаково распределенных случайных векторов, Лит. матем. сб., 8, 405-421.
4. Бикялис А. (1971), О центральной предельной теореме в Ш.к. I, Лит. матем. сб., 11, 27-58.
5. Бхаттачария Р. Н., Ранга Рао Р. (1982), Аппроксимация нормальным распределением и асимптотические разложения, Наука, Москва.
6. Золотарев В.М. (1965), О близости распределений двух сумм независимых случайных величин, Теория вероятн. и ее примен., 10, 519526.
7. Золотарев В. М. (1976), Аппроксимация распределений сумм независимых случайных величин со значениями в бесконечномерных пространствах, Теория вероятн. и ее примен., 21, 741-758.
8. Миталауекас А., Статулявичус В. (1976), Асимптотическое разложение в случае устойчивого аппроксимирующего закона, Лит. ма-тем. сб., 16, № 4, 149-166.
9. Нагаев С. В., Ротарь В. И. (1973), Об усилении оценок типа Ляпунова (случай близости распределений слагаемых к нормальному), Теория вероятн. и ее примен., 18, 109-121.
10. Нагаев С.В., Чеботарев В.И. (1993), О разложении Эджворта в гильбертовом пространстве, Тр. ин-та матем. СО РАН: Предельные теоремы для случайных процессов и их применения, 20, 170-203.
11. Осипов JI. В. (1967), Асимптотические разложения в центральной предельной теореме, Вестн. ЛГУ., 19, 45-62.
12. Паулаускас В. (1969), Об одном усилении теоремы Ляпунова, Лит. матем. сб., 9, 323-328.
13. Паулаускас В. (1969), Об оценке скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме. I., Лит. матем. сб., 9, 329-343.
14. Паулаускас В. (1969), Об оценке скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме. И., Лит. матем. сб., 9, 791-815.
15. Паулаускас В. (1976), О скорости сходимости в центральной предельной теореме в некоторых банаховых пространствах, Теория вероятн. и ее примен., 21, 775-791.
16. Петров В. В. (1987), Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин, Наука, Москва.
17. Пипирас В., Статулявичус В. (1968), Асимптотические разложения для сумм независимых случайных величин, Лит. матем. сб., 8, 137— 151.
18. Ротарь В. И. (1970), Неравномерная оценка скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме, Теория вероятн. и ее примен., 15, 647-665.
19. Ротарь В. И. (1977), Неклассические оценки скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме. I, Теория вероятн. и ее примен., 22 , 774-790.
20. Ротарь В. И. (1978), Неклассические оценки скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме. II, Теория вероятн. и ее примен., 23, 55-66.
21. Сазонов В. В., Ульянов В. В. (1995), Асимптотические разложения вероятности сумме независимых случайных величин попасть в шар гильбертового пространства, УМН, 50, 203-222.
22. Сенатов В. В. (1985), О зависимости оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме от ковариационного оператора слагаемых, Теория вероятн. и ее примен., 30, 354-357.
23. Сенатов В. В. (1989), Об оценке скорости сходимости в центральной предельной теореме в гильбертовом пространстве, Теория вероятн. и ее примен., 34, 412.
24. Сенатов В. В. (1992), Об оценках скорости сходимости в центральной предельной теореме в многомерных пространствах, Теория вероятн. и ее примен., 37, 759-762.
25. Сенатов В. В. (1997), Качественные эффекты в оценках скорости сходимости в центральной предельной теореме в многомерных пространствах, Тр. Мат. ин-та РАН, т. 215, 10-239.
26. СтатулявичусВ. (1965), Предельные теоремы для плотностей и асимптотические разложения для распределений сумм независимых случайных величин, Теория вероятн. и ее примен., 10, 645-659.
27. СурвилаП. (1965), Асимптотические разложения для функций распределения нормированной суммы независимых случайных величин, Лит. матем. сб., 5, № 1, 143-155.
28. Ульянов В. В. (1978), К уточнению оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме, Теория вероятн. и ее примен., 23, 684-688.
29. Ульянов В. В. (1979), Оценки скорости сходимости по вариации в центральной предельной теореме для разнораспределенных слагаемых, Теория вероятн. и ее примен., 24, 662-663.
30. Ульянов В. В. (1986), Асимптотические разложения для распределений сумм независимых случайных величин в Н, Теория вероятн. и ее примен., 31, 31-46.
31. Ярославцева Л. С. (2006), Неклассическая оценка скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме, Вестн. Моск. унив., сер. 15 Вычисл. матем. и киберн., 2, 25-31.
32. BentkusV., Gotze F., Paulauskas V., Rachkauskas A. (2000), The accuracy of Gaussian approximation in Banach spaces, in: Gamkrclidzc R. V. (ed.) et al., Limit theorems of probability theory, Springer, Berlin, 25-111.
33. Bentkus V. (2003), A new approach to approximations in probability theory and operator theory, Lithuanian Math. J., 43, 367-388.
34. Bentkus V. (2003), On the dependence of the Berry-Esseen bound on dimension, J. Stat. Plann. and Inference, 113, 385-402.
35. Bentkus V. (2005), A Lyapunov type bound in Theory Probab. Appl., 49, 311-323.
36. Bergstrom H. (1944), On the ccntral limit theorem, Scand. Aktuarietidskrift., 27, 139-153.
37. Bergstrom H. (1945), On the central limit theorem in the space Mfc, к > 1, Scand. Aktuarietidskrift., 28, 106-127.
38. Bergstrom H. (1949), On the central limit theorem in the case of not equally distributed random variables, Scand. Aktuarietidskrift., 32, 37— 62.
39. Bergstrom H. (1951), On asymptote expansions of probabilty functions, Scand. Aktuarietidskrift., 34, 1-34.
40. Bergstrom H. (1969), On the central limit theorem in Rfc. The remainder term for special Borel sets. Z. Wahrscheinlichkeitstheor. Verw. Geb., 14, 113-126.
41. Berry A. C. (1941), The accuracy of the Gaussian approximation to the sum of independent variates, Trans. Amer. Math. Soc., 49, 122-136.
42. Bhattacharya R. N. (1968), Berry-Esseen bounds for the multidimensional central limit theorem, Bull. Am. Math. Soc., 75, 285-287.
43. Bhattacharya R.N. (1971), Rates of weak convergence and asymptotic expansions for classical central limit theorems, Ann. Math. Stat., 42, 241-259.
44. Bhattacharya R.N. (1972), Recent results on refinements of the central limit theorem, Proc. 6th Berkeley Symp. Math. Statist. Prob. II: Probability theory, Univ. California Press, Berkeley, Calif., 453-484.
45. Bogatyrev S. A., Gotze F., Ulyanov V. V. (2006), Non-uniform bounds for short asymptotic expansions in the CLT for balls in a Hilbert space, J. Multivar. Anal., 97, 2041-2056.
46. Chebyshev P. L. (1890), Sur deux theoremes relatifs aux probabilites, Acta Math. 14, 305-315.
47. Cramer H. (1928), On the composition of elementary errors, Scand. Aktuarietidskrift., 11, 13-74 and 141-180.
48. Cramer H. (1937), Random variables and probability distributions, Cambridge Tracts in Mathematics, 36.
49. Edgeworth F. Y. (1905), The law of error, Cambridge Philos. Trans., 20, 36-66 and 113-141.
50. Esseen C-G. (1942), On the LiapunofT limit of error in the theory of probability, Ark. Mat. Astr. och FYs., 28A, 19.
51. Esseen C-G. (1945), Fourier analysis of distribution functions. A mathematical study of the Laplace-Gaussian law. Acta. Math., 77, 1125.
52. Hall P. (1982), Rates of convergence in the central limit theorem, Research Notes in Mathematics, 62, Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, Mass.-London.
53. Hsu P. L. (1945), The approximate distribution of the mean and variance of a sample of independent variables, Ann. Math. Stat., 16, 1-29.
54. Katz M. L. (1963), Note on the Berry-Esseen theorem, Ann. Math. Stat., 34, 1107-1108.
55. Laplace P. S. (1812), Theorie Analytique de Probabilites, 1st ed., Veuve Courcier, Paris.
56. Levy P. (1937), Theorie de I'addition des variables aleatoires, Gauthier-Villars, Paris.
57. Lyapunov A. M. (1900), Sur une proposition de la theorie des probabilities, Bull. Acad. Imp. Sci. St. Petersbourg, 13, 359-386.
58. Lyapunov A. M. (1901), Nouvelle forme du theoreme sur la limite de probability Mem. Acad. Imp. Sci. St. Petersbourg. Classe Plivs. Math., 12, 12.
59. Moivre A. (1730), Miscellana Analytica Supplementum, London.
60. Nazarov F. (2003), On the Maximal Perimeter of a Convex Set in IRn with Respect to a Gaussian Measure, Lect. Notes Math., 1807, 169-187.
61. Ranga Rao R., (1960), Some problems in probability theory, D. Phil., Thesis, Calcutta University.
62. Ranga Rao R., (1961), On the central limit theorem in Bull. Am. Math. Soc., 67, 359-361.
63. Sazonov V. V. (1968), On the Multi-dimensional Central Limit Theorem, Sankhya Ser. A, 30, 181-204.
64. Sazonov V. V. (1972), On a bound for the rate of convergence in the multidimensional central limit theorem, Proc. 6th Berkeley Symp. Math. Statist. Prob., II, 563-581.
65. Sazonov V. V. (1981), Normal approximation some recent advances, Springer-Verlag. Berlin-New York.
66. Sazonov V. V., Ulyanov V. V. (1982), On the accuracy of normal approximation, J. Multivar. Anal., 12, 371-384.
67. Senatov V. V. (1998), Normal Approximation: New Results, Methods and Problems, VSP, Utrecht.
68. Zolotarev V. M. (1968), Exactness of an approximation in the central limit theorem, Proc. Second Japan-USSR Symp. Probab. Theory, Lect. Notes Math., 330, 531-543.103 L/
