Об асимптотических свойствах решений нелинейных эллиптических и параболических уравнений и систем в цилиндрической области со смешанными условиями на ее боковой поверхности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

г I I) иД 1 3 мам 1яя7

На правах рукописи УДК 517.957

УЛИЧЕВИЧ ТАТЬЯНА

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ СО СМЕШАННЫМИ УСЛОВИЯМИ НА ЕЕ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ

01.01.02-дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1997

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.. В. Ломоносова.

Научный руководитель - академик РАН,

профессор O.A. Олейник.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор Ю.А. Дубинский

кандидат физико-математических наук, научн. сотр. Г.А. Иосифьян.

Ведущая организация - Институт прикладной математики

имени М.В.Келдыша.

Защита состоится »/о << лвК- 1997 года в 16 час.05. мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ(Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан " 1(о" (Ьи-рр/Л, 1997 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ, профессор

Т.П.Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. В диссертации изучается асимптотика решений квазилинейных эллиптических и параболических уравнений и систем в цилиндрической области с граничными условиями смешанного типа, то есть в случае, когда на части боковой поверхности цилиндра заданы однородные условия Дирихле, а на остальной части этой поверхности заданы однородные условия Неймана. В частности, описаны асимптотики решений модельного уравнения

Ди(х)-|иГ~'а = 0, р> 1 (1)

при г„ +со , заданных в цилиндре

¿•(0,+оо)= {(*,,...,х„)| х'= (х„...,хп ,) е<а стЛ"'1, 0 <*„<+»} со смешанными условиями на боковой поверхности цилиндра.

Аналогичная задача для линейных уравнения рассмотрена в работе [1]. Получены асимптотические свойства при хп —>+со решений уравнения Аи(х) -/(х) = 0 в полуцилиндре со смешанными граничными условиями на боковой поверхности цилиндра в зависимости от емкости множества, где выполняются граничные условия Дирихле.

Уравнения типа (1) возникло при моделировании многих физических явлений. В частности, в теории Томаса-Ферми взаимодействие между атомами в первом приближении приводит к следующему уравнению

Л 2 с/и 1

-ТТ + -—-«2=0. (2)

аг г аг

Особенности и асимптотическое поведение любого решения

[1] Т.М.Керимов, В.Г.Мазья, А.А.Новрузов, Аналог критерия Винера для задачи Зарембы в цилиндрической области. Функциональный анализ и его приложения, 1982, Т.16, вып. 4, 70-71.

уравнения (2) хорошо изучено(см. [2],[3]).

Впервые в 1907 году Эмденом были рассмотрены положительные и радиальные решения уравнения (1). Позже это уравнение изучалось в работе [4]. В работе [5] изучается монотонность, симметрия и асимптотические свойства на бесконечности решений некоторого класса нелинейных эллиптических уравнений, заданных в цилиндрической области. В работе [6] получены асимптотические свойства на бесконечности решений как для некоторого класса дифференциальных неравенств, так и для модельного уравнения (1) в цилиндрических областях с граничным условием Дирихле или Неймана на боковой поверхности цилиндра. Кроме того, рассмотрен случай, когда решение меняет знак, а в работе [7], когда решение знакопостоянное.

В работах [8-10] рассмотрен более широкий класс уравнений, а именно рассмотрено уравнение

[2] A.Sommerfeld, Asymptotishes integration der

differential-glfiic.hung des Thomas-Fermichen atoms. Z. fur Phys.,78,28.3-308, (1932) .

[3] E.Hille, Some aspects of the Thomas-Fermi equation. J. Analyse Math., 23, 147-170, (1970).

[4] R.H.Fowler, Further studies on Emden's and similar differential equations. Q.J1.Math.,2,259-288(1931).

[5] H.Berestycki, L.Nirenberg, Some qualitative properties of solution of semilinear elliptic equations in cylindrical domains. Analysis, ed. by P.Rabinovitz, New York, Academic Press 1990,p.114-164.

[6] V.A.Kondratiev, O.A.Oleinik, On asymptotic behaviour of solutions of some nonlinear elliptic equation in unbounded domains.Partial differential equations and related subjects. Preceeding of the conference dedicated to Louis

Nirenberg Longman, 1992. p. 163-195.

[7] V.A.Kondratiev, O.A.Oleinik, Some results for nonlinear elliptic equations in cylindrical domains.Operator Theory: Adva. AndAppl., Vol.57, 185-195(1992).

Ци(х))-аМР~1и= + Ё а1(х')~--а0>МР"1" = 0,

в ^(О.оо) с граничным условиям Неймана на боковой поверхности цилиндра.

В работе [11] для одного класса неоднородных полулинейных эллиптических уравнений доказана однозначная обобщенная разрешимость задачи Дирихле, задачи Неймана и смешанной краевой задачи в неограниченной области без каких-либо предположений о росте обобщенного решения и свободного члена уравнения на бесконечности, и получена асимптотика решений задачи Дирихле на бесконечности.

Асимптотические свойства решений нелинейных параболических уравнений рассматривались в работах [12-16]. В [12-13] изучалось асимптотическое поведение решений первой и второй краевой задачи в цилиндрической области, а также задачи Коши для уравнения вида

ди , ,„ , — -Аи + Н и = 0. д1

В работе [14] был получен первый член асимптотики решения второй краевой задачи в цилиндрической области для

[8] O.A.Oleinik, Some asymptotic problems of the theory of partial differential equations. Lezioni Lincei, Accademia Naz. Dei Lincei. Cambridge: Cambridge University Press,1995.

[9] V.A.Kondratiev, O.A.Oleinik, Boundary value problems for nonlinear elliptic equations in cylindrical domains. J. Partial Diff. Eqs., Vol 6, № 1, 10-16(1993).

[10] В.А.Кондратьев, О.А.Олейник, О поведении на бесконечности решений одного класса нелинейных эллиптических уравнений в цилиндрической области. ДАН, 1995, том 341, № 4, с.446-449.

[11] J.I.Diaz, O.A.Oleinik, Nonlinear elliptic boundary-value problems in unbounded domains and the asymptotic behaviour of its solutions. C.R.Acad.Sci.Paris, t.315, Serie 1, p.787-792 (1992) .

слабо-нелинейного уравнения теплопроводности.

В работе [15] изучается поведение при / —> ао решений уравнения

\Г> 0 / , ч Зи ч ^ / N 0и I 1Р-1 „ п .

в цилиндрической области, удовлетворяющих краевому условию Неймана на боковой поверхности цилиндра. Исследована задача в случае, когда решение меняет знак, то есть решение принимает как положительные, так и отрицательные значения при сколь угодно больших значения координаты, направленной вдоль оси цилиндра, и когда решение знакопостояное.

В работе [16] рассмотрены вопроси об асимптотике при / —> оо решений краевой задачи Неймана для нелинейных параболических уравнений и систем, предложен метод средних функций.

Цель работы- исследование асимптотических свойств решений нелинейных эллиптических и параболических уравнений и систем в неограниченных областях.

[12] A.Grima, L.Veron, Asymptitic Behaviour of the Solution of a Semilinear Parabolic Equation. Monatshefte fur Math.,Bd.94, S.299-311 (1982) .

[13] A.Grima, L.Veron, Large Time Behaviour of the

Solutions of a Semilinear Parabolic Equation in R" . J.Diff.Eq., Vol 53, №2, 258-27 6(198 4).

[14] P.Baras, L.Veron, Part.Diff.Eq., Vol. 4(7), 795-807(1979).

[15] В.Н.Арефьев, В.А.Кондратьев, Асимптотическое поведение решений второй краевой задачи для нелинейных параболических уравнений. Дифф.Уравн., Том 29, № 12, с.2104-2116 (1993) .

[16] В.А.Кондратьев, О.А.Олейник, Об асимптотике при больших значениях времени решений эволюционных уравнений и систем. УМН, т.51, вып.5, ст.159-160(1996).

Методы исследования. В диссертации используются методы теории линейных и квазилинейных уравнений с частными производными (различные варианты принципа максимума для эллиптических и параболических уравнений, теоремы сравнения, а также метод энергетических неравенств).

Научная новизна. 1) Получена асимптотика на бесконечности решений нелинейных эллиптических уравнений в полуцилиндре с граничными условиями смешанного типа на его боковой поверхности. 2) Получена асимптотика решений нелинейных параболических уравнений при неограниченном возрастании времени в полуцилиндре с граничными условиями смешанного типа на его боковой поверхности. 3) Аналогичные задачи рассмотрены для квазилинейных параболических и эллиптических систем.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер и может представлять интерес для специалистов в области уравнений с частными производными и математической физики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции, посвященной 95-летию И.Г. Петровского, в Москве, на семинаре академика РАН О.А.Олейник и семинаре профессора Е.М.Ландиса и профессора В.А.Кондратьева.

Публикации. По теме диссертации опубликовано две научные работы. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, разбитых на 13 параграфов, и списка литературы, содержащего 57 наименования. Объем диссертации 104 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, дан краткий обзор работ, связанных с темой диссертации и сформулированы основные результаты диссертации.

В первой главе рассматривается эллиптическое уравнение

д_

8xj

в цилиндрической области S(0,co)= |г еЛ"|х' еси,0<х„ <°о} , где

р> 1, (о -ограниченная область в R"A с гладкой границей, звездная относительно некоторого шара, L-эллиптический оператор, ач(х')~ достаточно гладкие функции, a4=ajt, ai»(x') = 0 "Р" i <п, а„„(х') = 1 .

Предполагается, что решения уравнения (3) удовлетворяют граничным условиям

«

и(х',х„) = 0 на U^ ' <4>

ди

— = 0 на cr(0,oo)\|Jat , (5)

где а(0,оо) = да х (0,ос) , ак = дсо х ], 0 < х\ < х2п <....< х' <....,

гк=х2:-*г, к=1,2......

В зависимости от меры множества at , к = 1,2,...., получены различные асимптотики решения задач (3), (4), (5) при х„->°о.

Теорема 1. Пусть и(х) efV2' Ux(S(0,x>))~ обобщенное решение уравнения (3) в 5(0,оо), удовлетворяющее граничным условиям

М), (5), где pt < Л, A = const>0, у0 = const >0, к = 1,2,.....

Тогда существуют константы С = const > 0,/? = const > 0 такие ,

что

)|^Cexp(-/?xJ ,

при х„ > г, г = const > 0 .

Теорема 2. Пусть и(х) efF2',hc(S(0,<ю)) - обобщенное решение уравнения (3) в 5(0,00), удовлетворяющее граничным условиям (4), (5), где tj t- х"+2 - х" < D , D = consi> 0, yt=x"-x"'1/

П =/(*"), /(') 0 "pu / ^ со,/(i,) </(i2) лри s , A: = 1,2.....

Тогда

|«(х',х„)| < C/(- ':t /)) ехр(-/? J/(f + ,

где С = const > 0,у? = const > 0, р > 1, х„ > г, г = соля/ > О .

Кроме того, рассмотрена задача, где граничные условия Дирихле заданы в криволинейной полосе на боковой поверхности цилиндра.

Для случая когда функция меняет знак получены следующие теоремы:

Теорема 3. Пусть и(х) е fV2,M:(5(0,да))-обобщенное решение уравнения (3) в 5(0,да), удовлетворяющее граничным условиям (4), (5), м(х) меняет знак в 5(0, да), pt > р0 , ра -const > О, yt < Р, Р = const > 0 , к = ........ Тогда

|и(х\х„)|:;С,,|х„|г-;г'' , где Ск = const >0, //-любое положительное число.

Теорема 4. Пусть и(х,,х2) eW2'x(S(0,ao))- обобщенное решение уравнения (3) в 5(0,со), п = 2, и(х,,х2) меняет знак в 5(0,оо) и удовлетворяет граничным условиям и = О на ./(О,00)»

= 0 на G2U(G,U(0,«)),

где v-внешняя конормаль, J(0,ao) = [J./t , Jt = l(0,x2)|x2t_1 < x2 < x2*J,

l

it = 1,2,... , JtjSijS... < x2" < ..., G,(0,oo) = {(x,,x2) еЛ'¡0 < x2 < да, x, = o} ,

G2(0,oo) = |(x,,x2) еД2|о < хг < да, x,=aJ, h = const > 0.

Тогда существуют константы С - const > 0,f} - const > 0 такие,

что

|"(x,,x2)j <Сехр(-/?х2) . Для решения уравнения (3) в 5(0,да) с граничным условиям третьей краевой задачи на боковой поверхности цилиндра получена теорема:

Теорема 5. Пусть и(х) еСг(.У(0,оо))ПС'($(Ь,оо)) и u(r)-решение уравнения (3) с граничным условием ди

а(х)и(х) + — = 0 на сг(0,оо), а0 < а(х) < а,, а0 = const > 0, а, = const > 0 . Тогда

|а(дс)| < Сехр(-ах„), где а - const > О,С = const > 0 .

Во второй главе рассматривается эллиптическая система вида Lu(x) = F(x,u), (6)

где и, F суть вектор-функции с N компонентами: и = (и1,«2,...,«"),

_ " S ( /9ы'

f\x,i) = (F\x,u),F\x,«),...,F»{x,u)) , LV(x) = <(*') —

au(.x')~ достаточно гладкие функции, я'Ддс') = я*,(г'), эллиптический оператор, х'= (х,,*,,...*,,..,) , h=\,2,...N .

Предполагается, что решение системы (6) удовлетворяет граничным условиям

«* = 0 на 0°* ' С""

А*»]

Г| k

--„- = о на cr(0,oo)\jjcrt* , (8)

где сг^йах[ж,*-"-',0<i,u<i„"<....si's..., ,9*=х*'2*-х„А'"-',

Л = 1,2,... ЛГ, к = 1,2.....

Обозначим через 5(5(0,оо)) пространство вектор-функций таких, что ы(г) еС(5(0,оо)), и(х) sC2(S(0,oo)) ,

оо

nk(*)eC1(5,(0,oo)U(<T(0,oo)\|Ja-t)), Л=1,2,...ЛГ, ¿ = 1,2.....

/г-1

Теорема 6. Пусть и &lV'JocC\B(S(Q,oo)) - обобщенное решение задачи (6), (7), (8), где ^(х,«)] < CA|u(x)P , r„= const >0, Ch= const > 0, Fh(x,u)uh >0, Fll(x,0) = О, при

¡^>¡¡7, р* < R,, R = const >0, A= 1,2,...ЛГ, ¿ = 1,2,...,

н(х',хп)-»0 при x„->oo. Тогда

|и(*',*„)| < Ссхр(-/?х„) в i'(0,oo),

р

где х„ > г,г = со/и/ > 0, лг„)| = JJ^(u1')2 , Р - const > О,С = const > О . В третей главе рассмотрено параболическое уравнение

где р> 1, 77(0,оо) = |(r,í)jar е й>, 0 < / < ooj, w-ограниченная область в R" с гладкой границей, звездная относительно некоторого

шара, 7л/= V-—[а (х)--— -эллиптический оператор, а (х) -

dxj

достаточно гладкие функции, a(J=a;, , i = 1,2,...,и.

Для уравнения (9) рассмотрены задачи, подобные задачам, рассмотренным для эллиптических уравнений. Одной из задач, рассмотренных в третей главе, является следующая.

В области /7(0,х>) изучаются решения уравнения (9), удовлетворяющие граничным условиям:

// = 0 на х(0,, (10)

ди

— = 0 на £(0,°o)\¿(0,°o), (11)

где 2(0,оо) = {(х,/)|* есхо, 0 < / < °о} , у (г) = Z(0,oo)P| {(jc,/)¡í - г}, 0<г<®, ,у(0,со)-замкнутое множество на Z(0,°°) такое, что

j(0 = г(г)ПДг) = j(r), О < г < оо, = ¿а„(*)(f- X,

CV , J^i

= (if,,...,*:„) , х--направление внешней нормали к 2X0,®). Предполагается, что решение задачи (9), (10), (11) обладает следующими свойствами: w(x,/) е С(77(0,<»)), «(*,/) еС2|(Я(0,®)), u(x,t) еС'(Я(0,оо)и(1(0,оо)\^(0,оо))) . Этот класс решений будем обозначать через 2(77(0,со)) .

Теорема 7. Пусть и е ^'¿ДЩ0.00))!"! 0(77(0,оо)) - обобщенное решение уравнения (9) в Я(0,оо), удовлетворяющее граничным условиям (10), (11), где функция J(t) монотонно стремится к

нулю при I —»да, ш -ограниченная область в Л" с гладкой границей, звездная относительно некоторого шара. Тогда при г > Гц, г0 = const > 0 справедливы оценки

j\u(x,l)\7dxdl <С'-~r \\W2dxdl < С" '-пТехр(-X )(j(t))2dt),

где С = const > О, С" = const >0, К = const > 0 , и для любого цилиндра Я'(0,оо) с Я(0,оо) существует константа С'"~ const > 0, зависящая от расстояния Я'(0,°о) до границы Х(0,оо) области Я(0,а>) такая, что

I«0,0| s С" n-exp(-l¡ , й = const > О, t > т0, т0 = со/м/ > 0 .

•А' + V 11

В четвертой главе рассмотрена параболическая система вида ди __

— = Lu(xJ)-I-\x,t,u) , (12)

где u,F суть вектор-функции с N компонентами: и = (г/'),

/•'(*,',«) = (F](x,t,u),Fz(x,t,«)....., Л" = ¿-Ai«* (x)£íÜ ,

хД ¿»xj

а,*(х) ~ достаточно гладкие функции, а* (*) = а* (*), Л*-эллиптический оператор, h=l,2,...N.

Предполагается, что решения системы (12) удовлетворяют граничным условиям

«*(*,<) = 0 на qe" , (13)

t-i

—= 0 на I(0,a))\Ulí, (14)

ov

где S:=aax[í2V„4], О < if < tk2 < ...< tht < .., fl¡=/2\ -,

7*= '2*4-2 °° ' h=\,2,...N , k = 1,2,..., направление внешней

ко нормали к Ц0,оо) .

Обозначим через ¿(Я(0,оо)) пространство вектор-функций

таких, что u(x,t) £С(Я(0,ао)) , u(x,t) е С2'(П(0,со)) , «i*(*,0 6c,(^(0,o0)u(£(0,oo)\|j2í)), h = \2,...N,

к = 1,2,... .

Теорема 8. Пусть и(х,0 б ^'¿(ЩО.оо^П ¿(Я(0,со))-обобщенное решение задачи (12), (13), (14), где |/<"*(x,f,a)| <С,,|мл|г* при ¡й|2 < а , а = const >0, rh = const > \,Ch - const > О, Fh(x,t,u)uh > 0 , (x\/,0) - 0 , (*,/,«7) S F"(г,щ) при щ>иг, 9\>9a,T)\<R, i90 ,Л = const > 0, Л = 1,2,...Л', А: = 1,2,.... Пусть «*(*,/)-> О при /-><», h = 1,2,...N . Тогда

|й(х,/)| < Сехр(-/? t) в /7(0, со),

где t > г,г = comí > 0 , |н(х,/)| = , J3 = const > 0,С - const > 0 .

Автор выражает глубокую благодарность Ольге Арсеньевне Олейник за постановку задач, многочисленные обсуждения и ценные замечания в процессе работы над диссертацией.

ПУБЛИКАЦИИ РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Т.Уличевич, Об асимптотике решений в полуцилиндре с граничными условиями смешанного типа для одного нелинейного эллиптического уравнения, Вестн.Моск.Ун-та.Сер.1. Математика.Механика.1996.№2.стр.94-98.

2. Т.Уличевич, Об асимптотических свойствах решений нелинейных эллиптических уравнений со смешанными условиями на границе области, УМН.1996.т.21,вьгп5.стр.161-162.