Об изомонодромных деформациях фуксовых систем с коммутативной монодромией

Побережный, Владимир Андреевич

Об изомонодромных деформациях фуксовых систем с коммутативной монодромией тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Побережный, Владимир Андреевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Об изомонодромных деформациях фуксовых систем с коммутативной монодромией»

Автореферат диссертации на тему "Об изомонодромных деформациях фуксовых систем с коммутативной монодромией"

Российская Академия Наук Математический институт имени В.А Стеклова

На правах рукописи

[

Побережный Владимир Андреевич

Об изомонодромных деформациях фуксовых систем с коммутативной монодромией

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005

Работа выполнена в отделе дифференциальных уравнений Математического института имени В.А. Стеклова РАН.

Научные руководители: доктор физико-математических

наук, академик РАН, профессор Д.В. Аносов

доктор физико-математических наук, академик РАН, профессор

А. А. Болибрух

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук М.А. Ольшанецкий; кандидат физико-математических наук В.П. Лексин.

Ведущая организация: Институт теоретической физики им. Ландау РАН

Защита состоится " /3 " 2005 года в 14 час. 00 мин. на

заседании диссертационного совета Д 002.022.02 при Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН по адресу:

119991, Москва, ГСП-1, ул.Губкипа, д8, Математический институт им. В.А. Стеклова РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан " 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного

совета Д 002.022.02,

доктор физико-математических наук

ММ}??

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Изомонодромные деформации систем дифференциальных уравнений с мероморфными коэффициентами являются важной и активно разрабатываемой областью современной науки. При исследованиях в данном направлении широко используются методы таких наук, как дифференциальная и симплектическая геометрия, теоретическая физика, аналитическая теория дифференциальных уравнений, теория интегрируемых систем, теории специальных функций, абелевых интегралов и фробениусовых многообразий. В свою очередь, полученные результаты имеют приложения ко многим вопросам в указанных и во многих смежных областях науки.

РОС Ь \ .•

I чя

ч.'м/Т*

новые решения, воспользовавшись, таким образом, преимуществом того, что уравнение не имеет критических подвижных особых точек. Помимо уже известных и тривиальных, П.Пенлеве и его учениками было найдено шесть новых уравнений, так называемых уравнений Пенлеве: Рг — Руг-Данные уравнения оказались исключительно важными и часто встречаемыми в различных областях науки. Все эти уравнения, как было установлено позднее, являются редукциями шестого уравнения Пенлеве -Рут, которое, в свою очередь, оказалось эквивалентным уравнению шле-зингеровской изомонодромной деформации фуксовой системы ранга два с четырьмя особыми точками. В общем случае решениями уравнений Пенлеве являются новые трансцендентные функции, имеющие большую важность для различных приложений и многих теоретических вопросов. В настоящее время активно исследуются различные асимптотические, алгебраические, геометрические и прочие свойства решений уравнений Пенлеве.

Существующая связь между изомонодромностью и свойством Пенлеве является крайне глубокой и фундаментальной. Оба эти свойства, в свою очередь, связаны с понятием интегрируемости, как оно трактуется в теории интегрируемых систем. Например, общие уравнения изомонодромных деформаций, описанные М.Джимбо, Т.Мива и К.Уено обладают свойством Пенлеве, а в теории интегрируемых систем известен также тест Пенлеве, связанный с проверкой уравнения на возможность его интегрируемости. Его идея заключается в том, что если нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных интегрируемо, то должна существовать некоторая процедура редукции, сводящая его к обыкновенному дифференциальному уравнению, обладающему свойством Пенлеве. В частности, известны такие редукции для уравнений Кортевега-де-Фриза, антисамодуальных уравнений ЯнгагМиллса и многих других. Изомонодромные деформации дают один из самых богатых наборов уравнений, обладающих свойством Пенлеве, и этим объясняется такое широкое их распространение и использование в различных нелинейных задачах геометрии и физики.

трансцендентными функциями; для некоторых частных случаев найти решения деформационных уравнений существенно легче, чем решения редуцированных нелинейных уравнений. Это дает возможность широкого применения изомонодромных деформаций к поиску решений, обладающих различными специфическими свойствами, для ряда важных нелинейных уравнений. Прежде всего, в этой связи следует упомянуть шестое уравнение Пенлеве, для которого многие алгебраические решения и наиболее изящное описание полной группы симметрии были получены именно с помощью изомонодромных деформаций.

В пятидесятые годы двадцатого века Х.Рёрль и впервые применил в исследовании систем линейных дифференциальных уравнений (а точнее, он рассматривал проблему Римана-Гильберта) методы теории расслоений и связностей. Он предложил рассматривать систему линейных дифференциальных уравнений как набор уравнений на горизонтальные сечения для соответствующей связности в некотором расслоении. Такой подход оказался исключительно плодотворным и вскоре был распространен и на другие вопросы теории дифференциальных уравнений. Следует отметить работы П.Делиня, исследовавшего аналогичными методами уравнения с частными производными. Существенную роль в его подходе сыграла также теория пучков. Для обыкновенных дифференциальных уравнений и их изомонодромных деформаций важнейшие результаты были получены Б.Мальгранжем в 80-х годах двадцатого века. В ставшей классической работе "Sur les déformations isomonodromiques" Б.Мальгранж решил в терминах расслоений и связностей задачу о построении изомоно-дромной деформации заданной системы дифференциальных уравнений. Для этого он сначала представил фуксову систему как связность с логарифмическими особенностями на тривиальном расслоении над сферой. Следующим шагом было представить эту пару расслоение-связность как ограничение на сферу некоторой плоской мероморфной связности, определенной на большем расслоении с базой, имеющей вид прямого произведения сферы на пространство параметров деформации. В качестве последнего в классическом случае берут С" без диагоналей, то есть С" \ U15i;j{a, = а3}. В этом случае условие отсутствия диагональных гиперплоскостей означает запрет на слияния особых точек. Плоскую связность можно, в свою очередь, трактовать как вполне интегрируемую пфаффову систему. Следовательно, как всякое ограничение вполне интегрируемой пфаффовой системы на подмногообразие размерности один, конструкция Мальгранжа дает изомонодромное семейство линейных дифференциаль-

ных систем. Кроме того, Б.Мальгранж показал, что уравнения изомоно-дромной деформации обладают свойством Пенлеве, то есть имеют среди своих подвижных особых точек только полюса. Множество данных особенностей образует аналитическое множество коразмерности один и называется дивизором Мальгранжа или тэта-дивизором.

Дивизор Мальгранжа играет важную роль в описании свойств и структуры изомонодромных деформаций. С одной стороны, как мы уже указали, данный дивизор является множеством подвижных особых точек некоторого уравнения, обладающего свойством Пенлеве. В соответствии со свойством Пенлеве, все его точки являются полюсами конечного порядка, то есть данное множество действительно является дивизором. С другой стороны, можно заметить, что в нерезонансном случае дивизор Мальгранжа в точности совпадает с множеством точек, для которых расширенная проблема Римана-Гильберта, заключающаяся в построении фук-сова уравнения с заданными монодромией, особенностями и асимптотиками, решения не имеет. В резонансном случае, ввиду дополнительных симметрий, необходимо более тонкое рассмотрение.

Еще одним аспектом изомонодромных деформаций, при исследовании которого возникает тэта-дивизор, является изучение их симплектических свойств. Как известно, отображение монодромии является симплектиче-ским отображением из пространства модулей связностей в пространство модулей представлений. Последнее можно рассматривать как симплекти-ческий фактор произведения орбит относительно некоторого коприсоеди-ненного действия калибровочной группы. Изомонодромные деформации в таком подходе задаются симплектической связностью в расслоении над пространством параметров деформации. Дивизор Мальгранжа при этом описывает множество точек, на котором происходит нарушение и вырождение различных симплектических свойств теории. Современное описание симплектической геометрии изомонодромных деформаций можно найти в работах Ф.Болча и Б.Мальгранжа.

В семидесятые годы М.Джимбо, Т.Мива, М.Сато и К.Уено исследовали изомонодромные деформации с помощью гамильтонова формализма и пуассоновой геометрии. При этом оказалось, что важную роль в описании изомонодромных деформаций играет их тау-функция. Эта функция зависит от параметров деформации и является производящей функцией гамильтонианов в задаче изомонодромной деформации. Данная тау-функция аналогична тау-функциям интегрируемых систем, однако зависит от конечного числа параметров. Вопрос об эквивалентности

тау-функций изомонодромной деформации и интегрируемых иерархий до конца еще не выяснен. Известно, что дивизор Мальгранжа совпадает с множеством нулей тау-функции изомонодромной деформации. На настоящий момент не известен эффективный способ вычисления тэта-дивизора, существующие алгоритмы позволяют получать лишь локальные характеристики дивизора.

В настоящее время исследование тэта-дивизоров изомонодромных деформаций является важной и активно разрабатываемой темой в аналитической теории дифференциальных уравнений.

Как уже отмечалось выше, резонансные системы и изомонодромные семейства, вызывают известные сложности при исследовании. Это объясняется, с одной стороны, более сложной и богатой структурой системы или семейства чем в нерезонансном случае, и нарушением или вырождением некоторых базовых свойств системы или семейства, с другой стороны. На настоящий момент существует довольно малое количество работ, посвященных системам с резонансными особыми точками. Еще раз подчеркнем, что это вызвано не незначительностью предмета, а сложностями в его исследовании.

Настоящая работа посвящена исследованию изомонодромных деформаций фуксовых систем, имеющих коммутативную монодромию. Важной особенностью коммутативной монодромии является то, что для любого набора особых точек и заданного представления коммутативной группы легко явно предъявить решение соответствующей проблемы Римана-Гильберта, то есть фуксову систему с заданными особенностями и моно-дромией. Более того, данное явное решение тривиальным образом можно продолжить до изомонодромного семейства. В таком тривиальном изомо-нодромном семействе вычеты системы не зависят от положения полюсов и остаются неизменными при всех деформациях. Если теперь провести калибровочное преобразование данного семейства, то мы получим другое, в общем случае уже нетривиальное, изомонодромное семейство. Возможно, оно будет иметь особенности, то есть некоторый тэтагдивизор. Так как все эти особенности содержатся в проведенной калибровке, за их появлением можно проследить, и получить описание тэта-дивизора построенного изомонодромного семейства.

Цель работы. Исследовать характер изомонодромных деформаций систем с коммутативной монодромией. Дать их полное описание. Исследовать тэта-дивизор изомонодромных деформаций систем с коммутативной

монодромией. Дать явные примеры изомонодромных деформаций резонансных систем. Получить и исследовать непрерывные симметрии изомонодромных семейств, в том числе имеющих коммутативную монодро-мию.

Основные результаты. Основными результатами, полученными в работе, являются следующие:

1. Построены рациональные калибровочные преобразования изомоно- I дромных семейств.

2. Дано полное описание непрерывных изомонодромных деформаций ] фуксовых систем с коммутативной монодромией.

3. Показано, что в резонансном случае помимо положения полюсов системы могут существовать дополнительные параметры деформации. Объяснена природа этих дополнительных параметров.

4. Показано, что изомонодромные деформации фуксовых систем с коммутативной монодромией имеют рациональный вид.

5. Показано, что тэтагдивизор изомонодромного семейства с коммутативной монодромией задается рациональным уравнением.

6. Построены явные примеры изомонодромных нешлезингеровских семейств с коммутативной монодромией, обладающих дополнительными параметрами.

Методы исследования. При работе над диссертацией использовались методы аналитической теории дифференциальных уравнений, комплексного анализа и теории представлений. Наиболее активно использовались такие разделы аналитической теории дифференциальных уравнений, как теория нормирований Левеля, методы локальных и глобальных калибровочных преобразований, факторизация матричнозначных функций.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые были явно найдены дополнительные параметры непрерывных изомонодромных деформаций. Также впервые был показан рациональный характер изомонодромных деформаций фуксовых систем с коммутативной монодромией.

Получено полное описание всех непрерывных изомонодромных деформаций систем с коммутативной монодромией. Обнаружены также алгебраические свойства тэта-дивизора изомонодромного семейства с коммутативной монодромией и предъявлены нетривиальные примеры явной формы тэта-дивизора. Найден наиболее общий вид непрерывной изомо-нодромной деформации. Все полученные результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Настоящая работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут использоватся при дальнейших исследованиях изомонодромных деформаций и смежных вопросов. Результаты могут иметь приложения в работах, проводимых в МИАН, МГУ, ИТЭФ, ИТФ, ФИАН.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором на семинарах отдела Дифференциальных уравнений Математического института им. В.А. Стеклова РАН, на естественнонаучном и студенческом семинарах в ФГУП ГНЦ РФ Институте теоретической и экспериментальной физики. Также результаты докладывались на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2004) и на международных конференциях "Théories asymptotiques et équations de Painlevé'' (Анжер, Франция, 2004), "Singularités des équations différentielles, systèmes intégrables et groupes quantiques" (Страсбург, Франция, 2004), "4-ёме Rencontre sur les systèmes complètement intégrables et la théorie quantique des champs" (Пейреск, Франция 2004).

Публикации. Все выдвигаемые на защиту результаты получены автором диссертации, являются новыми и опубликованы в следующих работах:

1. В.А. Побережный, О монодромии уравнения Римана, Доклады первой международной школы ИТФ-ИТЭФ по теоретической и математической физике,2001, Киев, 164-179.

2. В.А. Побережный, О специальных группах монодромии и проблеме Римана-Гильберта для уравнения Римана, Мат. Заметки, 2005, т 77, 4.

3. В.А. Побережный, Изомонодромные деформации систем с коммутативной монодромией Тезисы докладов Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, 2004, Владимир, стр 159-160.

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения и списка цитируемой литературы. Объем диссертации 87 страниц.

Содержание работы

Во введении формулируются мотивации и цели исследования, освещена история вопроса. Описано положение дел в исследуемой области, описана структура работы.

В первых двух главах диссертации излагаются необходимые для работы сведения из теории фуксовых, регулярных систем и их изомоно-дромных деформаций. Описываются наиболее удобные для последующей работы подходы и трактовки этих теорий.

Глава 1 посвящена описанию общих свойств и понятий теории линейных дифференциальных уравнений с мероморфными коэффициентами. В параграфе 1 дается определение фундаментального понятия монодромии X линейной системы дифференциальных уравнений:

х:*1(СР1\Т>,го)-*ОЦр,С).

Указаны некоторые классические задачи аналитической теории дифференциальных уравнений и смежных областей математики, связанные с этим понятием. Параграф 2 посвящен описанию свойств регулярности особых точек дифференциальных уравнений и линейных систем дифференциальных уравнений. Дано определение фуксовой особой точки, описаны некоторые свойства фуксовых систем. Описана связь между понятиями фуксовости и регулярности. Определено левелевское нормирование, в дальнейшем широко используемое для исследования асимптотик систем дифференциальных уравнений. Описаны некоторые свойства левелевского нормирования. Параграф третий посвящен описанию пространства решений системы линейных дифференциальных уравнений в окрестности регулярной и фуксовой особой точки системы. Определено

важнейшее понятие левелевского базиса системы в окрестности ее особой точки и соответствующего левелевского разложения фундаментальной матрицы:

Приведен критерий фуксовости и регулярности системы в окрестности своей особой точки. В параграфе 4 более подробно рассмотрен вид пространства решений и некоторые характеристики системы в окрестности резонансной особой точки. Определены показатели системы $ и показано их совпадение со спектром вычета системы в фуксовой особой точке. Приведены глобальные соотношения на показатели системы в фуксовом и регулярном случае, так называемые соотношения Фукса:

п р

ЕЕ#

»=1 з=1

Освещены некоторые трудности работы с резонансными особыми точками, неоднозначность решения проблемы Римана-Гильберта, несовпадение вычета системы в резонансной точке аг с нормализованным логарифмом монодромии в этой точке и некоторые другие нарушения общей теории в резонансном случае.

Глава 2 посвящена общей теории изомонодромных деформаций фук-совых систем. В параграфе 1 описан геометрический характер изомонодромных деформаций, показана возможность их получения путем ограничения пфаффовых систем

йу ' шу,

определенных на некотором расширенном пространстве. Позже, в параграфе 2 показано, что всякую изомонодромную деформацию можно получить указанным образом. Это сделано с помощью описанного в параграфе 2 общего вида фундаментальной изомонодромной матрицы изо-монодромного семейства. В параграфе 3 разобран наиболее простой тип изомонодроных деформаций, так называемые шлезингеровские деформации, задающиеся пфаффовой формой

ЕВ,(а) . . -ф - а4).

Показано, что в нерезонансном случае других непрерывных изомоно-дромных деформаций не существует. Выписано уравнение Шлезингера, описывающее указанную изомонодромную деформацию,

показана его интегрируемость. Даны примеры простейших шлезингеров-ских изомонодромных семейств. Параграф 4 посвящен нешлезингеров-ским изомонодромным деформациям, или ненормализованным шлезинге-ровским деформациям. Показано, что такие деформации могут существовать в резонансных семействах. Для этого использовано утверждение о виде фундаментальной матрицы изомонодромного семейства. После чего в теореме 2.5 описан наиболее общий вид изомонодромных деформаций, зависящих лишь от набора ai,..., ап:

ш =

= U, + Uln + шгм =

= £Г=1££ Ф - «.) + ЕГ=1 c,(a)da, + ЕГ=1 E"=1 da,.

Параграф -5 посвящен особенностям изомонодромных деформаций, определено понятие тэта-дивизора и тау-функции изомонодромной деформации, упомянут гамильтонов характер и свойства Пенлеве изомонодромных деформаций.

Глава 3 посвящена калибровкам изомонодромных семейств. В первых двух параграфах мы строим и исследуем простейшие калибровки, изменяющие нормирования системы в одной точке. Описаны локальные условия применения подобных калибровок, обеспечивающие сохранение фуксовости в точке, где изменяются нормирования. В следующих двух параграфах мы с их помощью строим глобальные, хорошо определенные калибровочные преобразования

'.<-•>-(; r)(v;)(!!)(v :)(íi)

r)(v !)(!!)(V ООО-

Эти преобразования сохраняют фуксов вид системы уже не только локально, в точке, но и на всей сфере Римана. Описаны структура и особенности построенных калибровок. Основной результат главы содержится в заключительной теореме.

Теорема 3.1 При определенном выше выборе параметров з, £ калибровки вида Г\2 переводят изомонодромное фуксово семейство из в изомонодромное фуксово семейство из с той же монодромией и теми же показателями, за исключением двух:

# = # + 1

для калибровок вида Г1 и

для калибровок вида Гх, для выбранных г,], к, I.

Данные калибровки являются основным инструментом исследования в данной диссертации.

В главе 4 построенные нами в предыдущей главе калибровки применяются к исследованию изомонодромных семейств с коммутативной монодромией. В параграфе 1 описано простейшее изомонодромное семейство с коммутативной монодромией, так называемое, коммутативное семейство. Определено понятие коммутативной системы. Во втором параграфе показано, что в нерезонансном случае других изомонодромных деформаций, кроме тривиальных, нет. Всякая нерезонансная фуксова система с коммутативной монодромией является коммутативной системой. В третьем и четвертом параграфах получены основные результаты диссертации. Основным методом работы здесь служит применение построенных в главе 3 калибровок Гх, Г 2 к определенной выше тривиальной коммутативной системе. Центральными являются теоремы описывающие изменение изомонодромного семейства под действием калибровок Г! и описывающие возникающие при этом дополнительные параметры деформации.

Теорема 4.2 Калибровка вида Гг, применяемая в точке а, с диагональным скалярным вычетом, добавляет к изомонодромному семейству еще один параметр - в, отвечающий за изменение матрицы связи левелевского базиса в аг с некоторым фиксированным базисом. Соответствующий я член в пфаффовой форме полученного таким образом

изомонодромного семейства имеет вид

/ Я \ / 1 -I. З*2 4. \

(¿гг Г2-М.= ) А.

4 / \ (г-о.)2 2-а, (г-а,)2 /

Теорема 4.3 Калибровка вида Г1, примененная к паре точек щ, а3 коммутативного изомонодромного семейства, таких, что хотя бы в одной точке вычет семейства диагоналей, добавляет в изомонодромное семейство еще один или два параметра деформации в зависимости от того, в одной или двух точках вычеты семейства были скалярны. Данные новые параметры отвечают за изменение матриц связи левелев-ских базисов в резонансных особых точках с каноническим левелевским базисом. Соответствующие динамике по новым параметрам члены в пфаффовой форме семейства будут иметь следующий вид:

/ я \ (__I__|_ а«2 яЧ2___, а,-а,

Кдв ) 1 \ 1 __Ь-___^_

/ \ (г-о,)(г-о3) г-а,

(¿гЛ ГГ'Л = ( ] л.

У™ ) \ (г-а,)(*-а,) х-а, /

Данные теоремы позволяют получить ряд важных фактов о структуре общих изомонодромных деформаций и изомонодромных деформаций систем с коммутативной монодромией. Основными являются следующие утверждения.

Следствие 4.3 Всякая непрерывная изомонодромная деформация фук-совой системы ранга 2 задается пфаффовой формой вида

и> = Ша + Шп + и)геа + ~

чрп трп чрг, 7ц*(а.») I V"1™ V - V' . ,)-.

^ ¿-л= 1 ¿^к=1 (¿-О,)4 > ¿-11=1 ¿-'к=\ (г-о,)*

где V - множество резонансных точек со скалярной монодромией, гг ~ порядок резонанса системы в точке аг, - параметр, отвечающий за выбор и динамику направления максимального нормирования в точке со скалярной монодромией. Форму полагаем заданной на 2 х С, где г -число точек V, а 2 = СР1 х £>(а0) \ - а, = 0}

Теорема 4.4 Все возможные фуксовы системы (семейства) с заданной коммутативной монодромией и суммой резонансов по всем особым

точкам равной 2к получаются из соответствующей коммутативной системы (семейства) путем проведения к калибровок вида Г, и некоторого числа несущественных калибровок вида Г =

Также важным результатом является рациональность изомонодром-ных деформаций в случае коммутативной монодромии.

Следствие 4.6 Вычеты Вг(а, в) любого изомонодромного семейства с коммутативной монодромией и все коэффициенты соответствующей пфаффовой формы и являются рациональными матричными функциями от а\,ап и дополнительных параметров я}.

Поскольку, как показано, всякое изомонодромное семейство можно получить калибровками Г\г из тривиального изомонодромного семейства, то все особенности полученного семейства содержатся в проделанных калибровках. Это дает возможность проследить за возникновением особенностей и описать их характер.

Теорема 4.6 Тэта-дивизор всякого изомонодромного семейства с коммутативной монодромией задается рациональным уравнением относительно переменных 01,..., ап и дополнительных параметров 8\,...,

В заключительном, пятом параграфе, приведен пример применения калибровок вида Г^ к тривиальному изомонодромному семейству с коммутативной монодромией и предъявлены в явном виде соответствующие резонансные некоммутативные семейства.

{

т /

! (

О/.Р/-0/.03

РНБ Русский фонд

2005-4 42300

19 №Ш

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Побережный, Владимир Андреевич

1 Фуксовы и регулярные системы

1.1 Монодромия

1.2 Регулярность.

1.3 Пространство решений системы с регулярной особой точкой

1.4 Резонансные особые точки.

2 Изомонодромные деформации фуксовых систем

2.1 Пфаффовы системы.

2.2 Пространство решений изомонодромного семейства.

2.3 Шлезингеровские деформации.

2.4 Нешлезингеровские деформации.

2.5 Тэта-дивизор и тау-функция изомонодромной деформации

3 Калибровочные преобразования фуксовых систем и их изомо-нодромных семейств

3.1 Повышение нормирования

3.2 Понижение нормирования.

3.3 Калибровки, сохраняющие фуксов вид системы.

3.4 Калибровочные преобразования изомонодромных семейств

4 Изомонодромные деформации систем с коммутативной моно-дромией

4.1 Коммутативные системы.

4.2 Нерезонансные системы.

4.3 Построение резонансных изомонодромных семейств.

4.4 Алгебраические свойства изомонодромных деформаций систем с коммутативной монодромией.

4.5 Пример резонансного изомонодромного семейства.

Введение диссертация по математике, на тему "Об изомонодромных деформациях фуксовых систем с коммутативной монодромией"

Изомонодромные деформации систем дифференциальных уравнений с мероморфными коэффициентами являются важной и активно разрабатываемой областью современной науки. При исследованиях в данном направлении широко используются методы таких наук, как дифференциальная и симплектическая геометрия, теоретическая физика, аналитическая теория дифференциальных уравнений, теория интегрируемых систем, теории специальных функций, абелевых интегралов и фробениусовых многообразий. В свою очередь, полученные результаты имеют приложения ко многим вопросам в указанных и во многих смежных областях науки.

Исторически, как и многие понятия и вопросы в теории дифференциальных уравнений, особенно в аналитической их теории, изомонодромные деформации впервые возникли в работах Б.Римана. Формулируя задачу, ставшую позже известной как проблема Римана, о существовании фуксовых уравнений с заданной монодромией, Б.Риман обратил внимание и на сохраняющие монодромию деформации таких уравнений. Позже выяснилось, что существует глубокая связь между изомонодром-ными деформациями и такими известными задачами того времени, как проблема Римана-Гильберта и задача о приведении к биркгофовой стандартной форме. Позднее, в начале двадцатого века, важные результаты, относящиеся к изомонодром-ным деформациям, были получены Л.Шлезингером, нашедшим простейший, в некотором смысле естественный, вид изомоно-дромных деформаций фуксовых систем, то есть систем с полюсами первого порядка. Л.Шлезингер также показал интегрируемость полученных им деформационных уравнений. Кроме этого Л.Шлезингером было найдено некоторое дискретное семейство калибровочных преобразований, сохраняющих монодромию системы. В тот же период П.Пенлеве и его ученики занимались задачей описания дифференциальных уравнений второго порядка, не имеющих критических подвижных особых точек. Позднее такое свойство уравнения стали называть свойством Пенлеве. В настоящее время с ним связывают также имя С.Ковалевской. В своей работе об интегрировании волчка она обратила внимание на то, что данное свойство выполняется лишь для трех специальных наборов параметров задачи. В первых двух случаях решения были найдены в работах Л.Эйлера и Ж.Лагранжа. В третьем случае ей удалось найти новые решения, воспользовавшись, таким образом, преимуществом того, что уравнение не имеет критических подвижных особых точек. Помимо уже известных и тривиальных П.Пенлеве и его учениками было найдено шесть новых уравнений, так называемых уравнений Пенлеве: Р1 — Ру1. Данные уравнения оказались исключительно важными и часто встречаемыми в различных областях науки. Все эти уравнения, как было установлено позднее, являются редукциями шестого уравнения Пенлеве - Ру1, которое, в свою очередь, оказалось эквивалентным уравнению шлезингеровской изомонодромной деформации фуксовой системы ранга два с четырьмя особыми точками. В общем случае решениями уравнений Пенлеве являются новые трансцендентные функции, имеющие большую важность для различных приложений и многих теоретических вопросов. В настоящее время активно исследуются различные асимптотические, алгебраические, геометрические и прочие свойства решений уравнений Пенлеве.

Существующая связь между изомонодромностью и свойством Пенлеве является крайне глубокой и фундаментальной. Оба эти свойства, в свою очередь, связаны с понятием интегрируемости, как оно трактуется в теории интегрируемых систем. Например, общие уравнения изомонодромных деформаций, описанные М.Джимбо, Т.Мива и К.Уено обладают свойством Пенлеве, а в теории интегрируемых систем известен также тест Пенлеве, связанный с проверкой уравнения на возможность его интегрируемости. Его идея заключается в том, что если нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных интегрируемо, то должна существовать некоторая процедура редукции, сводящая его к обыкновенному дифференциальному уравнению, обладающему свойством Пенлеве. В частности, известны такие редукции для уравнений Кортевега-де-Фриза, антисамодуаль-ных уравнений Янга-Миллса и многих других. Изомонодром-ные деформации дают один из самых богатых наборов уравнений, обладающих свойством Пенлеве, и этим объясняется такое широкое их распространение и использование в различных нелинейных задачах геометрии и физики.

Также крайне важным применением изомонодромных деформаций является исследование с их помощью алгебраических свойств решений различных нелинейных уравнений, которые можно представить как редукции уравнений деформаций. Несмотря на то, что решения уравнений изомонодромной деформации в общем случае невозможно выразить в явной форме через известные специальные функции, они являются новыми трансцендентными функциями; для некоторых частных случаев найти решения деформационных уравнений существенно легче, чем решения редуцированных нелинейных уравнений. Это дает возможность широкого применения изомонодромных деформаций к поиску решений, обладающих различными специфическими свойствами, для ряда важных нелинейных уравнений. Прежде всего, в этой связи следует упомянуть шестое уравнение Пенлеве, для которого многие алгебраические решения и наиболее изящное описание полной группы симметрии были получены именно с помощью изомонодромных деформаций.

В пятидесятые годы двадцатого века Х.Рёрль впервые применил в исследовании систем линейных дифференциальных уравнений (а точнее, он рассматривал проблему Римана-Гильберта) методы теории расслоений и связностей. Он предложил рассматривать систему линейных дифференциальных уравнений как набор уравнений на горизонтальные сечения для соответствующей связности в некотором расслоении. Такой подход оказался исключительно плодотворным и вскоре широко распространился и на другие вопросы теории дифференциальных уравнений. Следует отметить работы П.Делиня, исследовавшего аналогичными методами уравнения с частными производными. Существенную роль в его подходе сыграла также теория пучков. Для обыкновенных дифференциальных уравнений важнейшие достижения были получены Б.Мальгранжем. В ставшей классической работе "Sur les déformations isomon-odromiques" Б.Мальгранж решил в терминах расслоений и связ-ностей задачу о построении изомонодромной деформации заданной системы дифференциальных уравнений. Для этого он сначала представил фуксову систему как связность с логарифмическими особенностями на тривиальном расслоении над сферой. Следующим шагом было представить эту пару расслоение-связность как ограничение на сферу некоторой плоской меро-морфной связности, определенной на большем расслоении с базой, имеющей вид прямого произведения сферы на пространство параметров деформации. В качестве последнего в классическом случае берут Сп без диагоналей, то есть С1 \ U^{щ = aj}. В этом случае условие отсутствия диагональных гиперплоскостей означает запрет на слияния особых точек. Плоскую связность можно, в свою очередь, трактовать как вполне интегрируемую пфаффову систему. Следовательно, как всякое ограничение вполне интегрируемой пфаффовой системы на подмногообразие размерности один, конструкция Мальгранжа дает изо-монодромное семейство линейных дифференциальных систем. Кроме того, Б.Мальгранж показал, что уравнения изомонодромной деформации обладают свойством Пенлеве, то есть имеют среди своих подвижных особых точек только полюса. Множество данных особенностей образует аналитическое множество коразмерности один и называется дивизором Мальгранжа или тэта-дивизором.

Дивизор Мальгранжа играет важную роль в описании свойств и структуры изомонодромных деформаций. С одной стороны, как мы уже указали, данный дивизор является множеством подвижных особых точек некоторого уравнения, обладающего свойством Пен леве. В соответствии со свойством Пенлеве, все его точки являются полюсами конечного порядка, то есть данное множество действительно является дивизором. С другой стороны, можно заметить, что в нерезонансном случае дивизор Мальгранжа в точности совпадает с множеством точек, для которых расширенная проблема Римана-Гильберта, заключающаяся в построении фуксова уравнения с заданными монодромией, особенностями и асимптотиками, решения не имеет. В резонансном случае, ввиду дополнительных симметрий, необходимо более тонкое рассмотрение.

Еще одним аспектом изомонодромных деформаций, при исследовании которого возникает тэта-дивизор, является изучение их симплектических свойств. Как известно, отображение монодромии является симплектическим отображением из пространства модулей связностей в пространство модулей представлений. Последнее можно рассматривать как симплектический фактор произведения орбит относительно некоторого коприсо-единенного действия калибровочной группы. Изомонодромные деформации в таком подходе задаются симплектической связностью в расслоении над пространством параметров деформации. Дивизор Мальгранжа при этом описывает множество точек, на котором происходит нарушение и вырождение различных симплектических свойств теории. Современное описание симплектической геометрии изомонодромных деформаций можно найти в работах Ф.Болча и Б.Мальгранжа.

В семидесятые годы М.Джимбо, Т.Мива, М.Сато и К.Уено исследовали изомонодромные деформации с помощью гамиль-тонова формализма и пуассоновой геометрии. При этом оказалось, что важную роль в описании изомонодромных деформаций играет их тау-функция. Эта функция зависит от параметров деформации и является производящей функцией гамильтонианов в задаче изомонодромной деформации. Данная тау-функция аналогична тау-функциям интегрируемых систем, однако зависит от конечного числа параметров. Вопрос об эквивалентности тау-функций изомонодромной деформации и интегрируемых иерархий до конца еще не выяснен. Известно, что дивизор Маль-гранжа совпадает с множеством нулей тау-функции изомонодромной деформации. На настоящий момент не известен эффективный способ вычисления тэта-дивизора, существующие алгоритмы позволяют получать лишь локальные характеристики дивизора.

Как уже отмечалось выше, резонансные системы и изомоно-дромные семейства, вызывают известные сложности при исследовании. Это объясняется, с одной стороны, более сложной и богатой структурой системы или семейства чем в нерезонансном случае, и нарушением или вырождением некоторых базовых свойств системы или семейства, с другой стороны. На настоящий момент существует довольно малое количество работ, посвященных системам с резонансными особыми точками. Еще раз подчеркнем, что это вызвано не незначительностью предмета, а сложностями в его исследовании.

Настоящая работа посвящена исследованию изомонодромных деформаций фуксовых систем, имеющих коммутативную мо-нодромию. Важной особенностью коммутативной монодромии является то, что для любого набора особых точек и заданного представления коммутативной группы легко явно предъявить решение соответствующей проблемы Римана-Гильберта, то есть фуксову систему с заданными особенностями и моно-дромией. Более того, данное явное решение тривиальным образом можно продолжить до изомонодромного семейства. В таком тривиальном изомонодромном семействе вычеты системы не зависят от положения полюсов и остаются неизменными при всех деформациях. Если теперь провести калибровочное преобразование данного семейства, то мы получим другое, в общем случае уже нетривиальное, изомонодромное семейство. Возможно, оно будет иметь особенности, то есть некоторый тэта-дивизор. Так как все эти особенности содержатся в проведенной калибровке, за их появлением можно проследить, и получить описание тэта-дивизора построенного изомонодромного семейства.

В настоящей работе построен набор элементарных калибровочных преобразований, применимых как к фуксовым системам, так и к их изомонодромным семействам. С помощью построенных преобразований проведено исследование различных, в том числе резонансных, изомонодромных семейств фуксовых систем. Оказывается, что в отличие от нерезонансного случая, когда система однозначно определяется своей монодромией, набором особых точек и показателей, и всякие две системы с совпадающими наборами указанных данных отличаются на постоянную матрицу, наличие в системе резонансов может привемти к существованию непрерывного множества неэквивалентных фуксовых систем с заданными монодромией, особенностями и показателями. Данное свойство объясняется тем, что в резонансном случае в описание пространства решений системы входят дополнительные параметры, а именно, системы могут отличаться выбором направлений, соответствующих резонансным асимптотикам системы. Последние, в общем случае, не определяются однозначно из монодромии системы. Так как всякая резонансная система полностью описывается своей монодромией, особенностями, показателями и набором выделенных резонансных направлений, то множество непрерывных изомонодромных деформаций такой системы помимо шлезингеровских, в общем случае ненормализрванных, деформаций включает в себя и непрерывные деформации резонансных направлений системы. В общем случае, такие деформации не зависят от деформаций положения полюсов системы. Ввиду однозначности определенной описанным набором данных системы, множество ее непрерывных изомонодромных деформаций исчерпывается указанными двумя типами деформаций.

Применяя построенные изомонодромные деформации к исследованию изомонодромных семейств с коммутативной монодро-мией, можно показать, что все такие деформации являются рациональными. То есть, коэффициенты соответствующей пфаффовой формы суть рациональные функции, как от положения полюсов системы, так и от дополнительных параметров, возникающих в резонансном случае. Соответственно тэта-дивизор и тау-функция семейства также задаются рациональными функциями.

Основными результатами, полученными в работе, являются следующие:

1. Построены рациональные калибровочные преобразования изомонодромных семейств.

2. Дано полное описание непрерывных изомонодромных деформаций фуксовых систем с коммутативной монодромией.

5. Показано, что тэта-дивизор изомонодромного семейства с коммутативной монодромией задается рациональным уравнением.

6. Построены явные примеры изомонодромных нешлезинге-ровских семейств с коммутативной монодромией, обладающих дополнительными параметрами.

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором на семинарах отдела Дифференциальных уравнений Математического института им. В. А. Стек лова РАН, на естественно-научном и студенческом семинарах в ФГУП ГНЦ РФ Институте теоретической и экспериментальной физики. Также результаты докладывались на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2004) и международных конференциях "Théories asymptotiques et équations de Painlevé" (Анжер, Франция, 2004), "Singularités des équations différentielles, systèmes intégrables et groupes quantiques" (Страсбург, Франция, 2004), "4-еме Rencontre sur les systèmes complètement intégrables et la théorie quantique des champs" (Пейреск, Франция 2004).

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения и списка цитируемой литературы. Текст диссертации содержит 86 страниц.

Заключение диссертации по теме "Дифференциальные уравнения"

5 Заключение

В заключение перечислим еще раз основные результаты выдвигаемые на защиту.

1. Построены рациональные калибровочные преобразования изомонодромных семейств.

2. Дано полное описание непрерывных изомонодромных деформаций фуксовых систем с коммутативной монодромией.

Все выдвигаемые на защиту результаты получены автором диссертации, являются новыми и опубликованы в следующих работах:

1. В.А. Побережный, О монодромии уравнения Римана, Доклады первой международной школы ИТФ-ИТЭФ по теоретической и математической физике, Киев, 164-179.

2. В.А. Побережный, О специальных группах монодромии и проблеме Римана-Гильберта для уравнения Римана, Мат. Заметки, 2005, т. 77, 4.

3. В.А. Побережный, Об изомонодромных деформациях фуксовых систем с коммутативной монодромией, препринт 1ТЕР-ТН-08/05, Доклады РАН, принята к публикации.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Побережный, Владимир Андреевич, Москва

1. Fuel. L. Fuchs Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veränderlichen Koeffizienten // J. für Math. 1868, V. 68, 354-385

2. Hitl. N. Hitchin Stable bundles and integrable systems // Duke Math.J. 54 (1987), 91-114

3. Hit2. N. Hitchin Geometrical aspects of Schlesinger^ equation J. of Geom. and Phys. 23(1997), 287-300

4. JMS. M. Jimbo, T. Miwa, M. Sato Holonomic quantum fields II // Publ. RIMS 1979, V. 15, 201-278.

5. JMU. M. Jimbo, T. Miwa, K. Ueno. Monodromy preserving deformation of the linear ordinary differential equations with rational coefficients I, II // Publ. RIMS 1978, V. 14, 223-267; 1979, V. 15, 201-278.

6. Kitl. A.V. Kitaev Special Functions of the Isomonodromy Type, Rational Transformations of Spectral Parameter, and Algebraic Solutions of the Sixth Painlevé Equation // St. Petersburg Math. J. 14 (2003), no. 3

7. Kit2. A.V. Kitaev Non-Schlesinger Deformations of Ordinary Differential Equations with Rational Coefficients // nlin.SI/0102019

8. Kor. D. Korotkin, N. Manojlovic, H. Samtleben Schlesinger transformations for elliptic isomonodromic deformations // J.Math.Phys. 41 (2000) 3125-3141

9. Kosl. Vladimir Petrov Rostov On the Deligne-Simpson problem // Proc. Steklov Inst. v. 238 (2002)

10. Kos2. Vladimir Petrov Rostov On the Deligne-Simpson problem and its weak version // Bulletin des Sciences Mathématiques 128/2 (2004) 105-1251.v. Levelt A.H.M. Hypergeometric functions. // Proc. Rnkl. netherl. Acad.wetensch., Ser A., 1961 vol 64.

11. Mal. B. Malgrange Sur les déformations isomonodromiques. /// Progr. Math., vol 37, Birkhäuser, Boston

12. Pal. J. Palmer Zeroes of Jimbo, Miwa, Ueno tau function // J. Math. Phys. 40 (1999), 6638-6681

13. Schll. L. Schlesinger Uber Lösungen gewisser Differentialgleihun-gen als Funktionen der singularen Punkte // J. Reine Angew. Math. 129 (1905), 287-294

14. Schl2. L. Schlesinger Uber eine Klasse von Differentialsystemen beliebiger Ordnung mit festen kritischen Punkten // J. Reine u. Angew. Math. 1912, V. 141,96-145

15. Boll. Болибрух A.A. 21-я проблема Гильберта для линейных фуксовых систем)/ Труды МИАН, Наука, 1994. том 206.

16. Во12. Болибрух A.A. Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения МЦНМО, Москва, 2000.

17. Во13. Болибрух A.A. Об изомонодромных слияниях фуксовых особенностей!! Труды МИАН, 1998, 224, 112-121.

18. Во14. A. Bolibruch/ On orders of movable poles of the Schlesinger equation!! J. Dynam. Control Systems, 2000,6(1),57-74

19. Bol5. A. Bolibruch On tau-function for the Schlesinger equation of isomonodromic deformation

20. Dubl. В. Dubrovin Geometry of 2D topological field theories // L.N.Math., Springer, Vol 1620, (1995) 120-348

21. Dub2. B. Dubrovin Painlevé transcendents in two-dimensional topological field theory The Painlevé property, Springer, New York, 1999,287-412

22. Gan. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц Наука, 1998

23. Gol. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. Гостехтеоретиздат,1950.1.. A. Its and V. Novokshenov The isomonodromic deformation method in the theory of Painleve equations// L.N.Math., Springer, Vol. 1191 (1986)

24. NY. D. Novikov, S. Yakovenko Lectures on meromorphic flat connections// arXiv:math.CA/0212334

25. Rim. Риман Б. Сочинения Гостехтеориздат, 1948