Об одном семействе однородных супермногообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ЯРОСЛАВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. К.Д.УШИНСКОГО

На правах рукописи УДК 512.816

БУНЕГИНА Вера Александровна

ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ ОДНОРОДНЫХ СУПЕРМНОГООБРАЗИЯ

(01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль 1992

/ ;.• /.У /

Работа1 выполнена на кафедре алгебры и математической логики Ярославского государственного университета

Научный рукоьодитель

доктор физико-математических наук, профессор О н и щ и к Аркадий Львович.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук А х и е з е р Дмитрий Наумович,

кандидат физико-математических наук, доцент Ястребов Александр Васильевич.

Ведущая организация - Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова.

Защита состоится МО.&лЛ 199.-. г. в ?

часов на заседании специализированного совета К ИЗ.27.01 при Ярославском государственном педагогическом институте по адресу: 150000, Ярославль, ул. Республиканская, 108.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного педагогического института им К.Д.Ушшского.

Автореферат разослан

1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук

В.Г.Шен,г Юровский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Лстуахьность темы. Как хорошо известно, однородные пространства комплексных груш Ли, являющиеся односвязныда троект гвными алгебраическими многообразиями, могут быть охарактеризованы как факторпространства g/p, где р - параболическая подгруппа связной комплексной полупростой группы Ли g, Эти однородные пространства часто называют флаговыми многообразиям!! Топология и геометрия флагоБ'х многообразий хорошо изучена, так как они играют существенную роль в различных раз^лах математики. В последние годы интенсивно изучаются параболические подалгебры простых комплексных супералгебр Ли и связанные с ними однородные комплексные супермно-гооС. 1зия. Это, прежде всего, суперграссманианы и супермногообразия флагов, введенные в рассмотрение Ю.И.Маниным СИ. Изучению их строения и свойств посвящены работы Ю.И.Манина, А.А.Воронова, И.Б. Пенкова, А.Л.Онищика, А.А.Серова и др. Интерес к этой тематик вызван, в частности, глубокими связями с теоретической физикой.

Одним из важных свойств флаговых многообразий является жесткость, т.е. отсутствие нетривиальных малых деформаций комплексной структуры на них. Оно следует из равенства ^(с/р.е) = о, где е -пучок ростков голоморфных векторных полей, доказанного Боттом в 1957 г. Этот факт в значительной мере связан с тем обстоятельством, что как полупростые комплексные группы Ли, так и параболические подгруппы в них являются жесткими объектами. Свойство жесткости, однако, теряется, когда мы переходим от груш Ли к комплексным супергрушам (или,супералгебрам) Ли. А именно,как показал В.Г.Кац [2], существует семейство простых комплексных супералгебр Ли D(2,i;a) (или г1а1,а2,а3) в обозначениях книги [3]), существенно зависящее от одного комплексного параметра. Это позволяет предположить существование нетривиальных семейств комплексных супермногообразия, допускающих транзитивное действие супералгебр Ли Г(а1.а2,а3).

цохь к результаты работы. В диссертации подробно изучено семейство компактных комплексных однородных супермногообразия размерности 2|2. соответствующее некоторой максимальной параболичес-

кой подсистеме системы корней супералгебры Ли г(а1,о2,о3). Это семейство р(о1,<72) включает в себя суперграссыаниан с2|2,1|1 " * с{-1,1) и может быть описано как семейство супермногообразий, имекдих то же присоединенное градуированное супермногообразке, что н этот суперграссманиан (его удобно представлять как двухпараыет-рическое семейство, хотя вблизи любой точки (^.Ог' * (0,0) оно существенно зависит лишь от одного параметра о1/о2). Получены следующие основные результата:

1) дана явная конструкция супермногообразий о{а1,а2) в терминах карт и функций перехода от одних координат к другим;

2) указан явный вид голоморфных• векторных полей на ,а2) и доказано, что супералгебра Ли всех тагос полей действует на супермногообразии транзитивно;

3) доказано, что супералгебра Ли голоморфных векторных полей на О(о1,с?2) при (о1,а2) * (0,0) изоморфна Г(сг1,о2,-о1- о2) (или 0(2,1 ,а1/а2)) и что стабилизатор точки является максимальной параболической подалгеброй;

4) вычислены группы когомо;. <гий супермногообразий в{о1,а2)

в размерностях I и 2 со значениями в пучке росткгв голоморфных векторных полей;

5) доказано, что аналитическое семейство с{а1,а2) полно в лю-' бой точке {о^,о2) е с2 и версально в точке (о,о).

Научная новизна. Все перечисленные выше результаты являются новыми.

Кетояи исследования. В работе применяются методы теории алгебр и супералгебр Ли, теории пучков, теории деформаций комплексных структур.

Теоретическая и прагтичесгая ценность. Работа НОСИТ теоретический характер. Методы и результаты могут быть применены к изучению других классов однородных супермногообразий.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедр алгебр Ярославского университета и Ярославского педагогического института и на семинаре по группам Ли и теории инвариантов Московского университета.

Пубаигпипп. Основные результаты диссертации опубликован" в работах И, 5, 6].

Структура диссертации. Диссертация изложена на 60 страницах машинописного текста. Работа сог-оит иг введения, трех глав и списка литературы, содержащего 19 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава, содержащая шесть параграфов, является вводной. В ней излолезны в удобной для нас форме различные сведения, используете в дальнейшем. 5 1.1 посвящен элементарной теории комплексны/. аналитических супермногообраз,гй. В 5 1.2 ог ;юано семейство супермногообразий размерности л|2, имеющих заданное присоединение градуированное супермногообразие (см. [1]). В 5 1.3 определяется суперграссманиан в21х | г. § 1.4 посвящен векторным полям на су-пермногообразитх. В /1.5 описана супералгебра Ли г(а1,а2,а3) и вычислены ее структурные константы. В § 1.6 указаны система корней, системы простых-корней и корневое разложение этой супералгебры Ли и описаны ее параболические подалгебры.

Глава 2 содержит три параграф.. В 5 2.1 содержится явная конструкция аналитического семейства супермногообразий где

2|е£, содержащего 02|2,1|1 а б(-1Д), основанная на деформации функций перехода этого суперграссманиана. Все супермногооб-рэзия нашего семейства имеют одну и ту же редукцию н = ср1 х ср1 . Рассматривается открытое покрытие {}1 2 3 4 многообразия и, являющееся произведением стандартных координатных покрытий проективных прямых. Если х^у^^/Г}^ - координаты в где 4?--ны, а нечетны, то функции перехода для в(о^,о2) имеют следующий вид:

„ [*2 + ~у2% *2\ г~г

х3

"3 + а

3

~*л У А ^

4 У4 п4

„-1

4

"2*4

1-2

У* «4^

Доказывается, ЧТО * в((72,ст1) И что <Цси1,а>2) а

X

для любого с е с, с * о. Здесь же устанавливается, что построенное семейство совпадает с семейством супермногообразий, имеющих то же присоединенное градуированное супермкогообразие,.что и g2,2 ^

В 5 2.2 дается явное описание суперс-лгебры Ли b(oito2) голоморфных векторных полей на супермногообразии G(a1(<J2). Рассмотрим.

векторные поля xt а • 1.....9), Yj и • 1.....8), задающиеся в и,

следующими формулами, в которых мы полагав : а3 = -а1 - а2 и для -фостоты опускаем индекс 1 у локальных координат:

х. « а/ вх, 2

« - X Э/дх + З/Эу - х£д/д£ - ХГ)д/дп.

Х3 » 2x3/дх ♦ £Э/ ♦ пЗ/dq.

X. « О/ду, 2

» - у З/Зу *■ о^.&дх - У53/65 - угр/дГ), Х6 • 2уд/ду * £Э/ Э? ♦ чЭ/дг).

х1 ' - пэ/а?. Xg « - 5Э/0п, лг9 • еэ/а? - пз/вп. г, * а/а?. гг = з/дт).

У3 « о2£д/9у ♦ хд/дп. К4 ■ - в2Г|Э/ау + хэ/ее, 1*5 * о^Э/дх ♦ уд/От]. Yg = - OjpO/dx + уЭ/35, У7 « • о^хф/дх - а2уф/3у * (ху - aj£r))3/3£, YB " ai*&/ax * °2У&/3У * 1*У ' о3(п)3/дг).

Теорема 1. ЕСЛИ (п1Го2) * (0,0), TO Х± (i = l/X^.9), Yj (j = = i,...,d) составляют базис супералгебру Ли ь(а1,о2), которая изоморфна Г(а1.о2,о3).

Супералгебра Ли ь(о,о) натянута на базис xi (i = i,...,io),

Yj (j = l.....8), где x10 = еэ/ае + чо/зп. и изоморфна г{о,о,о) ♦

+ <о, где ad с - z-градуирующее дифференцирование.

В § 2.3 доказывается, что супермногообразие g(o1,o2) однород но, т.е. что голоморфные векторные поля на нем могут принимать произвольные значения в любой точке. Здесь же вычисляется естественная фильтрация супералгебры Ли ь(а1,а2) и находится стабилизатор точки, коирый оказывается максимальной параболической подалгеброй В Ь(а1,а2).

Заключительная глава 3 состоит из двух параграфов. В 5 3.1 вычисляются когомологии (в положительных размерностях) пучка 7{alt<J2) ростков голоморфных ВвКТОрНЫХ полей на G(ах,<т2).

- б -

Творена 2. Имеем

. (1, если (а.,а.) * (0,0),

dim /TIM,* я ) » | 1 *

°1'а2 [2, если а\ " я2 т

Я2 С.«,. „ ) я 0 ДЛЯ ЛИ-JX a,. J,.

В 5 о.2 семейство 0(ох,о2) изучается с точки зрения теории деформаций аналитических структур. Основной результат состоит в том, что оно в некотором естественном смысле содержит все малые деформации любого из входящих в него супермногообразий.

Теорема з. Семейство g(o1(o2) является полной деформацией в любой точке lat,o2) € с2.

Доказывается также, что деформация g(<j1(ct?) верса'ьна в течке (о.о), а при (at,a2) * (0,0) Ее, сальная деформация супермногообразия g(o1(<t2) параметризована открытым множеством в с.

ЛИТЕРАТУРА

1. Манин D.H. Калибровочные поля и комплексная геометрия. - М.: Наука, IS84.

2. Кас V.G. Не superalgebras // Adv. Math.. - 1977. - V. 26, К 1. - Р. 8 - 96.

3. Scheunert Н. The theory о£ Lie superalgebras // Lecture Notes in Hath. — H 716. - Berlin: Springer-Verlag, 1979.

Работы автора по теме диссертации:

4. Вычисление супералгебры Ли векторных полей на суперграссманиане °2|2 Iii 11 ВогтР- теории групп и гомолог, алгебры. - Ярослав.-s, 1989'. - С. 157 - 160.

5. Об одном семействе однородных супермногообразия // Вопр. теории групп и гомолог, алгебры. - Ярославль, 1992. - С. 153 - 157 (совм. с Онищиком А.Л.).

3.2321-92. Т. 100.ЯШ!