Об отделимости подгрупп в некоторых классах конечных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правахрукописи

СОКОЛОВ ЕВГЕНИЙ ВИКТОРОВИЧ

ОБ ОТДЕЛИМОСТИ ПОДГРУПП В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

01.01.06—математическаялогика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соисканиеученой степени кандидата физико-математическихнаук

Ярославль 2004

Работа выполнена в Ивановском государственном университете на кафедре алгебры и математической логики

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, профессор МОЛДАВАНСКИЙ ДАВИД ИОНОВИЧ.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ГЛУХОВ МИХАИЛ МИХАЙЛОВИЧ, кандидат физико-математических наук, доцентКлячкоАнтонАЛЕКСАНДРОВИЧ.

Ведущая организация:

Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого.

Защита состоится 16 июня 2004 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета К 212.307.05 в Ярославском государственном педагогическом университете им. К. Д. Ушинского по адресу: 150000, г. Ярославль, ул. Республиканская, 108.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного педагогического университета им. К. Д. Ушинского.

Автореферат разослан «_»_2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТ ЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ: Напомним, что подгруппа //группы G называется отделимой в классе групп К, или, короче, К,-отделимой, если для всякого элемента geG\H существует такой гомоморфизм- \(/ группы G на некоторую ^-группу, что Таким образом, группа G аппроксимируема в классе К

тогда и только тогда, когда ее единичная подгруппа является ^-отделимой, и, стало быть, понятие отделимости можно рассматривать как обобщение понятия аппроксимируемости.

Если класс К гомоморфно замкнут, то имеет место более сильное утверждение: ДС-отделимость нормальной подгруппы N группы G оказывается равносильной /С-аппроксимируемости фактор-группы GIN. Это замечание позволяет, в частности, свести описание /С-отделимых подгрупп абелевой группы к поиску критерия ^-аппроксимируемости. Однако в общем случае подобное сведение не может быть выполнено и, таким образом, изучение свойства отделимости подгрупп представляет самостоятельный интерес.

Понятие отделимости в произвольном классе групп впервые было введено, А. И.Мальцевым. В работе [33] он указал на особую роль, которую играет отделимость в классе F всех конечных групп, называемая по аналогии с аппроксимируемостью финитной. Им было установлено, что финитная отделимость данной подгруппы Н конечно определенной финитно аппроксимируемой группы G гарантирует существование алгоритма, распознающего принадлежность произвольного элемента из G подгруппе Н. Это означает, в частности, что любая конечно определенная финитно аппроксимируемая группа имеет разрешимую проблему тождества: Если же все подгруппы такой группы являются финитно отделимыми, то для нее оказывается разрешимой и проблема вхождения.

В настоящей работе рассматривается более тонкое свойство отделимости в классе Тх всех конечных я-групп, где л — некоторое непустое множество простых чисел.

Очевидно, что если подгруппа//является, ^„-отделимой в группе G, то все корни степеней, извлекающиеся в G из ее элементов, должны снова принадлежать Я (здесь и далее л' обозначает множество всех простых чисел, не принадлежащих тс). Подгруппу, обладающую этим свойством; называют л*-изолированной в группе G.

Таким образом, если тс отлично от множества всех простых чисел П и если G содержит хотя бы один элемент, порядок которого не является я-чис-лом, то уже заведомо не все подгруппы-группы G будут ^„-отделимыми. Поэтому в качестве обобщения свойства финитной отделимости всех подгрупп данной группы имеет смысл рассматривать утверждение об ^„-отделимости.

а

о» ■»

простых чисел п (подробно этот вопрос обсуждается в § 1.3 диссертации), и уже поэтому изучение его представляет определенный интерес.

Однако для выделения понятия ^„-отделимости в качестве самостоятельного объекта исследования существуют, разумеется, и другие, более веские основания. Это понятие оказалось весьма полезным при изучении аппрокси-мационных свойств различных свободных конструкций групп. В качестве иллюстрации мы приведем два сравнительно новых результата, полученных в данном направлении.

Согласно К. Грюнбергу [13] класс групп К называют корневым, если он замкнут относительно взятия подгрупп и конечных прямых произведений и ес-л и для любого субнормального ряда 1 <С<В<А такого, АШ& Хти 2?/(Зе К, в группе А существует нормальная подгруппа В, лежащая в С, фактор-группа по которой снова принадлежит К. Легко видеть, что корневыми являются, в частности, все классы независимо от выбора множества

Пусть теперь А и В — две изоморфные копии некоторой группы и а: А —>В — изоморфизм. Пусть также Н — подгруппа группы А, К=Н<х и отображение <р: Н—*К получается ограничением на Низоморфизма а. Д. Н. Азаров и Д. Тьеджо показали [28], что свободное произведение С=(А*В\ Н-К, ф) групп А и В с подгруппами Ни К, объединенными относительно изоморфизма ф (т. е. группа, задаваемая образующими и определяющими соотношениями групп А и В, а также всеми соотношениями вида А=Лф, где элемент И пробегает подгруппу Н), аппроксимируется корневым классом К. тогда и только тогда, когда группа А /С-аппроксимируема и подгруппа Н является ^-отделимой в этой группе.

Другой пример касается конструкций свободного произведения двух групп с коммутирующими и централизованными подгруппами.

Напомним (см. [32, с. 230]), что если А и В — некоторые группы, Н — подгруппа группы А и К — подгруппа группы В, то свободным произведением групп А и В с коммутирующими подгруппами НиК называется группа

в^(А*В;[Н.К] = 1),

задаваемая всеми образующими и определяющими соотношениями групп Л и В, а также соотношениями вида [А, 1, где элемент И пробегает подгруппу Н, а элемент к— подгруппу К.

Аналогичным образом определяется свободное произведение

02={А*В-,[А,К]=\,[Н,В}=\)

группа А и В с централизованными подгруппами Н и К (там же, с 231): эта группа задается образующими и определяющими соотношениями групп А и В и всеми соотношениями вида

Е. Д. Логинова в работах [29] и [30] показала, что если множество п состоит из одного числа или совпадает с множеством всех простых чисел и если группы А и В .^„-аппроксимируемы, то аппроксимируемость групп 01 и 02

классом равносильна ^„-отделимости в группах А и В подгрупп Ни К, соответственно.

Таким образом, вопрос об .^„-аппроксимируемости указанных конструкций сводится к изучению ^„-отделимых подгрупп свободных множителей.

В действительности, ^„-отделимость связанных подгрупп очень часто выступает в качестве одного из достаточных (а иногда и необходимых) условий ^„-аппроксимируемости обобщенных свободных произведений групп, ИММ-расширений и других свободных конструкций (см., напр., [5], [6], [34], значительное число результатов такого рода получено и в данной работе). Это обстоятельство является, пожалуй, одной из главных причин исследования свойства отделимости подгрупп в случае, когда я не совпадает с множеством всех простых чисел.

Настоящая работа посвящена, главным образом, изучению .^„-отделимости подгрупп свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой. Интерес к этой конструкции объясняется в числе прочего следующими двумя обстоятельствами.

С одной стороны, даже обычное свободное произведение двух групп с отделимыми подгруппами не обязано обладать тем же свойством. В качестве примера достаточно рассмотреть свободную группу ранга 2. Она представляет собой свободное произведение двух бесконечных циклических групп, все подгруппы которых финитно отделимы, и в то же время содержит подгруппу, неотделимую в классе

С другой стороны, некоторые свободные конструкции могут быть построены с использованием одного лишь обобщенного свободного произведения двух групп. К их числу относятся уже упоминавшиеся выше свободные произведения групп с коммутирующими и централизованными подгруппами, а также так называемое полигональное произведение четырех и более групп с тривиальными пересечениями. Как показывают работы [1], [16], [23], [31], достаточные условия финитной отделимости циклических подгрупп обобщенного свободного произведения двух групп играют ключевую роль в доказательстве аналогичных свойств перечисленных свободных конструкций.

Приведем теперь краткое описание известных результатов, касающихся отделимости подгрупп свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой.

Прежде всего необходимо отметить, что систематическому изучению подвергалось только свойство финитной отделимости. Как известно, в свободной группе этим свойством заведомо обладают лишь конечно порожденные подгруппы [ 14], в то время как для остальных ситуация оказывается неоднозначной. Поэтому и для свободных конструкций имело смысл искать достаточные условия финитной отделимости всех конечно порожденных подгрупп (для обозначения групп с финитно отделимыми конечно порожденными

подгруппами в иностранной литературе используется термин Locally Extended ResiduallyFinite, сокращенно LERF, введенный Р. Бернсом в [9]).

Некоторые наиболее важные положительные результаты, полученные в этом направлении, содержатся в работах [3], [4], [8], [10], [12]. Вместе с тем в [И] и [21] построен целый ряд примеров обобщенных свободных произведений групп, уже не обладающих свойством LERF, в то время как их свободные множители являются LERF-группами. В частности, существует пример свободного произведения двух конечно порожденных нильпотентных групп с циклическим объединением, содержащего конечно порожденную подгруппу, не являющуюся финитно отделимой [2].

Весьма продуктивным направлением оказалось также исследование финитной отделимости циклических подгрупп. Связано это с тем, что здесь можно использовать по сути те же самые методы, что и при изучении свойства финитной аппроксимируемости. Основополагающей в данной области является работа П. Стиба [22], в ней же введен термин «пс-группа» для обозначения групп с финитно отделимыми циклическими подгруппами.

Ввиду схожести методов естественно было ожидать, что многие обобщенные свободные произведения групп, обладающие свойством финитной аппроксимируемости, в действительности окажутся яс-группами. Значительное число результатов такого рода содержится в работах [3] и [17] (см. также [23]). Тем не менее можно привести пример свободного произведения двух групп с финитно отделимыми объединяемыми подгруппами, которое является финитно аппроксимируемой, но не группой (§ 2.2 диссертации).

В отличие от случая финитной отделимости вопрос об отделимости конечно порожденных подгрупп свободной группы остается пока открытым. Это обстоятельство вынуждает при изучении свойства отделимости в свободных конструкциях групп ограничиться рассмотрением циклических подгрупп.

ЦЕЛЬ ДИССЕРТАЦИОННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ заключалась в описании ^„-отделимых циклических подгрупп обобщенного свободного произведения двух групп. Кроме того, рассматривался вопрос об отделимости в классе !FK подгрупп разрешимых групп, а также групп, аппроксимируемых разрешимыми без кручения.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РЕЗУЛЬТАТОВ. Все доказанные утверждения являются новыми. Помимо прочего, в работе

• найдено описание циклических подгрупп обобщенного свободного произ-

* Отрицательный ответ на этот вопрос в случае, когда множество к является одноэлементным, был недавно получен В. Г. Бардаковым (частное сообщение). Им построен пример конечно порожденной изолированной подгруппы свободной группы, не являющейся отделимой в классе нильпотентных групп, а, следовательно, и в классе конечных р-групп для любого простого числар.

ведения двух групп, отделимых в классе конечных я-групп, которое дополняет работу Г. Кима [17];

• получен ряд утверждений об отделимости циклических подгрупп в свободных произведениях разрешимых и нильпотентных групп, обобщающих некоторые результаты из работ Р. Б. Д. Т. Олленби и Р. С. Грегорака [3], Д. Н. Азарова [25], [26], [27], Е. Д. Логиновой [29] и др.;

• указаны новые достаточные условия аппроксимируемости обобщенного свободного произведения нильпотентных групп и групп, аппроксимируемых нильпотентными без кручения;

• установлены некоторые факты, касающиеся отделимости подгрупп в нильпотентных группах, дополняющие результаты А. И. Мальцева [33];

• приведены новые примеры конечно определенных групп, являющихся финитно аппроксимируемыми и, следовательно, имеющих разрешимую проблему тождества.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертации используются ставшие уже стандартными методы комбинаторной теории групп, в частности, методика изучения финитной аппроксимируемости обобщенных свободных произведений, предложенная Г. Баумслагом [6] и получившая развитие в работах П. Сти-ба [22] и Е. Д. Логиновой [29]. Автором разработана некоторая модификация данной методики, позволяющая изучать отделимость циклических подгрупп обобщенных свободных произведений групп в классе конечных -групп.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ РАБОТЫ. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты и методы их доказательства могут найти применение в дальнейших исследованиях в данной области.

Личный ВКЛАД АВТОРА Все результаты диссертационного исследования получены соискателем самостоятельно.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты исследования докладывались на конференциях «Научно-исследовательская деятельность в классическом университете» (Иваново, ИвГУ, 2001, 2003 гг.), «Молодая наука в классическом университете» (ИвГУ, 2002, 2003 гг.), алгебраическом семинаре под руководством А. Л. Шмелькина и А. Ю. Ольшанского (Москва, МГУ, 2002 г.), семинаре по теории групп под руководством Д. И. Молдаванского (ИвГУ, 2001-2003 гг.).

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, двух частей, разбитых на 11 параграфов, и дополнения, также содержащего 2 параграфа. Список литературы включает 50 наименований. Для удобства читателя в конце приводится указатель используемых обозначений, как стандартных, так и введенных автором. Общий объем работы — 94 страницы.

КРАТКИЙ ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ.

В первой части работы изучается .Я*,,-отделимость подгрупп разрешимых групп.

Вопрос о том, при каких условиях все подгруппы разрешимой группы являются финитно отделимыми, был исследован А. И. Мальцевым в уже упоминавшейся выше статье [33]. Он рассмотрел определенный класс разрешимых групп, названных им ограниченными, и показал, что все они имеют финитно отделимые подгруппы и при этом для разрешимых групп без кручения свойства ограниченности и финитной отделимости всех подгрупп равносильны. Класс ограниченных разрешимых групп мы будем обозначать символом 5.

В § 1.2 получено частичное обобщение приведенного результата: установлено, что в группах, аппроксимируемых классом «Б ограниченных разрешимых групп без кручения, все ¿-подгруппы (т. е. подгруппы, принадлежащие классу Б), являются финитно отделимыми.

Далее естественно возникает вопрос о том, нельзя ли все эти результаты распространить на случай произвольного множества Оказывается, что сделать это в полном объеме невозможно. Так, даже для полициклических групп, которыми, как показано в § 1.1, исчерпываются все конечно порожденные «Б-группы, отсутствие я'-кручения не гарантирует еще аппроксимируемости конечными я-группами (соответствующий пример приведен в § 1.3).

Однако для несколько более узкого класса конечно порожденных ниль-потентных групп указанный критерий имеет место [13]. Более того, известно, что в конечно порожденной нильпотентной группе все я'-изолированные подгруппы являются ^-отделимыми при любом выборе множества л [27], [29]. Поэтому возникает идея попытаться распространить приведенные результаты на ограниченные разрешимые группы, являющиеся нильпотентными.

И это удается проделать. Класс всех таких групп мы будем называть классам ограниченных нильпотентных групп и обозначать символом ДЛ В § 1.4 показано, что все я'-изолированные подгруппы Л-групп являются ^„-отделимыми, а в § 1.5, — что в группах, аппроксимируемых классом ограниченных нильпотентных групп без кручения, все я'-изолированные ТУ-подгруппы ^"„-отделимы. В действительности, доказана несколько более сильная

Теорема 1. Пусть О — Л-аппроксимируемая группа, Н - Л-подгруппа группы О ступени с, п — некоторое множество простых чисел. Тогда множество п'-корней из подгруппы Нявляется отделимой И-подгруппой ступени с. В частности, каждая п'-изолированная Л-подгруппа группы С отделима

Если группа С аппроксимируется конечно порожденными нильпотент-ными группами без кручения, то множество п'-корней из подгруппы Н также является конечно порожденной подгруппой.

Эта теорема обобщает, в частности, известное утверждение о том, что в

свободной группе все изолированные циклические подгруппы отделимы [19], [27].

Используя стандартное рассуждение, перечисленные результаты можно усилить следующим образом.

Теорема 2. В конечном расширении S-группы все подгруппы финитно отделимы. В конечном расширении S0-аппроксимируемой группы все S-nod-группы финитно отделимы.

Теорема 3. В расширении ТУ-группы при помощи конечной п-группы все п'-изолированные подгруппы Т,сотделимы. В расширении 7У0-аппроксимируемой группы при помощи конечной п-группы все п'-изолированные 8-подгруппы З-ц-отделимы.

Основные результаты получены во второй части работы, где изучается ^„-отделимость подгрупп свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой.

Для дальнейшего изложения нам будет удобно ввести специальное обозначение для семейства всех ^„-отделимых и, следовательно, я'-изолиро-ванных циклических подгрупп произвольной группы X. Также через АК(Х) мы будем обозначать семейство всех ^'-изолированных циклических подгрупп группы X, не являющихся .^-отделимыми в этой группе.

Пусть группа О представляет собой свободное произведение групп А и В с собственными подгруппами Н и К, объединенными относительно изоморфизма (эти обозначения мы будем далее предполагать фиксированными). Очевидно, что если л'-изолированная циклическая подгруппа группы А не является -отделимой в этой группе, т. е. принадлежит семейству то

она не будет ^„-отделимой и во всей группе О. Таким образом, семейство Д„(С?) заведомо содержит все л'-изолированные подгруппы, сопряженные с подгруппами из объединения А„(Л)иАп(В). Однако совпадение, означающее максимальность семейства не обязательно имеет место (соответствую-

щий пример приводится в § 2.2).

Обозначим через семейство пар подгрупп, получаемых пересечением с группами А и В всевозможных нормальных подгрупп конечного я-индекса группы С. Кроме того, символами 0*04) и вп(В) будем обозначать проекции этого семейства на группы А и В. В § 2.2 найдено описание семейства А„(С7) при следующих ограничениях, накладываемых на группу О:

(0 П Г)

(И)П НЫ=Н, П КМ-К.

Установлено, в частности, что условия (¡) и (и) гарантируют ^"„-аппроксими-руемость группы и отделимость всех ее изолированных циклических

подгрупп, порождаемых циклически несократимыми элементами неединичной длины.

Для читателей, знакомых с методикой Г. Баумслага [6] и ее расширением П. Стиба [22], уточним, что указанное описание получено с использованием все той же идеи аппроксимируемости обобщенными свободными произведениями конечных групп, которую удалось распространить на случай произвольного класса а соотношения (1) и (И) представляют собой, очевидно, обобщение хорошо известного «фильтрационного условия» Г. Баумслага.

Стоит отметить, что почти все «аппроксимационные» результаты для свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой получены в предположении справедливости условий (¡) и (и). При этом условие (¡), как нетрудно проверить, является необходимым для аппроксимируемости группы G. В некоторых случаях (например, когда группы А и В нильпотентны) это верно и в отношении условия (и).

Найденное описание обобщает результаты Г. Кима, полученные им в [17] для обобщенных свободных произведений двух групп. Кроме того, аппроксимируемость группы О при выполнении соотношений (¡) и (и) установлена в [6] для случая я=П и в [29] для случая п— {р}.

Следующий параграф (2.3) содержит несколько достаточно общих условий максимальности семейства Отметим, что если группы А и В -аппроксимируемы, то максимальность данного семейства влечет за собой и -аппроксимируемость группы G.

Дальнейшее рассуждение (§§ 2.4-2.6) осуществляется традиционным путем: на группы А и В, подгруппы Ни К и изоморфизм ф накладываются разнообразные ограничения, позволяющие применить то или иное условие из § 2.3. Наиболее жесткими эти ограничения оказываются для объединяемых подгрупп. Рассматриваются три основные ситуации: когда подгруппы Н и К являются конечными, циклическими (возможно, локально) и нормальными в группах А и В, соответственно.

Хорошо известно (см., напр., [3]), что свободное произведение двух -групп с конечным объединением снова является -группой. Обобщением этого утверждения служит

Теорема 4. Пусть группы А и В финитно аппроксимируемы, подгруппы Н и К конечны. Тогда семейство Дп((?) является максимальным.

Оказывается, однако, что уже свободное произведение с циклическим объединением двух Яс-групп не обязано быть яс-группой [2]. Таким образом, здесь не представляется возможным получить результаты, столь же общие, как и для конечной объединяемой подгруппы. Теорема, приводимая ниже, позволяет лишь несколько обобщить результаты Р. Б. Д. Т. Олленби и Р. С. Грегора-ка [3], касающиеся обобщенных свободных произведений почти полициклических групп.

Теорема 5. Пусть группы А и В представляют собой конечные расширения Б-групп или Б0-аппроксимируемых групп, и пусть если какой-либо из множителей А, В не является почти Б-группой. Пусть также выполняется хотя бы одно из следующих трехусловий:

1) Ни К циклические подгруппы;

2) Н<, 2(А) или Кй 2(В) {здесь и далее 2(Х) обозначает центр группыX);

3) Ни К— нормальные подгруппы свободных множителей А и В. Тогда О — пс-.группа.

Заметим, что финитная аппроксимируемость группы С в случае, когда множители А и В удовлетворяют условиям теоремы 5, а подгруппы Н и К являются циклическими, была установлена Д. Н. Азаровым в [24] и [26].

Как уже было отмечено, свойство ^„-отделимости для множества п, отличного от П, в литературе фактически не рассматривалось. Аппроксимируемость групп классом также изучена значительно менее финитной. Автору известно лишь три результата достаточно общего характера, полученных в этом направлении для обобщенных свободных произведений двух групп. Первый из них — критерий Г. Хигмена [15] аппроксимируемости классом конечных р-групп свободного произведения с объединенной подгруппой двух конечных групп. Два других принадлежат Д. Н. Азарову и представляют собой необходимые и достаточные условия аппроксимируемости свободного произведения с циклическим объединением свободных групп [25] и конечно порожденных нильпотентных групп [27]. Отметим, что частные случаи последних двух утверждений для одноэлементного множества п получены также Г. Кимом и С. Тангом в [19].

Техника доказательства аппроксимационных свойств группы О в случае вообще говоря, сложнее, нежели в случае Поэтому, как правило, мы можем лишь надеяться получить р-аналоги отдельных результатов об отделимости подгрупп и аппроксимируемости группы О в классе Т. Однако, в случае циклической объединяемой подгруппы ситуация складывается прямо противоположная.

Если свободное произведение двух 7Гс-групп с циклическим объединением может, вообще говоря, не быть Лс-группой, то свободное произведение двух аппроксимируемых групп с отделимыми циклическими объединяемыми подгруппами всегда является .^-аппроксимируемой группой [18] и обладает максимальным семейством .^-отделимых циклических подгрупп. В действительности, имеет место еще более сильная

Теорема 6. Пусть А и В — Тр-аппроксимируемые группы, Ни К — локально циклические подгруппы, Рр-отделимые в свободных множителях А и В. Тогда семейство &р((1)являетсямаксимальным.

Кроме сформулированной теоремы в § 2.5 получен еще ряд утверждений, касающихся отделимости циклических подгрупп в свободных произве-

дениях с циклическим объединением. Основным из них является

Теорема 7. Пусть АиВ — либо свободные, либо ограниченные нильпо-тентные группы, Ни К— {локально) циклические подгруппы. Если группа О

аппроксимируема, то все ее я'-изолированные циклические подгруппы Р-от-делимы.

Отметим, что критерий ^„-аппроксимируемости группы О здесь известен: в случае, когда группы А и В свободны, он получен Д. Н. Азаровым, если же А,Ве.М, — доставляется теоремой 10 (см. ниже).

Следующие две теоремы содержат результаты, полученные для свободных произведений с конечным объединением и для обобщенных свободных произведений почти ^„-аппроксимируемых групп. Первая из них обобщает ряд утверждений из работы Г. Хигмена [15].

Теорема 8. Пусть группы АиВ Тр-аппроксимируемы, подгруппы Н и К конечны.

1) Если группа С Тр-аппроксимируема, то семейство ДДС?) максимально.

2) Если подгруппы И и Кявляются циклическими или хотя бы одна из них лежит в центре соответствующего свободного множителя, то группа С? Тр-аппроксимируема.

3) Если подгруппы Ни К нормальны в свободных множителях А и В, то группа в рр-аппроксимируема тогда и только тогда, когда Тр-аппрок-симируемой является фактор-группа аН(№есь Н обозначает, как обычно, коммутант группы Н).

Теорема 9. Пусть группы А и В представляют собой расширения М^п-проксимируемыхгрупп при помощи конечныхр-групп, Ни Кявляютсяр'-изоли-рованными Б-подгруппами {мы используем символр' для обозначения множества {р} '). Пусть также выполнено хотя бы одно из следующих трех условий:

1) НиК —локально циклические подгруппы;

2) Н<,2(А) или Кй2(В)\

3) подгруппы Н и К нормальны в свободных множителях и фактор-группа С!НРН Тр-аппроксимируема.

Тогда в группе О всер '-изолированные циклические подгруппы отделимы.

В несколько ослабленном варианте последнюю теорему удается распространить на случай произвольного множества л.

Теорема 10. Пусть АиВ - аппроксимируемые Ы-группы (т. е. их периодические частиявляются п-группами) или Л^-аппроксимируемые группы, Ни К -л' -изолированные Ы-подгруппы (условие Н, К е N выполняется автоматически, если хотя бы один из свободных множителей является Щ-груп-пой). Пусть также имеет место по крайней мере одно из следующих трехус-ловий:

1) Ни К—локально циклические подгруппы',

2) H<,Z{A) или K<>Z(B)\

3) H и К — нормальные подгруппы свободных множителей А и В, и подгруппа H/fT группы G/H является локально циклической или лежит в центрехотя бы одной изфактор-групп AUf, ВИТ.

Тогда в группе G все п'-изолированные циклическиеподгруппыТ^-отделимы.

Здесь необходимо напомнить, что если то условие (ii), а стало

быть, и 7с'-изолированность подгрупп Ни К, оказываются необходимыми для аппроксимируемости группы G классом Т„,. Тем самым, мы получаем критерий ^„-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения Л-групп в случае, когда объединяемые подгруппы являются локально циклическими или хотя бы одна из них лежит в центре соответствующего свободного множителя. Этот критерий обобщает и дополняет упомянутый выше результат Д. Н. Азарова.

Наконец, дополнение содержит своего рода иллюстрацию применения полученных утверждений к некоторым конечно определенным группам. Рассуждения, используемые здесь, достаточно специфичны, и это послужило основанием для выделения данной части работы в отдельный раздел. В § Д. 1 рассматриваются группы вида

(iii)

представляющие собой частный случай так называемых групп Баумслага-Со-литэра [7]. Напомним, что последние имеют представление

Gkj={a, с; с~'д'с=<Д

где без потери общности можно считать, что т. е. являются всевоз-

можными HNN-расширениями бесконечной циклической группы.

Ограничение /= 1, принятое в данной работе, является достаточным (но не необходимым) условием финитной аппроксимируемости группы [20]. Кроме того, что более важно, оно позволяет ввести достаточно простую каноническую форму записи элемента группы используя которую удается подробно исследовать строение подгрупп этой группы.

В § Д. 1 найдено описание финитно отделимых подгрупп группы G*. Здесь же доказано, что если группа <7* ^-аппроксимируема, то все ее/> -изолирован-ные подгруппы отделимы (критерий аппроксимируемости группы Gk конечными р-группами получен в работе [34]).

Далее предполагается, что % совпадает с множеством всех простых чисел или является одноэлементным. При этих ограничениях в § Д.2 установлено, что обобщенное свободное произведение G двух ^„-аппроксимируемых групп вида (iii) в свою очередь является ^„-аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда объединяемые подгруппы ^„-отделимы в свободных множителях. При этом ^"„-аппроксимируемость группы G влечет за собой максимальность семейства В частности, если то все изолированные циклические подгруппы группы G оказываются ^„-отделимыми.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

1. Allenby R. В. J. Т. Polygonal products of polycyclic by finite groups // Bull. Aust. Math. Soc. 1996. V. 54, № 3. P. 369-372.

2. Allenby R. B. J. Т., DonizD. A free product of finitely generated nilpotent groups amalgamating a cycle that is not subgroup separable // Proc. Am. Math. Soc. 1996. V. 124, № 4. P. 1003-1005.

3. Allenby R. B. J. Т., Gregorac R. J. On locally extended residually finite groups //Lecture Notes Math. 1973. V. 319. P. 9-17.

4. Allenby R. B.J. T., Tang C. Y Subgroup separability of generalized free products offree-by-finite groups // Can. Math. Bull. 1993. V. 36, № 4. P. 385-389.

5. Baumslag В., TretkoffM. Residually finite HNN-extensions // Comm. Algebra. 1978. V. 6. P. 179-194.

6. Baumslag G On the residual finiteness of generalized free products of nilpotent groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. V. 106. P. 193-209.

7. Baumslag G, SoliterD. Some two-generator one-relator non-Hopfian groups // Bull. Amer. Math. Soc. 1962. V. 68. P. 199-201.

8. Brunner A. M, Burns R. G, Solitar D. The subgroup separability of free products of two free groups with cyclic amalgamation // Contributions to group theory. Contemp. Math. 1984. V. 33. P. 90-115.

9. Burns R. С. On finitely generated subgroups of free products // J. Austral. Math. Soc. 1971. V. 12. P. 358-364.

10. Gitik R. Graphs and separability properties of groups // J. Algebra. 1997. V. 188, №1. P. 125-143.

11. GitikR., Rips E. A necessary condition for A to be LERF // Isr. J. Math. 1991. V. 7 3, № 1. P. 123-125.

12. GitikR., Rips E. On separability properties of groups // Int. J. Algebra Corn-put. 1995. V. 5, № 6. P. 703-717.

13.GruenbergK. W. Residual properties of infinite soluble groups // Proc. London Math. Soc. Ser. 3.1957. V. 7. P. 29-62.

14.HallM. Jr. Coset representation in free groups // Trans. Am. Math. Soc. 1949. V. 67. P. 421-432.

15.Higman G Amalgams ofp-groups IIJ. Algebra. 1964. V. 1. P. 301-305.

16. Kim G On polygonal products of finitely generated abelian groups // Bull. Aust. Math. Soc. 1992. V. 45, № 3. P. 453л62.

17.Kim G Cyclic subgroup separability of generalized free products // Canad. Math. Bull. 1993. V. 36 (3). P. 296-302.

18.Kim G, McCarron J. On amalgamated free products of residually p-finite groups// J. Algebra. 1993. V. 162, № 1. P. 1-11.

19. Kim G, Tang C. Y On generalized free products ofresidually finite ^-groups // J. Algebra. 1998. V. 201. P. 317-327.

20. MeskinS. Non-residually finite one-relator groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. V. 164. P. 105-114.

21. Rips E. An example of a non-LERF group which is a free product of LERF groups with an amalgamated cyclic subgroup // Isr. J. Math. 1990. V. 70, № 1. P. 104-110.

22. Stebe P. Residual finiteness of a class of knot groups // Comm. Pure and Applied Math. 1968. V. 21. P. 563-583.

23. Wong P. C, Tang C. K. Residual finiteness of generalized free products of isomorphic groups //Algebra Colloq. 1997. V. 4, № 2. P. 133-139.

24. Азаров Д. Н. Финитная аппроксимируемость некоторых свободных произведений групп с циклическим объединением // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. Вып. 1 (1997). С. 4-10.

25. Азаров Д. Н. О нильпотентной аппроксимируемости свободных произведений свободных групп с циклическим объединением // Мат. заметки. 1998. Т. 64. Вып. 1.С. 3-8.

26. Азаров Д. Н. Финитная аппроксимируемость свободного произведения ограниченных разрешимых групп с циклическим объединением // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. Вып. 2 (1999). С. 3-4.

27. Азаров Д. Н. Финитная аппроксимируемость и другие аппроксимацион-ные свойства свободных произведений групп с одной объединенной подгруппой // Иванов, гос. ун-т. - Иваново, 1999, - 55 с. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 28.04.99 № 1371-В99.

28. Азаров Д. H, ТьеджоД. Об аппроксимируемости свободного произведения групп с объединенной подгруппой корневым классом групп // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. Вып. 5 (2002). С. 6-10.

29. Логинова Е. Д. Финитная аппроксимируемость свободного произведения двух групп с коммутирующими подгруппами // Сиб. матем. ж. 1999. Т. 40, № 2. С. 395-407.

30.Логинова Е.Д. Финитная аппроксимируемость свободного произведения двух групп с централизованными подгруппами // Науч. тр. Иван. гос. унта. Математика. Вып. 2 (1999). С. 101-104.

31. Логинова Е. Д. Финитная отделимость циклических подгрупп свободного произведения двух групп с коммутирующими подгруппами // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. Вып. 3 (2000). С. 49-55.

32. Магнус В., Каррас А., СолитэрД. Комбинаторная теория групп. М., 1974.456 с.

33. Мальцев А. И. О гомоморфизмах на конечные группы // Учен. зап. Иван, гос. пед. ин-та. 1958. Т. 18. С. 49-60.

34. Молдаванский Д. И. Аппроксимируемость конечными р-груплами HNN-расширений // Вестн. ИвГУ. Сер. «Биология, Химия, Физика, Математика». Вып. 3 (2000). С. 129-140.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Соколов Е. В. Финитная аппроксимируемость некоторых свободных про-

изведений с объединенной подгруппой // Матер. XXXVIII Межд. науч. студ. конф., 10-14 апреля 2000 г. Математика. Ч. И. Новосибирск: НГУ, 2000. С. 6-7.

2. Соколов Е. В. Финитная аппроксимируемость некоторых свободных произведений с объединенной подгруппой // «Молодая наука — 2000». Сбор. науч. ст. аспирантов и студентов ИвГУ. Ч. 1. Иваново: ИвГУ, 2000. С. 229-238.

3. Соколов Е. В. Финитная отделимость циклических подгрупп в свободных произведениях двух групп с объединенной подгруппой // Научно-исследовательская деятельность в классическом университете: теория, методология, практика. Матер, науч. конф., Иваново, 6 февраля 2001 г. Иваново: ИвГУ, 2001. С. 156-157.

4. Соколов Е В. Об отделимости циклических подгрупп в обобщенных свободных произведениях групп // Молодая наука в классическом университете. Тез. докл. науч. конф., Иваново, 15-19 апреля 2002 г. Ч. 3. Иваново: ИвГУ, 2002. С. 85.

5. Соколов Е. В Об отделимости циклических подгрупп в свободных произведениях двух групп с объединенной подгруппой // Иванов, гос. ун-т. - Иваново, 2002, - 23 с. - Библиогр. 13 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 12.07.2002 № 1325-В2002.

6. Соколов Е. В. Финитная отделимость циклических подгрупп в некоторых обобщенных свободных произведениях групп // Вестник молодых ученых ИвГУ. Вып. 2. Иваново: ИвГУ, 2002. С. 7-10.

7. Sokolov E. V. On the cyclic subgroup separability of free products of two groups with amalgamated subgroup // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2002. V. 11. P. 27-38.

8. Соколов Е. В. Об отделимости циклических подгрупп обобщенного свободного произведения двух групп в классе конечных П-групп // Лобачевские чтения - 2002. Матер, межд. молод, науч. школы-конф., Казань, 28 ноября -1 декабря 2002 г. Труды Математического центра им. Н.ИЛобачевского. Т. 18. Казань: Казанское математическое общество, 2002. С. 83-84.

9. Соколов Е. В. Об аппроксимируемости конечными ^-группами некоторых свободных произведений с объединенной подгруппой // Чебышевский сборник. 2002. Т. 3, вып. 1. С. 97-102.

10. Соколов Е. В. Об отделимости подгрупп обобщенного свободного произведения групп // Научно-исследовательская деятельность в классическом университете: ИвГУ - 2003. Матер, науч. конф., Иваново, 19-21 февраля 2003 г. Иваново: ИвГУ, 2003. С. 6-7.

М.Соколов Е. В. Полицикличность конечно порожденных ограниченных разрешимых групп // Молодая наука в классическом университете. Тез. докл. науч. конф., Иваново, 21-25 апреля 2003 г. Ч. 1. Иваново: ИвГУ, 2003. С. 87-88.

М.СоколовЕ. В. Замечание об отделимости подгрупп в классе конечных -групп // Математические заметки. 2003. Т. 73, вып. 6. С. 904-909.

13. Соколов Е. В. Об отделимости подгрупп в некоторых классах конечных групп // Иванов, гос. ун-т - Иваново, 2003, - 90 с. - Библиогр. 49 назв. - Рус. -Деп. в ВИНИТИ 22.07.2003 № 1433-В2003.

СОКОЛОВ Евгений Викторович

ОБ ОТДЕЛИМОСТИ ПОДГРУПП В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 12.04.2004. Формат60x8 4l/16. Бумага писчая. Печать плоская. Усл. печ. л. 0,93. Уч.-изд. л. 0,8. Тираж 100 экз.

Издательство «Ивановский государственный университет» й 153025 Иваново, ул. Ермака, 39 ® (0932)35-63-81 E-mail: 1472@mail.ru

1- 833 J

Введение.

О понятии отделимости подгрупп.

Краткий обзор рассматриваемых вопросов и полученных результатов.

Часть 1. Отделимость подгрупп разрешимых групп в некоторых классах конечных групп.

§ 1.1. Классы ограниченных разрешимых и ограниченных нильпотентных групп.

§ 1.2. ^п-отделимость разрешимых подгрупп «So-аппроксимируемых групп.

§1.3. .^„-отделимость и ^'-изолированность.

§1.4. .^„-отделимость подгрупп в нильпотентных группах.

§ 1.5. .^„-отделимость нильпотентных подгрупп Л/о-аппроксимируемых групп.

Часть 2. Отделимость циклических подгрупп обобщенных свободных произведений двух групп.

§ 2.1. Конструкция свободного произведения групп с объединенной подгруппой.

§2.2. Описание семейства A„(G).

§ 2.3. Достаточные условия максимальности семейства A„(G).

§ 2.4. .^-отделимость циклических подгрупп в обобщенных свободных произведениях ограниченных разрешимых групп.

§ 2.5. ^"„-отделимость циклических подгрупп в обобщенных свободных произведениях ограниченных нильпотентных групп с циклическим объединением.

§ 2.6. ^„-отделимость циклических подгрупп в обобщенных свободных произведениях ограниченных нильпотентных групп с нормальным объединением.

Дополнение. Отделимость подгрупп некоторых конечно определенных групп.

§ Д. 1. Описание ^"„-отделимых подгрупп группы Gk.

§ Д.2. ^"„-отделимость циклических подгрупп обобщенных свободных произведений групп G*.

Указатель обозначений.

Введение

5_ принадлежащих я). Подгруппу, обладающую этим свойством, называют п-изолированной в группе G. Таким образом, если п отлично от множества всех простых чисел и если G содержит хотя бы один элемент, порядок которого не является я-числом, то все подгруппы группы G уже заведомо не будут „-отделимыми. Поэтому в качестве обобщения свойства финитной отделимости всех подгрупп данной группы имеет смысл рассматривать утверждение об \7„-отделимости всех л-изолированных подгрупп. Отметим, что это утверждение не следует, вообще говоря, из свойства .7„-аппроксимируемости ни для какого множества простых чисел 7 (подробно этот вопрос обсуждается в § 1.3 части 1), и уже поэтому U изучение его представляет определенный интерес. Однако для выделения понятия .„-отделимости в качестве самостоятельного объекта исследования существуют, разумеется, и другие, более веские основания. Это понятие оказалось весьма полезным при изучении аппроксимационных свойств различных свободных конструкций групп. В качестве иллюстрации мы приведем два сравнительно новых результата, полученных в данном направлении. Согласно К. Грюнбергу [15] класс групп /С называют корневым, если он замкнут относительно взятия подгрупп и конечных прямых произведений и если для любого субнормального ряда 1<С<5<Л такого, что A/BeJC и B/CefC, в группе А существует нормальная подгруппа D, лежащая в С, фактор-группа по которой снова принадлежит К. Легко видеть, что корневыми являются, в частности, все классы независимо от выбора множества п. Пусть теперь А и В две изоморфные копии некоторой группы и а:А—>В изоморфизм. Пусть также Н подгруппа группы А, К=На и отображение ф: Н-К получается ограничением на Н изоморфизма а. Д. И. Азаров и Д. Тьеджо показали [39], что свободное произведение G={A*B,Н=К, ф) групп АиВ с подгруппами Ни К, объединенными относительно изоморфизма Ф (определение этой конструкции приводится в § 2.1 части 2), аппроксимируется корневым классом /С тогда и только тогда, когда группа А /С-аппроксимируема и подгруппа Я является /С-отделимой в этой группе. Другой пример касается конструкций свободного произведения двух групп с коммутирующими и централизованными подгруппами. Напомним (см. [43, с. 230]), что если АиВ некоторые группы, Н подгруппа группы А и К подгруппа группы В, то свободным произведением групп АиВ с коммутирующими подгруппами НиК называется группа Gi=(A*B;[H,K]=l), задаваемая всеми образующими и определяющими соотношениями групп А и В, а также соотношениями вида [h, к] 1, где элемент h пробегает подгруппу Я, а элемент к подгруппу К. Аналогичным образом определяется свободное произведение Введение G2=(A*B;[A,K] h[H,B] l) групп А и В с централизованными подгруппами Ни К (там же, с. 231): эта группа задается образующими и определяющими соотношениями групп А и В и всеми соотношениями вида [а, k] l,[h,b]=l, где аеАукеК,кеН,ЬеВ. Е, Д. Логинова в работах [40] и [41] показала, что если множество п состоит из одного числа или совпадает с множеством всех простых чисел и если группы Л и 5 \я-аппроксимируемы, то аппроксимируемость групп Gi и G2 классом jr„ равносильна „-отделимости в группах А и В подгрупп Ни К, соответственно. Таким образом, вопрос об „-аппроксимируемости указанных конструкщт сводится к изучению .„-отделимых подгрупп свободных множителей. В действительности, .7„-отделимость связанных подгрупп очень часто выступает в качестве одного из достаточных (а иногда и необходимых) условий „-аппроксимируемости обобщенных свободных произведений групп, HNNрасширений и других свободных конструкщ1Й (см., напр., [5], [6], [48], значительное число результатов такого рода получено и в данной работе). Это обстоятельство является, пожалуй, одной из главных причин исследования свойства .7„-отделимости подгрупп в случае, когда п не совпадает с множеством всех простых чисел. Краткий обзор рассматриваемых вопросов и полученных результатов В первой части работы изучается лЯя-отделимость подгрупп разрешимых групп. Вопрос о том, при каких условиях все подгруппы разрешимой группы являются финитно отделимыми, был исследован А. И. Мальцевым все в той же статье [46]. Он рассмотрел определенный класс разрешимых групп, названных им ограниченными (определение и некоторые свойства этих групп приводятся в § 1.1), и показал, что все они имеют финитно отделимые подгруппы и при этом для разрешимых групп без кручения свойства ограниченности и финитной отделимости всех подгрупп равносильны. Класс ограниченных разрешимых групп мы будем обозначать символом «S. В § 1.2 получено частичное обобщение приведенного результата: установлено, что в группах, аппроксимируемых 5-группами без кручения, все »5-подгруппы (т. е. подгруппы, принадлежащие классу S), являются финитно отделимыми. Далее естественно возникает вопрос о том, нельзя ли все эти результаты распространить на случай произвольного множества п. Оказывается, что сделать это в полном объеме невозможно. Так, даже для полициклических групп, которыми, как показано в §1.1, исчерпываются все конечно порожденные «S-группы, отсутствие тс-кручения не гарантирует еще аппроксимируемости коВведение печными я-группами (см. пример 1.3.8 из § 1.3). Однако для несколько более узкого класса конечно порожденных нильпотентных групп указанный критерий имеет место [15]. Более того, известно, что в конечно порожденной нильпотентной группе все тс-изолированные подгруппы являются .7„-отделимыми при любом выборе множества л; [38], [40]. Поэтому возникает идея попытаться распространить приведенные результаты на ограниченные разрешимые группы, являющиеся нильпотентными. И это удается проделать. Класс всех таких групп мы будем называть классом ограниченных нилъпотентных групп и обозначать символом Л/! В § 1.4 доказано, что все я-изолированные подгруппы TV-rpynn являются .„-отделимыми, а в § 1.5, что в группах, аппроксимируемых ЛГ-группами без кручения, множество л-корней из любой Л-подгруппы снова является Лподгруппой и при этом .Тя-отделимой. Последнее утверждение обобщает, в частности, известный результат о том, что в свободной группе все я-изолированные Щ1клические подгруппы .Тя-отделимы [23], [38]. Во второй части изучается .„-отделимость подгрупп свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой. Интерес к этой конструкЩИ объясняется в числе прочего следующими двумя обстоятельствами. 1 С одной стороны, даже обычное свободное произведение двух групп с .?я-отделимыми подгруппами не обязано обладать тем же свойством. В качестве примера достаточно рассмотреть свободную группу ранга 2. Она представляет собой свободное произведение двух бесконечных циклических групп, все подгруппы которых финитно отделимы, и в то же время содержит подгруппу, неотделимую в классе .F(CM. пример 1.3.2 из § 1.3). С другой стороны, некоторые свободные конструкции могут бьггь построены с использованием одного лишь обобщенного свободного произведения двух групп. К их числу относятся уже упоминавшиеся выше свободные произведения групп с коммутирующими и централизованными подгруппами, а также так называемое полигональное произведение четырех и более групп с тривиальными пересечениями. Напомним, что если Ai, i eZ„,n>3, некоторые группы, HIH К{ такие тривиально пересекающиеся подгруппы группы Ai, что для каждого i е Z„ подгруппа Hi изоморфна Ki+i, и ф,: Hi-Ki+i фиксированные изоморфизмы, то полигональным произведением групп Ai с тривиальными пересечениями называется группа G=(*Ai;Hi=Kiu4>i,i&Z„X задаваемая образующими и определяющими соотношениями групп А/ и всеми соотношениями вида hi=hi(pi, где элемент Л,- пробегает подгруппу и G Z„. Как показывают работы [1], [20], [34], [42], достаточные условия финитной отделимости циклических подгрупп обобщенного свободного произведения двух групп играют ключевую роль в доказательстве аналогичных свойств перечисленных свободных конструкций.Введение Приведем теперь краткое описание известных результатов, касающихся отделимости подгрупп свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой. Прежде всего необходимо отметить, что систематическому изучению подвергалось только свойство финитной отделимости. Как известно, в свободной группе этим свойством заведомо обладают лишь конечно порожденные подгруппы [16], в то время как для остальных ситуация оказывается не однозначной. Поэтому и для свободных конструкций имело смысл искать достаточные условия финитной отделимости всех конечно порожденных подгрупп (для обозначения групп с финитно отделимыми конечно порожденными подгруппами в иностранной литературе используется термин Locally Extended Residually Finite, сокращенно LERF, введенный P. Бернсом в [9]). Некоторые наиболее важные положительные результаты, полученные в этом направлении, содержатся в работах [3], [4], [8], [12], [14]. Вместе с тем в [13] и [30] построен целый ряд примеров обобщенных свободных произведений групп, уже не обладающих свойством LERF, в то время как их свободные множители являются LERF-группами. В частности, существует пример свободного произведения двух конечно порожденных нильпотентных групп с циклическим объединением, содержащего конечно порожденную подгруппу, не являющуюся финитно отделимой [2]. Весьма продуктивным направлением оказалось также исследование финитной отделимости циклических подгрупп. Связано это с тем, что здесь можно использовать по сути те же самые методы, что и при изучении свойства финитной аппроксимируемости. Основополагающей в данной области является работа П. Стиба [32], в ней же введен термин «Пс-группа» для обозначения групп с финитно отделимыми циклическими подгруппами. Ввиду схожести методов естественно было ожидать, что многие обобщенные свободные произведения тГс-групп, обладающие свойством финитной аппроксимируемости, в действительности окажутся Лс-группами. Значрггельное число результатов такого рода содержится в работах [3] и [21] (см. также [34]). Тем не менее можно привести пример свободного произведения двух 7Гс-групп с финитно отдслимыми объединяемыми подгруппами, которое является финитно аппроксимируемой, но не тгр-группой (см. пример 2.2.10 из § 2.2). В отличие от случая финитной отделимости вопрос об „-отделимости конечно порожденных подгрупп свободной группы остается пока открыгым. Это обстоятельство вынуждает при изучении свойства .я-отделимости в свободных конструкциях групп ограничиться рассмотрением циклических подгрупп. Для дальнейшего изложения нам будет удобно ввести специальное обозначение А„(Х) для семейства всех .-отделимых и, следовательно, л-изолированных циклических подгрупп произвольной группы X Также через Ая(-) мы будем обозначать семейство всех л-изолированных циклических подгрупп группы Х, не являющихся „-отделимыми в этой группе.Введение Пусть группа G представляет собой свободное произведение групп А и В с собственными подгруппами Н и К, объединенными относительно изоморфизма ф. Очевидно, что если л-изолированная циклическая подгруппа группы А не является „-отделимой в этой группе, т. е. принадлежит семейству A(), то она не будет „-отделимой и во всей группе G. Таким образом, семейство A„(G) заведомо содержит все подгруппы, сопряженные с подгруппами из объединения A„(/i) и А (5). Однако совпадение, означающее максимальность семейства A„(G), не обязательно имеет место. Посколы формулировки большинства утверждений, полученных во второй части, достаточно громоздки, мы воздержимся от их цитирования и ограничимся лишь ссылками на номера теорем и следствий. В § 2.2 найдено описание семейства A„(G) при некоторых дополнительных ограничениях, накладываемых на группу G (теорема 2.2,2). Для читателей, знакомых с методикой Г. Бмслага [6] и ее расширением П. Стиба [32], уточним, что это описание получено с использованием все той же идеи аппроксимируемости обобщенными свободными произведениями конечных групп, которую удалось распространить на случай произвольного класса J„, а упомянутое ограничение представляет собой ни что иное, как обобщение хорошо известного «фильтрационного условия» ПБаумслага. Здесь же указан щзимер свободного произведения с объединенной подгруппой, семейство .-отделимых циклических подгрупп которого не является максимальным (пример 2.2.10). Следующий

1. Allenby R. В. J. Т. Polygonal products of polycyclic by finite groups // Bull. Aust. Math. Soc. 1996. V. 54, № 3. P. 369-372.

2. Allenby R. B. J. Т., Doniz D. A free product of finitely generated nilpotent groups amalgamating a cycle that is not subgroup separable // Proc. Am. Math. Soc. 1996. V. 124, № 4. P. 1003-1005.

3. Allenby R. B. J. Т., GregoracRJ. On locally extended residually finite groups // Lecture Notes Math. 1973. V. 319. P. 9-17.

4. Allenby R. B. J. Т., Tang C. Y. Subgroup separability of generalized free products of free-by-finite groups // Can. Math. Bull. 1993. V. 36, № 4. P. 385-389.

5. Baumslag В., TretkojfM. Residually finite HNN-extensions // Comm. Algebra. 1978. V. 6. P. 179-194.

6. Baumslag G. On the residual finiteness of generalized free products of nilpotent groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. V. 106. P. 193-209.

7. Baumslag G., Soliter D. Some two-generator one-relator non-Hopfian groups // Bull. Amer. Math. Soc. 1962. V. 68. P. 199-201.

8. Brunner A. M., Burns R. G., Solitar D. The subgroup separability of free products of two free groups with cyclic amalgamation // Contributions to group theory. Contemp. Math. 1984. V. 33. P. 90-115.

9. Burns R. C. On finitely generated subgroups of free products // J. Austral. Math. Soc. 1971. V. 12. P. 358-364.

10. Collins D. The automorphism towers of some one-relator groups // Proc. London. Math. Soc. (3). 1978. V. 36. P. 480-493.W.EvansB. Cyclic amalgamations of residually finite groups // Pacific J. Math. 1974. V. 55. P. 371-379.

11. GitikR. Graphs and separability properties of groups // J. Algebra. 1997. V. 188, № l.P. 125-143.

12. GitikR., Rips E. A necessary condition for A *a=bB to be LERF // Isr. J. Math. 1991. V. 73, № 1. P. 123-125.

13. GitikR., RipsE. On separability properties of groups // Int. J. Algebra Comput. 1995. V. 5, № 6. P. 703-717.15 .GruenbergK. W. Residual properties of infinite soluble groups // Proc. London Math. Soc. Ser. 3. 1957. V. 7. P. 29-62.

14. Hall М. Jr. Coset representation in free groups // Trans. Am. Math. Soc. 1949. V. 67. P. 421-432.

15. Hall M. Jr. Subgroup of finite index in free groups // Can. J. Math. 1949. V. 1. P. 187-190.18 .Higman G. Amalgams of /^-groups // J. Algebra. 1964. V. 1. P. 301-305.

16. Hirsch К A. On infinite soluble groups (IV) // J. Lond. Math. Soc. 1952. V. 27. P. 81-85.

17. Kim G On polygonal products of finitely generated abelian groups // Bull. Aust. Math. Soc. 1992. V. 45, № 3. P. 453^62.21 .Kim G. Cyclic subgroup separability of generalized free products // Ca-nad. Math. Bull. 1993. V. 36 (3). P. 296-302.

18. Kim G., McCarron J. On amalgamated free products of residually^-finite groups // J. Algebra. 1993. V. 162, № 1. P. 1-11.

19. Kim G., TangC. Y. On generalized free products of residually finite p-groups // J. Algebra. 1998. V. 201. P. 317-327.

20. Kim G. Tang C. Y. Cyclic subgroup separability of HNN-extensions with cyclic associated subgroups // Can. Math. Bull. 1999. V. 42, № 3. P. 335-343.

21. Magnus W. Beziehungen zwischen Gruppen und Idealen in einem speziel-len Ring // Math. Ann. 1935. V. 111. P. 259-280.

22. Meskin S. Non-residually finite one-relator groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. V. 164. P. 105-114.

23. Neumann В. H. An assay on free products of groups with amalgamations // Phil. Trans. Royal Soc. of London. 1954. V. 246. P. 503-554.

24. Neumann H. Generalized free products with amalgamated subgroups II // Am. J. Math. 1949. V. 31. P. 491-540.

25. Niblo G A. HNN-extensions of a free group by Z which are subgroup separable // Proc. Lond. Math. Soc. III. 1990. Ser. 61, № 1. P. 18-32.

26. RipsE. An example of a non-LERF group which is a free product of LERF groups with an amalgamated cyclic subgroup // Isr. J. Math. 1990. V. 70, № 1. P. 104-110.

27. Shirvani M. A converse to a residual finiteness theorem of G. Baumslag // Proc. Am. Math. Soc. 1988. V. 104, № 3. P. 703-706.

28. Stebe P. Residual finiteness of a class of knot groups // Comm. Pure and Applied Math. 1968. V. 21. P. 563-583.

29. Tang C. Y. Conjugacy separability of generalized free products of certain conjugacy separable groups // Can. Math. Bui. 1995. V. 38. P. 120-127.

30. Азаров Д. Н. Финитная аппроксимируемость свободного произведения ограниченных разрешимых групп с циклическим объединением // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. Вып. 2 (1999). С. 3-4.

31. Азаров Д. Н. Финитная аппроксимируемость и другие аппроксима-ционные свойства свободных произведений групп с одной объединенной подгруппой // Иванов, гос. ун-т. Иваново, 1999, - 55 с. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 28.04.99 № 1371-В99.

32. Азаров Д. Н., Тьеджо Д. Об аппроксимируемости свободного произведения групп с объединенной подгруппой корневым классом групп // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. Вып. 5 (2002). С. 6-10.

33. Логинова Е. Д. Финитная аппроксимируемость свободного произведения двух групп с коммутирующими подгруппами // Сиб. матем. ж. 1999. Т. 40, № 2. С. 395-407.

34. Логинова Е. Д. Финитная аппроксимируемость свободного произведения двух групп с централизованными подгруппами // Науч. тр. Иван. гос. унта. Математика. Вып. 2 (1999). С. 101-104.

35. Логинова Е. Д. Финитная отделимость циклических подгрупп свободного произведения двух групп с коммутирующими подгруппами // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. Вып. 3 (2000). С. 49-55.

36. МагнусВ., КаррасА., СолитэрД. Комбинаторная теория групп. М., 1974.456 с.

37. Мальцев А. И. Обобщенно нильпотентные алгебры и их присоединенные группы // Матем. сб. 1949. Т. 25. С. 347-366.

38. Мальцев А. И. О некоторых классах бесконечных разрешимых групп // Матем. сб. 1951. Т. 28, № 3. С. 567-588.

39. Мальцев А. И. О гомоморфизмах на конечные группы // Учен. зап. Иван. гос. пед. ин-та. 1958. Т. 18. С. 49-60.

40. Молдаванский Д. И. Об изоморфизмах групп Баумслага-Солитэра // Укр. матем. ж. 1991. Т. 43, № 12. С. 1684-1686.

41. Молдаванский Д. И. Аппроксимируемость конечными р-группами HNN-расширений // Вестн. ИвГУ. Сер. «Биология, Химия, Физика, Математика». Вып. 3 (2000). С. 129-140.

42. Холл Ф. Нильпотентные группы // Математика. Периодический сборник переводов иностранных статей. 1968. Т. 12, № 1. С. 3-36.

43. Якушев А. В. Аппроксимируемость конечными ^-группами расщепляющихся расширений групп // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. Вып. 3 (2000). С. 119-124.Публикации автора по теме диссертации

44. Соколов Е. В. Финитная аппроксимируемость некоторых свободных произведений с объединенной подгруппой // «Молодая наука 2000». Сборник научных статей аспирантов и студентов ИвГУ. Часть 1. Иваново: ИвГУ, 2000. С. 229-238.

45. Соколов Е. В. Об отделимости циклических подгрупп в обобщенных свободных произведениях групп // Молодая наука в классическом университете. Тез. докл. науч. конф., Иваново, 15-19 апреля 2002 г. Ч. 3. Иваново: ИвГУ,2002. С. 85.

46. Соколов Е. В. Об отделимости циклических подгрупп в свободных произведениях двух групп с объединенной подгруппой // Иванов, гос. ун-т. -Иваново, 2002, 23 с. - Библиогр. 13 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 12.07.2002 № 1325-В2002.

47. Соколов Е. В. Финитная отделимость циклических подгрупп в некоторых обобщенных свободных произведениях групп // Вестник молодых ученых ИвГУ. Вып. 2. Иваново: ИвГУ, 2002. С. 7-10.

48. Sokolov Е. V. On the cyclic subgroup separability of free products of two groups with amalgamated subgroup // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2002. V. 11. P. 27-38.

49. Соколов Е. В. Об аппроксимируемости конечными /^-группами некоторых свободных произведений с объединенной подгруппой // Чебышевский сборник. 2002. Т. 3, вып. 1. С. 97-102.

50. Соколов Е. В. Об отделимости подгрупп обобщенного свободного произведения групп // Научно-исследовательская деятельность в классическом университете: ИвГУ-2003. Матер, науч. конф., Иваново, 19-21 февраля 2003 г. Иваново: ИвГУ, 2003. С. 6-7.

51. Соколов Е. В. Замечание об отделимости подгрупп в классе конечных 71-групп // Математические заметки. 2003. Т. 73, вып. 6. С. 904-909.

52. Соколов Е. В. Об отделимости подгрупп в некоторых классах конечных групп / Иванов, гос. ун-т Иваново, 2003, - 90 с. - Библиогр. 49 назв. -Рус. - Деп. в ВИНИТИ 22.07.2003 № 1433-В2003.