Обобщенно равномерные произведения групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Известные результаты и определение обобщенно равномерного произведения.

§ 1.1. Известные результаты, определения и вспомогательные утверждения

§ 1.2. Определение обобщенно равномерного произведения

Глава 2. Свойства и примеры групп, разложимых в обобщенно равномерное произведение.

§ 2.1. Примеры групп, разложимых в обобщенно равномерное произведение своих подгрупп.

§ 2.2. Свойства групп, разложимых в обобщенно равномерное произведение своих подгрупп.

Глава 3. Изучение строения групп, разложимых в обобщенно равномерное произведение.

§ 3.1. Строение групп, разложимых в обобщенно равномерное произведение, у которых силовские подгруппы являются элементарными абелевыми группами.

§ 3.2. Строение р-групп, обладающих обобщенно равномерными автоморфизмами

§ 3.3. Строение групп, разложимых в обобщенно равномерное произведение, у которых силовские подгруппы порождены элементами простых порядков.

Актуальность темы. При изучении групп часто возникает вопрос о рассмотрении всех разложений данной группы (о возможных представлениях группы С в виде произведения собственных подгрупп). Общая задача описания строения групп с теми или иными ограничениями для тех или иных систем их подгрупп была сформулирована С.Н. Черниковым [21]. На этом пути были выделены многие важные классы групп, обогатившие конкретную базу теории групп.

Если группа разложима в произведение двух подгрупп, то последние обязательно перестановочны [8]. В следствии этого, часто рассматриваются группы, разложимые в произведение некоторого множества попарно перестановочных подгрупп. При этом на системы подгрупп-множителей накладываются различные условия. Группы, разложимые в произведение некоторого множества попарно перестановочных подгрупп, называют иначе группами, факторизуемыми этими подгруппами.

При изучении групп, разложимых в произведение попарно перестановочных циклических подгрупп, оказывается полезным введенное в 1964 году С.Н.Черниковым определение равномерного произведения групп (см., например, [20]): группа, разложимая в произведение некоторых своих подгрупп называется их равномерным произведением, если каждая циклическая подгруппа из произвольного множителя перестановочна с каждой циклической подгруппой любого другого множителя.

В 1964 году В.П. Шунков описал строение групп, разложимых в равномерные произведения своих подгрупп, и доказал теорему, дающую конструктивное описание таких групп [17, 18].

Дальнейшее развитие тема получила в работах В.Г. Васильева [3, 4, 5], где были описаны квазиполупрямые произведения (см. определения в § 1.1) циклических р-групп, а также найдены необходимые и достаточные условия двуступенной разрешимости строгих равномерных произведений (см. определения в § 1.1) циклических р-групп. В работах Г.А. Маланьиной [11, 12] изучены полупрямые произведения циклических групп.

В работе [7] Д.И. Зайцевым было введено определение слаборавномерного произведения (группа С называется слаборавномерным произведением подгрупп А и В, если С = АВ и подгруппы конечного индекса из А и В перестановочны между собой) и описаны группы, разложимые в слаборавномерное произведение двух полициклических подгрупп.

В диссертации обобщается понятие равномерного произведения и вводятся определения обобщенно равномерного произведения и строгого обобщенно равномерного произведения.

Определение. Группа С? называется обобщенно равномерным произведением своих подгрупп г £Е /, если: = гр(фг- | г £ /), где — дг-подгруппы, и выполняются условия:

1) = г,з е /;

2) если обладает элементарной абелевой подгруппой ^ порядка > д?, то Щ перестановочна с любой нециклической элементарной абелевой подгруппой из фу, ¿7^ з\

3) группа, порожденная всеми не содержащими элементарных абелевых подгрупп порядка > д|, является равномерным произведением подгрупп

Определение. Группа С называется строгим обобщенно равномерным произведением своих подгрупп С^-, г £ /, если: й = гр((5г- | г Е /), где — «^-подгруппы, и выполняются условия:

1) С — обобщенно равномерное произведение подгрупп г е /;

2) если в все элементарные абелевы подгруппы порядка то любая циклическая подгруппа порядка д] из С^] перестановочна с любой элементарной абелевой подгруппой порядка д? из (г ф .?).

Сначала рассматриваются примеры групп, разложимых в обобщенно равномерное и строгое обобщенно равномерное произведения; разделяются классы групп, разложимых в обобщенно равномерное произведение, и групп, разложимых в равномерное произведение, изучаются возможности перехода к подгруппам и фактор-группам. Изучается связь между группами, разложимыми в обобщенно равномерное произведение, и группами, разложимыми в равномерное произведение, между разрешимыми группами и группами, разложимыми в обобщенно равномерное произведение.

Группы, разложимые в обобщенно равномерное произведение, описываются в случае, когда силовские подгруппы являются элементарными абелевыми группами. Как инструмент изучения обобщенно равномерных произведений вводится понятие обобщенно равномерного автоморфизма и рассматривается строение р-групп, обладающих такими автоморфизмами. Изучается связь между группами, разложимыми в обобщенно равномерное произведение, и группами, обладающими обобщенно равномерными автоморфизмами. Рассматривается строение групп, разложимых в строгое обобщенно равномерное произведение, в случае, когда силовские подгруппы порождаются элементами простых порядков.

Цель работы. Изучить строение групп, обладающих обобщенно равномерными автоморфизмами. Построить примеры групп, разложимых в обобщенно равномерное произведение своих подгрупп. Изучить строение групп, разложимых в обобщенно равномерное произведение своих подгрупп, и определить их место в классе всех групп, в частности, установить их связь с группами, разложимыми в равномерные произведения.

Методика исследования. Применяются теоретико-групповые методы исследования, в том числе разработанные научными руководителями автора: В.П. Шунковым и В.И. Сенашовым.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и снабжены доказательствами.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории групп и при чтении специальных курсов лекций по алгебре.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Конференции молодых ученых'97 (ВЦК СО РАН в г.Красноярске, 1997 г.), на Международной алгебраической конференции, посвященной памяти Д.К.Фаддеева, (Санкт-Петербург, 1997 г.), на Конференции молодых ученых'98 (ИВМ СО РАН, 1998 г.), на Международной конференции "Комбинаторные и вычислительные методы в математике" (Омск, 1998 г.), на Красноярском городском алгебраическом семинаре, на научно-практических конференциях Лесосибирского педагогического института Красноярского госуниверситета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [25] - [34].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы (34 названия), занимает 101 страницу текста, набранного на ВД^рС. Нумерация теорем, лемм, следствий и примеров в диссертации тройная: первое число — номер главы, второе — номер параграфа, третье — номер теоремы, леммы, следствия или примера.

1. Беляев В.В. Группы типа Миллера-Морено // Сиб. мат. журн. — 1978. — Т. 19, № 3. — С. 509-514.

2. Бусаркин В.М., Горчаков Ю.М. Конечные расщепляемые группы. — М.: Наука, 1968.

3. Васильев В.Г. О группах, факторизуемых абелевыми подгруппами // Дис. .канд. физ.-матем. наук. Красноярск: Красноярский гос. университет, 1979.

4. Васильев В.Г. О ступени разрешимости равномерных произведений циклических групп // Алгебра и логика. — 1978. — Т. 17, № 3. — С. 260-266.

5. Васильев В.Г. Строгие равномерные произведения циклических р-групп // Алгебра и логика. — 1977. — Т. 16, № 5. — С. 499-506.

6. Гаген Т.М. Некоторые вопросы теории конечных групп \ В сб.: "К теории конечных групп". Москва: Мир, 1979. — С. 13-97.

7. Зайцев Д.И. Слаборавномерные произведения полициклических групп \ В сб.: "Подгрупповая характеризация групп". Киев: ИМ АН УССР, 1982. — С. 13-26.

8. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — М.: Наука, 1977.

9. Курош А.Г. Теория групп. — М.: Наука, 1967.

10. Левищенко С.С. Группы с некоторыми дисперсивными системами подгрупп // Дис. .докт. физ.-матем. наук. Киев: Украинский гос. педаг. университет им. М.П. Драгоманова, 1993.

11. Маланьина Г.А. Полупрямые произведения циклических групп // Докл. АН СССР. — 1960. — Т. 132. — С. 762-765.

12. Маланьина Г.А. Полупрямые произведения циклических р-групп // Учен. зап. Перм. ун-та. — Пермь, 1960. — Т. 17. — С. 33-67.

13. Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группе. М.: Наука, 1989.

14. Плоткин Б.И. О некоторых признаках локально нильпотентных групп // УМН. — 1954. — Т. 9, № 3. — С. 181-186.

15. Супруненко Д.А. Группы матриц. М: Наука, 1972.

16. Холл М. Теория групп. — М.: Иностр. лит., 1962.

17. Шунков В.П. О группах, разложимых в строгое равномерное произведение своих р-групп // Докл. АН СССР. — 1964. — Т. 154, № 3. — С. 542-545.

18. Шунков В.П. О группах, разложимых в равномерное произведение р-подгрупп // Дис. .канд. физ.-матем. наук. Свердловск: Уральский гос. университет им.А.М.Горького, 1965.

19. Черников Н.С. Группы, разложимые в произведение перестановочных подгрупп. — Киев: Наукова думка, 1987.

20. Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. —■ М: Наука, 1980.

21. Черников С.Н. Исследование групп с заданными свойствами подгрупп // Укр. мат. журн. — 1969. — Т. 21, № 2. — С. 193-200.

22. Bloom David M. The subgroups of PSL(Z,q) for odd q // Trans. Amer. Math. Soc. — 1967. — V. 127, Ш 1. — P. 150-178.

23. Dixon J.D. The Solvable length of Solvable linear group // Math. Zeitschr. — 1968. — V. 107. — P. 151-158.

24. Gorenstein D. Finite Groups. — New York, Evanston, and London: Harper and Row, 1968.

25. Пашковская O.B. Равномерные произведения // Алгебраические системы (сб. научн. трудов) / Препринт ВЦ СО РАН № 13. — Красноярск, 1996. — С. 21-24.

26. Пашковская О.В. К теории равномерных произведений // Труды конф. молодых ученых'97 ВЦК СО РАН — ВПК СО РАН. Красноярск, 1997. — С. 71-72.

27. Пашковская О.В. Пример обобщенно равномерного произведения // Тез. докл. Междунар. конф. Всесибирские чтения по математике и механике (17-20 июня, 1997). — Томский гос. ун-т. Томск, 1997. — С. 31-32.

28. Пашковская О.В. Обобщенно равномерные произведения // Тез. докл. Междунар. алгебр, конф. поев, памяти Д.К.Фаддеева (24-30 июня, 1997). — НИИ Химии СПбГУ. Санкт-Петербург, 1997. — С. 254255.

29. Пашковская О.В. Обобщенно равномерные произведения // Тез. докл. Междунар. конф. Математические модели и метод их исследования (25-30 авг., 1997). — Красноярский гос. ун-т. Красноярск, 1997. — С. 143-144.

30. Пашковская О.В. О свойствах обобщенно равномерных произведений // Материалы XVI Межвуз. научно-техн. конф., поев. 370-летию г.Красноярска, часть 1 (секция "Теория групп и приложения"). — КрасГАСА. Красноярск, 1998. — С. 11-12.

31. Пашковская О.В. О свойствах обобщенно равномерного произведения // Материалы конф. молодых ученых'98 ИВМ СО РАН. — ИВМ СО РАН. Красноярск, 1998. — С. 119-121.

32. Пашковская О.В. Некоторые свойства обобщенно равномерных произведений // Симметрия в естествознании. Тез. докл. Междунар. конф. — ИВМ СО РАН. Красноярск, 1998. — С. 101-102.101

33. Пашковская О.В. О р-группах, обладающих обобщенно равномерными автоморфизмами порядка д (р ф д) // Деп. в ВИНИТИ № 3867-В-98 (25.12.1998). ВИНИТИ, Москва. — С. 1-23.

34. Пашковская О.В. О группах, разложимых в обобщенно равномерное произведение своих подгрупп // Препринт ИВМ СО РАН № 9. — Красноярск, 1999. — С. 1-30.