Обобщенные решения задач динамики плазмы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение

1 Современное состояние исследований.

2 Общая характеристика работы.

3 Определения и обозначения

4 Основное содержание работы.

I Глобальная разрешимость задачи Коши для системы, описывающей одномерное течение плазмы

1 Постановка задачи

2 Построение регуляризации.

3 Разрешимость в целом регуляризованной задачи.

4 О существовании функционального решения исходной задачи.

II Глобальная разрешимость одномерной задачи Коши для системы магнитной газодинамики с общими начальными условиями

1 Постановка задачи

2 Построение регуляризации.

3 Разрешимость в целом регуляризованной задачи.

4 О существовании функционального решения исходной задачи.

III Глобальная разрешимость задачи Коши для системы магнитной газодинамики в случае локально адиабатического течения

1 Постановка задачи

2 Регуляризованная задача Коши.

3 Разрешимость регуляризованной задачи.

4 О существовании функционального решения исходной задачи.

Необходимость исследования проблем движения электропроводящей жидкости, в частности ионизированных газов — плазмы,— возникает при рассмотрении широкого круга задач — от электрического разряда в разреженном газе и распространения электромагнитных волн в ионизированных средах до разнообразных астрофизических проблем [1, 2]. Любой газ, нагретый до температуры порядка 104°К, будет ионизирован. Его свойства при этом будут существенно отличаться от свойств нейтрального газа, поскольку в плазме главную роль играют электромагнитные силы. Взаимодействие электромагнитных и газодинамических сил обуславливает возникновение многих новых явлений [1]. Остановимся вкратце на некоторых вопросах построения математических моделей динамики плазмы, которые исследуются в настоящей работе.

Рассматриваемые модели представляют собой задачи для систем дифференциальных уравнений, записанных исходя из макроскопической точки зрения. Динамика плазмы, очевидно, включает в себя как частные случаи обычную газодинамику и обычную электродинамику, поэтому естественно ожидать, что соответствующие уравнения будут очень похожи на уравнения обычной газовой динамики, но будут содержать еще члены взаимодействия, обусловленные электромагнитными силами, а также включать в себя уравнения для электромагнитного поля — уравнения Максвелла — либо их следствия. Действительно, в то время как уравнение неразрывности остается таким же, как в газовой динамике, в уравнении движения необходимо учесть электромагнитные силы, а в уравнении энергии, записанном либо для удельной энергии [1, 2], либо для энтропии (уравнения Лундквиста) [1, 3], нужно учесть джоулево тепло. Остальные уравнения являются следствиями уравнений Максвелла. Система замыкается с добавлением уравнений состояния, отражающих зависимость: давления от энтропии и плотности (удельного объема) в случае уравнений Лундквиста, либо давления и внутренней энергии от температуры и плотности (удельного объема).

В общем случае, чтобы иметь возможность изучать задачи о течениях высокотемпературной плазмы, нельзя пренебрегать полем излучения. Полное решение задач динамики плазмы должно состоять в одновременном исследовании газодинамического поля, электромагнитного поля и поля излучения. Обычно [1, 4] предполагается, что излучение определяется газодинамическими и электромагнитными параметрами, т.е. рассматривается как дополнительный фактор на фоне взаимодействия этих полей. Как результат, учет излучения затрагивает лишь уравнения состояния [1, 4], не меняя структуру дифференциальных уравнений. Тем не менее, исследование задач динамики плазмы с такими общими уравнениями состояния в контексте методологии, используемой в настоящей работе, представляется довольно непростой проблемой, в силу чего мы ограничиваемся уравнениями состояния для идеального газа.

Для многих практических задач уравнения динамики плазмы можно упростить таким образом, что задача, по существу, сводится к взаимодействию газодинамических величин и магнитного поля. Строго говоря, такое магнитогазодинамическое приближение будет выполняться при бесконечной электропроводности [1], поскольку тогда в газомагнитной системе не будут образовываться ни объемные заряды, ни сколько-нибудь значительные потенциальные электрические поля [2]. Таким образом, в основных уравнениях динамики плазмы можно пренебречь током смещения и избыточным электрическим зарядом [1, 2, 3]. Это приближение будет использоваться в некоторых моделях, исследуемых в данной работе.

Изучение пространственных течений представляет большие трудности даже в обычной газодинамике. В динамике плазмы эти трудности еще более усугубляются. Поэтому наряду с пространственными широко исследуются и одномерные течения. Помимо возможного практического применения, одномерные задачи позволяют сравнительно просто изучать некоторые особенности нестационарных течений. При переходе к одномерной динамике плазмы предполагается, что течение плазмы параллельно оси единственной пространственной переменной, и вектор скорости, напряженности магнитного поля и напряженности электрического поля (если рассматриваемая модель предполагает его учет) взаимно перпендикулярны [5]. Здесь следует упомянуть еще одну особенность, касающуюся изучения одномерных задач электромагнитной газодинамики. Как и в обычной газодинамике, оказывается удобным осуществить переход от эйлеровых координат к лагранжевым [3]. Поэтому соответствующие системы уравнений будут записаны в лагранжевых массовых координатах [2, 5].

Завершая этот краткий обзор некоторых аспектов моделирования задач динамики плазмы, отметим, что мы будем иметь дело лишь с невязкой нетеплопроводной плазмой. В результате все системы дифференциальных уравнений, исследуемые в настоящей работе, не содержат диссипативных членов и либо имеют форму систем законов сохранения, либо легко к ней приводятся. Все сказанное делает возможным с одной стороны широко использовать аналогии с обычной газодинамикой и, как следствие, наработки в этой области, а с другой — современные теории исследования систем законов сохранения.

Заключение

В настоящей диссертационной работе были установлены глобальные теоремы существования для ряда задач динамики ионизированного газа. Обоснование разрешимости в целом опирается на метод исчезающей вязкости, при этом построенные регуляризованные задачи рассматриваются как приближенные методы. Эти методы были обоснованы, а также установлена их сходимость к функциональным решениям исходных задач. Особо следует отметить результат, полученный для системы уравнений Лундквиста и состоящий в локализации функционального решения в пространстве Орлича, поскольку в силу известной общности понятий функциональных решений проблема уточнения свойств решения, очевидно, становится особенно актуальной.

Установленный результат отражает важные теоретические аспекты исследований задач (электро)магнитной газодинамики, а также, расширяя область приложений теории функциональных решений, дополняет известные подходы к исследованию общих систем законов сохранения. В то же время проведенные исследования позволяют выделить некоторые общие методологические особенности, дающие возможность получить аналогичный результат и для других задач механики сплошных сред.

Остановимся на возможных направлениях развития данной работы.

1. Вместо уравнений состояния для идеального газа рассмотреть уравнения общего вида, определяемого физикой процесса (например, рассматривая высокотемпературную плазму, необходимо учитывать поле излучения). Подобная постановка может выявить некоторые ограничения на уравнения состояния, обеспечивающие глобальную разрешимость.

2. Ослабить ограничения на начальные данные для задач электромагнитной газодинамики, как это было сделано в случае магнитной газодинамики. Такие общие начальные состояния среды приводят к возникновению особенностей решений, не представимых в виде регулярных функций.

3. Рассмотреть вопросы разрешимости задач динамики плазмы, сформулированных в иной геометрической конфигурации (цилиндрическая, тороидальная симметрия).

4. Связать теорию функциональных решений с вопросами построения асимптотик и обосновать сходимость решения задачи с общими начальными условиями к решению задачи о распаде разрыва.

5. Наиболее актуальным представляется вопрос связи полученных результатов с обоснованием вычислительных алгоритмов для рассмотренных задач. Интересно также в качестве приближенных методов рассмотреть разностные схемы и развить методы, позволяющие обосновать их сходимость в слабой топологии.

1. Бай Ши-и Магнитная газодинамика и динамика, плазмы. — М.: Мир, 1964.

2. Баум Ф.А. Каплан С.А., Станюкович К.П. Введение в космическую газодинамику. — М.: ГИФМЛ, 1958.

3. Рождественский Б.Н., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения в газовой динамике. — М.: Наука, 1978.

4. Базаров И.П. Термодинамика. — М.: ГИФМЛ, 1961.

5. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. — М.: Наука, 1980.

6. Галкин В.А. Методы решения задач физической кинетики. — ИАТЭ: Обнинск, 1995.

7. Галкин В.А. Функциональные решения законов сохранения // ДАН СССР, 1990, т. 310, №- 4, с. 834-839.

8. Галкин В.А. Теория функциональных решений квазилинейных систем законов сохранения и ее приложения // Труды семинара им. И.Г.Петровского, Издательство МГУ, 1997, вып. 20, с. 81-120.

9. Багдасарова И.Р., Галкин В.А. Моделирование процесса коагуляции в пространственно однородном случае // Мат. мод., 1999, т. 11, № 6, с. 82-112.

10. Галкин В.А., Забудько М.А. Точные и численные решения нелинейных уравнений теплопроводности и кинетических уравнений // Известия вузов, Ядерная Энергетика, 2000, JVe 1, с. 19-28.

11. Склобовский Н.К., Тупчиев В.А. Функциональные решения законов сохранения и разностные схемы // Мат. мод., 1991, т. 3, № 7, с. 78 -100.

12. Тупчиев В.А. О сходимости в слабых топологиях приближенных м,етодов для изэнтропической системы газовой динамики // ЖВМ и МФ, 1994, т. 34, № 10, с. 1503-1519.

13. Тупчиев В.А. О разрешимости в целом задачи Коши для системы газовой динамики // ДАН РАН, 1995, т. 342, IVе 6, с. 747-749.

14. Тупчиев В.А. Глобальная разрешимость задачи Коши для системы, описывающей одномерное течение газа, лишенного вязкости и теплопроводности // Мат. моделирование, 1996, т. 8, № 8, с. 51-68.

15. Тупчиев В.А. О разрешимости в целом задачи Коши для системы уравнений газовой динамики, описывающей баротропное пространственное течение // ЖВМ и МФ, 1996, т. 36, № 7, с. 161-173.

16. Тупчиев В.А. Глобальная разрешимость задачи Коши для системы нелинейной упругости // ЖВМ и МФ, 1997, т. 37, №- 9, с. 1094-1104.

17. Тупчиев В.А. Функциональные решения задачи о распаде разрыва // Мат. заметки, 1998, т. 63, вып. 2, с. 280-288.

18. Тупчиев В.А. Глобальная разрешимость задачи Коши для баротропной системы магнитной гидродинамики // Дифференциальные уравнения, 1996, т. 32, № 10.

19. Тупчиев В.А. Обобиценные решения законов сохранения. — Обнинск: ИАТЭ,1996, часть I.

20. Тупчиев В.А. Обобщенные решения законов сохранения. — Обнинск: ИАТЭ,1997, часть II.

21. Гичук A.B., Тупчиев В.А. Глобальная разрешимость одномерной задачи Коши, описывающей динамику плазмы. Проблемные задачи энергетики, техники и кибернетики. Тезисы докладов. — Обнинск, 1998. с. 48-49.

22. Гичук A.B., Тупчиев В.А. Глобальная разрешимость задачи Коши для системы магнитной газодинамики в случае локально адиабатического течения. Математическая физика, моделирование и приближенные методы. Тезисы докладов. — Обнинск, 2000, с. 24-25.

23. Gichuk А.V., Tupchiev V.A. Global solvability of the Cauchy problem for the system of magnetic gas dynamics in the case of locally adiaba,tic flow. Nonlinear partial differential equations. Book of abstracts. — Besançon, France, 1999, p. 19-20.

24. Гичук A.B. Тупчиев В.А. Глобальная разрешимость одномерной задачи Коши, описывающей динамику плазмы // ФПМ, 1998, т. 4, вып. 4, с. 1141-1164.

25. Гичук A.B., Тупчиев В.А. Глобальная разрешимость задачи Коши для системы магнитной газодинамики в случае локально адиабатического течения // ЖВМ и МФ, 2000, № 2, с. 252-264.

26. Эдварде P.E. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969.

27. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1989.

28. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. — М.:Наука, 1979.

29. Эйдельман С.Д. Параболические системы. — М.: Наука, 1964.

30. Антонцев С.Н., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. — Новосибирск: Наука, 1983.

31. Смагулов Ш.С., Дурмагамбетов A.A., Искандерова Д.А. Задачи Коши для уравнения магнитной газовой динамики // Дифф. ур-я, 1993, т. 29, NQ 2.

32. Годунов С.К. Симметрическая форма уравнений магнитной гидродинамики // Численные методы механики сплошной среды, ВЦ СОАН СССР, 1972, т. 3, № 1, с. 26-34.

33. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — М.: Наука, 1967.

34. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. — М.: ИЛ, 1962.

35. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Ор-лича. — М.: Физматгиз, 1958.