Обобщенный индекс векторных полей Морса-Ботта, трансфер расслоений и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение

1. Эквивариантный аналог теоремы Пуанкаре-Хопфа

1.1. Трансфер. >.

1.2. Локализация.

1.3. Эквивариантные векторные поля и трансфер Беккера

Готтлиба.

2. Характеристические классы в кобордизмах

2.1. Векторные поля Морса-Ботта на грассманизациях разложимых векторных расслоений.

2.2. Теоремы сложения для характеристических классов Понт-рягина.

2.3. Новое доказательство гипотезы Фробениуса о размерностях вещественных алгебр без делителей нуля.

2.4. Характеристические классы Понтрягина комплексных векторных расслоений

3. Исчисление Шуберта

3.1. Трансфер и гомоморфизм Гизина.

3.2. Обобщеные полиномы Шура в кобордизмах.

3.3. Следы в алгебраических расширениях.

Классический вопрос о препятствиях к существованию сечения в расслоенном пространстве послужил стимулом для создания мощных методов алгебраической топологии. В середине 70-х годов Беккер и Готтлиб открыли, что достаточно широкий класс расслоенных пространств (например, все расслоения с гладким компактным слоем) обладают сечением в стабильной категории. А именно, после многократной надстройки над проекцией расслоения появляется непрерывное отображение из надстройки над базой в надстройку над пространством расслоения, алгебраические свойства которого во многом аналогичны свойствам сечения расслоения (см. [9]). Это отображение было названо трансфером, поскольку оно обобщает известную алгебраическую конструкцию из теории когомологий групп [20]. Один лишь факт существования трансфера Беккера-Готтлиба дает сильные ограничения на взаимоотношения когомологических свойств базы и пространства расслоения. Например, если слой расслоения имеет ненулевую эйлерову характеристику, то в рациональных когомологиях гомоморфизм, индуцированный проекцией расслоения, является мономорфизмом на прямое слагаемое [9].

Трансфер Беккера-Готтлиба в ряде случаев может быть выражен в терминах обыкновенных сечений расслоения. Например, если на расслоении задано послойное действие окружности, множество неподвижных точек которого представляет собой набор различных сечений расслоения, то трансфер такого расслоения стабильно гомотопен сумме этих сечений [8]. Естественные обобщения этого случая дают выражения трансфера расслоения через трансферы специальных подрасслоений из [14, 24]. Эти выражения называются локализацией трансфера. Результаты о локализации трансфера, полученные к настоящему времени, играют важную роль как в теории расслоенных пространств, так и в ее приложениях см. примеры в [8, 14, 16, 24, 38]). В то же время, эти результаты не дают полного ответа в задаче о локализации даже в случае расслоения со слоем окружность 51. В основе настоящей работы лежит решение проблемы локализации трансфера в терминах нулей векторных полей Морса-Ботта, касательных вдоль слоев исходного расслоения.

Трансфер Беккера-Готтлиба позволил по-новому взглянуть на теорию характеристических классов. Теория характеристических классов векторных расслоений, созданная Понтрягиным, Штифелем, Уитни и Чже-нем, опирается на построение инвариантов расслоений в терминах препятствий к существованию сечений в специальных расслоениях, ассоциированных с исходным (см., например, [31]). Аппарат теории характеристических классов оказал значительное влияние на развитие теории когомологических операций, теории кобордизмов, К"-теории и теории эллиптических операторов на многообразиях. В то же время, развитие алгебраической топологди оказывало существенное влияние на всю теорию характеристических классов. Опираясь на идеи Гротендика, для различных теорий когомологий стали исследовать вопрос о существовании в них характеристических классов векторных расслоений с различными дополнительными структурами. Построение и изучение свойств характеристических классов при этом подходе сводится к вычислению кольца обобщенных когомологий классифицирующего пространства (см. [20]).

В [15] был предложен способ построения характеристических классов при помощи трансфера Беккера-Готтлиба, который опирался на новое понятие - универсальные характеристические классы со значениями в соответствующией теории кобордизмов. В результате„г вопрос о существовании характеристических классов в данной теории когомологий был сведен к задаче о нахождении преобразования некоторой универсальной теории кобордизмов в эту теорию когомологий. В основе построения универсальных характеристических классов лежит геометрическая реализация класса Эйлера расслоения через класс Тома, определенный для любого ориентированного в универсальной теории кобордизмов векторного расслоения. Класс Эйлера задает старший характеристический класс векторного расслоения. Младшие характеристические классы расслоения строятся при помощи отображения трансфера из классов Эйлера канонических расслоений над грассманизациями исходного расслоения.

В работе [15] такой подход реализован на примере универсальных характеристических классов Понтрягина. Универсальная теория кобордиз-мов для классов Понтрягина строится по многообразиям, в стабильном нормальном расслоении которых фиксирована структура комплексифи-кации некоторого вещественного расслоения. Эта теория обозначается как СО. В настоящее время из-за наличия сложных 2-кручений в СО-теории вычисление даже кольца кобордизмов точки в ней остается нерешенной задачей (см. [5, 27]). Предложенный в [15] способ позволил построить для каждого п-мерного векторного расслоения £ характеристические классы рк/2(£), к = 1, .,п, со значениями в СО-ориентированных теориях когомологий. Эти классы с целыми номерами при каноническом преобразовании в теорию целочисленных когомологий переходят в обычные классы Понтрягина, и поэтому в работе [15] классы рк/2 были названы полуцелыми классами Понтрягина.

Хорошо известно, что характеристические классы Понтрягина не удовлетворяют системе аксиом, предложенной Гротендиком для классов Чженя комплексных векторных расслоений. Это связано с тем, что основное вычислительное средство теории - формула Уитни - выполняется только по модулю элементов 2-примарного порядка. Как следствие, для характеристических классов Понтрягина в системе аксиом Гротен-дика не выполняется теорема единственности. Известно [б], что нельзя построить универсальные классы Понтрягина так, чтобы одновременно выполнялось равенство рп(£) = Хсо(С£), где п — с1нп£, и формула Уит-ни была точной. При подходе, предложенном в [15], теорема сложения не входит в список аксиом для универсальных характеристических классов. Тем не менее, для завершения построения теории универсальных характеристических классов Понтрягина из [15] важно было выяснить, каков же точный закон сложения для них. Полное решение этого вопроса позволило бы также получить новую информацию о структуре 2-примарных компонент СО-теории кобордизмов.

Как следует из [15], теоремы сложения для характеристических классов Понтрягина тесно связаны с гомотопическими свойствами трансфера Беккера-Готтлиба. Возможность сводить вычисление трансфера расслоения к вычислению трансферов от некоторых специальных подрас-слоений позволяет получить все известные к настоящему времени теоремы сложения для характеристических классов. Для получения точных формул, выражающих универсальные характеристические классы Понтрягина суммы Уитни двух вещественных векторных расслоений через классы Понтрягина слагаемых, необходимо перенести результаты о локализации трансфера [8, 14, 24] на более широкий класс расслоений.

Трансфер Беккера-Готтлиба дает геометрическую реализацию фундаментального понятия - прямого образа, играющего важную роль в анализе, алгебре и геометрии. Методы, связанные с понятием прямого образа, позволяют сводить различные вычислительные задачи на базе расслоения к более простым задачам на пространстве этого расслоения. В топологии наиболее важными реализациями прямого образа являются гомоморфизм Гизина и трансфер Беккера-Готтлиба. Каждое из этих отображений имеет простой алгебраический смысл. Гомоморфизм Гизина представляет собой обобщение понятия интегрирования вдоль слоев и тесно связан с понятием вычета. Трансфер Беккера-Готтлиба дает геометрическую реализацию следа оператора умножения на элемент расширения данного кольца для важного класса алгебраических расширений колец. Для расслоений р : Е В с гладким слоем ^ можно описать связь между трансфером Беккера-Готтлиба и гомоморфизмом Гизина, используя расслоение касательных вдоль слоев тр(Е). Более точно, если такое расслоение тр (Е) ориентируемо, то трансфер расслоения выражается через гомоморфизм Гизина при помощи класса Эйлера расслоения тр(Е). Это позволяет одинаково успешно использовать в задачах алгебраической и дифференциальной геометрии аппарат алгебраической топологии, хорошо согласованный с трансфером, а в задачах алгебраической топологии - аппарат алгебраической и дифференциальной геометрии, связанный с понятиями вычета и следа алгебраического расширения. Например, ряд задач алгебраической геометрии, дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии может быть сведен к исследованию алгебро-топологических свойств многообразий флагов. В работах

12, 13] рассматриваемый подход реализован для вычисления важных операторов деления, построенных в работе [10], в кольце комплексных кобордизмов полных флагов. Как следствие^, получена новая информация о мультипликативной структуре кольца кобордизмов многообразий полных флагов различных комплексных полупростых групп Ли. Этот результат естественно называть исчислением Шуберта [25] в комплексных кобордизмах. В настоящее время получен большой объем информации о структуре колец когомологий многообразий флагов [21, 22, 25, 28], и задачи о шубертовском исчислении находятся в центре внимания в связи с новыми приложениями в теории квантовых когомологий [19, 26]. Среди других направлений приложения рассматриваемого подхода отметим важную задачу о соотношениях типа делимости на характеристические числа классов многообразий с дополнительной структурой (например, комплексной) в касательном расслоении [2, 7, 36], а также задачу о соотношениях между характеристическими числами многообразия и его подмногообразий, двойственных к характеристическим классам касательного расслоения исходного многообразия [18]. В настоящее время эти задачи далеки от полного решения.

Представляемая диссертация посвящена решению задачи о локализации трансфера, нахождению точных законов сложения для универсальных классов Понтрягина и полному вычислению гомоморфизма Гизина в комплексных кобордизмах для грассманизаций комплексных векторных расслоений.

В первой главе диссертации мы даем полное исследование вопроса о локализации трансфера. Доказанное свойство локализации трансфера позволяет сводить задачу о вычислении трансфера расслоения к вычислению трансферов специальных подрасслоений - подрасслоений нулей векторных полей, касательных к слоям исходного расслоения. При этом трансфер расслоения может быть записан в виде линейной комбинации трансферов подрасслоений, что отмечалось при исследовании частных случаев в работах [8, 14, 24]. Основным результатом первой главы диссертации является полное вычисление коэффициентов этой линейной комбинации. Мы разрабатываем теорию индексов векторных полей Морса-Ботта со значениями в когомотопических группах подмногообразий нулей этих полей. Оказывается, что коэффициенты, с которыми трансфер расслоения выражается через трансферы подрасслое-ний нулей послойных векторных полей, в точности совпадают с вводимыми индексами. Построенные индексы векторных полей Морса-Ботта при гомоморфизме в целочисленные когомологии равны индексам нулей векторных полей в обычном понимании. В простейшем случае для расслоений над точками доказательство свойства локализации трансфера воспроизводит доказательство классической теоремы Пуанкаре-Хопфа о суммарной особенности касательного векторного поля на многообразии (см., например, [32]). С этой точки зрения свойство локализации трансфера представляет собой далекое обобщение теоремы Пуанкаре-Хопфа для многообразий на случай расслоеных пространств. В этой же главе мы строим пример векторного поля на проективной плоскости, у которого индекс нуля в окрестности проективной прямой равен — 1 + и, где и - образующая группы 7rf. В заключении этой главы мы показываем, что известные результаты работ [14, 24] о локализации трансфера сводятся к частным случаям доказанной общей теоремы о локализации. Результаты этой главы опубликованы в [44, 46].

Во второй главе диссертации изучаются универсальные характеристические классы векторных расслоений. Первый и второй параграф этой главы посвящены нахождению точных формул, выражающих классы Понтрягина суммы Уитни двух вещественных векторных расслоений через классы Понтрягина слагаемых. В первом параграфе мы вычисляем значение в кобордизмах индекса векторного поля Морса-Ботта в случае, когда дифференциал поля в окрестности нуля имеет диагональный вид. Мы исследуем важное векторное поле Морса-Ботта на грассмани-зации суммы Уитни двух вещественных векторных расслоений, описываем связные компоненты нулей и вычисляем их индексы. Во втором параграфе мы доказываем центральный результат этой главы - теорему сложения универсальных характеристических классов Понтрягина вещественных векторных расслоений. Детально рассмотрен случай первого полуцелого класса piß. В комплексных кобордизмах получена точная формула, выражающая первый полуцелый класс Понтрягина суммы двух вещественных векторных расслоений через классы Понтрягина елагаемых.

В третьем параграфе второй главы мы рассматриваем пример использования теорем сложения обобщенных характеристических классов. Мы даем новое доказательство гипотезы Фробениуса о размерностях вещественных алгебр без делителей нуля. Мы показываем, что замена классов Штифеля-Уитни на первый класс Чженя в /^-теории позволяет довести элементарное доказательство [31] того, что размерность таких алгебр есть 2*, до доказательства того, что реализуются только случаи к = 0,1,2 и 3.

В заключительном четвертом параграфе этой главы мы исследуем характеристические классы Понтрягина стабильно комплексных векторных расслоений. Мы показываем, что классы Понтрягина с нецелыми номерами у таких расслоений равны нулю, в то время как классы с целыми номерами обладают реализацией в симплектических кобордизмах. Результаты этой главы опубликованы в [43, 44, 45, 46].

В третьей главе диссертации разрабатывается исчисление Шуберта в комплексных кобордизмах для комплексных многообразий флагов. Мы решаем задачу о вычислении гомоморфизма Гизина в комплексных кобордизмах для грассманизации комплексных векторных расслоений. Этот результат дает явные формулы для исчисления Шуберта в комплексных кобордизмах из [12, 13] и распространяет результаты [21, 22, 28, 37] на широкий класс задач.

В первом параграфе третьей главы мы доказываем технический результат о связи между гомоморфизмом Гизина и отображением трансфера. В свете доказанных результатов свойство локализации трансфера представляет собой общую теорему о локализации алгебро-геометрических инвариантов многообразия в окрестности специальных подмногообразий, таких как подмногообразия неподвижных точек действий групп (см. [4, 20]) или подмногообразия нулей векторных полей (см. [И, 42]).

Во втором параграфе мы вычисляем гомоморфизм Гизина в комплексных кобордизмах для грассманизаций комплексных векторных расслоений. Мы строим удобные для вычислений базисы кольца любых комплексно-ориентированных обобщенных когомологий произвольного многообразия комплексных флагов. Элементы построенных базисов представляют собой деформации классических полиномов Шура [30]. Параметрами этой деформации являются коэффициенты формальной группы теории когомологий. Гомоморфизм Гизина описывается в терминах операции объединения на индексах элементов базисов. Доказательство этого утверждения получается из результатов о структурах градиентных потоков на симметрических пространствах [40] и доказанного в диссертации свойства локализации трансфера.

В заключительном третьем параграфе мы вычисляем след оператора умножения на элемент расширения кольца когомологий пространства В в классе алгебраических расширений, определяемых грассманизациями (СО^(т}),СО^,В,р) произвольных комплексных векторных расслоений. Общий вид таких алгебраических расширений есть кольцо полиномов над кольцом когомологий базы от классов Чженя тавтологического расслоения г](к) над и соотношением С(ч](к)) • С{г](п — к)) = р*(С(?/)), где через С(£) мы обозначаем полный класс Чженя комплексного расслоения £ в данной теории когомологий (теория когомологий предполагается комплексно-ориентированной). След такого оператора умножения в описанных алгебраических расширениях совпадает с гомоморфизмом, индуцированным трансфером в когомологйях. Применение свойства локализации трансфера позволяет дать точное выражение для следа оператора умножения в терминах образующих Ву исходного расслоения и тавтологического расслоения над грассманизацией. Результаты этой главы опубликованы в [44, 47].

Благодарности. Я хочу выразить глубокую признательность своему научному руководителю профессору В. М. Бухштаберу за многочисленные обсуждения, ценные советы и постановки задач, а также выразить благодарность сотрудникам кафедры Высшей геометрии и топологии Л. А. Алания, И. А. Дынникову и Т. Е. Панову за полезные обсуждения во время моего обучения в Московском государственном университете.

1. Adams J. F., On the structure and applications of the Steenrod algebra, Comment, math, helv., V.32 (1958), p. 180-214.

2. Armstrong P., The divisibility of normal Chern numbers, Quart. J. Math., 44:(175), (1993), p. 271-281.

3. Атья M., Лекции по К-теории, M., "Мир", 1967.

4. Атья M., Ботт Р., Заметки о теореме Лефшеца о неподвижной точке1, Математика, 1966, 10:4, с. 101-139.

5. Bakuradze М., The transfer and symplectic cobordism, Trans. Amer. Math. Soc., V. 349 (1997), p. 4385-4399.

6. Бакурадзе M. P., Надирадзе P. Г., Когомологические реализации двузначных формальных групп и их приложения, Труды Тбилисского Мат. Ин-та, Т. 94 (1991), с. 12-28.

7. Barton J., Rees Е., On the divisibility of certain Chern numbers II, Quart. J. Math. Oxford (2), 33 (1982), p. 263-265.

8. Becker J. C., Characteristic classes and K-theory; Lecture Notes in Mathematics 428, Springer-Verlag (1974), p. 132-143.

9. Becker J.C., Gottlieb D.H., The transfer map and fiber bundles, Topology, 14, N 1 (1975), p. 1-12.

10. Бернштейн И. H., Релъфанд И. М., Гелъфанд С. И., Клетки Шуберта и когомологии пространств G/P, Успехи Математических Наук, Т.28, вып.З (1973), с. 3-26.

11. Bott R., Vector fields and characteristic numbers, Michigan Math. J., 14 (1967), p. 231-244.

12. Bressler P., Evens S., The Shubert calculas, braid relations, and generalized cohomology, Trans. Amer. Math. Soc., V. 317 (1990), p.799-811.

13. Bressler P., Evens S., Shubert calculus in complex cobordism, Trans. Amer. Math. Soc., V. 331 (1992), p. 799-811.

14. Brumfiel G., Mads en /., Evaluation of the transfer and the universal surgery classes, Inventiones math., V. 32 (1976), p. 133-169.

15. Бухштабер B.M., Топологические приложения теории двузначных формальных групп, Известия Академии Наук СССР, Серия математическая, Том 42, N 1 (1978), с.130-184.

16. Бухштабер В.М., Характеристические классы в кобордизмах и топологические приложения теорий однозначных и двузначных формальных групп, Итоги науки и техники, Современные проблемы математики, Фундаментальные направления, Т.10. М.: ВИНИТИ, 1978, с.5-178.

17. Бухштабер В. М., Трансфер Беккера-Готлиба, Приложение 3 в книге: Снэйт В., Алгебраический кобордизм и К-теория, М., "Мир", 1983.

18. Buchstaber V. М., Veselov А. P., On a remarkable functional equation in the theory of generalized Dunkl operators and transformations of elliptic genera, Math. Z., V. 223 (1996), p.595-607.

19. Ciocan-Fontanine /., The quantum cohomology ring of flag varieties, Trans. Amer. Math. Soc., V. 351 (1999), p. 2695-2729.

20. Коннер П., Флойд Э., Гладкие периодические отображения, М., "Мир", 1969.

21. Damon J., The Gysin homomorphism for flag bundles, American Journal of Math., V. 95 (1973), p. 643-659.

22. Damon J., The Gysin homomorphism for flag bundles: applications, American Journal of Math., V. 96 (1974), p. 248-260.

23. Dold A., The fixed point index of fibre-preserving maps, Inventiones Math. 25 (1974), p.281-297.

24. Feshbach, M., The transfer and compact. Тле groups, Trans, of the Am. Math. Soc., V. 251 (1979), р.Ш-169.

25. Фултон В., Теория пересечений, M., "Мир", 1989.

26. Givental A., Kim В., Quantum cohomology of flag manifolds and Toda lattices, Comm. Math. Phys., V. 168 (1995), p. 609-641.

27. Голубятников В.П., О кольцах бордизмов с расщепленными нормальными пучками, Сиб. Мат. Журнал, Т. 30, N 5 (1989), с. 42-48.

28. Jozefiak T., Lascoux A., Pragacz Р., Классы детерминантных многообразий, ассоциированных с симметрической и кососимметриче-ской матрицами, Известия АН СССР, Серия математическая, Т. 45, N 3 (1981), с. 662-674.

29. Кричевер И. М., Формальные группы и неподвижные подмногообразия, действий компактных групп Ли. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, М., МГУ, 1974.

30. Macdonald /. G.} Symmetrie functions and Hall polinomials, 2nd edition, Oxford University Press, 1995.

31. Милнор Дж., Сташеф Дж., Характеристические классы, М., "Мир", 1979.

32. Милнор Дж., Уоллес А., Дифференциальная топология. Начальный курс, М., "Мир", 1972.

33. Новиков С.П., Алгебраическая топология с точки зрения теории кобордизмов, Известия АН СССР, Серия математическая, Т.31, N 4, (1967), с. 855-951.

34. Панов Т. Е., Вычисление родов Хирцебруха многообразий, несущих действие группы Zp, через инварианты действия, Известия РАН, Серия математическая, Т. 62, N 3 (1998), с. 87-120.

35. Постников М. М., Введение в теорию Морса, М., "Наука", 1971.

36. Rees Е., Thomas ЕOn the divisibility of certain Chern numbers, Quart. J. Math. Oxford (2), V. 28 (1977), p. 389-401.

37. Quillen D., On the formal group laws of unoriented and complex cobor-dism theory, Bull, of the AMS, V. 75, N 6 (1969), p. 1293-1299.

38. Снэйт В., Алгебраическийкобордизм и К-теория, М., "Мир", 1983.

39. Verona А., TYianguIation of stratified fibre bundles, Manu. Math., V. 30 (1979/80), p. 425-445.

40. Веселое А.П., Дынников И.А., Интегрируемые градиентные потоки и теория Морса, Алгебра и Анализ, Т.8, вып. 3 (1996), с. 78-103.

41. Уайтхед Дж., Новейшие достижения в теории гомотопий, М., "Мир", 1974.

42. Witten Е., Suppersymmetry and Morse theory, J. Differential Geometry, 17 (1982), p. 661-692.

43. Бухштабер B.M., Фельдман К.Э., Формула сложения для первого полуцелого класса Понтрягина в комплексных кобордизмах, Успехи Математических Наук, Т.52, вып. 6 (1997), с.151-152.

44. Feldman К. Е., An equivariant analog of the Poincare-Hopf theorem, Proceedings of the International conference dedicated to the 80th anniversary of V. A. Rokhlin, St. Petersburg (1999), p. 26-27.

45. Фельдман К. Э., Новое доказательство гипотезы Фробениуса о размерностях вещественных алгебр без делителей нуля, Вестник московского университета, Серия 1, Математика, Механика, N 1 (2000), с. 61-63.

46. Бухштабер В.М., Фельдман К.Э., Индекс эквивариантного векторного поля и теоремы сложения для характеристических классов Понтрягина, Известия РАН, Серия математическая, Т.64, N 2 (2000), с. 3-28.

47. Фельдман К. Э., Эквивариантный аналог теоремы Пуанкаре-Хопфа, Записки научных семинаров ПОМИ, Т. 267 (2000), с. 160174.