Общие неподвижные точки семейства монотонных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

^ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ. «^ГОССИЙСКИЙ^ЗСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ А.И. ГЕРЦЕНА

1 ^--------

На правах рукописи

ПОПОВА ВАЛЕНТИНА ВИКТОРОВНА

ОБЩЕ НВПОДНаШ ТОЧКИ

МОНОТОННЫХ ОПЕРАТОРОВ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт - Петербург 1995

Работа выполнена на кафедре математики Шадринского государственного педагогического института

Научный руководитель - кавдидат физико-математических наук,

доцент А.И. Поволоцкий

Официальные оппоненты:.доктор физико-математических наук,

профессор А.И. Векслер, кавдидат физико-математических наук, доцент Н.М. Гулевич.

Ведущая организация - Челябинский государственный университет

. £Г

Защита состоится "/$ " О^И^ы^сЛу 1995 г. в часов на заседании Диссертационного Совета К 113.05. 14 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Российс ком государственном педагогическом университете им. А.И. Герцена (191186, Санкт-Петербург, наб. р. Мойки, 48, корп.1, ауд. 209).

С диссертацией можно • ознакомиться в Фундаментальной библио теке университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь Диссертационного Совета

И.Б. Готская

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТА

Актуальность темы. Одной из важнейших задач функционального Тналйза является исслолованивраэрашимооти^ различных уравнений, в процессе которого осуществляется переход от первоначальных" уравнений к абстрактным операторным уравнениям в пространствах с различными топологическими структурами. В этих исследованиях вопрос о разрешимости уравнений приобретает форму теорем о неподвижных точках операторов. Кроме существования неподвижных точек отдельных операторов представляет интерес вопрос о существовании общих неподвижных точок семейств операторов. Существование таких точек

р«чл„чмпми мою^ани, В частности, широкую популярность в отечественных исследованиях получили м«толы, идя^ашшо СО структурой порядка в рассматриваемых пространствах. Началом исследований с помощью данных методов послужила работа М.Г. Крейна и М.А. Рутманп "Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус » пространство Банаха". Наиболее активные исследования в этой области принадлежат М.А. Красносельскому, И.А. Бахтину, П.П. Заб-рейко, В.Я. Стецонко, Л.В. Канторовичу, Б.З. Вулиху, А.Г. Пинскв-ру, А.И. Векслеру и др.

Среди зарубежных математиков в исследованиях неподвижных точек операторов и общих неподвижных точек семейств операторов в последнее время наибольшей популярность» пользуются методы, связанные с топологической или метрической структурой (работы Брауде-ра, Кирке, Рейха, Юнга, литера и др.)• Особенно большое внимание при исследовании существования общих неподвижных точек семейств операторов было уделено нерастягиваюиим отображениям в банаховых пространствах как коммутирующим (работы Браудора, Кирка, Ле Happa и др.), так и не обладающих свойством коммутируемости (работы Митчелла и др.), а также отображениям в метрических пространствах, удовлетворяющих различным неравенствам снимающего типа (работы 1нгп, Фишера, Райха и др.). Следует огметкть, что для нерастяги-5аящих отображений в данных исслодованих получены и теоремы о ¡труктуре множества общих неподвижных точок.

Проблеме существования общих неподвижных точек некоммутирую-}их монотонных операторов, действующих s частично упорядоченных ¡анаховых пространствах и имеющих многочисленные приложения, уде-шлось меньшое внимание сравнительно с аналогичной проблемой для ■помянутых выше отображений. Всё это указывает на важность рао-мотрения вопросов существования и изучения структуры общих ке-одвижных точок монотонных операторов.

Цель работы. Исследование условий существования общих неподвижных точек различных классов монотонных операторов, в частности операторов вполне медленного роста, изучение их свойств, условий сходимости итерационных процессов к неподвижным и общим неподвижным точкам и вопросов разрешимости уравнений с такими операторами.

Научная новизна.Определен класс операторов вполне медленного роста, подробно исследованы его свойства, неподвижные и общие неподвижные точки, а также рассмотрено приложение данного класса операторов к вопросам разрешимости интегральных уравнений в частных интегралах.

Практическая значимость. Полученные результаты могут бить использованы при разработке специальных курсов по функциональному анализу. Они могут найти также приложения в вопросах разрешимости некоторых классов операторных уравнений.

Апробация работы. Результаты исследования докладывались на научных семинарах Уральского университета. Института математики и механики УрО АН СССР, РГПУ им. А.И. Герцена, на Всесоюзной (Магнитогорск, 1984 г.) и Уральской региональной (Пермь, 1985 г) конференциях "функционально-дифференциальные уравнения", на Гер-ценовских чтениях (апрель г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах.

Структура работы. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы;

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается краткий обзор исследований по общим неподвижным точкам операторов и излагаются основные результаты ди'о-сэргации.

В главе I доказаны теоремы о сходимости итерационных процессов для коммутирующих й/ -монотонно компактных и непрерывных операторов к общей неподвижной точке и о существовании общей неподвижной точки некоммутиручщих А/ -монотонно компактных операторов. Доказана теорема о существовании общей неподвижной точки гетеротонных операторов.

В приводятся основные понятия и теоремы, используемые в данной работе.

Пусть £ - вещественное банахово пространство. Замкнутое

выпуклое множество fi с Е называется конусом, еоли dt\ C/f ( oL ^ О ), a из того, что X , ~Ж ¿ ti следует, что ( & —- нуль пространства £____).___________

При помощи конуса И в Е определяется полуупорядо^ ченность: X & В , если Jt-ye ft

Оператор Т , действующий в пространстве £ , называется монотонным, если X & У влечет Тх ^ Ту .

Конусным отрезком < У-, У> называется множество

Конус К называется правильным, если каждая монотонная пссл®деэвтв»«.н«>01-ь X, 4 У.^... , ограниченная сверху

некоторым элементом, сходится по норме.

Конус И называется миниэдральннм, если у каждого конечного ограниченного по полуупорядоченности множества есть супремум.

Монотонный на множестве

МсЕ оператор п называется tv -монотонно компактным на этом множестве, если для.каждой монотонной, ограниченной снизу и сверху последовательности , последовательность Ая.*, компактна.

Оператор

Т : Е-Е называется геторотонныи, если для него можно указать сопутствующий оператор f^ : SKS"~*E , такой что T(¿yjt)=Tjt и Т(U,tü) монотонно возрастает по первому аргументу и убывает по второму.

ч- В данном параграфе приводятся также теоремы существования неподвижных и общих неподвижных точек монотонных операторов, принадлежащих М.А. Красносельскому и И.А. Бахтину и теорема существования неподвижной точки гетеротонного оператора, принадлежащая В.И. Опойцэву.

В исследуются вопроси сходимости итерационных процессов для непрерывных ^ -монотонно компактных коммутирующих операторов к общей неподвижной точке (теоремы I.2.I-I.2.2). Отметим, что доказательство существования общей неподвижной точки семейства коммутирующих монотонных операторов принадлежит И.А. Бахтину. Результаты данного параграфа будут использованы в дальнейших главах.

Теорема 1.2.2. Пусть Е - вещественное банахово пространство, полуупорядоченное конусом Н , Т, и Тг - непрерывные tv монотонно компактные и коммутирующие операторы, действующие в пространстве Е и отображающие конусный отрезок

- б -

<и.„Л> И собя. Если ¡¡.¿=<и-«А> И Т,Хе*Хв , ТЯХ„>Лс С Т^с^^о » ). то последовательность (Т^) Х0

сходится к общей неподвижной точке операторов и Т^ ,

принадлежащей конусному отрезку < ч0, Ов > ,

Следствие 1.2.2. Пусть Е - вещественное банахово пространство, полуупорядочонное конусом Н , Т^ и Тг - непрерывные И -монотонно компактные и коммутирующие операторы, действующие в пространстве .Е и отображающие конусный отрезок <и-о,"0,> в себя. Тогда последовательности (ТД^)цв и (Т^Г^ сходятся соответственно к наименьшей и наибольшей общим неподвижным точкам операторов Т, и , принадлежащим .

В §3 в качестве примера рассмотрены условия коммутируемости аффинных интегральных операторов и доказана.теорема о совпадении коммутирующих аффинных интегральных операторов в том случае, если ядра данных операторов являются однородными оимметрич-нымк многочленами.

В доказана теорема существования общей неподвижной точки гетеротонных операторов, являющихся обобщением монотонных и антимонотонных операторов. Понятие гетеротонного оператора принадлежит В.И. Опойцеву.

В §5 доказаны теоремы существования наибольшей и наименьшей общих неподвижных точек А,-монотонно компактных операторов, не являющихся коммутирующими. При доказательстве соответствующих результатов используются следующие условия: либо существование операторов, коммутирующих <? данными (теоремы 1.5.1-1.5.6), либо коммутируемость данных операторов на некотором подмножестве конусного отрезка (теоремы 1.5.7-1.5.11).

Теорема 1.5.5. Пусть Е - вещественное банахово пространство, полуупорядочениое конусом И Т, , Тг - непре-,, рывиыв ¡V -монотонно компактные операторы, действующие в пространстве Е н отображающие конусный отрезок <и^г}0> в себя. Пусть существует непрерывный Ри -монотонно компактный оператор Т0 » действующий в пространстве Е , отображающий конусный отрезок и удовлетворяющий условиям:

1) ТТвХ-ТДл для всех х.е <иа>^с> Г

2) иТо*.12 Т.Т*д для всех хб с«.с);г/<,> ;

3) (Т, Т.)^* = Тд.(Х"Гв*) для всех Х.б- < ив> 1}в-> .

Тогда операторы Т} , Тг , Т0 имеют наименьшую

и наибольшун общие неподвижные точки, принадлежащие <1С0)1^е> , _______Творена 1.5.7. Пусть Е - вещественное банахово пространство, полуупорядочонное конусом К , Т1 и Тг----непрорыв-___

ныэ ¡ь -монотонно компактные операторы, действующие в пространстве Е и отображающие конусный отрезок > в себя. Вели операторы Г, й Т удовлетворяют условиям: а) М = П Тг(<ае,1/0>) ф ф ;

Т, Тьл - Т^Т, К для всех Кб М ; в) существует элемент Я0 £ М , такой что Т, Х^К,, Т^

С -■ ).

ТО ОНИ ИНОСТ ОЙЕуп ~и"Т.у, прпнадлмташу» »«,. ¿Л,4

В глава 2 вводится понятие опоратора вполне медленного рос та, изучаются ого свойства, условия существования общих неподвижных точек некоммутирующих операторов вполне медленного роста и условия сходимости итерационных процессов для данных операторов к неподвижным и общим неподвижным точкам.

В §1 вводится понятие оператора вполне медленного роста и приводятся примори таких операторов.

Определенно 2Л_Л. Монотонный оператор Т , действующий в банаховом пространства Е , полуупорядоченном конусом К , назовем оператором вполне медленного роста, если для любого у и для любого К6 И выполняется неравенство

Т(Х + К) * Тл +Н

Одним из примеров такого оператора является нелинейный •штегральный оператор с частными интегралами, рассмотренный в ^аве 3.

В §2 изучаются свойства операторов вполне медленного роста. 3 п.1 операторы вполне медленного роста рассматриваются в гиль-чертогом пространства. Показано, что на некоторых классах элементов операторы вполне медленного роста являются монотонными и по-южительными в смысле скалярного произведения. В п.2 данного па-заграфа изучаются структура множества неподвижных точек оператора шолне медленного роста и связанные с этой структурой свойства.

Теорема 2^2.1. Пусть Х1 и к.*. - неподвижные точки опе-тгора вполне медленного роста Т , действующего в банаховом фоотранстве £ , полуупорядоченком конусом Н , Токио что . ЁОЛИ <*.<,£,> , то Тяв=' х о.

Следствие 2.2.1. Пусть £ - вещественное банахого прост-

ранство, полуупорядоченноо правильный конусом Н « Т непрерывный оператор вполне медленного роста, действующий в пространстве Е и отображающий конусный отрезок в себя. Тогда множество неподвижных точек оператора Т , принадлежащих о, ■бв > , является конусным отрезком.

Показано, что класс операторов вполне медленного роста связан с классом слвбомонотонных операторов, рассмотренных В.Я. Опойцевым.

На операторы вполне медленного роста можно обобщить некоторые известные теоремы математического анализа.

Теорема 2.2.3. Пусть Е - вещественное банахово пространство, полуупорядочоннов правильным конусом Ц , Т оператор вполне медленного роста, действующий в пространстве Е Тогда Т(<сса>т*„»=< Ти„',Т1)0> .

Следствие 2.2.2. Пусть Е - вещественное банахово пространство, полуупорядоченноо правильным конусом К , Т -оператор вполне медленного роста, действующий в пространстве £ и о.0 . Если Ти.о-^0 , Т^о^О , то существует точка

х" £ <и,а>т}0> , такая что = С .

В §3 рассмотрены теоремы существования общих неподвижных точек некоммутируюцих операторов вполне медленного роста. В основе доказательств данных теорем лежит особенность структуры множества неподвижных точек оператора вполне медленного роста, указанная в следствии 2.2.1".

Теорема 2.3.1. Пусть Е - вещественное банахово пространство, полуупорядоченноо правильным конусом Н »7^ , -непрерывные опораторы вполне медленного роста, действующие в пространстве Е и отображающие конусный отрезок <ос0)^о> в себя. Пусть существует непрерывный опоратор вполне медленного роста Тс , отображающий <«,О;г/0> в себя и удовлетворяющий условиям:

1) Т,Т0х-Т01^х для всех х^<а0,1)0> ;

2) аВДх-Т/ГДх) для всех х 6 <■ и, о, т?, > .

Тогда операторы Т, , Т^ , То имеют наименьшую и наибольшуп общие неподвижные точки, принадлежащие < гГв > .

Теорема 2.3.3. Пусть Е - вещественное банахово пространство, полуупорядоченноо правильным и миниэдр&льным конусом Н , Т, и Тг - непрерывные операторы вполне медленного роста,

действующие в пространстве Е и отображающие конусной отрезок < и,с, гь > в себя. Пусть существует нопрорывный оператор вполне иед^нного~~роста Т0 т~отображающий т!е> в собя и удовлетворяющий условиям:

Ъ1Т0\к)~(Т.Т*.)"^* для всех <и.0/1}в> ; б) ,

где х, и У о - наимоньшая и наибольшая неподвижные точки операторов Т^ и Тс из <и-„1 >

Тогда операторы Т., и Т., имеют общую неподвижную точку, принадлежащую <а,,;гГ0> .

Праводса пртср, «икюотввнкшль >с.;уг.-:л заел

не медленного роста операторов в данной теореме.

Теорема 2.3.5 устанавливает овязь между множеством неподвижных точек операторов вполне медленного роста Т и Т* Теорема 2.3.6 рассматривает свойство множества неподвижных точок выпуклой комбинации операторов вполне медленного роста.

В п,1 рассмотрены, теоремы о сходимости итерационных процессов для операторов вполне медленного роста к неподвижной и общей неподвижным точкам.

Теорема ¿ЛЛ. Пусть Ь - вещественное банахово пространство, полуупорядоченноо правильным конусом Н , Т - непрерывный оператор вполне медленного роста, действующий в пространстве ч£ и отображающий конусный отрезок <и.0>1)0> в себя. Пусть Уеб <и,1>1 . Тогда последовательность Т х0 сходится к неподвижной точке оператора ~Г , принадлежащей .

Данная теорема позволяет получить ряд тоором о сходимости итерационных процессов для операторов вполне медленного роста к общей неподвижной точко.

Теорема 2.4.2. Пусть Е - вещественное банахово пространство, полуупорядоченноо правильным конусом Н , и Тг -непрерывные и коммутирующие операторы вполне медленного роста, действующие в пространстве Е и отображающие конусный отрезок <ц,в) п!0> в себя. Тогда для любого х0<= <¿¿0,последовательность сходится к общей неподвижной точко операторов Т., и Т^ , принадлежащей <иа> тЗа> •

В п.2 рассмотрены условия сходимости итерационных процессов для операторов вполне медленного роста к фиксированной неподвижной точке.

В §5 рассмотрены операторы, растягивающие конусный отрезок

и доказаны теоремы существования неподвижных точек таких операторов.

В §6 понятие оператора вполне медленного роста переносится на гетеротонные операторы и вводится понятие оператора вполне медленного изменения (определение 2.6.1). Доказаны теоремы о структуре множества неподвижных точек гетеротонных операторов вполне медленного изменения, аналогичные теоремам о структуре множества неподвижных точек операторов вполне медленного роста.

Глава 3 содержит приложения,полученных теоретических результатов. Основную часть главы занимают вопрооы разрешимооти нелинейных уравнений в частных интегралах, операторы в которых обладает свойством вполне медленного роста. Исследованию уравнений с частными интегралами посвящены многочисленные совместные работы А.И. Поволоцкого и A.C. Калитвина.

Пусть Т, , Тг - множества конечной лебеговой меры в конечномерных пространствах и И . М iti.t,,^«-) -

вещественные функции, определенные при i1 , Se Т< , tz ,Т&Тг и , Операторы А, . Аг . А :

(A,x)(V*) = fT'LVA.xis.^jik :

т,

А = А, +hz

называются нелинейными операторами Урысона о частными интегралами.

В §1 рассмотрены условия разрешимости интегральных уравнений с частными интегралами вида

Г

(О (I)

п V. -I /

Г

(теоремы 3.1.1-3.1.3).

Запишем уравнение ( I ) в виде (TxKt,,^)^ .

Теорема 3.1.1. Пуоть выполнены уоловия;

1) оператор^Т________отображает конуоный отрезок

< ги£,,<*)> в себя;

2) О к М^з^] - ^ , оА ~

где ¿-+Р = 1 ;

3) упорядоченность такова, что каждая монотонно возрастающая (убывающая) ограниченная оверху (снизу) последовательность имеет суираауи Сиг^-Т-О' __

Тогда уравнонзо ( } имеет ао ¡¿рйЛаа"

одно решение 1}о(Ь,, **)> .

В процесое доказательства данной теоремы показывается, что оператор Т являетоя оператором вполне медленного роста.

В §2 как одно из возможных приложений рассмотрено применение операторов вполне медленного роста к исследовании нелинейной экономической модели Леонтьева.

В заключений автор выражает благодарность Поволоцкому А.И. за помощь по завершение работы.

Работы автора по теме диссертации.

1. Попова В.В. Общие неподвижные точки монотонных операторов, имеющих миноранту. - Депонированная рукопись, »668-84 Деп., Р&Мат., 1934, 5Б906, 6 о.

2. Попова В.В. Общие неподвижные точки операторов вполне медленного роота. - Исследования по тоории приближений: Сб. науч. тр. Свердловок: УрГУ, 1988, 0.86-55.

3. Попова В.В. О существовании общих неподвижных точек монотонных операторов. - Депонированная рукопись, И6600-83 Дел., РкМат., 12Б1216, 14 о.

Попова В.В. Структура множеотва неподвижных точек операторов вполне медленного рюта. - Иооледованнг по теории приближений: Сб. науч. тр. Свердловок: УрГУ, 1990, о. П6-П9. 5. Бахтин И.А., Попова В.В. Существование общих неподвижных точек монотонных порядково нерастягнвашцнх не коммутирующих операторов. - Депонированная рукопиоь, »2297-В 92 Деп., РЖмат., 1992, ИБИ69, 16 о.

б. Бахтин И.А., Попова В.В. Существование общих неподвижных точек монотонных не коммуткрувщих операторов. - Депонированная рукопись, »2299-В 92 Деп., РЖМв*., 1992, ИБИ79. 27 о.