Ограниченные решения нелинейных векторно-матричных дифференциальных уравнений n-го порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Коструб Ирина Дмитриевна

Ограниченные решения нелинейных векторно-матричных дифференциальных уравнений 11-го порядка

01.01.02 - диффсрс1пц1<1лы1ыс уравнения, динамические системы и оптимальное управление

1 7 НОЯ 2011

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2011

005001153

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Перов Анатолий Иванович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Баскаков Анатолий Григорьевич доктор физико-математических наук, профессор Курбатов Виталий Геннадьевич

Ведущая организация - Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Защита состоится "13"декабря 2011 г. в 15.10 иа заседании диссертационного совета Д 212.038.22 в Воронежском государственном университете, 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 333

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета

Автореферат разослан " "ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Изучение ограниченных решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений (или более частных классов - почти периодических или просто периодических) является одной из важнейших задач теории нелинейных колебании. Хотя в этой области уже достаточно много сделано (отметим успешно работающие топологический метод Т. Важевского н предложенный А. И. Перовым и М. А. Красносельским метод направляющих функций), тем не менее есть задачи, которые нуждаются ещё в дальнейшей разработке и детализации, например, такие как оценки указанных решений или признаки устойчивости по Ляпунову.

Целью работы является исследование вопросов существования и единственности (или только существования) периодических, почти периодических и ограниченных решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а также их устойчивости.

Методика исследований. Используемые в диссертации методы являются вполне традиционными. Основной метод - метод интегральных уравнений в соединении с различными принципами неподвижной точки. Систематически используется обобщённый принцип сжимающих отображений являющийся обобщением классического принципа сжимающих отображений Банаха-Каччиоиолли. При доказательстве существования ограниченных решений нашёл применение принцип неподвижной точки Тихонова в линейных локально выпуклых топологических пространствах. В развитии частотных методов основополагающее место занимает один результат А. Г. Баскакова. При изучении вопросов устойчивости важную роль играет "принцип отсутствия ограниченных решений в проблеме абсолютной устойчивости"М. А. Красносельского и А. В. Покровского.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми, чётко сформулированными и математически строго доказанными. При использовании работ других авторов даны соответствующие ссылки. Наиболее существенные научные результаты:

1. Введены и изучены свойства интегральных и частотных постоянных для регулярных линейных векторно-матричиых дифференциальных операторов п -го порядка с постоянными коэффициентами.

2. Для доказательства существования и единственности ограниченного решения нелинейного векторно-матричного дифференциального уравнения п-го порядка применён обобщенный принцип сжимающих отображений А. И. Перова.

3. Для доказательства существования ограниченного решения нелинейного векторно-матричного дифференциального уравнения п-го порядка использован принцип неподвижной точки А. Н. Тихонова.

4. Получены частотные признаки существования (и единственности) ограниченных решений на основе теоремы А. Г. Баскакова для дифференциальных операторов первого порядка.

5. Указаны новые условия устойчивости (конвергентности, диссипатив-ности) на основе "принципа отсутствия ограниченных решений в проблеме абсолютной устойчивости"М. А. Красносельского и А. В. Покровского.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты представляют несомненный интерес для развития аналитических методов исследования нелинейных систем дифференциальных уравнений, возникающих в теории нелинейных колебаний.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2011), на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвящёипой 110-й годовщине со дня рождения И. Г. Петровского (Москва, 2011), на научных сессиях ВГУ (Воронеж, 2010,2011), на научном семинаре под рук. проф. Перова А. И.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[8]. Из совместных работ [4], [5], [6] в диссертацию вошли только принадлежащие Коструб И. Д. результаты. Работы [4], [5], [6] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объём диссертации 139 страниц. Библиография содержит 107 наименований. Нумерация в автореферате совпадает с нумерацией в диссертации.

Краткое содержание работы

Во введении формулируется общая постановка задачи, делается обзор используемых методов, беглое освещение содержания глав диссертации с содержащимися в них новыми результатами.

В первой главе приводятся основные понятия и используемые во второй главе результаты. Она имеет дело со скалярными дифференциальными уравнениями п-го порядка.

В § 1 рассматриваются ограниченные решения линейных дифференциальных уравнении п-го порядка следующего вида

а0х(п) + ацм + ... + апх = /(4) (1.12)

коэффициенты которого ао, аъ ■■•, «п ~ постоянные вещественные или комплексные числа, причём ао ф 0; /(Ь) есть непрерывная ограниченная функция. Предполагается выполнение нерезонансного условия или условия нерезонансности

1(гв) ф 0, -оо < в < +оо,

не требующее знания характеристических корней и означающее, что характеристический многочлен Ь{\) = а0Хп + а^71'1 +... + ап не обращается в нуль на мнимой оси в комплексной плоскости С. В этом случае существует ограниченная функция Грина £?(£), с помощью которой вводятся интегральные постоянные

+оо

*} = У^'СЖ ^ = 0,1,...,п-1. (1.19)

—00

Иногда к ним удобно причислять п-ю интегральную постоянную

+00

391

Соответствующая теория называется аэ-теорией.

Частотными постоянными названы следующие величины

тах

— ОО<0<+ОО

эир

-оо<0<+оо

¿ = 0,1,.!.,п-1. (1.21)

(1.22)

¿(¿0)

Иногда к ним удобно причислять и п-ю частотную постоянную

(гв)п

1Щ '

Соответствующая теория называется с-теорией.

Отметим, что первые нз них являются нормами некоторых интегральных операторов, а вторые - их спектральными радиусами.

В § 2 рассматриваются ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений п-го порядка с ограниченными переменными коэффициентами (в частности с почти периодическими коэффициентами).

Следующие параграфы посвящены нелинейным дифференциальным уравнениям. Основной метод исследования - метод интегральных уравнений в сочетании с методом положительных операторов.

Нелинейные ве и а-теория излагаются в § 3 и § 4. Изучаются ограниченные решения слабо нелинейных дифференциальных уравнений п-го порядка следующего вида

а0х(п) + а^1) + ... + апх = ¡{Ь,х,х, (3.1)

при прежних предположениях по отношению коэффициентов линейной его части, в котором нелинейная функция /(£,а;о,жь...,жп--1) непрерывна по времени í и удовлетворяет условию Липшица по пространственным переменным

п-1

жь...,а:п_1)-/(«,уо,Уь-,Уп-1)| ~ Уз\- (3-2)

¿=0

Сформулированы теоремы существования и единственности (или только существования), доказанные или с помощью прппципа сжимающих отображений или с помощью принципа неподвижной точки Тихонова. Четыре теоремы (точнее восемь), которые с темп или иными вариациями проходят лейтмотивом по всей диссертации. Важную роль играет интегральное условие

п-1

= ^ ае,-/,-< 1 (3.10)

}=о

и частотное условие

п-1

= (3.20)

Доказано выполнение условия

Ча < 7», (3.21)

за исключением случая, когда (т0 = аэ0 и 1\ = 0, ..., 1п-\ = 0. Так что если выполнено интегральное условие (3.10), то выполнено и частотное условие (3.20); обратное, за исключением указанного выше случая, невозможно.

В § 5 излагаются локальные теоремы, основанные на сведении к теоремам, изложенным в предыдущих параграфах.

Вторая глава посвящена вопросу об ограниченных решениях дифференциальных уравнений второго порядка.

В § 6 рассматривается линейное неоднородное дифференциальное уравнение х + ах + Ьх = т (6.1)

в котором коэффициенты а и Ь являются вещественными и постоянными, а непрерывная функция /(£) - ограниченной.

Приводятся таблицы интегральных (ае-таблицы) и частотных (а-таблицы) постоянных.

Интегральные постоянные в приводимой ниже таблице выражены через корни характеристического многочлена А± = — | ± ^ — 6.

ае-таблица.

®о =

1

|А+А_|

вещественный случаи, комплексный случай.

(6.13)

141 1М

2/|А+-А_| 2/е|А|,

' 1 Нг ей'

сг

■Р2

вещественный случаи,

комплексный случаи.

(6.14)

2 1

А+-Л_

«2 = «

|А_

л_-л+

]А+ |А.

(6.15)

2(1 + е-2).

вещ. сл.

В (6.14) в вещественном случае сначала приведена формула для различных характеристических чисел одного знака (А+А_ >0), потом для различных характеристических чисел разных знаков (А+А_ < 0), и, наконец, для кратного характеристического числа (А+ = А_ = А). Заметим, что А++ +А_ = а (по формуле Виета).

Частотные постоянные в приводимой ниже таблице выражены через коэффициенты нерезонанспого характеристического многочлена ЦА) = А2 + аА + 6.

а -таблица.

^о =

1

Ш' 1

если Ь < —,

_если Ь > —.

Лу^Л 2

(6.17)

ах =

■г^т, если Ь > О,

1 , „ (6Л8> , если о < О.

х/ЗЩТ^

(Т-2 = \

А*-0'

1, если Ь <

Ь ь а* (6.19)

, если Ь > —.

2

Сравнение формул (6.17) и (6.19) показывает, что

= | Ь\а0. (6.20)

Формула (6.15), а также (6.18) и (6.19), насколько нам известно, публикуются впервые. Изложенные далее результаты для дифференциальных уравнений второго порядка самым существенным образом основаны на приведённых выше таблицах интегральных и частотных постоянных.

В § 7 рассматриваются ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Исследуется конкретное уравнение

ж + ах+(1 + дсоз1?г)2: = 0, (7.4)

где а > 0, ? > 0 и г?-любое. Это уравнение изучалось в связи с теорией электрических машин с параметрическим возбуждением. К уравнению такого вида приводит ряд задач по динамической устойчивости упругих систем с учётом трения, пропорционального скорости. Согласно М. А. Ай-зерману условие неограниченной устойчивости

а2 > ¿(1 + 9 - л/1 + 2(7). (7.5)

Применение к этой задаче а -теории даст следующий результат

а2 > 2(1 - у/1 - 92), (если а2 < 2). (7.8)

Сравнение показывает, что (7.8), хуже условия (7.5), но оно годится не только для уравнения (7.4), но и для уравнения вида

х + ах + (1 + ЧЧ>Ц))х = 0, (7.9)

где </?(£) - произвольная непрерывная (измеримая) функция, для которой | < 1 при всех £. Критерий Айзермана (7.5) учитывает не только то, что функция <р{{) = соя Ш периодическая и то, что у неё нулевое среднее значение.

В § 8 рассматривается хорошо известное в теории нелинейных колебании обобщённое уравнение Рэлея

x + F(x)+g(x) = E(t), (8.1)

где F(v) - непрерывно дифференцируемая функция и пусть f(v) = F'(v); д(х) - функция, удовлетворяющая условию Липшица и E(t) - непрерывная ограниченная функция. Предполагается, что при некотором D, О < D < 1, выполнены условия

f(v)=2D + <p(v), д(х) = х + ф(х), (8.2)

Ht>)|<ci, Щх)-х1>(у)\<сг\х-у\, (8.3)

где ci и С2 - некоторые неотрицательные постоянные. Теорема 8.1. Если выполнено основное условие

ci + c2 = c< 2D(1 - D2)1/2, (8-4)

то уравнение (8.1) имеет единственное ограниченное решение и к нему экспоненциально приближаются при t —+ -f-oo, все остальные решения, т. е. это ограниченное решение абсолютно устойчиво.

Условие (8.4) в два раза лучше известного см. Рейссиг Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений / Р. Рейссиг, Дж. Сан-соне, Р. Конти. - М.: Наука, 1974. - 320 с. на с. 180, теорема 5.3.1.

В третьей главе рассматриваются системы дифференциальных уравнений высших порядков, названные векторно-матричными дифференциальными уравнениями п-го порядка. Решение является ci-мерной векторной функцией.

Материал, использующий интегральные постоянные asj и составляющий содержание ээ-теории, излагается в §§ 9-10. Рассматривается Rd с какой-либо нормой, не обязательно евклидовой. Норма элемента х из W1 обозначается через ||х||. Если А есть квадратная d х ¿-матрица, то ||А|| =тах||Ах|] при условии ||х|| < 1.

В нормированном пространстве Rd рассматривается неоднородное векторно-матрнчное дифференциальное уравнение n-го порядка следующего вида

AoxW + Aix^"1) + ... + А„х = f(i) (9.9)

коэффициенты которого Ao,Ai,...,A„ - постоянные вещественные или комплексные квадратные d х d-матрицы, причём det Ао ф 0; f(£) - непрерывная ограниченная векторная функция.

Предполагается, что матричный характеристический многочлен L„(A) = AnA0 + An_1Ai + ... + А„ является нерезонаисным, т. е.

йе1Ъп(1в) ^ 0, — оо < в < +оо - условие нерезонансности. В этом случае существует ограниченная функция Грина С(£), с помощью которой

вводятся интегральные постоянные +00

Щ = ! 1|С0)(*)||Л, ^ = 0,1.....п- 1 (9.16)

—оо

Иногда к ним удобно причислять п-ю интегральную постоянную

+00

8еп = ||А^111+/||е(п)(01И- (9.17)

—оо

Частотными постоянными названы следующие величины

Oj = max

j = О,1,...,п — 1. (9.18)

-ОО<0<+ОО

Иногда к ним удобно присоединять и п-ю частотную постоянную

ап= sup IKt^L-^ifl)!!. (9.19)

-оо<0<+оо

При рассмотрении задачи, при решении которой используются частотные постоянные, доказана

Лемма 9.1. Пусть А и В квадратные матрицы одинаковых размеров. Тогда если матрица А обратима и выполнено неравенство

||в~а||<||аЦг (9-28)

то матрица В также обратима и справедливы двусторонние оценки

М^р-^М (,29)

А «е||в-А||-ца-Ч|. (9.зо)

Оценка слева в (9.29) нам ранее не встречалась. В следующем параграфе рассматривается нелинейное векторно-матричное дифференциальное уравнение п-го порядка следующего вида

Aox<n> + + ... + А„х = f(i,x,x, ...,х("_1)), (10.1)

при прежних предположениях относительно матричных коэффициентов линейной его части, в котором нелинейная векторная функция f(i,Xo,x1,...,x„_i) : RxRd х ... xKd (тг раз) Rd непрерывна по времени t и удовлетворяет условию Липшица по пространственным переменным

n-1

||f(i,Xo,Xi,...,x„-i) -f(i1yo,yi,...,y„-i)|| < 5^/jllxj -y,||. (10.2)

3=0

Особо выделяется функция fo(f) = f(£, 0,0,..., 0), которая по предположению является непрерывной. Впоследствии потребуется условие:

векторная функция fo(£) является ограниченной.

При выполнении интегрального условия = < * Доказа-

ны следующие теоремы.

Теорема 10.1. Пусть выполнено условие нерезонансности (тем самым определены положительные интегральные постоянные aeo, aei,..., £Bn-i )• Пусть нелинейная векторная функция f(i,xo,xi,...,x„_i) непрерывна по времени t и удовлетворяет условию Липшица (10.2) по пространственным переменным (тем самым определены неотрицательные липшицевы постоянные lo,h, ...,ln-i и векторная функция fo(i)). Пусть непрерывная векторная функция f0(i) является ограниченной. Пусть, наконец, выполнено интегральное условие.

Тогда нелинейное векторно-матричное уравнение (10.1) имеет единственное ограниченное решение x(t). Производные x(i), ...,x'n_1'(i) этого ограниченного решения также являются ограниченными и справедливы оценки

||х0>|| <-54|fo||, i = 0,l,...,n-l. (10.11)

^ Qas

Теорема 10.2. Пусть для нелинейного векторно-матричного дифференциального уравнения (10.1) выполнены все условия теоремы 10.1.

Тогда ограниченное решение x(f) и его производные x(i), могут быть полгучены методом последовательных приближений, при этом погрешность приближений характеризуется следующими оценками

||хш _ ХМ(Л|| < jkLn-^ii||XW> - хМ«||, (10.14)

j — 0,1, ■■■,n — 1; fc = 1,2.....

Теорема. 10.3. Если в условиях теоремы 10.1 нелинейная векторная функция f(t, Хо,Х1, ...,x„_i) по t является стационарной (т. е. независящей от t), периодической, квазипериодической или почти периоди-

ческой, то единственное ограниченное решение нелинейного векторно-матричного дифференциального уравнения (10.1) также является стационарным, периодическим, квазипериодическим или почти периодическим соответственно. Более того, имеетп место включение

группа частот решения х(£) С (10.15)

группа частот векторной функции£(Ь,хо,х^,эсТ4_1).

Теорема 10.4. Пусть для нелинейного векторно-матричного дифференциального уравнения (10.1) характеристический многочлен с^Ь^А) линейной части уравнения является гурвицевым и выполнены все основные предположения теоремы 10.1.

Тогда справедливы все утверждения теоремы 10.1 и существующее в условиях этой теоремы единственное ограниченное решение уравнения (10.1) асимптотически устойчиво в целом.

Последнее означает, что если х(£) - единственное ограниченное решение уравнения (10.1), а у(£) - любое другое решение этого же уравнения, то ||х^)-уУ)(*)||->0 при t —> +оо для ] = 0,1,— 1.

В §§ 11-12 излагается материал, использующий частотные постоянные aj и названный а -теорией, предполагается, что пространства Ж.^ и С* являются евклидовыми со стандартным скалярным произведением, обозначаемым круглыми скобками и со стандартной нормой, обозначаемой одинарными вертикальными чёрточками. Доказана

Теорема 11.1. Имеют место строгие неравенства

а1 < щ, з = 1,2, ...п — 1. (11.1)

Рассматривается линейное неоднородное векторно-матрпчное дифференциальное уравнение п-го порядка

п-1

А0х<п> + А^""1) + ... + А„х = + (11.35)

¿=0

где коэффициенты В^(£) - произвольные измеримые ограниченные матричные функции, причём

|В,(*)| < I], 7 = 0,1.....п-1, (11.36)

а {(1) - произвольная векторная измеримая ограниченная функция.

Важную роль далее играет частотное условие

п-1

9<т = < 1. (11.37)

.7=0 12

Рассматривается система линейных дифференциальных уравнений первого порядка, записанная в векторно-матричиом виде

х = Ах + В(£)х + Г (£), где х = {хо,...,х„_1} н ОД = {Г0(г),...Л-1(*)}>

А =

(11.42)

/ 0 I 0 0 \

0 0 I 0

0 0 0 I

\ -А„ -Ап_1 -А! /

/ 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

В(*) =

\В0(£) ВОД ...... В„_1(0/

к которой обычным образом сводится уравнение (11.35) при 1о(^) = ... = = 0 и {„-х(£) = Г(£). (По техническим причинам

считается, что Ао = I). Матрица А блочная, а все блоки блочной матрицы функции В(£) равны нулевой й х ¿-матрице, кроме последней строки, заполненной матричными коэффициентами Во(£),В1(£),...,Вп_1(£).

Матрица А является нерезонансной, то есть

¿еЬ{{в! - А) ф 0, -оо < 0 < +оо, (11.44)

частотная постоянная - это

а = тах \(г61 — А) 1|.

~ОС<0< + ОО

(11.45)

ство Щ

В дальнейшем используется гильбертово простран-оо,+оо) составных векторных функций Щ = {(ОД-Л-г^)}, где ГОД е ь2 = Ь2{-оо,+оо) при .7 = 0,1, ...,тг — 1 с нормой

'+»„_! X1/2

Вводятся величины

/п-1 \!/2 / п—1 \ 1/2

* = 5>Л « МЕЗ) •

/ ' п-1

ч= / £ш

(11.46)

(11.50)

Формулируется центральный результат параграфа Теорема 11.6. Пусть выполнено нерезопансное условие (11.44) и предположение (11.36). Пусть выполнено частотное условие (11.37).

Тогда линейное дифференциальное уравнение (11.35) при любой составной векторной функции f(i) из Щ имеет единственное решение (составное) x(¿) из U¿ и имеет место оценка

||x||¿n<^(l + 5Í-g(T)||f||L,. (11.52)

■I Ча

Линейный дифференциальный оператор £ = d/dt — А — B(¿), порождённый векторно-матричным составным уравнением (11.42) по теореме 11.6 обратим в гильбертовом пространстве и справедлива оценка

II C-%<-^—{l+al-q0). (11.71)

-L Чо

Используя результат А. Г. Баскакова показано, что дифференциальный оператор С обратим в банаховом пространстве Lизмеримых ограниченных векторных функций f(í) = {f0(¿),..., frt_i(¿)}, где fj e ¿oo = Loo(-oo,+oo) при j = O, l,...,n - 1

с нормой )|F||oo = Hfllü = vraisup_00<i<+00||f(í)|| / n_ \ 1/2 = vraisup_00<í<+00 (2j=o l/j(0|2) 11 имеет место важная оценка

llOloo^cs (11.72)

= 4—(1 + al- qa) (l + [\\A\\ + +5Í- .

l 1 - Qa J

Теорема 11.7. Пусть выполнено нерезонансное условие (11.44) и предположение (11.36). Пусть выполнено частотное условие (11.37).

Тогда линейное дифференциальное уравнение (11.35) при любой измеримой ограниченной функции f(í) имеет единственное ограниченное решение x(í); у этого решения все производные x(í), ...,x'n_1)(í) также оказываются ограниченными, причём справедливы оценки

||xw||oo <911^00, j = 0,1, ...,тг — 1, (11.73)

где cj < с из формулы (11.72).

В последнем параграфе рассматривается нелинейное векторно-матричное дифференциальное уравнение n-го порядка следующего вида А0х'"' + Aix'"-1' + ... + А„х = f(í,x,x, (12.1)

при прежних предположениях относительно матричных постоянных коэффициентов линейной его части, в котором нелинейная векторная функция f(í,xo,x!,...,xn_i) : М х Ed х ... х Rd (п раз) !d или

£(¿, х0, XI,..., х„_1) : К х С^ х ... х С'1 (п раз) -> С1 непрерывна но времени { п удовлетворяет условию Липшица по пространственным переменным

п-1

|Г(*,Х0,Х1,...,Х„_1) -^,Уо,Уь-,Уп-1)| < ~Уз\- (12-2)

]=0

п-1

При выполнении частотного условия = ^ а^Ц < 1 сфор-

.»=0

мулированы и доказаны теоремы: 1) щществования и единственности ограниченного решения; 2) показано, что ограниченное решение может быть получено мет,одом последовательных приближений; 3) если Г(£,Х0,Х1, ...,х„_1) стаг/,ионарная, периодическая, квазипериодическая или почти периодическая, то единствеююе ограниченное решение нелинейного дифференциального уравнения также является стационарным, периодическим, квазипериодическим или почти периодическим соответственно и его частоты включены в группу частот нелинейности, 4) если матричный характеристический многочлен Ь„(А) является гурвицевым, то ограниченное решение является асимптотически устойчивым в целом.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору А. И. Перову за постановку задачи и неоценимую помощь в работе.

Публикации автора по теме диссертации

1. Коструб И. Д. Ограниченные решения векторно-операторных нелинейных дифференциальных уравнений и-го порядка в банаховом пространстве / И. Д. Коструб // Вестник ПММ. - 2010. - Выи. 8. - С. 221-233.

2. Коструб И. Д. Неравенства тина Ландау-Адамара для гладких векторных функций и теорема Эсклангона для нелинейных дифференциальных уравнений п-го порядка / И. Д. Коструб // Вестник ПММ. -2010. - Вып. 8. - С. 233 -243.

3. Коструб И. Д. Ограниченные решения нелинейных векторно-матричных дифференциальных уравнений п-го порядка / И. Д. Коструб // Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы (дополнительный выпуск). Современные методы теории функций и смежные проблемы. - Воронеж, 2011. - С. 24-25.

4. Коструб И. Д. Частотные признаки существования, единственности и устойчивости ограниченных решений нелинейных дифференциальных

урашчшй второго порядка / И. Д. Коструб // Вестник ВГУ, серия: Физика. Математика. - 2011. - N 2. - С. 141-147.

5. Коструб И. Д. Метод направляющих функций в задаче о нелинейных почти периодических колебаниях / А. И. Перов, И. Д. Коструб // Вестник ВГУ, серия: Физика. Математика. - 2002. - N 1. - С. 163 -171.

6. Коструб И. Д. Многомерная версия принципа обобщенного сжатия М. А. Красносельского /' А. И. Перов, И. Д. Коструб // Вестник ВГУ, серия: Физика. Математика. - 201.0. - N 2. - С. 131-138.

7. Коструб И. Д. Ограниченные решения нелинейных секторно-матрнчных дифференциальных уравнений »-го порядка (яе-теория) / А. И. Перов, И. Д. Коструб // Препринт N 36. - 2011. - 50 с.

8. Коструб И. Д. Ограниченные решения нелинейных векторпо-матричных дифференциальных уравнений ?г-го порядка (<т-теория) / А. И. Перов, И. Д. Коструб // Препринт N 37. - 2011. - 62 с.

Работы [4], [5], [6] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК.

Подписано в печать 2.11.11. Формат Усл. иеч. л. 0.93.

Тираж 100 экз. Заказ 1358.

Отпечатано с готовою оригинал-макета типографии Издательско-¡юли графического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

Введение

Предисловие к первой главе.

Первая

глава

Основные понятия и используемые результаты

§ 1. Ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений п -го порядка с постоянными коэффициентами.

§ 2. Ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений п -го порядка с переменными коэффициентами

§ 3. Ограниченные решения слабо нелинейных дифференциальных уравнений п-го порядка. Теорема существования и единственности. Принцип сжимающих отображений.

§ 4. Ограниченные решения слабо нелинейных дифференциальных уравнений п-го порядка. Теорема существования. Принцип Тихонова.

§ 5. Локальные теоремы.

Предисловие ко второй главе.

Вторая

глава

Ограниченные решения дифференциальных уравнений второго порядка

§ 6. Ограниченные решения линейные дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Таблицы интегральных и частотных постоянных

§ 7. Ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами.

§ 8. Ограниченные решения нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка.

Предисловие к третьей главе.

Третья

глава

Ограниченные решения векторно-матричных дифференциальных уравнений п-го порядка

§ 9. Ограниченные решения линейных векторно-матричных дифференциальных уравнений п -го порядка с постоянными коэффициентами

§ 10. Ограниченные решения нелинейных векторно-матричных дифференциальных уравнений п-го порядка в конечномерном нормированном пространстве (ае-теория)

§ 11. Ограниченные решения линейных векторно-матричных дифференциальных уравнений п -го порядка.

§ 12. Ограниченные решения нелинейных векторно-матричных дифференциальных уравнений п-го порядка в конечномерном евклидовом пространстве (а-теория).

Настоящая диссертация посвящена достаточно традиционным вопросам - существованию и единственности (или только существованию) периодических, почти периодических и ограниченных решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а также их устойчивости.

Но если тематика диссертационной работы и представляется достаточно традиционной, то используемые в ней методы уже не являются таковыми. Отметим также, что рассмотрение ведётся сразу для уравнений высших порядков.

В диссертации систематически используется обобщённый принцип сжимающих отображений являющийся обобщением классического принципа сжимающих отображений Банаха-Каччиополли. При доказательстве существования ограниченных решений нашёл применение принцип неподвижной точки Тихонова в линейных локально выпуклых топологических пространствах. В развитии частотных методов основополагающее место занимает один результат А. Г. Баскакова. При изучении вопросов устойчивости важную роль играет "принцип отсутствия ограниченных решений в проблеме абсолютной устойчивости"М. А. Красносельского и А. В. Покровского.

Бегло остановимся на содержании диссертации по главам.

В первой главе рассматриваются скалярные нелинейные дифференциальные уравнения п-го порядка. В ней вводятся играющие исключительно важную роль в диссертации интегральные и частотные постоянные.

Вторая глава посвящена нелинейным дифференциальным уравнениям второго порядка. Здесь приведены таблицы интегральных и частотных постоянных, а также новые результаты, относящиеся к играющему важную роль в теории нелинейных колебаний уравнению Рэлея.

Глава третья рассматривает указанные выше вопросы для векторно-матричных дифференциальных уравнений высших порядков. Она содержит с доказательствами все важные результаты как эе-теории, так и и-теории.

Все основные результаты диссертации своевременно опубликованы в 8 работах, из которых три в журнале рекомендованном ВАКом.

Предисловие к первой главе

В первой главе приводятся основные понятия и используемые во второй главе результаты. Она имеет дело со скалярными дифференциальными уравнениями п-го порядка. В § 1 рассматриваются ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений п-го порядка с постоянными коэффициентами. Здесь же вводятся и изучаются интегральные и частотные постоянные (первые являются нормами некоторых интегральных операторов, а вторые - их спектральными радиусами). Интегральные постоянные обозначаются ае7- и поэтому соответствующая теория называется ае-теорией, а частотные постоянные обозначаются и соответствующая теория называется а -теорией. В § 2 рассматриваются ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений п-го порядка с ограниченными переменными коэффициентами (в частности с почти периодическими коэффициентами) .

Следующие параграфы посвящены нелинейным дифференциальным уравнениям. Основной метод исследования - метод интегральных уравнений в сочетании с методом положительных операторов. Возможности метода интегральных уравнений великолепно проиллюстрированы в монографиях Е. Н. Розенвассера [78] и М. А. Красносельского, В. Ш. Бурда, Ю. С. Колесова [38]. Относительно метода положительных операторов, то мы ограничимся указанием на книги М. А. Красносельского, написанные вместе со своими сотрудниками и учениками [37], [38], [39], [44].

Нелинейные ае и о -теории излагаются соответственно в § 3 и § 4. В них изучаются ограниченные решения слабо нелинейных дифференциальных уравнений п-го порядка. Сформулированы теоремы существования и единственности (или только существования), доказанные или с помощью принципа сжимающих отображений или с помощью принципа неподвижной точки Тихонова.

В § 5 излагаются локальные теоремы, основанные на сведении к теоремам, изложенным в предыдущих параграфах.

Полные формулировки теорем (вместе с частичными доказательствами) приведены не только для их непосредственного использования во второй главе, но и как прототипы тех рассуждений, которые будут проведены при изучении векторно-матричных дифференциальных уравнений в третьей главе. Уже здесь - в первой главе появляются четыре теоремы (точнее восемь), которые с теми или иными вариациями проходят лейтмотивом по всей диссертации.

Помимо этого, утверждения, данные в цитируемых (в тексте) статьях, но не сопровождавшиеся доказательствами, здесь даны с полными доказательствами. Более того, в этой главе есть и новый материал (лемма о возмущённом нерезонансном многочлене, нашедшая логическое завершение в третьей главе; использование банаховой алгебры почти периодических функций с абсолютно сходящимися рядами Фурье и т. п.).

Частично материал первой главы опубликован в статьях [67] и [71], а полное изложение дано в препринте [106] - это по ае-теории. Частотная <т -теория, ей предшествовала статья [70], а полное изложение опять-таки нашло место в препринте [107].

Отметим следующие особенности. Если построение и развитие эе-теории происходит вполне стандартным путём - единственное здесь новшество - это применение принципа неподвижной точки А. Н. Тихонова [85], то создание а -теории потребовало привлечения совершенно нетривиальных результатов А. Г. Баскакова [7] и М. А. Красносельского и А. В. Покровского [40], [41].

Если в ае -теории (0 < < 1) получение оценок ограниченного решения и его производных в линейном пространстве С не представляет никакого труда, то основная задача в а -теории (O<<7<7<I) - это уже серьёзная математическая задача, по которой получены пока лишь первые достаточно грубые результаты. В связи с этим процитируем соответствующее место из книги С. Улама [87, с. 10-11]: ". нерешённые задачи есть самая суть математики. . Само существование математики может быть оправданно постольку, поскольку она позволяет просто и кратко изложить факты, доказательство которых значительно сложнее самих утверждений".

Теоретические построения первой главы могут быть с успехом развиты и для изучения ограниченных решений дифференциально-разностных уравнений [88]. Представляется заманчивой и перспектива создания их дискретного аналога [92].

Первая глава Основные понятия и используемые результаты

1. Андронов А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. - М.: Физматгиз, 1959. - 916 с.

2. Антоневич А. Б. Функциональный анализ и интегральные уравнения / А. Б. Антоневич, Я. В. Радыно. Минск: Изд-во Университетское, 1984. - 352 с.

3. Варбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости / Е. А. Барбашин. -М.: Наука, 1967. 224 с.

4. Баскаков А. Г. Асимптотические оценки элементов матриц обратных операторов и гармонический анализ / А. Г. Баскаков // Сибирский математический журнал. 1997. - Т. 38, N1.-0. 14-28.

5. Баскаков А. Г. Об обратимости и фредгольмовости разностных операторов / А. Г. Баскаков // Математические заметки. 2000. - Т. 67, N 6. - С. 816-827.

6. Баскаков А. Г. Об обратимости и фредгольмовости параболических дифференциальных операторов / А. Г. Баскаков // Доклады РАН. -2002. Т. 383, N 5.- 0. 583-585.

7. Баскаков А. Г. Оценки ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений / А. Г. Баскаков // Дифференциальные уравнения.- 2003. Т. 39, N3.-0. 413-415.

8. Баскаков А. Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений / А. Г. Баскаков // Известия РАН, серия математическая. 2009. - Т. 73, N 2. - С. 1-72.

9. Борисович Ю. Г. Введение в топологию / Ю. Г. Борисович, Н. М. Близ-няков, Я. А. Израилевич, Т. Н. Фоменко. М.: Высшая школа, 1980.- 296 с.

10. Боровских А. В. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям / А. В. Боровских, А. И. Перов. М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2004. - 540 с.

11. Бабаков И. М. Теория колебаний / И. М. Бабаков. М.: Наука, 1968.- 560 с.

12. Важевский T. (Waiewski T.) Une méthode topologique de l'examen du phénomène asymptotique relativement aux équations différentielles ordinaires / T. Важевский // Rent. Accad. Lincei. 1947. - N 3. - C. 210-215.

13. Гантмахер Ф. P. Теория матриц / Ф. P. Гантмахер. M.: Наука, 1967.- 576 с.

14. Гельман А. Е. Один признак существования определённых классов решений нелинейного дифференциального уравнения и некоторые оценки в методе малого параметра / А. Е. Гельман // ДАН СССР. 1958. -Т. 118, N6.-С. 1063-1065.

15. Гельфанд И. М. Коммутативные нормированные кольца / И. М. Гель-фанд, Д. А. Райнов, Г. Е. Шилов. Москва: Физматгиз, 1960. - 316 с.

16. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре / И. М. Гельфанд. М.: Наука, 1971. - 272 с.

17. Гохберг И. Ц. Уравнения в свёртках и проекционные методы их решения / И. Ц. Гохберг, И. А. Фельдман. М.: Наука, 1971. - 352 с.

18. Далецкий Ю. JI. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. JI. Далецкий, М. Г. Крейн. М.: Наука, 1970. - 536 с.

19. Данфорд Н. Линейные операторы. T. I / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц.- М.: ИЛ, 1962. 896 с.

20. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович. М.: Наука, 1967. - 472 с.

21. Дьедонне Ж. Основы современного анализа / Ж. Дьедонне. М.: Мир, 1964. - 432 с.

22. Евченко В. К. О некоторых признаках существования периодических, рекуррентных и ограниченных решений / В. К. Евченко, И. Д. Кос-труб, А. И. Перов // Вестник факультета ПММ, Воронеж. 2004. -Вып. 5. - С. 191-202.

23. Жукова А. А. Каноническая система двух дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами (вопросы существования периодических решений и их устойчивости) / А. А. Жукова // Кандидатская диссертация, Воронеж. 2009. - 106 с.

24. Зубов В. И. Теория колебаний / В. И. Зубов. М.: Высшая школа, 1979. - 400 с.

25. Иохвидов И. С. Ганкелевы и тёплицевы матрицы и формы / И. С. Иох-видов. М.: Наука, 1974. - 264 с. ,

26. Икрамов X. Д. Задачник по линейной алгебре / X. Д. Икрамов. М.: Наука, 1975. - 320 с.

27. Йокк А. О сходимости разностных методов для нелинейных уравнений второго порядка / А. Йокк // Известия АН Эст. ССР, физ.-мат. 1974.- Т. 23, N1.-0. 86-88.

28. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. М.: Физматгиз, 1976. - 704 с.

29. Канторович Л. В. Функциональный анализ в нормированных пространствах / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. М.: Физматгиз, 1959.- 684 с.

30. Колмогоров А. Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных произвольной функции на бесконечном интервале / А. Н. Колмогоров // Учёные записи МГУ. 1939. - N 30. -С. 3-16.

31. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. М.: Наука, 1968. - 496 с.

32. Красносельский М. А. Об одном принципе существования ограниченных, периодических и почти периодических решений у системы обыкновенных дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский, А. И. Перов // ДАН СССР. 1958. - Т. 123, N 2. - С. 235-238.

33. Красносельский М. А. О существовании решений у некоторых нелинейных операторных уравнений / М. А. Красносельский, А. И. Перов // ДАН СССР. 1959. - Т. 126, N 1. - С. 15-18.

34. Красносельский М. А. Векторные поля на плоскости / М. А. Красносельский, А. И. Перов, А. И. Поволоцкий, П. П. Забрейко. М.: Физматгиз, 1963. - 248 с.

35. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский. М.: Наука, 1966. - 332 с.

36. Красносельский М. А. Нелинейные почти периодические колебания / М. А. Красносельский, В. Ш. Бурд, Ю. С. Колесов. М.: Наука, 1970. - 352 с.

37. Красносельский М. А. Геометрические методы нелинейного анализа / М. А. Красносельский, П. П. Забрейко. М.: Наука, 1975. - 512 с.

38. Красносельский М. А. Принцип отсутствия ограниченных решений в проблеме абсолютной устойчивости / М. А. Красносельский, А. В. Покровский // ДАН СССР. 1977. - Т. 233, N 3.- 0. 293-296.

39. Красносельский М. А. Принцип отсутствия ограниченных решений в проблеме абсолютной устойчивости / М. А. Красносельский, А. В. Покровский. В кн.: Устойчивость движения, аналитическая механика, управление движением. М.: Наука, 1981. - С. 156-169.

40. Красносельский А. М. Частотные критерии в задаче о вынужденных колебаниях систем автоматического регулирования / А. М. Красносельский. // Автоматика и телемеханика. 1979. - N 1. - С. 23-30.

41. Красносельский М. А. Об абсолютной устойчивости систем с дискретным временем / М. А. Красносельский, А. В. Покровский // Автоматика и телемеханика. 1978. - N 2. - С. 42-52.

42. Красносельский М. А. Позитивные линейные системы / М. А. Красносельский, Е. А. Лившиц, А. В. Соболев. М.: Наука, 1985. - 256 с.

43. Крейн М. Г. Лекции по теории устойчивости решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве (отредактированные идополненные Ю. JI. Далецким) / М. Г. Крейн. Киев: Институт математики АН УССР, 1964. - 188 с.

44. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С. Г. Крейн. М.: Наука, 1967. - 464 с.

45. Курош А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. М.: ГИТТЛ, 1955.- 380 с.

46. Левитан Б. М. Почти-периодические функции / Б. М. Левитан. М.: ГИТТЛ, 1953. - 396 с.

47. Люстерник Л. А. Краткий курс функционального анализа / Л. А. Лю-стерник, В. И. Соболев. М.: Высшая школа, 1982. - 272 с.

48. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ляпунов. М.: Гостехиздат, 1950. - 472 с.

49. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний / И. Г. Малкин. М.: ГИТТЛ, 1956. - 492 с.

50. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения / И. Г. Малкин. М.: Физматгиз, 1964. - 530 с.

51. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры / А. И. Мальцев. М.Ленинград: ГИТТЛ, 1948. - 424 с.

52. Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем / В. М. Матросов. М.: Физматлит, 2001. - 384 с.

53. Немыцкий В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В. В. Немыцкий, В. В. Степанов. M-Л.: ГИТТЛ, 1949. - 552 с.

54. Никитин О. И. К вопросу о приближённом нахождении периодических решений дифференциальных уравнений / О. И. Никитин, А. И. Перов // Дифференциальные уравнения. 1983. - Т. 19, N И. - С. 2001-2004.

55. Окунев Л. Я. Высшая алгебра / Л. Я. Окунев. М.: Учпедгиз, 1958.- 336 с.

56. Перов А. И. Периодические, почти периодические и ограниченные решения дифференциального уравнения х = f(t,x) / А. И. Перов // Доклады АН СССР. 1960. - Т. 132, N 3. - С. 531-534.

57. Перов А. И. О задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений / А. И. Перов // Приближённые решения дифференциальных уравнений. 1964. - Вып. 2. - С. 115-134.

58. Перов А. И. Об одном общем методе исследования краевых задач / А. И. Перов, А. В. Кибенко // Известия АН СССР, серия математика. 1966. - Т. 30, N 2.- 0. 249-264.

59. Перов А. И. Ограниченные решения дифференциальных уравнений второго порядка / А. И. Перов // Дифференциальные уравнения. -1967. Т. 3, N 3. - С. 524-528.

60. Перов А. И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний / А. И. Перов. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1981. - 196 с.

61. Коструб И. Д. Метод направляющих функций в задаче о нелинейных почти периодических колебаниях / А. И. Перов, И. Д. Коструб // Вестник ВГУ, серия: Физика. Математика. 2002. - N 1. - С. 163-171.

62. Перов А. И. Об одной теореме существования ограниченных, почти периодических и периодических решений / А. И. Перов, С. А. Дунаев, И. Д. Коструб // Вестник ф-та ПММ, Воронеж. 2002. - Вып. 3. - С. 160-170.

63. Перов А. И. Колебания маятника с вибрирующей точкой подвеса / А. И. Перов, И. Д. Коструб. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2002. - 37 с.

64. Перов А. И. Уравнение Дуффинга, странные аттракторы и рекуррентные решения / А. И. Перов // Сборник "Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах", Воронеж, ВГУ. 2003. - С. 329-338.

65. Перов А. И. Об ограниченных решениях нелинейных дифференциальных уравнений п-го порядка / А. И. Перов, С. А. Барамзин, М. Ф. Григорова, М. М. Кириллова, А. А. Шерстобитова // Труды молодых учёных ВГУ. 2004. - Вып. 2. - С. 14-21.

66. Перов А. И. Обобщённый принцип сжимающих отображений / А. И. Перов // Вестник ВГУ, серия: Физика. Математика. 2005. - N 1. - С. 196-207.

67. Перов А. И. Принцип сжимающих отображений в теории нелинейных колебаний / А. И. Перов. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2005. - 64 с.

68. Перов А. И. Частотные признаки существования ограниченных решений / А. И. Перов // Дифференциальные уравнения. 2007. - Т. 43, N 7.- 0. 896-904.

69. Перов А. И. Об ограниченных решениях обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений п-го порядка / А. И. Перов // Дифференциальные уравнения. 2010. - Т. 46, N 9.- 0. 1228-1244.

70. Перов А. И. Неравенства типа Ландау-Адамара для гладких векторных функций / А. И. Перов // Вестник ВГУ, серия: Физика. Математика. 2010. - N 1. - С. 159-161.

71. Плисс В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний / В. А. Плисс.- М.-Л.: Наука, 1964. 368 с.

72. Полякова Л. А. Обобщённый принцип сжимающих отображений и периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений / Л. А. Полякова // Кандидатская диссертация, Воронеж. 2006. - 128 с.

73. Портнов М. М. Об одном методе приближённого нахождения периодических решений систем обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений / М. М. Портнов // Кандидатская диссертация, Воронеж. 2005. - 137 с.

74. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И. Г. Петровский. М.: Наука, 1964. - 272 с.

75. Рейссиг Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений / Р. Рейссиг, Дж. Сансоне, Р. Конти. М.: Наука, 1974.- 320 с.

76. Розенвассер Е. Н. Колебания нелинейных систем / Е. Н. Розенвассер.- М.: Наука, 1969. 576 с.

77. Ройтенберг Я. Н. Автоматическое управление / Я. Н. Ройтенберг. -М.: Наука, 1971. 396 с.

78. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости / М. Розо. -М.: Наука, 1971. 288 с.

79. Самойленко А. М. Численно-аналитические методы исследования решений краевых задач / А. М. Самойленко, Н. И. Ронто. Киев: Наукова думка, 1986. - 224 с.

80. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах / Дж. Стокер. М.: ИЛ, 1952. - 264 с.

81. Стрелков С. П. Введение в теорию колебаний / С. П. Стрелков. М.: Наука, 1964. - 440 с.

82. Стрижак Т. Г. Метод усреднения в задачах механики / Т. Г. Стрижак.- Киев-Донецк: Вища школа, 1982. 256 с.

83. Тихонов А. Н. Ein Fixpunktsatz / А. Н. Тихонов // Math. Ann. 1935.- N 111. С. 767-776.

84. Трубников Ю. В. Дифференциальные уравнения с монотонными нели-нейностями / Ю. В. Трубников, А. И. Перов. Минск: Наука и техника, 1986. - 200 с.

85. Улам С. Нерешённые математические задачи / С. Улам. М.: Наука, 1964. - 168 с.

86. Фетисов Р. Б. Ограниченные решения нелинейных дифференциально-разностных уравнений / Р. Б. Фетисов // Известия Российской Академии естественных наук. 2006. - N 1. - С. 1-4.

87. Халмош П. Конечномерные векторные пространства / П. Халмош. -М.: Физматгиз, 1963. 264 с.

88. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Харт-ман. М.: Мир, 1970. - 720 с.

89. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Фил-липс. М.: ИЛ, 1962. - 832 с.

90. Цыпкин Я. 3. Теория импульсных систем / Я. 3. Цыпкин. М.: Физматгиз, 1958. - 724 с.

91. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / Л. Чезари. -М.: Мир, 1964.- 480 с.

92. Четаев Н. Г. Устойчивость движения / Н. Г. Четаев. М.: ГИТТЛ, 1955. - 208 с.

93. Шилов Г. Е. Математический анализ / Г. Е. Шилов. М.: Физматгиз, 1961. - 436 с.

94. Щеголеватых Р. И. Формула С. Г. Семёнова для оператора Лурье в гильбертовом пространстве / Р. И. Щеголеватых // Труды молодых учёных ВГУ. 2000. - Вып. 2. - С. 14-18.

95. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдварде. М.: Мир, 1969. - 1072 с.

96. Esclangon Е. Sur les inte'grales borne'es d'une equation diffe'rentielle line'aire / E. Esclangon // C. R. Ac. de sei., Paris 160. 1915. - C. 475-478.

97. Юнг (Joung W. H.) Eine Ausdehnunq des Parsevalsehen Satzes über Fourierreihen / W. H. Joung // Math. Zeitschs. 1923. - 16. - C. 163169.

98. Якубович В. A. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения / В. А. Якубович, В. М. Старжинский. М.: Наука, 1972. - 720 с.

99. Коструб И. Д. Ограниченные решения векторно-операторных нелинейных дифференциальных уравнений п-го порядка в банаховом пространстве / И. Д. Коструб // Вестник ПММ. 2010. - Вып. 8. - С. 221-233.

100. Коструб И. Д. Неравенства типа Ландау-Адамара для гладких векторных функций и теорема Эсклангона для нелинейных дифференциальных уравнений п-го порядка / И. Д. Коструб // Вестник ПММ. -2010. Вып. 8. - С. 233-243.

101. Коструб И. Д. Частотные признаки существования, единственности и устойчивости ограниченных решений нелинейных дифференциальных уранений второго порядка / И. Д. Коструб // Вестник ВГУ, серия: Физика. Математика. 2011. - N 2. - С. 141-147.

102. Коструб И. Д. Многомерная версия принципа обобщённого сжатия М. А. Красносельского / А. И. Перов, И. Д. Коструб // Вестник ВГУ, серия: Физика. Математика. 2010. - N 2. - С. 131-138.

103. Коструб И. Д. Ограниченные решения нелинейных векторно-матричных дифференциальных уравнений п-го порядка (ае-теория) / А. И. Перов, И. Д. Коструб // Препринт N 36. 2011. - 50 с.

104. Коструб И. Д. Ограниченные решения нелинейных векторно-матричных дифференциальных уравнений п-го порядка (а-теория) / А. И. Перов, И. Д. Коструб // Препринт N 37. 2011. - 62 с.