Операторный метод решения задач теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

У.

БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

Иа правах рукописи

АКИМОВ Валерий Алексеевич

ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

С1.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск 199 2

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Белорусской государственной ордена Трудового Красного Знамени политехнической академии.

Научный руководитель Научный консультант Официальные оппоненты:

Ведущая организация

- доктор технических наук, профессор И.А.Прусов

- кандидат технических наук, профессор А.Е.Крушевский

доктор физико-математических наук, профессор В.А.Ибрагимов .

кандидат физико-математических наук, доцент В.П.Домашов

- институт математики Ail Беларуси

Защита состоится " 6 " марта 1992 года в ]500 часов на 'заседании специализированного совета К 056.02.04 в Белорусской политехнической академии по адресу: 220027, г.Минск, пр.Ф.Скорины,65, ауд.204.

С диссертацией мояно ознакомиться в библиотеке Белорусской' государственной политехнической академии.

Автореферат разослан

февраля 1992 года.

Ученый секретарь специализированного советь кандидат физико-математических наук,

доценг Г.Л.Бахмат

(С)Белорусская государственная политехническая академия,19У2

. 5 / ОБ'ДАП ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

:се^т^ф1'Аятуальность темы. Научные и технические потребности наше-~го "общества, связанные с необходимостью обеспечить решение важнейших хозяйственных задач, выдвинули в настоящее время ряд проблем, предусматривающих, в частности, и расширение-исследований в области механики и прикладной математики. Для успешного решения таких важных проблем,как снижение удельной металлоёмкости машин и оборудования, улучшение структурных и прочностных свойств конструкционных и строительных материалов, требуется привлечение новых, более совероенных идей и математических методов.

Решение прикладных краевых задач теории упругости далеко не всегда удаётся представить в явном виде; для достаточно широкого класса задач их можно определить из соответствующей бесконечной, линейной алгебраической системы уравнений. В связи с этим очевидна актуальность проведения работ в направлении дальнейшего развития, усове{/шенствования и практической реализации аналитических методов, позволяющих строить приближённые решения некоторых частных задач теории упругости в явном виде, удобном для его использования в инженерных расчётах.

Состояние вопроса. Исторически одним из первых и, пожалуй, наиболее плодотворным аналитическим методом решения краевых задач теории упругости, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, явился метод разделения переменных (метод Фурье), заключающийся в построении частных решений, каждое из которых разыскивается в виде произведения функций меньшего числа переменных. В ряде случаев такое представление приводит, в зависимости от размерности задачи, к нескольким дифференциальным уравнениям. С учётом характерных особенностей геометрии области, в которой решается задача, представляется возможным определить дискретные значения (или сплошной спектр) параметров задачи. Это приводит к совокупности частных решений, суммируя которые находят достаточно общее решение.

В работах А.И.Лурье использовался метод интегрирования уравнений равновесия упругого слоя в виде степенного ряда. Параметрами этого ряда являлись дифференциальные операторы, п сам метод по зтой причине получил название символического. Своё дальнейшее раз-

витие этот метод получил в работах В.К.Прокопова, Г.Н.Бухаринова, Ю.А.Груздева, Э.Н.Байды и других учёных.

Операторный метод, основанный на представлении перемещений рядами Фурье с дополнительными членами в виде полиномов Лежандра первой и второй степени рассмотрен в работах А.Е.Крушевекого. В них на базе вариационного уравнения Лагранжа для элементарного столбика и слоя получены разрешающие операторные уравнения для коэффициентов рядов переметений.

Анализ состояния вопроса показывает, что операторно-симьоли-ческий метод может быть успешно использован при решении краевых: задач теории упругости и требует дальнейшего развития.

Цель работы состоит в исследовании новых возможностей операторного метода решения некоторых частных динамических и статических задач теории упругости в явном виде.

Научная новизна.I.Построена и исследована замкнутая система девяти дифференциальных операторных уравнений равновесия внутри области и шести граничных условий на поверхности.

2.'Получены формулы для рядов перемещений первой и второй

динамической и статической (при ОС = -0 ) задач теории упругости, тождественно удовлетворяющих условиям равновесия внутри области и части граничных условий.

3. Показано, что фактическое решение за счёт конкретного выбора входящей в него произвольной функции может быть представлено в виде интеграла, степенных и тригонометрических рядов, а также в виде неортогональных рядов содержащих корни трансцендентных уравнений.

4. Осуществлён переход к цилинщрической системе координат, а решения плоской и осесимметричной задач теории упругости получены как частные случаи пространственной задачи.

5. Разработан операторный метод нахождения коэффициентов разложения функций в ортогональные й неортогональные ряды.

6. Получено новое решение некоторых частных краевых задач теории упругости.

7. При помощи ЭВМ на примере равновесия жёстко защемленной плиты, нагруженной на верхнем основании равномерно распределенной

нагрузкой, проведено сравнение аналитического и численных решений (методом ортогонализации, степенных рядов, коллокаций). Дана оценка характеру их невязок на границе области.

Достоверность полученных в диссертационной работе результатов основывается на непротиворечивости исходных положений основным законом механики сплошной среды; корректности постановки рассматриваемых в ней задач; использовании современных математических методов при их решении,а также согласованности частных случаев с известными результатами.

Практическая ценность. Предложенная методика позволяет решать некоторые краевые задачи теории упругости в явном виде, не сводя их к бесконечной алгебраической системе линейных уравнений. Практическая ценность состоит также и в том, что решение содержит, произвольную функции координат и времени. За счёт выбора вида этой функции можно с единых позиций получать разнообразные формы решений задач теории упругости, не заботясь об удовлетворении их условиям равновесия внутри области и на части границы - они там выполняются тождественно. Использование операторного метода расширяет аппарат разложения функций в ортогональные ряды и позволяет применять его в данном вопросе наравне с теорией вычетов.

Полученные результаты могут быть использованы в инженерных расчетах, связанных с анализом прочности конструкций.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы неоднократна докладывались на ежегодных научных конференциях профессорско-преподавательского состава Белорусской государственной политехнической академии; на городском семинаре по механике деформируемого твёрдого тела; на научном семинаре по функциональному анализу под руководством профессоров Я.В.Радыно, П.П.Забрей-ко и А.Б.Антоневича; в лаборатории дифференциальных уравнений АН Беларуси.

В целом диссертационная работа докладывалась в Белорусской государственной политехнической академии на научном семинаре по современным проблемам механики в технике.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 печатных работ.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения,

четырёх глав, заключения, списка литературы, включающего 105 наименований. Весь материал изложен на 136 страницах и содержит 4 рисунка.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБО'Ш

В первой главе приведён обзор работ, посвящённых ряду основных научных направлений математической теории упругости. Анализируется состояние вопроса построения операторно-символических решений краевых задач теории упругости методом разделения переменных.

Здесь же формулируется цель диссертации, осуществляется постановка задачи и даётся краткая аннотация её разделов.

Во второй главе излагается способ построения решений краевых динамических и статических задач теории упругости в оператор-но-символичееком виде, содержащем произвольную функцию от меньшего числа независимых переменных.

За основу решения плоских и пространственных задач теории упругости можно принять решение задачи об упругом слое так как, на основании принципа суперпозиций Ламе,в случае плоской задачи достаточно считать каноническую область состоящей из двух пересекающихся слоев, а для пространственной - из трех.

Движение упругой среды, с учётом температурных слагаемых на основе гипотезы Дюгамеля-Неймана, описывается известным векторным уравнением Ламе

¿[^Gfiad diiflt- & Zot wt LL +

где Qr - модуль упругости второго рода; )/ - коэффициент Пуассона; (ÜtfiZ - объёмная деформация; ^ТГ ' ~

1 ~ А. У

коэффициент линейного расширения; J ■ - единичный тензор; ^ -закон распределения температуры тела.

Искомые перемещения в слое разыскивались в виде тригонометрических рядов по переменной ¿ с дополнительными членами, представленными полиномами Лежавдра

Здесь Ц=Со№£> а остальные коэффициенты при степенных и тригонометрических функциях координаты £ являются обобщёнными функциями переменных^ , ^ , . В результате подстановки (2) в (I) и последующего интегрирования полученного результата (предварительно умноженного на I, , ) в пределах от - Х-

до , получится система из девяти операторных дифференциаль-

ных уравнений, описывающих условия равновесия внутри области. Присоединял к полученным соотношениям шесть краевых условий на поверхности приходим к исходной системе уравнений для

определения коэффициентов ряда (2). Подставляя найденные значения коэффициентов в (2) и проводя суммирование, получим искомое решение задачи о движении упругого слоя. При этом решение распадается на две составные части: симметричную (задача А) и кососим-метричную (задача Б), описываюшие, соответственно сжимающие и из-гибные напряжения и деформации. Операторно-символическая запись решения первой основной динамической задачи теории упругости при '¡(,-¡{¿-¡¿±-0 Х~0 и однородных краевых условиях представляется в виде: Задача А.

а (А -цйьж^ ш,Шл.

где <р = Л^СобЩ

Задача Б.

гДоЦ-Щ^ш^пШгЩтжм^. (4)

В формулах (3) и (4) обозначено:

= 11 - -4=4■~-'ЭД/^й

а Л*,

и - произвольные функции.

Разделив в (3) и (4) перемещения на (У = и переходя

01

к пределу (Л -- 0 > получим решение уравнения равновесия упругой среды.

Задача А;

+ шштсмш).

Задача Б

, и^-Ж&^Ь (6)

где £ =

+ ШажшШ).

Вторая основная задача теории упругости получается в результате использования граничных условий в перемещениях. Запись рядоЕ перемещений в этом случае аналогична приведенным выше выражениям (4) _ (6). .

Можно непосредственно убедиться в том, что полученные решения задач динамики и статики (3> - (6) удовлетворяют соответствующим уравнениям движения и равновесия упругой среды при произ-6

волыпп функциях {(Х^^) . $ « . ( (Х/

0 Из выражений (3-6) можно непосредственно получить решение задачи в цилиндрической системе координат и как частные случаи -плоской и осесимметричной задач.

Фактическое решение частных задач теории упругости получается непосредственно из приведённых выше операторных решений посредством конкретизации вида входящих в них функций /(-X, и > Их >"ОУ'ИО представить в виде степенного, тригонометрического ряда, а также в виде разложения В ряд по заданному полному классу Функций или собственным функциям некоторого оператора. Б частности, полагая

/ ц ч)-ТГ («ич ^,

приходим к представлению решения в интегральной форме для непрерывного спектра параметров «I, и .

Третья глава посвящена определению коэффициентов разложения функций в ортогональные и неортогональные ряды операторным методом. С необходимостью такого вида разложения мы встречаемся при решнии краевой задачи теории упругости, где решение представлено в виде некоторого ряда по ортогональной или неортогенальной системе функций.

В начале третьей главы рассмотрено разложение некоторой непрерывной на отрезке Функции по ортогональному классу функций { ^¿К X, СоЗ сГл}"^™ : где ^ = ' ,

т.е. дано Представление её рядом Фурье. Поставленную задачу решают операторы

Ъ = ЗМА , 1) = ММл^ 71- ШИ'ёх

£ 1 ' (?)

Коэффициенты разложения определяются как результат равенства правой и левой-частей при Х - О в представлении

{(■х) - % <- ¿7 (акШ*х + ОсХх)

после воздействия на него одним из операторов (7). Получаемый при этом результат основан на следующих свойствах операторов:

+ ^ск^х]][х= £ >

«2-

Если в качестве примера взять = то с учётом соотно-

шений ' .

СТч Гаах-11 _ $А?СС л&х! ~ ЖШ .

\lz~ta~c с а '

<7) Г аалт/ - Ш& /лах/ _ ^

иаЧ^С ]Х;0 х+аЖ ?) Г РахЦ = -

получим

-¡^вшЪх-ЫьЬх).

В этом разделе показано, что разложение операторным методои чётных,и нечётных степенных функций и(£• = 1,2,3,.

совпадает с соответствующими рядами Фурье и Фурье-Дини.

В третьем разделе этой главы рассмотрено разложение в неортогональный ряд вида

=¿7 & $сп (8)

с/^ах = Яо + 2 о^х

>

где Д ^ - корни функции Бесселя 7с,(/\1= О • 1С =1,2,3... Поставленную задачу решает дифференциальный оператор

^у^— ^¿удл для верхнего соотношения в (о) и операторы

для нижнего, где, как и

«.-«л; -А-ЯШ.

ранее с(х~ ^^ » а 1о(с(х) ~ '•:°Д1<*чнированная Функция Бесселя нулевого порядка. Устанавливаем:

*» «* / / д - о '

- для правой часта;

%Нах1~Ца)>

- для левой части.

Приравнивая выражения при одинаковых операторах справа и слева, окончательно определяем

Р ~ ¿а!Ло.) п т /п) 2(1гЬ(а)

ал=-

Су™ Мах-+с1ах = еах'т*ояш

Для проверки правильности разложения £ а"х~ контурный "нтеграл

.рассматривался

7- / (¿Ъл.гх -асоых .

Здесь С к, - контур бесконечно большого радиуса, содержащий все полюса подъинтегральной функции.

На основании теории вычетов было установлено совпадение результатов разложения.

Далее были рассмотрены и другие разложения фукнций в ортогональные и неортогональные ряды, показана их сходимость.

В четвертой главе дано решение некоторых частных статических и динамических задач теории упругости.

Функция напряжений в задаче о кручении бруса таврового сечения (рис. I) имеет вид* :

% = |г (Р^Л^Ц Сспи,

« = - * области Л@СЗ) ;

%= ¿Г

л с

- 2 а

- в области ЕР&Н.

В

м.

ч>

Э

-*- X

Рис. I

1 В.Новацкий. Теория упругости. - М.:Мир, 1975. - 872 с. 10

Как известно, решение этой задачи сводится к определению неизвестных коэффициентов из бесконечной системы линейных уравнений

В К- ~ .•Аъпь В т. + е^И. •

т * /л...

Здесь о(./и - известные величины. Однако использование

оператора 2) » гДе

Э,- '¿"Ш'Ь Ч^Шг'^Мс

позволяет непосредственно найти :

о _ & (Шь М-1)+0Ж5, к -{ЩУ,

ЖщРрШЖЦ) {9)

Остальные коэффициенты выражаются через В к посредством конкретных формул .

В частности, полагая в (9) С расположив на-

чало отсчёта в центре прямоугольника, приходим к известному результату.

В задаче о движении по пластине сжимающей сосредоточенной нагрузки (рис. 2) использовалась формула (3).

2 т а^Цр

Рис. 2

В соответствии с равенством из (3) получим

- СозгтЯ&л-'ЩМлу.

1 и

Представим (X,£) в виде интеграла

((х1)={(е<м1е-иас1Х} где

Из граничного условия ¿¿¿(£{ * &)= ~ Р » гЛе

} ~ Яельта Функчия Дирака, определяем:

С< и х ~ скорость продольной и поперечной волны соответственно .

Соотношением

и км. а-г/с^

(т;е. когда ^¿=<2 определяется фазовая скорость распространения поверхностных волн Рэлея, что совпадает с известным результатом.

Затем, на основании представления решения по одной из формул второй главы,и выбора функций £(£ Е виДе

было рассмотрено распространение волн в упругом слое.

■Далее была рассмотрена смешанная задача теории упругости, когда основание полосы жёстко скреплено с неподвижным телом, а к верхней кромке приложена некоторая нагрузка.

Решение было представлено в виде неортогональных рядов по корням трансцендентных уравнений:

1(х) = Ё (ОкШКх + hSúi()<x)t $(Х) = £ (Ск Coi//,х Uti/1*. х).

цесь ^ - корни трансцендентного уравнения

а и

- корни уравнения уЦ - jhí-

а

(10)

Предполагалось, что внешняя нагрузка является чётной фуннцией по ОС . Тогда при разложении функций неортогональные ряды (10), в соответствии с главой Ш использовались чётные' собственные дифференциальные операторы данной краевой задачи:

В результате были найдены коэффициенты этих разложений и решение задачи было получено в явном виде. Посредством обозначений

решение было представлено также и в интегральной форме.

Полученные формулы дают возможность рассчитывать напряжения в заделанном основании.

На примере уравновешенной жёстко защемлённой плиты было дано сравнение предложенного шше аналитического метода решения с некоторыми широко применяемыми на практике численными методами: ортогонализации, степенных рядов, коллокпчии. При решении систем линейных алгебраических уравнений, к которым можно свести поставленную задачу, использовалась ЭВМ среднего класса ЕС-1022. Рассматривались матрицы размерности 20x20, 30x30 и 40x40. На основании этого устанавливалась устойчивость решения и степень его невязки на боковой поверхности цилиндра (граничные условия на торцах и уравнения равновесия внутри области удовлетворялись точно). Было установлено, что все эти методы имеют примерно одинаковую невязку по норме ¡^ у , т.е. их интегральная оценка в среднем одного порядка и близка к нулю. Таким образом,разработанный в диссертации аналитический метод можно поставить в один ряд с другими известными методами, но у него есть и то преимущество, что он решает задачу в явном виде.

Основ;пле результаты дисеертаиии изложены в следующих работах.

1. Крушевский А.Е., Акимов В.А. Исследование сходимости рядов перемещений в задаче о равновесии плиты в точной постановке // Теоретическая и прикладная механика. - Минск, 1582. - Вып. 9.-

С. 26-31.

2. Крушевский А.Е., Акимов В.А. К вопросу об определении коэффициентов неортогональных рядов на примере равновесия жёстко защемленной плиты // Теоретическая и прикладная механика. -Минск, 1984. - Вып. II. - С.21-27.

3. Акимов В.А. Исследование по задаче осесимметричной деформации цилиндра // Теоретическая и прикладная механика. -Минск, 1985. - Вып. 12. - С.П5-П8.

4. Апанович В.Н., Акимов В.А. и др. Вариационный метод решения задач теории упругости // Научно-технический отчёт по

ГБ 81-97. - * г.р. 81028446 - Минск, 1986.

5. Крушевский А.Е., Акимов В.А. Операторный метод нахождения коэффициентов неортогональных рядов // Теоретическая и прикладная механика. - Минск, 1987. - Вып. 14. - С. 54-58.