Операторы с дробно-линейными сдвигами и биортогональные ряды тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

П р е з и д и у м - В А К Рог«»

входо» от ■ ~

крисудт ученую е/С'./г'ЯЬ * ' *. /г' **

__^ ш/*

/Ка^адьшж уЕравленияЗА^ г^ссии

»

* с/ ¿7 _

/ V /

На правах: рукописи.

ГАРИФЬЯНОВ Фархат Нургаязович

ОПЕРАТОРЫ С ДРОБНО - ЛИНЕЙНЫМИ СДВИГАМИ И БИОРТ О ТОНАЛЬНЫЕ

РЯДЫ.

01.01.01 - математический анализ

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Екатеринбург - 1997

О Г 1 А В Л ЕЕ И Е

§ 0.1 Актуальность тематики................................4

§ 0.2 Содержание работы...................................18

§0.3 Предварительные сведения............................40

Глава I. Преобразования биортогональных систем

некоторыми линейными операторами.

§ 1.0. Введение............................................49

§1.1 0 преобразованиях биортогональных систем............50

§ 1.2 Особые интегральные операторы, определенные на

параллелограмме.....................................57

§1.3 Свойства канонического оператора Фредгольма.........65

§1.4 Уравнение трансформации........................-.....77

§ 1.5 Дальнейшее исследование и примеры...................87

§ 1.6 Некоторые обобщения.................................95

Глава П. Локально-разностные уравнения.

§2.0 Введение...........................................102

§ 2.1 0 трех локально-разностных уравнениях..............103

§2.2 Об одном особом случае локально-разностного

уравнения......................................... .117

§2.3 0 локально-разностных уравнениях в классе функций,

голоморфных вне нескольких квадратов...............126

§ 2.4 Локально-разностные уравнения с переменными

коэффициентами.....................................136

§2.5 Связь с проблемой обращения особого интеграла

и проблемой моментов Стильтьеса....................142

Глава Ш. Преобразования биортогональных- систем

локально-разностными операторами.

§3.0 Введение....................."......................152

§3.1 Преобразования биортогонально-сопряженных систем

локально-разностными операторами (Л ~ f>~ - i )......153

§3.2 Дальнейшие свойства биортогональных рядов и

нетривиальные разложения нуля......................163

§3.3 Случай .................................175

Глава 1У. Представляющие системы периодических мероморфных функций. ......

§4.0 Введение...........................................183

§4.1 0 системе последовательных производных.........

двояко периодической функции........................184

§ 4.2 0 системе последовательных производных

однопериодической функции.........................."198

Глава У. 0 разложении функций, голоморфных в криволинейном треугольнике.

§5.0 Введение....____,....................................202

§5.1 Исследование функциональных уравнений..............203

§5.2 Преобразования биортргонально-сопряженных систем

трехэлементными функциональными операторами........212

§ 5.3 Аналитическое продолжение биортогональных рядов.___219

Литература

227

§ 0.1. Актуальность тематики. -

Теория краевые задач для аналитических функций интенсивно развивается в течении последних 60 лет. Вышли в свет монографии 1203 , ¡22], [бо], [67],. ¡76], [77], [8б], которые содержат исторические очерки и подробную библиографию. Полученные результаты плодотворно используются для решения задач других математических дисциплин. Укажем на приложения краевых задач к механике сплошной среды ¡68] и теории .массового обслуживания .. Кроме того, методы теории краевых задач позволили решить ряд классических проблем. Н.В.Говоров £22] успешно применил . разработанный им аппарат исследования задачи Римана с бесконечным индексом для доказательства гипотезы Пэли теории целых функций. Ю.А.Казьмин [37"~| - [зв], используя теорию краевой задачи Римана, решил ряд важных задач теории интерполяции в самой общей постановке. Э.И.Зверович, опираясь на разработанные им методы исследования двухэлементных краевых задач на римановых поверхностях |^30] - [31], решил проблему обращения Якоби. Ф.Д.Гахов и Ю.И.Черский ^21] рассмотрели теорию Винера-Хопфа интегральных уравнений типа свертки в классах функций показательного роста и получили далеко идущие результаты. Основной метод исследования - приведение к краевым задачам аналитических, функций. Ю.И.Любарский ¡62] построил полные в. системы, используя .. теорию краевой задачи Карлемана на кусочном-гладком контуре с кусочно-дифференцируемым сдвигом.

Настоящая работа также принадлежит к тому направлению ,в математике, которое существенно использует теорию краевых задач и тесно связанных с ними сингулярных интегральных уравнений. для -исследования некоторых проблем комплексного анализа. Главной её

- 5 -

целью является изучение некоторых: классов линейных функциональных операторов е дробно-линейными сдвигами и порождаемых ими биортогональных систем. Основные методы исследования -это теория собственно разрывных групп, краевая задача Карлемана и регуляризация особых интегральных операторов, понимаемых в смысле главного значения по Ковш. Наиболее прост и интересен частный случай . Тогда рассматриваемые функциональные операторы являются линейными разностными операторами с постоянными коэффициентами, т.е.. частными реализациями общего оператора свертки. Соответствующие уравнения изучались еще О.Перроном |~9б[] и Ж.Валироном |97]]. Современные методы исследования и их приложения изложены в монографиях А.А.Миролюбова и М.А.Солдатова ^64Г] - [бб^., Ю.Ф.Коробейника [54] > В.В.Напалкова |б9]. Операторы свертки, построенные в данной работе, принципиально отличны от классических. Это потребовало разработки новых методов исследования, существенно использующих теорию краевой задачи Карлемана.. Функциональные. уравнения с дробно-линейными сдвигами (в том числе и разностные уравнения) порождают системы функций, биортогонально сопряженные к некоторым системам мероморфных .функций. В связи с этим возникают задачи о представлении различных классов аналитических функций в виде соответствующих биортогональных разложений, их естественной области сходимости, интерполяционные задачи и. т.д. Поэтому необходимо подробно остановиться на некоторых аспектах теории абсолютно представляющих систем (а.п.е.), следуя главным образом работам Ю.Ф.Коробейника |50~] -

Одним из основных понятий в функциональном анализе является понятие базиса (или базисной системы) в линейном топологическом пространстве Ц . Система элементов

пространства Н- называется базисной, если любой элемент X единственным образом представим в виде ряда

оо

Х = (2)

к-О

сходящегося к нему по топологии пространства Ц. Например, в счетнонормированном пространстве аналитических в кру-

ге функций в качестве базисной можно выбрать

систему степеней К^О,!,... » поскольку

-^Р1 £к ; (з)

-> К-0 к I Ряд (3) сходится к функции £(%) абсолютно и равномерно на любом компакте, лежащем внутри круга. Естественным обобщением базисов с таким свойством является понятие а.п.с. Именно, последовательность (I) элементов полного, отделимого, локально-выпуклого пространства (топология задана с помощью набора полунорм) называется а.п.с. в Н , если любой элемент И представим в виде (2), причем ряд сходится абсолютно в Ц . В отличии от определения базиса здесь уже не требуется единственности представления (2). Поэтому сразу возникает понятие нетривиального разложения нуля (н.р.н.), т.е. разложения вида

со

0 = 21аххх ; 3к>0:ак?0,

К—С

которое абсолютно сходится в

И

к нулю. „ ...........

Понятия, а.п.с. и н.р.н. оказываются очень тесно связанными.

Впервые такая взаимосвязь была подмечена в 1960 г. тремя амери-«

канскими математиками Л..Брауном, А.Шилдсом и К.Зеллером в статье \93_]. Они показали, что система экспонент

Х-{*)], ... (4)

является представляющей системой в некотором банаховом пространстве целых, функций экспоненциального типа тогда и только тогда, когда она допускает н.р.н.

Дальнейшее развитие теории а.п.е. было обусловлено возникновением нового направления в математике, связанного с представлением произвольных аналитических функций рядами экспонент. До

1965 г. считалось, что рядами по системе функций (4) нельзя.....

представлять произвольные аналитические функции. Проетые примеры показывали, что если, например, показатели (А^ расположены на одном или двух лучах, то сумма ряда Дирихле не может равняться единице в полуплоскости, угле, полосе. Но в 1965 г. А.Ф.Леонтьев [5&3 обнаружил, что если показатели определенным образом расположены на трех лучах, то в треугольнике I) произвольные аналитические в замыкании I) функции допускают разложение в ряд Дирихле. В дальнейшем им же было показано, что для любой ограниченной выпуклой области I) существует такая последовательность показателей £ А^ » что любая аналитическая в Т) функция § (X) разлагается в ряд Дирихле

оо

(5)

К.— л. ,

сходящийся абсолютно в пространстве А(1)) с открытой компактной топологией. Ю.Ф.Коробейник показал, что разложение (5) никогда не будет единственным (теорема 9 в статье [53]). Для получения разложений (5) А.Ф.Леонтьевым предложена следующая схема. Выбирается, целая функция 1л(Л), для которой X) - сопряженная диаграмма. Пусть - нули и пусть все они простые. Строится система функций биортогональ-

- 8 -

ная к системе функций (4): 1

где С - замкнутый контур, охватывающий I) . С помощью построенной биортогональной системы определяются естественным образом коэффициенты . Затем функции сопоставляется ряд (5)

и находятся условия, при которых он сходится к • Эти ус-

ловия носят достаточно общий характер и позволяют, как уже отмечалось , найти такие последовательности к.]^ , что функцию

(%.) , аналитическую в В , всегда можно представить в 3) рядом (5). _

В дальнейшем А.Ф.Леонтьев обобщил полученные результаты на систему функций С^-к £)]•> К = Здесь

оо

-¡Чао» 21 (б)

- целая функция порядка р , О^р^00, и типа <о , 6)<(5/<с>а, причем ССуг^О и существует

От =

В качестве области]) берется некоторый круг .....

Особ® следует отметить очень важный и интересный частный случай, когда

где Ер (%) - функция Миттаг-Леффлера. Пусть I) - р-выпуклая область (¡27}' с- 333), содержащая начало координат.. В.Х.Мусоян \ббЗ и другим способом А.Ф.Леонтьев ([58], с. .186) установили, что существует зависящая лишь от области последовательность[Дк}, такая, что любая функция

Г( 2)

, аналитическая в и , представ-

- 9 -

ляется в X) равномерно сходящимся внутри й рядом по системе функций Ер(Ак %) :

оо ^

Бурное развитие теории рядов Дирихле, обобщающих их рядов целых функций и возникающие при этом специфические проблемы обусловили необходимость создания общей теории а.п.с. Такая абстрактная теория была построена Ю.Ф.Коробейником. Выделим ее важнейшие моменты. Приведем два утверждения:

(A). Система (I) является а. п. с. в Я.

(B). Система (I) допускает н.р.н. в Н. В случае системы экспонент, например, имеем

Обратное,

вообще .говоря, неверно [51]. Но там же при некоторых дополнительных ограничениях на доказано, что А- Очень интересна и проблема полного описания н.р.н. по X в -Н- • Для системы • такое описание приведено в работе [Ьз],. если функция определена формулой (6) и

где область.

X) - круг 1%1<110<°о. В случае .р-выпуклой области и системы соответствующие результаты приведены в |~5<[]. В общем случае вопрос об эквивалентности утверждений (А) и (В) исследуется Ю.Ф.Коробейником при следующих предположениях. Пусть

М

- линейный непрерывный оператор в

н„

причем для .

существует ненулевой элемент в(А)с такими свойствами:

1) Ме(А) = Ле(Л); .............

2) существует такой непрерывный линейный функционал

в Н') , что ^о(е(Л))ФО Л е С ;

3) в (Дк) О, !, ...., [Ак} - последовательность попарно различных комплексных чисел, ] = 0,0.

- 10 -

Абстрактная теория а.п.е.. имеет ряд приложений к интерполяционным задачам теории целых функций и факторизации операторов свертки [51]. Следует также отметить работы С.Н.Мелихова [631, где связь между н.р.н. и представительными подпространствами установлена несколько иным способом, и Н.И.Рахимкулова где для р-выпуклой области X) изучаются свойства а.п.

е. в А (Б).

Из всего вышеизложенного следует, что конкретные реализации и приложения теории а.п.с. тесно связаны с теорией целых функций и широко используют ее метода. Для рассматриваемых в настоящей работе биортогональных рядов мероморфных функций естественные области сходимости уже не будут ни выпуклыми, ни. р-выпуклыми, т.е. для построения биортогонально.сопряженных . систем нельзя применять ни преобразование Бореля, ни обобщенное преобразование Бореля. Вместо теории целых функций приходится использовать так называемые "краевые задачи по площадям", которые имеют некоторое сходство с краевыми задачами.со сдвигом контура внутрь области. Хотя.эти понятия и не тождественны, но граница между ними несколько расплывчата.

Одна из первых таких задач неявно возникла в известной работе Т.Карлемана [94], которая воспроизводит его доклад.на Цюрихском международном математическом конгрессе 1932 года. Т.Карлеман поставил следующую задачу: в области X) ограниченной спрямляемым контуром С , который имеет непрерывную кривизну, найти аналитическую функцию

, удовлетворяющую соотношению

Г+[О№)] = №Т+(Й . ............(3)

и имеющую в О те же особенности, что и наперед заданная рацио-

- II -

нальная функция P(z) . Здесь p^ft) - диффеоморфное отображение С насебя, изменяющее ориентацию и удовлетворяющее условиям c/[c/(i)]-t, (1(с). Представляя искомую функцию в виде

Т.Карлеман получил уравнение Фредгольма второго рода

V+М ХЛ М- - ^бгР«*)] 1F Vi dn- -

но исследования его не дал.

В конце работы Т.Карлеман указал, что если (J("t)=.jL » а контур является границей фундаментального многоугольника фуксовой . группы R , то задача (8) есть задача, об определении автоморфных функций (сдвиг индуцируется порождающими преобразованиями группы) Интегральное представление (9) в данном случае бесполезно, поскольку и производная сдвига разрывна, и сам контур уже не имеет непрерывную кривизну( точками разрыва и в том, и в другом случаях являются вершины многоугольника). Уравнение (10) есть вырожденное сингулярное уравнение со сдвигом. Поэтому Т.Карлеман предложил новое интегральное представление

Ffe)=^Pt Злы,*) F+W d«c + Peso,

С

где ядро

A^W-Çfc-S.»]-'

впредь будем называть ядром Карлемана. О^гмма в (II) берется по таким преобразованиям группы $ (Z) * которые переводят H в многоугольники, имеющие с ним либо общую сторону, либо общую. вершину. Тогда задача (8) сводится к интегральному уравнению

Фредгольма

(T4)(t)s Fit)'- ¿i jfA(t/t)--A И*)], ¿Ю]■

исследование которого Т.Карлеман не дал.

Полное решение неоднородной задачи Карлемана

F+[o(W]=(Tft)F+tt)+gCt), ..tec (13)

получил Д.А.Квеселава [45] - ¡4б] в предположении, что С есть контур Ляпунова, а производная сдвига удовлетворяет- условию Гель дера. При этом использовалось представление неизвестной функции не в виде интеграла Коши, а в виде интеграла типа Коши с неизвестной плотностью. Поэтому решения интегрального уравнения #редгольма не обязали бить граничными значениями неизвестной аналитической функции. ......

К настоящему времени опубликовано большое число статей^ посвященных исследованию задачи (13) и тесно связанных с ней сингулярных интегральных уравнений со сдвигом при. самых различных . предположениях на контур, сдвиг и коэффициенты.. Сошлемся .на монографию Г.С.Литвинчука ¡60] , где есть исторические очерки и подробная библиография до 1975 года, .и на обзорные статьи [29~] , [43] , [8б]. Сейчас отметим лишь несколько работ,..которые либо более близки тематике данной работы, либо непосредственно .применяются в дальнейшем. Э.И.Зверович £30*} - [3lQ установил принцип локально конформного склеивания, который позволяет исследовать . ряд двухэлементных краевых задач со сдвигом в самой, общей постановке. Укажем на выполненные независимо друг от друга работы_____

Л.И.Чибриковой jssQ и В.А.Чернецкого доказавших, конформ-

ную эквивалентность задачи (13) задаче Римана на некотором ра-

- 13 -

замкнутом контуре при условии существования у сдвига отличной от нуля гельдеровской производной. Наконец, Л.И.Чибрикова £87] получила в замкнутой форме решение задачи (13) для прямоугольника в случае кусочно-линейного сдвига. Решение выражается через интегралы с квазипериодическим ядром, свойства которых исследовал и У.Койтер ¡95]. Эта задача сводится к задаче Римана для автоморфных функций в частном случае двоякопериодической группы ([87], с. 16 - 21).

Теперь вновь вернемся к статье Т.Карлемана-¡94].. В.Й.По-казеев [72] использовал идею Д.А.Квеселавы о переходе от интегралов Коши к интегралам типа Коши и попыталься исследовать задачу (13) для случая фундаментального многоугольника фуксовой группы. Простейший случай задачи Карлемана при (^(Йн i . (так называемая "задача о скачке") с помощью ядра Карлемана (II) он свел к исследованию интегрального уравнения Фредгольма

, П4)

где оператор Т определен формулой (12). Сделаем два замечания.

I) Задача Карлемана для фундаментального многоугольника исследуется и иным методом - сведением к задаче Римана для автоморфных функций (¡86], с. 232) или непосредственным .применением принципа локально конформного склеивания. Полное качественное исследование задачи вторым способом вытекает как частный случай из общих результатов Э.И. Зверовича и В.А.Чернецкого [33]. Что же касается первого способа, то им может быть получено даже эффективное решение задачи (13), если речь идет о фуксовых группах второго рода. Л.И