Оптимальные методы вычисления интегралов Пуассона, типа Коши, Шварца и их применение к решению интегральных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

гз од

/ 6 И'ПП 1998 На правах рукописи

ПОЛЯКОВА Татьяна Ивановна

ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ ПУАССОНА, ТИПА КОШИ, ШВАРЦА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 01.01.07 — «Вычислительная математика»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ПЕНЗА 1008

Работа выполнена в Пензенском государственном университете на кафедре «Высшая математика».

■Научныи ру кооодпгель:

доктор физико-математических наук, профессор Бойков И. В.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических паук, профессор Ли-фанов И. К;

кандидат физико-математических наук, доцент Гуляев А. В.

Ведущая организация — Красноярский государственный технический университет.

Защита состоится «^А_» 19Я8 г , и 14 чясод,

на заседании диссертационного совета К-063.18.03 в Пензенском государственном университете по адресу: 440017, Пенза, ул. Красная, д. 40.

С диссертацией -можно ознакомиться в библиотеке Пензенского государственного университета.

Автореферат -разослан / » _ 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к&^жм.

доцент

Ю. Н. Заваровскии

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Лхтуа.;ъностъ теми. Краевые задачи теории функций комплексного пере-енкего, в частное ni задача Дирихле, краевая задай Римана-Гильберта а зачата наклонной производной, имеют приложения и различных областях матемаш-гского естествознания (гндро- и аэродинамика, теория упругости, элеггроста-пческле, магнитные и тепловые ноля и т.д.).'

Краевая задача Римана- Гильберта и задача с наклонней протаводной по сво-му характеру не укладываются в обычные классические рамки. Имеется в виду о обстоятельство, что для шп, вообще говоря, не сохраняются известпые теоре-(Ы Фредгольма. В этом отношении весьма типична храевая задача Римана-Гияь-ертп. Особш! интерес к ней объясняется еще тем, что она имейт весьма широкий ■ руг применений в различных вопросах анализа, геометрии и механики. Задача с ладонной производной впервые была рассмотрена ¿\.11>ишсарс в связи с теорий приливов.

Решение задачи Дирихле для единичного круга описывается интегралом Пу-сссна; краевая -задача Римана-Гильберта для единичного круга приводит к ин-ггральному уравнению Фредгольма, содержаще^ интеграл Шварш, одномер-iiií и двумерный 1Шгс1ралы типа Коши.

В связи с тем, что точное вычислешге интегралов Пуассона, типа Кошп и !!ш>рцл возможно только в исключительных случаях, возникает необходимость в азработке численных методов вычисления интегралов.

В монографиях Г.В.Пымеева излажены точные и приближенные методы ны-:;слс/шя интегралов тина Коши специального вида, т.е. интегралов, у которых онтур шггегрпрования есть конкретная каноническая кривая, а плотность 1шеет собснности, ■характерные для некоторых классов задач математической физики, ля точного и приближенного вычисления интеграла Шварца в вышеупомянута работах Г.В.Пыггсева применяются те же методы, что и для вычисления ин-:гралов типа Коши.

Методам шяпеления сингулярных интегралов поезяданы щгелы работ ' .А. Бабаева, И.В.Бонхова, В.В.Иванова, И.К.Лифгдюва, В.И.Мусаева, Д.Г.Са-!1кизэе и их учеников.

В последнее время все большее значение приобретает направление, связан-•jc с постросинем оптимальных методов вычисления шпауалов и решения ин-:гралышх уравнений.

Исследование оптимальных квадратурных формул началось с работ С.М.Ни-лльского. Различные подходы <построению отгиманмшх алгоритмов вычислена интехралов предложены Н.С.Бахваловым. С.МЛлкольским, В. И. Со бол е-jm, II.П.Корнейчуком, В.И.Крыловым. В.ИЛ1о.,гошши;ным построены аспмп-угпчески оишмалыше весовые кубатурные фор.чулы. Исследования по опти-алышм методам вычисления сингулярных шпегрзчов начаты В.В.Ивановым а >72 году. К настоящему времени И.В.Бойковым построены асимптотически тпшальные по точности и сложности, алгоритмы вычисления одномерных, по-гсшыулярных и многомерных сингулярных интегралов на различных классах ункцнй. При этом остались неисследованными вопросы построения оппшаль-« по порядку и асимптотически оттталкных алгоритмов вычисления интег-1лсп IIvatcoHa, типа Коши и Швчрпа.

Приближенным методам решения задачи Римана-Гильберта посвящены ра боты, в которых, б основном, развивались разностные методы. При этом оста лись неисследованными вопросы построения и обоснования прямых метода приближенного решения краевой задачи Рпмана-Гильберта н шггегралызог уравнения Фредголыча, содержащего интеграл Шпарца, одномерный и двум ер ныЙ1Пггегрплы тепа Коши, к. которому сводится краевая задача Римана- Гклъбср та.

Цел ь роботы. Диссертационная работа посвящена построению оптимальны алгоритмов вычисления интегралов Пуассона, Швлрдаи одномерных ноте грало типа Коши на различных классах функщги; построению асимптотически oirrn мальных алгоритмов вычисления двумерных шггегралов типа Коши на различ ных классах функций; исследованию приближенных методов решения краеш задачи IWiaiia-Гильберта и эквивалентного ей интегрального уравнения с дщ верным интегралом шла Коши.

Общая методика. При обосновании иолучепных в диссертации результате использовались методы теории приближения функций, теория краевых задач сингулярных интегралышх уравнений, методы оптимизации.

Научная ноеизиа. Основные результаты диссертации следующие:

- предложены способы построения асимптотически оптимальных квадрагд нш формул для приближенного вычисления шпеграла Пуассона, одном ерш шпегралоп типа Коши и интеграла Швариа. Построены асимптотически опта малыше ашчриши на различных классах функций;

- ¡¡род>оа<л<ы способы uocjpocjijw оптимальных по порядку по точности трс6лмх1дгх11сбольшоготпслаар11ф?,1ст1гг1сспгхдсйстшш алгоритмов вьггпелеш! одномерных интегралов типа Коши и шггеграла Шварца. Построены охтгимаш ные по порядку алгоритмы на различных классах функций;

- построены асимптотически оптимальные кубагурные формулы для при&н женного вычисления двумерных интегралов типа Коши;

- предложены п обосновали приблпжегаше методы решения краевой задат Римат)а-1иль6ерта и эквивалентного ей интегрального уравнения с двумерны интегралом типа Коши.

Научная и практическая ценность работы. Научная ценность работы заклк часгся в построении оптимальных методов вычисления интегралов Пуассов типа Коигл л Шварца; приближенных методов решения краевой задачи Римаи Гильберта и интегрального уриппеття с двумерном интегралом типа Коши. Л( лученные результаты могут найти применение при построении оптимальных М( годов вычислении мшс1ралов с различными сингулярносвши, а также интегр; лоь, зависящих oi параметров.

Практическая ценность работы обусловлена возможностью применения ni лученных результатов к численному решешпо прикладных задач пщро- и аэроя îmniKtr, теории упругости, теории оболочек, при решении которых необходиь вычисление ишсгрилоц Пуассона, типа Коши и Шварцаи решение краевой зад ни Римана-Гвльберга. По предложенным алгер1ггмам разработан шкет дршеяд; mix программ.

Апробация рвОшы. Результаты диссертационной работы докладывались и о1 суждалисъ на семинаре-совещании " Куг.атуриые формулы и m прилохсевти ù .Красноярск, 1993); на Международном симпозиуме "Методы дискретныхос< Ссхшостсй в заазч.чхмагелик!чесхой фишки" (г.Харьков, 1993); на научном с мшире иод руководством проф. Е.В.Захарова п И.КЛифаногза на ф-тс ВМК

V"; тш тучном семинаре под руководством проф. И.К. Лифанопа в ВИИА км. 1.Е.Жукокского; на итоговых конференциях ПГТУ (г.Псиза, 1991 - 1998 г.) Публикации. По результатам диссертации опублакопано 6 работ. Струхтуря ¡i обь?м диссертации. Диссертация состоит из явс дстшя, трех глао, грнлозешш i! сп:;скл цитируемой .тгперптурыиз 58 наименований. Глави ряэде-С1и; »a 8 параграфов. OGlir.iü объем 136 страниц, включая 7 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во нзедеппи обсуждается актуальность тег.ш диссертации, приводится постз-опкл задачи оггпп.птцип вичислсний, оттесываются классы функции, нсполь-уемых в главах 1-3. дается обюр результатов по рассматр:и«емочу кругу вопроси, формулируются оеттнме зздачк, ricüb работы, кратко излагаются содержа-' пс п основные результаты диссертационной работы.

В пункте 1 В2СДСИП.Т приведена постановка задачи построения наилучшей чптгмпльпой) квадратурной формулы на примере интеграла Пуассона. Рассмотрим интеграл Пуассона:

1 2г 1-г2

Kw = —j w(a)----rdcx,

'g 1 + r- - 2rcos(<T - sj w

который бутгм вычислять по квадратурной формуле

N

Kw~ ¿wftk)ptfr,s)) RN(r,s,tk,pk(r,s),w) (2)

v-i

с узлами tk с[0£л] я весами Pk(r,s) (k = l,Nj.

В зависимости от множества значении (r,s), из котором рассматривается ин-]рал (1), можно ввести следующие определения оптимальности. t>»peóe.ienus 1. Оптимальность при фиксированном радиусе г (0 s г < I). Поя .

(Грешностью квадратурной формулы (2) будем понимать велнчитгу RNlr>tt.Pt,w^ max¡RN(r,s,tk,p,.,w)j.

Если М- некоторый класс штанных на сегметс [ОДлг] функций, то положим NÍ^k.Pk.M) = supjR-NÍMk.Pi.w)!-Через ?м[М] обозначим величину SN[Mj = inf RN\r,tkfpk,M),

l't.pt)

n которой шдии грань берется по всевозможным N умам tj. и ресам Квадратурную формулу (2), построенную на уз.чах tk и весах е j к — 1, N), будем называть оптимальной. .¡гиштотачесял оптимальной, оа-

дальнеи но порядку, ес:ш

Запись an означает, что существуют константы А и В, ис зависящие от п такие, что Алгв £ /in s Ban.

Определите 2. Пусть г принимает любыг значения нэ 0 s г £ р < 1. Под iu ipciiniocTbio квадратурной формулы (2) будем лошшать величину

Rn(1Jl>P*»w) - aia^R^jr,s,i*,Pi,v4

Есл:! М- некоторый класс заданных на сегмсмтс [0,2-т] функции, то положи

Rn(U.P».M)= suPÎRnitk.Pk.H

wfM

Через обозначим ьеличниу

Sn[M]« .inf RnOi.PÏ.M),

в которой нижняя грань берется по всевозможным N узлам и вса pk 1,N). Кмдргиурную формулу (2), построенную на узлах tj н ьса р^ (k = ÏTn), будем называтьоптнмалыюй, асимптотически оптимальной, oi тамалшой но порядку, если

. f.tl -'i Uni-; fM, =1; RN tk)pK1M XÎNIMJ.

Определите 3. Пусть г принимает любые значения из 0 £ г < 2. Под norpei ностыо квадратурнеш формулы (2) будем понимать величину

s.i

Если М- некоторый класс заданных m сямептс [0,2,-г] функций, то полоза Rn(tk.Pi.M)= sup|RN(ttlpk,w)j.

wrM

Через Е,Ы[М] обозначим величину liN(tk,Pk,M),

Uj.Pvi

в которой лыжная хрань берется по всевсхможным N узлам tk и пса pk ¡k - 1,N). Квадратурную формулу (2), построенную lia узлах t^ и вес (к = Т7Щ, будем называть оптимальной, асишттопгссски оптимальной, о тпмалыюй по порядку, еслп

—-—Kfl— = Mbm--' (Ml— ~ ' Rnl»k.P«.M) x ЫМ].

В аукь-тс 2 Ш1СДСШШ описаны известные классы функций, используемые в -.боте. В пункте Э кведенпя дал обзор методов вытпслмшя «тгуллрных интег-ков, тпчгрхловтипа Коиш и Шмрцл, a в пункте 4 дпн обзор методов решения мерой задачи Римана-Гильберта. В nytnere 5 описаны обозначения, встречающее« в диссертации. В пункте б имеете« краткое содержание работы.

Первая глава посвящсна псстроснню асимптотически оптимальных и оптп-алышх по порядку методов вычисления iniTcrpana Пуассона, одномерного mi-:гралп 'ram Кошн и интеграла Шиарца. В пункте LI главы 1 рассмотрен интеграл Пуассона

1 1-гг N

Kw = — | w(o)--^--da.

2* • 1 с r" - 2rcos(tr - si

Для вычисления шггсгрхча использованы квадратурные формулы следующих иов:

n

Kw-- £w(ti)pt(r,s)+RN(r,s,tt,ptir,s),w); (3)

t-i

p

k-11-0

Построены зстттопглески оптимальные квадратурные формулы для вычления интеграла Пуассона на классах функций Па(1), Wp(l).

Теорема 1.1.1. Пусть Q=Ha(l), (0<аL),0 5 г<;р< \0<"v<l,No-

N0

лое число. Тогда среди всевозможных квадратурных формул, использующих ачеютя подынтегральной функции в N (Nr :> N„) узлах, асимптотически оптн-

лкной является формула вида

t 1 _ г -

Kw = —- У Wt'J f -,—i—i-da +

1 • I - r~

-t- — w(t:) ( -^-;-<}CS + RN,

2* u;1M + r2-2rcos(o-s)

где 2 означаетсунмпрованпспо k ¡г j-l,j,j +2,j + 2, tt = 2k,т/N, lt = (2k h1),t/N. k-O^Tl, seftj.tj,,). Погрешность R^ этой квадратурной формулы равна

Теорема 1.1.2. Пусть £2 = Wp(l), 0 s г < 1. Среди всевозможных квадратурньы формул (3) асимптотически отншлыгой является формула

1 M"J i г2

do ■

+R-N.

¿3 +

V'

где х«, означает сумммродоше по к * j -1, j, j +1, j + 2, L =

p

la2 N

M-[N/Lj k = G,M-l. sc[vj,vjtl), имеющаяпогргышостъ n

Здесь in t p(^;[a,b])= ]T pj.ip(tk)- квадратурная формула, Еоторая асимпто-

i-j

г

тичоеки наилучшим образом ацярсксилшрует шпеграл J p{t)dt от фуыкшц:

а

f'\X) к Kpie, г = 1,2.....разностный оператор, кою-

п!Л1Шшроксттруетзаа'1ешш ло (г+1) значению фудадаш p(t) стотао-

егью АгГ*'1-1', ] — 0,...,г~1, причем аппроксимация точна для полиномов стз-¿ени г-1.

Teapans 1.1.3. Среди вссшзможных кнадратурщгх формул айда (4) асшшти-i.'i'rcciar • огтшалъной на классе Q = \VP(1), при любом г

; г й о s 1 - -in——-, 0<v<l,N0 - пглос число, яплпстся формула N0

1 K-í'vfi 1 _ Г2

i-o i I+-Г"-2rcos(tt-s)

t..

^- j^HtM.tj^lti), 2 V f" ; +

íK i t 1 •+ i ~ Ircos^a - s)

где 2_ означает суммированиепо к * j -1,j, j + 1,j + 2, s ejtj,tj+1),

N г N„.

Злгсь ív(r,[tv,ít+v])- аппроксимирующий агрегат nana

r-1

I l*ü

i^slít-tO'+Bu^'Wiíj.rae

I'U

коэффициенты В у которой определяются из равенства

С,,-»' -РЧ^Ф*.,-)'-' =

= (-li'R-fisiLlik lítU^L.tl :

1 ' Ч 2 2 )

Пстреигаость этой квадратурной формулы ранка

В пункте 1.2 главы 1 рассмотрен одномерный интеграл типа Конот. Построс-аснмптотичесш оптимальные квадратурные формулы для гнчиелгяия интег-ia типа Конто на классах функций На(1), (14.

Интеграл типа Конш представим в виде:

1 г МЛ 1 > ránfer- s)

jw = _L.r_L¿dr=— i u(cr)-,-i-L._d(T +

2xt[r-z 2.a > 1 + r -2xcos(<r-s)

1 2f . l-rcos(o--s) .1 2f . isiz(a-s)

+ — I щег)-5-5--—d<r + — I Y((Tj-5-^---átr-

2>r ¿ 1 + r" - 2r cos(<r - s) 2iá JQ 1 + H - 2rcos(<r - s)

1г., 1-ХС08(а-8) ,

-- ' ' А* = К,и + К7и + к3у + к4у,

¿я I 1 + Г~ - 2ГСО5(£Г - Б) «(г) = = и(<г) + ¡у(а), г - г - е|,т, <1г - 1е|<г<1а.

Для того, чтобы вычислить интеграл типа Копт, достаточно вычислить каждый из интегралов KjU.K2U.K3v, К.,V . 1'ак как интегралы К ¡и и К3\ вычисляются аналогично ( и интегралы К 2и, К4 V также вычисляются аналопшю), то достаточно для миислегшя интеграла типа Ковш достаточно вычислитыипеграли К)ИИ К.2в.

Рассмотри ишеграл

,, 1 г[ , , гвт(<т-5)

К..и = -— I \](<т)-----5---йсг,

1 2*1 1 1 -» г2 - 2г со^с - б)

кошрьш будем вычислять по квадратурным формулам n

к-1

Ы р ГР

К1и= ХЦРи^К '(и) + кк(г-5.Ч.Рн(г»8).и) (о)

4=11-0

с узлами Ц е[0,2я] и весами Рк(г,в) (к - 1,Т*1).

Теорема 1.2.1. Лус1ь О = На(1), (0 < а 5 1), г - произвольное фиксированно«

.'шачениеиз 0 5 г <; 1. Тогда среди всевозможных квадратурных формул, использующих значения подынтегральной функции в N узлах, асимптотически оптимальной является формула вида

У "лик -,—----¿см

¿Го £ 1 + г - 2гсой(<х- 8) гап((т- я)

1 , . \т г51л(сг- я) , _

2¡с ^ 1 + г2 - 2гем(«г-в)

где означает суммирование по к * 3 + 1,0 + 2, = 2Ьтг/ N.

=7.2к ( 1)?г/ И, к = О^Г^П, к е

ПогрсипК1сть квадратурной формулы равна

• 2(1 +■ а)№* 1 + г*_2гсо^

- Xjqj + X2q2 + X3q, + X4q2.

Для того, чтобы вычислить интеграл Шварца, достаточно вычислить уяд-дмй-зпнтегралов Xiqj.Xjqz.Xjqj.X^.TaK как интегралы XjqiH Х2Я2 вычпсля-

тся аналогично ( и интегралы Xiq¡ .X^qi также вычисляются аналогично), то

астаточно для вычисления интеграла Шварца вычислить интегралы Xtqj и

Для вычисления интеграла Пуассона X^j на классах функций На(1), Wp(l)

пункте 1.1 глрпн 1 построены астотготически оптимальные квадратурные фор-улы в ittopeMax 1.1.1, 1.1.2, 1.1.3. Птсграл Х3Ч) отличается от интеграла

„ 1 V , ч rsin(o-s)

KjU = —- HÍoi---do

f, ' 1 + r2 - 2rcos(o - s)

только лишь на константу, поэтому оценки погрешностей квадратурных фор-ул для этих интегралов будут разниться на постоянный множитель.

Глава '2 постпцена постросшпо асимптотически оптимальных кубатурных opí-гул для вычисления двумерных интегралов типа Ксши на классах функций f,i = 1,2.3, H.aa{l), Wr,r(l).

Рассматривается интеграл:

= G: = [0,l;0,l], <r = *+irj, z = x + iy, (10)

g a 2

который можно предегшипь в таком виде

¡Jj<?-J> <J-f

00 (f-хУ +(n- У1 00 (c-x) +(t}~ У)

Для того, чтобы илиезппъ интеграл (10) достаточно вычислить кажгпin тырех двойных интегралов. Все четыре интеграла вычисляются аналогично, »этому будем вычислять интеграл

no (c-xY + (n-y)

В пункте 2.1 главы 2 для 1штеграла<11) построены асимптотически оптималь-к куйатурме формулы на классах функций Hfti= 1.S.J, Н :'7<!). Приведем

но in утьгиждетш пункта 2.1, главы 2.

• 15

Теореш 2.1.2. Пусть 0 = Н?. Среда; хуЧлгурша фехтуя да

• N

1-5

асимптотически охггамальной является формула:

М-1М-1

К,!. - 2 ; /

к-о 1-0 да(е-х) +{»?->'}

' М-Ш-1 /„_ v)

где Ди «к = к/Ш, ^ = (к + 1/2)/М,

г, =1/М, т\ =(1 + 1/2)/М, 1 = Щ; Аи =СДц(ДапД0), С^Гбцг^)

• дополнение Дц г» Д0 до Дц , Д0 =

2 2

м* м" м м>'

и

2 2 (2 2 ) означает суммирование по квадрата.11 Дц, кс иерссскладдглси (пересекающимся) с Д0.

Погрешность кубатурной формутг раша:

В пункте 2.2 глазы 2 построены аспмггктгаески оптимальные ху&лурные формулы для вычисления интеграла (11) на к.шссо функций \\'1,1:(1).

Теорема 2.2,2. Среда всевозможных кубатурнмх формул вида ^1»= 2 2 2

асдшпотцчесЕИ сптшхальЕой на классе функций \^Г,Г(1) является формуя; -1 (е - х)

К,и = /1 г;)--—, -а ^ + "У "

оо (е-х) +(1?-у)

Ее погрешность равна:.

Здесь и ла '•О - сплайн, аппроксимирующий функцию и(е,г|) вначале попе ременной я»а затем по переменной а.

Тсс г г.'. ш 2,2.3. Среди иссиоэмоглшх кубатурпых формул вида

16

N N к-П-1

асимптотически оптимальной на классе функций Уу'г>г(1) 'являстсз формула 1-0 (VI - X)2 (V, - у)*'

*

( \ (в-х) ("^1-1-^)

^-ХГ^П-У)" (ГЫ-ХГ + Ы-УГ;

где vi =к/М, v, = 1/М, Ди М = [Н/Ь],

кД = 0,М, имгюнея погрешность:

и, п3

Здесь (р;{а,Ь;о,с!])= £ £Рь,кг?>(4ь,к,)" есгаятгатп'кски сгптшвлънаа

з классе \У,,3(1) кубатурплл формула, а функционал, аяп-

жаьмнрующий с точностью п точный дая вали-

>моз у«0,1,...,г-1, ■*=<>,!,...,«-1.

В главе 3 предяаптгея и обосновываются выетсяптельные схемы прлйли-здного регпеяия краевой задачи Рнмана-Гильбсрта, несколько приближенных ггодов ргшеши интегрального уравнения с двумерным тпехралом ткпа Ксши.

В пугаете 3.1 главы 3 предложен кшлежадвоннкй метод решения краевой за-^гн Римана-Гильберта.

Рассматривается краевая задача Римзла-Гильбгрта.

Требуется отыскать в области С: (г) ¿1 решение «(г)=ц+лг уравнения

К>/ д,\ч(т) + А[г)Мг) + = Щ?.), {ъС: |г|й1)

удовлетворяющее краевому условию

«и +- = -/(г) (на Г: Щ = I), Щ ± 0, X « а + &

1]р::улдгг;п1г>с решение идем в виде запятой етмбгшздшх функций, гтля-щхся - решениями следуюцргх. краевых гздзч

17

wn(z) = w„(z) t £ "kws(z>

k-1

Re[/.(z)w0| = nz)

âjWk(z) = zk,

I i к s." n

1i kin.

Коэффициенты {а,;} определяются из условия удовлетворения уравнения ¿?\у(г) -с А(г)\¥(2) + В(г)йЧг) = ~В(ъ)

в заданной системе узлов, которые определяются следующим образом. В ка честве одной гругшы узлов возьмем (2л+1) равноотстоящда узлов на окружное

тях 11 -с1**, sk =

. 2for 2а 4-1

k. = U,2n; а в качестве другой группы узлов возьмем кор

„ ~ , 2j -1 —-ни многочлена Неоышева 1 рода на радиусах Г; = cos—- с, j — i>rl:

+ + =F(r,tt). (12)

Вопрос о разрешимости системы (12) и о сходимости приближенных решеши "wn (z) х точному решешпо краевой задачи Рнмана-Гильберта решается с номо

щью общей теории приближенных методов JI.B. Канторовича.

Тесглча 3.1.1. Пусть функции A(z),B(z),F(z) eCa(G + Г), (0 < а <; 1), краева

задача РИмана-Гильберта однозначно разрешима при любой правой части. Тогд при достаточно больших п система уравнений ( 12) разрешима и имеет место схо димость приближенных решений к; точному. При этом /

J In п

¡¡v-wnjS = 0j

l

В пункте 3.2 глады 3 краевая задача с наклонной производной шш эллинги ческою уравнения 2-го порядка сводится к краевой задаче Римана-Гильберта.

В пункте 3.3 главы 3 предлагаются н обосновываются несколько вычисли тслыяс схем приближенного решения интегрального уравнения с двумерны шгсегралом типа Коши lia различных классах функции.

Рассматр1шает«Я1тге1ральнос уравнение •

vv(Z)-IjJ

F а

BfeMS) , z~

1 -ça

;dt\ = f(z),

(13)

где G - круг ¡zj £ 1.

Будем рассматривать уравнение (13) в пространстве X = L2(G). В хлческ

приближенного метода рассмотрим метод моментов. Этот метод состоит в гол

1С

что приближенное решение уравнения (13) отыскивается в виде »-01—11

• где г сО, ч>а(2) = £ ¿Т4(г)е!и, г = ч/с2 + 1 - агс)3Л, к-01—п Е

здесь Тк(г) = ■~-^со$(к. агсссхг)- многочлены Чебьпнева 1 рода по нерсмен-10 й г.

Коэффициенты с и определяются из системы

с,-Л! =

т." к-01—п ^ г ) ]

= ||Г{г)р4,(г)<1«1у, 1 = 0Л4, ] = ^пГп. (14)

а

Обоснование предложенного метода проводится с помощьго общей теории фнближенных методов Л.В.Канторовича.

Теорема 3.3.1. Пусть функции В(г),Р(г) е + Г), (0 <а £ 1), оператор К

[спрерывно обратим. Тогда при достаточно Солышп п снсто^а уравнений (14) |азрешима и имеет место сходимость приближенных решений к точному. При том

Рассмотрим теперь уравнение (13) в пространстве С(в). В качестве прибли-се1шого метода рассмотрим холлокационный метод. Приближенное решение Ч2) Уравнения (13) ищем в виде

N+1 п ¡-II—п

где В^х) - кубхгзесхие В-сплайны. Коэффициента {Ьа} определяются го еле-

утошей системы линейных алгебраических уравнений, которая в операторной горме имеет вид:

+ (15)

Оператор Р® яелястся проектором в пространстве С, сопоставллгопрш ф}тяс-нп ее сплайновую пнтерполшпу по переменной г, а оператор явллстся проктором, соностапляхящш С"укк1нпт нгсрой тперполядпонньш пронесс 1.Н.Ьернттейна по переменней 1ес.ремй 3.3.2. П\сгь выполнены условия:

19

1) функции Щг),Р(г) е + Г);

2) уравнение (]3) имеет сдинстпелаос решайте прг. яюба& графой часта;

3) оператор К непрерывно обратим.

Тогда яри пиши, чтоя = Ап"а_1 < 1 .система (15) имеет едшстэспзос ренк шк V/ и справедлива оценка

В пр1ХЛ02.ишпир1!ведег1. тексты программ, реалпзузощих раолпчпке метод вычисления интегралов Пуассона, одномерных интегралов типа Кони; двум«! ных интегралоз типа 1Сопш.

ПУБЛИКАЦИЯ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Бойкоп И.В., Жукова Т. И. (Полякова Г. И.) Оптимальные кублтурные фо^ мулы для вычисления сингулярных интегралов //Сшималыше методы вычнеле ний и их применение к обработке информации: Мсжвуз. сб. науч. тр.-Пенз. Псш. политехи. пы-т,1991.-Вкы.10.-С.22-31.

2. Бойков И.Б., Жукова Т.И. (Полякова Т. И.) Оптимальные квадратургш формулы для вычисления интеграла Пуассона и интегралов типа Коти //Ошт мальные методы вычислений н их применение к: обработке информации: Мея вуз. сб. науч. тр.-Пенза: Изд-во Пеыз. политехи. пн-та,1992.-Вьщ.11,-С.45-85,

3. Бойков И.В., Полякова Т.И. Асимптотически оптимальные алгоритмы вь числения шпаралов Пуассона, Шварца и типа Коцш //Опшмалышс метод вычислений и их применение: Мсжвуз. сб. науч. тр.-Пгнза: Изд-ао Пенз. го техн. ун-та, 199б.-Бьш.12.-С.20--г4.

4. Бойков И.В., Жукова Т.И (Полякова Т.И.) Оптимальные по точности елозгности алгоритмы вычисления: интеграла Пуассона уУКубатурные формулы их приложения: Тез. докл. сгасшарв-совещалзш.б-Ю апреля 1993 г.-Храсш ярск,1993.-С.9-10.

5. Бойков К.В., Жукова Т.И. (Полякова Т.И.) Оптимальные по точности сложности алгоритмы вычисления ишсгралои Т1ша Кошы //Методы дисхрешь особенностей в задачах математической физики; 1ез. докл. Мезд^иародноз симпозиума, 20-27 мая 1993 г.-Хорьков, 1993.-1 с.

6. Полякова Т.И. Аналитические и приближенные методы вычисления шгге: ралов типа Коти. - Пенза:Иац-вс ПГУД998.- 20 с.

Хоф