Оценивание функций и их моментов по методу Монте-Карло тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

стр.

ВВЕДЕНИЕ. 2

ГЛАВА I. ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИОННОГО ОЦЕНИВАНИЯ ИНТЕГРАЛОВ ПО ЗНАЧЕНИЯМ . 12

1.1. Основные обозначения. Проблема увеличения точности алгоритмов метода Монте-Карло. 12

1.2. Аппроксимационные оценки по методу наименьших взвешенных квадратов . 17

1.3. Сравнение оценок. Допустимость . 28

1.4. Специальные распределения узлов и неслучайные равномерные последовательности для оценок по методу наименьших взвешенных квадратов . 31

1.5. О реализациях оценок по методу наименьших взвешенных квадратов . 36

1.6. Выводы. 44

ГЛАВА 2. ОЦЕНИВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ИХ МОМЕНТОВ ПО ЗНАЧЕНИЯМ

В СЛУЧАЙНЫХ УЗЛАХ НА КЛАССАХ ФУНКЦИЙ ИЗ к2(|иО . 47

2.1. О возможностях проекционного оценивания функций по её значениям . 47

2.2. Оценивание по значениям в случайных узлах для функций с убывающей в ошибкой

• конечномерной аппроксимации . 52

2.3. Алгоритмы оценивания функций и их моментов на классах С.Л.Соболева. 61

2.4. Оценивание по значениям в случайных узлах с неизвестным законом распределения . 68

-

2.5. В ы в о д ы. 74

ГЛАВА 3. ОЦЕНИВАНИЕ ПО НАБЛЮДЕНИЯМ СО СЛУЧАЙНЫМИ ОШИБКАМИ. ЭМПИРИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ОШИБОК ВЫЧИСЛЕНИЙ. 78

3.1. Об оценивании регрессии и планировании регрессионных экспериментов . 78

3.2. Оценивание по рандомизированным наблюдениям для функций с убывающей в ошибкой конечномерной аппроксимации. 86

3.3. Алгоритмы оценивания по рандомизированным наблюдениям остатка разложения и ошибок вычислений ft<P|U(dx) . 93

3.4. Выводы. 97

ГЛАВА 4. СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОХОЖДЕНИЯ

СИЛЬНОТОЧНОГО ПУЧКА ЭЛЕКТРОНОВ В НЕЙТРАЛЬНОМ ГАЗЕ. 101

4.1. Постановка задачи . 101

4.2. Методика численного решения задачи с использованием алгоритма оценивания плотности распределения электронов по методу наименьших взвешенных квадратов . 105

4.3. Результаты численных исследований. Выводы. III

В настоящее время в связи с прогрессом вычислительной техники все более широко используется и получает новые применения в вычислительной математике метод Монте-Карло (метод статистических испытаний). Первостепенное значение этот метод имеет для задач теории переноса, а также для численного интегрирования,решения краевых задач и многих других вычислительных задач [1-5] . Большие успехи в разработке статистических алгоритмов решения таких задач были достигнуты советской научной школой, возглавляемой академиком Г.И.Марчуком.

Алгоритмы метода Монте-Карло предназначены для численного оценивания функции и её моментов (интегралов) по результатам л наблюдений этой функции, полученным с некоторой вероятностной точностью при помощи моделирования случайных величин. Среди других способов метод Монте-Карло выделяется рядом преимуществ: возможностью его использования для широкого класса интегрируемых функций -ре |др, р>1 , определенных на сложных многомерных областях; возможностью апостериорного оценивания погрешностей вычислений и последовательного увеличения числа Л/ значений функции; простотой алгоритмов решения задач,допускающих вероятностное описание. В отличие от математической статистики, где также рассматриваются задачи оценивания характеристик случайных функций, в методе Монте-Карло имеется возможность выбора закона распределения случайных величин для получения более точных оценок. Использование метода Монте-Карло для решения задач, описывающих реальные процессы,зачастую приводит к необходимости получения значений сложных, трудоемких функций. Это стимулирует разработку новых более точных алгоритмов оценивания,т.к. сходимость простейших монтекарловских оценок с ростом М медленная,а воз

- 3 можности современных ЭВМ позволяют использовать сложные алгоритмы обработки полученных значений функции.

Проблема увеличения точности оценивания интегралов ■р€ по значениям | в Л случайных узлах занимает центральное место в теории метода Монте-Карло

3,5-7] . Известные способы уменьшения вероятностных ошибок основаны на использовании апри -орной информации об интегрируемой функции, которую может иметь вычислитель. Медленная сходимость таких алгоритмов, имеющая место для функций из к2 (рЛ) , может быть существенно повышена на более узких функциональных классах. Так, для гладких функций показана возможность построения оптимальных по порядку сходимости статистических алгоритмов, по вероятности вЛ раз более точ -ных, чем любой детерминированный способ интегрирования [в,9] . Значимость этого свойства возрастает с ростом размерности задачи, когда точность детерминированных способов интегрирования резко падает. Поэтому существует необходимость в удобных для реализации асимптотически оптимальных на классах функций алгоритмах интегрирования, учитывающих априорную информацию об интегрируемой функции и позволящих контролировать точность вычислений.

Часто встречающейся в вычислительной математике является задача восстановления неизвестной функциональной зависимости по результатам её наблюдений в отдельных точках. Ситуация, когда эти точки представляют собой случайные величины, возникает при использовании методов статистического моделирования для решения целого ряда задач [ь-б] . При этом бывает необходимо оценивать функцию не только в отдельных точках, а на поле её значений¡10-11 Использование статистических алгоритмов позволяет получать по наблюдениям в случайных узлах состоятельные оценки всех -р ^ (¡¿) .

- 4

В диссертации рассматривается задача численного оценивания функции -рСх) векторного аргумента из и её моментов х)Ф(х\М(Ых) по М значениям этой функции, полученным в случайных узлах. При этом значения функции могут быть получены со случайными ошибками, а вероятностный закон распределения случайных узлов может быть неизвестен. Целью работы является построение новых алгоритмов решения поставленной задачи, эффективных для функций повышенной вычислительной сложности из и позволяющих численно оценивать погрешность вычислений, исследование свойств и особенностей применения этих алгоритмов, их сравнение с известными способами оценивания на классах функций Ф с Ц^Й , а также использование этих алгоритмов для решения задачи численного моделирования прохождения сильноточного пучка релятивистских электронов через нейтральный газ. Для функций |е (р) проводится сравнение с известными способами вероятностных ошибок оценивания интегралов, выделение допустимых на и эффективных оценок. Для функций -р с известным порядком убывания с ростом Ш ошибок их линейных ПО -мерных аппроксимаций исследуются порядки вероятных погрешностей оценивания при Л-**00 , в частности, на классах гладких функций [12-14] . В зависимости от точности линейной аппроксимации исследуемой функции определяется, какой из рассматриваемых способов обеспечивает лучший порядок вероятных погрешностей оценивания функции и её моментов.

Увеличение точности построенных в работе аппроксимационных алгоритмов по сравнению со стандартными алгоритмами Монте-Карло зависит от точности аппроксимации функции -р линейным разложением, которая ухудшается с ростом размерности задачи. Поэтому применение новых алгоритмов для функций большой размерности может оказаться неэффективным. Эти алгоритмы предназначаются для функций векторного аргумента повышенной вычислительной сложности, получение значений которых настолько трудоёмко, что увеличение затрат на реализацию по сравнению со стандартным алгоритмом Монте-Карло оправдывается сокращением числа Л значений функции, которое необходимо для обеспечения заданной точности оценивания. Применение новых алгоритмов не всегда целесообразно, однако есть задачи, которые традиционными методами решить не удается.

Одна такая задача возникает при численном моделировании динамики сильноточного пучка релятивистских электронов, транспортируемого в газе. Построенные в работе алгоритмы используются для расчета плотности распределения частиц по результатам статистического моделирования движения Л электронов пучка. В последнее время сильноточные электронные пучки получают широкое распространение для решения многих научных и технических проб -лем, таких как нагрев плазмы до термоядерных температур, возбуждение мощных электромагнитных колебаний СЕЧ диапазона и других [15,1б] . Процессы, имеющие место при прохождении сильно -точных пучков, описываются системами уравнений в частных производных и аналитические исследования большинства таких существенно нелинейных систем оказываются недостаточными. Полное экспериментальное исследование таких физических процессов представляет собой сложную техническую проблему. Поэтому во многих случаях наиболее рациональным методом исследования оказывается числен -ное моделирование [17-21] , хотя оно и требует значительных затрат ресурсов ЭВМ.

Научная новизна работы состоит в создании алгоритмов повышенной точности для оценивания функции векторного аргумента и моментов по наблюдениям этой функции в Л/ случайных узлах, основанных на новом способе приближенного оце -нивания коэффициентов разложения | по заданной базисной

- б системе. Способ требует обращения (КУ\*т)-матрицы, сходящейся при 00 к единичной. Такое свойство матрицы позволяет получить явные выражения для ошибок оценивания, исследовать их на широком классе законов распределения узлов, а также использо -вать итерационные методы обращения, для которых получены условия и скорости сходимости.

Построенные алгоритмы обобщают стандартный метод Монте-Карло и дают апостериорную оценку вероятной погрешности. Ошибка новых алгоритмов определяется остатком разложения -р(х) , они допустимы на по сравнению с известными способами интегрирования и эффективны для функций повышенной сложности.

Получены процедуры проекционного оценивания функций состоятельные на широком классе известных и неизвестных вычислителю вероятностных законов распределения узлов. Проведено сравнение порядков точности рассматриваемых оценок функций и их моментов на классах фс^С^ • Новые алгоритмы дают с точностью до логарифмического множителя оптимальные порадки вероятных погрешностей для функций классов С.Л.Соболева 1/2Т.

Алгоритмы сохраняют свойства состоятельности, допустимости, эффективности и асимптотической оптимальности на V2T при наличии случайных ошибок наблюдений. Для некоторых задач оценивания параметрически заданных функций построены оптимальные непрерывные планы распределения узлов наблюдений.

С использованием построенных алгоритмов реализована методика статистического моделирования на основе новой самосогласованной физической модели процесса прохождения пучка электронов (с током ~10 -100 кА и энергией МэВ) в нейтральном газе (давлением 1-100 торр). Результаты расчетов позволили объяснить процессы формирования плазменного канала и динамики пучка в зависимости от плотности тока и давления газа.

Практическая ценность работы определяется большим числа« вычислительных задач восстановления функциональной зависимости и расчета интегралов» для которых рекомендуются новые алгоритмы. Имеется возможность численной адаптации алгоритмов к конкретной оцениваемой функции и контроля точности расчетов. Развитая методика численного моделирования может быть использована и используется при расчетах движения сильноточных пучков заряженных частиц под действием собственных и внешних электромагнитных полей в вакуумных и плазменных системах.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. В первой главе излагается новый способ аппроксимационного оценивания интегралов по Л значениям -рфс!^^ ,

Выводы

Применение статистических алгоритмов оценивания интегралов по методу наименьших взвешенных квадратов при вычислении плотностей распределения электронов пучка дало возможность за приемлемые времена работы БЭСМ-6 провести серию численных экспериментов для исследования процесса прохождения сильноточного пучка в трубах дрейфа, заполненных воздухом. Расчеты проведены для широкого диапазона давлений воздуха, а также при различных плотностях импульса тока пучка ^(^Д) , инжектируемого в трубу, который выбирался близким к пучкам существующих сильноточных нано-секундных ускорителей [34,75] . Полученные количественные характеристики тока, создаваемой пучком плазмы и электромагнитных полей позволили изучить процессы ионизации и формирования плазменного канала, определить влияние токовой нейтрализации на пространственную динамику электронного пучка при его прохождении в воздухе [43,45,4б] . В частности, удалось показать, что радиальное расширение пучка под действием собственных полей объясняет наблюдаемый в экспериментах по транспортировке [33, 34] эффект срыва задней части импульса тока, который с ростом давления газа р приводит к уменьшению и укорочению импульса на выходе из камеры дрейфа. Сравнение с экспериментальными результатами показало, что используемая модель достаточно хорошо описывает прохождение сильноточного пучка в газе в широком диапазоне давлений.

Расчеты показывают, что при инжекции пучка в нейтральный газ происходит быстрое образование плазменного канала с максимальной плотностью электронов плазмы Н.е на оси О . Из-за лавинной и ударной ионизации достигает вблизи плоскости тс о инжекции значения 4,5*I010 см (р = 20 - 50 мм рт.ст.),

ТС «)

3*I0iO см (р = I - Ю мм рт.ст.) за время t = 30 - 40 не. Затем плотность плазмы понижается, так как скорость рекомбинации начинает превышать скорость ионизации. Максимальная плотность плазмы в канале при j^max — 7,6 кА/см^ не превышает 5*10^ см~^ даже при р = 100 и дальнейшее её увеличение можно достичь только увеличением плотности пучка. С увеличением плотности инжектируемого пучка ftg скорость ионизации и плотность плазмы вблизи плоскости инжекции повышается. На выходе же из трубы дрейфа,из-за распада плотного пучка,плотность плазмы устанавливается примерно на том же уровне, что и для пучков с низкой плотностью на входе.

При изменении плотности электронного пучка ttg в процессе транспортировки в сравнительно длинных трубах дрейфа плазменный

- ИЗ канал становится по длине трубы существенно неоднородным.Плотность плазмы резко спадает по направлению движения пучка, причем основной спад происходит на первой половине трубы (рис.4.I) Особенно это характерно для высоких давлений р и большой начальной плотности пучка. Радиальные размеры плазменного канала при р>1 практически совпадают с размером пучка, а профиль Г\еС*) становится близок к КЦМ с ростом давления р , что объясняется возрастающей ролью ударной ионизации. Зависимость ИеМ от давления р вблизи плоскости инжекции совпадает с полученной в [75,7б] . Что касается резкой неоднородности Пе по длине трубы дрейфа (рис.4.1), то она обосновывается развалом пучка, приводящего к уменьшению скорости ионизации ¡4б] .

Характеристическая энергия электронов плазмы сравнительно слабо зависит от р в рассматриваемом диапазоне давлений. Зависимость ¿^(^г) определяется распределением электрического поля Е2 , и в области пучка с5к медленно изменяется по радиусу, отклоняясь от среднего ^ не более, чем на 0,5£к. Проводимость плазменного канала б , напротив, имеет резкую зависимость от давления р . Это объясняется тем, что 6 практически полностью определяется столкновениями электронов плазмы с нейтралами (4.1.7) и поэтому зависит не только от 6К , но и от отношения концентраций ЛеЛ^ -В результате б" быстро падает с ростом р , а её профиль мало отличается от профиля Пе(Ъ,2.) . Зависимость с£к и 6 от давления газа и времени представлена на рис.4.2.

Проводимость плазменного канала определяет плазменный ток Хр $ который нейтрализует ток пучка и протекает, в основ -ном, в области пучка, спадая при Ъ. В результате магнитное поле &д , определяемое полным током 1=1^+1р, скиниро-вано в сравнительно узкой области на краю пучка. С увеличением

-15 пе(г=о)*ю , см

2

1 О

0,5

2,м

Рис.4.1. Профиль по длине трубы дрейфа при = 1см, ^ = 2см, = 23.7кА. Пунктирные кривые р= 1мм рт.ст.: I - "I: =10нс, 2 -£=40нс. Сплошные кривые - р = 20мм рт.ст.: I - бнс, 2 - 10нс, 3 - 17нс, 4 - 40нс.

Рис.4.2. Зависимость б /сплошные кривые/ и с£к /пунктирные/ от давления при £ = 0 : I - 1 =10нс,2=8см; 2 - 33нс,8см; 3 - 10нс,92см; 4 - 33йс,92см. = 23.7кА,^0 = 1см.

- 116 давления р из-за снижения проводимости б" токовая нейтрализация ослабевает, Ьд растет вблизи ¿ = 0 , а его распределение по сечению пучка становится более плавным. С удалением от плоскости инжекции распределение Вд меняется с ростом давления из-за расплывания пучка в процессе транспортировки. Даже в первые моменты времени, когда поперечные размеры пучка практически не меняются, Вд спадает по 2 , что ¡7б] объясняется нарастанием по времени инжектируемого тока . Величина |ЗВ@/32.| возрастает с увеличением плотности инжектируемого тока. Изменение 1^(4:) определяет и временное изменение В д • возрастает, причем резкая зависимость наблюдается только в начале трубы дрейфа, на выходе эта зависимость становится плавной (см. рис.4.3).

Таким образом, движение электронов пучка при его прохождении через газ происходит в нарастающем во времени и спадающем по оси Ж магнитном поле Вд^г/О . В результате этого электроны дрейфуют в радиальном направлении со скоростью Я^ : за счет - к центру трубы, за счет ЭВ0/д2 - к стенке [83] . Количественное соотношение этих сил определяет ангармонические колебания электронов пучка и приводит к фокусировке либо дефокусировке пучка. На малых расстояниях от плоскости инжекции имеет место фокусировка пучка из-за быстрого нарастания Вд во времени. С увеличением Е пучок расходится и при больших давлениях р ^ 5 мм рт.ст. это приводит к потере части электронов пучка на стенках трубы дрейфа. При этом на выходе из трубы при р^Ю мм рт.ст., >>20 не плотность пучка становится близкой к однородной по всему сечению трубы.

На рис.4.4 приведены кривые импульса тока пучка на входе и выходе трубы дрейфа в зависимости от давления р . Пучок высокой

Рис.4.3. Профиль В0 по длине трубы дрейфа при =7&0 = 1см, Й. = 2см, тад = 23.7кА. Пунктирные кривые -р= 1мм рт.ст.: I - 1=7нс, 2 - 17нс, 3 - 33нс. Сплошные кривые - р = 50мм рт.ст.: I - 6нс, 2 - 10нс, 3 - 17нс, 4 - 33нс.

Рис.4.4. Форма импульса тока на входе в трубу дрейфа - I, на выходе из трубы дрейфа: I- р=1ммрт.ст.; 2 - р = 5 мм рт.ст.; 3 - р = 10; 4 - р = 20; 5 - р = 30; 6 - р = 50; 7 - р = 70-100. = 23-7кА» Чо = *см, £ = 2см.

- 119 плотности ( =7,6 кА/см^ на входе) проходит без потерь только при 5 мм рт.ст. При более высоких давлениях проходит только передняя часть пучка, на заднем фронте имеет место срыв тока, приводящий на выходе из трубы к укорочению и уменьшению импульса тока . Процесс срыва тока усилива ется с увеличением давления газа р , плотности тока пучка , длины трубы дрейфа к , а также с уменьшением радиуса трубы Р. . Полученные результаты хорошо согласуются с данными экспериментов [34] , в которых был обнаружен срыв тока пучка на заднем фронте в трубах дрейфа с I м при р^ б мм рт.ст. Графики импульса тока на выходе из трубы дрейфа, приведенные в [34] для разных р , близки к расчетным (рис.4.4). Обрыв импульса тока стабилизируется при р = 50 - 70 и с увеличением давления (р> 70)дальнейшего укорочения импульса не происходит. Это связано с тем, что при р ^ 50 мм рт.ст. степень токовой нейтрализации уменьшается настолько, что плазменный ток 1р не оказывает влияния на Вд , которое теперь определяется только неоднородностью пучка. Следует подчеркнуть, что в рамках предложенной модели на длинах 11 - 30 см потери электронов даже из сравнительно плотного пучка практически не заметны. Последнее совпадает с выводами эксперимента [34] , где пучок при Р~150 мм рт.ст. проходил трубу дрейфа с Ь = 30 см без потерь.

Таким образом, численное решение поставленной задачи показало, что алгоритмы аппроксимационного оценивания, приведенные в диссертации, дают вполне удовлетворительные приближенные значения плотности распределения частиц. Это связано с возможностью простой в конструктивном отношении и достаточно точной аппроксимации законов движения частиц, которая следует из физи -ческих соображений и может быть численно проконтролирована.Приведенная методика статистического моделирования движения частиц

- 120 для алпроксимационного оценивания их плотностей распределения может быть рекомендована для численного моделирования физических процессов, в которых выполняется условие гладкости траекторий движения частиц. К таким процессам относится прохождение сильноточных пучков заряженных частиц под действием собственных и внешних электромагнитных полей в вакуумных и шгазменных системах, а также задачи, связанные с анализом устойчивости движения. Примером успешного применения аппроксимационных оценок является численное моделирование поперечной двухпучковой неустойчивости в электронно-ионном кольце, проведенное автором в [84] .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Эффективность применения полученных в диссертации алгоритмов аппроксимационного оценивания функций и их моментов по J\l наблюдениям в случайных узлах зависит от сложности получения наблюдений функции. Такие алгоритмы, основанные на приближенном представлении функции -f(x) разложением по системе базисных функций п0 точности не уступают известным статистическим способам оценивания, позволяют контролировать ошибку и обладают рядом удобных для их реализации свойств. Сложность реализации алгоритмов с ростом Ш возрастает, а точность оценивания увеличивается по сравнению с простейшей монтекарловской оценкой, которая соответствует значению №=0. Поэтому аппроксимационные оценки эффективны для функций, получение значений которых связано с большими затратами. В этом случае сокращение,по сравнению с простейшей монтекарловской оценкой, числа наблюдений Я , необходимых для аппроксимационного оценивания с задалиой точностью, компенсирует увеличение затрат на реализацию алгоритма. Имеется возможность в процессе вычислений последовательно подбирать значения КП. и »А/ , позволяющие эффективно оценить с заданной точностью конкретную функцию-f(x)либо её моменты,используя для этого приведенные в диссертации способы статистического контроля точности аппроксимационного оценивания.

Аппроксимационные алгоритмы применены для оценивания функций плотности распределения электронов сильноточного пучка в задаче численного моделирования прохождения пучка в нейтральном газе. Оценивание проводится по результатам статистического моделирования движения Jl частиц пучка, для чего требуется решать уравнения движения частиц в самосогласованных полях. В таких

- 122 задачах траектории движения частиц описываются гладкими,хорошо аппроксимируемыми законами. Это позволяет получать высокие порядки точности аппроксимационного оценивания плотностей распределения частиц с ростом и численно подбирать простые и достаточно точные линейные аппроксимации. Поэтому можно рекомендовать применение полученных в работе алгоритмов при численном моделировании движения сильноточных пучков заряженных частиц под действием собственных и внешних электромагнитных полей в вакуумных и плазменных системах. Такие задачи актуальны в связи с широким применением сильноточных пучков.

Считаю своим приятным долгом выразить благодарность за внимание, помощь в работе и полезные обсуждения моим научным руководителям Николаю Николаевичу Ченцову, определившему основную тему моих исследований, и Владимиру Петровичу Григорьеву, который поставил задачу численного исследования прохождения сильноточного пучка в газе и руководил проведением численных экспериментов, а также Виктору Викторовичу Захарову и Александру Григорьевичу Поташеву.

1. Марчук Г.И. Методы расчёта ядерных реакторов. М.:Атоиздат,1961, 666 с.

2. Марчук Г.И., Михайлов Г.А., Наразалиев М.А., Дарбинян P.A. Решение прямых и некоторых обратных задач атмосферной оптики методом Монте-Карло. Новосибирск: Наука, 1968, с.

3. Ермаков С.М., Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.:На-ука, 1975, 472 с.

4. Еленов B.C., Кронберг A.A., Михайлов Г.А., Сабельфельд К.К. Решение краевых задач методом Монте-Карло. Новосибирск: Наука, 1980, 175 с.

5. Михайлов Г.А. Некоторые вопросы теории методов Монте-Карло. Новосибирск: Наука, 1974, 142 с.

6. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973, 312 с.7в Ноlton J.H. A retrospective and prospective survey of the Monte Carlo method. SIAM Review, 1970, v.12, IT1, p.1-63.

7. Бахвалов H.C. О приближенном вычислении кратных интегралов.-Вестник МГУ, 1959, № 4, с.3-18.

8. Ю. Фролов A.C., Ченцов H.H. О вычислении методом Монте-Карло определенных интегралов,зависящих от параметра. ЖВМиМФ,1962, т.2, № 4, с.714-717.- 124

9. Фролов A.C., Ченцов H.H. Использование зависимых испытаний в методе Монте-Карло для получения гладких кривых. Труды 1У Всесоюзного совещания по теории вероятностей и математ. статистике. Вильнюс, 1962, с.425-437.

10. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. Ред. Бабенко К.И., М.: Наука,1979, 296 с.

11. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд. МГУ, 1976, 304 с.

12. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: ГИШ, i960, 624 с.

13. Диденко А.Н., Григорьев В.П., Усов Ю.П. Мощные электронные пучки и их применение. М.: Атомиздат, 1977, 277 с.

14. Рухадзе A.A., Богданкевич Л.С., Росинский С.Е., Рухлин В.Г. Шизика сильноточных релятивистких пучков. М.: Атомиздат,1980, 165 с.

15. Березин Ю.А., Вшивков В.А. Метод частиц в динамике разряженной плазмы. Новосибирск: Наука, 1980, 96 с.

16. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрооптики. Новосибирск: Наука, 1974, 204 с.

17. Вычислительные методы в физике плазмы. Ред. Олдер Б., Ферн-бах С., Ротенберг М. М.: Мир, 1974, 520 с.

18. Вычислительные методы в физике плазмы. Управляемый термоядерный синтез. Ред. Киллин Дж., М.: Мир, 1980, 480 с.

19. Самарский A.A. Математическое моделирование и численные методы. В кн.: Проблемы вычислительной математики. Изд. МГУ, 1980, с.18-39.

20. Закс Ш. Теория статистических выводов. М.: Мир, 1975, 776с.

21. Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара М.: Наука, 1969, 288 с.- 125

22. Ченцов H.H. О корректности задачи статистического точечного оценивания. Теория вероятностей и её применения, 1981, т.ХОТ, вып.1, с.15-31.

23. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., Наука, 1979, 288 с.

24. Ермаков С.М., Золотухин В.Г. Полиномиальные приближения и метод Монте-Карло. Теория вероятностей и её применения, I960, т.5, вып.4, с.473-475.

25. Handscomb D.O. Remarks on a Monte Carlo integration method. Numerische Math., 1964-, v.6, Ш, p.261-268.

26. Ченцов H.H. Оценка неизвестной плотности распределения по наблюдениям. Докл. АН СССР, 1962, т.147, № I, с.45-48.

27. Ченцов H.H. Статистические решающие правила и оптимальные выводы. М.: Наука, 1972, 520 с.

28. Марчук Г.И., Ермаков С.М. 0 некоторых проблемах теории планирования эксперимента. В кн.: Математические методы планирования эксперимента. Новосибирск: Наука, 1981, с.3-18.

29. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971, 312 с.

30. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.:Наука,1971, 552 с.

31. Рудаков Л.И., Смирнов В.П., Спектор A.M. Поведение сильноточного пучка электронов в плотном газе. Письма в ЖЭТФ,1972, т.15, в.9, с.540-544.

32. Котляревский Г.И., Рябчиков А.И., Усов Ю.П. Экспериментальное наблюдение срыва тока сильноточного пучка при транспортировке в плотном газе. Шизика плазмы, 1976, т.2, в.4, с.689-690.

33. Захаров В.В., Корякин А.И. Об итерационном выделении главной части интеграла. В кн.: Методы Монте-Карло в вычисли- 126 тельной математике и математической физике. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1976, с.117-120.

34. Корякин А.И. О влиянии ошибок при случайном распределении узлов в линейной задаче идентификации. В кн.: Тезисы докладов Всесоюзного совещания "Применение случайного поиска", Кемерово, 1979, с.10-12.

35. Корякин А.И. Об одной смещенной Монте-Карловской оценке многократных интегралов. В кн.: Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике, ч.1, Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1979, с.5-9.

36. Корякин А.И. Рандомизированная оценка коэффициентов Фурье разложения функции в Ц Доклады АН СССР, 1980, т.251, №6, с.130I-1305.

37. Григорьев В.П., Корякин А.И., Попов A.C., Поташев А.Г., Шулаев Н.С. Численное моделирование транспортировки РЭП в длинных трубах дрейфа. В кн. Вопросы атомной науки и техники, серия: Техника физического эксперимента. Харьков: ХФТИ, 198I, в.1(7), с.38.

38. Корякин А.И. Интерполирование по значениям в случайных узлах. Теория вероятностей и ее применения, 1982, т. ХХУП, вып.З, с.608-609.

39. Корякин А.И. Оценивание функций по рандомизированным наблюдениям. ЖВМиМФ, 1983, т.23, № I, с.21-28; ЖВМиМФ, 1985, №4 , с. 634-635.

40. Захаров В.В., Корякин А.И. О реализациях одной аппроксима-ционной случайной квадратурной формулы. ЖВМиМФ, 1983, т.23, № 2, с.494-498.

41. Григорьев В.П., Корякин А.И., Поташев А.Г. Статистическое моделирование формирования плазменного канала при инжекции- 127 сильноточного электронного пучка в нейтральный газ. Депонировано ВИНИТИ, регистр. № 5537-83, 1983, 31 с.

42. Корякин А.И., О влиянии ошибок при случайном распределении узлов в линейной задаче идентификации. Депонировано Лат. НИИНТИ, регистр. № 51 Ла-83, 1983, 5 с.

43. Григорьев В.П., Корякин А.И., Поташев А.Г. Численное исследование транспортировки СЭП в нейтральном газе. В кн.: Тезисы докладов У Всесоюзного симпозиума по сильноточной электронике, ч.1, Томск: ИСЭ СО АН СССР, 1984, с.222-224.

44. Григорьев В.П., Корякин А.И., Поташев А.Г. Численное моделирование формирования плазменного канала и динамики сильноточного электронного пучка при его инжекции в нейтральный газ . Шизика плазмы, 1984, т.Ю, вып.4, с.783-791.

45. Корякин А.И., Ченцов H.H. Оценивание функций и их моментов по наблюдениям в случайных узлах. Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша АН СССР, 1985, № 33 , 24 с.

46. Ченцов H.H. О квадратурных формулах для функций бесконечно большого числа переменных. ЖВМиМФ, 1961, т.1, № 3,с.418-424.

47. Соболь И.М. О вычислении бесконечномерных интегралов.

48. ЖВМиМФ, 1961, т.1, № 5, с.918-922.50. "von Bahr В., Essen O.G. Inequalities for the r-th absolute moment of a sum of random variables (1<r<2). Ann. of the Math. Stat., 1965, v.36, 1, p.229-505.

49. Колмогоров A.H. Основные понятия теории вероятностей. М.: Наука, 1974, 120 с.

50. Rosenbe3?g L. Berstein polinomials and Monte Carlo integration SIM. Numerical Analisys, 1967, v.4-, N4-, p.566-577.

51. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекурентное оценивание. М.: Наука, 1977, 224 с.- 128

52. Захаров В.В., Корякин А.И. Исследование одной последовательной процедуры построения плотности вероятности в методе Монте-Карло. Вопросы кибернетики, 1978, в.45, с.91-98.

53. Бахвалов Н.С. Численные методы, .томЛ, М.: Наука, 1975, 632с.

54. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978, 280 с.

55. Гельфанд И.М., Фролов A.C., Ченцов H.H. Вычисление континуальных интегралов методом Монте-Карло. Известия ВУЗов, Математика, 1958, т.6, № 5, с.32-45.

56. Hammersley J.M.,Morton K.W. A new Monte Carlo technique antithetic variates.- Proc,Cambr.Phis.Soc. ,1956,v.52,p.449-4-74-.

57. Бахвалов Н.С. Оценки снизу асимптотических характеристик классов функций с доминирующей смешанной производной. -Математич.заметки, 1972, т.12, № 6, с.655-664.

58. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Наука, 1963, 224 с.

59. Ермаков С.М., Походзёй Б.Б. Вычисление многомерных квадратур с автоматическим выбором шага интегрирования. В кн.: Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1974, с.72-77.

60. Моторный В.П. 0 сходимости в среднем рядов Фурье по многочленам Лежандра. Доклады АН СССР, 1972, т.204, № 4,с.788-790.

61. Моторный В.П. Приближение функций суммами Фурье-Лежандра в среднем. Доклады АН СССР, 1981, т.259, № I, с.39-42.

62. Бадков В.М. Аппроксимативные свойства рядов Фурьев по ортогональным полиномам. УМН, 1978, т.33, в.4, с.51-106.

63. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование.1. М.: Наука, 1982, 320 с.

64. Налимов В.В., Чернова H.A. Статистические методы планирования экспериментов. М.: ГРФМЛ, 1965, 340 с.- 129

65. Федоров B.B. Активные регрессионные эксперименты. В кн.: Математические методы планирования эксперимента.Новосибирск, Наука, 1981, с.19-73.

66. Голикова Т.Н., Данченко JI.A., Фридман Н.З. Каталог планов второго порядка. т.П, М.: Изд. М1У, 1974, 384 с.

67. Красина Е.Г., Козлов В.П. Алгоритм оптимизации плана для оценивания плотности распределения и оптимальные планы полиномиальной регрессии. В кн.Математические методы планирования эксперимента. Новосибирск: Наука,1981, с.243-251.

68. Ибрагимов И.А.,Хасьминский Р.З. 0 непараметрическом оценивании регрессии.-Докл.АН СССР,1980, т.252Д4, с.780-784.71 . Mezey М. The error of a funtion approximation based on random selected points.- J.Inst.Math.Appl.1973,v.12,H1,p.97-102.

69. Кингсеп С.С., Новобранцев И.В., Рудаков Л.И., Смирнов В.П., Спектор A.M. Механизм ионизации газа сильноточным пучком электронов. ЖЭТФ, т.63, в.6(12), с.2132-2138, 1972.

70. McArthur D.A.,Poukey J.W. Plasma created in a neutral gas Ъу a relatrvistic electron beam.- Phis.Fluids, 1973, v.16, N11, p.1996-2004.

71. Космачевский K.B. Численное исследование транспортировки РЭП в волноводе, заполненном плотным газом. В кн.Разностные методы математической физики.М.: Изд.МГУ, 1980,с.52-59.

72. Григорьев В.П., Поташев А.Г., Шулаев Н.С. Численное моделирование формирования плазменного канала при инжекции мощного электронного пучка в нейтральный газ. Физика плазмы,1979, т.5, в.2, с.376-382.

73. Григорьев В.П., Попов A.C., Поташев А.Г., Шулаев Н.С. Особенности формирования плазменного канала в длинных трубах дрейфа. Ш9 1980, т.50, в.6, с.1208-1211.- 130

74. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. Наука, 1963, 684 с.

75. Кноль М., Эйнмейер И. Техническая электроника, т.1, М.: Энергия, 197I, 472 с.

76. Mehr F.J., Biondi M.A. Electron temperature dependence of Recombination of 0 2" and ions with electrons. Phis.

77. Rev., 1969, v.181, N1, p.264-271.

78. Тихонов A.H., Васильева А.Б., Свешникова А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980, 232 с.

79. Голант В.Е., Жилинский А.П., Сахаров С.А. Основы физики плазмы. М.: Атомиздат, 1977, 384 с.

80. Григорьев В.П., Диденко А.Н., Корякин А.И. Поперечная двух-пучковая неустойчивость и электронно-ионном кольце в нелинейном режиме. В кн.: Аннотации докладов У1 Всесоюзного совещания по ускорителям заряженных частиц. Дубна,1978,с.38.