Отсутствие собственных значений в спектре некоторых операторов Шрёдингера с периодическими коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Качковский, Илья Васильевич АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ
2013 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.03 КОД ВАК РФ
Диссертация по математике на тему «Отсутствие собственных значений в спектре некоторых операторов Шрёдингера с периодическими коэффициентами»
 
Автореферат диссертации на тему "Отсутствие собственных значений в спектре некоторых операторов Шрёдингера с периодическими коэффициентами"

На правах рукописи

КАЧКОВСКИЙ Илья Васильевич

ОТСУТСТВИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ В СПЕКТРЕ НЕКОТОРЫХ ОПЕРАТОРОВ ШРЁДИНГЕРА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

специальность 01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

1 р млП 2013

Санкт-Петербург 2013

005059757

Работа выполнена в лаборатории математической физики федерального бюджетного учреждения науки Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, ст. н. с. ФИЛОНОВ Николай Дмитриевич

Официальные оппоненты:

СУСЛИНА Татьяна Александровна,

доктор физико-математических наук, профессор,

заведующий кафедрой высшей математики и математической физики, Санкт-Петербургский государственный университет, физический факультет

НАЗАРОВ Сергей Александрович

доктор физико-математических наук, профессор,

главный научный сотрудник лаборатории математических методов механики материала, Институт проблем машиноведения РАН

Ведущая организация:

Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН

Защита состоится " Ш&МЛ 2013 года в часов

на заседании диссертационного совета Д 002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А. Стеклова РАН по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан " $0 " 2013 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук,

А.Ю. Зайцев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Спектральный анализ периодических операторов математической физики имеет как общетеоретическое, так и прикладное значение. В очень широких предположениях известно (теория Флоке-Блоха, см. [5]), что спектр периодического оператора имеет зонную структуру. Общая теория не исключает, однако, ситуации, когда какая-то зона вырождается в точку. Тогда у оператора возникает собственное значение бесконечной кратности. Наличие или отсутствие таких зон существенно отражается на выводах о физических свойствах рассматриваемой периодической структуры. Общепринятая точка зрения состоит в том, что в достаточно "регулярных" случаях вырожденных зон быть не должно. Обоснование этой гипотезы в каждом конкретном случае представляет собой сложную математическую задачу. Известно также, что в "нерегулярных" случаях беско-нечнократные собственные значения могут возникнуть: в работе [10] построен пример оператора акустики с негладкими коэффициентами, имеющего в спектре вырожденную зону. Наличие определенных особенностей у коэффициентов вполне реалистично с точки зрения приложений. Поэтому важно уметь исключить наличие вырожденных зон при возможно более широких предположениях на коэффициенты.

Настоящая работа посвящена доказательству отсутствия собственных значений в спектре многомерного периодического оператора Шрёдингера в пространстве, в слое и в цилиндре. Электрический потенциал может содержать "сингулярную" составляющую в виде заряда, сосредоточенного на периодической системе гиперповерхностей. Такие потенциалы встречаются в теории фотонных кристаллов (см. [4, 9]). В случае оператора в слое и в цилиндре на границе ставится условие Дирихле, Неймана или краевое условие третьего типа. Коэффициенты в третьем краевом условии также предполагаются периодическими. Отсутствие собственных значений в спектре матричного несамосопряженного оператора Шрёдингера в слое или цилиндре с третьим краевым условием позволяет установить абсолютную непрерывность спектра периодического оператора Максвелла в соответствующих областях.

Цель работы. Целью диссертации является

1. доказательство отсутствия собственных значений в спектре оператора Шрёдингера с сингулярным электрическим потенциалом, сосредоточенным на периодической системе гиперповерхностей;

2. исследование случая цилиндра с сечением общего вида;

3. доказательство отсутствия собственных значений в спектре оператора Шрёдингера в прямоугольном и круговом цилиндрах с третьим краевым условием.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.

1. Впервые доказана абсолютная непрерывность спектра многомерного оператора Шрёдингера с электрическим потенциалом, сосредоточенным на периодической системе гиперповерхностей, на которую не налагается никаких геометрических условий.

2. Установлено отсутствие собственных значений у оператора Шрёдингера в цилиндре с сечением общего вида при широких предположениях об электрическом потенциале.

3. Впервые доказана абсолютная непрерывность спектра оператора Шрёдингера в прямоугольном и круговом цилиндрах с третьим краевым условием.

Методика исследований. Мы следуем классической схеме Томаса, впервые использованной в [8]. Оператор Шрёдингера унитарно эквивалентен (разложение Флоке-Блоха-Гельфанда) прямому интегралу от некоторого семейства секториальных операторов Н(£) с дискретным спектром. Если одно из собственных значений оператора Н(£) постоянно по то у исходного оператора Н это собственное значение является собственным значением бесконечной кратности. Если же таких собственных значений нет, то спектр оператора Н абсолютно непрерывен. Таким образом, достаточно доказать отсутствие собственных значений, постоянных по

Идея Томаса состоит в аналитическом продолжении операторного семейства Н(£) в комплексную область по одной из компонент В силу аналитической альтернативы Фредгольма достаточно доказать, что при любом фиксированном Л оператор Н(£)—\1 обратим при достаточно большой мнимой части параметра Оценка нормы соответствующей резольвенты представляет основную техническую трудность и в каждом конкретном случае производится различными методами. В случае оператора с обычным электрическим потенциалом в цилиндре с липшицевой границей мы оцениваем действие свободного оператора в некотором анизотропном пространстве Соболева, а затем применяем теоремы вложения. В случае цилиндра с гладкой границей мы используем оценки спектральных проекторов оператора

Лапласа, полученные в [6]. Для оператора с сингулярным потенциалом во всем пространстве, в слое и в прямоугольном цилиндре мы применяем аналогичную схему, но основанную на оценках следов спектральных проекторов на гиперповерхностях, впервые полученных в [1]. Наконец, в случае кругового цилиндра используется явное выражение для собственных функций свободного оператора в терминах специальных функций, и оценки символа оператора опираются на известные результаты о расположении нулей функций Бесселя.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в дальнейшем для исследования спектра периодического оператора Максвелла, а также в физике твердого тела и в теории фотонных кристаллов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре кафедры Высшей математики и Математической Физики СПбГУ (руководитель В. С. Буслаев), на Санкт-Петербургском семинаре им. В. И. Смирнова по математической физике (руководитель Н. Н. Уральцева), на семинаре по анализу Королевского колледжа Лондона (King's College, London), а также на конференциях: Дни дифракции (ПОМИ РАН, 2009 и 2010), Международная конференция по спектральной теории (ММИ им. Эйлера, 2009).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [KF1, KF2, К] в российских журналах из Перечня ведущих рецензируемых журналов и изданий ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на разделы, и списка литературы. Объем диссертации - 127 страниц. Список литературы содержит 59 наименований.

Краткое содержание работы

Введение содержит общую постановку задачи, обзор ранее известных результатов об абсолютной непрерывности спектра, описание схемы Томаса, перечисление основных результатов диссертации и идей их доказательств, описание приложения результатов (оператор Максвелла) и формулировки нескольких открытых вопросов.

Глава 1. Схема Томаса доказательства абсолютной непрерывности спектра. Данная глава является вводной, в ней излагаются известные результаты. В разделе 1.1 формулируются необходимые сведения из теории секториальных форм и m-секториальных операторов. Даются определения

голоморфного семейства типа (В) т-секториальных операторов с дискретным спектром и самосопряженного голоморфного семейства. Доказывается аналитическая альтернатива Фредгольма для таких семейств. Вводятся прямые интегралы

А = J © А{Х)<1У{Х), ал

//-измеримых семейств самосопряженных или т-секториальных операторов А(х). Доказываются теоремы 1.1.23 и 1.1.25 о структуре спектра таких семейств: если никакое А е С не является собственным значением операторов А(х) на множестве положительной меры, то у оператора А отсутствуют собственные значения. Если семейство А(х) дополнительно является самосопряженным аналитическим семейством, а ЯЯ - отрезок вещественной оси с мерой Лебега, то спектр оператора А является чисто абсолютно непрерывным.

В разделе 1.2 вводится оператор Шрёдингера

Н = -А + У(х) + а(х)6^{х) (1)

в многомерном цилиндре Н = С/ х Ет С К'*, где ¿=к + т^3, II С - ограниченная область или гладкое компактное /с-мерное многообразие с краем. При к = О подразумевается, что Е = КА Предполагается, что система гиперповерхностей Е С Н периодична относительно решетки

г = {кЬ +... + 1тьт, 11 ег}смга,

где Ь\,...,Ьт - некоторый базис в Лт, а V и а - Г-периодические функции. Оператор (1) вводится с помощью квадратичной формы

Ь[и,и]= У \Чи{х,у)\2 йхйу + J У{х,у)\и(х,у)\2 ¿хйу

■ Jсг{х,у)\и(х,у)\2 йхйу. (2)

+

Е

Областью определения формы к является пространство Соболева Я1(Н; Сл') или (в зависимости от краевых условий на дЗ) некоторое замкнутое подпространство, плотное в Ьг(Н; В терминах шкалы Ьр, для самосопряжен-ности/секториалыюсти оператора Н естественно предполагать

V е ^/2,1ос(Н, Мх{С)), а е Мм{С)),

где через Мдг(С) обозначено пространство комплексных N х Л^-матриц. Доказывается, что при этих условиях квадратичная форма к замкнута, секто-риальна и, следовательно, корректно определяет соответствующий оператор.

Вводится преобразование Флоке-Блоха-Гельфанда

I, у) = \Щ~1/2 £ у + 1), (Х,у)е Е, £ £ П,

1е г

где П - элементарная ячейка решетки Г, двойственной к Г. Доказывается, что оно продолжается до изометрического изоморфизма

Р: Ь2{Е) J ®Ь2{и х й

и частично диагонализует оператор Н:

= J ©Я(0 <ге,

где

Н(0 = -Ах + (V, + + ¿0 + У(х) + а(х)д^(х)

- оператор в Ь2(и х Г2;С^). Наконец, пусть

п' = {£' е Мт I ± Ьи и Э& € К: (^Ьг + £') €

- ограниченное множество в Мт, являющееся проекцией Г2 на гиперплоскость, ортогональную Ь\. Любой вектор £ € допускает однозначное представление в виде £ = + где £1 € Е, е О'. Параметр фиксируется и изучается зависимость свободного оператора

Я0(О = -Дх + (V, + гО*(^у + ¿0 от одномерного параметра £1.

Условие А(<71). Для любых 6 П', А е С существует то > 0, такое что при т > То

|||До((7г/Ы +ОГ1/2«1к1(£/хП) < ^«И-М^С»)

равномерно по и € Ь2(11 х Г^О'4').

Условие В (172). Для любых 6 П', А 6 С существует то > 0, такое что при т > то

П|ЯЬ((7г/Ы + «О** + < С2\\и\\Ь2(ихП)

равномерно по и 6 Ь2(и х О), а также

|||Яо((*/Ы +гт)61 +ОГ1/2«1и2(Еп(С7х£1)) < СзМНиН^хй)

равномерно по и £ 1<2(и х Г2), где Сз(т) —0 при г —» +оо.

Оказывается, что условия А(51) и В(52) удобно использовать в виде критериев отсутствия собственных значений. Следующая теорема является центральным результатом главы. Дальнейшие результаты диссертации сводятся к проверке условий теоремы 1.2.4 для различных случаев оператора (1).

Теорема 1.2.4. Пусть оператор Н задан секториалъной формой (2) с V и а, удовлетворящими

V е ЬРи1ос(~), рх ^ <¿/2, а е ос(£), Р2 > <1 - 1.

Предположим, что семейство операторов удовлетворяет условиям

А(д{) и В(д2) с

2 й 2{й — 1) й-2 ' ® =

Тогда у оператора Н нет собственных значений. Если У(х, у) = У(х, у)*, сг(х, у) = сг(х, у)*, то спектр оператора Н абсолютно непрерывен.

Глава 2. Оценки сужений спектральных проекторов операторов Лапласа. В данной главе мы доказываем следующий вспомогательный результат для случая с^-мерного тора М = 14

Теорема 2.1.1. Пусть М - гладкое компактное й-мерное риманово многообразие без края, ОЗ. Пусть ЕсМ - компактная С1-гладкая гиперповерхность (то есть подмногообразие размерности <1 — 1). Пусть Е\ = £'_д[(А — I)2; А2) - спектральный проектор оператора Лапласа-Бельтрами на М. Тогда

11ЗД1ЫЕ) < СХ^-^\\/\\Ь2(м],У/ € Ь2(М), УА ^ 1, ^ < г < +оо.

Впервые он доказан в [1] для гиперповерхностей класса С°°. Фактически глава 2 является подробным изложением доказательства [1], однако мы дополнительно следим за классами гладкости функций, возникающих в процессе доказательства.

В разделе 2.2 доказываем вспомогательные оценки для различных интегральных операторов. В разделе 2.3 доказывается основная оценка.

Теорема 2.3.1. Для любой гладкой компактной С1-гиперповерхности Е С Е<г, (1 ^ 3, существует такое е > 0, что для любой функции Я е С°°(К.Й), эиррД С {х Е К.'*: е ^ |а;| ^ 2е}, выполняется неравенство

! е±Щ*-у\ЩХ-у)д(у)(1у

2Й ^

< г ^ +оо, А > 1.

¿—1

В разделе 2.4 мы выводим теорему 2.1.1 из теоремы 2.3.1.

Глава 3. Случаи всего пространства, слоя и прямоугольного цилиндра. В данной главе рассматривается частный случай оператора Н из главы 1. Он задается квадратичной формой

Н[и,у]= ! {Уи(х,у),'Чу{х,у))йх<1у + J (V(x,y)u(x,y),v(x,y))dxdy+

+ ! {<г{?,у)и{х,у),у{х,у))113{х,у) £

в Ь2(Е) = Ь2(и х Мт), где V = [0;ах] х ... х С К*, а, > 0, - па-

раллелепипед в к^О, ¿ = к + т^3. При к = 0 область Е - это всё пространство, а при к = 1 - плоско-параллельный слой. Основным результатом является

Теорема 3.1.1. Пусть й = к + т,^ Ъ, ш > 1. Пусть £ С Е = II х Мт - Г-периодическая система С1*-гиперповерхностей. Пусть а € £рд0с(Е), р > (1 — 1, и V ё Аг/2,1ос(Е) ~ Г-периодические функции. Тогда у соответствующего оператора Н в 1/2 (Н) нет собственных значений. Если Н = Н*, то его спектр абсолютно непрерывен.

При а = 0 соответствующий результат для электрического потенциала V с оптимальным показателем ¿/2 известен. Доказательство соответствующего условия А(д) дано в [2]. Для полноты изложения мы приводим его в разделе 3.3 (для цилиндра с периодическими краевыми условиями).

В случае ненулевого сингулярного потенциала теорема является новой. Подчеркнем, что на гиперповерхность Е не накладывается никаких геометрических условий. В старших размерностях таких результатов известно не было. Соответствующее условие В(д) доказывается в разделе 3.2 (для цилиндра с периодическими краевыми условиями). Доказательство основано

на применении теоремы 2.1.1. Отметим также, что при с1 ^ 3 оптимальным показателем для а в шкале Ьр является р = й — 1. Таким образом, условие р > й—1 близко к оптимальному. В разделе 3.4 мы выводим теорему 3.1.1 из результатов, полученных для цилиндров с периодическими краевыми условиями.

Опишем основную идею доказательства условия В(д). Для простоты обозначений пусть к = 0, то есть оператор Н является оператором во всем пространстве. Оператор Щ{т) в базисе

{|Г2|_1у'2е"1у, п € Г}

является оператором умножения на символ

К{т) = |п + 7Г¿>1 + £'|2 - т2 + 2гт(п + ттЬи Ьг), п 6 Г.

Из теоремы 2.1.1 при 2 < <7 < ^ следует оценка

оо

\\Н0(т)\-УЦ < С5>1/2-г Ы\Н0(т)\М\ . \\Е,и\\ЫПу

I ^ II II

Теорема 3.1.1 выводится из этой оценки, выражения для символа и следующей элементарной леммы:

Лемма 3.2.1. Пусть О < 5 < 1/2, пусть |тм| ^ Ь Уц 6 N. Тогда

00 и1'26

У 77--5!-< °(ь> 5)Т~*

при т > 1.

Глава 4. Случай электрического потенциала в цилиндрах с сечением общего вида. В данной главе установлено отсутствие собственных значений у периодического оператора Шрёдингера (в самосопряженном случае - абсолютная непрерывность спектра) с обычным электрическим потенциалом в случае, когда цилиндр Н = и х Кга не является прямоугольным. Методы главы 3, базирующиеся на явном виде собственных функций оператора Лапласа в ячейке, здесь неприменимы.

Напомним, что оператор Н задается квадратичной формой

Ь[и,ь] = J а[и(-,у),у(-,у)]<1у + J{Vyu(x,y),Vyv(x,y))dxdy кт н

+ J{V{x,y)u{x,y),v{x,y))dxdy (3)

в цилиндре L2{E;CN), где ЕЕ = U х Mm; U - ограниченная область в с лиишицевой границей. Потенциал V периодичен относительно решетки Г С Rm с элементарной ячейкой П. Квадратичная форма (3) определена на области L,2{U-, Нх(Жт] С^)) flL2(Km; Doma). Предполагается, что форма a отвечает некоторому неотрицательному эллиптическому дифференциальному оператору А второго порядка в U.

Теорема 4.1.1. Пусть U С Ш.к - ограниченная область с липшицевой границей, Н = U х Rm, т ^ 1, d = к+т ^ 3. Пусть а - замкнутая неотрицательная квадратичная форма в Li{U; CN), такая что Doma - замкнутое подпространство Hl{U \*CN), Doma П С1 (U; CN) плотно в Doma. Пусть V € Ld-i(Uх Q,; Myv(C)). Тогда в спектре оператора Н, отвечающего квадратичной форме (3), отсутствуют собственные значения. Если V самосопряжен, то спектр Н абсолютно непрерывен.

В частности, при N = 1 и

получаем, что спектр обычного оператора Шрёдингера Н = —Д + V с условиями Дирихле или Неймана абсолютно непрерывен. В теореме 4.1.1 допускается достаточно негладкая (липшицева) граница. В случае гладкой границы и скалярного оператора Н условия суммируемости на потенциал V можно немного ослабить.

Теорема 4.1.2. Пусть ¡/ей' - ограниченная область с С°°-гладкой границей, Е — [I х Мт, т > 1, <1 = к + т ^ 3. Пусть N = 1, V - скалярная вещественная функция, V € Ьр(и х Г2), где р > <1/2 при ¿ = 3,4, р> й — 2 при (1^5. Тогда спектр оператора Н = —А + V с краевыми условиями Дирихле или Неймана абсолютно непрерывен.

В случае сечения общего вида вопрос об абсолютной непрерывности спектра оператора с сингулярным потенциалом и/или с третьим краевым условием остается открытым.

Согласно результатам главы 1, обе теоремы сводятся к проверке условий А(д) для соответствующих свободных операторов.

Теорема 4.1.3. В условиях теоремы 4.1.1 оператор построенный в

главе 1, удовлетворяет условию А(^у).

Теорема 4.1.3 доказывается в разделе 4.2. Доказательство основано на теоремах вложения для анизотропных пространств Соболева. Теорема 4.1.3 используется в главе 5.

Теорема 4.1.4. Пусть N = 1, к ^ 2, U - С°°-гладкое компактное к-мерное риманово многообразие с краем или без края. Пусть а - квадратичная форма неотрицательного эллиптического дифференциального оператора второго порядка с гладкими коэффициентами и краевыми условиями Дирихле или Неймана. Тогда оператор Но(£), построенный в главе 1, удовлетворяет условию A(q) при q < j^, в случае, если U - многообразие без края (при любом d), и в случае, если U - многообразие с краем при d = 3 или d = 4. Если d ^ 5 и U - многообразие с краем, то условие A(q) выполняется с q < ЦЕ^-

Теорема 4.1.4 доказывается в разделе 4.3. Доказательство опирается на результаты [6], известные, по-видимому, только для скалярных операторов.

Опишем основные моменты доказательства теоремы 4.1.3. Пусть <pi(x) -собственные функции оператора А, заданного квадратичной формой а[-, •] на области определения Doma, A<p¡ = A¡íp¡. Тогда в базисе

¥>/,»(*, У) = M~V2ein^i{x)

оператор Яо((7г+гт)&1+£'), который мы будем сокращенно обозначать через Hq(t), является оператором умножения на символ

hhn{r) = \n + irb1 + £'\2-T2 + \l + 2ÍT{n + TTb1,b1), nef, le N.

Пусть

Л = {(/, n) : \n + tt6i + £'|2 + À! ^ i (n2 + \i + 1)}, J2 = {{l,n):n2 + Xl + 1^4T2}, J3 = {(/, n) : |n + 7Г&! + Cf + A, > ^ (n2 + Xi + 1) > 2r2}.

Основная часть доказательства теоремы 4.1.3 содержится в следующей лемме:

Лемма 4.2.2. Пусть и е Dom \Щ(т)\1!2, причем

и{х,у) = |П|"1/2 J2 4n<Pi(x)einy (i,n)eJ2

(подчеркнем, что суммирование только по J2). Тогда

IIИZ,2<i_2 (£/xíí) хПС^)'

Аналогичные оценки для множеств и </з доказываются элементарно. Лемма 4.2.2 следует из двух оценок:

11и1|£2<(-2([0;1];Я1(С/хП' )) ОД1 < С'т\\\Н0(т)\^иГ

IMliM_2([0;l];L2(i/xSÎ';C'v)) ^ С11 ""11if 1/2([0;l];i2(ЫхÎÎ')) ^ где = [0; 1] х П', и неравенства

Vw G Ь9([0; 1]; Hl(U x il'; C^)), q > 2.

Теорема 4.1.4 доказывается аналогично теореме 3.1.1. Вместо результатов главы 2 в случае многообразия без края используется следующий результат, полученный в [7]:

Теорема 4.3.1. Пусть M - С°°-гладкое компактное риманово многообразие размерности d без края, А - эллиптический дифференциальный оператор второго порядка на M с гладкими коэффициентами. Пусть = Еа[{ц- l)2;/t2). Тогда

Ш\\ым) < c/(1/p-1/2)-1/2ll/ILP(M),

2(d + 1) d + 3

В случае, когда II - область в К* или многообразие с краем, используется аналогичный (более слабый) результат для многообразия с краем, полученный в [6].

Глава 5. Оператор Шрёдингера в круговом цилиндре. В этой главе подробно изучается случай цилиндра, сечение которого {/ = {1бМ': |а;| < 1} - ^-мерный шар. С физической точки зрения наиболее интересен случай к = 2, т = 1, поэтому многие утверждения снабжаются явными формулами при к = 2. Собственные функции оператора Лапласа в шаре известны - они явно выражаются через функции Бесселя. Благодаря этому, удается доказать отсутствие собственных значений для оператора Шрёдингера с третьим краевым условием. Однако, поведение собственных функций оператора Лапласа в шаре сложнее, чем поведение собственных функций в

прямоугольном параллелепипеде. Поэтому получить оптимальные результаты не удается, и доказательства получаемых результатов технически более тяжелые. В частности, требуются тонкие оценки расположения нулей функций Бесселя.

Сформулируем основной результат в случае d = 3. Пусть U С R2 -единичный диск. Рассмотрим оператор в трехмерном цилиндре E = U хК, действующий на вектор-функции и = (иа, ur) S L2(U хМ; С6) и отвечающий квадратичной форме

h2+i[u,u] = J\Vu(x, y)\2dxdy + J (V(x, y)u(x, у), u(x, y)) dx dy

+ J(v(x,y)u{x,rj),u{x,y)) dS(x,y)

на пространстве

Dom/12+1 = {(ua,ur) 6 ii1(?7;C6): ua,n\dUxR = 0, wr,T|at/xE = 0}, (4)

где ua,n ~ нормальная компонента, a ur r - тангенциальная компонента трехмерных векторных полей иа, ит.

Теорема 5.4.1. Пусть V(x,y + а) = V(x,y), а(х,у + а) = а(х,у) для некоторого а £ К, и

V G Ь2,ъс(и х R; м6(С)), а € L^ißU х R; М6(С))).

Тогда у периодичекого оператора Шрёдингера, отвечающего форме h2+i, нет собственных значений. Если V и а самосопряжены, то его спектр абсолютно непрерывен.

Из теоремы 5.4.1 вытекает абсолютная непрерывность спектра периодического оператора Максвелла в таком цилиндре. Размерность N = 6 соответствует тому факту, что электромагнитное поле шестимерно: три компоненты электрического поля и три - магнитного. Для работы с краевыми условиями (4) оказался удобен аппарат дифференциальных форм.

Теорема 5.4.1 является следствием более общего результата об операторе Лапласа, действующем на дифференциальные формы. Через AP(U) обозначим пространство всех дифференциальных р-форм на U, а через L2(AP(U)) и H1(AP(U)) - пространства форм с коэффициентами из L2(U) и Hl{JJ) соответственно. Заметим, что выбором стандартного базиса данные пространства можно отождествить с L2(U;Ck{p)) и H\U; Сад), где k(p) = Q.

Пусть I*: Ар(и) Лр 1(д[/) - операция сужения формы на границу. Пусть также N - векторное поле на С/, являющееся в окрестности 011 еди-

ничным

векторным полем, нормальным к границе, гдг: Лр([/) —>■ Ар (II) - операция подстановки. В пространстве Соболева Н1(Ар(и)) выделим два подпространства

Н1(АР(и)) ^ {т? е Н\Ар(и)): сЧкт, = 0},

Н'(Ар(и)) = {т] е Н\Ар(и)): с*т] = 0}.

Соответствующие краевые условия будем называть абсолютным (1*1^ = 0) и относительным (1*77 = 0).

Предложение 5.2.1. Квадратичная форма

а[г/, 77] = \Ш\12{АР+1{и)) + ||<ЭД|£2(Л,-чу» (5)

в £2(Лр(£/)), заданная на области определения Н1(Ар(и)) или Щ{Ар(и)), замкнута и неотрицательна.

Для случая произвольного гладкого многообразия с С2-гладкой границей оно доказано в [11].

Определение 5.2.2. Оператор, отвечающий форме (5) с областью определения Н1(Ар(и)), называется оператором Лапласа на р-формах с абсолютным краевым условием и обозначается —Да. Оператор, отвечающий форме (5) с областью определения Щ(АР(17)), называется оператором Лапласа на р-формах с относительным краевым условием и обозначается —Дг.

Оба оператора являются самосопряженными расширениями оператора

-Д = -(<М + <М),

изначально заданного на С"о°(Лр(£/)).

Мы рассматриваем матричный периодический оператор Шрёдингера, заданный квадратичной формой

к[и,ь}= J а[и{-,у),у{-,у)](1у + !{Ууи{х,у),Чуу(х,у)) йхйу

К™ Е

+ !{У{х,у)и{х,у),у{х,у))йх(1у + !{а{х,у)и{х,у),ь{х,у))йЗ{х,у), (6)

в цилиндре где Е = U х ]Rm. Квадратичная форма (6) опреде-

лена на области

Dom Л = L2(U; НЦМ"1; <Сад)) П L2(Rm; Doma).

Теорема 5.3.1. Пусть

V 6 Ld-\(U X fi; ММр)(С)), er е L4d-8{dU х fi; Мад(С)).

Тогда в спектре оператора Шрёдингера, заданного формой (6), где форма a[-, •] задана (5), Doma = Я*(ЛР(£/)) или Doma = H}(AP(U)), отсутствуют собственные значения. Если дополнительно Vueг самосопряжены, то его спектр абсолютно непрерывен.

По теореме 4.1.3 для оператора H выполняется условие . В силу

теоремы 1.2.4 достаточно доказать следующее утверждение.

Теорема 5.3.2. Пусть периодический оператор Шрёдингера задан формой (6), где форма а[-,-] задана (5), Doma = Я*(ЛР([/)) или Doma = H}(KV(U)). Тогда соответствующий оператор Но(£), построенный в главе 1, удовлетворяет условию _В(84^~д6).

Замечание 5.3.3. В скалярном случае (р = 0) условие на V можно ослабить doV е Lq(U X fi), q > max{d/2, d - 2}, d ^ 3.

В разделе 5.1 мы приводим нужные сведения из теории дифференциальных форм и явные выражения для некоторых операций над ними в случае шара. В разделе 5.2 описываем оператор Лапласа, действующий на р-формы. В разделе 5.3 формулируем основной результат. В разделе 5.4 описываем прикладной трехмерный случай. В разделе 5.5 исследуем нули функций Бесселя. В разделе 5.6 мы приводим выражение для собственных р-форм оператора Лапласа в к-мерном шаре, заимствованное из [3]. В разделе 5.7 мы оцениваем их следы на границе. В разделе 5.8 доказывается несколько технических лемм о символе оператора. Наконец, в последнем разделе 5.9 доказывается теорема 5.3.1.

Список литературы

[1] Burq N., Gérard P., Tzvetkov N. Restrictions of the Laplace - Beltrami eigenfunctions to submanifolds // Duke Math. J. 2007. Vol. 138. No. 3. P. 445-486.

[2] Danilov L. I. On absolute continuity of the spectrum of a periodic magnetic Schrodinger operator //J. Phys. A: Math. Theor. 2009. Vol. 42. No. 27. Article ID: 275204.

[3] Kirsten K. Spectral Functions in Mathematics and Physics // Chapman & Hall/CRC. 2002.

[4] Kuchment P., The mathematics of photonic crystals // SIAM J. Math. Mod. Opt. Sci. 2001. P. 207-272.

[5] Рид M., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4. Анализ операторов // 1982. М., Мир.

[6] Smith Н. F., Sogge С. D. On the № norm of spectral clusters for compact manifolds with boundary // Acta Math. 2007. Vol. 198. No. 1. P. 107-153.

[7] Sogge C. D. Concerning the LP norm of spectral clusters for second-order elliptic operators on compact manifolds //J. Funct. Anal. 1988. Vol. 77. No. 1. P. 123-138.

[8] Thomas L. Time dependent approach to scattering from impurities in a crystal // Comm. Math. Phys. 1972. Vol. 33. P. 335-343.

[9] Figotin A., Kuchment P. Spectral properties of classical waves in high-contrast periodic media // SIAM J. Appl. Math. 1998. Vol. 58. No. 2. P. 083-702.

[10] Филонов H. Д. Эллиптическое уравнение второго порядка в дивергентной форме, имеющее решение с компактным носителем // Пробл. мат. анал. 2001. СПб. Вып. 22. С. 246-257.

[11] Friedrichs К. Differential forms on Riemannian manifolds // Comm. Pure Appl. Math. 1955. Vol. VIII. P. 551-590.

Публикации автора по теме диссертации

[КИ] Качковский И. В., Филонов Н. Д. Абсолютная непрерывность спектра периодического оператора Шрёдингера в многомерном цилиндре // Алгебра и анализ. 2009. Том 21. №2. С. 133-152.

[КР2] Качковский И. В., Филонов Н. Д. Абсолютная непрерывность спектра периодического оператора Шрёдингера в слое и в гладком цилиндре // Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 41. Записки научных семинаров ГТОМИ им. В. А. Стеклова Российской академии наук. 2010. Том 385. С. 69-82.

[К] Качковский И. В. Теорема Стейна-Томаса для тора и периодический оператор Шрёдингера с сингулярным потенциалом // Алгебра и анализ. 2012. Том 24. №6. С. 124-138.

Подписано в печать 05.04.2013г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 3038.

Отпечатано в ООО «Издательство "JIEMA"» 199004, Россия, Санкт-Петербург, В.О., Средний пр., д. 24 тел.: 323-30-50, тел./факс: 323-67-74 e-mail: izd_lema@mail.ru http://www.lemaprint.ru